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广义电报方程和sin e - g o r d o n 方程的定性分析 摘要 电报方程最初是在研究电报线上电压电流的变化规律时推导出来的，它表征 均匀传输线上电压电流的关系，故该方程也称为传输线方程。s i n e g o r d 方程 为电报方程的一种非线性形式，它和相对论性场论中的k l e m - g 0 r d o n 方程有很 密切的联系。s i n e g o r d o n 方程在1 9 世纪时即为人们所了解。当人们认识到它的 解具有孤波碰撞性后，其越来越受到重视并在物理中有了更加广泛的应用。 本文主要讨论了电报方程和s m e 栅d o n 方程广义形式的概周期解问题，并 得到了其在一定范围内的存在唯一性。本文共分两部分内容。 在绪论中，本文简要介绍了概周期函数的发展概况和所要研究方程的背景及 发展动态，并自然地引入了本文所要研究的问题。 第一章主要讨论了一类广义s i n e g o r d o n 方程的概周期解。第一节为相关概 念和预备知识，介绍了与本文有关的记号。第二节首先介绍了微分方程的弱解概 念和最大值原理及m a w h i n 和o r t e g a 等人的近期研究成果，接着推广了m a w h i n 等人的结果，得到了一类广义s m e - g o r d o n 方程的概周期解及其在一定范围内的 存在唯一性。最后一节，用同样的方法研究了广义摆方程的概周期解。 一第二章主要研究了一类广义电报方程的概周期解。第一节为预备知识和两个 重要的定理。第二节介绍了上下解方法。第三节研究了一类广义s i n e g o r d o n 方 程的概周期解，并证明了其在一定范围内的存在唯一性。第四节，我们用另一种 方法得到了与第三节中相似的结果。 关键词：广义s in e - g o r d o n 方程；广义电报方程；概周期解；最大值原理； 上下解方法 q u a ii t a t i v ea n a l y s i sf o rg e n e r a ii z e dt e l e g r a p h e q u a t i o na n ds i n e - g o r d o ne q u a t i o n a b s t r a c t t h et e l e g r a p he q u a t i o ni sf i r s td e d u c e dw h e np e o p l es t n d i e dt h ec h a n g i n gl a w b e t w e e nt h ev o l t a g ea n dc u r r e n ti nt h et e l e g r a p hw i r e i td e n o t e st h er e l a t i o nb e t w e e n t h ev o l t a g ea n dc u n - e n ti ne q u a l m m s p o r tw i r e s oi t sa l s on a m e dt h et r a n s p o r tw i r e e q u a t i o n 髓es i n e - g o r d o ne q u a t i o ni san o n l i n e a rf o r ma s s o c i a t e dt ot h et e l e g r a p h e q u a t i o n i to r i g i n a t e si nt h en a m eo ft h ek l e i n g o r d o ne q u a t i o ni n l a l i v i s d cf | e l d t h e o r i e s 硼1 ee q u a t i o nw a sk n o w ni nt h e1 9 出c e n t u r ya n dj tg r e wg r e a t l yi n i m p o r t a n c ew h e ni tw a sr e a l i z e dt h a ti tl e dt os o l u t i o n s 丽t ht h ec o l l i s i o n a lp r o p e r t i e s o fs o l i t o n s 皿es i n e g o r d o ne q u a t i o na l s oa p p e a r si nan u m b e ro ft h ep h y s i c a l a p p l i c a t i o n s 砸st h e s i s ，w h i c hi sd i v i d e di n t ot w op a r t s ，i sc o n c e r n e dw i t ht h ea l m o s t1 ) e r i o d i c s o l u t i o n sf o rt w oc o i l i n o r lc l a s s e so ft h eg e n e r a l i z e ds i n e - g o r d o na n dt e l e g r a p h e q u a t i o n s a n dt h ea u t h o ra l s og e t se x i s t e n c ea n da a i q a e n e s so ft h es o l u t i o ni na c c n a i nb o u n d i nt h ee x o r d i u m ，t h ea u t h o rs h n p l yi n l r o d u c e st h eh i s t o r ya n dd e v e l o p m e n to ft h e a h n o s tp e r i o d i cf u n c t i o na n dt h ee q u a t i o n sr e s e a r c h e d a n dt h e nn a t u r a l l yb r i n g su p 也ep r o b l e m si n v e s t i g a t e do n i nt h ec h a p t e r1 ，t h ea u t h o rm a i n l ys t u d i e st h ea l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n f o rac l a s so ft h eg e n e r a l i z e ds i n e g o r d o ne q u a t i o n s s e c t i o n1i n t r o d u c e ss 哑e ， r e l a t i n gd e f i n i t i o n s ，p r e p a r e dk n o w l e d g ea n ds y m b o l s a n dt h ef i x e dp o i n tt h e o r e mi s a l s og i v e n i nt h es e c t i o n2 ，t h ea u t h o rg i v e st h ed e f i n i t i o no fw e a ks o l u t i o na n d _ m a x i m n r np r i n c i p l e t h ea u t h o rt h e ne x t e n dt h er e s u l t so fm a w h i na n do r t e g a s r e c e n tr e s e a r c h t h ea h n o s t p e r i o d i c s o l u t i o no ft h eg e n e r a l i z e ds i n e - g o r d o n 描 e q u a t i o ni sf o u n d t h ea u t h o ra l s og e t si t se x i s t e n c ea n du n i q u e n e s si nac a 曲b o u n d i nt h el a s ts e c t i o n ，t h ea u t h o rs t u d i e st h ea l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o no ft h eg e n e r a l i z e d p c n d u i n me q u a t i o nw i t ht h es i m i l a rm e t h o d t h ec h a p t e r2i n v e s t i g a t e st h ea l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rac l a s so ft h e g e n e r a l i z e dt e l e g r a p he q u a t i o n s s e c t i o n1i n t r o d u c e ss o m er e l a t i n gd e f i n i t i o n