（应用数学专业论文）框架理论及其在信号处理中的应用.pdf

中文摘要 摘要 傅立叶分析是近代数学各种分支中应用得最广泛的一个分支。自从六十年代 中期快速傅立叶变换算法被发现以来，傅立叶分析的应用领域愈益扩大。到今天， 几乎一切现代科学技术领域都要用到傅立叶分析方法。但是傅立叶分析本身的局 限性也随着傅立叶级数的发展也显得愈发突出。针对这一问题，自2 0 世纪4 0 年 代以来，诸如短时傅立叶变换、g a b o r 展开和分数阶傅立叶变换等新的分析方法被 陆续提出。 框架概念最早由r j d u f f i n 和a g s c h a e f f e r 于1 9 5 2 年研究非调和傅立叶级数 时正式提出的，它在小波分析的发展中起了非常重要的作用。本文讨论了框架的 基础理论：提出的分数频傅立叶级数正是对这种j 下交性进行的一般化拓展。这种 非正交性突破正交性要求下的频率为基频整数倍的限制，使得对信号的处理更加 灵活、细致。在本论文中，还提出了问题研究的方向。 本文分四章讨论： 第一章是预备知识，讨论了有关傅立叶级数、空间、算子以及贝塞尔序列的 基础知识，是以后各章必备的基础。 第二章在前人工作的基础上从以下几个方面系统地总结了框架的有关理论： l 、框架的概念； 2 、框架与算子、贝塞尔序列的关系； 3 、对偶框架； 4 、框架的分解与重构； 5 、特殊的框架； 6 、有关框架的其他问题。 第三章提出了一维、二维分数阶傅立叶级数的有关概念，并指出了分数阶傅 立叶级数在信号处理中的应用； 第四章指明了分数阶傅立叶级数的研究方向。 关键词：框架；傅立叶级数；分数频；信号 英文摘要 f r a m e ( f r a c t i o n a lf r e q u e n c yf o u r i e rs e r i e s ) a n da p p l i e di n s i g n a l a b s t r a c t f o u r i e ra n a l y s i si st h em o s tw i d e l y - a p p l i e de m b r a n c h m e n ti nm o d e r nm a t h e m a t i c s s i n c em i d19 6 0 s ，ap e r i o do fi n v e n t i n gt h ef a s ta l g o r i t h mo ff o u r i e rt r a n s f o r m ，t h e i n f l u e n c i n gr a n g eo ff o u r i e ra n a l y s i sh a sb e e nb e i n gb i g g e ra n db i g g e r t on o w ，n e a r l y a l lf i e l d so fm o d e r ns c i e n c ea n dt e c h n o l o g yu s et h em e t h o do ff o u r i e ra n a l y s i s h o w e v e r , i t sl i m i t a t i o nb e c o m e sm o r ee x t r u s i v ew i t hi t sd e v e l o p m e n t s i n c e19 4 0 s ， m a n yn e wm e t h o d sh a v eb e e np u tf o r w a r da n db e e ni m p r o v e d ，s u c ha s t h es t f t ，g a b o r a n dt h ef r f t a l t h o u g ht h e ya l lm a k en e wi m p r o v e m e n t st h e o r e t i c a l l ya n de v e ni n a p p l i c a t i o n s ，t h ed i r e c ta n s w e r st on o n o r t h o g o n a l i t yh a ss t i l ln o tb e e ng i v e n o u t f r a m e st h a tp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nw a v e l e ta n a l y s i sw e r ef i r s t l yd e f i n e db y r j d u f f i na n da g s c h a e f f e ri n19 5 2w h