（应用数学专业论文）一类非自治高阶波动方程的渐近性研究.pdf

摘要 本文研究了如下一类非自治高阶波动方程初边值问题的长时间行为： ， i ( i u t l 7 2 u ) 一a u 一札一# a u 亡t + f ( u ) = 夕( z ，t ) qx r + ， 让( z o ) = u o ( z ) ，u t ( z ，0 ) = 乱l ( z ) z 5 2 ，( ，i c ) i iu a a = 0 t r + 其中2 r 6 ，p 0 ，qcr 3 是具有适当光滑边界的有界区域，u ( z ，t ) 是未知函 数，( “) 是满足适当条件的非线性项，g 是与时间有关的外力项 对非自治发展方程的解过程的动力行为的研究主要存在两大凶难其一是：由 于系统含有一札协从而其解( u 。，u 。) 相对于初值没有较高的正则性，这样不能直接 使用一致渐近紧方法获得系统解关于盯e 的一致紧性其二是依赖于时间的外力 项夕( t ) 仅假设是平移有界并满足弱连续性这样为我们刻画一致吸引子的结构存在 非常大的困难本文利用解的渐近正则性克服了这两大困难，并提出了解决这类问 题的一般方法 在第三章我们将采用扩展的g r o n w a l l 引理及适当的分析方法与技巧证明当2 r 6 时上述系统的整体强解对应的解半群_ ( s ( t ) ) t o 的全局耗散性及叫一极限紧，从 而证明了伞局吸引子的存在性 第四章讨论了r = 2 时非自治的情况，通过证明解的渐近正则性来获得紧一致 吸引子的存在性及其结构其中依赖时问的外力项不足平移紧的 关键词：非自治波动方程；临界指数；渐近正则性；全局吸引子；一致吸引- 子 i a b s t r a c t w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gi n i t i a la n db o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ras t r o n g l y n o n - a u t o n o m o u sw a v e - t y p ee v o l u t i o n a r ye q u a t i o n 罾i 让姒- a 刈u , 问- - # a 如u t t ，“ ) - 舡。) qxr + z q t r + ( ，c ) w h e r e2 r 6 ，p 0a n dqi sa no p e nb o u n d e ds u b s e t so fr 3w i t hs m o o t h b o u n d a r y , u ( z ，t ) i sau n k n o w nf u n c t i o n ，( 让) i st h en o n l i n e a rf u n c t i o ns a t i s f i e sa c r i t i c a le x p o n e n t i a lg r o w n t hc o n d i t i o na n dgi st h eg i v e nt i m e - d e p e n d e n te x t e r n a l f o r c i n gt e r m t h e r ca r et w om a i nd i f f i c u l t i e so fd y n a m i cb e h a v i o rf o rn o n a u t o n o m o u se v o - l u t i o n a r ye q u a t i o n o n ei st h ee q ( 术) c o n t a i n s 一u 幽a n dt h es o l u t i o n ( u 。，饥) d e p e n do ni n i t i a lv a l u eh a v e n th i g h e rr e g u l a r i t y , t h ed i s s i p a t i o na n dc o m p a c t n e s s o ft h es y s t e mc a n tb eo b t a i n e db ye n e r g yi n e q u a l i t y o n ei st h ee x t e r n a lf o r c et e r m g ( t ) d e p e n do nt i m ei st r a n s l a t i o nb o u n d e da n ds a t i s f yw e a kc o n t i n u i t y w ew i l l m a k eu s eo fe x t e n d e dg r o n w a l ll e m m aa n ds o m ep