（计算数学专业论文）双曲型守恒律方程的高分辨率有限体积方法.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 双曲型守恒律方程数值计算方法的研究，是二十世纪五十年代以来，计算数 学中的一个重要研究方向。有限差分方法要求计算区域比较规则，随着工程问题 的复杂化，计算区域也变得复杂，这对数值方法提出了新的挑战。非结构网格有 限体积方法的研究及应用是偏微分方程数值解和计算流体力学的一个重要研究 方向，它可以计算任意几何形状的问题。本文主要考虑双曲型守恒律方程，对二 维非结构三角形网格有限体积方法作了如下工作： 介绍了有限体积方法的产生背景，指出了有限差分方法和有限元方法中的特 点，对有限体积方法的产生和发展给出了比较详细的分析。给出了有限体积方法 的基本框架，即网格剖分、空间离散、时间离散，其中空间离散的重构步是关键 的一个步骤，时间离散中给出了几种典型的离散方法。介绍了一些新型非结构网 格有限体积方法的算法。 分析了紧致高阶有限体积方法的特点和标准，并给出了一种对标量双曲型守 恒律方程的紧致高阶有限体积方法，并通过数值实验对该方法进行检验，数值结 果表明该方法是有效的。 考虑二维双曲型守恒律方程，对非结构三角形网格给出了一个菲振荡有限体 积方法，在计算过程中以三角形单元作为控制体积，为使方法具有二阶精度且在 计算间断问题时不会出现振荡，构造了一种在最小平方意义下的非振荡线性重构 函数，并用二步t v dr u n g e - k u t t a 方法对时间进行离散，典型算例表明该方法是 有效的。 关键词：非结构网格，高分辨律格式，重构函数，有限体积方法 第1页 里堕翌鲎垫查奎堂型茎兰堕兰焦丝苎 a b s t r a c t s i n c e 1 9 5 0 s ，t h e r e s e a r c ho fn u m e r i c a lm e t h o df o r h y p e r b o l i c c o n s e r v a t i o nl a w si so n eo fk e yr e s e a r c hd i r e c t i o n si nc o m p u t a t i o n a l m a t h e m a t i c s t h ef i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o d ，s p e c i a l l y t v da n de n o s c h e m e s ，f o rh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o n 1 a w sa r e v e r y s u c c e s s f u l b u tt h e f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d sr e q u i r et h a tt h ec o m p u t a t i o n a l d o m a i ni s r e g u l a r ，a n du s u a l l yp e o p l ec o n s t r u c tt h ef i n i t ed i f f e r e n c es c h e m ef o ro n e d i m e n s i o na n dt h e ne x t e n di tt ot w oo rt h r e ed i m e n s i o n si n ad i m e n s i o n b yd i m e n s i o nf a s h i o n d u e t ot h ee n g i n e e r i n gp r o b l e ma n dc o m p u t a t i o n a l d o m a i nb e c o m em o r ec o m p l i e a t e da n dm o r ec o m p l i c a t e d ，t h ef i n i t e v o l u m e m e t h o do bu n s t r u c t u r e dm e s h e sf o rh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w si sp l a y i n g a ni m p o r t a n tr o l ei nc o m p u t a t i o n a lf l u i dd y n a m i c s ，t h i sm e t h o dh a s n o r e s t r c t i o n s f o r c o m p u t a t i o n a l d o m a i n i nt h i sp a p e r ，w e c o n s i d e r h y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s ，a n dt h ef o l l o w i n g w o r kh a sb e e nd o n et ot h e f i n i t ev o l u m em e t h o do nu n s t r u c t