sa n d t w oi m p o r t a n tt h e o r e m s t h em e t h o do ft h eu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n si si n t r o d u c e di n t h es e c t i o n2 mt h es e c t i o n3 ，t h ea u t h o rs t u d i e st h ea l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o nf o ra c l a s so ft h eg e n e r a l i z e dt e l e g r a p he q u a t i o n s a n dt h ea u t h o ra l s og e t si t se x i s t e n c ea n d u u l q u c n e s si nac e r t a i nb o u n d t h es i m i l a rr e s u l t so ft h es e c t i o n3a r eg o tb ya n o t h e r m e t h o di nt h e 蠡t i o n4 k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e ds i n e - g o r d o ne q u a t i o n ；g e n e r a l i z e dt e l e g r a p h e q a a t i o n ；a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n ；m a x i m u mp r i n c i p l e ；t h em e t h o do fu p p e r a n dl o w e rs o l u t i o i l s 广义电报方程和s i n e - g o r d o n 方程的定性分折 第零章绪论 o 1 概周期理论的发展过程及现状 在自然科学和社会科学中，概周期现象和周期现象相比较，概周期现象是更 容易见到的一种现象。例如，天体力学、机械振动、电力系统、生态学系统、经 济学领域以及工程技术中出现振荡现象的许许多多实际问题往往都可归结为寻 求以微分方程为数学模型的周期解或概周期解，其中有些问题( 诸如天体运转、 生态环境以及市场供需规律等) 考查其概周期现象有时比考查其周期现象更切合 实际。因此，讨论微分方程解的概周期性质有更重要的现实意义。 在研究概周期问题时，有时可以从相应周期问题已有的结论中得到启示，但 由于概周期性和周期性的差异，周期问题的许多结果却很难直接推广到概周期的 情况，因此有必要建立一套研究概周期问题的理论和方法。 自从b o h r 在1 9 2 4 - 1 9 2 6 年间建立了概周期函数的理论以来，在上世纪2 0 年 代、3 0 年代经过一些数学家的努力，b o h r 的理论有了进一步的发展，其中包括 在群上的调和分析的理论以及1 9 3 3 年由b o c h n e r 所建立的b a u a c h 空间的向量值 概周期函数的理论。往后的发展则和常微分方程，稳定性理论，动力系统以及偏 微分方程有更密切的联系。由于研究实际问题的需要以及其它数学分支发展的推 动，上世纪5 0 - 7 0 年代国内外对概周期微分方程的研究普遍受到重视，概周期微 分方程的理论也有了较大的发展。1 9 7 4 年出版的f i n k 的专著( a l m o s tp e r i o d i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n 对此作了概括性总结。关于b o h r 概周期函数我们可以从两 个不同的角度来看待：一方面，概周期函数是一类具有独特结构性质的连续函数， 是纯周期函数的推广；另一方面，概周期函数可看成是一致收敛的三角多项式序 列的极限。从而概周期函数理论的建立，为我们开辟了一个道路，使我们能够研 究一类广泛的一般三角级数，甚至指数级数。基于上述两点，关于概周期函数的 推广出现了两个不同的方向： 其一，把b o h r 概周期函数推广到不连续( 可测) 函数是很不容易的。在这 广义电报方程和s i r e - g o r d o n 方程的定性分析 方面，第一次而且又是非常重要的工作是s t e p a n o f f “9 1 所做的，w e y l 做了进一 步的推广 其二，b e s i c o v i t c h 2 1 从更广泛的角度而不是一致收敛的角度来考察三角多项 式序列的收敛性，然后定义概周期函数是这类三角多项式序列的极限，从而扩大 了概周期函数的范围。