（概率论与数理统计专业论文）高斯向量序列的几乎处处中心极限定理.pdf

独创性声明 学位论文题目：壶堑自量庄到的凸垩丛丛生! 堂拯限定堡 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者：) j 、氧芝，】款签字日期：如。7 年争月，- 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全r 解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者签名： 签字日期：年月 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期： 邮编 日 哆 目 挚 钆年 0 吵 喜汐 摘要 本文主要分为三部分，第一部分给出了多维随机变量最大值的几乎 处处中心极限定理主要结论如下； 定理a设 五耀。是标准化的d 维非平稳高斯随机变量序列， 若满足( 2 1 ) 和( 2 2 ) ，对实数向量序列u “= u m ( p ) ，p = 1 ，d ，i = 1 ，2 ，l 当t l o 。时，有【1 一雪( p ) ) l 一印且a 。( p ) 2c ( 1 0 9 n ) ，c 0 ，则 n d ，熙志；，( x 1 u 扎恐毗，拖蛳) 。里c x p ( 一) m ” k = 1p = i 其中a n = ( k ( 1 ) ，k ( d ) ) ，k ( p ) 2l 嗽2 扣) t p 。1 ，t d 定理b 设x 1 ，恐，是标准化的d 维非平稳高斯随机变量序列， 若满足( 2 1 ) ，( 2 2 ) ，( 2 3 ) 和n ( 1 一圣( 。( p ) ) ) 有界，则 。 熙去砉；，c x i _ u k l , 拖“： 定理c 设x 。，恐，是标准化的d 维非平稳高斯随机变量序列， 若满足( 2 1 ) ，( 2 2 ) 且当n o 。时，n ( 1 一m ( h ( p ) ) ) 一，p = 1 ，d ， 则 ，n ， d 恕去j ( m k 纵) = “p ( _ ) m m 定理d设髓，恐，是标准化的d 维非平稳高斯随机变量序 列，若满足52 。墨悠。 。娄：是。 h o ) i ，耋：是。 i r i j o ，q ) l ! 掣，当n o 。时，( 2 5 ) ，( 2 9 ) 成立，且当0 0 ，有 h 扫) c ( 1 0 9 n ) ，则 l i m - - 毒，。苫l - ：小* ( 辉一6 ；蝶) z ) 2 里唧( 一g e l ) n 口 l sa ， 一 p xc 。础 | i 姚 “ 0 ， 有( 2 8 ) 成立，则 熙i 而1 各ni 1 ，( 州噬一畦一m ：) s 刁= 重唧( 一“，( 唧) ) a 8 文章第二部分讨论了高斯随机变量最大与最小值的几乎处处收敛 性，结论如下t 定理g设x l ，恐，是标准化的d 维非平稳高斯随机变量序 列，若满足5 。! 嚣装。 。z ：是。 | r 巧p ) l ，。z 墨。 l r i j ( p , q ) i ) ! 粤，当，l o o 时，( 2 5 ) ，( 2 9 ) 成立当0 ，铷 o o ，n ( 1 一 垂( “。函) ) ) 一勺，n 垂( ) ) 一啦，p = 1 ，d ，则 熙去苫m t m t 慨u t ) 2 旦e x p ( 一( + 纠) 口s n d 文章第三部分主要给出了独立同分布随机变量最大值的几乎处处 局部中心极限定理。结论如下： 定理h 设 置) 墨。是独立同分布随机变量序列，e x i = 0 ，实数列 ， 满足 b n 丽毒靠， 则 熙而1 萎n 堕酱型= h s 其中p k 2 p ( v k 慨 0 t h e n 悠面1 备 i 1 啦t 妯，尼鲰。 