2015年数学建模竞赛,互联网打车问题的研究.doc

“互联网+”时代的出租车资源配置的评价分析摘要本文针对互联网时代下出租车资源配置问题，通过层次分析法、模糊数学法、马尔科夫链、定性分析等多种方法，综合分析了影响出租车供求匹配程度的因素、补贴方案实施后某一地区一年中反映出租车供求关系的理化指标，建立了基于层次分析法基础之上不同时空出租车资源的供求匹配程度和其影响因素的关系的综合评价法，马尔科夫链模型，最后，运用定性分析设计一个合理的补贴方案，使得乘客和司机在该方案下各自的满意度达到一个稳定的平衡。针对问题一，首先题目要求建立合理的指标，来分析不同时空出租车供求关系的匹配程度。应用类似于层次分析的方法，先确定对于单次成功交易的供求匹配的衡量值，下分三项小指标，它们之间存在着线性关系。构建逆对称矩阵，运用Matlab进行迭代，确定相应的权系数。然后，对三项小指标分别划定等级，并赋予相应的分值。紧接着便可确定单次交易成功时的供求匹配程度的衡量值。整个时空下的值构成了大数据，运用数理统计的知识，先整体研究的均值，方差等，接着再研究不同时空下值集的均值等，得到新的表示不同时空出租车资源供求关系匹配程度的指标，然后建立分级评价模型。针对问题二，建立马尔科夫链模型，在往年数据的基础上，预测下一年的状态。并且运用Matlab软件对期间求得的概率矩阵向量加以整理分析，分别预测出了未来某一时段内的出租车里程利用率、车辆满载率、万人拥有辆三个指标的等级。最终得到结论，打车软件公司的补贴方案对缓解打车难有一定的帮助。针对问题三，通过定性的分析，最终得到结论，建立如下方案较为合理：公司给予乘客的补贴与峰期的高低成正比，公司给予司机的补贴与峰期的高低成反比。本文多出使用流程图及表格，辅助说明问题，直观形象。并通过上述层次分析、定性分析、成对比较判断、模糊数学等方法，给出了较为完善的互联网时代的出租车资源配置。同时本文综合客观评价了模型的优缺点。关键词 模糊数学 层次分析法 出租车 资源配置 马尔科夫链 定性分析一、 问题的重述1.1背景知识城市信息化已经成了当前城市建设的主旋律之一，传统的交通行业的产业模式发生了巨大的变化。有多家公司依托移动互联网建立了打车软件服务平台，实现了乘客与出租车司机之间的信息互通，同时推出了多种出租车的补贴方案。1.2相关数据附录1：打车软件公司补贴政策实施后的某一年全国主要地区出租车供求指标1.3待解决问题通过搜集相关数据，建立数学模型研究如下问题：1.3.1问题一试建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。1.3.2问题二分析各公司的出租车补贴方案是否对“缓解打车难”有帮助？1.3.3问题三如果要创建一个新的打车软件服务平台，你们将设计什么样的补贴方案，并论证其合理性。二、 问题的分析2.1问题的总分析出租车资源配置的评价是一个涉及满载率、空驶率、乘客等待时间等诸多方面的问题，同时天气、交通情况等自然因素也会对评价结果产生影响，因此对互联网时代下的出租车供求关系评价具有很大的不确定性。同时，在评价的过程中，也涉及到大量数据的收集和处理，在现今打车软件公司数据保密性的条件下，本文根据不同因素对出租车资源配置的影响关系，建立多个数学模型，定性非定量的分析评价。最终，为判断出租车资源配置的好坏提供一个相对完善的理化评判标准。2.2具体问题分析2.2.1问题一的分析题中要求建立合理的指标，来分析不同时空出租车供求关系的匹配程度。采用逆向分析法，由供求匹配程度的大小逆向推出资源利用的大小，进而得到评定出租车资源供求匹配程度的三个指标：司机与乘客之间的距离、交通状况、司机确认订单的时间。由此建立基于多层次分析的模糊数学模型。