（应用数学专业论文）两类具有时滞的阶段结构的捕食被捕食模型.pdf

摘要 本文主要研究了两类具有时滞和阶段结构的捕食一被捕食模型，一类具有比率依赖和 常数收获率而另一类具有变收获率它们在生物数学上体现了不同的意义 首先，考虑的是一类捕食一被捕食模型由于种群在幼年期和成年期的捕食能力， 被捕食的概率不同，我们把捕食者与食饵都分为两个阶段，幼年和成年种群从出生到成 年有个时期，我们称之为成熟期这个时期的存在，产生了时滞众所周知，时滞可以 对生态系统的性质产生很大的影响在本文中对于这个时潍，我们用离散时滞来描述在 该模型中，描述捕食者对食饵的捕食能力是基于比率依赖理论的我们假设成年捕食者只 捕食幼年食饵，这在自然界中是有很多这样的例子的对于成年捕食者和成年食饵，有人 类的捕获，捕获率是常数对于该课题，主要应用极限方程理论，比较原理和b a r b a l a t 引 理等，最终得到了系统的非负平衡位置全局渐近稳定的充分条件 其次，考虑的是另一类捕食一被捕食模型，在这个模型中，与上面一样，我们把捕食 者与食饵都分为两个阶段t 幼年和成年成熟期的存在，产生了时滞，对于这个时滞，我 们用离散时滞来描述这里仍然假设成年捕食者只捕食幼年食饵与上面不同的是，这里 只考虑对成年食饵的捕杀由于人类对于一个物种的捕杀是随着物种的数量和捕杀该物种 的利润而变化的，并且人类的捕杀往往受经济，环境的制约，因此是l o g i s t i c 增长的对 于该课题，首先分析了它的解的有界性和边界甲衡点的局部稳定性，然后应用极限方程理 论、比较原理和b a r b a l a t 引理等，最终得到了系统的正平衡位置全局吸引的充分条件和 边界平衡位置全局渐近稳定的充分条件 关键词。阶段结构，捕食被捕食，时滞，持久性，全局渐近稳定性 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t w od e l a y e dp r e d a t o r - p r e ym o d e l sw i t hs t a g es t r u c t u r ea n dh a r v e s t i n ge f f o r ta r ec o n s i d e r e d o n ei sad e l a y e dp r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hs t a g es t r u c t u r ea n d c o n s t a n th a r v e s t i n ge f f o r tw h i l et h eo t h e ri sad e l a y e dp r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hs t a g e s t r u c t u r ea n dv a r i a n th a r v e s t i n ge f f o r t f i r s t l y ，ar a t i o - d e p e n d e n tp r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hs t a g es t r u c t u r ef o rb o t ht h ep r e y a n dt h ep r e d a t o ra n dt i m ed e l a y sd u et ot h em a t u r i t yi si n v e s t i g a t e d i ti sa s s u m e dt h a t b o t ht h ep r e ya n dt h ep r e d a t o rh a v et w os t a g e s ，t h ei m m a t u r ea n dt h em a t u r e ，a n di m m a - t u r ei n d i v i d u a l sa n dm a t u r ei n d i v i d u a l so fe a c hs p e c i e sa r ed i v i d e dr e s p e c t i v e l yb yaf i ) c e d a g e t h ep r e d a t o r - p r e ym o d e li sb u i l tb a s e do i lt h ea s s u m p t i o nt h a tt h em a t u r ep r e d a t o r s v a no n l yf e e do nt h ei m m a t u r ep r