t h e o r e mbs u p p s ex 1 ，x 2 ，b es t a n d a r d i z e dn o n s t a t i o n a r yg a u s s i a n dd i m e n s i o n a lr a n d o mv e c t o r ss a t i s f y i n g ( 2 1 ) ，( 2 2 ) a n d ( 2 3 ) l e tk ( p ) = 1 l r a i n 。“n 如) b ec o n s t a n t ss u c ht h a tn ( 1 一面( k 妇) ) ) i sb o u n d e d t h e n 恕雨1 备n 弘1 t 鲰- ，局鲰。 t h e o r e mcs u p p s ex i ，x 2 ，b es t a n d a r d i z e dn o n s t a t i o n a r yg a n s s i a n dd i m e n s i o n a lr a n d o mv e c t o r ss a t i s f y i n g ( 2 1 ) a n d ( 2 2 ) l e ta 。( p ) b ec o n s t a n t s s u c ht h a t 几( 1 一西( a 。( p ) ) ) 勺a s 几c of o rs o m e7 0 t h e n ，熙志喜，c 帆s = 翼d 唧c 一勺，一 t h o r e mds u p p s ex l ，x 2 ，- b es t a n d a r d i z e dn o n s t a t i o n a r yg a n s s i a nd d 1 。“。n s i o n a lr a n d o m ”o 糟”i h 6。!：浆d。z：是。j7巧)|)。s。u。p，。ha011 ，q ) i s p q s dl 1 t ， n 。 t 1 n 。 。j 3 8口 、， ， 一 烈 x e 。叫 | | 挑 u 0 ，t h e n 熙面1 蚤n ；j ( 嘣峰一畦一m ：) z ) 2 娶a 唧( 一印”) n 矗 w h e r e 峨2 ( 噱( 1 ) ，蟛( d ) ) ，峨0 ) 2 ，m 。a xy i ( p ) ，p 。1 ，d ，醛= k 匕厶2 ( 1 ，1 ) a n d 善= ( z 1 ，卫d ) 。- t h e o r e mf s u p p s ex l ，磁，b edd i m e n s i o n sr a n d o mv a r i a b l e sw i t h k = + 慨w h e r e ) 黯ls a t i s f yt h e o r e m2 1 2a n d 和m ：s a t i s f y ( 2 6 ) a n d ( 2 7 ) r e s p e c t i v e l y i f ( 2 8 ) h o l d sf o rs o m ed 0 ，t h e n 撬赤；小t ( 嵋一畦一m d z ) - h e x p ( 一唧( 一唧) ) 一 一=1p 1 t h e o r e mgs u p p s ex l ，x 2 ，b e s t a n ? a r d i z e d dd i m e n s i o n a ln o 璐t a t i o n - 、 a r y g 8 “s s l ”。“d 。mv e 。”丽h6 2 l!m，a。x!d8：曼。17玎(p)i。s。u。ptli 1，。 | p ，g ) 1 ) j 。 l 曼p q s d ； n “ l 1 ! 譬产鹊n 0 0 i fn ( 1 一垂( “。0 ) ) ) _ ，n 圣( ( p ) ) 一啦，p = 1 ，t ，d ，a s f o rs o m e0 ，伽 。o ，t h e n 1 n 1 d 恕去吾抛 i 1 壶吒，a n d 扎( 1 一f ( ) ) i sb o u n d e d 鹊v n k u n , t h e n 熙志喜掣引 w h e r e p k 2 p ( v k 帆 0 上述三种形式可统一记为t g ( x ) = g ( 。) = e x p - - ( 1 + 7 x ) 一；) ，1 + 7 z 0 ，- y r 其中，y 称为极值指数 当 五煨1 为独立同分布的标准化高斯序列时，l e a d b e t t e r 等( 1 9 8 3 ) 得到 p ( ( 。