2.2.2问题二的分析不同公司出租车补贴方案有所差别，因此将各个公司看做整体，研究出租车补贴方案跟打车难易程度的关系。首先根据附件1中的某一地区在2014年出租车供求指标表，将里程利用率、车辆满载率、万人拥有量作为评定打车难易程度的标准，之后由2014年供求指标表建立马尔科夫链模型，进而预测出未来时间出租车补贴方案对打车难是否有所帮助。2.2.3问题三的分析通过逆向思维的转化，将设计一个合理的补贴方案转化为求乘客和司机二者满意度的平衡点。三、 模型的假设1.乘坐出租车的均为成年人。2.所说的距离均为直线距离。3.司机有正常的判断能力，而且，做出决定的时间与乘客信息满足度负相关。4.没有重大交通事故发生。5.忽略交通信号灯的延时效用。6.所说的时空既有时间上一定的长度又有空间上一定的广度。四、 名词解释及符号说明4.1名词解释里程利用率：用以反映车辆载客效率，指营业里程与行驶里程之比，一般以一辆车为单位。车辆满载率：通过在客流集散较为集中的地点选取几个长期观测点，对单位时间通过道路的载有乘客的出租汽车数量占总通过出租车汽车数量的比。万人拥有量：是人均设备普指标，用来描述一定城市规模内车辆的占有量，指车辆数与人口规模之比。4.2符号说明本模型所用主要变量符号及意义如表1所示。表1 主要变量符号及意义序号符号意义1使用打车软件时每一单的供求匹配程度2不同时空出租车资源的供求匹配程度3出租车司机与叫车乘客之间的距离4出租车司机达到叫车乘客地点所经路程的交通状况5乘客使用打车软件下单到司机接单所花费的时间6、中任意两者对的影响程度之比7第次交易成功时，出租车司机与乘客初始时的直线距离8第次交易成功时，初始直线距离对应的赋值五、 模型的建立与求解5.1问题一的分析与求解5.1.1对问题的分析(1)背景分析在过去的传统模式下，由于出租车司机与打车者之间信息不对称，导致非高峰时段出租车空载，高峰期和恶劣条件下司机拒载等现象频发，而打车软件的出现提高了一定的打车几率，在互联网的时代下，为了使司机能就近接客，避免司机较长距离的空载，同时使乘客能就近坐车，避免较长时间的等待，需要建立一些合理的指标，来衡量司机和乘客的匹配程度，根据这些指标的高低建立层次分析模型来说明不同时空下出租车资源配置的优劣程度。(2)待解决问题通过查找资料，我们了解到，出租车司机在使用打车软件时，会根据主观判断挑选顾客，从而导致以下的一些情况的发生：1.短途单经常无人问津。2.司机会挑选路远，不堵，顺路的乘客。3.老年司机抢不了单，老年乘客搭不上车。在互联网时代，乘客与出租车司机之间信息互通，一些司机舍近求远，挑肥拣瘦的到数公里远的地方拉客，造成资源浪费，交通拥堵，污染环境。想拉客的拉不了，想乘车的乘不上。因此有必要分析一下不同时空出租车资源的匹配程度，将数据转化成一些指标，来体现资源的利用率高低，以期对现实情况有指导作用。5.1.2对问题的求解：模型层次分析法为基础的综合评价模型(1)建模的整体思路该模型的建立以互联网时代信息互通为前提，以使用打车软件交易成功的总样本点为基础。通过逆向分析法，由供求匹配程度的大小逆向推出资源利用的大小，进而得到评定出租车资源供求匹配程度的三个指标：司机与乘客之间的距离、交通状况、司机确认订单的时间。对指标分析得到流程图（见图1）。确定，关于供求匹配程度的权重系数，由此进行多层次的综合评价。匹配程度高资源利用高交通状况通畅司机确认订单时间短司机与乘客距离近大大 大图1 供求匹配程度分析流程图(2)对指标的加权处理第一步，处理（司机与乘客的距离）：由于机动车的速度很快，短距离的差异对于指标的形成无较大的影响。因此，对距离划定等级，,不同的等级赋予不同的权值；第二步，处理 (交通状况)：由于大多数乘客不乐意等待时间过长，而交通情况直接影响到司机到达乘客处的时间，进而影响“供求匹配”程度。