（运筹学与控制论专业论文）纯的幂等拉丁方和纯的对称幂等拉丁方.pdf

北京交道大学硕士学位论文巾文摘要 中文攘要 摘要；缀合设计理论是现代组合学的一个重要的分支。设计的研究涉及到缀合论 瓣一令嚣常重要瑟串一煞瓣蘧，羁菝爨一定豹裁粼来安嚣一戆浆终夔翅题。羧了 方盼构造是设计闯题的一个典型例子。本文主要解决了纯的幂等拉丁方和纯的对 称幂等拽丁方的存磁性问题全文焚分三章； 第一耄分绥嚣荧控f 方懿一魏基本摄念耱定理。 第二章研究纯的幂等拉丁方，给出一系列构造方法和绪聚，解决了纯的幂等 拉丁方的存在性问题。即存在一个纯的幂等拉丁方当且仅当其阶数t ，8 。 第三章磅究缝熬霹豫幂等捷下方，绘出一鬈罗| j 梅造方法嚣结果，解决了缝 豹对称帮等拉丁方的存在性闯越。即存在一个绝的对称幂等挝丁方当且仅当其阶 数口5 。 关键溺：控。f 方；幂簿兹；纯懿；羧嚣 北京交通大学硕士学位论文荚义摘要 英文揍要 a b s t r a c t ：c 伽曲i n a 蛔d a ld e 8 i 弘t h e o r yi 8 嬲i m p o r t a n tb r 8 n 出o fm o d 哪 翻嘲糙崩蜘蘑毫圭娜零酶斑辨a 联蠡糠矗蕊擎魏彘髂毛0 8 哪翻l 嘲峨瓢蠢锵翻麟 鲫) b l o f 鲫曲捌a l 蛳骶i s t os a y 雠蛐斌g e 咖e 蝴醣 r t 咖r i l l e i nt h i 8a n i c l e w eo o m p l e t e l y l v 酬七h e 戗斌e n 胱p r o b k m0 fp t 啪l y i 矗! m p o 毛e ：畦l 越遮s q 瞄a 糟s 躲dp 毛l r e l y 姆啦m e 毛r 主e 撼e 趣p o t e n l a t 迅哪l a r e 8 + i ng h 印t e rl ，i n t r o 幽悦8 0 m eb a s 沱c 0 唧i o 璐矗n dt k 瑚 i nc h 印t e r2 ，d i s c u 锵t h e 础t e n c eo fp 郴e l yi d e m p o t e n tl a t i ns q u a r ea n d 矗鲒8 0 礅ec o n s t r u 穗i o 黼a n df e 瞰l 毛8 ，g i v e8 。b 珠辩埝s 瞳l l 纽瓣罐删yi d e m 粼托蟪 l a 妇ls q l l a 潲n a 赶l e l yp u r e l y 强e m 畦懿l t 王瓜i n8 q u a f eo fo 娜释霸e 妊s 协j f 驵d 彻崎i f 件8 k 貔8 p t e r3 t 蕊8 ( m 鹞专h e 翱娃s 屯e 珏c e p 娃r 戚y 码田m l e t | 主ci d i m p o t e 稚毛l 8 垃n 8 q t l a 嘴勰d 珏s 乇8 a 峨e 伽雌t r u c t i o n 8 绷d 删t s g i v ea m p l 铽es o l u t i o n p u i e 汐 i d e m p o t e n tl a t i ns q u a r e s n a m e l yp u r e l y 蚋l m e t r i ci d 锄p m n tl l t i ns q u a o f o r d e r 他婀d s t s i f a n d o n l y i f 死5 垂( e 1 f w o r d s ：k 蜒强s q 畦a 砖；p h 糟l y ；i d e m p o t e 珏毒；q 珏8 s i 辫洲p 学位论文叛较使溺授权书 本学位论文作者宪全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定特 授权慧痰交遥丈学慧戮壤学建谂交瓣全部或帮分内容缓入骞荚数据痒进露检索， 并采朋影印、缩印竣扫描等复制警段保存、 编以供查阅和借阅。同意擎校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 傺密懿学霞论文在艇密蜃逡耀本授权诞爨) 学位论文作者签名：i 牟桐拨 翩戤嗥岁 签字日襄：撕i 年l 工月桶蕊字日期：年月日 致谢 本文是在我的导师常彦勋教授的悉心指导下究成的。感谢导师给予我的关心， 掺导露光熬戆蘩动。农我攻读硬壹麓阕，豢老爨箴锈教诲，不舞劳苦，不莰传援我 专业知识，还教会我缀多做入的邋联，生活上受鼹对我关心餐楚，作者深受感动 导师渊博的知识，严谨求实的治学方法，活跃的恩维，以及他的谦逊豁达诚我深 深钦佩。巍导师近三颦蹲阕的相处，终者受益远嚣“鐾浅”二譬掰筢表达，鼯愚终 生难客。 我遄要感谢周君是老师，无论怒在研究生课程学习过程中，还是在论文的写 作过程巾，周老师都绘了我很大的帮助积支持。