（概率论与数理统计专业论文）带投资的ou过程模型的分红问题.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 带投资的0 一u 过程的分红问题 摘要 本文考虑的是带投资的0 u 过程保险风险模型的分红和破产时的拉普拉 斯变换问题 根据内容本文共分为以下两章： 第一章本章考虑全分红问题这里我们假定：如果盈余是正的，保险公司按 照一定比例将收入盈余投资到有风险和无风险两个领域如果盈余是负的，保 险公司将必须支付较高的负债利息分红将根据一个边界策略向投资者分红 本章将说明期望折现分红是怎样计算的，k u m m e r 合流超比微分方程在本章起 了关键性的作用令x ( t ) 代表公司到t 时刻的盈余，投资前的盈余过程是 x ( t ) = $ + d + a l b l ( t ) ， 其中x 是初始盈余，c ( 0 ) 是保费率，b 1 ( t ) 是一个标准的布朗运动，单位时间的 方差为仃禾我们假定盈余被投到风险和无风险领域如果公司把钱投资到银行 或从银行贷款，利息可被描述成 一僻r r ( t ) d t , 浆呈 这里，我们假定公司得到的利息率为r 和付出的利息率为r r 0 风险资产 的价格变化如下 d s ( t ) = i 吐s ( t ) d t + a 2 d b ( t ) b ( t ) 是一个标准的布朗运动，它与b 1 ( t ) 是独立的假定保险公司当其盈余为正 时，按其盈余的固定比率q 投资到风险领域当盈余是负的，公司将必须按负债 利息率r 从银行借钱在这个投资策略下，当没有分红被付时，盈余过程被下面 曲阜师范大学硕士学位论文 的动态变化控制 似： ”脚”啪) 帜( 啪d t + 网眦) ，删 0 ； l ( r x ( t ) + c ) d t + a x d w ( t ) ，x ( t ) 0 当盈余在b 之下时，无分红；当盈余超过 b 时，超出的部分将会拿出来分红d ( t ) 代表到t 时刻的累积分红，t 代表破产 时，即 t = i n f t ：x ( t ) 一d ( t ) = o ) 我们设y ( z ；b ) 为o ( t ) 的期望，那么可以得到y ( 石；b ) 满足一个二阶微分方程及 其两个边界条件这一章里，主要工作就是求解y ( z 6 ) 第二章在本章中，我们仍是在第一章的过程中考虑分红问题但这一章中， 我们假定分红根据带有参数b 和历的边界策略进行分红当修正余额在b 之下 时，无分红；当修正余额在b 之上时，公司将按比例卢l 进行分红我们同样可以 得到一个y ( 。；b ) 满足的微分方程及其两个条件在这一章中，主要工作是解上 述方程另外分红的其他几个问题也有所考虑，例如破产时刻的拉普拉斯变换 关键词：0 一u 过程；k u m m e r 合流超比微分方程；绝对破产；负债利息率 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s tr a c t i nt h et h e s i sw ec o n s i d e rt h ed i v i d e n d so fa n0 一ui n s u r a n c er i s km o d e l w i t hi n v e s t m e n ta n dt h el a p l a c et r a n s f o r mo ft h ep r o b a b i l i t yd e n s i t yf u n c t i o n o ft h et i m eo fr u i n t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot w oc h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s ： i nc h a p t e r1 ，w ec o n s i d e rt h eq u e s t i o nt h a tt h ed i f f e r e n c ei si m m e d i a t e l y p a i do u ta sd i v i d e n d si ft h ei n i t i a ls u r p l u se x c e e d sad i v i d e n db a r r i e r w e a s s u m et h a ti ft h es u r p l u si sp o s i t i v e ，t h ei n s u r a n c ec o m p a n yc a ni n v e s ti t s s u r p l u si nb o t har i s k ya s s e ta n dt h er i s k f r e ea s s e ta c c o r d i n gt oaf i x e dp r o - p