（应用数学专业论文）奇异超线性二阶neumann边值问题的多重正解.pdf

摘要 对大多数作者来说，奇异二阶微分方程的研究已经有了一些初步的研究成果 ( 参见文献 1 9 】) 大部分论文主要讨论p ( 。) = 一l ，q ( z ) = o 和p ( z ) = 1 ，口( o ) o 然而，对于p ( z ) 1 且q ( z ) o 主要的结论还没有在文献被提出和推广 本论文主要研究具有奇异超线性的n e u m n n 边值问题多重正解存在性问题证 明了在一些合理的条件下，且非线性项具有奇异和超线性时，此问题至少存在两个正 解证明主要依赖非线性l e r a y s c h a u d e r 抉择定理和反应扩散锥上的k r a s n o s e l s l c i i 不动点定理，同时格林函数在证明中也起到了非常重要的作用 第一个正解是运用非线性l e r a y - s c h a u d e r 抉择定理得出，第二个正解是用锥不 动点定理被发现的除了锥不动点被用在存在性问题上，另一个工具一上下解方法 一也被广泛应用( 参见文献【1 5 ，8 ，1 3 ，1 5 】) 事实上，上下解方法是非常普遍的被应 用在解的存在性问题上 关键词：n e u m a n n 边值问题；奇异超线性方程；正解；l e r a y s c h a u d e r 抉择； 锥不动点定理；格林函数 a b s t r a c t t ot h ek n o w l e d g eo ft h ea u t h o r s ，s i n g u l a rs e c o n d o r d e rd i 往色r e n t i a l e q u a t i o n b o u n d a yv a l u ep r o b l e m sh a eb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l yi nt h el i t e r a t u r e m o s t p a p e r sa r ec o n c e r n e dw i t ht h ec a s ep ( z ) = 1 ，q ( 。) = oa n dp ( z ) = 一1 ，g ( 。) o h o w e v e r ，f o rt h ec a s ep ( z ) 1a n d 口( z ) o ，t h em a i nr e s u l t sh a v en o tb e e ni m p r o v e d a n dg e n e r a l i z e di nt h el i t e r a t u r e i nt h i sp a p e r ，w ea r ed e v o t e dt oe s t a b l i s ht h em u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n s t os u p e r l j n e a ra t 七r a c t i v es i n g u l a re q u a t i o n sw i t hn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n s i t i sp r o v e dt h a ts u c ha p r o b l e mh a sa t1 e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n su n d e ro u rr e a s o n a b l ec o n d i t i o n s o u rn o n l i n e a r i t ym a yb es i n g u i a ri ni t sd e p e n d e n tv a r i a b l ea n d s u p e r l i n e a ra 七i n f i n i t 矿t h ep r o o fr e l i e so nan o n l i i l e a ra l t e r n a t i v eo fl e r a y s c h a u d e r t y p ea n