e y s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ed e r i v e df o rt h eg l o b a ls t a b i l - i t yo fe a c ho ft h en o n n e g a t i v ee q u i l i b r i aa n dt h ep e r m a n e n c eo ft h es y s t e m ，r e s p e c t i v e l y m o r e o v e r ，ap r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hs t a g es t r u c t u r ea n dt i m ed e l a y sf o rb o t hp r e y a n dp r e d a t o ri sc o n s i d e r e d b o t ht h ep r e d a t o ra n dp r e yh a v et w os t a g e s ，a ni m m a t u r es t a g e a n dam a t u r es t a g e ，a n dt h eg r o w t ho ft h e mi so fl o t k a - v o l t e r r an a t u r e t h eh a r v e s t i n g o fm a t u r ep r e yi sv a r i a n t i ti sa s s u m e dt h a ti m m a t u r ei n d i v i d u a l sa n dm a t u r ei n d i v i d u a l s o fe a c hs p e c i e sa r ed i v i d e db yaf i x e da g e ，a n dt h a tm a t u r ep r e d a t o r sa t t a c ki m m a t u r e p r e yo n l y w ea n a l y z ei t su n i f o r mp e r s i s t e n c ea n dg e ts u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eg l o b a l s t a b i l i t yo fe a c ho ft h en o n n e g a t i v ee q u i l i b r i ab yc o m p a r i s o na n ds o m eo t h e rm e t h o d s k e y w o r d s ：s t a g e - s t r u c t u r e ，p r e d a t o r - p r e ys y s t e m ，p e r m a n e n c e ，g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l - i t y i i 独创性声明和论文使用授权说明 本人郑重声明：所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发 表或撰写的研究成果，也不包含为获得河南师范大学或其他教育机构的学位或证书所使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了感谢 签名：亚缝筵 日期；雹亟：埋 关于论文使用授权的说明 本人完全了解河南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：有权保留并向国家 有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权河南师范大 学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存，汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 签名；l i 衄导师签名 5 7 修啸号刈 i 1 1 研究背景 第一章绪论 数学生物学的第一次辉煌由2 0 世纪2 0 至3 0 年代的l o t k a ，v o l t e r r a ，k o l m o g o r o v 等大师所创造大量实际问题的出现与现代微分方程理论的建立促进了数学生物学，特别 是数学生态学在2 0 世纪7 0 年代的长足发展根据自然界的种种情况，专家们提出了各 