o r t i o n i ft h es u r p l u si sn e g a t i v e ，ac o n s t a n td e b i ti n t e r e s tr a t ei sa p p l i e d d i v i d e n d sa r ep a i dt ot h es h a r e h o l d e r sa c c o r d i n gt oab a r r i e rs t r a t e g y i ti s s h o w nh o wt h ee x p e c t e dd i s c o u n t e dv a l u eo ft h ed i v i d e n d sa n dt h eo p t i m a l d i v i d e n db a r r i e rc a nb ec a l c u l a t e d k u m m e r sc o n f l u e n th y p e r g e o m e t r i cd i f - f e r e n t i a le q u a t i o np l a y sa k e yr o l ei nt h i sc h a p t e r l e tx ( t ) d e n o t et h es u r p l u s o ft h ec o m p a n y t h es u r p l u sb e f o r ei n v e s t m e n ti s x ( t ) = z + c t + a l b x ( t ) ， w h e r ezi st h ei n i t i a ls u r p l u s ，c ( 0 ) i st h ep r e m i u mr a t e ，b i ( t ) i sas t a n d a r d b r o w n i a nm o t i o nw i t hv a r i a n c e 盯 p e ru n i t w ea s s u m et h a tt h es u r p l u sc a n b ei n v e s t e di nar i s k f r e eb o n do rar i s k ya s s e t i ft h ec o m p a n yi n v e s t sm o n e yi n t h eb a n ko rb o r r o wm o n e yf r o mt h eb a n k ，t h er a t eo fr e t u r nc a nb ed e s c r i b e d b y d r c t ，= r r r r ( 。t 。) ，d 出t , ，妻鬈；三： t h a ti s ，w ea s s u m et h a tt h ec o m p a n y sl e n d i n gr a t ei sra n dt h eb o r r o w i n g r a t ei s7 - r 0 t h ep r i c ed y n a m i co ft h er i s k ya s s e ti sg i v e nb y d s ( t ) = # s ( t ) d t 十a 2 d b ( t ) 1 w h e r eb ( t ) i sas t a n d a r db r o w n i a nm o t i o nw h i c hi s i n d e p e n d e n to fb ( t ) ， w i t hv a r i a n c e 砖p e ru n i t a s s u m et h a tt h ei n s u r a n c ec o m p a n yi n v e s t saf i x e d p r o p o r t i o nqo fi t ss u r p l u si nt h er i s k ya s s e tw h e ni t ss u r p l u si sp o s i t i v e w h e n t h es u r p l u si sn e g a t i v e ，t h ec o m p a n yh a st ob o r r o wm o n e yf r o mt h eb a n ku s i n g t h ed e b tr a t er w h e nn od i v i d e n d sa r ep a i d ，t h es u r p l u sp r o c e s si sg o v e r n e d b yt h ef o l l o w i n gd y n a m i c s ： 拟( 亡) ： c + 脚+ ( 1 0 f ) r 眺) ) 毗+ + q 2 a 2 d w ( t ) ，x ( t “ 【( r x ( t ) + c ) d t + a t d w ( t ) ，x ( t 0 ： 0 w h e n e v e rt h es u r p l u si sb e l o wt h el e v e rb n od i v i d e n d sa r ep a i d ； w h e nt h es u r p l u si sa b o u tt og oa b o v et h el e v e lb ，t h ee x c e s sw i l lb ep a i da s d i v i d e n d s l e td ( t ) d e n o t et h ea g g r e g a t ed i v i d e n d sb yt i m eta n dl e tt= i n f t ：x ( t ) = o ) b et h et i m eo fr u i n l e ty ( z ；b ) d e n o t et h ee x p e c t e do fd ( t ) ， i nw h i c hxi st h ei n i t i a ls u r p l u s 。t h e nw eo b t a i nt h a ty ( z ；b ) s a t i s f i e st h e f o l l o w i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t ht w oc o n d i t i o n s i nt h ec h a p t e r ，d i s s o l v i n g t h ee q u a t i o ni st h em a j o rw o r k i nc h a p t e r2 ，w ea l s oc o n s i d e rt h ed i v i d e n dq u e s t i o no ft h ep r o c e s sa s i nc h a p t e r1 b u t ，i nt h i sc h a p t e r ，w ea s s u m et h a td i v i d e n d sa r ep a i dt ot h e s h a r e h o l d e r sa c c o r d i n gt ot h et h r e s h o l ds t r a t e g yw i t hp a r a m e t e r6 ( 0 ) a n d 卢1 ( 0 ) w h e n e v e rt h em o d i f i e ds u r p l u si sb e l o wt h el e v e rb ，n od i v i d e n d sa r e p a i d ；w h e nt h em o d i f i e ds u r p l u si sa b o v eb ，d i v i d e n d sa r ep a i dc o n t i n u o u s l y a tac o n s t a n tr a t ep 1 w ea l s oo b t a i nas e c o n d o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o no f y ( z ；b ) w i t ht w ob o u n d a r yc o n d i t i o n s w ea l s oc o n s i d e rt h ed i s t r i b u t i o no ft k e y w o r d s ：0 一up r o c e s s e s ；k u m m e r sc o n f l u e n th y p e r g e o m e t r i cd i f f e r e n - t i a le q u a t i o n ；a b s o l u t er u i n ；d e b ti n t e r e s tr a t e l l 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文带投资的。