do nk r a s n o s e l s k i in x e dp o i n tt h e o r e mo nc o m p r e s s i o na n de x p a n s i o no f c o n e 8 t h eg r e e nf u n c t i o ni sa l s oi m p o r t a n ti nt h ep r o o f t h ee x i s t e n c eo ft h ef i r s t8 0 l u t i o ni so b t a i n e du s i n gan o n l i n e a ra l t e r n a t i v e o fl e r a y s c h a u d e r ，a n dt h es e c o n do n ei sf b u n du s i n gaf i x e dp o i l l tt h e o r e mi n c o n e sb e s i ( l e s 丘x e dp o i n tt h e o r e m si nac o n eu s e di nt h ee x i s t e n c ep r o b l e m s ，a n o t h e r t o o l 一一t h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s i sa l s ou s e di nt h el i t e r a t u r e f l 5 ，8 ， 1 3 ，1 5 i nf a c t ，t h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n si sm u c hm o r ef r e q u e n t l y u s e d k e yw o r d s ： n e u m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；s u p e r l i n e a rs i n g u l a re q u a t i o n s ； p o s i t i v es o l u t i o n s ；l e r a p s c h a u d e ra l t e r n a t i v e ；f i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e s ； t h e g r e e n sf u n c t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：奎牵蝈 日期：垫鱼。区丛 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：粗 日 期：砬：区够 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名：糨嗜 日 期：迭班签 电话： 邮编： 一引言 本文研究下面奇异n e u m a n n 边值问题： _ 竺! 。) ) 7 ! 。鼍= 口( ，“) ，。，= o ，1 j ， f 1 1 ) ( o ) = o ，( 1 ) = 0 、 全文假设 ( s 1 ) 9 ( z ，1 。) e ( ，r + ，咒+ ) ，一0 1 ( ) ，口g ( ，) ，p 0 ) o ( z 工) ，q ( z ) o ， 其中r + = ( 0 ，o 。) 我们主要关心的是非线性项g ( z ，“) 在“= 0 是具有奇性的；9 ( o ，“) 在= + o 。 是超线性的 在物理学上，如果 1 1 璎9 ( o ，) = + o 。， ( 1 2 ) 称f 1 1 ) 在u = o 是吸引奇异的 如果 。旦9 ( 马“) u2 + o o ， ( 13 ) 称( ) 在u = + o 。