u r e dm e s h e s ： i nd r e f a c e ，w ei n t r o d u c et h eb a c k u p g r o u n do ft h ec r i n g eo ft h ef i n i t e v o l u m em e t h o d ，a n dp o i n to u tt h e 1 i m i t a t i o no ft h ef i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o d sa n dt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d s ，a n di m p o r t t h ef i n i t ev o l u m e m e t h o d t h e ni n t r o d u c et h eo r i n g ea n dd e v e l e p m e n to ft h ef i n i t ev o l u m e m e t h o d s ，a n dg i v es o m er e s u l t so ft h en e wm e t h o d s w eg i v et h eb a s ef r a m e o ft h ef i n i t ev o l u m em e t h o d s w eg i v eas e r i e so fn e wt y p ef i n i t ev o l u m e m e t h o d s0 nu n s t r u c t u r e dm e s h e s a n dt h e s em e t h o d sr e p r e s e n tt h ed i r e c t i o n o ft h er e s e a r c ho ft h ef i n i t ev o l u m em e t h o d s i nd r e f a c e ，w ed is c u s et h e o fc o m p a c tf i n it ev o l u m em e t h o d s ，a n d g i v eac o m p a c tf i n i t ev o l u m em e t h o d s f o rf o rh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s - i np r e f a c e ，w eg i v eah i g hr e s o l u t i o nr e c o n s t r u c t i o nf o rh y p e r b o l i c c o n s e r v a ti o nl a w so nu n s t r u c t u r e dm e s h k e vw o r d s ：u n s t r u c t u r e dm e s h ，r e c o n s t r u c t i o n ，c o m p a c tf i n i t ev o l u m e m e t h o d 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 果，尽我所知，文中除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他仁已经发表 撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其他教育机构的学位或证书而 用过的资料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均在论文中作了明确的说明 表示谢意。 学位论文题目：塑茴宜：厘徨友猩的匿筮趁室直阻住抠左迭 学位论文作者签名：日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权国防 学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文档，允许论文 查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编如有关数据库进行检索，可以采用影e 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后使用本授权书。) 学位论文题目：巫些宣：叵建直程的直盆趁奎直腿往毯友洼 学位论文作者签名： 作者指导老师签名： 日期：年月日 日期：年月日 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章引言 流体力学、大气物理学、海洋学等学科研究中最常见的是双曲型守恒律方程。 而双曲守恒律方程的数值方法的研究是二十世纪五十年代以来人们研究的重要 课题之一。有限差分方法和有限元方法的应用由来已久了，在近些年。作为第三 种数值方法的有限体积方法，在双曲守恒律方程的数值研究中取得很大的成功。 本章中首先介绍了有限体积产生背景，然后通过对有限元和有限差分的各自特点 进行介绍，通过比较提出了有限体积方法。简单地介绍了有限体积方法并对三者 的优缺点做了对比。 