e nt h e ys t u d i e dt h en o n h a r m o n i o u sf o u r i e r s e r i e s i nt h i sp a p e r , t h et r i g o n o m e t r i cs e r i e sw i t hf r a c t i o n a lf r e q u e n c yi n t e r v a l s ( t s f f i ) i sp r o p o s e dj u s ta sau n i v e r s a ld e v e l o p m e n to ft h ef o u r i e rs e r i e s ( f s ) t s f f ic o n s i s t so f s i n ea n dc o s i n ef u n c t i o n sa sf s ，b u tf r e q u e n c yi n t e r v a l so ft h et r i g o n o m e t r i cf u n c t i o n s d o n th a v et ob ei n t e g e r s t h e r e f o r e ，t h ep r o c e s s i n go fs i g n a lb yt s f f ii sm o r ef l e x i b l e a n dp r e c i s e i nt h i sp a p e ri st op r o v i d eas t u d yd i r e c t i o nf o rf u r t h e rr e s e a r c hi nt h e o r y t h i st h e s i sc o n s i s t sf o u rc h a p t e r s ： t h ef i r s tc h a p t e ri sp r e p a r e dk n o w l e d g e ，d i s c u s s e dt h ef o u r i e rs e r i e s ，s p a c e ， o p e r a t o ra n dt h eb a s i ck n o w l e d g eo fb e s s e ls e q u e n c e ，a f t e re a c hc h a p t e ri se s s e n t i a l f o u n d a t i o n c h a p t e ri io nt h eb a s i so fp r e v i o u sw o r kf r o mt h ef o l l o w i n ga s p e c t s ：f r a m ef o r s y s t e m a t i c a l l ys u m m i n gu pt h et h e o r y ： 1 t h ec o n c e p to ft h ef r a m e ； 2 f r a m ea n do p e r a t o r ，b e s s e ls e q u e n c e ； 3 t h ed u a lf r a m e ； 4 ，t h ef r a m eo fd e c o m p o s i t i o na n dr e c o n s t r u c t i o n ； 5 ， s p e c i a lf r a m e ； 6 ，t h ef r a m eo fo t h e ri s s u e s c h a p t e r i i ip r e s e n t st h ec o n c e p to fao n e - d i m e n s i o n a l ，t w o d i m e n s i o n a lf r a c t i o n a l f o u r i e rs e r i e s ，a n dn o t e dt h a tf r a c t i o n a lf o u r i e rs e r i e si ns i g n a lp r o c e s s i n ga p p l i c a t i o n s ； c h a p t e ri vp r e s e n t st h es p e c i f i e df r a c t i o n a lf o u r i e rs e r i e sr e s e a r c hd i r e c t i o n k e yw o r d s ：f r a m e ；f r a c t i o n a lf r e q u e n c y f o u r i e rs e r i e s ；s i g n a l 大连海事大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：本沦文足在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果， 撰写成博士硕士学位论文= = 框塞堡途区墓查信墨处堡虫的廑恿：。