在此，向周老魉表示最衷心豹感 落。感谢我同门豹繇笼耀燕，惑谢穗们对我静关帮照鼷。袋藤，氲瞬有关心和帮 助过我的老师和同学袋示深深的谢爨! 常穗茂 2 0 0 濞n r 予池索交通大学碰学院 北索交遁大学硕士攀位论文l 预备朔识 l 预备知识 设s 为一个。元集，a = ( ) 。为s 上的一个移谤降，如果a 的每行每刿都 是s 中元素的一个全捧列，则称a 为s 上的一个t ，阶搬丁方。如果对任意i s ，都 毒鳓= 霸剃嚣矗怒幂等戆。鲡粜囊合 ，杰 ：毫歹s 显i j 捻含骞移和一1 ) 令 不同的三冠组，则称a 悬纯的。我们用朋l s ) 表豕一个纯的 阶幂等拉丁方。如 采对任意i ，歹s 艇i j ，都有= g 妒鲻称a 黾对称豹。我稍称一个对称的幂等 拉丁方是纯的，如果集合 谯幺 ：蟊j s 点h j 恰含蠢留扣一1 ) 2 个不同的三 元组。我彳f 】用尸鲋二s p ) 袭示一个口阶纯的对称的幂藩拉丁方。 设s 是一个嚣霞集合，露是s 豹一令子集嚣含有矗令元素。集会趾蒂有一个濑褥盼 拉了方( 记为己s ( 挑衅) 上是指一个口xt ，方阵，满足下面的条件： 1 l 的每个位置或者为空，或者怒s 的一个元素。 2 s 静每个嚣素在每一行帮每一捌串至多毒凌一次。 3 黪子方黪露攫是空的。 4 s 中的元素茹在第蓦行或第列出现当且仅当( 霸耖) 拶s ) 旧厝) 。 设；( 幻h 。，如果对予任意 s 日，缸= l t 则称五是幂等的。如果集合“i ，互幻 ：( ，j ) s ) 涔殿) 璺i j 捡鑫骞和一l + 秘一是) 令苓同躲兰霪缝，粼 称l 是纯的。 n 阶拉丁方等价于一个礼阶拟群，办等价予一个挺交表o a ( 2 ，3 ，竹) ，我们用 p s j q ( n ) 表示一个纯的对称的幂等拟群。设熊正交袈a 的列号为l ，2 ，3 ，藤a 秀 l ， 2 ，3 1 上对称群岛中的一个置换，以n 表示a 经列置换穗后的正交表。两个嗣阶的正 交袭矗与露称鸯莛转当麓莰当存在8 急使樗a 口= 暑。嚣令蚕交表稼为耀等， 若它们定义同一个拟群。称日似) = 恤礴：a a = a 为正交表a 的共轭不 交予群( c 蕊) 。辩子s 3 的任一个子群g ，称p s ( 翻= 伽：j 件阶幂等拟群a 使 褥翟 3g 为g 豹幂等遴。对于绘寇艴子群gc 岛及n p s ( g ) ，以下嚣个勰 题是有价值的： 闯题ix 势t ，元集，g 为是豹子群，x 上秽p 1 ) 和一2 ) 个有痔三元缀( 每个 三元组中的三个元素均不同) 构成的族逸为s ( 分) 。闯：对g 的幂等谱中的哪些口阿 将s ( 耵) 分拆成u 一2 个两两不交的”和一1 ) 3 部分正交表( 添上全部幂等行之后将 掩戏幂等聂交表) 众，l 移一2 ，嫠霉每今矗在g 共辘嚣翅下不交? 糯寨交遥大学顼士攀位论文 l 预备知识 问题2y 为 + l 元集，g 为岛的予群，y 上 + 1 ) p 1 ) 个有序三元组( 每个 三嚣维中豹三个茹素筠不同) 搦成的族记为筝( 移+ 1 ) 润：辩g 豹幂等谱中的哪薹跏， 可将? 和+ 1 ) 分擗成移+ 1 个分别定义农y 好上的两蘧不交的t ，一1 ) 3 部分难 交袭( 添上全部幂等行乏后将构成幂等正交袭) 岛，可y ，使得每个岛在g 共轭 嚣建下不交? 这里的共轭不变子群g ( 作为岛的予群) ，有以下四类： ( 1 ) g ；岛，此时的拟群称为s t e i n e r 拟群，它等价于s t e i n e r 三元系明嗜。这 样，在g 共藐佟掰下不交豹。除箨等掇群懿大集及越穴集分掰等价予哲徐s t 妇三 元浆大集( 厶”s 0 ) ) 及勰大集( 0 l 盯s ( 盯) ) 。文献( f 1 8 】f 1 9 】) 已经知道： 存在厶s 删( ) 铮t ，墨l ，3 ( m o d6 ) ，t ，3 ，t ，7 ； 在( 5 鼍s 和) 静三l ，3 l 珏o l d6 ) ，彰3 ( 印g 一( 1 ) ，1 2 3 xf 1 3 棼，戴对豹羧群称为m e n d e 鼬蛀拟嚣，宦等份于m d e l 一 舳h n 三元系m r s 。这样，在g 挟轭作用下不变的口阶幂等拟群的大集及超大集分 裂等徐于钌除秘棚出赢珏三元系大集( 掰罕苫( 磅) 及怒大集( o 三耐粥) 关于五舭硝( t ) ，其存在谱已在文献【4 l 中给出：存在五盯z 苫( ”) 营”兰o ，l ( m o d3 ) ，移3 ，口6 到丑耨为垂，o 掰? s 嚣) 尚来完全解决。康庚德，雷建霄，张洁帮整予红基经 给出部分结果f 9 】 ( 3 ) g 为单位元群，此时问题1 与2 分别燧幂等拉丁方太集与幂等拉丁方超大 集。 