（应用数学专业论文）非阶化witt型李双代数的结构和block型李代数的表示.pdf

上海交通大学博士学位论文 非阶化w i t t 型李双代数的结构和b l o c k 型李代数的表示 摘要 四类无限维c a f t a n 型单l i e 代数在l i e 代数理论中起着重要作用近 年来出现了不少对c a r t o n 型单l i e 代数进行推广的文章这些代数通常 是阶化的( 即工= o 。r k ，其中r 是某一a b e l 群，使得对于a ，卢r ，玩是 有限维的，且，如】= l a + o ) 与顶点代数相连的l i e 代数或由共形代数 生成的l i e 代数一般是非阶化非线性的l i e 代数我们知道，顶点算子代 数是数学物理中共形场论和统计力学中至关重要的代数结构，决定这些 代数的李代数结构一般是非阶化的由共形代数生成的李代数一般也是 非阶化的从代数的角度看，量子场论就是由共形代数生成的李代数的 表示无限维非阶化李代数也很自然的出现在h a m i l t o n 算子理论中，并 且在数学物理中起着重要的作用目前有关非阶化李代数的研究正如火 如荼，但尚未形成完整的理论体系，因此，对非阶化l i e 代数结构进行 进一步研究是一件有意义的事情导子单结合代数是无限维非阶化李代 数的基本组成部分，利用它可以构造及分类满足特定条件的非阶化李代 数 在非阶化l i e 代数的研究方面k a w a m o t on ，o s b o r nj m 。、d o k o v i e d z 、p a s s m a n 、j o r d a nd a ，苏育才、赵开明、徐晓平等做了大量的 工作特别值得一提的是，徐晓平利用导子单结合代数及局部有限导子 构造了广义c a r t a n 型的四族代数( 参见【9 】) 关于这方面的研究，正受到 越来越多的人的关注我们知道，v e r m a 模以及最高权模在表示理论中 占有重要的地位v e r m a 模在某种意义下是最大的最高权模v e r m a 模 模去其最大的真子模就是我们所熟知的不可约的最高权模不可约最高 权模是李代数表示理论中的重要的研究对象研究v e r m a 模的不可约性 很有意义 本论文共分三部分，第一部分是确定了由徐晓平定义的非阶化广义 w i t t 型李代数上的李双代数的结构；确定了广义v i r a s o r o - l i k e 代数的李双 代数的结构我们证明了这两类李代数上的李双代数都是三角的，上边 缘的第二部分，相对于群g 上的全序，我们定义了一类b l o c k 型李代 中文摘要 数b ( g ) 的v e r m a 模，并完全确定了其可约性；我们还考虑了b c z ) 的伪有 限表示第三部分，构造了结合于量子环面的广义w e y l 代数上的一些表 示，并确定了这些表示之间的同构关系 关键词非阶化广义w i t t 型李代数，广义v i r a s o r o - l i k e 代数，l i e 双代 数，y a n g - b a x t e r - 方程，b l o c k 型李代数，v e r m a 模，q u a s i - f i n i t e 模，w e y l 代数，量子环面 i i 上海交通大学博士学位论文 t h es t r u c t u r e so ft h el i eb i a l g e b r a so f n o n g r a d e dl i ea l g e b r a so fw i t tt y p ea n dt h e r e p r e s e n t i o n so ft h el i ea l g e b r a so fb l o c kt y p e a b s t r a c t t h es t r u c t u r et h e o r ya n dr e p r e s e n t a t i o nt h e o r ya r et w oo ft h ei m p o r t a n tt o p - i c si nt h et h e o r yo fl i ea l g e b r a s t h ef o u rw e l l - k n o w ns e r i e so fi n f i n i t ed i m e n s i o n a l s i m p l el i ea l g e b r a so fc a f t a nt y p eh a v ep l a y e di m p o r t a n tr o l e si nt h et h e o r yo fl i e a l g e b r a s i nr e c e n ty e a r st h e r ea p p e a r e dm a n yp a p e r so nt h es i m p l el i ea l g e b r a so f g e n e r a f i z e dc a r t a nt y p e t h e s ea l g e b r a sa r ei