除论文中 已经注明引用的内容外，对论文的研究做出重要贡献的个人和集体，均己在文中 以明确方式标明。本论文中不包含任何未加明确注明的其他个人或集体已经公开 发表或未公开发表的成果。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 够冲弓月巧同 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连海事大学研究生学位论文提交、 版权使用管理办法”，同意大连海事大学保留并向国家有关部门或机构送交学位 论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连海事大学可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于：保密口 不保密口( 请在以上方框内打“ ) 论文作者签名：缈 导师签名： 同期：珊年弓月? 夕同 框架理论( 分数频傅立叶级数) 及其在信号处理中的应用 引言 小波分析是傅立叶分析发展史上罩程碑式的进展，它是近年来迅速发展起来的新兴 学科，它同时具有理论深刻与应用广泛的双重意义。它的应用范围包括数学领域本身的 许多学科、信号分析、图像处理、量子力学、电子对抗等许多方面。 框架理论是研究小波分析的一个主要工具，框架概念最早由r j d u f f i n 和 a g s c h a e f f e r 于1 9 5 2 年研究非调和傅立叶级数时f 式提出的，它在小波分析的发展中 起了非常重要的作用，文献1 2 6 3 0 j 对此作用讨论得非常深刻。从数学的角度理解，框架理 论研究的是非调和傅立叶级数拓展；从信号处理的角度理解，研究的是由非j 下则样本值 t r ( t 。) 一重构带限信号厂的问题。1 9 8 6 年由d a u b e c h i e s ，g r o s s m a n n a n dm e y e r - - - - 3 , 共同 撰写的文章1 2 3 j 被认为是一篇罩程碑式的文章，他们发扬了信号处理中超定系统的强大 作用，从那时起这个理论有了广泛的发展。目前，人们普遍认为，文献 2 9 - 3 0 j 是论述框架 理论及其应用的比较权威的著作。文献1 3 1 - 3 3j 中对框架的有关概念和结论进行了比较详尽 的介绍，特别是文献1 3 3 j 。 文献 3 s - 5 8 j 从框架理论的不同角度诠释了其在信号处理中的应用，是本文第3 章的重 要基础。本文还重点论述了分数频傅立叶级数的有关理论和它在信号处理中的应用。最 后，本文指明了所定义的分数频傅立叶级数的研究方向。 第1 章预备知识 第1 章预备知识 这一章主要介绍傅立叶级数的发展过程，作为一种f 交函数系的理论指出它存在的 一些问题。接着，讨论已有的一些非f 交函数系( g a b o r 展丌及短时傅立叶变换) 和作为 对傅立叶级数本身进一步发展的分数阶傅立叶级数。从而比较全面地讨论傅立叶体系的 发展进程。对于本文提出的框架理论，实际上是一种非正交理论。对阐明框架理论所需 要的相关理论在本章做必要的阐述。 1 1 傅立叶级数及傅立叶变换的发展 1 1 1 傅立叶级数及傅立叶变换的成熟过程 第一次系统的使用三角级数可以被追溯到1 7 5 3 年b e r n o u l l i 关于对振动绳的描述： 在一根长度为7 的绳子上，振动可以表示成： f ( x ，t ) = a s i n n x c o s ( n t 一口) ( 1 1 1 ) 但是由于绳子的一端是被固定住的，这种表示形式需要进一步探讨。1 8 2 2 年，傅立 叶通过对圆圈中的热流进行研究，提出了一种新的表达形式： “( 五f ) ：n ( 彳。c 。s 蹦+ j 6 f 。s i n 船) p 膏， ( 1 1 2 ) 这种表达形式就具有了更一般的特性。此外，他还断言：“任何”周期信号都可以 用这样的级数来表示! 虽然在这一问题上他的论述是很有意义的，但是，隐藏在这一问 题后面的其他很多基本概念已经被其他科学家们所发现；同时，傅立叶的数学证明也不 是很完善的。直到1 8 2 9 年，p l 狄罩赫利( p l d i r i c h l e t ) 给出了若干精确的条件。在 这些条件下，一个周期信号才可以用一个傅立叶级数来表示。