一k ) z ) 一p ( 一e 1 )( 1 1 ) 其中a n = r 聒畦面，k = 一i l u 。- 1 l o g ( 4 n l o g n ) 在弱相依r n l o g n 一0 条件 下，b e r m a n ( 1 9 6 4 ) 通过正态比较引理，证明了对平稳高斯序列，( 1 1 ) 式成立 ( 见l e a d b e t t e r ( 1 9 8 3 ) ) ，其中r n = c o v ( x l ，x 1 + 。) 对强相依高斯序列的极值理论 的研究，见l e a d b e t t e r 等( 1 9 8 3 ) 1 2 文献综述 近年来，几乎处处中心极限定理( a l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e m 简记为 a s c l t ) 的研究受到概率工作者们的青睬b r o s a m l e r ( 1 9 8 8 ) 和s c h a t t c ( 1 9 8 8 ) 首先给出了独立同分布随机变量部分和的a s c l t ，即 命题1 2 1 设x l ，尥，为独立同分布随机变量序列，若e x l = 0 ，e x ? = 1 且e i x l l 2 + 5 0 ，则 上l o g n 鲁三k ，( 袅z ) 骂毗) ，n o 。 ( 1 2 ) 6 其中s = 五，m ( z ) 为标准正态分布，j ( - ) 表示示性函数 l a c e ya n dp h i l i p p ( 1 9 9 0 ) 在二阶矩有限的条件下，将( 1 2 ) 式推广到了函数 形式 丽1 。+ 备。lf ( 、，s k ， 骂f 。o ( z ) d 圣( z ) ，n m ( 1 3 ) 其中，为满足l i p s c h i t z 条件的有界函数1 b r a g i m o va n dl i f s h i t s ( 1 9 9 8 ) 和 b e r k e sa n dc s 6 & i ( 1 9 9 8 ，2 0 0 1 ) 再次将函数，进行推广，得到了一定条件下无界 函数的a s c l t f a h r n e ra n ds t a d t m 也l l e r ( 1 9 9 8 ) 和程士宏等( 1 9 9 8 ) 分别给出了独立同分布 序列的最大值的a s c l t ，即 命题1 2 2 设x 1 ，磁，为独立同分布随机变量序列，若p ( sd 二1 + k ) ! g ( z ) ，则 去喜；，( 觑舛x x + b l , ) 兰g ( 1 a ) 其中慨= m a x x i c s i k ia n dg o n c h i g d a n z a n ( 2 0 0 2 ) 将命题( 1 2 口9 推广到平稳高斯序列的情 形，即 命题1 2 3 设托，局，为标准平稳高斯序列，若r n l o g n ( 1 0 9 l o g n ) 1 “= 0 ( 1 ) ，存在0 冬r o o ，对实数列 n 。 ，当n o o 时，有n ( t 一圣( 。) ) 一r ，则 赤占7 ( 晓纵) 一 p e n ga n dn a d a r a j a h ( 2 0 0 6 ) 和c h e na n dl i n ( 2 0 0 6 ) 分别在不同的条件下把 命题( 1 2 $ ) 推广到非平稳高斯序列的情形王丽丽( 2 0 0 6 ) 给出了独立同分布随 机变量序列最大值与部分和的a s c l t 谭中权和彭作祥( 2 0 0 7 ) 考虑了独立随机 变量序列最大与最小值联合的a s c l t ，即 命题1 2 4 设x l ，x 2 ，若实数列 t “ 墨l ， 地 墨l 满足n ( 1 一f ( ) 一 n f ( v 。) 