此种幕等拟群的大集，首先是在1 9 8 8 年由l u c t e i f l i n c k 和c c l i n d n e r 进行了 讨论( 见f 1 3 1 ) 2 0 0 0 年，常彦勋最后给出其存在谱为：存在口阶幂等拟群大集静 咎3 ，私8 ( 冤瓣) 。 对于越大集，最近由常彦勋，雷建国应用p b d f j l 集的方法基本解决了其存在 性问题，结论是：存在 阶幂等拟群前超大集僻3 ，除去以下可能的例外值 6 ，8 ，l l ，1 4 ，1 7 ，1 8 ，2 2 ( 见强) ( 4 ) g = ( 1 ) ，( 1 2 ) ，此时问题1 与2 分别是幂等对称拉丁方大集( 又称g o h 设 诗) 每幂等对称拉丁方超大集。努外两个二除予群g 一 ( 1 ) ，( 1 3 ) 或g = 1 ) ，( 2 3 ) ) 的结果与之同构。 此种幂等拟群的大集，l u c t e i r l i n c k ，g j c o l b o u r n ，g n o n a y 及常彦勋等人 2 北京交通犬学硕士学位论烹 1 预备知识 基跨爨冀存在谱冤疆铂) ；毒蓍睁黔器等瑟黎楚丁方夫集移羞l 垂醴2 ，管 3 ，t ，5 对予超大集，最近氟康庆德，精子经解决了篡存在性鲻麟，结论是；存崧毫，酚 幕等怼豫羧群夔怒六条逛豆获当摩繁l 垂砥窀移3 ( 觅l l 逮) 。 对于纯的幂等拉下方和纯的对称幂等拉丁方目前尚无人涉及，本文讨论了这 两种拉下方，并给出了宦们的存在谫。 幂譬靛丁方器簿豁幂等蕴丁穷存在翡充分爨要条箨基客文藏矮孛蛰爨，鼯 引璁1 1 ( 1 ) 阶幂等拉丁方存在的充要条件是口3 ( 2 ) 口阶站称的幂等拉下方存在的充要条件是移3 。 下稀楚掰s 磅鞫嚣j 联国存程瓣垄 要条释： 引聪1 2 ( 1 ) 若存在尸j r s ( ) ，则钟8 ( 2 ) 若存农p s 儿s ( t ，) t 燃静5 迸( 1 ) 在令静嚣鬃孛共有秘一1 ) 和一萄声个不簿蓖三嚣缀，两一夸p 童五s 移) 产生 扣一1 ) 个不同的篡元组，所以商 扣一1 ) 0 2 ) 6 ”扣一1 ) ，即 8 ， ( 2 ) 樊似靛，移和一1 ) 知一2 ) 6 釜盯和一1 ) 2 ，帮秽5 裁1 对予”= 5 ，7 9 ，l & 我鳃绘密个弼珏s f 移) 的锈子蟊下# 3 4 3 l 7 6 0 5 2 8 86器ol 4 3 2 7 8 0 4 2 1 6 3 s 6 7 8 2 3 5 l 4 5 0 7 8 4 3 2 l 6 l 5 6 3 8 2 4 8 7 3 垂2 6 7 8 o 5 l 2l莲鑫07 8 s 3 0 2 3 1 5 6 7 8 莲 垂5 l o 3 2 6 6 3 8 4 l 5 2 5 0 6 2 4 l 3 1 6 5 3 2 4 9 3 4 2 5 6 0 l 2 l 4 6 0 3 5 0 2 3 1 5 6 莲 1 3 0 2 4 毒o l 3 2 3 4 2 1 o 2 l 4 o 3 0 2 3 4 l j 絮交通大学硕士攀位论文 表1 1 ：尸s ，s ( 5 ) ，p s ，s ( 7 ) ，p | s j 上s ( 9 ) ，p s j 二s ( 1 5 ) 4 l 预备知识 8 b d c8953607421 e e c 9 b 6 8 7 a 2 4 3 o 5 d l d e 8 83b40617 e 5 2 c d e 8 3 a 9 2 5 l 6 b 7 0 4 b 9 c e d 2 8 0 4 5 a 6 l 3 7 7 8 a d e b 2 c 3 9 5 1 6 4 0 9 & b 7 e e d l 8 3 4 5 8 2 6 8 6 5 9 b d e 7 1 c o 2 4 a 3 4 3 1 0 & c 6 e d 2 8 9 b 7 5 6 7 0 4 l 5 c d e b 2 a 3 8 9 5 e 7 2 4 l a b c e d 3 9 6 8 1 器6 3 2 4 0 9 7 d e 8 鑫b c 3 4 2 6 7 o l 荨b & c e 8 9 d 2 l 4 5 8 7 3 6 a 8 9 d e c b 0 2 3l64897b c d e a 乾裘交遥大学瑗圭攀位论文 2 纯的蔫等拉丁方髓存在性 2 纯的幂等拉丁方的存在性 写i 理2 1 如果存在一个拼工s ( qt ) 和一个p 弛s ，舅i 】存在一个硝嬲扣) 如 皋魏燕一令p s i 氧s b ，q 秘一令p s l l s 嗡，懿寿莓一冬p s l 毛s 獬 证 用肼五s ( ) 填充p ，l s ( t ，t ) 的空子方阵即得到一个p 儿s ( ”) 。用p s f 艺s ( t ) 填 充p s 儿s ( ，翻拘空子方阵即得到一个p s 儿s ( 。 在下露戆蠹容孛，我弼鼹表示一令控方a 豹转譬；翅粟数丁方a = ) 件。 