这些条件后来被称作 d i r i c h l e t 条件。因此，傅立叶实际上并没有对傅立叶级数的数学理论作出贡献。然而， 他确实洞察出这个级数表示法的潜在威力，并且在很大程度上f 是由于他的工作和断 言，才大大激励和推动着傅立叶级数问题的深入研究。另外，傅立叶在这一问题上研究 成果比他的任何前驱者都大大前进了一步。这指的是他还得出了关于非周期信号的表 示一一不是成谐波关系的正弦信号的加权和，而是不全成渚波关系的正弦信号从加权积 框架理论( 分数频傅立叶级数) 及其在信号处理中的应用 分。 在此后近两个世纪中，傅立叶级数的理论及其类似体系( 傅立叶分析) 的研究不但 是分析数学领域的一个中心部分，而且还对大多数现代数学理论的发展起了推动作 用。这主要因为大部分早期工作是以其使用者的直觉和聪明j 智为基础进行的。例如， 伯努利在研究绳子的振动时，论证出在区f d ji o ，万l 上无限个正弦函数的线性组合能够表示 一个连续函数。当时的纯粹数学家嘲笑这一观点，不愿意接受这一结论。然而，当数学 的预言开始与物理现实相适应时，数学理论不得不作修改和改进，以解释其一致性。随 着理论的发展，傅立叶分析也有相当广泛的实际应用。傅立叶分析的数学知识( 傅立叶 级数和傅立叶变换) 被用来对科学和工程技术的广泛领域中的物理现象进行研究。一些 随手可得的例子有热传导、波的传播、电路分析、振动、控制系统分析、光学系统分析、 光学系统和电子电路分析等。有趣的是，傅立叶分析有如此广泛的应用的原因之一是傅 立叶核e 2 砌为一，z 阶线性微分方程的解，而该方程是用来描述上述各种物理现象的数学 模型。 随着傅立叶级数研究发展的深入，各种研究成果不断出现。在学术领域中，以a n t o n i z y g m u n d 教授的 ：t r i g o n o m e t r i cs e r i e s ) ) 最为经典。此书在1 9 3 5 年于波兰华沙首次出版 时，便在学术界确立了其典范地位。它几乎详尽地涉及到目前为止的全部古典傅立叶级 数的知识，被称为傅立叶级数这一分支的一部“圣经”。傅立叶级数的数学定义表示为， 任一非正弦周期函数( 信号) 可以分解为无穷多个频率为其基本频率整数( 包括零) 倍 的j 下弦波之和。 1 1 2 傅立叶级数正交函数系的讨论 傅立叶级数从开始提出便采用整数频三角级数分解对信号进行逼近，这主要是由于 整数频的三角级数具有完美的正交完备特性 2 - 4 1 。从信号重构的精度考虑，正交基是信 号重构最理想的基函数，j 下交基具有线性独立性，可以减小各基的线性相关，从而减小 重构的有余。众所周知，能量是衡量一个信号的主要特征，这就要求在信号的传输、处 理等过程中，应该尽可能使能量保持不变或损失最小。为此首先应该使信号的表达达到 第1 章预备知识 这一目的。一个信号函数若用归化正交多项式系亿( f ) ，b ( f ) ，只( f ) ， 中的有限个线 性表示： f ( t ) q ，( f ) = c l 鼻( r ) + c 2 只( t ) + + c ，只( t ) 其中近似等号”的意义是指使 旷驯2 = f 咖) 一q ( f ) 】2 d t 为最小，那么必须且只需取c ，为 c ，= r 儿) o ) d t ( 1 1 ： ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 其中c i 为函数厂( f ) 按 p j ( f ) ) 展开的傅立叶系数。式( 1 1 4 ) 为最小物理意义在于：用 c ，e ( 石) 来表示信号函数时，能量损失为最小。而这种表示又能使人们对信号进行十分 有效的研究和处理，这正是利用一般正交函数系来对信号进行傅立叶展开的重要意义所 在【5 1 。 但是从上式我们可以看到这种最小意义是在一种均方最小意义下的最小。但是这种 最小是否能说明是信号逼近上的最优? 另外，这种逼近仍是有能量损失的，曾提出的正 交完备系理论提出只要n 充分大，就可以使这种损失小到任意程度，但是n 充分大，不 论在理论上还是在工程上都只是一种理想状态，在实现时，万一定是有限而且尽量小的。 1 2 关于空间 1 柯西序列与完备性 称一个序列 翰) 。n 是柯西序列，如果对v s 0 ，存在n n ，使得 当n ，m n 时，i i 翰一渤l i 占。 如果空间x 中的每个柯西序列都收敛，则称x 是完备的。 2 赋范线性空间 设x 是一个线性空问，i | 1 i 是x 上的一种范数，则x 和| i f i 一起，称为一个赋范线 性空间，记作( x ，l i i i ) 或简记为x 。 完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。 