因此，对交通状况划定四个等级，,不同的等级赋予不同的权值；第三步，处理（接单时间），大多数情况下，司机会根据打车订单上的信息按照自己的主观意愿（如乘客的目的地远近，是否顺路等）挑选乘客。如果乘客发布的信息刚好满足司机的情况，司机决定接单的时间就短，进而说明匹配的效果很好。因此，对司机接单的时间划定四个等级，,不同的等级赋予不同的权值。最后，通过数值的计算，每一次成功的交易都会对应一个值，值的大小即为单个交易的匹配程度的高低。在一定范围内的同一时空下发生多次交易，因而就会产生多个的值，进而通过研究值的大数据，分析该大数据均值，方差，数值分布，确定单个值在整体数据中所处的位置和某一时空下值在所有时空下值所处的位置，进而确定一个更具代表性的指数来表示不同时空出租车资源的“供求匹配”程度。(3)模型的建立模糊数学是用数学方法研究和处理具有模糊性现象的数学。模糊性是指客观事物差异的中间过渡状态的不分明性。基于层次分析法的基础上，对合理指标的建立和“供求匹配”程度的高低进行分析。运用模糊数学的方法，分析，即单次交易的“供求匹配”程度、司机与乘客之间的距离、乘客与司机之间的交通状况、接单的时间这四者之间的关系。采用成对比较判断法来提高诸因素比较的准确程度，建立以评价出租车资源的供求匹配程度的各主要因素为元素组成的集合，记为。确立评价因素的权重集，根据影响供求匹配程度的重要程度，对各因素赋予相应的权值组成评价因素权重集合：。判断三个因素, ，对目标的影响，从而确定它们在中所占的比重。每次取两个因素，用来表示两个因素对的影响程度之比，按1至3的比例标度来度量，构成了一个两两比较的判断矩阵：。显然，判断矩阵具有以下性质：为把单次交易的供求匹配程度表示成三个变量, 的线性组合，需确定三个变量的权系数，下面给出它们的量化过程： 先分析同一时空出租车资源的供求匹配程度，考虑三个影响因素，用成对比较法得到逆对称矩阵是：。然后通过表2两两比较确定上述取值，求出向量迭代序列，。标度含义135792，46，8倒数表示两个因素相比，具有同样的重要性表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要上述两相邻判断的中值上述两相邻判断的中值相应两因素交换次序比较的重要性表2 判断矩阵标度及其含义计其极限为，且计，则权系数可取。在具体计算中，当与接近到一定程度时，取。用Matab进行迭代计算后得然后，进行一致性分析，观察偏离一致的程度：用来表征一致性。其值越小，偏离一致的程度越小，即越接近一致。又用比值来判断该逆称矩阵在一致性方面是否可以接受。该模型中,且，由,则可以认为成对比较的逆对称矩阵可以接受。则可以得到关系式。根据RI随机一致性指标（见表3）对、,3个指标分析：123456000.580.901.1211.24表3 随机一致性指标表a. 对司机与乘客距离的分析大多数情况下乘客会在马路旁等待出租车，很少有出租车司机愿意驶入道路狭窄的地方，因此我们把乘客打车的地点统一规定在马路旁边。因为机动车的速度很快，从接单开始一般都能在较短的时间内到达乘客所在的位置。现在以乘客所在的位置O为圆心，以为半径作圆，分析方圆数里的出租车的分布，以直线距离作为标注划定等级，以0到500米范围内为等级,赋予相应的权值8；以500米到1500米范围内为等级，赋予相应的权值6；以1500米到3000米范围内为等级,赋予相应的权值4；以3000米以外的范围作为等级,赋予相应的权值2；综合距离等级与相应赋值(见表4)。距离（米）0到500米500到15001500到30003000以外等级赋值8642表4 距离等级与赋值表假定在一定范围内的时空下，第次交易成功时，出租车司机与乘客初始时的直线距离为，则相应的赋值为。