1 1 有限体积方法的产生背景 在流体力学计算中，有限差分方法和有限元方法是两种重要的方法，在近二 十年来取得了很大的成就，特别是一些高分辨率格式，比如有限差分方法中的 t v d 、e n o 等格式，有限元法中的加权余量法( w i m ) ，变分法( v a r i a t i o n a l ) ， g a l e r k i n 加权余量法等。 利用有限差分方法数值求解双曲型守恒律方程已经成为一种成熟的方法，特 别是近年来t v d 、e n o 等有限差分方法的提出，使有限差分方法取得了更广泛的 应用。但差分方法的局限性是在局部规则的区域能得到比较好的结果，不适合于 复杂区域的计算问题，而且人们往往是将一维方程构造出的差分格式，用分裂方 法或直接方法将其推广到多维。 流体力学计算中，特别是在高速空气动力学，虽然有限差分方法占有着统治 地位，但是它对不规则边界条件的处理任意性小，处理复杂，而且缺乏严格的论 证，常常需要数值实验来确定方法的优劣，即它是后验。目前有限元方法已经在 数值求解抛物形方程和椭圆形方程中取得优势，并且正在向求解双曲型方程中渗 透。 通过对有限差分方法和有限元方法的比较研究，有限差分方法具有计算通量 简单的优点，而有限元方法可以处理任意几何形状的问题，综合两者的优点，人 们。”1 提出了介于两者之间的有限体积方法，给人们提供了一种新的数值求解思 路，这样人们把目光投向适用于复杂计算区域的有限体积方法，随着工程上问题 的复杂化，计算区域的复杂化，使非结构网格有限体积方法的研究成为计算流体 第 1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 力学新的研究方向。 1 2 有限差分方法和有限元方法的特点 有限差分方法和有限元方法都是数值求解双曲型守恒方程的经典方法。 有限差分法是计算流体力学的主要方法之一，最早的应用可以追溯到1 9 3 3 年，a t h o m 手算了低速圆柱绕流问题，并得到了比较好的流场模型草图。有限 差分方法格式的优点是构造简单，易于编程实现，而且比较成熟，而且有很多 经典的格式可以直接利用。因此，在过去的一段时间用有限差分方法来数值求 解双曲型守恒律方程已取得了很大的成就，特别是二十世纪八十年代t v d 、e n o 等有限差分方法的提出，解决了一大批工程问题，但是它的缺点是要求计算区 域比较规则，如果计算区域不是规则形状，或者是计算区域边界部分的计算， 有限差分方法就达不到精度要求了。 相比之下有限元方法主要思想是利用变分原理构造出形函数，然后对解进行 逼进。有限元方法在处理复杂的计算区域的时候有很大的灵活性，但是有限元方 法的程序编制比较复杂，失去了有限差分方法的简单性。 考虑到综合有限差分方法的格式简单性以及处理数值通量的简单灵活性和 有限元方法对区域剖分的任意性，人们通过不断的研究提出了有限体积方法这种 新型方法。 1 3 有限体积方法的简单介绍及优点简介 有限体积方法是一种离散积分形式守恒律的数值方法，它吸收了有限元法和 有限差分法的一些重要思想和技巧，由于它可以方便的利用多种类型的网格( 结 构网格和非结构网格) ，从而非常适用于处理复杂计算区域，目前已经成为一种 在计算流体力学中十分重要的方法。 双曲型守恒律的积分形式仅当解是光滑时，才能化为等价的微分形式。例如 对无粘非定常流动，其积分守恒律表示有一表面限定的控制体积内流体的质量、 动量和能量的守恒，对于光滑解从积分守恒律可以得到散度形式的微分守恒律一 一e u l e r 方程，但在流场中如出现激波等间断时，就不能得到等价的微分方程， 所以积分型的守恒律是更基本的。鉴于对非线性双曲型守恒律来说，无论初值多 第 2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 么光滑，其解都可能产生强间断，因此如何得到在间断附近和光滑区域都具有高 精度的解，成为双曲型守恒律数值解的关键。 有限体积方法( f i n i t ev o l u m em e t h o d ) ，简称f v m ，就是在物理空间中选定 的控制体积上把积分型守恒律直接离散的一类数值方法，离散一方面是指计算区 域剖分成网格( 或单元) ，另一方面是指把积分守恒律离散成线性或非线性代数方 程组。 与此对比，有限差分方法则是从微分形式守恒律或等价的偏微分方程( p d e ) 出发进行离散的一类数值方法，它直接在网格节( 结) 点上离散p d e 的各个导数 项，不考虑间断，在光滑区和间断处采用统一的格式求解，使间断( 激波等) 在 应出现的地方自动呈现或被捕捉。因此，有限差分方法使用起来简便、灵活，有 高度的通用性，其计算公式又是格式化了的，便于程序化，易于在计算机上实现， 因此也称差分格式，但其方法要求计算网格结点分布比较规则，不适合复杂的几 何形状求解区域。而有限体积方法的离散思想显见它自动满足守恒律，因而是守 恒律的一种最自然的离散方法，而且，他很容易吸收有限元及有限差分方法的一 些思想，如近似r i e m a n n 解算器、e n o 等，更重要的是它可以方便的利用各种类 型的网格，从而适用于复杂的几何形状求解区域。 1 4 有限体积方法的研究发展概况 自从5 0 年代y o nn e u m a n n 和r i c h t m y e r “1 的经典论文发表以来，非线性双 曲型守恒律的有限差分方法得到了飞速的发展。