r o p e ra n a l y s i sm e t h o do rs k i l lt o p r o v et h eg l o b a ld i s s i p a t i o na n d 叫一l i m i tc o m p a c to ft h es o l u t i o n - s e m i g r o u po fe q ( 木) w h e r e2 r 6 ，t h e np r o v et h ee x i s t e n c eo ft h eu n i f o r ma t t r a c t o r t h e r e f o r e ，i nc h a p t e r3 ，w eh a v em a k eu s eo fe x t e n d e dg r o n w a l ll e m m aa n d s o m ep r o p e ra n a l y s i sm e t h o do rs k i l lt op r o v et h eg l o b a ld i s s i p a t i o na n dw l i m i t c o m p a c to ft h es o l u t i o n s e m i g r o u po fe q ( 术) w h e r e2 r 6 ，t h e np r o v et h e e x i s t e n c eo ft h eg l o b l ea t t r a c t o r i nc h a p t e r4 ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c ea n dt h es t r u c t u r eo ft h eu n i f o r ma t t r a c t o r t h r o u g hp r o v i n gt h ea s y m p t o t i cr e g u l a r i t yo ft h es o l u t i o nw h e r e7 = 2 a n dt h e e x t e r n a lf o r c et e r mi sn o tt r a n s l a t i o n - c o m p a c t k e yw o r d s ：n o n - a u t o n o m o u sw a v ee q u a t i o n ；c r i t i c a le x p o n e n t i a l ；a s y m p t o t i cr e g - u l a r i t y ；g l o b l ea t t r a c t o r ；u n i f o r ma t t r a c t o r i i i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究 所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包 含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出 重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到 本声明的法律后果由本人承担。 作者签名： 蒂枇 日期：力，p 年岁月潞日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后试用本授权书。 2 、不保密c z i 。 ( 请在以上相应方框内打“”) 日期：沏，o 年j 月蚜日 日期：3 - o 口年a - 月2 p 日杉铋 丰 、妒 器干 名 名 签 签 者 师 作 导 第1 章绪论 本文主要研究如下一类非自治高阶波动方程初边值问题的长时间行为： 瞄以- a 啪u t 阳- # a 如u t t ， ) _ 出。) qxr + z q ，( 1 1 ) t r + 其中2 7 6 ，p 0 ，qcr 3 是具有适当光滑边界的有界区域，u ( z ，t ) 是未知函 数， ) 是满足适当条件的非线性项，9 是与时问有关的外力项 1 1无穷维动力系统的发展概述 动力系统是非线性科学的重要组成部分，目前广泛应用于数学、统计学、物理 学、信息与计算科学等领域动力系统的研究可以追溯到科学家n e w t o n 他用可以 用微分方程表述的力米描述决定行星运动的力学规律牛顿力学基本定律是：行星 运动由物体间万有引力所决定牛顿万有引力定律町以证明绕人阳运行的行星沿椭 圆运动，而其他行星对它的万有引力会使该行星的运动轨迹发生偏移，这恰好解释 了行星的运动轨迹小是一个标准的椭圆n e w t o n 的经典著作自然哲学的数学原 