ng e n e r a lg r a d e d ( i e l = o d r l 口， w h e r eri sa na b e l i a ng r o u ps u c ht h a t 口，p p ，工oi sf i n i t ed i m e n t i o n a la n d ，l a l = k + 口) t h ea l g e b r a sw h i c ha s s o c i a t e dw i t hv e r t e xa l g e b r a sa n dc o i n - f o r m a la l g e b r a sa r ei ng e n e r a ln o n g r a d e da n dn o n l i n e a r t h ev e r t e xa l g e b r a sa r e i m p o r t a n tl i ea l g e b r a i cs t r u c t u r e si nc o m f o r m a lf i e l dt h e o r ya n ds t a t i s t i cm e c h a n - i c si nm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s t h e s ea l g e b r a i cs t r u c t u r e sa r eu s u a l l yd e t e r m i n e d b yn o n g r a d e dl i ea l g e b r a s t h el i ea l g e b r a sg e n e r a t e db yc o m f o r m a ia l g e b r a sa r e a l s oi ng e n e r a ln o n g r a d e d t h eq u a n t u mf i e l dt h e o r i e sa r er e p r e s e n t a t i o n so fl i e a l g e b r a sg e n e r a t e db yc o m f o r m a la l g e b r a sf r o mt h ea l g e b r a i cp o i n to fv i e w t h e i n f i n i t ed i m e n t i o n a ln o n g r a d e dl i ea l g e b r a sa l s op l a yi m p o r t a n tr o l e si nh a m i l t o - n i a no p e r a t o rt h e o r y n o w a d a y sm o r ea n dm o r ea t t e n t i o n sh a v eb e e nd r a w e do n i n f i n i t ed i m e n t i o n a ln o n g r a d e dl i ea l g e b r a s ，a l t h o u g ht h et h e o r yo fn o n g a d e dl i e a l g e b r a si sn o tw e l ld e v e l o p e dy e t t h ed e r i v a t i o n - s i m p l ea s s o c i a t i v ea l g e b r a si s t h ef u n d a m e n t a li n g r e d i e n t si nt h ei n f i n i t ed i m e n s i o n a ln o n g r a d e dl i ea l g e b r a s i t c a l lb eu s e dt oc o n s t r u c tn o n g r a d e dl i ea l g e b r a ss a t i s 聊n gs o m es p e c i a lc o n d i t i o n s m a n yp r o g r e e si nt h ef i e l do fn o n g r a d e dl i ea l g e b r a sh a v eb e e no b t a i n e db y d o k o v i cd z 、k a w a m o t on ，o s b o r njm 、j o r d a nda ，o s b o r njm 、 p a s e n m n ，y u c a is u ，k a i m i n gz h a oa n dx i a o p i n gx ua n do t h e r s i ti sw o r t h m e n t i o n i n gt h a tu s i n gd e r i v a t i o n - s i m p l