在计算流体力学中，由于某些物 理量，例如压力和密度，根据其定义一定是非负的，因此要求数值解法具有一定 的单调性性质，这就导致从8 0 年代开始的以t v d ( t o t a lv a r i a t i o nd i m i n s h i n g ) 格式为代表的高分辨方法的研究热潮c 2 - 43 0 所谓高分辨格式是指在解的光滑区域 至少有二阶精度，而且激波过渡陡峭，不产生非物理震荡。但是，为保障具有 t v d 性质，这些格式在局部极值点精度都会降至一阶，特别是g o o d m a n 和l e v e q u e 铆证明了在多维情形不存在高于一阶的t v d 格式。为了克服t v d 格式的这种缺 点，h a r t e n 等n3 放宽对t v d 格式单调性限制，允许总变差微小增加，提出了e n o ( e s s e n t i a l l yn o n o s c i l l a t o r y ) 型格式，它可达到一致高阶精度，并能剔除 g i b b s 现象但允许在阶段误差阶上的非物理震荡。有限差分方法在求解非线性 双曲型方程守恒律问题中，如在计算流体力学中取得了很大的成功，得到了广泛 第3页 国防科学技术大学研究生院学位论文 的应用，但总的说来，它要求计算网格节点分布比较规则，而不适用于复杂的几 何形状的求解区域。有限体积方法吸收了有限元中对函数分片近似的思想，以及 有限差分方法流通量近似简单的一些思想，它综合了有限元方法和有限差分方法 的优点，可看作是有限元法和有限差分方法之外的第三类方法。 有限体积方法从5 0 年代末就开始发展，如g o d u n o v 格式”1 就是一种从非定 常流体力学的积分守恒律出发进行离散而得到的数值方法。李德元等m 1 关于非 定常流体力学数值方法的著作中也给出了一些可算作早期有限体积方法的数值 方法。但一般作者认为m c d o n a l dn 1 及m a c c o r m a c k 和p a u l l y 阻3 关于二维非定常 e u l e r 方程的数值解的论文是有限体积方法的先驱，j a m e s o n 和m a v r i p l i s “”关 于e u l e r 方程非结构网格有限体积方法的论文给入的印象非常深刻，并使得很多 计算流体力学方面得专家将注意力转移到非结构网格有限体积方法上来。特别是 近二十余年来，非结构网格有限体积方法已取得了很大的发展，目前已经成为数 值模拟复杂、高速流动的重要方法。 在国内目前对非结构网格方面的流体力学有限体积方法的研究工作发表的 有：李荫藩呻1 ，许国荣旧1 将f l i c 方法( 大粒子方法) 分别推广到任意三角形 网格和任意多边形网格，李荫藩等还将该f v i i 用于解决了一些复杂的激波反射和 绕射闯题，发表在力学学报和计算物理等杂志。李荫藩、宋松和、周铁等在力学 进展旧3 上对双曲型守恒律的高阶、高分辨有限体积方法及近年来的进展进行了 介绍。黄明恪呻1 用非结构网格与e u l e r 方程计算了复杂区域二维流动。 下面具体介绍一下非结构网格有限体积方法的发展： 一极值原理 j a m e s o n ( 1 9 8 5 ) “”首先提出了正系数型极大值原理。这个关于系数的符号的 条件是一维三点格式t v d 的条件的直接推广，它保证极大值不会增加，此时格式 是单调保持的。s s p e k r e i j s e ( 1 9 8 7 ) 3 把具有有界正系数的( 有) 结构网格格式 称作拟单调格式。t j b a r t h 。”对非结构网格情况作了仔细讨论。 二中心型格式 c j h w a n g 等( 1 9 9 1 ) 3 对二维g u l e r 方程发展了非结构网格局部隐式对称t v d 格式，是格子中心型格式； v i j a y a n p ( 1 9 9 4 ) “”和v p a t h a s a r a t h y ( 1 9 9 4 ) “等人发展了非结构网格 l a x - w e n d r o f f 型格式。 第4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 三g o d u n o v 型上风格式 g o d u n o v 型非结构网格有限体积方法是非常重要的一类方法，它的基本思想是 把解“的积分控制体积平均n ，取作基本未知量。利用控制体积平均的平均信息， 在每个控制体积q 作一k 阶分段多项式恢复 u ( x ，_ ) ，) 。= 口( 。) 鼻。) ( z x c y y c )( 1 1 ) 其中，) 0 一t ，y - y 。) = 一哎) ”( y y 。) “而( t ，y 。) 是控制体积形心。 格式的三个步骤是： ( 1 ) 在每个控制体积求恢复函数：在所有q ；上给定积分平均，求出一k 阶分段 多项式0 ，_ ) ) i 以便在求数值通量时使用，要求在恢复过程中，满足条件 正，u 。o ，y ) ，掘；似) ； ( 1 - 2 ) 为使解保持单调性，可能需要执行单调性限制。 ( 2 ) 在每个边界上计算流通量：用数值通量函数代替真正通量。在每个边界的 两侧，由分段恢复函数给出两个解状态，由精确或近似r i e m a n n 问题得到唯一的 通量：令f ( u ；n ) = ( f ) ，1 ) 于是 厶。厂 ；厅) d r 一丘。 ，u 8 ；疗沙 ( 1 3 ) 当恢复多项式使分段线性的时候，利用中点积分公式得到 甜扩；n 砂。荟。h ( u l , u r ；n ) ， n 4 其中u c 和u 8 是在控制体积边界的中点算出的左右r i e m a n n 状态，当利用多点求 积公式时，例如高斯求积公式，则有 l , h ( u l , u r ；n ) d r 。盏荟 ( u ，扩曲 。巧 其中系数肜，0 。 ( 3 ) 在每个控制体积上进行时间演化：利用e u l e r 显式，e u l e r 隐式，r u n g e k u t t a 等时间步进格式求得解h 的控制体积平均近似。 t j b a r t h 论述了线性恢复，二次恢复，k 一精确恢复等恢复方法， t j b a r t h m 】“1 对e u l e r 方程给出利用二阶恢复的非结构网格高阶g o d u n o v 格式。 第 5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 为防止数值解中摆动的发生，就要使得在恢复过程中实施严格大的单调性，基本 思想是使恢复多项式之值不超过邻格的最大值和最小值，即最后的恢复必须保证 不出现新的极值，t j b a r t h “”给出了一些限制器。 l - j d u r l o f s k y ，b e n g u i s t 与s o s h e r “”对二维双曲性守恒律基于局部自适 应二维内插的思想，按照m u s c l 差分化方案得到自适应通量近似，从而得到“二 阶”上风“t v d ”格式。x u d o n gl i u 啪1 对上述格式作不大的修改，证明了它满足 极值原理。s a ny i nl i n “”等利用上风二阶外插和简单局部限制，并要求三角形剖 分满足作者所谓“t v d ”条件，得到具有正系数的上风有限体积格式。d a v i d c s l a c k 。2 1 等利用m u s c l 差分化得到了一格子顶点型高阶格式，利用分段线性恢复 思想得到一格子中一t l , 型高阶格式。 c j h w a n g 。”等对e u l e r 方程利用四边形三角型混合非结构网格，其中四 边形网格在有一维流动特性的流动区域作定向伸展，发展了格子顶点型上风格式， 对流通量计算利用r o e 的r i e m a n n 解算器，为得到高阶精度利用m u s c l 差分化， 利用r u n g e k u t t a 时间积分。 四其它格式和一些收敛性结果 l j a zh p a r p i a 。”等对二维e u l e r 方程发展了独立于网格的上风格式，即真正 二维有限体积格式，它利用五个基本波来局部地恢复流场梯度数据，由于波的强 度、定向和传播方向都是从梯度数据而非格子几何推出的，故称作“独立于网格” 的。f u r s e n k o “。给出了预估校正型的二阶g o d u n o v 型格式。j o n g - k w a nk i m 等发 展了高阶上风t v d 有限体积格式，该格式是基于f c t ( f l u x c o r r e c t e dt r a n s p o r t ) 概念和自适应网格技术。 r k a g a r w a l 。”等就精度和效率比较了四种非结构网格通量分裂型e u l e r 上 风格式，四种格式是：r o e 格式，v a nl e e r 格式，a u s m 格式和w p s 格式。 有关多维问题的e n o 格式工作不是很多，使用非结构网格的就更少见。 r a b g r a l i x s 回忆并改进了非结构网格无摆动恢复方面的工作，提出了一类非 结构网格e n o 格式，报告了其三阶形式的应用，即使对很不规则的网格，用该格 式仍能得到高精度。 对非结构网格在理论方面也有一些工作，d k r oh e r 曲1 等对多维空间的标量守 恒律的非结构网格高阶上风有限体积格式，证明了一类此种格式的收敛性。 第6页 国防科学技术大学研究生院学位论文 m g e i b e n 和d k r on e r 。1 等对多维守恒律方程组的格子中心型非结构网格有 限体积格式证明了l a x w e n d r o f f 型定理，这就意味着如我们有一个守恒型数值格 式，而且相应离散解均匀有界且当离散参数趋于0 时，在l 2 意义下收敛到某个函 数u ，则u 将是相应守恒律的弱解。对二维标量方程，他们证明了如果离散满足 离散熵条件，则极限解u 将是满足熵条件的弱解。 本文的主要工作： 首先，在引言部分，我们介绍了有限体积方法的产生背景，指出了差分方法 和有限元方法中的特点，对有限体积方法的产生和发展给出了比较详细的介绍。 在后面给出了有限体积方法从产生到逐渐成熟过程中的一些成果。 在第二章中，详细给出了有限体积方法的基本框架，即网格剖分、空间离散、 时间离散，其中空间离散的重构步是关键的一个步骤。时间离散中给出了几种典 型的离散方法。 第三章中，分析了一些新型非结构网格有限体积方法的算法，包括正型有限 体积方法、固定基点的有限体积方法、e n o 型有限体积格式、w e n o 型有限体积格 式等。这些方法代表着现阶段有限体积方法的研究方向。 第四章中，分析了紧致高阶有限体积方法的特点和标准，并给出了一种对标 量双曲型守恒律方程的紧致高阶有限体积方法，并通过数值实验对该方法进行检 验，数值结果表明该方法是有效的。 