是超线性的 对大多数作者来说，奇异二阶微分方程已经有了一些初步的研究成果( 参见文 献 1 9 1 ) 大部分论文主要讨论p ( $ ) = 一1 ，q ( z ) = o 和p ( z ) = 一1 ，q ( z ) o 然而， 对于p ( ) l 且口( g ) o 主要的结论还没有在文献被提出或推广 在过去的二十多年，许多作者研究过无奇异n e u m a n n 边值问题( 参见文献2 ， 3 ，6 ，9 ，1 0 ，1 l ，1 2 ，1 4 ，1 8 】) 文献中也有一些关于( 11 ) 存在性的结果，这里我们只 提及它们中的三个，文献 1 0 】，当p ( z ) 1 ，q ( z ) = m 2 o 时，蒋和刘研究了在 9 ( z ，u ) 是超线性或者次线性的假设下一个正解的存在性，文献1 1 4 ，1 8 i ，在比文献 1 0 】的条件更弱的情况下证明了( 1 1 ) 至少两个正解的存在性 本文的主要目的是研究奇异n e u m a n n 边值问题( 11 ) 的多重正解存在性证明 了这样的问题在合理的条件下至少存在两个正解，第一个正解是通过非线性l 哥 s c h a u d e r 抉择定理得出，第二个正解是用锥不动点定理证明的 除了锥不动点被用在存在性问题上，另一个工具一上f 解方法一也被广泛应用 ( 参见文献 1 - 5 ，8 ，1 3 ，15 】) 事实上，上下解方法是非常普遍的被应用在解的存在性 问题上 本文余下的部分是这样组织的第二部分详细的介绍了格林函数和它的正性 第三部分给出了在证明中要用到的引理和定理第四部分主要研究正解的情况，其 中9 ( z ，u ) 是正的，第一个正解由l e r a p s c h a u d e r 抉择定理得到，第二个正解由锥 中9 ( z ，u ) 是正的，第一个正解由l e r a p s c h a u d e r 抉择定理得到，第二个正解由锥 】 不动点定理证明半正即9 ( z ，u ) 一吖对于m 0 ，在第五部分中研究，第一个 正解由锥不动点定理得到，第二个正解由上下解方法证明一些用于解释的例子在 第四部分和第五部分给出 2 二格林函数和它的正性 本节主要介绍一些在第四节和第五节需要用的关于格林函数的一些性质 边值问题 勰攀j 然蚝k 【0 ，1 】 - ， iu ，( 0 ) = o ，u ”) = o ； 、7 其中p ( z ) g 1 ( ，) ，p ( ) o ( g ，) ，g ( 。) o ，g ( z ) g ( ，) 引理2 1 假设( s 1 ) 成立，又设齐次边值问题( 2 1 ) 只有零解，则必存在两个函数 m ( z ) 和n ( z ) 满足： ( i )m 扛) g 2 ( ，r ) ，n 如) g 2 ( ，r ) ； ( i i )l m = 一扛) m ，) ，十g 扛) m = o ，m ( o ) = l ，m ( o ) = o ； ( i i i )工n = 一( p ( z ) n 7 ) 7 + g ( 。) n = o ，n ( o ) = 1 ，n 7 ( o ) = o ； ( i v )m ( z ) 和n ( 。) 线性无关； ( v )p ( 。) ( m 协) n ( z ) 一m ( 。) n 协) ) ；u 是非零常数 证明：设m l ( ) 和m 2 ( 。) 是方程三m = o 的一个基本解组，由于w r o n s k y 行列 式 郇，= | 捌裂j 删， 因此可以取常数z 1 ，f 2 ，9 1 ，9 2 满足 jf l m l ( o ) + f 2 m 2 ( o ) = 1 ， lf l m ：( o ) + z 2 m ：( o ) = o 和 j9 1 m 1 ( 1 ) + 口2 m 2 ( 1 ) = 1 ， lq l m i ( 1 ) + q 2 m ：( 1 ) = o 令 则m ( 。) ，n ( 。) 显然满足( i ) ，( i i ) ，( i i i ) 下证( i v ) 若( i v ) 不成立，则存在常数c o ， 使m = m 从而m ( o ) = m ( 1 ) = o ，即m 是齐次边值问题( 2 1 ) 的非零解，与条件 矛盾最后证明( v ) 直接计算知，对于任意的m g 2 ( n n g 2 ( ，) ，有 ( p 扛) ( m 扎一竹m ) ) = m 工n n 三m 3 茹 o “ 盯 盯 如驰 + 卜 m mh 吼 = | | 扛m 呱 ，-cl【 因此，若m 和扎由m ( z ) = 2 1 m 1 ( z ) + f 2 m 2 ( z ) ，n ( z ) = 口l m l ( z ) + q 2 m 2 扛) 确定，则由 于m 和n 满足( 咄( i i i ) ，必有 0 扛) ( m n n m ) ) 7 = o 从而存在常数u ，使得 p ( 窖) ( m n n m ) 三u 但因p ( z ) o ，m 7 n n m o ，故u o 引理21 证毕 令 q = ， q 1 = “z ，y ) q 1 0s 。