ea l g e b r a sa n dl o c a l l yf i n i t ed e r i v a t i o n s ，x u w a sa b l et oc o n s t r u c tf o u rf a n 血l yo fl i ea l g e b r a so fg e n e r a l i z e dc a r t a nt y p e 9 1 i t i a b s t r a c t i sw e l lk n o w nt h a tw e i g h tr e p r e s e n t a t i o n sa n dv e r m am o d u l e sp l a yi m p o r t a n tr o l e s i nr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y y e r m sm o d u l e sa l ei ns o m e8 e n s et h em a x m a lw e i g h t m o d u l e s t h ei r r e d u c i b l eh i g h e s tw e i g h tm o d u l e sa r et h eq u o t i e n t so ft h ev e r m a m o d u l e sb yt h ec o r r e s p o n d i n gm a x i m a lp r o p e rs u b m o d u l e s ，w h i c ha r eb a s i cs u b - j e c t si nr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y i ti sv e r yi n s t r e s t i n gt oc o n s i d e r i n gt h er e d u e i b i l i t i e s o fs o m ev e r m am o d u l e s t h e p r e s e n tp a p e ri n c l u d e st h r e ep a r t s i nt h ef i r s tp a r tw ed i s c u s st h es t r u c - t u r e so fn o n g r a d e dl i ea l g e b r a so fg e n e r a l i z e dw i t tt y p e ，w h i c ha r ed e f i n e db y x i a o p i n gx u 【9 】，a n dd e t e r m i n et h e i rl i eb i a l g e b r as t r u c t u r e s ；d e t e r m i n et h el i e b i a l g e b r a ss t u c t u r e so fg e n e r a l i z e dv i r a s o r o - l i k ea l g e b r a s w eo b t a i nt h a ta l ls u c h l i eb i a l g e b r a sa r et r i a n g u l a re o b o u n d a r y i nt h es e c o n dp a r tw ed e f i n et h ev e r m a m o d u l e so v e rb l o c ka l g e b r ab ( g ) w i t hr e s p e c tt ot h et o t a lo r d e ro na na b e l i a n g r o u pg ，a n dc o m p l e t e l yd e t e r m i n et h ei r r e d u c i b i l i t i e so ft h e s ev e r m am o d u l e s ；w e a l s oc o n s i d e rt h eq u a s i f i n i t er e p r e s e n t a t i o n so f 艿( z ) i nt h et h i r dp a r tw ec o n s t r u c t s o m em o d u l e so v e rt h eq u a n t i z e dw e y la l g e r ar e l a t e dt ot h eq u a n t u mp l a n e ，t h e i s o m o r p h i s mr e l a t i o n sa m o n gt h e s em o d u l e sa l ea l s od e t e r m i n e d k e yw o r d s n o n - g r a d e dl i ea l