一u 过程模型的分红问 题，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究 工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成 果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式 注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名： 前和舂 日期：钾l 乙 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 带投资的o u 过程模型的分红问题系本人在曲阜师范大学攻读硕士学 位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大 学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师 范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文 的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采 用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签名：南弘哮 导师签名： 日期： 日期： 。出纹f ) 第一章带投资的o u 过程模型的全分红问题 1 1 引言 如果我们的目的是在公司可能破产之前使折现分红期望达到最大，那么分 红应怎样分给投资者? 这问题要追溯到d ef i n e t t i ( 1 9 5 7 ) 他在离散的时间模 型上通过+ 1 和一1 的获得解决了这个问题相关文献可以在文献 3 】中找到 在他们的文章里公司分红前的盈余过程是以一个带漂移系数p 0 和每个单 位时间的方差口2 的布朗运动为模型他们假定盈余通过一个常参数p 获得利 息 在这章中，我引入了文献【2 】的假设如果盈余是正的，它将在风险资产和 无风险资产两个方面中按一定比例被分配当盈余是正的，得出一个含变量系 数的线性微分方程这方程属于k u m m e r 合流超比微分方程族我们可以参照 k u m m e r 合流超比微分方程的解法计算出一个边界策略的值。 我们将使这个模型进一步接近现实我们允许在一定范围内公司可以在传 统意义的破产下继续运营当余额是负的，公司将必须阿银行贷款而此时要 付较高的负债利息率丁( 6 ) 当收到的保费无法偿还贷款利息时，我们就说绝 对破产发生 1 2 模型 我们根据参考文献【2 】的模型，假设x ( t ) 代表公司盈余，投资前的盈余过 程是 x ( t ) = z + d + l b l ( z ) ， 其中x 是初始盈余，c ( 0 ) 是保费率，b z ( 亡) 是一个标准的布朗运动，单位时间 的方差为盯 这里我们假定盈余可以按无风险资产和风险资产两部分被投资 如果公司将钱投资在银行上或从银行借钱，则回报率可以被描述为 俐= 篇d 妣t , 浆宝 第一章带投资的0 - u 过程模型的全分红问题 这里，我们假定公司得到的利息率为r 和付出的利息率为r r 0 风险资产 的价格变化被给出如下 d s ( t ) = # s ( t ) d t + a 2 d b ( t ) b ( t ) 是一个标准的布朗运动，它与b 1 ( t ) 独立 假定保险公司当其盈余为正时，按其盈余的固定比率q 投资到风险领域 当盈余是负的，公司将必须按负债利息率丁从银行借钱在这个投资策略下，当 没有分红被付时，盈余过程被下面的动态变化控制 d x ( t ) ： c + l a p + ( 1 一q ) f i x ( 。) ) 出+ 盯 + q 2 露d w ( t ) ，x ( t ) o ； 【( r x ( t ) + c ) d t + o l d w ( t ) ，x ( t ) 0 当盈余超过b 时，超出的部分将会拿出来分红d ( t ) 代表 到t 时刻的累积分红，t 代表破产时，即 t = i n f t ：x ( t ) 一d ( t ) = o ( 1 2 2 ) 它在边界策略下是有限的d 是直到破产的折现分红值，即 ，t d = e - 6 t d d ( t ) ( 1 2 3 ) ，o 我们对d 的期望y ( z ；6 ) ( o zsb ) 感兴趣，y ( z ；b ) 是一个关于初始盈余x 的 函数 定理1 1y ( z ；b ) 满足一个二阶微分方程 掣y ( z ；6 ) + c + 【q j “+ ( 1 一q ) r 】z ) y 7 ( z ；6 ) 一6 y ( z ；6 ) ：o ，0 o , ( 1 2 8 ) 边界条件为 g ( o ) = 0 ( 1 2 9 ) 这样的函数除了常因式是唯一的根据( 1 2 4 ) ，( 1 2 5 ) 和( 1 2 6 ) 我们得到下列 因子分解公式 ，、 m 埘= 器，o 。， u i a l , b ；y ) = 土r ( a 1 ) z e 即_ l ( 1 计”舰 0 7 6 。 上式的q 1 和p 的比率可以由( 1 2 9 ) 推得 例如，我们设 ， a l = u ( c l 一口，c 1 ；历) ， p 一( 争m m ( 1 - a , 2 - - c i ；务 5 第一章带投资的0 u 过程模型的全分红问题 而且，对公式( 1 3 4 ) 求导得 9 ( t ) = ，f ( t ) 口d ；t = 一c + o j x ) ( t ) ( 1 3 6 ) 则我们可得( 参见文献【1 】附录) h ( t ) = ( t ) 一a l ( 1 一c 1 ) ( 一) 一。