并且对于这类函数，可以推广r i e s c f i s c h e r 定理。 随后，概周期函数的经典理论又在几个方面得到了推广。其中一个主要方面 就是概周期型函数，即渐进概周期函数瑚1 ，弱概周期函数。1 9 9 2 年，z h a n g 2 卵 提出了伪概周期函数的概念，并研究了它在微分方程定性理论中的应用。所有这 些工作丰富了概周期函数理论及其应用。 o 2 两类所研究方程的背景及最新动态 偏微分方程理论的形成和发展是和物理学以及其它自然科学、技术科学的发 展密切相关，并且互相促进和推动的。很多重要的物理、力学学科的基本方程本 身就是偏微分方程。偏微分方程理论的研究成果也常常用来描述、解释或预见各 种自然现象，并被应用于各门科学和工程技术。同时，偏微分方程的研究也和分 析、几何、代数、拓扑等其它数学分支的发展紧密联系、互相推动。因此，偏微 分方程这门学科是数学理论和实际应用之间的一个重要的桥梁。 在偏微分方程的研究中所用到的最有用而且最为人们所熟知的工具之一就 是最大值原理。这个原理是微积分学中下述初等事实的推广：在区间 4 ，胡上满 足不等式f ” 0 的任何函数，( 力必在该区间的一个端点达到它的最大值，我们 就说不等式f 。 0 的解满足最大值原理更一般地，若函数在区间d 中满足一个 微分不等式，并因此而在d 的边界上达到其最大值，我们就说这种函数具有最大 值原理。 对于物理学中出现的微分方程问题，最大值原理通常有很自然的物理解释。 在这种情形下，最大值原理可以帮助我们把物理直观应用于数学模型，因而任何 研究者掌握了最大值原理，就可以了解重要的古典偏微分方程，同时还可以发现 2 广义电报方程和s i n e - g o r d o n 方程的定性分斫 它们之所以重要的原因。 不需要对解本身有任何明显的了解，最大值原理就使我们能得到有关微分 方程解的信息特别是在解的近似方法( 许多科学家极感兴趣的一个课题) 中，最 大值原理是一个有用的工具。 传输线是用以引导电磁能量从一处传递到另一处的一种装置。如果传输线由 两根平行导线组成，每一根导线沿线各处具有相同材料、相同截面，并且导线周 围介质沿线均匀分布，则称之为二线均匀传输，或简称均匀线。一般二线架空输 电线及同轴电缆均可近似地视为二线均匀传输线。当在传输线二线间加上电压并 且有电流通过时，在传输线上及其周围空间中便产生了电场和磁场。如果激励电 压随时间改变，则上述电场和磁场也将随时间而变化。时变电磁场的普遍规律决 定了传输线上的电压和电流随时间和空间变化的规律。因此，研究传输线上电磁 过程的分布参数电路理论和电磁场理论有较为密切的联系。 表征均匀传输线上电压电流关系的方程式称为传输线方程。该方程最初是在 研究电报线上电压电流的变化规律时推导出来的，故又称电报方程，其形式为： “n - a ，h + c u f - i - 血= f ( t ，工) ， ( o 2 i ) 其中c o ，五 0 。o r t e g a 和r o b l e s - p 白r e z 研究了它在环面上( 双周期解) 的最 大值原理，m a w h i n 、o r t e g a 和r o b l e s - p 6 r e z 2 a l 又讨论了n = 1 , 2 , 3 时它的有界弱解 的最大值原理。 s i n e g o r d o n 方程为电报方程的一种非线性形式，它和相对论性场论中的 k l e i n - g o r d o n 方程有很密切的联系。该方程在1 9 世纪时即为人们所认识。随着 人们对其研究的深入，它越来越受到人们的重视。其形式为： 距# - a 。球- - c z l i + a s i n u = f ( t ，力， ( o 2 2 ) 其中c o ，a 0 。文【2 捌研究t ( o 2 2 ) 的概周期解。 ( o 2 2 ) 的一种广义形式为： “4 - a ，“+ 翻，+ g ( s i n u ) = ，( 曲 ( o 2 3 ) 广义s i n e g o r d o n 方程的全有界解，孤波和周期波都是重要的现象。当用行波解 研究全局有界解时，广义无穷维动力系统转变成有限维动力系统有或没有外力项 3 广义电报方程和s i n e - g o r d o n 方程的定性分折 f ( x ，f ) 。在1 9 7 0 年，s c o t t 1 在超导理论中使用了修正的s i n e g o r d o n 方程，其 中f ( x ，0 为常数g ( s i n u ) = s i n u ，即方程( o 2 2 ) ，又称为阻尼s i n e g o r d o n 方 程。