一r l ，0 t ，r o o ，则 赤k 善_ l1 ，m t 廓* 帆u t ) e x p ( 一( r + 町) ) 本文的第一，二部分将a s c l t 推广到了多维随机变量最大值和最大值与最 小值的a s c l t ， 7 文章第三部分转入到对独立同分布随机序列的几乎处处局部中心极限定理 ( a l m o s ts u r el o c a lc e n t r a ll i m i tt h e o r e m ，简记为a s l c l t ) 的研究 c h u n ga n de r d s s ( 1 9 5 1 】给出了独立同分布的整值随机变量的a s l c l t ，即 命题1 2 5 设x l ，恐，为独立同分布整数随机变量，e x l = 0 ，对任意整数 a 有 去壹鹄孚兰，k l o g n 厶帆 =l 其中j v j = e p ( & = a ) e c s a l 【i ，a f s l d e sa n dl 畦v 6 s z ( 1 9 9 3 ) 给出了独立同分布随机变量三阶绝对 矩有限且具有有界密度函数条件下的a s l c l t ，即 命题1 2 6 设x l ，磁，为具有有界密度函数的独立同分布随机变量，若e x l = 0 ，e i x l l 3 s o ，若c k ，e k 满足“砂且 。萎。壶刊酬，n o 。 茂卸 则 上g n 产塾皇坠型兰l ( 1 5 ) k 7 = t l o g k p k 、。7 其中p k = p ( o i 鼠 o ，0 赤，2 t k ( p ) ，p = 1 ，d 6 记m k 一= ( 尥，n ( 1 ) ，慨，n ( d ) ) ，其中慨n ( p ) 2 + m l 。a ；x 。五扫) ，p 2 1 ，d 特别的，当k = 0 时，记 靠= m 1 。；当d ；1 时，二者分别记为 取。庇 7 记m k ，n = ( m 如( 1 ) ，m k n ( d ) ) ，其中m k 。n ( p ) 2 震曼。x t ( p ) ，p 2 1 ，d 特别的，当k = 0 时，记m 。= m l 8 记a 。= ( k ( 1 ) ，k ( d ) ) ，k 0 ) = 卿璺t 0 ) ，p = 1 ，2 d 9 文中a n = 以1 画，k = a n 一；a t , 1l o g ( 4 7 r l o g n ) 9 第二章高斯向量序列的几乎处处中心极限定理 c s f i l d 和g o n c h i g d a n z a n ( 2 0 0 2 ) 验证了平稳高斯序列最大值的几乎处处中，5 - 极限定理，p e n ga n dn a d a r a j a h ( 2 0 0 6 ) 和c h e na n dl i n ( 2 0 0 6 ) 在不同条件下分 别把它推广到非平稳高斯序列情形本文将分析多维高斯变量序列最大值的几乎 处处中心极限定理 2 1 主要定理 本节将给出主要的结论，证明将在下节给出 设= ( x 。( 1 ) ，五。( d ) ) ，n21 是标准化的d 维非平稳高斯随机变量 序列e x = ( e x i y ) = o ，p = 1 ，d ) ，v a r x 。= ( v a r x ( p ) = 1 ，p = 1 ，d ) ，( p ) = c o v ( x , ( p ) ，x j ( p ) ) ，p = 1 ，d ，侈，q ) = c o v ( x , o ) ，x j ( q ) ) ，1s p q d ，其中 r , a p ) i 加一q 扫) ，i r l j 扫，口) i p l j q ( p ，q ) ，t ，j = 1 ，2 s u pp n ( p ) 1 ，s u pm p ，q ) 0 且壹( 1 一圣( ( p ) ) ) 一勺，p ：1 ，d ， l = 1 则 。l i m 。l 。9 1 。+ 鲁_ 女1 ，( x i _ u k l , 恐“t 。 