可l q 2 = ( ( z ，y ) 0 l o z s1 ) 定义g ( 。，) 是边值问题( 2 1 ) 的格林函数 g 沪 攀嚏鬻： 这里u 见引理2 1 注2 2 如果方程( 1 1 ) 中p ( z ) 兰l ，q 【。) = m 2 ( m o ) ，贝 j m ( z ) = = e h 7 n z ，礼( z ) = e 九”t ( 1 一。) ( 2 2 ) 其中m ( 。) ，n ( z ) 见引理2 1 引理2 3 假设( s 1 ) 成立，又设引理2 1 条件满足，则由( 2 2 ) 定义的格林函数有 下列性质： ( i )g ( 。，) 在q 上连续 ( i i )g ( z ，9 ) 在q 上是对称的，即g ( 。，) = g ( ，z ) ( i i i )g ( 。，g ) 在0 l ，q 2 有连续的偏导数硅， ( i v )对于固定的g j ，g ( z ，f ) 满足 且 三g ( z ，) = o ，当。，。时 r 1 ( g ) = 疡( g ) = 0 ，当y ( o ，1 ) 时 ( v )当。= 时，有第一类间断点，并且 ：( 口扎加：( g _ o 沪一志，。( o ，1 ) 证明：由格林函数g ( z ，9 ) 的定义( 2 2 ) 及引理2l 易知引理2 3 结论全部成立 4 引理2 4 假设( s 1 ) 成立，又设引理2 1 条件满足，则由( 2 2 ) 定义的格林函数还 有下列性质： ( i )7 n ( 。) 是单调增加连续函数，并且m ( z ) 0 ，茁( o ，1 - ( i i )( z ) 是单调减少连续函数，并且n ( z ) o ，z o ，1 ) ( i i i ) u 0 证明：首先证明( i ) 假设m ( z ) o 不成立，则存在常数o ( o ，1 l ，使得m ( o ) = o ， 且m ( z ) o ，z 0 ，o ) 由 ( p ( z ) 口，) + q ( 。) m = o ， 。，= o ，1 ， 则 ( p ( z ) m 7 ( z ) ) 7 o ，。 o ，o 】， 所以 p ( z ) m 7 ( 。) p ( o ) m ( o ) = o ， 即 m 7 扛) 0 已知m ( o ) = 1 ， 。( o ) = o ，这样得到了一个矛盾从而m ( z ) 0 成立 接下来往证m ( 。) 是单调增加的由 一p 0 ) m ) + g ( z ) m = o ，z j = 0 ，l j ， 且m ( ) o ，则 扫( z ) m ( z ) ) 0 ，。j = o ，l 】， 即 p ( $ ) t 7 ( ) p ( o ) m ( o ) = o ， 亦 p ( z ) m ( z ) o 则 m ( z ) o ，。j = o ，1 】， 即m ( 。) 是单调增加的由引理2 1 ，m ( z ) 是连续的 类似的，我们也可以证明( i i ) 最后证明u 是正的因为p ( z ) ( m ( z ) n ( z ) 一m ( z ) ( z ) ) ；u ，且由( i ) 和( i i ) 知， 所以u o 引理2 4 证毕 问题 引理2 5 1 6 】假设引理2 1 条件满足，又设9 ：【o ，o 。) _ 0 ，o 。) 是连续的，则边值 一( p ! 。气r 土墨。鼍2 9 扛lo s 。l ( 2 3 ) i u ，( o ) = o ，“( o ) = o ； 、 有唯一的一个解，且这个解可以由 r l ( z ) = g ( 茁，) g ( 可) d 可 j 0 ( 2 4 ) 确定其中g ( z ，f ) 由( 2 2 ) 定义 由引理2 1 、引理2 3 、引理2 4 、引理2 5 、可以发现，对于。