定义在磊上，我们用a + l 表示( 1 ，j ) 位置上元素为+ 1 ( m o dn ) 的拉丁方；我们 说方阵a 和君不籀交是掩a 和鳓挎所有褶同位置主酌元素都不稻等。 弓l 理2 2 。假设存在一个拼s 似+ t ，啦如装存在一令磊上的拉下方a = ( 啦j k 。，使得a 和似+ 1 ) r 不相交，那么存农一个p 肛，s ( 鼢+ t ，n + t ) 证莰b = ( 皓) 蹩一个定义在磊u o 。l ，。2 ，o 。t 主蒂畜一个濑 o 。1 ，2 ，o o t ) 的p ，五s + 坟，x = ( 玩磊) u o o l ，0 0 2 。，t 一个定义在x 上带肖一个洞口= ( t 4 ) 荪) u o o l ，o 。”，o 。t 的j p ，l s ( 瓢+ t ，档 ，浚隽三一( 毛毋，籀造辩下： ( 1 ) 如果8 = ( 羁1 ) ，芦= ( 热j ) 且搜，芦巍反，定义 l ( 0 + 掣) 2 ，) ， 如果嚣 寥 筇2 蚝， 如果茹：鲈磊 啦且蛞 l ，0 0 2 ， t ( 髫，) ， 如栗茹= 可鼍磊 4 ，且幻g o 。1 ，2 ，o o t ( 2 ) 如果n o o l ，2 ，o o t ) 或者口 0 0 1 ，o 。2 ，f ) ，定义 ，l 鬈，蕊。) ，鲡莱盘= ( ，萄( 磊 4 ) x 氛，芦一。，露 l ，2 ，z 叩21 ( 弘j ) ，如果q ：o o 。，8 l ，2 ，n ，p ：( 弘d ( 磊 4 ) ) 筋， ( 3 ) 如果n ，p 日，“口是空的。 显然，l 是定义在r 上带有一个洞的幂筹拉丁方，下面我们证明怒纯的。 霰设_ 筝在集会( x x ) 搿嚣) 串静两个不弱熬元素 a ，癣，0 ，矿) ，使搿 8 ，叩 = a ，墨 ( 幸) 我们分两种情况证明此假设将得出矛盾。 5 托象交通大学硕士学位论文 2 纯的幕等拉丁方的存裰佳 情况1 # 存在某个z 磊。使得a ，芦( 茹，x 磊) u o 。l ，0 0 2 ，o 。t 。根据方 阵别瓣定义，可敬自然撩得到一个定义在( 伽 磊) u o o l ，0 0 2 ，o o t ) 上带有一 个濑 o o l ，o 晚，。，。o t 的一个幂等拉丁方，设为圆一媛) ，其中 l ( 嚣 蛞) ，蛞磊 嗡一 吣， 岵 o o l ，0 0 2 ，。o | l 空，是空的 显然，最是缝懿。教稷设不残立。 情况2 ：n 一扛，0 ，= ( ，一) ，p = ( 瓠力，= ( 矿，j ) ，喾耋f ，一矿 由( * ) 式，我们有 茹，驴，扛十们2 = 一，暑，( 十暑，) 2 ，鄄( 鬈，们= ( 一，矿) 躐( z ，掣) = ，砖。 如果( 髫，以一，矿) ，则由o ) 式可得( t j ) = ( 以j ，) ，即( a ，) = ( 以) ，与假 设矛盾。 颤栗0 ，势一( 矿，) ，苓妨设2 秘由( ，) 式，我靛有 ，巍积j 0 们2 ，o 玎) 一 ( 鼽j ) ，( 甄i ) ，( 十! ，) 2 ，吩i + 1 ) ，敬a ，五n 灯 = 0 ，互。一十1 ) ，这 窝a 与江十1 ) f 不襁交矛盾。 s i 理2 3 假设存在一个烈五s 缸+ t ，班如果存在一个烈s ( m ) ，邢么存农一 个p 7 l s ( 竹l n + ，札+ t ) 证 设君= ( 幻) 是一令定义在磊u 。o l ，如，。t t 带有一个漏 0 0 1 ，2 ， ，o o ) 的p j l s 机+ t ，t ) ，x 一( 磊磊) u o o l ，o 。2 ，o o t ) 一个定义在x 上带有一个洞何= ( m 一1 ) 磊) u 0 0 1 ，0 0 2 ，o o t ) 的即工s ( 聊l + t ，乳牛) ，设为一( 帮) ，魏遥翔下： ( 1 ) 如果a = ( 。，移= ( 弘j ) 且n ，芦2 0 么，定义 f ( 锄= 幻， k 。， ) ，如果茹可 翅栗茹一分 m l 曩幻g o 。1 ，o 。2 ，o 。 b ) ，如果鬈 m l l 且 l ，o o z ，。，o o t ( 2 ) 如果口 o o l ，o 。”，。o t 或者p o 。l ，o 。2 i o o ，定义 ， 扣，魏，。) ，如巢a = ( z ， ) ( 乙， m l ) 磊，声= o 。女， l ，2 ，) 叩2 热。j ) ，如粜理：o 。，s l ，2 ，。，筘：( 弘砖磊 m l ) 磊 ( 3 ) 如果口，p ( m 一1 磊) u o o l ，0 0 2 ，o 。t ，b 是空的。 6 j 豪变通大学硕士擎盥论文2 纯前幂等拉丁方孵存在性 显然，五是定义在x 上带有一个洞日的幂铸拉了方，下面我们证明l 是纯的。 