g e b r a so fg e n e r a l i z e dw i t tt y p e ，g e n e r a l - i z e dv i r a s o r o - l i k ea l g e b r a s ，l i eb i a l g e b r a ，y a n g - b a x t e r - e q u a t i o n ，l i ea l g e b r a so f b l o c kt y p e ，v e n n am o d u l e s ，q u a s i f i n i t em o d u l e s ，w e y la l g e b r a s ，q u a n t u mp l a n e i v 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果除论文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的 研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完 全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名t 吴月柱 日期：2 0 0 6 年6 月1 0 日 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印，或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文 保密口，在一年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密l l ( 请在以上方框内打“，) 学位论文作者签名：吴月柱指导教师签名：苏育才 日期：2 0 0 6 年6 月l o 日日期：2 0 0 6 年6 月加日 1 1 第零章绪论 o 1 背景及相关结果介绍 近些年来由于无限维非阶化l i e 代数的广泛应用，越来越多的受到l i e 代数 界的关注设f 是一个代数闭域，a l = f 【 1 ，t 孝1 】是竹个变元的l a l l r e n t 多项式代数，d 1 = ( 鼠i i = 1 ，佗) 为他个偏导子张成的有限维的导子空间 则二元组( a 1 ，d 1 ) 是构成四类c a f t a n 型李代数的基本组成部分，称气为降阶化 导子上个世纪8 0 年代k a w a m o t o 在文献 1 1 4 ( 1 9 8 6 ) 中，从二元组( 也，d 2 ) 出 发，构造了广义w i t t - 型的l i e 代数，其中，a 2 = f 【r = 缸o i o r ) 为r 的 群代数，r 为f ”的加法子群，d 2 = ( 毋i i = 1 ，n ) ，茁为a 2 的导子，满足 露0 0 ) = q i 扩，o = ( 口1 ，a 。) r ，称四为阶化导子 o s b o m 在1 9 9 6 年发表的文章【5 】中，利用二元对l 圆a 2 ，d 1 0 d 2 ) 构造了 新的广义c a r t a n 型单李代数d o k o v i c k 和赵开明通过确定特定的子代数，在文献 【9 9 】中推广了上述结果j o r d a n ( 1 9 9 3 年【1 1 3 ，2 0 0 0 年【1 1 2 ) 以及p a s s m a n ( 1 9 9 8 年 3 2 1 ) 证明了若a 是一个具有单位元的交换结合代数，d 为a 的交换导子组 成的空间，则广义w i t 卜型李代数a d = a o d 是单的充分必要条件是a 是 d 单的，并且a d 在a 上的作用是忠实的 2 0 0 0 年徐晓平在 9 】中，构造了新的广义c a f t a n 型单李代数，构成它的二元 组( a ，d ) 中，a = a loa 2 是个半群代数，而它的导子空间扩充为由三种类型 的导子组成，分别是阶化导子降阶化导子和混合导子 苏育才和赵开明构造了广义w e y l - 型单李代数，苏育才和周建华在【4 2 】中， 苏育才在【7 2 】中，分别构造了不同的新的广义c a r t a n - 型单李代数苏育才、徐 晓平、张贺春对( a ，d ) 进行了分类，给出了广义w i t t _ 型l i e 代数的结构空间， 这样广义w i t t _ 型单l i e 代数的种类就完全清楚了苏育才和赵开明还给出了广 义w e y l - 型李代数的结构空间苏育才对广义w i t t _ 型李代数和广义w e y n 型李 代数进行了进一步研究，给出了它们的导子代数，2 _ 上同调群等，并推广了他们 的些结果另外，苏育才还在无限维l i e 代数表示方面做了一些有益的尝试，如 关于8 t ( 2 i ) 的无限维不可分解模的一些结果( 参照文献 4 8 】) b l o c k 于1 9 5 8 年发现了一类单的阶化李代数【1 3 4 ，赵开明等人对这类代数 的结构进行了研究( 1 9 9 6 年【1 2 7 ) ，徐晓平( 1 9 9 