，【o ，1 】， a 型幽( 鬻，器) 华掣 o 且o d o 定理4 1 假设9 ( z ，“) 满足下面条件： ( 日1 ) 任意的常数二 o ，存在函数丸卜。使得g ( 。，u ) 丸( z ) ，v ( z ，“) f o ，1 】( o ，珥这里丸 - o 意味着对所有的z 【o ，1 】札( z ) o 和对在一个正测度的 子集上的z ，札( o ) o 由例子g ( ，“) = 6 ( ) 一o + c ( z ) 口+ e ( ) 和9 ( z ，“) = b ( z ) u o + c ( 。) e “+ e ( z ) ， 卢 o ，则关于9 ( z ，”) 做如下的假设； ( 凰) 在( o ，o 。) 存在连续非负函数，( “) 和危( u ) 使得 9 ( z ，) ，( ) + ( u ) ，v ( ，“) 【o ，1 ( o ，o 。) 而且“( o ，o 。) 时，( “) o 是不增的函数，h ( u ) 庙( “) 是不减的函数 ( 凰) 存在一个正数r 使得 币顶再毓 忪 其中一和w ( ) 见第2 节 则( 1 1 ) 至少存在一个正解且o l r 证明：我们将利用l e r a y s c h a u d e r 抉择定理来证明解的存在性 令0 = ( n o ，n o + 1 ， ，其中选择n o l ，2 ， 使得 i u | | ，( 口r ) ( 1 十 ( r ) ，p ) ) + 1 n o r 见( 风) 固定n 0 考虑下面的方程 j 剿? 7 土野皿_ 概扛川扛”加扛) 0 呸1 ) ( 4 1 ) i “即) = o ，”) = o 、7 其中a 【o ，1 】且鼽( 。，“) = 9 ( z ，m a x 如，1 加) ) ，( z ，“) 【o ，1 r 则问题( 4 1 ) 等价于 在g 【o ，1 上的不动点问题 “= a 死“+ l n ，( 4 2 ) 其中矗由下式定义 ( z k 就) ( z ) = g ( z ，) 9 。( 可，“( 掣) ) d 封( 4 3 ) 则对【o ，1 ，( 4 2 ) 的任意不动点“一定满足i r 若不然，假设对一a o ，1 】， “是( 4 2 ) 的一个解由鼽( 。，“) o 在根据引理3 3 ，协，“( z ) 1 n 且r “( 。) 1 加+ a 忙一1 n 限由n o 的选取知，l 加1 n o 盯r ( 4 4 ) 由( 4 4 ) 和条件( 凰) ，对任意的。， ，l “( z ) = a g ( z ，可) 9 。( 可，“( 可) ) d y + 1 礼 ju ，1 g ( 口，可) 9 ( 可，u ( 可) ) d 可+ l n j u ，l g ( 口，可) ，( “( 可) ) ( 1 + ( “( 可) ) ，( “( 可) ) ) d 可十1 n j 0 j 叫j j ，( 盯r ) ( 1 + p ) ，( r ) ) + 1 扎o ( 4 5 ) 因此 r = | f 岳l | si i u i f ，( 盯r ) ( 1 + 九( r ) ，p ) ) + 1 n o 则与n o 的选取矛盾，所以v a o ) 】 ，( 4 2 ) 的任意不动点一定满足i r 由前面的证明和l e r a y s c h a u d e r 抉择定理知( 42 ) ( a = 1 ) 有一个不动点，记为 “。，在辟中，问题 e 鼎? t i ? m 向，叫) + “功p bo o ， 这里1 表示通常意义下的在( 0 ，1 ) 上的三1 一模 所以 ”出) = z 1 g ( 砌) 乳( 灿如) ) 咖十l 加 = z 1 g ( 剐) 9 ( 舭如) ) 曲+ l n z 1 g ( 刚) 州9 ) 咖+ 1 n = “r 扣) + 1 n 三a i i r i | 1 = ：d ， 为得到相对原始问题( 1 1 ) 的转换问题( 4 6 ) 的解“。，需要证明 所有的n 竹o ，有 1 1 “圳日 因为d u 。( 。) r ，令 则 尬2 黑】嚣1 9 ( 刚)【o ，l 】“限r 1 。 2 。必。1 旧( 。，州 z ， o ，1 】 “。 u 圳2 蹄j “2 邪南哦( z ，) 9 ( y 胁( 9 ) ) 晒= ：日 存在常数日 o 和 ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 由| | “。