1 e 。m ( 1 一口，2 一c l ；一t ) 吨l ( 岩) ( 4 l - c t e t m ( 2 - a , 3 - c l ；- t ) + # ( c l - ) u ( c l - a + 1 , c 1 + 1 ；- t ) ( 1 3 7 ) 最后，我们令( 1 3 6 ) 中的z = b 和( 1 3 4 ) 就获得了( 1 2 1 0 ) 中的y ( z ；6 ) 注1 3 1 当o f = 0 时，令o r l = 0 ，类似于文献 1 】的( 3 8 ) 式，我们有x ( t ) = z e n + c 瓦，其中瓦= 片e - 7 t d t 假定一时间t o 使x ( t o ) = b ，则我们可以得到 忡，b ) - e - t t o v ( b 6 ) = c c + 州r x r 字 ( 1 3 8 ) 注1 3 2 当q = 0 ，r = 0 ，通过文献【4 】中的( 2 1 1 ) ( 2 1 5 ) 我们可以得到 咐) = 嵩丢， 其中r l = ( 一p + x # 2 + 2 c i a 2 a ) l a 和s = ( 一p 一、乍j 二_ 夏历彳) 盯 1 4 最优边界 ( 1 3 9 ) 参照文献【1 】，我们这节研究最优边界问题对给定的z 【 0 ) ，我们, - - j 以得 到使y ( z ；b ) 最大的边界b 从公式( 1 2 1 0 ) 和( 1 2 1 1 ) 我们可以得到 鼽驴僻；穗o m b q 4 m 从公式( 1 2 8 ) 和( 1 2 9 ) 能得到 蝉= 一一2 c 0 一= 一一 6 曲阜师范大学硕士学位论文 其中，7 = + 口2 程因此当b 取非常小的值时，袅y ( z ；6 ) 是芷的又因为当 b o o 时y ( z ；b ) _ + 0 ，所以我们可以得知当b 取某个有限正值时，y ( z ；b ) 可 以获得最大值 根据方程( 1 4 1 ) ，第一个条件是 9 ”( 6 ) = 0 ( 1 4 2 ) 这证明上面方程有唯一解b = b 而且这个边界值独立于初始值x ，且使y ( z ；b ) 最大 我们知道 旷( 删= 鬻，0 z 6 而且 v ”( ”b ) = 0 ( 1 4 3 ) 因此在方程( 1 2 4 ) 中，我们令z = b = b ，而且利用第二个条件( 1 2 6 ) ，我们 能得到 c + w b 一6 v ( b ；b ) = 0 ， 其中u - - - o r # + ( 1 一口) r 整理得 y ( 矿；矿) = c + 丁w b * ( 1 4 4 ) 当u = 0 时，公式( 1 4 4 ) 可以在文献 4 】中的( 7 1 ) 找到在这个事例中对于 最优界，有一个更接近的表达式 6 ：圭l o g ( r l8 一尘8 ) ， 这里的r l 和8 和方程( 1 3 9 ) 中的定义是一样的 7 第一章带投资的0 一u 过程模型的全分红问题 1 5 边界策略下的破产时分布 参照文献【1 】，在这一部分我们将考虑根据带参数b 的边界策略进行分红 的问题我们令 厶( z ；b ) = e e 一盯】 ( 1 5 1 ) 其中l ( z ；b ) 代表一个初始金为z 的函数，而己( z ；b ) 代表关于z 的导数作为 6 的一个函数，l ( z ；b ) 是破产时t 的拉普拉斯变换 通过比较文献【1 】1 中的方程( 5 2 ) ，三( z ；b ) 是下面二阶微分方程的解 - l ”( z ；6 ) + ( c + w x ) l ( z ；6 ) 一5 l ( x ；b ) = 0 ，0 z b ，( 1 5 2 ) 边界条件是 笼暑= 0 ( 1 5 3 ) l 。( 6 ，6 ) = 、。 令夕( z ) 是微分方程( 1 2 8 ) 的一个非平凡解，相对应的边界条件是 夕( 6 ) = 0 ( 1 5 4 ) 那么由( 1 5 2 ) 和( 1 5 3 ) 得 m ；6 ) 2 舞0 9 6 ) 我们假定当盈余在这个关键水平上：a = 一导， 公司破产如果盈余在这个水平上，因为盈余过程的瞬时漂移是0 ，所以公司不 再有任何盈余 令y ( z ；6 ) ，a z b 代表公司破产前的折现分红期望则( 1 2 4 ) 和 ( 1 2 6 ) 仍然有效，只是( 1 2 5 ) 改为 y ( a ；b ) = 0 ，( 1 6 1 ) 而当a z 0 时，y ( z ；b ) 满足下面微分方程 譬y ”扛；6 ) + ( c + r z ) y ( z ；6 ) 一6 y ( z ；6 ) = o ，入 z 0 ( 1 6 2 ) 而且y ( z ；b ) 和v ( z ；b ) 在z = 0 处连续 从上面的条件中我们能得到这样的公式： 忡6 ) = 器艇z 6 ( 1 6 3 ) 这里g ( x ) 是一个连续的微分函数，满足方程( 1 