定理2 1 2 设x 1 ，是标准化的d 维非平稳高斯随机变量序列，若满 足侣，和偿剀，n ( 1 一垂( k ( p ) ) ) 有界且 p ( x l5u n l ，x 2 u n 2 ， 1 0 ( 2 3 ) s口 ， 一 p 既 。叫 i i 砖 一 唯 一 p 旺 。n 叫 一 u 一 x 成立，则 恕而1 备 i 1 ，( x 1 _ u k l , 恐鲰： 定理2 1 3 设x l ，尥，是标准化的d 维非平稳高斯随机变量序列，若满 足停j ，和俾矽且当n 0 0 时，n ( x 一垂( a 。( p ) ) ) 一，p = 1 ，一，d ，j l , l l i m 。一嵫1 。售n 。1 ，( 慨= 望d 唧( 一，) n s 其中a t = ( a k ( 1 ) ，a i ( d ) ) 特别地，取k p ) = a 7 , 1 + k ，p = 1 ，d ，昂r 有 ， n ， d ，熙赤；。( 呱m 2 娶既p ( 一唧( 一) m 乳 定理2 1 4 设x l ，恐，- 是标准化的d 维非平稳高斯随机变量序列，若满 足 俐扛，爨。乜s u 。脚p ，。s t s s u 伽p g ) i 等挚，对p ，q = 1 ，2 ，一，d ，p 口，当n o o 时，有 l 一 n 2 1 ( p ) le x p n i 啊c o ) ll 。g o - i ) ) l o g ( j 一 ) ( 1 0 9 i 。g n ) _ n ( 2 4 ) l i j n 去i 勺j q ) i “p ( 1 i p ，训l 。g ( j f ) ) l 。g o 一 ) ( 1 0 9 1 。g n ) 叫1 + ，( 2 5 )。 l j “ 则 n ，当0 昂 0 0 ，竹( 1 一垂( u 。( p ) ) ) ，p = 1 ，一，d ，有 一l i m 。1 。篙+ _ 。1 ，( 慨( 1 ) 州- 卜- ，慨( d ) 州d ) ) = 垂“n ( 一动 r 缈若“。( p ) = n 二1 + k ，p = 1 ，一，d ，x p 取，则 熙而1 备ni 1 ，( 慨( 1 ) 鲰( 1 ) ， 1 l s0 ， 一 以 xc 。叫 = 、j 船 u 0 ，使得 ( 燃氟( p ) - m z ( j o ) ) sd ，p = l ，d ( 2 8 ) 则 。l i m 岫9 1 。台 泌1 t ( 峨 2 2 定理的证明 在主要定理证明之前，需要下面的引理及定理； 引理2 2 1 设f l ，2 ，一，厶；q 1 ，啦，分别是标准化的d 维非平稳高斯 向量序，q ，其中吗) = c m ( 毛( p ) ，白( p ) ) ，r ：( nq ) = e ”心) ，6 ( g ) ) i 屹( p ) = e o ”( 琅( p ) ，叩j ( p ) ) ，屹( p ，q ) = c o v ( r h ( p ) ，仍( 口) ) 令p o p ) = m a x ( i 噶( p ) l ，l r o o ) i ) 砌仞，g ) = m a x ( i r 。( p ，q ) l ，i r ；p ，q ) i ) ，l j n ，1 p q d 若 sn n 一 “ 既 一 ，l p 既 。叫 | | 、， z m 一 峻 t 。l ，2 ，一，“。为实值向量序列，则 i 尸( 6 t l ，j = l - - n ) 一p ( r js ，j = l , - - - n ) i 娲壹三，) - r 捌1 ( 1 一西蚜班e x p ( 一黼) f = i1 蔓i j s n + 鲍口) 一屹蚓( ，一伽，口) ) 邶唧( 一耥2 2 ) 1 5 p q 茎m 掣 j 曼n 。 其中k 1 ，k 2 为常数 证明：由l e a d b e t t e r 等( 1 9 8 3 ) 定理4 2 1 易知 引理2 2 2 设x l ，是标准化的d 维非平稳高斯向量序列，若满足 n 伊j j 和仁纠和( 1 一西( t m ( p ) ) ) 有界，p = 1 ，。一，d 则 i = l 最=d邑i训i唧(一黼)(109log矿删(29)1l p = i j s n 、 跏，互。