函数- ( x ，t ) 具有确定的物理含义，例如量子态相位差等。因此s i n e g o r d o n 方程的广义形式在量子场理论中非常重要且被应用到液体物理中。 o 3 本文的研究动机和组织结构 受上述工作的启发，本文研究的是电报方程和s i n e - g o r d o n 方程的几种常见 广义形式的概周期解问题。即对于( 0 2 1 ) 当知被更广泛的形式a 。口+ 毛口3 + 如“ 替代时得到了它的概周期解的存在性及其在某种范围下的存在唯一性，其中用到 了最大值原理和b a n a c h 压缩映像原理。对于方程( 0 2 3 ) 当 g ( s i n u ) = a ls i n , , + 毛( s i n 4 ) 3 时亦得到了它的概周期解的存在性及其在某种范围 下的存在唯一性，并用两种方法给予了证明。 本文共分三章，其组织结构如下： 第零章绪论 简述了概周期理论的发展过程及现状，介绍了所要研究的两种方程的背景及 最新的研究动态和成果。 第一章主要讨论了一类广义s i n e g o r d o n 方程的概周期解。其中第一节为基 本概念和预备知识，并介绍了与本文有关的记号。第二节介绍了微分方程的弱解 概念和最大值原理及m a w h i n 和o r t e g a 等人的近期研究成果，并推广了m a w h i n 等人的结果，得到了一类广义s i n e g o r d o n 方程的概周期解及其在一定范围内的 存在唯一性。最后一节，用同样的方法研究了广义摆方程的概周期解，并得到了 初步结果。 第二章主要研究了一类广义电报方程的概周期解。其中第一节为预备知识和 两个重要的定理。第二节介绍了上下解方法。第三节研究了一类广义s i n e g o r d o n 方程的概周期解，并证明了其在一定范围内的唯一性。第四节，我们用另一种方 4 广义电报方程和s i n e - g o r d o n 方程的定性分1 斤 法得到了与第三节中相似的结果。 广义电报方程和s i n e - g o r d o n 方程的定性分析 第一章一类广义s in e - g o r d o n 方程的概周期解 1 1 概周期函数理论的基本知识和记号 概周期函数理论是由丹麦数学家b o h r 在研究f o u r i e r 级数时于1 9 2 4 - 1 9 2 6 年 间提出的。因为全体周期函数在任何范数下都构不成b a n a c h 空间，而概周期函 数全体依上确界范数便构成一个b a n a c h 空间，所以概周期函数比周期函数的应 用要广泛的多。事实上，当一个系统出现两个周期不可公度的干扰因素时，总要 引入概周期解。因此，在近代微分方程理论中引入概周期是必然的。b o h r 的工 作后来得到了广泛的推广和完善。c o r d u n e a n u 田1 和f i n k t 9 1 分别在1 9 6 8 年和1 9 7 4 年对概周期函数的理论及应用进行了系统的总结，全面阐述了概周期函数理论及 它与其它领域的联系，如与群伦，微分方程等方面。 下面我们先介绍b o h r 意义下概周期函数的定义。 考虑定义在r = ( 鸭呦上的复值或实值连续函数，( f ) ，记为f ( t ) c ( r ，c ) 或，( f ) c ( 足励，c ( r ，d 表示c ( r ，0 或c ( r ，固。 定义1 1 1 称，( f ) 是b o h r 概周期的，如果对任给占 0 ，集合 t ( f ，d = ；l f ( t + r ) - f ( t ) i 0 ，存在f = z ( 0 ，使得在每个长度为z 的区间内 至少有一个f = f ( t ( f ，d ，使f f ( t + r ) - f ( t ) i o ，则它 们的商，哆么d 也是概周期函数。 性质4 设无( f ) 伽= l ，2 j o 都是概周期的，又序列舨( f ) 在r 上一致收敛于函数 f ( t ) ，则，( f ) 是概周期函数。 性质5 设概周期函数，( f ) 可微，其导函数厂，( f ) 是概周期的当且仅当，( f ) 在r 上一致连续。 性质6 设，( f ) 是概周期函数，其不定积分 ，( f ) 2 i ：f ( s ) a s 是概周期的当且仅当f ( f ) 有界。 关于概周期函数的b o b r 定义及其基本性质等一些古典结果可在任一本概周 期函数的书中找到。例如，可参看f i n k 或i 七v i t c n 的专著队2 “。 1 2 最大值原理及近期成果 本篇文章中用到的一个重要工具是最大值原理。下面介绍一些关于它的基本 知识。 设l = l u 是一个线性微分算子，其中1 4 定义在固定的流形q 上，即 u ( t ，j ) ：q r 。这些函数属于一个函数族口，曰的定义中包含一些边界条件或 其它必需的条件。 