理后来成为人们研究天体问题的典范，人们乐观地认为可以通过求出微分方程的 显示解来处理任何天体问题但是，这种希望从未实现 直到十九世纪末，著名的法国数学家p o i n c a r 6 发表著作天体力学的新方法 将相空间( 系统参数向量的所有可能空间) 的几何引入分析过程，开始探讨解的几何 性质虽然不能提供太多显示解的信息，但能得到许多解曲线的信息对所有有 界h a m i l t o n 系统，“大部分”解曲线在p o i s s o n 意义下稳定引入p o i n c a r 6 定性分 析后，b i r k h o f f 发现了很多不同类型的长期极限行为包括q 一极限集和u 一极限集当 今动力系统有以卜几个研究方向：拓扑动力系统、遍历论、微分动力系统、h a m i l t o n 系统、微分方程定性理论、无穷维动力系统、随机动力系统等p o i n c a r 6 、b i r k h o f f 主要研究的是常微分方程生成的有限维动力系统理论，很少涉及到无穷维而无穷 维动力的例子有很多如流体力学的湍流问题值得注意的是，许多无穷维问题可以 由有限维来近似一般先从简单的有限维常微分方程开始，把时空混沌问题简化为 时间混沌，然后再发展成时空混沌问题无穷维动力系统与有限维动力系统的区别 1 主要有两个方面：首先，有限维动力系统仪在时间上存在混沌，而无穷维动力系统可 能在空间某个区域产生混沌湍流其次，在空间的某个部分可能产牛奇性集1 9 9 7 年m a n d e l b r o t 提出分形集的概念，l a d y z h e n s k a y a 、v i s h i k 、t e m a m 、h a l e 等人 对某些具有耗散性的非线性方程的全局i 及引子、惯性流形、似惯性流形、拉回i 吸引 子等的存在性，h a u s d o r f f 维数、f r a c t a l 维数的上下界估计，吸引子某螳动点结构、 数值方法，非线性g a l e r k i n 方法，惯性集等问题进行了多方面研究，取得许多重要 成果同时也举出了一些不存在全局吸引子和惯性流形的例子 近三十年来，无穷维动力系统在耗散系统方面建立了熏要的数学理论，提出了 理论研究和数值计算的方法，促进了泛函分析、分形理论、小变流形、计算数学和 拓扑学等学科的发展和应用，形成了一个研究无穷维动力系统的热潮在渐近行为 研究方面取得了长足的发展并涌现出了大量的成果，见f 2 ，1 1 ，1 5 ，2 5 ，2 7 ，3 7 当然， 作为理论体系，它还很不完善 1 2问题的研究背景与研究现状 在研究非线性弹性杆中纵向形变波传播 3 ，6 ，5 3 ，5 4 】及弱非线性作用下空间变 换离子声波传播 2 8 问题时，得到主部含有u 托一乱一札 非线性项不相同的一 些高阶非线性方程如 3 ，6 ，2 8 ，5 3 ，5 4 】分别讨论了这些方程的孤立解及某些数值结 果，同时也研究了部分初值问题解的适定性当实际物理背景中粘性耗散不可避免 时，可得到一些主部为u t t 一u 一# a u t 一啦。的非线性方程关于这类方程的研究 文献不多 非线性弹性杆振动波的传播问题极其复杂根据振动波的产生和传播的不同影 响，国内外学者从不同的角度建立了与振动的影响因素相埘应的数学模型，并对各 种定解问题适定性做出了卓有成效的研究 3 ，6 ，1 6 ，2 8 ，3 5 ，4 8 ，5 2 ，5 4 他们的主要 方法都是通过线性或非线性变换，或者多次近似简化所研究的模型从而求得该模型 的古典解并描述振动波的性质但是，他们均没有考虑外力作用在原始构形的非 线性振动过程中，外力因素十分重要非线性力f ( u ) 是外力的重要组成部分，它对 物体的甲向拉、压作用直接关系着原始构形中的能量积聚，在讨论粘弹性物体运动 时考虑f ( u ) 十分必要但当模型计入f ( u ) 后，求其古典解是十分困难，于是人们开 始研究其广义解的适定性问题 当g ( x ，t ) = g ( t ) 时，文【3 4 ，3 5 】研究了系统( 1 1 ) 整体强解的存在性和稳定性 2 文f 4 4 ，5 2 】研究了系统( 1 1 ) 整体弱解的存在性以及渐近性文【4 1 ，4 3 】研究了整体弱 解和整体强解对应的解半群的全局吸引子的存在性、正则性及上半连续性等而对 于非自治系统( 1 1 ) ，据我们所知国内外均没有研究文献非自治系统较自治系统复 杂得多在对非自治有穷维动力系统一致吸引子存在性的研究中，主要是在扩展的 相窄问中构造斜积流，借助于自治系统的理论得到吸引子的存在性借助于这种思 想，1 9 9 4 年，c h e p y z h o v v i s h i k 在 7 】中给出了非自治发展型方程所对应的无穷 维非自治系统的一致吸引子的存在性理论和框架为了刻画非自治系统所对应的过 程族的一致吸引子的存在性，【3 8 】将m a ，w a n g z h o n g 【1 