i 【 r 和( 4 8 ) 知 u 。) 。0 在【o ，l 】上是有界的而且等度连续根据a r z e l a - a s c o l i 定理知 “。) n 挑存在一个子序列t “。) 蚝，在 o ，1 】上一致收敛到函数u c 0 ，1 j 由f j u n i i r 和( 4 7 ) ，“满足j su p ) r 而且，“。满足积分方程 ，l “n 。( $ ) = ng ( z ，) 9 ( 胁t ( y ) ) 由+ 1 札 令 - 。，因为9 ( 茹，u ) 在 0 ，l 】【d ，r 】是一致连续的，则 ，1 ( z ) = g ( ，可) 9 ( 掣，钍( 可) d 耖， j u 所以“是( 1 1 ) 一个正解 最后不难证明j 0 ，且卢 o 是一 个正数则 ( ) 当卢 o ；且 ( i ) 当卢兰l 时，( 1 1 ) 至少存在一个正解对于任意的0 p o ， c o 。u c ( z ) o ， e o 。1 警e ( z ) o 则( 凰) 的存在条件即为p 堂毪笋， 所以( 41 ) 至少存在一个正解，如果 0 卢 0 口。严+ 1 川| | 一6 0 e o r o 注意到当卢 r 使得 鬲丽矸蒜雨7 而丽剑刚， 其中。和u ( 。) 见第2 节 则除了定理4 1 中构造的解u 外，问题( 1 1 ) 至少还存在另一个解且r 恻l r 证明：令u = g o ，1 ，为矿中的锥，令q 1 = 研，n 2 = b 凡是x 中的球由算 子t ：n ( 彘2 n 1 ) _ 斗即 r l ( t “) ( z ) = 7g ( z ，可) g ( 可，仳( ) ) d ( 4 1 3 ) j 0 及的定义，对任意的u k n ( 矗2 n 1 ) 都有o 口r “( z ) s 兄， 1 1 首先证明当“na n l 时，归u i | - 事实上，如果当na q l 时， “| | = r 与前面( 4 5 ) 式的证明类似可以得到l l t “| | l 时的情况令c ( 。) o 对所 有的。验证条件( 风) ，令 其中 条件( 风) 为 ，l ( t ) = 6 1 u ， l ( “) = p c l 卢+ e 1 6 l5 哩“6 ( z ) o ，c l5 哑n c ( z ) o ，e l = 嘲“e ( z ) o 卢塑杀铲 ( 4 1 4 ) 因为当r - + o 。时，上式右端趋近于o 所以，对于任意给定的o l ，且对于所有的。，6 ( z ) o ，c ( z ) o 则对于每一个 肛且0 o 是不增的， ( “) ，( “) 是 不减的，使得f ( z ，u ) = g 如，u ) + m ，( “) m ( “) ( 伤) 存在r 丛炒使得万i 面南两 恻| ；其中一2 舟，州i = m o c 。 o 是不增的， - ( u ) ( u ) 足不 减的，使得f ( g ，u ) = 9 ( 。，“) 十m ，l ( u ) + l ( “) ( 岛) 存在月 r 使得石面石禹毓 o ，v m 0 ，1 ，r ij u 十m u | | s r 证明：为证明( 1 1 ) 有一个正解，将证明 一卿2 ：支“? 钾扛，叫司埘叫功) 10 舨一( g ) ，vz o ，1 ，r l 兄 如果( 5 2 ) 成立，则u ( z ) = u ( 。) 一m u ( z ) 是( 1 1 ) 的一个正解且r 怕+ m w “曼1 r 因为对于所有的ze 【o ，1 ， 加( ) ) 十q ( 。) ”= 9 ( z ，u ) = p ( g ) ( u ( 口 一 f u ( z ) ) + q ( z ) ( ( 。) 一a 彳u ( z ) ) = ( 。，( z ) u ( z ) 一p ( z ) m w 7 ( z ) ) 7 + q ( z ) “( z ) 一m q ( z ) “( z ) = ( ( p ( z ) “7 ( z ) ) 7 十g ( z ) u ( z ) 一m = f p ，u ) 一m u 一) ) f = 9 ( g ，u ( z ) 一m c l j ( z ) ) = g ( z ， ( z ) ) = 9 ( g ，u ( z ) 一m c l j ( z ) ) = g ( z ， ( z ) ) 1 3 所以只需研究问题( 5 2 ) 令矿：g o ，1 】且k 是u 中的一个锥，k 由( 3 1 ) 所定义令 q ，= “u ：l l i | r ，q r = 扣x ：l 沁l l r ) 且定义算子t ：n ( 而r n ，) _ 即 ，】 ( t u ) ( z ) = g ( 。