定义1 2 1 如果微分不等式l u = ，0 ，1 4 b 几乎处处成立时有 u ( t ，神0 ，v ( t ，曲q ，那么我们称算子工满足最大值原理。即最大值原理成立。 若工= f o ，b ， o 几乎处处成立时有4 ( f ，毒) o ，v ( 力q ，则该 最大值原理是强最大值原理。 7 广义电报方程和s j a e - g o r d o n 方程的定性分析 文 5 】研究了二阶微分算子的最大值原理，其它与此相关的结果可以在文 7 ，8 】 中找到。 本文所涉及的是电报方程有界弱解的最大值原理，因此下面来介绍些关于 弱解( 广义解) 的一些基本知识。 上个世纪4 0 年代，法国数学家薛瓦尔兹( l s c h w a r t z ) 在前人工作的基础上 提出的分布理论给广义函数奠定了严格的数学基础。例如在实轴上定义的且在某 内闭区间外为零的c 。函数全体组成基本空间置，我们把置空间上所有的线性连 续泛函均称为置广义函数，它们是最常用的广义函数。 本文中，。( f ) = c g ( r ) = ，( 工) j ，( 曲c 。，l 罂，( 曲- - o ，。上的全体 广义函数( 即连续线性泛函) 所构成的向量空间记为d ，它是d 的拓扑对偶。 定义1 2 2 2 , 3 1 对于方程 l “+ 血；球口一一+ c z i + 他= ，( f ，曲，其中c 0 , 2 o ，f r ( 尺x t 3 ) 若方程在r r 3 中的有界解满足 u ( t ，x 1 + 2 石，屯，x 3 ) = u ( t ，而，工2 + 2 石，而) = “以x i ，x 2 ，而+ 2 石) = u ( t ，一，屯，x o 那么我们称u ( t ，善) 为上述方程在l 。( r x t 3 ) 中的一个解。 若这个解以分布的意义来理解，即 工。，( 跏+ a 加= 玎， v 妒e d ( r t 3 ) ， 其中r 为工的形式共轭算子r 矿= 九- a ；一c 识，则称u ( t ，工) 为上述方程在 r 俾x t 3 ) 中的有界弱解。 对于工为n 维时可类似定义，也可参考文【2 】。 电报方程是一种重要的数学物理方程，它的形式为 工 h = 口- a ；h + c u i + 勉= f ( t ，力， ( 1 2 1 ) 其中c 0 ，a r ，“d ( r 2 ) o r t e g a 和r o b l e s - p 6 r e z 叫研究了它在环面上( 双周 期解) 的最大值原理，其结果为： 考虑方程( 1 2 1 ) ，若存在函数 广义电报方程和s i n e g o r d o n 方程的定性分析 y ：( o ，。) ( o ) c y ( c ) ， 那么l 满足最大值原理当且仅当五( o 以c ) 1 。 且k 满足明是强鼓大值原埋，县甲幽毅h c ) 俩足： 譬 o ，o 4 等，a p ( r x t ) ，i l 州工 4i ! 寸，( 1 2 2 ) 有满足r 0 c o ， 而且强制项f ( t ，曲满足f a p ( r x t “) ，t = r 1 2 ，z z ( r 为实数集，z 为整数集) ， v i i , n 。+ a ，。那么方程( 1 3 1 ) 在a p ( r x t 4 ) 中有一个解，而且该解还是满足 肛b ；的唯一的概周期解( n = 1 ，2 圆。 注：本文的定理覆盖了m a w h i n 等人的结果。由于电报方程有界弱解的最大 l o 广义电报方程和s i n e g o r d o n 方程的定性分圻 值原埋个能在工的维数大于= 时戚互，故本可甲亦取开= l ，2 3 。 证明给定a 和u 。使它们满足下列条件： ，0 a a 3 + 吒；o 。 u a 我们将在下述的完备空间中考虑问题： q = ( “a p ( r r ) l rs u ， l | h ，工0 c 4 2 ： 。c l 鳟r ，。t 。 s u p 。，u ，( 一f ；, 。x i _ ( z ) t o 4 9 0 对于任意q ，考虑方程 一；y + c 匕+ 了c 2y = i ，+ 了c 2y = g ( f ，力+ ，( f 力， ( 1 3 2 ) 其中g = 手“一州咖“) 3 - - a t 咖球。 显然q ( t ，石) + f ( t ，工) a p ( r t8 ) 。由引理1 2 1 和引理1 2 3 可知，方程( 1 3 2 ) 有唯一解矿，且v a p ( r x t 8 ) 。于是我们定义了一个映射，( 口) = y ，即 f ：q h a p ( r x t 4 1 。 若f 存在不动点，那么它的不动点即是方程( 1 3 i ) 的满足条件工 0 ) ，所以有 g + ，譬c ，一a ，( s i n u ) 3 一q 如u + a 0 ，据最大值原理( 引理 。 