b. 对乘客与司机之间交通状况的分析在不同的时空下乘客与出租车司机间的交通状况会有很大的差别，天气、路段、时段、城市建设、道路施工等因素都会影响到二者之间的匹配程度。把道路的状况分成四个等级：畅通，较畅通，拥堵，较拥堵。用层次分析法来研究交通状况，对影响交通的因素两两比较，建立逆对称矩阵，分析天气、路段、时段、城市建设、道路施工这5个因素，即对交通状况的影响程度。通过两两比较，用表示5个因素中任意两个因素对值影响程度之比，经过具体的分析可以确定相应的，进而得到逆对称矩阵：运用matlab进行迭代得到相应的权系数，要求把变量表示成变量的线性组合：，在此情况下，需要对进行赋值，如表5所示：因素 等级天气8642路段8642时段8642城市建设8642道路施工8642表5 影响交通情况指标等级与赋值表通过分析多个数据，得到不同时空条件下的多个值，依据值的范围和分布，划定出四个等级，赋予相应的权值(见表6)。值范围范围一范围二范围三范围四等级赋值8642表6 交通状况等级与赋值 假定在一定范围内的时空下，第次交易成功时，乘客与司机之间的交通状况值范围可以确定，则相应的等级为便可获知，赋值为。c. 对接单时间的分析由于出租车司机在使用打车软件时会根据自己的主观意愿选择乘客，从乘客发布乘车信息开始，到司机接单，这两个节点之间的时间跨度可以反映出司机原始意愿与乘客信息的匹配程度。出于司机的主要职能是载客，所以大多在5分钟之内。依据时间长短划定4个等级：在0到20秒内接单为等级；在20到60秒内为等级；在60到100秒内为等级；在100秒之外为等级。相应的等级赋予相应的权值(见表7)。时长（s）0到2020到6060到100100以外等级赋值8642表7 时长等级与赋值假定在一定范围内的时空下，第次交易成功。此时，时间跨度已知，则相应的等级和赋值便可从表内得出，可假设赋值为。d. 对众多值进行研究。各个指标的数值均已经可以得出，对于在一定范围内的时空下，第次成功交易的出租车供求匹配的权衡值为：在一定范围内的时空下，使用打车软件，出租车司机和乘客成功交易的数量有所增大，而每次成功交易都会对应一个，众多各值构成了一个新的集合。运用数理统计的知识对这类大数据进行处理，建立数集。是整个时空下所有数据的总集，这些数据中包含着互联网时代下出租车资源配置的“供求匹配”程度的信息。求出这些数的均值和样本方差，运用下列公式：均值公式:样本方差公式：对整个时空下的数据进行处理可以得到整个时空下的均值和方差，然后再对某一特定的时空下的数据进行处理，运用相同的公式，求得该时空下的均值和方差。用一个新的指标来表示不同时空出租车资源的供求匹配程度，计算公式为：供求匹配程度指标(表示将整个时空按照一定的条件分割成不同的相对较小的时空的标志）e. 供求匹配程度的分级阶梯模型的建立就不同时空下出租车的“供求匹配”程度的评价值，对出租车资源的优劣程度进行分级，值越高，供求匹配程度越好，级别数越靠前；反之，值越低，供求匹配程度越差，分级所得的级别数越靠后。然后，可以建立分级阶梯模型来确定酿酒葡萄的级别数和评价值。分段阶梯模型标准确定如表8所示数值范围范围范围范围范围范围等级12345表8 分段阶梯模型标准则有不同时空下出租车资源的供求匹配程度的分级阶梯模型为： 5.2问题二的分析与求解5.2.1对问题的分析某系统在已知现在情况的条件下，系统未来时刻的情况只与现在有关，而与过去的历史无直接关系，则称这个系统的变化过程为马尔科夫过程，描述这类随机现象的模型称为马尔科夫模型。问题二中，研究打车软件公司补贴政策对缓解打车难的影响，如果现在时刻的打车难易程度已知，则未来某一时刻的打车难易程度与现在时刻以前的任一时刻打车难易程度无关，从而建立马尔科夫链模型。