，f ) f b ，u ( 可) 一汀 ) ) d 掣，o zs1 ( 5 3 ) 因为对讹kn ( 而r 坼) ，有r i 茎r ，这样o 口r m 0s “( z ) 一 m u ( z ) 兰_ r 又因为f ：【o ，1 】【口r m 卧捌_ + o ，。) 是连续的，由引理3 3 ，算子 t ：n ( n 咒) - k 有定义并且是紧的 首先证明 | t u l l m l l 对于os g l ，所以得 到对任意的$ 【0 ，1 】， ( t “) ( 。) = j 吾g ( z ，彩f b ，u ( 口) 一m u ( 们) 如 s 詹g 伽，掣) ，( “o ) 一埘。白) ) 1 + 并爱碧矧) 匆 詹g ( 。，g ) ，( d r m u l i ) l + 并筹) d = u ( 正) ，( 盯r a ，lj w | ) ( 1 + 并筹) si i u l l ，( 盯r 一 彳i u 1 1 ) l + 备等) m 忪m 结果 由条件( c 4 ) 和( c 5 ) 知，对任意的o 。兰l ， ( t “) 扣) = 詹g ，驴) f ( p ，( ) 彳u ( 可) ) d 舒g ( 。，) ，。( “( g ) 一m u b ) ) 1 + 等爱器矧) d 詹g ( z ，) ( r ) l + 等譬) 却 = u o ) ，1 ( r ) l + 鲁等堋) 2 一，1 ( r ) 1 + 特 冗= ， 1 4 又因为一r m 忪| | su ( ) 一m u ( ) r 这意味着i i t u l l i ，即( 5 5 ) 成立 由( 5 - 4 ) ，( 5 5 ) 和引理3 3 知，t 有一个固定点“n ( 而烈珥) 且rs 恻f r 显然，“是( 5 ，2 ) 的一个正解定理5 1 证毕 推论5 2 考虑下面的边值问题 j 然篓? 髦宗叫”蜘“引) ) o o ，卢 1 且： o ，l 】_ r 是连续的，选取肛 o 使得 卢 m ，垤 o 使得对所有的阢“) 0 ，l 】( o ，s ，( 。，u ) 2 l ，( u ) 三成立 则除了定理5 1 中所构造的解“，问题( 1 1 ) 有另一个正解五且l 恻i o ，使得 刮训 l ，使得 去 礼o ， ( 5 1 0 ) l “( 0 ) = o ，( 1 ) = o ； 的严格的下解其中r ( z ，“一m “( z ) ) = f ( z ，m a x u ，j ) ) ，( z ，u ) 【o ，1 】r 证明；显然，( o ) = m ( o ) = o ，a ”) = m “，( 1 ) = o 因为a ( z ) 一讹( z ) = c u ( z ) c a l l w j l 击：，贝9 r ( 正，a ( ) 帆( o ) ) l ，v 他 礼o 所以a ( z ) 是方程( 5 1 0 ) 的一个严格的下解引理54 证毕 引理5 5 假设( q ) 一( 晚) 成立，则对问题 一曩一鼍土q 、z ：2 a ( “一m “( z ) ) ( ，+ 粥) ，z ，= 0 - ，n 珊， ( 5 ，。) i ，( 0 ) = o ，“，( 1 ) = o ； ” 至少存在一个正解风( $ ) ，z o ，l 】且| | 风i | r 证明：我们主要用l e r a y s c h a u d e r 抉择定理证明解的存在性由( 魄) ， l f w l ，( 盯r 一且4 | f u | | ) ( 1 + p ) ，p ) ) n 考虑下面的方程 二燃? _ 型鼍一脚叫u ( 圳( h 孙蚝k 【0 ，1 】， ( 5 1 2 ) i “，( 0 ) = o ，“( 1 ) = o ； 、。