9 年 27 】) 对这类李代数进行了推 上海交通大学博士学位论文 广这类李代数及其推广的李代数被统称为b l o c k 型李代数苏育才( 2 0 0 4 年 4 1 ， 1 4 4 ) 对两类特殊的b l o c k 型李代数的权重数有限的不可约模进行了刻画b l o c k 型李代数与v i r a s o r o 代数、v i r a s o r o - l i k e 代数以及c a f t a ns 型的李代数都有密切 的关系 2 第零章，绪论 o 2 本文的主要工作 近来出现了很多有关l i e 双代数结构理论的文章一般说来，所谓l i e 双代数 实际上是一个同时赋予了l i e 代数结构和l i e 余代数结构的向量空间，在l i e 代 数结构和l i e 余代数结构之间满足一个相容条件这个相容条件的提出是基于研 究h a m i l t o n 动力学和p o i s s o nl i e 群的需要提出来的由于l i e 双代数具有双代 数结构，这对于研究满足特定条件的l i e 代数具有特别的意义在文献f 3 6 】中， m i c h a e l i s 给出了一类w i t t - 型l i e 双代数，与此同时，作者还给出了个如何在 一个满足条件t 存在线性无关的两个元素a 和b ，使得陋，6 】= k b ( 对某个非零数 f ，这里f 是一特征为零的固定域) 的l i e 代数上构造一个三角的，边缘l i e 双代数的方法而s i u - h u n gn g ，e a r lj t a f t 对m i c h a e l i s 定义的w i t t - 型的l i e 双代数进行了分类在文献【1 2 5 】中，宋光艾和苏育才确定由d d o k o v i c 和赵开 明定义的一类广义w i t t - 型l i e 代数【3 1 】( 或参照【8 9 ，2 3 ) 的l i e 双代数结构在 第一章中。我们确定了由徐晓平定义的非阶化广义w i t t 型l i e 代数上的l i e 双代 数的结构；确定了广义v i r a s o r o - l i k e 李代数上的l i e 双代数的结构主要定理有一 定理1 - 3 2 ( 1 ) 非阶化广义w i t t 型李代数w 上的任意l i e 双代数结构都是 三角的上边缘的 ( 2 ) 设r i r a ( 1 一r ) cw o i , y ，则r 满足c y b e ( 1 2 3 ) 当且仅当r 满足 m y b e ( 1 3 8 ) ( 3 ) 在伴随作用下( 1 2 1 ) ，将v = wow 看成w 一模，则h 1 ( w ，v ) = d e r 0 4 j ，v ) i m ( w ，v ) = 0 ， 定理1 4 1 ( 1 ) ( 1 4 1 ) 定义的广义v i r a s o r o - l i k e 代数c ( r ) 上的任意l i e 双代 数结构都是三角的，上边缘的 ( 2 ) 设r i r a ( 1 7 ) cc ( r ) o c ( r ) ，则r 满足c y b e ( 1 2 3 ) 当且仅当r 满 足m y b e ( 1 3 8 ) ( 3 ) 在伴随作用下( 1 2 1 ) ，将v = c ( r ) o c ( r ) 看成c ( r ) 一模，则h 1 ( c ( r ) ，v ) = d e r ( c ( r ) ，”i 肌( c ( r ) ，矿) = 0 b l o c k - 型李代数是一类非常重要的李代数在文献【1 3 4 】中，b l o c k 给出了 一类特征0 域上的一类单李代数，徐晓平对这类代数进行了推广这些李代数及 其推广的李代数被统称为b l o c k 型李代数b l o c k 型李代数与v i r a s o r o 代数， 3 上海交通大学博士学位论文 v i r a s o r o - l i k e 代数以及c a f t a ns 型的李代数都有密切的关系赵开明苏育才 徐晓平等对b l o c k 型李代数进行了研究1 3 t ，1 2 8 ，8 2 ，4 1 ，2 7 ，1 0 ，1 3 7 ，1 3 8 在第二 章中，我们主要研究了一类b l o c k 型李代数的v e r m a 模及其拟有限表示主要结 果有， 定理2 2 1 ( 1 ) 不可约最高权8 ( z ) 模是拟有限的当且仅当它是某个v e r m a 模的非平凡商模 ( 2 ) 设a b ( g ) 5 对应于g 的稠密序( d e n s eo r d e r ) ( “) ( 参见( 2 3 4 ) ) ， b ( a ) 的v e r m a 模m ( a ，卜) 是不可约的当且仅当a 0 当a = 0 时。