9 】的思想推广到非自治 情形，提出了一致u 一极限紧的概念，并给出了一致吸引子存在性的一般刻画，得到了 很多很好的结果 1 3研究问题所涉及的数学理论、方法及进展 本节首先阐述一下自治系统及非自治系统吸引子的研究情况及己有的理论、方 法及进展动力系统町为自治与非自治系统在系统变化过程中，自治系统的向量场 与时间无关，而非自治系统依赖于时间一个自治的发展方程总可以写成以下抽象 形式： ， 警刊， ( 1 2 ) lu | t ：o = “o ( z ) 由( 1 2 ) 的解可定义一族非线性( 或线性) 算了 s ( t ) ) t o ，u ( x ，t ) = s ( t ) 乱o ( z ) 已知x 为b a n a c h ( 或度量) 空间，设u o ( x ) x ，对x 中的每一点，( 1 2 ) 存在唯一解乱 ) ， 对v t 0 ，u ( z ，t ) x ，则对v t 0 ，s ( t ) ：xox 称为系统( 1 2 ) 所对应的解半群 动力系统又可分为能：景保守系统和能罩耗散系统奉文主要研究由吸收集的存在性 刻画的能量耗散系统的动力学长时间行为如果系统存在全局吸引子，那么吸引 子将包含系统( 1 2 ) 的解的所有可能的极限状态，无穷维动力系统关心的问题蔓要是 非线性方程整体解的存在性、正则性、稳定性、全局吸引子的存在性、分析与几何 性质，它更加注重于系统解的极限状态限制在全局吸引子卜的动力系统反映了 很多重要的信息凶此，研究无穷维动力系统的一个基本的问题就是证明全局吸引 子的存在性我们知道，得到定义在b n n o c 九( 或度量) 空间x 上的算了半群1 s ( ) ) t 2 0 的三个要素足： ( 1 ) 半群( s ( t ) ) t o 在x 中具有某种耗散性，如点耗散、有界耗散； 3 ( 2 ) 半群 s ( t ) ) t o 在x 中具有某种连续性，如强连续性、弱连续性强弱连续 性： ( 3 ) 半群 s ( 亡) ) t o 在x 中具有某种紧性，如一致紧 2 ，2 瓦2 叼、渐近紧【2 ，1 5 、 渐近光滑【j 卅、u 一极限紧 j9 5 1 利用能量不等式或辅助泛函可以得到半群的耗散性，从而证明有界吸收集或点 吸收集存在或有界集的正轨道终归有界等这一方法用来处理弱解问题十分有效， 因为由非线性项的耗散性条件很容易由方程中的线性项来控制非线性项然而系 统( 1 1 ) 含有( r 2 饥) t ，从而其解( 咖，毗) 相对于初值没有较高的正则性，这样不能 直接使用一致渐近紧来获得系统解关于盯e 的+ 致紧性这样为我们刻画一致1 及 引子的结构存在非常大的困难，我们必须引入新的方法来克服本文将给出解决这 类问题的分析技巧 半群的连续性一般用来得到全局吸引子的不变性，或与先验估计相结合得到 半群的渐近紧性，如【5 ，2 6 】等更多还是用来得到伞局吸引子的不变性在现有 的判别全局吸引子存在性的基本定理中，大多把半群的连续性作为一个基本假设， 如【9 ，1 1 ，2 5 ，2 7 ，3 7 1 等但连续性不是得到全局吸引子不变性的必要条件t z n 2 】 中( 定理2 1 中的条件( 1 ) 和( 2 ) ) ，作者没有直接对半群作连续性的假设但从其应用 实例中，作者还是通过验证半群满足强连续性或弱连续性来验证条件( 1 ) 和( 2 ) 最 近，在z h o n g ，y a n g s u n 【5 1 】和s u n 3 6 】中，作者提出了强弱连续半群的概念 在【5 1 】中，作者还建立了强弱连续半群的全局吸引子的存在性定理这从理论上使 得我们能够考虑偏微分方程所诱导出的解半群在强解空问和空间中的全局吸引子的 存在性在 3 6 】中，作者给出了一个更方便的判断半群存强拓扑下是强弱连续的判 断定理，使得我们几乎不需要再去验证半群在范数较强的空间中的强弱连续性要 得到全局吸引子，关键就是如何验证半群的紧性用来得到全局吸引子的各种不同 的思想和方法，其核心就是用各种不同的方法得到紧性 非自治系统比自治系统起步晚，理论也不尽完善对于( 1 2 ) 非自治的发展方程 总可以写成如下抽象形式 瓦o u 讪a 心) ( 1 3 ) iu l , ：，= u ，( z ) 与半群的概念相对应的是过程，( 1 3 ) 的解可表示为 u ( t ) = u ( t ，丁) 坼，v t r ，7 - r ， 4 其中c 厂( ，丁) ：日- h 这样算子 u ( t ，丁) ，t 7 - ，7 - r ) 称为系统( 1 3 ) 的过程并满 足：对任意的口e ， 以( ts ) o 以( s ，7 ) = 以( 幻。) ，v t 3 7 - ，7 _ r ， ( 7 ，7 - ) = i d 恒等算子，丁r 全局吸引子的概念不能直接推广到非自治情形h a r a u xf 1 2 】在1 9 8 8 年旨先提出了 一致吸引子。