5.2.2对问题的求解：模型马尔科夫链模型（1）建模思路通过分析，各公司的出租车补贴方案对“缓解打车难”是否有帮助可转化为出租车补贴方案施行后打车难易程度，而打车难易程度也是出租车供求关系的反映，即打车难易程度等级以衡量出租车供求指标为标准。由TRANSPORT BUSINESS CHINA2007年5卷中可知，衡量出租车供求的三大指标分别为里程利用率、车辆满载率、万人拥有量。之后按此标准划分打车难易程度等级值，进而得到打车难易发生随机过程的动态转移规律。最后根据打车软件公司补贴政策实施后的某一年全国主要地区出租车供求指标（见附录1）推测该年打车难易程度，进而得出补贴政策对缓解打车难得影响结果。（2）模型的建立为了符合马尔科夫链模型的计算要求，通过查阅相关资料将里程利用率、车辆满载率、万人拥有量三个指标分别划分为三个等级（见表9），作为打车难易程度标准，即容易、一般、困难。等级难易程度里程利用率标准车辆满载率标准万人拥有量标准（辆/万）1容易68%70%202正常63%-68%70%203困难63%70%20表9 打车难易程度标准按此标准可划分材料中2014年全国某一地区出租车供求的等级值（见表10）。 月份 里程利用率 车辆满载率 万人拥有量（辆/万）等级值里程车辆拥有量1月68.00% 65%342312月84.10% 58%291313月57.40%58%343314月65.51%56%362315月69.02%78%241116月67.88%65%23.52317月72.00%70%22.781218月73.79%75%321119月65.40%70%23.7722110月69.25%55%19.613311月69.10%75%10.8611312月68.00%67%20232表10 2014年全国某一地区出租车供求值及等级值利用表2的出租车供求等级值可得到各城市打车难易随机过程的动态转移规律。首先找出每个指标各个等级的总次数，然后找初该等级后面出现各等级的次数。由此可得到，在12个城市中，里程利用率有6个1级，5个2级，1个3级，1级后面出现1、2、3级的个数分别为2、3、1。用同样的方法，可统计得到里程利用率2、3级后面出现各等级次数及车辆满载率和万人拥有量各等级出现的次数，构成里程利用率、车辆满载率和万人拥有率各等级的转移规律（见表11）。等级里程利用率车辆满载率万人拥有量（辆/万）1 2 31 2 31 2 312 3 160 1 238 0 1924 0 041 0 120 0 0030 1 012 1 360 1 12表11 程利用率、车辆满载率、万人拥有率各等级的转移规律在马尔科夫链中，系统状态的转移可用一个转移概率矩阵表示，而矩阵中每个元素称转移概率。从状态转移到的样本数与总样本数之比称为状态到的转移概率。 即 Pij=Nij/N （1）由表11和（1）式计算得出打车难易程度出现1级（即S1S1）的概率为，出现2级（即S2S2）的概率为。同理，可由表3分别计算出里程利用率、车辆满载率、万人拥有量各等级的一步转移概率矩阵。即里程利用率的转移概率矩阵为：车辆满载率的转移概率矩阵为： 万人拥有量的转移概率矩阵为：通过上述转移概率矩阵可计算求得状态Si经过步转移到Sj的转移概率。打车难易程度用三个出租车供求指标等级的状态描述，各状态发生的可能性大小即状态概率，其中=1，2，为预测时间。各个状态对应的状态概率向量为：因为马尔科夫链模型无后效性，因此预测基期12月即=0的打车难易程度为3级，即状态概率A30=3，则初始时刻里程利用率的状态概率向量为A0=(0,0,1）。同理，初始时刻车辆满载率的转移概率向量为A0=(0,1,0），万人拥有量的转移概率向量为A0=(1,0,0）。