2 8 ) ， 譬9 ” ；6 ) + ( c + 7 - z ) 夕( z ；6 ) 一6 9 ( z ；6 ) = o ，a z 0 ， ( 1 6 4 ) 方程满足条件 9 ( a ) = 0 ( 1 6 5 ) 这里的夕 ) 除了常数因子是唯一确定的 9 我们引入一个新的变量 f = 一( c + 矿r z ) 2 ( 1 6 6 ) 则函数元( 刁= 夕( z ) 此时( 1 5 4 ) 可被转化成k u m m e r 合流超比微分方程参数 为 1-6 c 1 = 互，o2 一万 ( 1 6 7 ) 我们可得出夕( z ) ，a 0 时，9 0 ) 是( 1 3 4 ) 式的形式为了确定系数口l 和卢，我们可以利用 连续条件 g ( o + ) = e ( o 一) ，g ( o + ) = 夕( o 一) ( 1 6 9 ) 从而推出下面条件 即争耻岳) h - u d 町) 胡一翕) 由上面式子可得 a 。( 争c l e 计w 高) m ( 1 - a , 2 - c z ；c a ) 批计和( c l - - a , c l ；u c 2 叩) = ( 岳) l - 酬一丢) m ( 1 一啪一c ；岛) ， 而且 口，( 1 一c 1 ) ( 高广- e 印( 一南) m ( 1 一口，2 一c ；高) + q - ( 焉广q 1 0 e 印( 一面c 2 ) 【函1 - - a i ) m ( 2 - a , 3 - 0 ；面c 2 ) + 卢e 印( 一高) ( n c 。) u ( c l - - a + l , 0 + 1 ；高) = ( 1 - c 1 ) ( 嘉) - c e 一翕) m ( 1 一a翕h面c2xp(,2-cl；) l - q 唧( 一岳) ( 蓦)= ( 1 - c 1 ) ( 南) 叫l e 一备) m ( 1 一a南) + 菥) 卜q 唧( 一高) ( 罨 m ( 2 一a ，3 一e l ；与) 。7o i 这是a t 和p 的两个线性方程 注1 6 1 在极限情况下，口= 0 ，u 1 = 0 时，( 1 3 8 ) 式对0 z b 仍有效，而且 y ( z ；b ) = ( c + t z c ) 6 下y ( o ；6 ) ，a z 6 ) 出 ，u 我们很容易知道d 的期望y ( z ；b ) 满足个含变量系数的二阶微分方程因此 解出这个方程是必要的同时我们还考虑破产时刻t 的分布本章第五节考虑 了d 母函数和矩母函数第六节讨论了最优边界为了贴近现实，我们还考虑 1 2 曲皇师范大学硕士学位论文 了绝对破产即当盈余是负的，公司继续营业；而当盈余亏损到一定程度，则它 就必须破产 如果r 是正的，我们将得到一个含变量系数的线性微分方程，因此重点问 题仍是求出方程的解在这一章，我们为了获得更多信息将借助一些计算公式 2 2y ( z ；b ) 满足的方程 仍是参照文献【1 】，让y ( z ；b ) 表示d 的期望，z 是初始值，而b 是分红线 在这一节，我们将证实y ( z ；b ) 满足一个二阶微分方程 定理2 1 在模型( 1 2 1 ) 中，我们仍令t 7 = 盯 + 口2 吧2 ，u = q p + ( 1 0 f ) r 作为关于z 的一个函数，y ( z ；b ) 满足下面微分方程： v ( z ；6 ) + ( c + u z ) y ( z ；6 ) 一6 y ( z ；6 ) = o ，o z 6 ，( 2 2 3 ) 满足条件 y ( z ；6 ) _ 譬，z _ o 。 ( 2 2 4 ) 证明：当0 o ) ，我们有 e y ( 贾( 出) ；6 ) 】= e 6 d t v ( z ；6 ) 一p l d z + o ( d t ) 1 3 第二章带投资的o u 过程模型的按比例分红问题 事实上 e 【y ( 贾( 出) ；6 ) 】= e 【e x ( 卢l ，e 。2 t 贾( t ) 6 ) 出) 】 ，o ，t = e ( f l x 正e - 6 t k ( t ) 6 ) d t ) 】 ，0 r t - d t = 驯卢t 上 e 一协删 6 ) d 胡 ，t = 吲卢l e - 6 ( s - d t ) i ( y c 6 ) d s 】 t ，d t 、 ，出 = e 6 d t d e 【p lf e - 6 ( , - a t ) k 6 ) d s 】 ，0 = e 6 d t y ( z ；b ) 一卢l d t + o ( d t ) 接下来的证明类似文献【3 】的证明过程如果有无穷盈余，那么公司将按每单时 间的卢l 比例进行永远分红下去这样我们就得到条件( 2 2 4 ) 证毕 2 3 求解y ( z ；b ) 参照文献【1 】，令g ( x ) 是下面微分方程的解 昙9 ” ) + ( c + u z ) 夕( z ) 一6 9 ) = o ，0 z 。，( 2 3 8 ) 1 ，6 ；y ) = 丽1z e 即l 。1 ( 1 删扣口l 。