的概念( 对应于初值丁) ，其具有如下性质： ( 1 ) 紧性? 确在日中紧； ( 2 ) 吸引性? 对任意的有界集b ，l i r a t - + o os u p ，rd i s t ( u ( t ，r ) b ，。) = o ； ( 3 ) 最小，陛? 秭是满足( 1 ) ，( 2 ) 的最小集 即用最小性代替不变性事实上伞局吸引子的不变性同时蕴涵最大性和最小性特 别注意。砺与初值丁无关 随后，h a r a u x 研究了一致吸引子的概念f 1 2 】适当定义的系统( 1 3 ) 的吸引子同 时应当是系统( 1 3 ) 叶l 的时问依赖项o r o ( z ，t ) 替代印( z ，t + ) ，v h r 之后的每个新 的系统的吸引子，而且应当是所有这样的系统的共同的吸引子故考虑系统( 1 3 ) 的 渐近行为时，通常考虑如下一族系统 塞刊小州州， ( 1 4 ) iu l , ：，= 乱，( z ) 7 匙 其中咒( c r 0 ) 是( 盯( + 九) l 允r ) 在某个拓扑窄间中的闭包，称为o r o 在该窄间中的壳， 通常作为系统的符号空间这样系统( 1 3 ) 的过程族即为 u ( t ，7 - ) ，t 7 ，7 r ) ，盯 咒( 仃o ) 同时有了关于符号空间咒( c r 0 ) 的一致吸引子。魂( 。) 的概念： ( 1 ) 紧性? 。嘞( 。) 在h 中紧j ( 2 ) 吸引性? 对任意的有界集b ，l i m t - + o 。s u p a e n ( 印) d i s t ( u 。, ( t ，t ) b ，魂( c r 0 ) ) = o j ( 3 ) 最小性j 。畋( 印) 是满足( 1 ) ，( 2 ) 的最小集 1 9 9 4 年，c h e p y z h o v & v i s h i k 【7 研究t ) l 乎周期和拟剧期的系统，提出了上 述符号空间的概念，并给出了研究非自治无穷维动力系统的一般方法其核心思想 是推广有穷维动力系统中的方法，在扩展的相空问上构造斜积流 s ( t ) ( u ，盯) = ( u 0 ，o ) u ，t ( t ) 盯) ，v ( u ，盯) h n ( o r o ) ， 这里t ( t ) 盯= o r ( t + ) ， t ( t ) ) t o 构成了符号空间咒( 口o ) 上的半群或群 5 通过这一思想，自治系统中验证紧性的方法得以应用他们证明了致吸引 子。畋) 的存在性的一般结果由丁一致吸引子魂) 是通过将斜积流的全局吸 引子投影到日得到的，所以运用这种方法通常要求仃。具有某种紧性以获得斜积流 的全局吸引子同时说明了如果娟( 印) 及蕊存在，过程族以( f ，7 - ) ，7 ( a o ) 满 足( 日x 饨( 印) ，日) 连续时，蕊与魂( 仃。) 相同这反映了不直接考虑系统( 1 3 ) 而直接 考虑系统( 1 4 ) 的合理性c h e p y z h o v v i s h i k 【7 】还研究了沿用过程、一致吸引子 和符号空间的概念但不构造斜积流，先讨论一致吸引子的存在性，然后在此基础上 讨论其结构 6 第2 章预备知识 2 1全局吸引子的相关概念及存在性判定定理 下面我们给出无穷维动力系统全局吸引子的相关概念及其存在性的判别定理 这些概念定理可在b a b i n v i s h i k 【2 】：或t e m a m 3 7 】巾找到 定义2 1 1 钥设 s ( ) ) 0 是b a n a c h 空间x 上的半群，z 是一个拓扑空间， 称c x 是 s ( ) ) t o 的( x ，z ) 一全局吸引子，如果满足在x 中不变，闭，在z 申紧， 且按照z 的拓扑吸引x 中的有界集 定义2 1 2 翻设 s ( t ) ) t o 是b a n a c h 空问x 上的半群，z 是一个拓扑空间， 称b 0cz 为( x ，z ) 一有界吸收集，如果满足对x 中的任意集合b ，存在t = t ( b ) ， 使得对t ，有s ( t ) bc 玩成立 ( x ，z ) 一全局吸引子的连续性定义为 定义2 1 3 翻设 s ( ) ) o 是_ b a n a c h 空间x 上的半群，z 是一个拓扑空间， 称_ s ( t ) ) o 为( x ，z ) 一连续，如果对x 中任意有界序列称为 z n ) 巽1 ：坞z o 以 z t n 0 ，t n ， s c t n ) z 竹) 县1 在z 中有收敛子列 证明有界吸收集、点吸收集的存在性或者有界集的正轨道终归有界等一般利用 能量不等式或辅助泛函，从而得到相应的耗散性一般是用半群的连续性来汪明全 局吸引子的不变性，它不足全局吸引子存在性的必要条件全局吸引子存在性的必 要条件是半群具有某种紧性可以说，要得到全局吸引子，关键就是如何验证半群 的紧性通常是验证下列紧性之一： 渐近紧【3 刁即，对相空间x 中的任何有界点列 z 几) 黯1 及如o ，有 s ( 如) z n ) 是1 在x 中相对紧( 准紧) 这种紧性在l a d y z h e n s k y a 1 5 1 能找到，它也是全局吸引子存 在的必要条件 与之相对应的伞局吸引子的存在性定理 定理2 1 4 【j 5 ，刁) 设 s ( t ) ) t o 是完备度量空间x 上的连续半群，并且满足 7 ( 1 ) _ ( s ( t ) t o 在x 中有有界的点吸收集j ( 2 ) s ( ) ) 芝。