剔咖1 口) i 唧( 一黼) ( 0 9 l o 邮 1 蚋螂4 9 9 、 f 2 1 0 ) 证明：下证( 2 1 0 ) 成立，( 2 9 ) 相似可得 由( 2 1 ) 知s u p l i j n p ，口) = 6 1 令靠= e q ( 1 n 妇) p ，其中叩 靠 、。 ：s 曼1 + s _ 乎 而 鳄，s s 唧( 一笺杀掣) 1 殍6 4 卤笛 s a 唧( 一些掣) 1 3 6 1 5 p 口曼d j l ! 靠 i s i 0 设 则 掣聂帅)exp(一币u2ni(协p)+2tm2n3(q)zsp#qsdi - i _ i t p , 8 。 、 、1t 蚴一q ) ，：乏。盈噻e x 一( 鹅) 喀唧( 一盟2 ( 1 + 5 t ) 、j - 设满足1 一西( ) = ：，则n 。) 三n 。或者 ( p ) s ，。 ( g ) 乱。或者 “，。( 口) su n 印s 。曼。盈( 一高) + 妻i = 1 唧( 书1 圳刊) ) n 唧( 一狐) + 善n 唧( 一j l u 孙) ( 1 一盈) ) ) 因为 n “p ( 一高) = n 唧( 警) 唧( 焉) 薏唧( 一萼) ) 唧( 警& ) 当让( p ) ，1 s p d 时， 饮p ( 一互1 2 ( p ) ( 卜瓯) ) 则 = o 且nf l 一 垂( ( p ) ) 】_ ，p = 1 ，吐则 扛1 p ( x ls 撕n ，磁s 珥。2 ， 1 i 匕明2 由引理2 2 1 ，相似于引理2 2 2 的证明可得 引理2 2 3 设置，砭，是标准化的d 维非平稳高斯向量序列，若满足 偿一j 和俾矽和n ( 1 一圣( k ( 力) ) 有界，p = 1 ，d ，e q 列- p ，g ：l ，2 ，一p q ，币 戎。妄，篆。怖( 一篑崭涨i ) c 呶矿o + c ，仁埘 仁l l l j n 、 1 十1 7 “l p ，j ， 。 。 、 踮，：纛。s罴i ! 世1 + 丑5 ，使得 嘉二， ，g ) le x p ( 7 1 r l j ( p ，g ) l l o g ( j i ) ) i 。g o 一 ) ( i o g l 。g 。) 川l _ p y e q d l s l s j s n 。 嘉至1 ( p ) je x p ( 7 i ( p ) ji o g o ) 1 0 9 ( j 力( 1 0 9 j o g 。) - ( 1 州 p = 1 1 j n 7 成立若存在0 昂 o o ，n ( 1 一面( ( p ) ) ) 一r p ，p ：1 ，一，d ，则 ，! 乏。曩。h ) le x p ( 一蒜弹甓龋) ( 1 0 9 l o g n ) ( 2 ) 1 6 ，卜唧 。硝 一 一 k 砉。曩。( 一掣蒿静) ( 蚓酬小 ( 2 1 6 ) 证明：下证( 2 1 5 ) 式成立由于 ，邑。蒹。ir,j扫两(一耥)11 p q s d l i g 如 、”“7 =。三。i嘶。)i唧(一筹俄骗)1_p c q d l s i s j 宰 、v ，。 +。量。)i“p(一碧糯鳊)1p # q n ， = ：丑+ 死 由于( p ) 的定义可知，令卢：；，即0 口 鬻 五s ，至三i 协g ) l 唧( 一帮) 1 1 殍q d 暑笳 、。7 r , 1 + o ( n 一2 1 0 9 礼) 南 = 礼1 + 肛( 1 0 9 n ) 因1 + 卢一南 0 ，故乃( 1 0 9 l o g n ) 一( 1 + “ 另一方面， 足曼。三。d ie x p ( 一筹谶鳊) 1 p 口 dl s l j n 、。