第五章中，考虑二维双曲型守恒律方程，对非结构三角形网格给出了一个非 振荡有限体积方法，在计算过程中以三角形单元作为控制体积，为使方法具有二 阶精度且在计算间断问题时不会出现振荡，构造了一种在最小平方意义下的非振 荡线性重构函数，并用二步t v dr u n g e k u t t a 方法对时间进行离散，典型算例表 明该方法是有效的。 第 7 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二章二维双曲型有限体积方法格式构造 二维双曲型守恒律的一般微分方式为 玑+ ，( u ) ，+ g ( u ) ，= 0 ( 2 1 ) 其中u = ( u ，u 。) 7 是未知量，( u ) - ，l ) ，厶) ) tg 缈) = ( g 。p ) ，一占。) ) 7 是通量函数。例如，对于二维e u l e r 方程有 u = p p u p v e ，( u ) 一 p u d “2 + p p u v u ( e + p 、 ，g ) ； p v p u v d v 2 + p v ( e + p 、 ( 2 2 ) 其中p 是密度，n 和v 是两个速度分量，e 为总能，p 为压力，状态方程是 p = ( r - 1 ) 怛一互1 p 2 + v 2 ) ) 为绝热比，取作固定常数。 y 为绝热比，取作固定常数。 2 1 二维双曲型守恒律有限体积方法的框架 二维双曲型守恒律( 2 1 ) 的积分形式为 詈+ 南f m 幽- o q 3 其中万4 毒博阢姊是u 在单元控制体积q 上的平均值。q 是区域q 的边 界，倒是q 的面积，n = 0 ，n ，) 是边界a q 的单位外法向矢量，f 一( ，g ) 。设 给定求解区域为q ( 不妨设为多边形) ，有限体积方法的框架如下： ( 1 ) 网格剖分： 把q 剖分成互不重叠的许多小单元( 网格) q ，- 1 , ，n ) ，q j 也是多边形 且q ；u q j ，q 。和q ，：( j l j 2 ) 若相交，则或共顶点或共边界。令q ，为控制 体积，要求解的自由度就是控制体积q ，上的平均值u ，。 ( 2 ) 空间离散： 重构( r e c o n s t r u c t i o n ，r e c o v e r y ) ：根据各控制体积上的平均值u ，求得 u ( x ，f ) 在控制体积边界上的积分点的近似。 国防科学技术大学研究生院学位论文 利用适当的求积公式，通常用高斯型公式，去近似( 2 3 ) 式中在控制体积 边界上的积分 广) r i d s 一悔i ( 嘶f ( ) n “，y ：) ) ( 2 4 ) 其中a q 口表示aq j 的第，边，i a q “j 指其长度，o f ，y ：) 是a 嘞上的积分结点，q 是 积分权。 通常利用单调通量或r i e m a n n 解算器构成数值通量近似( 2 4 ) 式中的物 理通量f ，可得 ，( u 。) 。，l 州，y ：) 一日似一，“一) ，【，州+ ，以+ ) ( 2 5 ) 其中u 州一，以一) 表示根据( 2 ) 中( i ) 步( 即重构) ，从控制体积q ，内所得的u 在点u ( 4 ，) ，? ) 的近似；而u “+ ，) f + ) 表示从与q ，有共同边界a 吼的相邻控制体 积q ，内所得的【厂在同样点的近似；单调数值通量或近似r i e m a n n 解算器的选取 对格式的成功与否是否重要的，典型的选择为：对标量情形用g o n d u o v 的精确 r i e m a n n 解算器，e n q u i s t o s h e r 解算器，l a x f r i e d r i c h s 解算器，具熵强迫措 施的r o e 解算器；而对于方程组则用g o d u n o v 的精确r i e m a n n 解算器，具熵强迫 措施的r o e 解算器，l a x f r i e d r i c h s 解算器等。对于低阶格式，这种选取是特 别重要的，因为这是决定格式性能的唯一机制；但对高阶格式利用最简便的 l a x f r i e d r i c h s 解算器与利用精确的g o d u n o v 解算器对解的优劣并无大的影响。 有关r i e m a n n 解算器的细节请见l e v e q u e 的书口“ ( 3 ) 时间离散： 对进行空间离散后得到的关于时间t 的常微分方程( 组) ，用适当常微分方 程解算器进行离散。 2 2 有限体积方法的网格和控制体积 一、 网格：有限体积方法可以使用两种网格：结构网格和非结构网格。 一种网格称为结构网格，假如它的顶点间的连接是有限差分的。也就是说对 于二维网格是( i ，j ) 型的，对于三维网格是( i ，j ，k ) 型的，其中i ，j ，k 是 整数。二维结构网格的每个单元( 格子) 或者每个顶点，只要用两个指标久可被 第 9 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 识别，就可以确定这个单元或顶点的所有信息。对于结点( i ，j ) ，指标为( i j ， j ) 的结点是其左邻结点，指标为( i + l ，j ) 的结点是其右邻结点。 一种网格称为非结构网格，假如它的顶点问的连接是非有限差分型的。例如 二维空间中的无规则的三角形网格，其单元编号、结点编号都是随机的，我们必 须以列表方法保存有关每个格子及其顶点的编号，每个格子的邻格子的编号等 等。