4 1 2 1 ) 可得v u ，同理也可以得到不等式一u y 。所以f ( 囝c q 。 接下来证明f 是一个压缩映像。为此我们取“l ，口2 q ；= f u i ，屹= f u 2 。 它们的差d = v 1 一屹是下面方程的解： 甜+ ；d ：g a ( f ，功， 4 。 其中 ；= 譬( ”_ 口，舢“。) ，十q 咖u i - a 3 ( s i n “：) ，一qs i n u z 】。 由中值定理可知 ；= 弓一孙，舢劈c 。s 善- a ic o s 目。一“：) 嘞善“： 由函数3 a 3 ( 血0 2 + a t c o s 善 的性质可知，其在( u , u ) 上有下确界 3 a 3 ( s i n u ) 2 + 口1c o s u 根据引理1 2 2 可得 肛。训一砉阢t 1 1 。, - u , i i 其中 七= l 一4 c 1 3 a 3 ( s i n u rc o s u + 4 l c 。s u 】 因为o 3 q + 吒譬，所以o j i 1 0 故由b 4 麟 压缩映像原理可知，存在 唯一的不动点，则该不动点就是所要求的概周期解。当a 趋于q + 嘞，u 趋于詈 时，由不动点的唯一性可知，没有满足条件她o 。 。 但在证明中 i p i - v ：n ，s 洲，t i i “, - 2 1 1 r 其中 七= l c - - 冬 2 a ：( s i n 孝) c 。s f + 4 l c 。s 臼 有可能大于1 ，故不能保证，是压缩映像，因此不能得到相应的结论。 我们可以把定理1 3 1 的结论推广到g ( s i n u ) 为m 个多项式时的情况，证明的 过程是类似的。 定理1 3 2 考虑方程 h 口- a ，h + c g l + g ( s i n u ) = f ( t ，力， ( 1 3 4 ) 其中g ( s i n u ) = o ：，“( s i n u ) “；假设其中的系数满足下列条件： 。 。嘞一“2 叩= t 乃一吣c 。； 而且强制项f ( t ，工) 满足，a p ( r x t ) ，t = r 1 2 r t z ( r 为实数集，z 为整数集) 扩l rt 杰+ 。那么方程( 1 3 4 ) 在”( r r ) 中有一个解，而且该解还是满足 i | z , 1 1 。 - 0 ， ( f ) 是概周期的，且h h l l r 0 ，( 1 4 1 ) 有唯一的概周期解，且满足 手占“( f ) 兰万一占， 而且五也是概周期的。 利用证明定理1 3 。1 的方法我们可以同样讨论广义摆方程： ， 露+ 西+ g ( s i n u ) = 坂力， ( 1 4 2 ) 得到下面的定理： 定理1 4 2 考虑方程( 1 - 4 2 ) 中g ( s i n u ) = 4 2 。( s i n u ) “；假设其中的系 数满足下列条件： 。 o , a 。+ l - 0 ( i = l 2 , - - m ) ： 而且强制项| i l ( f ) 满足_ i l a p ( 尺) ，i l h l l ，t 主4 2 l 。那么方程( 1 4 2 ) 在a p ( 勋中有 一个解，而且该解还是满足i 川r f ( t ，工，“) 是可测的 ( 3 ) 对任意的正数r o ，存在一个函数l ( rx t ) 有 ，工，) | ，力o ，曲 i s o p i 缱p f ( t r l ( t a lr x t 本文中我们令叭p j ，( f ，工，口) i = ，l ( f ，曲，则对于v r 0 ，l 。( r x t ) 。我们用 i * l - 置 w 。( r x t ) 来表示r ( 置r ) 中l i p s c h i t z 连续的函数所组成b a n a c h 空间，范数 为l l u l l , , , ：= l f l l p + 【“】坤，r e e l “】砷为“的最佳u p h i 乜常数。下面我们介绍 一下本文中用到的上下解方法。 定义2 2 1 我们称“r ( r x t ) 为( 2 2 1 ) 的一个上解。若它在d ( r x t ) 上满足 l u f ( t ，x , u ) ， 即 m 砌f ( t , x , u ) f b v 妒d ( r r ) 妒2 0 。 定义2 2 2 2 1 我们称“r ( 矗x t ) 为( 2 2 1 ) 的一个下解。若它在d ( r x t ) 上满足 l u f ( t ，工，) ， 广义电报方程和s i r e g o r f i o a 方程的定性分析 印 假设 其中 f m 工驴s ，( f ，毛“) 妒v d ( r 丁) o 。 