如果令 m ，( 0 ，卜) = f l ，i l k “v o ， k o ，o l ，o e g + 则m ( o ，卜) 是m ( 0 ，卜) 的不可约子模当且仅当对任意的茁，g + ，总存在个正 整数扎使得n z 卜! ， ( 3 ) 对应于g 的离散序( d i s c r e t eo r d e r ) “卜”( 参见( 2 3 5 ) ) ，召( g ) 一模m ( a ，卜) 是不可约的当且仅当 靠( a ，卜) 是不可约的u ( a z ) 一模( 参见2 3 2 ) 定理2 4 2 下面的条件是等价的t ( 1 ) m ( a ) 可约 ( 2 ) p - 1 o ) ( 3 ) ( 2 ) 是拟多i 赋( q u a s i p o l y n o m i a l ) ( 4 ) l ( a ) 是拟有限的( q u a s i f i n i t e ) 量子平面是量子群的重要组成部分，目前已经引起许多作者的注意( 参见， 【1 3 9 ，1 4 0 ，9 5 ，1 4 l ，1 4 2 ，6 4 ，1 4 3 1 ) 在第三章中，我们给出结合于量子环面的量子化 w e y l 代数的一些表示，并确定了这些表示之间的同构关系主要结果有t 定理3 2 1 ( 1 ) 在( 3 2 1 ) 的作用下， 矗( 口，b ) 是个不可约的a 旷模 ( 2 ) m 1 ( a l ，b 1 ) 望m 2 ( a 2 ，5 2 ) 当且仅当存在七z 使得 0 1 + 后= 口2 ，b t q = b 2 ( 3 ) a u t 尬( o ，皇c 定理3 2 2 ( 1 ) m j ( o ) 是一个不可分解的4 2 ，r 模，且有一个不可分解子模 的滤过一 cm ( 2 n + l ( o ) c 心”( n ) c 瞒1 ( n ) c 叫o ( o ) = ( ) ， 4 第零章，绪论 其中 叫“( 口) = , p - - t t l ( t 2 一m 3 ) ”t im l ，m 2 ，m 3 z ，m 2 n 是由垮生成的子模 ( 2 ) 磁”( 口) = 磅( 口) a 删( o ) 是不可约的，且j ! ( 磐( o ) 垒剜”( n ) ，y m ，n n 记a 瓦( d ) = 五毋c a ) ，则实际上定义在c 陋 1 ，砖2 】上的a 2 ，r 模结构是由 e 。f ( h ，t 2 ) = t ? 1 笋，( 口。t l ，t 2 ) ， a + ，= a f + t 1 两0 ，如，= 如瓦0 ， 给出的 ( 3 ) a u t 觑( o ) 垒c 定理3 2 3 ( 1 ) m 3 ( b ) 是不可约的凡，口模 ( 2 ) m 3 c h ) 掣坞( 6 2 ) 铮b l = b 2 ( 3 ) a u t 蝎( 6 ) 型c + 定理3 3 1 ( 1 ) a 矗( o ，b ) 是不可约的一4 2 模 ( 2 ) 如( 血1 ，b 1 ) 垒慨( 0 2 ，b )甘o 2 一0 1 ，b 2 一b l z 定理3 3 2 ( 1 ) ( 口，b ) 是不可约的4 2 模 ( 2 ) m s ( a l ，6 1 ) 垒尬( 纰，6 2 ) = = 争d 1 = o , 2 ，b l = 6 2 定理3 3 3 ( 1 ) 4 2 模坛( 口，6 ，是不可约的当且仅当a 4gz + 如果旷1 = k z + ，则朋；( o ，b ) = ( t l o ) “c 陋 1 ，砖1 】是 靠( o ，6 ) 唯一的真子模 ( 2 ) m d a l ，b 1 ) 垡 磊( 口2 ，6 2 ) 车= 争b 1 6 2 z 5 第一章非阶化广义w i t t _ 型及广义v i r a s o r o - l i k e 李双代数 1 1 背景介绍 近来出现了很多有关l i e 双代数结构理论的文章一般说来，所谓l i e 双代数 实际上是个同时赋予了l i e 代数结构和l i e 余代数结构的向量空间，在l i e 代数 结构和l i e 余代数结构之间满足个相容条件这个相容条件的提出是基于研究 h a m i l t o n 动力学和p o i s s o nl i e 群的需要提出来的由于l i e 双代数具有双代数结 构，这对于研究满足特定条件的l i e 代数具有特别的意义l i e 余代数的概念是由 m i c h a e l i 8 在文献 37 】中提出的，同时作者还讨论了相对于l i e 代数来说，l i e 余 代数的一些性质在文献f 3 6 】中。m i c h a e l i s 给出了类w i t t - 型l i e 双代数，与 此同时，作者还给出了一个如何在一个满足条件t 存在线性无关的两个元素。和 b ，使得【a ，6 1 = 肋( 对某个非零数k f ，这里f 是一特征为零的固定域) 的l i e 代 数上构造一个三角的，边缘l i e 双代数的方法而s i u - h u n gn g ，e a r lj t a f t 对 m i c h a e l i s 定义的w i t t 一型的l i e 双代数进行了分类在文献【1 2 5 】中，宋光艾和 苏育才确定了由d d o k o v i c 和赵开明定义的一类广义w i t t - 型l i e 代数 3 1 1 ( 或 参照【8 ，9 ，2 3 ) 的l i e 双代数结构在本章中我们的主要结果是确定了由徐晓平定 义的非阶化的广义w i t 型李代数的李双代数的结构；确定了广义v i r a , s o r o - l i k e 代 数上的李双代数的结构 1 2 基础知识 在本章中我们用f 记一特征为零的域。