框架理论( 分数频傅立叶级数) 及其在信号处理中的应用 3 内积空i 剐 如果线性空间x 中规定了内积( ，) ，则x 与( ，) 一起称为一个内积空间， 记作( x ，( ，) ) 或简记为x 。 4 希尔伯特空间 如果内积空间x 作为导出范数下的一个赋范线性空间是完备的，则称x 为希尔伯 特空间。 设x 是一个希尔伯特空问，工，y x 。根据定义，我们有 ( 1 ) 在x 上可以定义内积( x ，y ) ：x x 专p ( 尸为线性空间x 的数域，一般为 实或复数域) ； ( 2 ) 范数是由内积导出的，目p l l x i i = ( x ，x ) 三； ( 3 ) x 中的任意柯西序列扛。) 。都是收敛的。 5 常用的希尔伯特空间 ( 1 ) 定义在r 上平方可积的复值函数空间纽) ： r 似) = 沙：rj c i 是可测的，且上旷( x ) 1 2d x 0 使得 艺l ( 崩) 1 2 - - - b i i 1 1 2 ，坼日。 我们有时称8 为b e s s e l 界。 定理2 ：设 z ) ：，gh 。则 z ) ：，是一个具有b e s s e l 界的b e s s e l 序列，当且仅当 r ： q ) 墨，专。嘶 是一个从，2 ( n ) 至i jh 使得z _ - 。c f z 收敛的线性算子，r i i t i is b 。 注：如果 ) 墨，是一个b e s s e l 序列，则对所有的 q ) 三，2 ( ) ，z _ - 。c ，z 无条件地收 敛。换个角度说就是：如果( z ) 墨，是一个b e s s e l 序列，则 ( 厂，z ) 兄1 2 ( ) ，雎h 。 定理3 ：r i e s z 表现定理：设f ：h 专c 是一个连续线性映射，则存在唯一的y h 使 得厂g ) = ( x , y ) 。 第2 章框架 第2 章框架 框架理论最早是由d u f f i na n ds c h a e f f e r 提出的吣】。从数学的角度理解，研究的 是非调和傅j 立叶级数拓展；从信号处理的角度理解，研究的足由非f 则样本值杪( f ，) ) j j z 重构带限信号厂的问题。1 9 8 6 年山d a u b e c h i e s ，g r o s s m a n na n dm e y e r 三人共同撰写的 文章被认为是一篇罩程碑式的文章，他们发扬了信号处理中超定系统的强大作用 t 6 1 ，从 那时起这个理论有了广泛的发展。在文献 , 7 1 s s 3 j 中论述的框架理论及其应用是到目前为 止比较权威的著作。 2 1 框架的基本概念 定义1 ，设 z 剧是h i l b e r t 空间i t 的一个元素族，若v x eh ，都存在唯一的一组 常数 q ) 剃e 1 2 ( ，) ，使得 x = q ， i e 成立，并且 q 埘由 z ) 划唯一确定，这时我们称 彳 训是h 的一组基。若进一步 有 ( 圳= f 昌蛳， 当万= 1 时，我们称 彳 拒，是h 的一组正规正交基；当万为其他不为零的常数时，则 称 z 拒，是h 的一组f 交基。 下面的框架定义最早是由d u f f i na n ds c h a e f f e r 提出的u 5 1 。 定义2 框架：设 z ) ( ，是一个可数的指标集) 是h i l b e r t 空间h 的一个元素族， 如果存在正常数4 和b ，使得对任意的厂h ，有 a l s l 2 硝- 蚰l s l l 2 ( 2 1 1 ) i e j 则称 z ) 划为h 的一个框架，彳和b 分别称为框架上界和框架下界。 框架界是不唯一的。最优框架界是爿的最大可能值和曰的最小可能值。 框架理论( 分数频傅立叶级数) 及其在信号处理中的应用 注2 1 由b e s s e l 序列的定义知，如果= 彳) ，为h 的一个b e s s e l 序列，则有 z ) 乙e 1 2 ( n k v x e h ，我们有 栅，i l = u 厨丽娜i i 特别的： ( 2 1 2 ) ( 1 ) 如果a = b ，则称厂= f ，为紧框架( t i g h tf r a m e ) ，如果a = b = i ，则称这个框 架为规范紧框架； ( 2 ) 若v i e l ，有- i , 1 1 = i ，则称厂= 彳) 埘为h 的j 下规框架； ( 3 ) 若对，的任意非空真子集l ，g = z 删都不再是h 的框架，则称厂= z 拒，是 无冗框架，否则称为冗余框架； ( 4 ) 若厂= z 则是弱独立的( 即取 q 剖s ( c ) ，若q 彳= o 能推出c f = o ，v i ei ) ， i e ， 则称= z 耐是日的独立框架 在一个紧框架中，有 a i i ：1 1 2 ：e i s ，硝，v 厂h f e _ ， 由极化恒等式，上式蕴含 么g ) = 乃) ( 乃，g ) i 或 f = a 一2 ( 1 ，乃阮 ( 2 1 3 ) ， 公式( 2 i 3 ) 易使人想到是在一组标准正交基下的展开，但是，框架甚至是紧框 架都不一定是标准正交基，但规范紧框架构成一组标准讵交基。 