对于二维问题，( 有) 结构网格多为四边形网格；非结构网格多为三角形网 格，混合三角形四边形网格也有用的，纯四边形网格很少用。 结构网格有很多优点，如对简单几何区域网格生成是直接的，可利用其顶点 问连结的特点发展解算法，算法易于向量化等。利用结构网格有限体积方法求解 计算流体力学问题取得过很大成功，但对复杂的计算区域，产生是党的结构网格 是困难的。一些技术，例如把计算区域分成若干简单区域的多区域方法，对二维 问题是有效的，但对复杂的三维计算区域仍然是困难的，比如飞机的无黏跨声速 流动计算，整个飞行器几何外形包含多升力面，机身，翼下吊架，发动机短舱， 如果再考虑气动力弹性变形，情况就更加复杂了。但如果对网格放弃任何内在的 结构要求，采取完全非结构网格，对二维问题用三角形网格，对三维问题用四面 体网格，原则上在处理几何上的奇异性和不规则性上不存在困难。 非结构网格对复杂几何形状的网格生成有很大的灵活性，两且可以自然地实 现自适应网格。另一方面因为没有任何秩序，必须保存有关网格连通性地额外信 息，这就将增加计算机地c p u 时间和存储要求，非结构网格实际是有限元型的， 而有限元方法取得了巨大的成功，在解决复杂几何形状问题时，( 有) 结构网格 型方法所遇到的困难，促使人们常识发展非结构网格型方法( 网格生成方法和方 程解法) ，使之成为综合有限差分方法和有限元法有点的一种有利的方法。 j a m e s o n 和m a v r i p l i s ( 1 9 8 5 ，1 9 8 7 ) “”工作所给出的印象深刻的结果。 这样很多流体力学专家将注意力转移到非结构网格f v m 上来，近二十余年来 已经取得很大发展，发表了大量的论文和报告等，目前已成为高效数值模拟复杂 高速流动问题的重要方法。 非结构网格算法的精度和效率一般不如( 有) 结构的，影响精度的因素很多， 如网格的质量，解算法的好坏，解算法的每个步骤的构造，边界条件处理等，为 使非结构网格算法和( 有) 结构网格算法可以匹敌，这些方面都需要作工作，改 善精度和效率的重要途径是非结构的多重网格技术和自适应网格方法，两者相结 第l o 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 合将实现复杂几何外形的复杂流场的高效和精确的数值模拟，而且已经产生了一 些可和( 有) 结构算法相匹敌的非结构算法，非结构网格的自适应网格和多重网 格方法都有很多工作发表“，a s ，a r c i l l a 所编的论文集。”1 有很多这方面的论文。 众所周知，自适应网格是提高算法效率和解精度的有力手段，网格对解的适应 在结构网格和非结构网格情况均可实行。在结构网格上实现时必须保存网格的结 构特性，于是或插入完全新的网格或移动网格点，以致引入不必要地网格点，甚 至可能引起严重的网格畸形。对非结构网格，适应措施可以有效地、自然地进行， 即在需要加密的地方增加新网格点，在需要减稀的地方去掉多余的网格点，从而 实现网格的加密和减稀，这是非结构网格的另一大优点。正因为非结构网格这些 优点，在解决有复杂几何形状的问题时，人们尝试发展非结构网格型有限体积方 法。j a m e s o n 和m a v r i p l i s “们在8 0 年代对e u l e r 方程使用非结构网格有限体积法 取得成功是这一领域的开创性工作。 二、控制体积：将计算区域剖分成网格后，可取该网格的单元( 格子) 本身作为 控制体积；这样得到的有限体积格式叫做格子中心型的( c e l lc e n t r e d ) ；另一 类控制体积是由格子( 单元) 顶点周围的单元的整体或按统一的规则各取一部分 合并而成，这样得到的有限体积格式叫做格子顶点型( c e l lv e r t e x ) 。以三角剖 分来说有以下主要四种格子顶点型控制体积：( a ) 由每个格子顶点周围所有三角形 单元的外心相连接而成，此时自然要求所有三角形的内角都不大于9 0 度； ( b ) 由每个格子( 单元) 顶点周围所有三角形单元的重心相连接而成；( c ) 把围绕每 个顶点的所有三角形单元的重心和从该顶点发出的边的终点相连接而成；( d ) 经 过每个顶点的所有三角形的并集。图2 - 1 给出这四种格子顶点型控制体积的示意 图。 ( a ) 第1 1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 ( c ) 图2 1 四种格子顶点型控制体积 对于典型的三角形网格剖分，三角形单元数大约是围绕顶点的控制体积的两 倍，因此格子中心型的，换言之，格式中心型的网格密度要大于格子顶点型的两 倍；但是格子顶点型的控制体积的面积大于格子中心型的，换言之，格子中心型 的网格密度要大于格子顶点型的，因此似乎格子中心型的在精度上对同一剖分来 说要好些。二者究竟哪类好并无定论。这里为了简便起见，着重介绍格子中心型 的剖分类型。 2 3 有限体积方法的时间离散 求解关于f 的常微分方程主要有两种方法：第一种是l a x - w e n d r o f f 型方法， 即对时间t 进行t a y l o r 展开，然后利用原p d e 把时间导数转换成空间导数，再离 散这些空间导数。但对多维问题这种时间离散方法太复杂。