1 咖 0 1 6 。( 2 3 9 ) 现在令k ( x ) 是下面微分方程的一个解： k ( z ) + ( c + u z 一卢1 ) 七( z ) 一6 七( z ) + 历= o ，z 6 ， ( 2 3 1 0 ) 满足条件 七( z ) 。譬，z _ o o 1 5 ( 2 3 1 1 ) 第二章带投资笪q ：u 过程模型的按比例分红问题 很显然譬是方程( 2 3 1 0 ) 的一个特解令 孑，( z ) + ( c + u z p 1 ) ，( z ) 一6 ，( z ) = o ( 2 3 1 2 ) 我们只需求得( 2 3 1 3 ) 的解，则( 2 3 1 0 ) 的解就得到了因为 ) = m ) + 譬 ( 2 3 1 3 ) 第一步，令z = ( 南) 而( c + w x 一卢，) 且定义函数，( z ) ，令9 ( z ) = ，( 名) ，则 m 鳓o ) 口d z z = 等， 厂( 加 从而得到微分方程 、 ”( z ) + z ( z ) 一言，( z ) = 。，z ! 竺二乇学 ( 2 3 1 4 ) 第二步令t = 一譬，而且定义f ( ) ：z ( t ) = ( z ) ，因此有 比) = 瓦d t - - - - z 一， ( z ) = z 2 1 ”( 亡) 一f ，( 亡) = 一2 t l ”( t ) 一l ，( t ) 这样可以得到微分方程 亿) + ( 虿1 - t ) f ，+ 知) 扎亡 一咩， ( 2 3 - 1 5 ) 这里 16 c 12 互，口2 一瓦 那么 ，( z ) = f ( t ) = q 1 ( 一t ) l - c e t m ( 1 一n ，2 一c l ；一t ) + 卢e u ( c l a ，c l ；一t ) ，( 2 3 1 6 ) 1 6 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 2 3 1 7 ) 和a l 与是由【2 3 1 1 ) 式得出凼此 y ( 啪) = 譬+ m ) ( 2 3 1 8 ) 注2 3 1m ( a ，6 ；y ) 和v ( a ，6 ；可) 有如下性质： d m f ( a b ；y ) ：m ( 。+ l ，6 + 1 ；可) z 。 和 d u ( j a i , b 一；y ) ：一口u ( 口+ 1 ，6 + 1 ；y ) d z 注2 3 2 当q = 0 和r = 0 时，则得出文献 3 】中的结论： y ( z ；6 ) = 譬( 歹万苫；三云耥) ，。z 6 ， y c z ；6 ) = 譬一譬( ；i i 孓； ! ：；：弓蔫，e 珏c $ 一6 ，z 6 ”型等型舻- c - 可 c 2 + 2 聊 盯仃i 牡：二! ! 二壁1 2 逛至囹 2 4 边界策略下t 的拉普拉斯变换 参考文献【3 】，考虑到带边界值b 的边界策略的应用让我们考虑破产时t 的分布，即 l ( z ；b ) = e e 一打l x ( o ) = z 】 ( 2 4 1 ) 1 7 尸卢 一 z+ 土 一=t 中其 第二章带投资蝗塑过程模型的按比例分红问题 其中x ( o ) = z 是初始值这是t 的拉普拉斯变换 因为l ( z ；b ) 和y ( z ；b ) 是同一类函数，因此l ( z ；b ) 满足下列微分方程： r 。l , ( z ；6 ) + ( c + w x ) l ( z ；6 ) 一5 l ( x ；6 ) ：o ，0 0 ，r o 如果p = 0 且r = 0 ，则一些更清楚的结果能在文献【4 】中找到 注2 4 1 如果p = 0 且，= 0 ，文献【3 】中有更清晰的结果，而且一些特殊情况 也被考虑进去所以这是一篇非常有用的文章 1 8 曲阜师范大学硕士学位论文 2 5d 的母函数和矩母函数 参照文献【3 】，当应用了带参数b 的边界策略后，到破产时的累积分红的折 现值d 是一个随机变量令 m ( x ，y ；b ) = e 矽d i x ( o ) = z 】( 2 5 1 ) m ( x ，可；b ) 代表d 矩母函数 为了获得m ( x ，秒；b ) 的函数方程，假定0 出) o d t ，可；6 】 ，ti d t = e 【e 印( 可p 1 1 0 坛( 咖6 ) 如一秒p 1 上厶贾( 抄6 ) d s ) ，耖；6 】 = e - 芦l y 出m ( x ，! ，；b ) 化简后可得到下列微分方程 罟嘉脚朋6 ) + ( c + w z - 剐杀聊朋6 ) _ 6 y 南脚胁聊朋驴。， ( 2 5 5 ) 1 9 第二章带投资啦垒u _ 过程模型的按比例分红问题 满足条件 l i r am ( x ，y ；6 ) ：e 孚 霉- 斗 。 此结论可以由( 2 2 4 ) 得到同时m ( x ，；6 ) 和o m 如( z , y ；b ) - 在跳点z = b 是连续 的 因为u o ( x ；b ) =