对于，l 维h i l b e r t 空间何。的标准f 交基g ，”e 。，我们可以计算出h 。的一个规范紧框 架 第2 章框架 誓n 一寺善掣， 川 2 ，刀 船= 笤 下面的定理说明了标准正交基是特殊的紧框架。 定理1 设诉) 吲是h i l b e r t 空间h 的一个紧框架，且a = b = 1 。如果假设| i l i = 1 ， v i i i ，则价) 川是i t 的标准正交基。 定理2 瞰1 设厂= z f e ，构成h i l b e r t 空问h 中的一个框架，如果对坛h ，满足 l ( x ，z ) 1 2 = 1 1 - , t 1 2 ( 即彳= 艿) ，则厂= 彳) 斛是组成中的一组完备诈交基。 在许多方面，一个框架就像一个标准j 下交基。从线性代数我们知道，任何一个向量 能被唯一地表示成来自于标准j 下交基的元素的线性组合，并且这个线性组合的系数通过 计算这个向量与这个标准证交基的每个元素的内积容易被得到。类似地，一个框架是一 个向量的集合，每个向量能被表示成这个框架元素的线性组合。然而，在这种情形下表 示未必是唯一的，因为框架元素未必是线性无关的。框架的效力，一方面，来自于把一 个向量编码成一系列的系数的能力，另一方面，来自于广泛的结构多样性的可达性，而 无需较强的线性无关的限制。 2 2 框架与算子的对应关系 定义3 设日为可分的h i l b e r t 空i b i ，任取b 中的两个元素厂= z 硝，g = 埘， 定义元素f ，g 的加法，数乘运算为： 矽+ s g = 0 昕+ 倦， 剧，v 口，c 定义元素范数为 i l s l ：2s h u ；p 驴硝 在有限维h i l b e r t 空间中，我们可以把框架价) f ，看成算子 设p 。 是行维h i l b e r t 空问h 。的标准f 交基，：l h ，所以算子 框架理论( 分数频傅立叶级数) 及其在信号处理中的应用 t ：h 专h ，t e 。一六 是有界的线性算子，有时称r 为预框架算子 对于每一个f h 和n z ，我们都有 ( r + f , e n ) = ( 厂，t e 。) = ( ，厶) i 天l l l t t f = ( 厂，六。 由于预框架算子是有界的，吕n l t f l l 2 8f l l 2 ，根据b e s s e l 部分的引理，其伴随算子 由下式给出 p ：h 专h ，p f - - - ( 厂，乃) 并且有 i i r l l = v i i - - - ( 2 2 1 ) 由此b e s s e l 序列与h 到1 2 ( ，) 的有界线性算子建立了一一对应的关系，框架与b e s s e l 序列仅在下界的要求上有所区别，下面我们就此给出框架与算子的一个对应关系。 定理2 2 1h i l b e r t 空间h 的一列元素= z ) 埘是h 中的一个框架，当且仅当 t 召，2 ( ，) ) ，并且丁是有下界的。 由定理我们有以下四个结论： ( 1 ) 我们可以将框架对应的看作一个h 到z 2 0 ) 的有下界的有界线性算子丁，并且称 丁为 ，) 川的预框架算子。其伴随算子由( 2 2 1 ) 所定义，记为t ； ( 2 ) m t 的由( 2 2 1 ) 所定义的伴随算子r b ( f 2 ( ，) ) ，我们有： 厂= z 矧日当且仅当r + 曰q 2 ( ，) ，日) ，且丁是满射。 ( 3 ) 可定义： s ：日一h ，s f = 丁r f = ( 厂，z m ，v f h ，e ， s = t t 叫做框架 z ) f ，的框架算子。s 是b ( h ) ( b ( h ) 是从h 到h 的所有有界线 性算子之集) 中的中的j 下的有界线性可逆算子。 s 是有界的，目 第2 章框架 0sj j = 0 刀吲1 1 7 1 i 。l l p l i = i i 卸r = b 。 由于舻= ( 彤) 木= t t * = s ，所以s 是自伴随的。 显然，元素列爷一支。，也足h i l b e r t 空问h 的一个框架，并且是框架 z ) 川的对偶 框架( 对偶框架详见2 4 ) 。 ( 4 ) 框架算子s 与框架= z 耐的上下界有着紧密的联系，在框架的定义中规定的 框架界可以有许多组数对，其中存在最大的框架下界和最小的框架上界，我们分别记做 a o p tb 删，它们与框架算子之间有如下关系： 2 南。l l s i i 口 如果我们把，2 0 ) 抽象的看作一般的h i l b e r t 空间，则我们可将h 中的框架与b ( 日) 中 的满射算子建立一一对应关系。 