第二种方法是利用通 常的o d e 解算器，如r u n g e - k u t t a 方法或多步法，这是有限体积方法中主要采取 的时间离散方法，特别是舒其望。所提出的t v d 型r u n g e k u t t a 时间离散方法， 对于间断解它和稳定的空间离散相结合是非线性稳定的。例如，一个二阶t v d 型 r u n g e k u t t a 格式是 u ( 1 ) ；u “+ f 工( u ”) u “：i u n + i - ( 、u o ) + 龇1 ) ) ( 2 6 ) ，、 、 另一个三阶t v d 型r u n g e k u t t a 格式是 u 1 ；u “+ 出己( u ”) u 一“。兰u ”+ 土( u ( 1 + a t l ( u ( 1 ) ) 44 、 第1 2 页 里堕型兰茎查奎主竺茎竺堕兰堡笙苎 旷- 。；u n + 昙+ a t l ( u ) ) jj 其中是空间离散算子。 ( 2 7 ) 国防科学技术大学研究生院学位论文 第三章高分辨率有限体积方法 由于近十年来有限体积方法逐渐得到人们的重视，很多流体力学专家投入到 有限体积方法的研究，得到了一些很好的格式算法，本章中介绍几种比较有代表 性的算法：其中包括正形有限体积方法；固定基点( f i xs t e n c i l ) 的有限体积方 法的一些发展和分片线性重构技术，即非e n o 型有限体积格式；e n o 型有限体积 格式；w e n o 型有限体积格式。 3 1 正型有限体积方法 正型有限体积格式是j a m e s o n 提出来的，他在 3 4 中具体研究了所谓正型有 限体积格式。设对标量方程的半离散有限体积格式可以写作 d 础u o - ；g p t 一) ( 3 。1 ) 对格子中心型有限体积格式，u o 是某三角形单元重心的量，而以( 七一1 , 2 固是周 围三个三角形单元的相应值，对格子顶点型格式砜是某个顶点的变量，而以是所 有过该顶点的边的另一个端点的相应量。如果( 3 1 ) 式右端所有系数为非负： c 。= o ，k 。1 , 2 ，则称该有限体积格式为正型的。这个关于系数符号的条件是一维 三点格式是t v d 格式的条件的直接推广，它保证极大值不会增加，如再假设g 一 致有界，对定常解则可推得 m i i l ( u k ) su o s m a x ( u , ) 即成立离散极值原理。如果对时间导数用e u l e r 向前差分，则有 w “一q i u 。n + q w ( 3 2 ) 其中q = 1 - 血；g ，q ；址g 。显然有a + ；q 日1 。如果址s 1 7 ；g n c ：zo ，q z0 。即n + l 层的值可表示作n 层的值的凸组合a 显然可以知道 m i n ( u ：，职) w n “m a x ( u ；，w ) 即非定常解满足离散极值原理。 下面给出j a m e s o n 在 3 4 中提出的格子中心型正型有限体积格式。 国防科学技术大学研究生院学位论文 了d ( k u o ) + 华甜半吣+ 学嘞卜( 3 3 ) 鱼一) + 血# ( ) ，。一) ，。) 一鱼警瓴，一) 一。 丢m ) + ；【五一，0 脚t 一( g k - 妁舨m ( 3 4 ) 陋五警粤哔，u t ，u t o 2 医喜。 a i a u + 荟3 眠一砜) 一。 ( 3 5 ) 艺吼。( u k u 。) 其系数满足条件吼。亳i n t o l 。类似地，j a m e s o n 构造了格子顶点型正 第1 5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 子中心正型迎风有限体积法，边界积分按中点法则进行，用迎风单调数值通量( 例 如l a x f r i e d r i c h s 或g o d u n o v 通量等) ，利用迎风二阶外插方法近似积分点的左、 右r i e m a n n 状态，如图3 2 所示 图3 - - 2 m 1 的左侧值u 。的二阶外插重构示意图 利用相应于重心的解值u 。，u 。，u ：去外插左r i e m a n n 状态，即 u 0 1 。；( u ：一u o ) 如( m 。) + ( m ，) ( - u 。) + u 。，其中 是那边的中点 九( j ，k = 0 ，2 ，3 )c o ，c ：，c ，为顶点的三角形的面积坐标。类似的可计算右r i e m a n n 状态。从而有限体积格式可表示作 警= 著3 岛( 吲 ( 3 6 ) 我们称三角剖分是t v d 的，如果对每个三角形单元z ，有 九( m m ) 量0 ，j , k 一1 ，2 ，3j 尼 文 4 0 中给出了简单的局部限制器，并证明在这些限制器限制下和t v d 三角剖分 情况下，有限体积格式是正型的，即在( ? ) 中e ；苫0 ，从而必满足极值原理。 格式推广到e u l e r 方程是直接的。局部限制器可选择对守恒量，原始变量或 特征场作为基础去确定。s p e k r e j i s e “”对矩形网格研究了正型有限体积格式，并 把此种格式称作拟单调格式。b e r z i n s 和w a r e ”1 把s p e k r e i j s e 的工作推广到非 结构三角形网格情况。b a r t h “”对非结构网格情况也作了类似的研究。 如此所述，正型有限体积格式可看作一维t v d 格式在二维( 结构网格和非结 构网格) 的推广，因此实际应用效果是好的。