在x 上渐近紧 则 s ( t ) ) o 在x 中存在全局吸引子 上述紧性的验证常用至：l j s o b o l e v 紧嵌入定理 u 一极限紧 ? 刁即，对v 0 ，相空间x 中的任何有界集b ，都存在t $ t t 域b 和s 的时间t = 丁( ，b ) ，使得当t t 时，有 尤( us ( f ) 口) o i a 可被x 中有限个半径不：k - i - 5 的集合覆盖) 全局吸引子的存在性定理为 定理2 1 5 1 9 设 s ( 亡) ) t o 是完备度量空间x 上的连续半群，并且满足 ( 1 ) s ( 亡) ) t o 在x 中有有界的点吸收集j ( 2 ) ( s ( 亡) ) o 在x 上u 一极限紧 则_ s ( ) t o 在x 中存在全局吸引子 2 2一致吸引子的相关概念及存在性判定定理 f 面我们给出无穷维动力系统一致吸引子的相关概念这些概念可以存b a b i 礼 v i s h i k 【2 】2 或t e m a n 3 7 】找到 定义2 2 1 27 刁集合岛cx 被称为是过程族 ( ，7 - ) ) ，盯e 的一致( 关 于e ) 吸收集，如果对任意的7 - r 和每一个b b ( x ) 都存在t o = t o ( t ，b ) 7 - 使得 u ( t ，下) bcb o ，v t t o r e 定义2 2 2 【2 了刁集合ycx 被称为是过程族 以( t ，叮- ) ) ，盯e 的一致( 关 于) 吸引集，如果对每一个固定的丁r 和每一个b b ( x ) ， j 1 巴( s u pd i s t ( 以( ，t ) b ，y ) ) = 0 _ + o 。口 8 特别的，如果一个闭的一致( 关于盯) 吸引集题cx 包含在任意一个闭的 一致( 关于盯) 吸引集中( 最小性) ，那么必就称为是过程族 以( z ，7 - ) ) ，o r 的 一致( 关于仃) 吸引子 如果一致吸引子存在，那么它是唯一的通常关心的是得到紧的一致( 关于口 ) 吸引子 定理2 2 3 3 刁设日是b a n a c h 空间，e 是一个弱紧空间如果过程族 ( ，7 ) ) ，盯 ，并且 ( 1 ) 平移半群 t ( t ) ) t o 在上弱连续； ( 2 ) 是( 日e ，日) 一弱连续的j ( 3 ) 在日上有有界一致( 关于盯) 吸收集b o ； ( 4 ) 是一致( 关于盯) u 一极限紧的 则过程族( ( t ，7 - ) ) ，e 有紧的一致( 关于盯e ) 吸引子赡并满足 赡= u o ，( 玩) = uk ( s ) ，v s 酞， ( 2 1 ) 口 其中j j l c 仃( s ) 是具有符号e 的过程 ( ，7 - ) ) 的核厄，在t = 8 时的截片而且对 所有的盯e ，咒，( s ) 非空 2 3符号说明 下而对本文经常用使用的符号作义说明：用q 表示r 3 巾的可测集本文的结 论i 司样适用于n = 1 ，2 或n 3 的情况 m ( a ) 表示q 的l e b e s g u e 测度 l 2 ( q ) 的内积与模分别记为： ( 钆，u ) = u v d x ，i l u lj = i 让1 2 d x ，v u ，u l 2 ( q ) ； t ，2t ，n 驴( q ) 0 3 ) 的模记为： i p = | 乱l p d x ，v u ，u ( q ) ； 对于h i l b e r t 空i ；q d ( a 8 2 ) ，8 r ，内积与模分别记为： ( ，) 。= = ( a 8 2 ，a 8 2 ) ，0 | | 。= i i a 8 2 1 l ； 9 同时有下面的连续嵌入： d ( a 8 2 ) qd ( a 2 ) ，v s r ； ( 2 2 ) 齐口 o d ( a 们) ql 6 ( 3 _ 2 8 ( q ) ，v s 【0 ，昙) ( 2 3 ) 下面的内插不等式也成立：给定8 r q ，对垤 0 ，存在某个正常数q = g ( s ，r ，q ) 使得 a r 2 乱i i e l l a 8 2 u i | + q l l a q 2 钍0 ，v u d ( a 8 2 ) ( 2 4 ) 用c 表示任意非负常数，可能在不同的行，甚至同一行中c 表示不同的常数 1 0 第3 章全局吸引子的存在性及长时间行为 研究自治情况下全局吸引子的存在性及长时间行为时我们对非线性项，作如下 假设：假设，俨( 酞) ，f ( o ) = 0 ， l i 。