种模型，有常微分方程的模型、偏微分方程的模型差分方程的模型等等其中有的是自 治系统的，有的是非自治系统的；有的有时滞，有的没有时滞等等这些模型更加贴近现 实，所用的工具和方法源于各门学科这里就不一一细述，下面只简要介绍与本文相关的 知识 本文中的两个模型都是常微分方程它是有适用的范围的在生态模型中常有两种情 况， ( 1 ) 生命长，世代重叠并且数量很大的种群，常常可以近似地用连续过程来描述，通 常表为微分方程 ( 2 ) 生命短，世代不重叠，或者虽然是生命长世代重叠的种群，但在其数量比较少 时，常用不连续过程来描述，通常表为差分方程 比率依籁( r a t i o - d e p e n d e n c e ) 是捕食者的营养吸收函数g 的一种函数形式，g 表示每 单位时间内每个捕食者消耗掉的食物数量，通常称之为功能反应函数，它在标准的捕食一 被捕食模型中有很好的定义， 面d n = f ( n ) n 一9 ( ) p 百d p = e 刺p p p ( 1 1 ) 其中表示食饵的密度，p 表示捕食者的密度，f ( n ) 是食饵的出生率函数，e 是转化 系数，p 是捕食者的死亡率 在传统的捕食被捕食模型中，通常假设g 仅仅取决于食饵的数量，即g = 9 ( ) ，也 称这种函数形式为食饵依赖( p r e y - d e p e n d e n c e ) ，最初的l o t k a - v o l t e r r a 模型中，g ( n ) = 第一章绪论 a n ，它表示捕食者与食饵的相互作用与化学上分子的大量无规则运动规律相似，即捕食者 与食饵是随机相遇的，就象化学反应中分子与分子的随机结合上世纪8 0 年代末9 0 年代 初，a r d i t i 和g i n z b u r g 提出如果物理环境和个体的空间性质是充分齐次的，那么g = g ( n ) 已经很好的描述了生态系统，但是在非齐次的环境下，比率依赖更适合用来描述生态系统， 即功能反应函数依赖于食饵与捕食者的比率，g = g ( n p ) 这种形式的功能反应函数反 映了这样一种事实t 在某种意义上，捕食者不得不分享或竞争食饵近年来，越来越多的 明显的生物学和生理学证据表明比率依赖理论更贴切的反映了自然，更多的学者将比率依 赖理论引入到自己的研究课题中，产生了一批很有价值的文章相关文献可参看【1 】，1 2 等 时滞时滞是由于时间滞后对一系统所带来的影响，在实际工程，自然现象和日常生 活中都是屡见不鲜的例如，人们在沐浴时，刚打开水龙头水是凉的，然后逐渐变热，这就 是调节后的水通过控制开关流到人身上的感觉有一段时滞所致生态系统中，为了更真实 的反映自然，时滞是不可忽略的因素生态问题中常见的时滞有两种，即离散( 或确定) 时滞类型的生态模型和分布( 或连续) 时滞的生态模型 ( 一) 确定时滞的生态模型最早把时滞引入生态模型的是生态学家e m w r i g h t ， 他讨论的方程是具有确定时滞的方程； z 币) = r 球) f l 一竿1 ( t - 2 ) 其中r 是与t 无关的常数，称之为时滞称方程( 1 - 2 ) 为微分差分方程 ( 二) 分布时滞的生态模型如果t 时刻种群规模的相对增长率不仅与t r 时刻 的种群规模有关，而且与t 时刻以前整个历史时期种群规模的发展有关，这样我们将得到 一个具有分布时滞的种群动力学模型t z ( ) = r x ( t ) ，扛0 一s ) l p ( s ) d s( 1 - 3 ) 该模型的建立可做如下理解：当时滞s 从0 到o o 变化时，相当于从t 时刻追溯到以前的 整个历史时期由于各个时期的种群规模对t 时刻种群的增长的影响不尽相同，因而总体 的影响需要通过积分来解决方程( 1 - 3 ) 是一个微分积分方程，其中p ( 8 ) 称为方程的核函 数分布时滞的出现一定不会影响平衡值，因此我们通常将核函数正规化为一 , + o o fp ( s ) d s = 1 j 0 2 第一章绪论 一般我们仅考虑简单核函数的情况，即强时滞核函数和弱时滞核函数的情况： 弱时滞核函数tp ( s ) = n e 一“，其中n 0 ， 强时滞核函数：p ( s ) = q 2 s e 一“，其中q 0 阶段结构模型近年来，具有阶段结构的数学模型被许多作者研究，这不仅是因为它 比由偏微分方程描述的模型更简单，而且它能得到像偏微分方程那样的结果这些模型把 一个种群分成两类，幼年种群和成年种群在有些模型中，因为从幼年到成年有一段时间 间隔，所以产生了时滞 【3 和 4 】分别独立地给出了具有阶段结构的单种群模型这个 模型假设从幼年到成年的时问间隔为一个常数其数学模型是： z i ( ) = a x 2 ( t ) 一7 x l ( t ) 一n e 一1 r x 2 ( t f ) ， ( 1 - 4 ) ：( ) = d e - w 茁2 ( 一r ) 一触；( ) 其中z l ( ) 和。