定理2 2 1 2 1 若“和口是( 2 2 1 ) 的上下解，且有“。s “+ ，a , e ( f ，功r x t ， f ( t , x , u 1 ) - f ( t , x , u 2 ) 一生 蚝一2 4 1 1 ( f ，工) 口2 o ，a l o , a 3 o ，a ， o ，p ( t ，工) l 曲( r x t ) 。 引理2 3 1 若a 。 0 ，则关于r 的方程 a l r + a 3 r 3 + a s r 5 = r ， ( 2 3 1 i ) 有唯一的正解。 证明令，( 五) = a 1 r + a ，r 3 + 如r 5 一陋b ，则上面方程的正解即为f ( 固= o 的正根。由于，( 彤= a t + 3 a 3 r 2 + 5 a j r 4 0 ，所以函数是严格单调递增的。 ，( 0 ) = 一u p l l r o 故由连续函数的 性质知必存在唯一的正数r 使得f ( r ) = 0 。所以上述方程有唯一的正解。证毕。 引理2 3 1 若5 如r 4 十知，戌z + 4 。s c 了z ，则方程( 2 3 1 ) 至尘看一个弱解 1 7 广义电报方程和s i n e - g o r d o n 方程的定性分析 “1 4 ( r r ) 且舾j f l sr 。 证明根据上面置的定义可知“；r + 是( 2 3 1 ) 的一个上解，则“s r 即 为( 2 3 1 ) 的一个下解。如果口。= o 则= ( 怕a ) i 。 对于球( f ，力“2 - - ( a l + 3 a 3 r ”+ 5 a ，r ) 一。 4 “l 一球2 由定理2 2 1 可得( 2 3 1 ) 有一个解球w 1 4 ( r x t ) ，且满足口s “。引理证 毕。 引理2 3 2 埘函数a ( t ，曲l 。( r x t ) 若其满足： 0 0 ，a 3 0 ，a ， 0 ， p ( 功r ( r r ) 。若s a s r 4 + 知，r 2 + 4 。譬，则方程( 2 3 1 ) 的弱解是唯一 的。 证明设。，“：为( 2 3 1 ) 的两个解，则 1 8 广义电报方程和s i n e - g o r d o n 方程的定哇分析 、“口一“口- - c 4 f + 口1 吨+ 4 3 口1 3 + 口，距1 5 = p ( f ，力， ( 2 3 2 ) 球4 一4 群+ c 4 ，+ 4 l “2 + 4 3 2 3 + 4 5 “2 = p ( t ，力。 ( 2 3 3 ) ( 2 3 2 ) 一( 2 3 3 ) 得( l u = “。一h 。+ c u ，) ： l ( u l u 2 ) + a l ( 球1 一2 ) + 4 3 ( 岣一4 2 3 ) + 4 ，( “l 一u j ) = o ， l ( u 1 一球2 ) + ( 4 1 + 3 a 3 “2 + 5 a ，球，) ( l 一球2 ) = 0h 2 1 4 1 t 1 。l 。 故只须证得下述方程仅有零解即可得“。；“：。 y + ( 4 l + 3 a ，4 “+ 5 a ，口) y = 0 。 ( 2 3 4 ) a ( t ，曲= a l + 3 a 3 4 “+ 5 a 5 口p 4 ，则 0 4 ls 4 i + 3 a 3 2 + 5 a 5 口 o ，a ， o , a ， o ，p ( t ，工) l 。( r x t ) ， 5 毛r + 3 4 3 r 2 + 4 l 譬，p ( f ，工) 毫a p ( r r ) ，则方程( 2 3 1 ) 有唯一的概周期 解口( f ，曲，上t l t u l l r r 证明由定理2 3 1 可知，方程( 2 3 1 ) 有唯一的解口( f ，曲，且她r ，下 面我们只须证明u ( t ，曲为概周期解即可。 因为删r r ，由紧性性质可得，对于任意实数列a ：，都存在口：口7 + 声 的子序列口”c 口，口”+ ”c 口+ 夕，使弓口，易搿在r r 的任一紧集上一致的 存在且收敛于连续函数记为搿，+ ，。 由于p o ，动为概周期函数，根据定义2 1 1 可知存在口，口+ 。的子序列 口c 口，口+ c 口”+ ”，使乃p ，l + ，p 在r r 的任一紧集上一致的存在且收敛 1 9 广义电报方程和$ i m - g o r d a n 方程的定性分析 于连续函数记为p p , p 。+ 口，则 ，口一搿，曩+ c u 芦l + 口1 ，+ 4 3 球，3 + 4 ，球卢= p ，( f ，力， ( 2 3 5 ) 。+ “一球4 郇口+ c 球。佃l + 4 i 球口叩+ 4 3 h 。 + 如“。佃5 = p 4 叩( f ，曲， ( 2 3 6 ) x - 于( 2 3 5 ) 关于序列口做类似的讨论，口存