m i n f ，( s ) 一入， ( 3 1 ) i 圳o 。 其中入是正数，a 0 成立 引理3 1 2 瞄刁设圣是酞+ 绝对连续的正函数，对任给的g 0 有如下微分不等 式成立j 面d 圣( 亡) + 2 垂( t ) 荆圣( t ) + ( 3 7 ) 对几乎每一亡r + ，g 和 是r + 的函数，使得存在t o 0 时对某一a 1 0 ， p 0 ，1 ) 有 j ( t t1 9 ( 可) i d 口，( 1 + ( 亡一丁) p ) ，v t o t 丁。； 对某一p 1 0 有 r t + 1 s u p l h ( y ) i d y 卢1 ； t o _ t o ，t 对某一q 2 0 ，肛 0 ，1 ) f t 1 9 ( 可) i 匆q z ( 1 + ( 亡一丁) ，) ，耽丁亡。； 对某一仍0 有 翟件1 瞰训匆鳓 其中0 2 和仍是与t 和t o 无关的常数则存在与，y 1 ，y ，0 1 1 ，2 ，有关的常数使得 成立，其中 是正数 圣( t ) ( 7 圣( o ) + 7 l ? 1 c ( e ，t o ) ) e 时+ p ，y t 豫+ ， c ( e , t o ) = 南。， 口2 侥矿 p2 而 注记3 1 3 根据以上引理，我们不需要圣的正则性，就可以用合适的正则空间 去解决这个问题 引理3 1 4 睁刁对于任意有界集bce 1 ，对任意t t o 和( u o ，“1 ) b ，存 在t o = t o ( b ) 0 ，下面不等式成立 i i v ( t ) 1 1 2 + ( s ) 1 1 2 d s ， ( 3 8 ) 其中是( 3 5 ) 和( 3 6 ) 与q 和c 有关的常数 引理3 1 5 心刁对任意有界集bce 1 ，存在t l = t o ( b ) + 1 使得 t ( t ) 1 1 2 + 。( s ) 1 1 2 d s 尬， ( 3 9 ) ，t 对t 1 和( 铷，乱1 ) b 有上面不等式成立，其中尬是仅与m o 和r 有关的常数 证明在l 2 ( q ) ) 用( 1 1 ) 与u 托作内秘，再由引理3 1 4 可证 引理3 1 6 【彳切对任意有界子集bce l ，存在t 1 = t o ( b ) 0 ，当t 乃时， 对任意u o ，u 1 ) b 时有 i i a ” “( t ) 1 1 2 + i i a l + 。o 毗( s ) 1 1 2 d s ， ( 3 1 0 ) 1 ，t 其中是仅与q 的l e 6 e s 夕乱e 测度z c 有关的常数 证明令伊= m t n j ，孚) 用a 。( u 。+ 5 u ) = a 9 u 乘以( 1 1 ) 并在q 上积分，有 去面d ( 1 l a 半u n ( 1 一p 6 + 6 2 ) i i a 半u 哟 + ( 弘一6 ) i i a 字口1 1 2 + 万( 1 肛6 + j 2 ) i f 4 半乱| | 2 = ( 一( i 饥i r - 2 t t t ) t ，a 4 u ) + ( 一，( u ) ，a 叮v ) + ( g ，a 。u ) ( 3 1 1 ) ( 一( 1 u c l 一2 u t ) t ，a 盯 ) ( 7 一1 ) i u t i r 一2u 托i i a 9 训 d 2 c r 一1 ，( 上c m _ 2 l u 圳，南) 宁( z 垆训南) 半 ( r 一1 ) ( z ( 坩_ 3 l 训占h l 南) 宁悄警训 c c c l l v u 。旷3 l l w 圳l a 半饥a 半u i i c ( 1 l v u c | 1 2 + 慨郴) ( 悄半u n 悄半圳2 ) ，( 3 1 2 ) 1 3 、-、i 3 2 l 一2 比一、 让 3 1 一 o r 2 u u 厂厶厂厶 ( 州u ) ，肌) _ c 1 1 v 圳4 ( i i a 半训2 + i | a 半训2 ) + + 字怯半训2 c ( 1 l v 让，1 1 2 + 慨- ( 怕警“1 1 2 + 悄半u 哟 + 字悄半u i l 2 + e l ， ( 3 1 3 ) ( 夕，钞) c 6 1 1 圳2 + 字悄半讥 ( 3 “) 记 ( 亡) = i i a 半口1 1 2 + ( 1 一肛占+ 5 2 ) | i a 半钆j 1 2 ， 令o l = r a i n ( 1 ，l p 6 + 5 2 ) ，卢= m a x ( 1 ，1 一肛6 + j 2 ) ，则有 p ( 恤半u i l 2 + 悄半“哟( ) 。