7 i 扫，q ) l ( n _ 2 l o g n ) 评可1 翮 1 1 p q 4 譬曼分 n 2 l r i j ( p ，口) f 咖剐il o g nzjz j i 1 一q 4 兽j 劣 n - 2 i r , j ( p ，q ) l ( j 一 ) 掣l o g ( 3 一f ) 1 p 9 1 4 譬：各 n 以i 妇，q ) i e ( p ( 7 h ，q ) l l o g ( j 1 ) ) l o g ( j 1 ) 1 s p q g 兽i 努 f l o gl o gn ) 一( 1 + ( 2 1 5 ) 得证，同理可证( 2 1 6 ) 成立 1 7 足 引理2 2 5 设x l ，恐，- 是标准化的d 维非平稳高斯随机变量序列，若满 f 8 ) ( b ) 扛。爨。比s u 。伽p 帆，。垡s u 伽p ，口) i ) ) 等挚，当n o o 时，有 去i 妇) i “p ( 7 l 勺( p ) l l o g o t ) ) l o g o 一 ) 一o ； ( 2 1 7 ) 口= 1l s i j s n 去i o ，口) i “p ( 7 i ( p ，q ) ll o g o - i ) ) l o g ( j - i ) 一o ，( 2 1 8 ) 1 p q s dl i j ” 则若存在0 勺 o ，使得 v o r ( 妻k = l ；t t ) ( - 锯n ) 2 ( ，o s ，o s n ) 一o 则 舰去苫n 扣一巩 k e i l n 七一n 证明：c s k i 和g o n c h i g d a n z a n ( 2 0 0 2 ) 引理3 1 定理2 1 1 证明：设o l k = ，( x i “鼬x 2s 钍k 2 x ksu k k ) ( 喜2 蔷n 扣m 1 蒹掣 = l= l k l ( “ s 喜去+ n 。曼。唑掣 由引理2 2 6 和引理2 2 8 可知， e ( a t ，啦) l c o i f ( x , 饥l ，x st 坫詹) ，i ( x i5u l l ，u u ) 1 e d ”( ，( y 1 u k l x k t 正船) ，( hs t f l 五“) 一j ( ) “+ l u t ( k + 1 ) l c o ”( i ( x - u i - 2 e i ( x s u 1 1 ，一， + j c w ( ，( 蜀， ；+ ( 1 0 9 l o g 矿。 ， 陆( nb ) 妻 k = 1k = 1 = k = 1 x ts t “) ) i + 尥 - - u k k ) ，l ( x k + ls 啦( + 1 ) 五t h ) ) l x t u 1 1 ) 一，( 戤+ l “k + l ，x z 珏1 1 ) 尥s ) ，( 尥+ i 让l ( k + 1 ) 壶 ，点。两1i 了k + ( 1 0 9 l 0 9 1 ) _ ( m ) 万1 + 2 吕乒1 + 2 l ( 1 0 9 1 0 9 f ) 川删 1 l n1 k c ( 1 0 9 n ) 因为 i 篇一，i = l 掣| 絮一o 眨埘 “n ( p ) ( 晓t ( p ) 一m ：扫) ) 一( 胤t p ) 一m ：o ) ) i = l 慨( p ) 一峨) l i u 。( p ) 一l = 慨。) 一憾圳乏+ 6 n 一一l 0 9 2 l 。o 。g n ，_ i i 卟捌二嗾圳学l z l 芈岫 ，k 风( p ) ! 丽 一0 f 2 2 0 1 由( 2 1 9 ) 和( 2 2 0 ) 可知 砉( ) 一喜去篙斧 ：l 竺! ! 二! u 2 ：! ：= ! 二兰：竺! ! ：! ：! , ! 望二! ! 竺! ! 二i ! 兰! 塑二! ! 竺! ! 1 2 2 7 r 鲁 “。( p ) 一芳紫喜e 印( u 捌( 喇吨一如卅删2 ) 一n ( 1 一垂( u n p ) ) ) ：壹i = 1e x p ( ( p ) ( m ；。) 一m ：如) ) 一；( 慨( p ) 一m ：( p ) ) 2 ) _ g e 一。 2 2 定理2 1 6i 匠s f l ：已知k p ) 2 恶臻”m ( p ) 。p ) + 候( p ) 一莲誉僦t ( p ) ， 其中t t l b ) = 毒+ k ，p = 1 ，d 且 ( p ) ( 瞿鉴佩( p ) 一憾如) ) 一j 1l 罡答m t p ) 一嚆( p ) ) 2 ：( 黪喇一删) ( - 一1 l o g ( 4 n = _ l o g n ) + 器一鲨芸型) 因此 n ( 1 一圣p ) ) ) 一n k l 0 ，) e x p ( 一互1 ( 缸。