用7 记l o l 的扭映射，即r c z c d y ) = y o 茁f ：l o l l l 固l 圆l 为一线性的循环置换映射，即( z l o x 2 0 x 3 ) = $ 2 圆如。茹1 首先让我们回忆一下有关李双代数的基本概念 定义1 2 1 令l 为一f 上的向量空间，妒：工。工一三是一双线性映射，我 们称二元对( l ，妒) 是一l i e 代数，如果满足下列条件 1 ) k e r ( 1 一nck e r i ，o 1 是l 圆l 的恒等映精) ， 俐妒( 1 0 妒) ( 1 + f + 2 ) = 0 ：工固l o l _ l 6 第一章；非阶化广义w i t t - 型及广义v i r a s o r o - l i k e 李双代数 注意到k e r ( 1 一r ) = s p a n x p z 陋l ，并且i r a ( 1 + r ) ck e r ( 1 一r ) ，并且，如 果c h a r c f 2 时等号成立，定义( 1 2 1 ) 中的条件( 1 ) 就可以用下面的条件来代替 ( 1 7 ) ：妒= 一妒- r 定义1 2 2 令m 是f 上的一个向量空间，? m - + mpm 是一线性映 射，二元对( m ，) 称为f 上的l i e 余代数，如果它满足下列条件 以，i m acl m ( 1 一r ) ， f 2 ) 1 1 + + t 1 圆a 、= 0 ：m m 圆m o m 这里称为m 的余乘法运算或者称为余方括号运算或者称为m 的对角运 算条件( 1 ) 称为强反交换性，条件( 2 ) 称为j a c o b i - i d e n t i t y 与定义1 2 1 类似， 因为i m ( 1 一r ) c k e r ( 1 + r ) ，如果c h a r c f 2 时。等号成立，定义( 1 2 2 ) 中的条 件( 1 ) 可以用下面的条件来代替 ( 1 ) a = 一1 定义1 2 3 如果( 尬，1 ) 与( m 2 ，a 2 ) 是两个l i e 余代数，从( 舰，1 ) 到 ( m 2 ，a 2 ) 的态射是一个线性映射 f ：m 1 一 使得 2 f = ( f o ，) a 1 定义1 2 4l i e 余代数( n ，) 称为是l i e 余代数( m ，a m ) 的子代数，如果 是向量空间m 的子空问并且使得包含映射 i n ：n _ m 是l i e 余代数的态射 定义1 2 5 令l 是域f 上的向量空间，l i e 双代数是一满足下列条件的三 元对( l ，妒，) ， f 砂( l ，妒) 是一l i e 代数， 俐( 厶) 是一l i e 余代数， 俐妒( z ，”) = 窖a y y z ，对所有的z ，l 这里对所有的而m ，玩l ， ( 毗。以) = ( 陋，啦j 。巩+ 啦固辟，饥j ) ( 1 2 1 ) t 7 上海交通大学博士学位论文 这里【7 j 】= 妒，在不引起混淆的情况下，我们习惯上用【i 】来代替妒 注解1 2 6l i e 双代数定义中的相容条件，纠与双代数定义中的相容条件并非 平行的，双代数中的相容条件是是一代数态射，即妒= ( 妒0 妒) ( 1 0 f 0 1 ) a o a 但是在l i e 双代数中是l 一三。二的导子因此l i e 双代数的性质和双代敷 的性质并非完全类似的 定义1 2 7 从l i e 双代数( l 1 ，妒l ，1 ) 到l i e 双代数( 岛，忱，2 ) 的线性映射 ，称为这两个l i e 双代数之问的一个态射。如果，是l i e 代数( l 1 ，i p l ，) 到l i e 代 数( l 2 ，忱，) 的态射，同时，又是l i e 余代数( l 1 ，1 ) 到l i e 余代数( 如，2 ) 的 态射 定义1 2 8 令l 是域f 上的向量空间，四元对( l ，仍a ，r ) 称为上边缘l i e 双代数，如果( l ，妒，a ) 是一个l i e 双代数，并且r i r a ( 1 一f ) cl 固l 使得 是r 的一个上边缘，即对任意的z l ( 善) = z r ( 1 2 2 ) 定义1 2 9 上边缘l i e 双代数( l ，妒，a ，r ) 称为三角的。如果它满足经典的 拖哪一b a x t e re q u a t i o n 何y b e ) c ( r ) ：= 1 2 r 1 3 】+ 【r 1 2 ，r 船1 + r 1 3 ，r 2 3 】= 0 ( 1 2 3 ) 这里，如果r = 啦。堍l o l ，甜( z ) 记l 的普遍包络代数，则 i r ”= m 圆玩p 1 甜( z ) o u q ) d 甜( j ) ， t r 1 3 = a 圆1 0 玩u q ) o “( z ) p “( z ) ， t r = 1 0 a i o6 u q ) o u q ) “( f ) i 这里1 是u q ) 的恒等元，并且 【r 1 2 ，r 1 3 】= 【啦，a j 】o 饥。