( 恤半u i l 2 + i i a 半乱哟， 令g = m i n ( p 一5 ，2 5 ( 1 一“6 + 6 2 ) ) ，有 丢磊dn ( 卅字悄半圳2 + 2 5 ( 1 - # 6 彬) i i a 毡- - + i - 训2 c ( 1 lvu 。1 1 2 + i iv “扰1 1 2 ) ( 1 l a 半v l l 2 + i i a ”z “u l l 2 ) + c ；+ c 6 l l g l l 2 ( 3 1 5 ) d n ( 亡) + 昙( t ) ci i a 半u i l 2 + i i a 半u i l 2 ( t ) + a + 驯夕1 1 2 ( 3 1 6 ) 由引理3 1 2 有 证毕 i a 字训2 制a 半札雌1 a n ( t ) ( c ( 7 ) l i a 字u ( o ) 1 1 2 + i i a “：“u ( 0 ) 1 1 2 + c ( ，y 1 ，卢1 ，t o ) ) e 一“+ c ( ，) ，( 3 1 7 ) a 半毗1 1 2 i i a 半钉1 1 2 + 6 2 i | a 半训1 2 ( 3 1 8 ) 引理3 1 7 心刁 s ( 亡) ) t o 在e 1 有有界吸收集b 0 ，即，对任意有界集bce i ，存 在t o = t o ( b ) 使得 s ( t ) bcb o ，v t t o ， 成立 1 4 证明证明详细过程参看【4 7 】仪将1 4 7 】中疋理5 l 4 甲( 5 1 5 ) 瓦吸与为 ( ( i 蚓r - 2 t , t ) 必u ) 外- 1 ) ( 上i 乱t i 卜2 t i i 酬) 外_ 1 ) ( 加2 卜2 恤c | 2 ) 互i 外叫( 加3 ( r - 2 必训俐 sc 惮塑亭u 。pa l i v u , , l l l l v l lsc 惮半u t 旷2 l 0 ，j 而= 死( b ) ，n = ( b ) ( 有限维子空间x 1 的维数) ，使得 上1 2 + 小1 2 2 1 2 0 ，3 t 2 = 疋( b ，) 和( 墨的维数) ，使得对v t t 和m n ，有 l ( 卜2 u t ) 2 1 2 = l ( ，一p ) l i t t r 2 地1 2 ；( 3 2 3 ) | ( j p ) gj 2 = 1 9 2 1 2 e ； ( 3 2 4 ) i ( j p ) f ( u ) 1 2 = | ( ，( 也) ) z 1 2 一入1 ，( 4 3 ) i s l - o o s 其中o p 5 ，入1 是一在础( q ) 中的第一特征值 m 文献【1 】知，非线项，可分解为如+ ，1 ，其中矗， g x ( r ) 满足： l ，o ( s ) | c ( i + i s l 5 ) ， o ( s ) s 0 ， l ( s ) l c ( i + h 1 ) ， u m i n f 巡 一入1 i s - o v 8 由( 4 4 ) 、( 4 5 ) 及( 4 7 ) 得，存在入 a 1 使得 v s r ： v s r ： v s r ，y 5 ； ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) f ( s ) s2 ( s ) s 一入l s l 2 一c ( 4 8 ) 记f ( u ) = 正：( o 0 有 d i s t w ( u ( t ，7 - ) w 1 ，m ) l i e ”p ，d i s t w ( u ( t ，丁) w 2 ，w 3 ) l 2 e 也， 则有下面的结论： d i s t w ( u ( t ，7 - ) w 1 ，w 3 ) l e 一以， 这里一蒜，l = c l t + k 1 8 设，= i t ，丁】，这里7 酞，t 7 利用经典的g o z e r 舰礼逼近方法并结合能量估 计容易得到如下结论： 引理4 1 2 心9 】设非线性项，满足( 4 2 ) 一( 4 3 ) ，对任意的下r ，磊= ( u ，珥) h o ，g 瑶( j ，l 2 ( q ) ) ，则在区间j 上，系统( 4 1 ) 存在整体弱解，满足 u ，u t ，u u l 0 。( 【7 - ，卅，磁( q ) ) ， 并且对t = 1 ，2 ，设1 之，仇) ( 毒7 - l o ，吼l ；( 豫；l 2 ( q ) ) ) 是两初始条件，筋( t ) 是系 统( 4 1 ) 在区间，上的对应于两个不同初值的解则对所有7 - t t 有 z ，( ) 一勿( 亡) 慨q ( 1 l z r ，t ) ( i z r l - - 磊z i i ；t o + 慨一9 2 1 1 至：( r ；础) ( 4 1 1 ) 由引理4 1 2 ，对每一令g 鹾( r ；l 2 ( q ) ) 可以定义过程 t 4 ( t ，7 ) ：“o _ 饨o ， z r = ( u r ，v r ) - 0 ( t ) ，