( p ) + m ：) 一。m 9 a x 。r h t ( p ) ) 2 ) 。 i - ；( u 。( p ) ) 1 唧( 一“。( p ) ( m ：。) 一f ! 罂m 。p ) ) 一i ( m ：。) 二f ! 器停k ( p ) ) 2 ) 西， 故满足定理2 1 2 ，命题得证 由前面的定理不难得出多维平稳高斯随机变量最大值的几乎处处收敛 推论2 2 1 设z 1 ，z 2 ，是标准化的d 维平稳高斯随机变量序列 纠当n _ o o ，7 n 0 ，q ) _ 0 ，t n ( p ) _ 0 ，1 p g d j 例对于，y ! 害笋，6 = s 粤 | r 。( p ，q ) l ，l r n ( p ) i l ，有 l 菇； d 、 。 ：砉争i l o g k e x p ( 坩酬叫c 咄训川删仁z ， q ) l l o g k e x p ( 7 1 “( p ，q ) l l 。g k l ( 1 0 9 l o g n ) 叩“( 2 2 2 ) 若存在0 勺 o o ，使得n ( 1 一垂( ( p ) ) ) 一r p ，p = 1 ，d ，则 熙面1 n ；，( 慨“t ) = 望d 唧( 一，) 帆 特别地，i xu 。( p ) = 吒1 却+ k ，p = 1 ，2 d ，则 ：；m 上l o g n 。= t ；啪鲰) = 旷d 叫 p 。 g ； l 一礼 推论2 2 2 设z l ，历，是标准化的d 维平稳高斯随机变量序列，满足 h ( p ) l o g n ( 1 0 9 l o g n ) 1 “= 0 0 ) ，0 ，q ) l o g n ( 1 0 9 l o g n ) ”5 = o ( 1 ) ，1 p q d ( 2 2 3 ) 若存在0 勺 o 。，使得n ( 1 一面( “。( p ) ) ) 一下pp = 1 ，一，d ，则 热去砉沁 “i ) = e 印( 一丁p ) 8 s ( 2 2 4 ) 特别地，取( p ) = 1 + k ，p = 1 ，2 ，d ，则 ，熙丽1 各ni 1 ，( 帆s “t ) = 旦d 唧( 一e 嘶) 口s - ( z 衢) 第三章最大值与最小值联合的几乎处处中心极限定理 本罩主要分析多维面斯序列的最大值与最小值联合的j l 乎处处甲心傲限足 理设x l ，恐，是标准化的d 维非平稳高斯随机变量序列，若满足 扛，攘。 ，娄墨。 k t a p ) i l 三：曼。帆加，口) 1 ) ) 等挚，当n o 。时，有 去i r , a p ) le x p ( 7 k d p ) f l o g o 一 ) ) l o g ( j i ) ( 1 0 9 1 。g - ) 椰“( 3 2 )。 ，；ll l j ” 磊1i o ，q ) le x p ( t i r i j ( p ，g ) il 。g o - i ) ) l o g ( 3 - i ) ( 1 0 9 l o g n ) 叫1 ， 。1 s p # q d 1 i j n ( 3 3 ) 童中记号沿用匕童的 3 1 主要结论 首先给出本章的主要定理 定理3 1 1 设x l ，恐，为满足p j ，p 缈和阻动的标准化d 维非 - 4 f - 稳高斯随机变量序列，若存在0sr p ，嘞 o o ，使得n ( 1 一垂( 0 ) ) ) 一 ，n 西( 0 ) ) 一，p = 1 ，一，d ，则 恕面1 苫n ；，h 帆“t ) = 里d e x p ( 一( 昂+ ) ) 伽 特别地，取u 。( p ) = 去吻+ b n ，如) = 击韩一k ，昂，如为实数，p = l ，d 则 熙面1 各ni i ，( v k m k 慨“t ) = 垂唧( 七”+ e 一吲 3 2 引理及定理的证明 引理3 2 1 设l ，矗；r h ，分别为