为了检测该城市未来几月的打车难易程度，需要计算每个月的状态概率向量A，=1,2,3。根据马尔科夫链预测模型An=A0Pn，递推如下：下一月里程利用率的状态概率向量为：同理，可计算出里程利用率、车辆满载率、万人拥有量在预测月的状态概率向量分别见表12、表13、表14，它表明预测月打车难易程度等级出现的可能性。预测月 A(t) 状态概率向量 （%） （%）1月 A(1) 0 100 0 100.002月 A(2) 100 0 0 100.003月 A(3) 33.33 50.00 16.67 100.004月 A(4) 61.11 33.33 5.56 100.005月 A(5) 53.70 36.11 10.19 100.00表12 预测月的里程利用率状态概率向量预测月 A(t) 状态概率向量 （%） （%）1月 A(1) 50.00 0 50.00 100.002月 A(2) 16.67 25.00 58.33 100.003月 A(3) 31.94 15.28 52.78 100.004月 A(4) 25.23 19.44 55.23 100.005月 A(5) 28.16 17.63 54.21 100.00表13 预测月的车辆满载率状态概率向量预测月 A(t) 状态概率向量 （%） （%）1月 A(1) 88.89 0 11.11 100.002月 A(2) 79.01 5.56 15.43 100.003月 A(3) 70.23 7.72 16.50 100.004月 A(4) 62.43 8.25 16.05 100.005月 A(5) 55.49 8.03 14.96 100.00表14 预测月的万人拥有量状态概率向量由上表可以看出，2015年1月里程利用率出现2级的概率为100%，车辆满载率约在63%-68%，车辆满载率出现1级和3级的概率相等，均为50%，万人拥有量出现1级的概率为88.89%。综上可以得出结论，2015年1月，补贴方案施行后，打车难易程度较容易。同理，预测未来5个月内，打车难易程度容易，即打车软件公司的出租车补贴方案对缓解打车难有帮助。5.3问题三的分析与求解5.3.1对问题的分析问题三要求创建一个新的打车服务平台，设计一个合理的补贴方案。评价方案是否合理可转化为乘客和出租车司机二者的满意度均达到最大。采用逆向的思维，满意度的大小又与司机的补贴数量、载客率及乘客的补贴数量、等待时间相关联，而补贴数量、载客率和等待时间在一天中不同的时间段内有所不同。因此，将合理性、补贴数量、满意度三者紧密结合在一起，从定性两个方面，较为完善的分析了新的补贴方案及该方案的合理性。5.3.2对问题的求解：模型满意度定性分析模型(1)建模的思路通过对问题三的具体分析，将思路整理流程图(见图2)。表现 乘客 满意度 日人 流量 等待 时间 峰期 大小 司机总 补贴收益 公司每单 补贴 乘客总 补贴收益 司机 满意度 补贴方案的合理性 影响 图2 思路流程图(2)模型的准备令打车软件平台每单所补贴的总金额为，每单补贴给司机的金额为，每单补贴给乘客的金额为。 根据滴滴打车和快的打车两个软件的打车补贴方案(见附录)，分析可得，为了不损害自身的利益，每个打车软件公司补贴金额均有一个确定的上下限。因此，在设计的新补贴方案中，假设打车软件平台给乘客及出租车司机的补贴之和为一定值，且该定值在打车软件公司能接受金额的基础上，处于某一范围，即。人流量及等待时间会受到天气、交通状况等因素影响，而这些因素具有不确定性和随机性，作为补贴方案的划分指标具有缺陷。而每天都存在高峰期、平峰期、低峰期三种峰期。因此，该模型的建立以每天的峰期作为划分标准。(3)模型的建立将一天24小时划分为高峰期、平峰期、低峰期三个时期。根据峰期的不同，等待人数和日人流量也有所不