定理2 2 2 设p 矗。，是h i l b e r t 空间h 的一个标准正交基，则h 的一列元素 厂= z ) 埘是h 的框架的充要条件是存在一个有界线性算子】r ：h h ，满足 磁= z ，v i ，并且是满射。 由定理，我们可将框架对应的看作一个日到日的有界线性满射算子。 定理2 2 3 设s ：s , 硝艿) ，则 ( 1 ) f 日( 日为日中的全体框架之集) ，当且仅当r 是下有界的当且仅当框架算 子s = t t 是可逆的； ( 2 ) f f 片( f ，为中的全体紧框架之集) ，当且仅当r 是数乘等距算子，即 r = 露u ，其中k 是一非零常数，u 是一等距算子； ( 3 ) 若f r 可得r 的值域是闭的； ( 4 ) f r ( r h 为日中的全体r i e s z 基之集) 当且仅当r 是可逆的； ( 5 ) f o ，( 吼为中的全体正规正交基之集) 当且仅当r 是酉算子。 2 3 框架与b e s s ei 序列 框架理论( 分数频傅立叶级数) 及其在信号处理中的应用 近几年，已有学者将框架推广到b a n a c h 空i 白j ，并研究了它的一系列重要性质，如 文献f 2 3 - 2 5 】等 设x 是b a n a c h 空间，x 是x 的对偶空问，我们有下面几个定理 定理11 2 3 1 设一个元素集 z ) 墨，x 是- + p o p ) 阶b e s s e l 序列，则 z ) 墨，是 - 4 - p o p o ：阿，石) 卜刭刈9 ，比x ； ( 2 ) 工= ( 薯，x 冲，坛x ； ( 3 ) 沙硝 o ：s u p l ( x , , x ) k l l z l 4 ，坛x ； ( 2 ) 工= 乏( ，x 弘，坛x ； ( 3 ) 乏z ) l ， o ：防，工) l k l l x i i ，坛x ； ( 2 ) x = ( _ ，x 江，坛石； 第2 章框架 ( 3 ) s 叫( 工，z ) i ，v x x 2 4 对偶框架【2 6 】 定义设s ：i s , 是h 中的一个框架，则框架算子f 何) ，= ( 厂，z ) 是删砷) = 仁i ，；i i c i i1 1 2 = 沙1 2 满足= f ( ，) - 1 ，f i = p f ) - ，。f = d = ，+ ， 且f f ：f 声。是f 交投影算子。 我们称丘) m 为厂= ) 矧的对偶框架，易证眩) f 。，的对偶框架又是厂= z ) 剃。 这证明我们得到了由( 厂，z 重构的公式。 2 5 框架的分解与重构 1 、对j 下交框架，厂是容易重构的【2 2 1 ，设厂= z ) 埘构成日中的一个正交框架，其 所张的空间是日= s p a n f ， ， 显然有 v f h ，f = ( 厂，m 。 ( 2 5 1 ) 起， 2 、对于其他框架，我们可以利用对偶框架进行重构， 我们有 厂= ( 厂，) z = ( 厂，) ( 2 5 2 ) f ，f ，、， 第2 章框架 例2 考虑框架e ： z = p 以 = 一孚，一吉 ，六= 孚，一丢 ) ，对于平面上的任意 厂，可以算得窑l ( z ) 1 2 = 割州2 ，可见，这是一个紧框架，其对偶框架为 z = 了2z ，重构公式为厂= 喜( 五z ， 再考虑框架疋： z = p ，2 - 以= 一孚，一丢 ，以= 孚，一爿 ，容易证明，此框架满足 锄1 2 主新飘2 根据框架定义，这是一个普通框架 在前面我们曾经强调过框架甚至是紧框架一般都不是f 交基，因为它们不是线性独 立的，但由上式我们可以得到( 厂，z 是厂到z 分解的最简洁的系数。 定理如果厂= 善嘶，其中c = ( c f ) f e ，2 ( ，) 且c ，不全为 贝| j x 硝l c , 1 2 出z ) | 2 。旭，拒，l 、i ( 2 5 3 ) 通过这个定理可以看出z 的特殊作用。 如果已知z = p f ) - 。；，则我们可以由 重构，只需计算夕，这只要求求 出f + f 的逆即可。 3 、重构的迭代算法 如果b 与4 很接近，即，：b 彳一1 l ，则式( 2 4 1 ) 说明f + f 与竺箬f + f 很接 近，故f 与二f 也很接近。确切地 “ 彳+ b “ 框架理论( 分数频傅屯叶级数) 及其在信号处理中的应用 厂2 忐e 训( s ，z m + r f 2 矗4 ) 这晕 r ：d 一l f f ， a + b 因此 一生兰尉r 生兰尉， b 七ab + a 于是 r i i 筹= 赤， ( 1 ) 如果r 很小，去掉( 2 5 4 ) 中的余项矽就得到了f 的一个近似重构公式。其在口 空间中精确到i r 万l l i l l 。