幻l 固l o l 臼 【r 1 2 ，r 2 3 】= 啦，o 【“，a k 】o “l o l l i , k 【r ”，r 】= a j o 口k 圆【b ，k 】l p l o l ，k 8 第一章；非阶化广义w i t t 一型及广义v i r a s o r o - l i k e 李双代数 令三是一l i e 代数，则二圆三在l 的伴随对角作用下，是个i 广模并且 如果re i m ( 1 一订c l o l ，定义线性映射 a = 辞：l _ 工0 工 使得 ( $ ) = $ r 显然i m a c m ( 一神，而且 。 陋，引= 2 a y y z 因此如果满足j a c o b i - i d e n t i t y , 则( l ，【7 】) 是上边缘l i e 余代数 下面的例子来自【3 6 】，它给出了个是边缘l i e 双代数但不是三角的例子 例题1 2 1 0 令l 是乒维欧式空间，e 1 e 2 ，e 3 是它的一组基，它的方括号运 算由下是给出t f e l ，e 2 】= e 3 ，【e 2 ，e 3 】- e l ，【e 3 ，e l 】_ e 2 则，【，l 是一l i e 代数令 r 2e l oe 2 一e 2 圆e l i r a ( 1 一r ) c l o l 对于所有的z 丘定义a ：工_ l o l 如下。 ( 。) ：= r = 陋，e l 】固e 2 一e 2 0 陋，e 1 1 + e l 固陋，e 2 】一p ，e 2 l oe 1 特别的，我们有 a ( e 1 ) = e l oe 3 一e 3 0e l ， a ( e 2 ) = e 2 0e 3 一e 3 0e 2 ， a ( e 3 1 = 0 下面我们验证( l ，j ，) 是一l i e 双代数 首先我们验证( 厶) 是一个l i e 余代数 显然有l m ( a ) cl m ( 1 1 - ) 因此我们只需验证对所有的z l 有 ( 1 + f + f 2 ) ( 1 0 a ) ( z ) = 0 由其线性性，我们只需对z e l ，e 2 ，e 3 验证上式成立即可首先 a ( e 1 ) = e l oe 3 一e 3 0e l 因此 ( 1 固a ) a ( e 1 ) = - - e 3 ( e l oe 3 一e 3 固e 1 ) = e 3 0 e 3 0e 1 一e 3 0e l oe 3 为方便期间我们用( a ，b ，c ) 代替( e 。，e b ，e o ) 则 9 上海交通大学博士学位论文 ( 1 + f + f 2 ) ( ( 3 ，3 ，1 ) 一( 3 ，1 ，3 ) ) = ( 3 ，3 ，1 ) + ( 3 ，1 ，3 ) + ( 1 ，3 ，3 ) - ( 3 ，1 ，3 ) 一( 1 ，3 ，3 ) 一( 3 ，3 ，1 ) = 0 类似的，我们有 ( 1 + f + 2 ) - ( 1 0 ) a ( e 2 ) = 0 因为( e 3 ) = 0 ，故( 1 + + 2 ) ( 1 0 ) a ( e 3 ) = 0 是显而易见的所以( l ，) 是一l i e 余代数由的定义很容易验证是工。工一l 的导子，由l i e 双代 数的定义知( l ，【，】，r ) 是上边缘l i e 双代数 下面我们要说明这个上边缘l i e 双代数( 厶【， ，r ) 不是三角的，即c ( r ) 0 对于r = e 1 0e 2 一e 2 0e l ，我们有 r 1 2 = e l oe 2 0 1 一e 2 0e 1 0 1 ， r 1 3 = e 1 0 1 0e 2 一e 2 0 l oe h r 2 3 = l o e l o e 2 1 0 包圆8 l ， 【r 坡，r ”】= - e 1 ，e 2 】oe 2 e 1 一【e 2 ，e l 】oe l oe 2 ， 矿”，r 1 = e l o 【e 2 ，e l 】固e 2 + e 2 0 e l ，e 2 】oe l ， 以及 【r 1 3 ，r 船】= - - e i 固e 2 【e 2 ，e l 】一e 2 0e l o 【e 1 ，e 2 】， 因此 【r 1 2 ，r 1 3 】= - - e 3 0e 2 0c 1 + e 3 0e 1 e 2 ， 【r 1 2 ，r 2 3 】= - - e loe 3 0e 2 + e 2 西e 3 0e l ， 以及 【r ”，r 2 3 】= e l oe 2 0e 3 一e 2 0e l oe 3 ， 故 e ( f ) = 【r 1 2 ，r 1 3 】+ 【r 1 2 ，r 2 3 】+ 【r 1 3 ，r 】 = 一( 3 ，2 ，1 ) + ( 3 ，1 ，2 ) 一( 1 ，3 ，2 ) + ( 2 ，3 ，1 ) + ( 1 ，2 ，3 ) 一( 2 ，1 ，3 ) 这就 0 证明了，【，】，r ) 是一个上边缘的l i e 双代数，但不是三角的 下面的定理是文献 3 7 】中的