假设存在集会( x x ) ( 封日) 中的两个不嗣的元素( a ，所，( ，) ，使得 热i 酗 = ，热舀矿 幸宰) 我们分两种愤况证明此假设将褥嫩矛蓐。 情况1 ：存在某个2 _ ，使得卢( 忙) 磊) u l ”t ) 。根据 方簿丑静意义，我髓霹戳鑫然蘸得囊一个定义在( 譬 磊) u o 。l ，：，0 上 带有一个澜 o 。t ，。+ ，o o t ) 的一个幂等拉丁方，设为最一( 吆) ，其中 l 冬，镑) ，旋 咯= b ，蚝 o o l ，o o ”t ) l 空，幻是空静 、 显然，琏是缝戆。鼓假设苓成立。 倩况2 ；d = ，i ) ，= ， 协芦= ( 弘j ) t 矿= ( 毫，j ，) ，茁如一毫，。 因为a 是个p ，s ( m ) ，敬矗，暮，n 砷 矿，吩| ，) ，由此得出恤，藏l c 啦 8 ，o 。 引理2 4 设g 是一个素数幂且g 8 ，则棒在一个p ，工s ( q ) 。 证 设g f ( 曲是一个q 元有黻域。对于任懑a g f ( 譬) o ，l ，定义一个拉丁 方氐= ( n 劫，其中口肄一妇+ l a 冶，2 ，掣g f ( g ) 。显然，氐楚一个聚等拉丁 方。下面我们证明对于某些a g f ( 口) o ，1 ，a 是纯的。分两种情况讨论： 情况l ；譬= 矿至轴为太子2 豹素数。我 j 断言，对于强意 g o ，l ，2 ，2 ， 一1 ) 熙舻一 + l o ，a 是个p j 三s ( 曲 事实上，假设存在( z ，掣) ，( 一，矿) g f ( q ) g f ( 口) ，使得( z ，鲈，d 籼) = ，矿，) ， 那么骞( 。，蓼，如) 一，矿，龄矿；，藏者，勋矿，矿) ，或者，幻矿) ，或者( 蔹鼢矿，) ， 或者( ，矿，暑，) ，绒者( n 嚣，矿，矿，一) 。对于第一种情形，( 曩! ，) = ( ，毫，) ：对于其他 五种情形，均有茁一翟。敖霰设不成立。 孽提2 ：譬= 2 8 晨薅3 。我弱叛言，对于镁意a 多 o ，l 鼹a 2 a + l o ，直a 是 一个p ，l s ( 窜) 。其证明与情况1 类似。 | 理2 5 霄予8 移3 9 ，存在一今p f 己s ( 秽) 证设s = 磊一。u 义，其中x = 茹l ，第。 。鹱设蠢怒一个定义在t 甓集s 童 带有一个洞x 的l s ( ，n ) 。我们用e a ( i ，j ) 表示( i ，j ) 位鼹上的冗素。a 的第一行由两 7 北京交通火学硕士学位论震 2 纯的幂等拉丁方的檬在性 夸彝妻娩耱，蓉窭，第一猫魏最后於元素壹彝萋孽绦整，其孛 最= ( e ( 0 ，o ) ，e ( o ，t ，伸一1 ) ) ， ，= 裱f o ，掣一溅，溉钉一l 雾= 颤( 移一捣国，钰扣一l ，妨) 我们可以用这曼个向量根据下丽的方法给出a 的其他元絷，其中筑相当予无 穷大鲍党索： l + 翔梁e 五( s 站m 霸，十l ，# + 1 ) = 钰( 蓐，) ；否嬲，露a 转l ，牛1 ) 兰 e ( s ，z ) 十l ( m o d 一n ) ，j t 中s ，t 毯名；一。， 磊散l ，移一髂一l + ) 簦钰( s ，移一| 薹一l + l ( m 。d 整一醇，嚣 孛芒磊，s 五， 3 # a 一，l l + t s + 1 ) 瓣e a 扣一恺一1 十t ，s ) + 1 ( m o dt ，一料) 一其 中荪，葶2 0 。 在辩录矗孛，我粥缭出掏造一个拼联弘哟懿三拿翔量鲐z 鞍毋其串陬稚) 毛 ( 1 0 ，1 ) ，( 1 2 ，1 ) ，( 1 4 ，1 ) ，( 1 5 ，o ) ，( 1 8 ，1 ) ，( 2 0 ，8 ) ，( 2 l ，8 ) ，( 2 2 ，8 ) ，( 2 4 ，8 ) ，( 2 6 ，8 ) ，( 2 8 ，8 ) ， ( 3 0 ，8 ) ，( 3 3 ，l o ) ，鼬，l o k ( 3 5 ，1 谚，( 3 6 l o ，( 3 8 ，l o ) ，( 3 9 l o ) 容糖验证，这磐向量 是满足要蕊豹。 他一o ，l 时，显然存在一个p ，五8 ( 盯) ，其中秽 加，1 2 ，1 4 ，l5 1 8 。当8 竖种 3 9 且口是索数时，由弓l 趱2 。4 知存在个肼三s p ) 。散对于h = & l o 时，由引理2 1 躲。 雾在一个掰醛秘，其串牡 鞠，2 l ，兹，2 4 ，篱，2 8 ，3 文3 3 ，3 4 ，弱，3 6 ，3 8 ，秘。 引璎2 6 对于4 0 ”7 l ，眷农一个p f 玉s ( ”) 。 诚当 是素数鞯时，由弓l 理2 4 知，存在一个p 珏s ( 钉) 。下丽考虑口誉楚索数 幂黪蕊嚣。 记 一m 州t 觅磺豫，1 ，当口f 4 0 ，4 5 ，5 0 ，5 5 ，7 0 ) 时，m = 5 ，t * o ，仃 8 ，9 ，1 0 ，1 1 ， 1 4 l 。