7 其中a 【o ，l 】且 ( u ) = ，( m “ “，l 礼) ) ，易见a ( “) 关于u 不增 问题( 5 1 2 ) 等价于下面的不动点问题，在a 0 ，l j 中， = a k ， ( 5 1 3 ) 其中为 ( p ) ( $ ) = g ( t ，y ) 矗( 卢( g ) ) d g ( 5 1 4 ) j 0 下面证明对va 0 ，1 满足( 5 1 3 ) 的任意不动点一定满足l r 否则，假 设对某个a 0 ，1 】，卢是方程( 5 1 3 ) 的一个解且使得恻l = r ，则类似定理4 1 中的证 明，可以证明i r 由恻i r ，利用非线性l e r a y s c h a u d e r 抉择定理使得( 5 1 3 ) ( 当a = 1 日寸) 存在 不动点，表示为岛且l i 风| f r ，即( 5 儿) 存在一个正解风且j j 阮| | r 引理5 5 证 毕 1 6 引理5 6 假设( q ) 一( 岛) 成立，则风( z ) 是问题( 5 1 0 ) 的一个上解 证明：由引理5 5 ，知风( z ) 是方程( 5 1 1 ) 的一个解 当阮( 。) 一m “( z ) 2 ：时， 晶( z ，风( z ) 一m “( z ) ) = f ( z ，风( 。) 一m ( 。) ) ，( 风( z ) 删圳c + 嬲揣 o ，z ( 茁o ) = 0 ，2 “( 印) s0 ，则( 。) 。( z o ) ) o 由于o ( 卫o ) 一m u ( z o ) = o ( z o ) c 口1 | u 0 击去，a ( z o ) 一m u ( 茁o ) = c 】f u i | l 且 一( z 。) z 弘o ) ) + q ( 。) z ( 印) = m + q ( z 。) 一( 印) 一 ( 风( 。) 一批( z 。) ) ( 1 + 器) m 十g 一一 ( 。( 。) 一m u ( z 。) ) ( 1 + 黔) m 叫，+ 粥) 。， 则与一( p ( z ) z 协o ) ) + g ( $ ) z ( z o ) o 矛盾，从而引理5 7 证毕 定理5 3 的证明：由引理5 ，4 ，引理5 ，5 ，引理5 6 ，引理5 ，7 ，知道( 5 1 0 ) 有一个解 如日c 口u o b l 赫f z l 阮 r 所以解属于协怕| | ，r 1 1 7 由于如在【o ，1 中是有界和等度连续的序列，由a r z e l a a s c o l i 定理知序列 i 。 。o 中存在一子序列 砜。) 在 o ，1 中一致收敛于函数面g 【o ，1j _ 又由于j | 0 0 则对于每一个p ，问题( 5 6 ) 至少存在两个 不同的正解 1 8 结论 本文的主要目的是研究奇异n e u m a n n 边值问题( 1 1 ) 的多重正解存在性证明 了这样的问题在合理的条件下至少存在两个正解，第一个正解是通过非线性l e r a y s c h a u d e r 抉择定理得出，第二个正解是用锥不动点定理证明的 除了锥不动点被用在存在性问题上，另一个工具一上下解方法一也被广泛应 用事实上，上下解方法是非常普遍的被应用在解的存在性问题上 第三部分给出了在证明中要用到的引理和定理第四部分主要研究正解的情 况，其中g ( z ，“) 是正的，第一个正解由l e r a y - s c h a u d e r 抉择定理得到，第二个正解 由锥不动点定理证明半正即9 ( z ，“) 一m 对于m o ，在第五部分中研究，第一 个正解由锥不动点定理得到，第二个正解由上下解方法证明 1 9 参考文献 1 a ，c a b a d aa n dl u i ss a n c h e z ap o s i t i v e0 p e r a t o ra p p r o 批ht ot h en e u m a n np r o b l e m f o ras e c o n do r d e ro r d i n a r yd 豫r e n t j a ie q u a t i o n j jj m a 池 a n 以 a p p ，1 9 9 6 ，2 0 4 ： 7 7 4 - 7 8 5 【2 】a c a b a d aa n dr r l p o u s e e x i s t e n c er e s u l tf o rt h ep r o b l e m ( 妒( 札) ) =