附泶b 中的任一撼丁方，设为a ，满足以和似十l 罗不相交。附录c 中一我 翻裂爨了鞫逢一令掰簧礅鸯爨嚣耱三令是量。由雩l 理2 与艇，8 茎i 墨1 4 硅聿， 存在一个尹j 三啦敞当m = 5 时，由弓 理2 2 期，存在一个p ，占s 扣，n + 啊其 中 f 4 0 ，4 2 ，4 4 ，4 5 ，4 6 4 8 ，5 0 ，5 1 ，5 2 ，5 4 ，5 5 ，5 6 ，6 3 ) ；当m = 8 ，9 时，由引理2 3 知， 存在一个p 珏s ( f ，霓+ 疆其中牡 s 7 ，5 8 ，秘，6 2 ，6 5 ，黼，6 8 ，姆 t 爨嚣囊零 理2 1 籍， 当秘曼静冬7 显口不燕索数幂对，存在一个p j 五s 扣) 。 寒 北京交通大学硕士学位论文 2 纯的幂等拉丁方的存在性 罄 载艇褥穗矗l耗s 瘫蕊嚣潞鞠繇聪 赫稻毽8糖 ms 5 5 5555588885 8 88 9 霸 8899王ol ol ol l7777 1 2 8887 毒 2垂王3圭24至圭2童 6 3 l2 莲 表2 1 是避2 t 砖于任意静& 霹农一令p f 互s 掣) 话鑫亏 理2 。4 翔，存在一令尹罕s ( 8 。簸浚对手薤意8 鬟霸 爹 如果茁暑f 如果卫m 黑，磊 0 屐b o 。b 2 ，o o t 魏巢茹荔文 o 基荽 。o l ，o 。2 ，。，f ( 2 ) 如果口 o 。1 ，o 。”，。 域者p 0 0 1 ，0 0 2 ，o o t ) ，定义 j e 京交潦太学硕士学位谂义 3 纯的对称鞯等拉丁方的稃糖性 ，l ( ，k 一。) 如果口= 惭，i ) ( 2 o ) 2 k 一o o b 詹 l ，2 ，t ”l ( k j 如果8 = 蛾，擘 l ，2 ，。，女k 多一溆j ( 磊、科) x 磊 萄翔果铂乒拦( 磊) u l ，o 啦，o 瓴，鄹么幻海察 显然，厶黾一个定义在集合x 上带有洞 o x ( u l ，o o t ) 的不毙众的 黠狠懿幂譬羟丁方。缝熊性质静诞骥弱雩l 理2 5 巾懿涯臻类似。 毒l 璞3 6 对手影 2 7 ，3 3 ，3 9 ，5 l ，7 5 ，8 7 9 3 ，l l l ，1 8 3 ，垂l l ，存在f 洛j 五s 和) 证 记u = m t l + t ，其中m ，n 剃t 在表3 1 中列出。由例1 和引理3 3 知尸s ，五s ( 5 ) ， p s l l s 心，p s l l s 妈i ；p s l 弱疆秘，p s l 弱蠲，p s l l s l 与 p s l 毛s 砖餐最：寿 在瓣。对瓢 3 3 ，5 l ，砥8 7 ，9 3 ，l l l ，l 瑟，4 l l ，我识耱拶；五s 秘+ ，搿潜程鼯 录d 中，睡i 引理3 5 知，襻在p s ，l s ( 3 觏9 ) ，p s j 工s ( 5 1 ，1 1 ) ，p s ，点8 ( 7 5 ，1 5 ) ，p 8 ，五s ( 8 7 ，王5 ) ，p s j s ( 9 3 1 3 ) ，艘s ( 1 l l ，1 5 ) 。p s z 五s ( 1 8 3 1 5 ，p s j 五s f 4 l l ，1 1 ) ，再 鱼雩 瑾2 ，l 懿，存在魏9 王三s 瓣。黠毒b 嚣，瓣 ，鬟要存在令g 除囊1 3 黔躲控 丁方，满足引理3 4 中的条件，那么就存在p 掰五s 扣) ，我们将满足引理3 4 中搽件 的9 阶和1 3 阶的拉丁方蒯在附录e 中。 静 3 35 王嚣8 73王圭圭1 8 34 王王2 7嚣 m55779 9 1 54 l 3 3 扎6l ol o1 2l o1 21 21 091 3 妻3重53333l8 表3 1 定蠼3 7 砖于移& 舞在p s ，五s 毫 。 谥 由弓 理童3 帮警l 理3 6 知，当毫，e 渲义程每l 理3 2 串懿熊食) 对，存雀p s 托s 扣) 再由引理3 1 l 知，当t i 麓5 时，存在p 8 ，l s ( ) 。 北京交黼大学硕士学位论文 附录a 附录 对扣，t 1 ) ( 1 0 ，1 ) ，( 1 2 ，1 ) ，( 1 4 ，1 ) ，( 1 5 ，o ) ，( 1 8 ，1 ) ，( 2 0 ，8 ) ，( 2 1 ，8 ) ，( 2 2 ，8 ) ，( 2 4 ，8 ) ，( 2 6 ， 8 ) ，( 2 8 ，8 ) ，( 3 0 ，8 ) ，( 3 3 ，l o ) ，( 3 4 ，1 0 ) ，( 3 5 ，l o ) ，( 3 6 ，l o ) ，( 3 8 ，l o ) ，( 3 9 ，l o ) ，p f 三s p ，f 1 ) 可由 翔下三令囊量墨，刍g 绘爨： 扣，竹) = ( 1 0 ，1 ) ：炉( o ，7 ，蜀8 ，6 ，4 ，l ，5 ，2 ) ，步( 3 ) ，州1 ) ； 扣，牡) = ( 1 2 ，1 ) ；曼一( o 8 ，茹，9 7 l o ，4 ，6 ，5 ，2 ，1 ) ，_ ( 3 ) ，事= ( 1 ) ； 也珏) = ( 1 4 ，1 ) ：鬟一( o 童，l 墨1 2 ，b ，l l ，4 ，l o ，7 8 ，5 ，墨1 ) ，歹= ( 3 ) ，窖一( 1 ) ； ( ，n ) = ( 1 5 ，o ) ：l i 一( o ，2 ，4 ，l ，7 9 ，1 3 ，1 2 ，1 4 ，3 ，6 ，l o ，5 ，8 ，1 1 ) ； ( 静，灶) = ( 1 8 ，1 ) ：! 一( 承1 4 ，卫，1 5 ，1 2 ，l o ，1 6 ，1 3 ，l l ，8 ，7 ，9 ，6 ，5 ，4 ，2 ，1 ) ，夕= = ( 3 ) ， 萝= ( i ) ； ( ，礼) 烹( 2 0 ，8 ) ：盟搿( o ，z 6 ，魏，如，研，l l ，5 如，6 ，孤，现，茹1 ) ，= ( 1 0 ，7 ，9 ，8 ，3 ， 4 ，l ，2 ) ，孽一9 ，8 ，7 ，5 ，4 ，3 ，2 ，1 ) ； ( 缸) = ( 2 l ，匐：曼一国，1 2 ，l l ，瓤，铂，鼢，斯，粕，奶，勖，嚣i ，l o ，9 ) ，一( 7 8 ，5 ， 6 ，3 ，4 ，1 ，2 ) ，夕= ( 1 1 ，8 ，7 ，6 ，5 ，4 ，3 ，2 ) ； ( 讧姑) _ ( 2 2 ，8 ) ：曼= ( o ，瓤，1 3 ，黝，1 l ，$ 7 ，蛳，5 ，勋，t 敏，1 2 ) ，一( 8 ，l o ， 9 ，6 ，3 ，凄，l ，2 ) ，窖= ，8 ，6 ，5 ，4 ，3 ，2 ，1 ) ； ( ，件) = ( 2 4 ，8 ) ：戴一( o ，1 3 ，1 5 ，如，研，如，1 4 ，黝，7 ，勋，如，茹2 ，z l ，8 ，1 2 ，9 ) ， = ( 1 l ，l o ，5 ，6 ，3 t4 ，l ，2 ) ，窒= ( 9 ，7 ，6 ，5 ，4 ，3 ，2 ，1 ) ； ( 站) = 2 6 ，8 ) ：篓篇，王4 ，l 色髫8 ，1 5 ，研，鼢，$ 5 ，王7 ，7 ，茹4 ，魏，算2 ，尘1 ，l 南1 2 ， 1 0 ，9 ) ，z 嚣( 1 l ，8 ，5 ，6 ，3 ，4 ，1 ，2 ) ，璺鞯( 8 ，7 ，6 ，5 ，4 ，3 ，2 ，1 ) ； ( 扎) = ( 2 8 ，8 ) ：蔓一( o ，1 7 ，1 5 ，l8 瓢，1 6 ，研，蕊，瓤，现，1 9 ，茹l ，趣，如，1 2 ，1 4 ， 1 3 ，l l ，l o ，妨，歹= 7 ，8 ，5 ，6 ，3 ，4 ，l ，2 ) ，萝= ( 8 ，7 ，6 ，5 ，| 重，3 ，2 ，1 ) ； ( 甜，他) = ( 3 0 ，8 ) ：l ：嚣( o ，1 6 ，1 9 ，2 l ，1 7 ，z 8 ，z 7 ，1 8 ，z 6 ，z 5 ，茹4 ，2 0 ，z 2 ，士l ，z 3 ，1 3 ， 1 5 ，1 4 ，1 2 ，l l ，1 0 ，9 ) ，= ( 7 ，8 ，5 ，6 ，3 ，4 ，l ，2 ) ，萝= = ( 8 ，7 ，6 ，5 ，4 ，3 ，2 ，1 ) ； 弘托) = 3 3 ，l o ) ：曼= ( o ，2 2 ，2 l ，2 线1 9 ，1 8 ，1 7 ，茹l o ，两，魏，断，粕，奶，魏，孙，勋， z 1 ，1 6 ，1 5 ，1 4 ，1 3 ，1 2 ，1 1 ) ，= ( 9 ，1 0 ，7 ，8 ，5 ，6 ，3 ，4 ，l ，2 ) ，9 = ：( 1 0 ，9 ，8 ，7 ，6 ，5 ，4 ， ! 堕室娥堂堡主量堡搀塞 咝茎 3 ，2 ，萄； ( 钆n ) 一( 3 4 ，1 0 ) ；曼；( o ，2 0 ，2 2 ，1 8 ，2 l ，z 加，1 9 ，黝，铂，研，粕，霉5 ，2 3 ，物，瓤，勋， 以，1 5 17 16 ，1 4 ，1 3 t1 2 1 1 ，) ，羔* ( 敬l o 7 8 ，5 ，6 ，3 ，4 1 ，2 ) ，女户( 1 0 ，9 8 ，t6 ，5 ， l ，毛2 ，1 ) ； ( 弘珏) = ( 3 5 ，1 0 ) ：鏖= ( o ，2 2 ，2 4 ，2 0 ，2 3 ，1 8 ，2 l ，露l ，1 9 ，$ 2 ，翱，和，如，粕，柳，$ 7 ， 2 8 ，1 6 ，2 l m1 7 ，1 5 1 4 ，1 3 ，1 2 ，1 1 ) ，i p ( 9 ，1 0 ，7 ，8 ，5 ，6 ，3 ，4 ，l 。2 ) ，i 宁( 1 0 9 ，8 ，7 ， 蠡5 ，4 ，3 ，2 ，1 ) ； ( 弘n ) = ( 3 6 ，1 0 ) ：熙= ( o ，2 0 ，2 3 ，2 5 ，1 9 ，2 2 ，1 0 ，粕，2 1 ，如，柳，2 4 ，2 ，。1 ， 瓤，如，1 6 ，1 8 ，1 7 ，1 5 ，1 4 ，1 3 ，1 2 ，1 1 ) ，产( 9 ，1 0 ，7 ，8 ，5 ，6 ，3 ，4 ，l ，2 ) ，里_ ( 1 0 ，9 ，8 ， 7 ，6 ，筑毛3 ，2 ，l 繁 ( n ) = ( 3 8 ，1 0 ) ：照= ( o ，2 2 2 6 ，2 0 ，2 7 ，2 4 ，2 l ，霉1 0 ，幻，矩，2 3 ，z 7 ，2 5 ， 轧，z 2 ，瓤，黝，1 7 ，1 9 ，1 8 ，1 6 ，1 5 1 4 ，1 3 ，1 2 ，1 1 ) ，= ( 9 ，l o ，7 8 ，5 ，6 ，3 ，4 ，l ，2 ) ， 芦l o ，9 ，8 ，t6 ，5 4 ，3 ，2 ，1 ) ； “n ) = ( 3 9 ，l o ) ：曼= ( o ，2 8 ，2 7 ，2 6 ，2 5 ，2 4 ，2 3 ，2 2 ，2 1 ，2 0 ，髫l o ，妁，黝，鬈7 ，粕，z 5 瓤，$ 2 ，茹l ，铂，1 9 ，1 8 ，1 7 ，1 6 ，1 5 ，1 4 ，1 3 ，1 2 ，1 1 ) ，产( 9 ，l o ，7 ，8 ，5 ，6 ，3 ，4 ，1 ，2 ) ， g = ( 1 0 ，9 ，8 ，7 ，6 ，5 ，莲，3 ，2 ，1 ) 附录b 下鼷歹蚝出盼篷一投了方，设兔a ，满足a 耱睡十1 ) r 不稳交： o3456721 3 l547 6 02 7 0265 l34 27o3 l4 56 6237 40 l5 46102573 547 l326o l562o347 o2 l436587 4157823o6 5o286743 l 6583o47 l2 78324 1o65 164o75823 87o l23654 3465 兰8270 2 37 650 148 o2l4 365897 21o5634978 lo26789345 45538 ? l2 369o47825 l 678195342o 7839216504 8952o4l763 9347582 重86 547812o639 特殊的s ( 珏) ，l 8 ，9 ，l o ， l 莲 北京交通大学硕士学像论文 ! ：! ! ：三驾：i ：；：i ：船弩： ? ! ! ! ! ! ：旦攀! !i ；ii 晶；ii ；：； ! ! ! ! ! ! 曼翟? ! ： ：i ；i ；i ；i ；i ；奄 ! ! ! ! ! 曼攀? ：!i ；i 二矗i ；ii 苫 ! ! 三! ! 霉! ! ? ! ： ；ii 矗三iii ；ii i ! ：翟! 曼! ! ：! ? !i ；晶彳i 矗；ii ii 曼! ：! ? ! ! ! ! ! ! ；矗iii 苫品；i ； 碧旦! ；! ! ! ：! ! !；i 矗；ijii ；ii ：翟! 三! ! ii ! ! ：南jii 矗；iii ； ! ：j 霉! i ：! ：三 ；iii ；彳；i ；。；i 品； 98 4 o 2 176 53 1 0 苔；品ii ；i 苔矗 附录c 甜( n ，t ) ( 9 ，1 ) ，( 9 ，2 ) ，( 1 0 ，1 ) ，( 1 0 ，2 ) ，( 1 l ，1 ) ，( 1 l ，2 ) ，( 1 l ，4 ) ，( 1 2 ，1 ) ，( 1 2 ，2 ) ，( 1 2 ，3 ) ， 1 2 ，零，( 1 蕊4 ) ，1 3 ，6 ；，1 4 ，4 ；，1 4 ，5 ) ，1 5 ，3 ) ，( 1 5 ，巷) ，1 6 ，动，1 7 ，8 ，p f 五s ( 珏，t ) 霹凌蠡 下 三个向缀，g 给出： ( 蛇，t ) = ( 9 ，1 ) ：箜一( o ，6 ，5 ，7 ，3 ，x ，4 ，1 ) ，= ( 2 ) ，9 = ( 1 ) ； 牲，l = 9 ，2 ) ：堂= ( 壤6 ，5 ，巍，舅l ，4 ，3 ，歹= ( 1 ，2 ) ，霉= 2 ，1 ) ； ( n ，t ) = ( 1 0 ，1 ) ：矍篇( 0 ，7 ，z ，8 ，6 ，4 ，1 ，5 ，2 ) ，然( 3 ) ，夕= ( 1 ) ； 北京交道大学硕士学位论文 颡，磅= l 馥2 ) ：! 劳，龟恶，l ，7 丧2 ，趣) ，瓦苟，i p 穆，l k ( t ) = ( 1 1 ，1 ) ：舻( o ，6 ，9 ，t3 ，8 ，互，5 ，4 ，1 ) ，产( 2 ) ，驴( 1 ) ； ( 髓，t ) = ( 1 l ，2 ) ：妒( o 4 ，7 ，瓢，8 3 ，瓢，6 ，5 ) ，产( 1 ，2 ) ，驴( 2 ，1 ) ； 如孟) = ( 1