2 ( t ) 分别代表t 时刻幼年种群和成年种群的数量a 0 代表出生率， 1 0 代表幼年种群的死亡率， o 代表成年种群的死亡率和容纳率，r 代表从幼年到 成年的时间间隔n e 一”。2 0 一r ) 项代表在t r 时刻出生。在t 时刻仍然存活并且从幼 年阶段进入成年阶段的幼年种群的数量 后来，具有阶段结构的捕食一被捕食模型、竞争模型，互惠模型被许多作者研究了 随着人类对自然界开发的深入，对自然资源的最优控制受到了人们的关注为此，人们在 研究这些模型的时候还考虑了对这些资源的开发利用可参看p 1 2 1 c l a r k 和很多作者 从经济和生态方面考虑了对可再生资源的控制 f 5 1 给出了一类具有阶段结构和人类捕杀的捕食- 被捕食模型其数学模型是t z i ( ) = q z j ( ) 一7 x l ( t ) 一o r e 一1 7 x 2 ( t r ) ， t 0 ) = 口e 一7 r x 2 ( t f ) 一缸；( t ) 一1 1 2 7 2 ( ) 9 ( ) 一e z 2 ( f ) ，( 1 - 5 ) y ( t ) = y ( t ) ( - r l + a 2 x 2 ( t ) 一幼( ) ) 其中x l ( t ) 和x 2 ( t ) 分别代表t 时刻被捕食种群的幼年和成年的数量，( f ) 代表t 时刻捕食 种群的数量o 0 代表出生率，y 0 代表幼年种群的死亡率，卢 0 代表成年种群的 死亡率和容纳率，f 代表从幼年到成年的时间问隔e 代表人类的捕杀n e 一，7 x 2 ( 一f ) 项代表在t f 时刻出生，在t 时刻仍然存活并且从幼年阶段进入成年阶段的幼年种群的 数量 3 第一章绪论 f 1 0 1 给出了一类具有阶段结构和人类捕杀的竞争模型其数学模型是： z i ( t ) = a l z 2 ( t ) 一l x l ( t ) 一o q e 一”x 2 ( t 一力) ， z ：( f ) = a l e 一”1 2 2 ( t n ) 一风z ；( ) 一a l x 2 ( t ) y 2 ( t ) 一e l z 2 ( ) ， y i ( t ) = a 2 y 2 ( t ) 一1 2 y l ( t ) 一n 2 e 一。y 2 ( t 一乃) ： ( 1 - 6 ) 如( ) = 啦e 一”。抛( t 一砣) 一岛谚( ) 一a 2 x 2 ( t ) y 2 ( t ) 一易抛( ) 其中x l ( ) 和z 2 ( t ) 分别代表t 时刻被捕食种群的幼年和成年的数量，1 ( ) 和y 2 ( t ) 分 别代表t 时刻捕食种群的幼年和成年的数量n l 0 和q 2 0 代表出生率，饥 0 和他 0 代表幼年种群的死亡率，角 0 和统 0 代表成年种群的死亡率和容纳率，n 和仡 0 代表从幼年到成年的时间间隔毋和e 2 0 代表人类的捕杀d l e 一 n n x 2 ( t - v 1 ) 和啦e 一。抛( 一忍) 项分别代表在t n 和t 一而时刻出生，在t 时刻仍然存活并且从 幼年阶段进入成年阶段的幼年种群的数量 总的来说，阶段结构方面的论文有很多，可参看f l 一3 6 j 这里就不一一细述了下面 介绍本文需要用到的基础知识 1 2 预备知识 定义1 2 1 一个系统是耗散( 有界) 的，如果对于该系统的任意一个解x ( t ) 都存在一个 正常数m ，使得l i m t _ + 。s u p lx ( t ) i 0 ，一 0 且l i r a _ 。i n f x ( t ) 0 如果存 在j 0 ( 独立于t ( t ) ) 使得x ( t ) 是持久生存的，且l i m 一。i n f z ( t ) 6 ，则称x ( t ) 是一 致持久生存的如果系统的每一个组成元都是一致持久生存的，则称系统是一致持久生存 的 定义1 2 4 设m 是x 的个非空不变子集，如果在m 的一个领域内m 是最大的不变 4 第一章绪论 集，则称m 是孤立的不变集 定义1 2 5 设， ，2 是孤立的不变集，若存在一个轨线扛( ) ，使得l i m t hz ( ) = 2 t 1 2 和l i m l 一。z ( ) = m m ，则记m 一 如若 以一m 2 一一 缸，m k = m 1 ，则称它是一 个环 定义1 2 6 设a b = u 。 u ( z ) ，如果盈c u ：l 尬，m 是两两不相交的紧集，每一个m x c t b 是孤立不变集，对t 也是孤立不变集，则称五是孤立的，而称 ，m 2 ， 厶) 是五 的个孤立的覆盖，如果 尬，m 2 ， 靠，任何个子集不能形成一个环，则称 尬a 如， 厶) 是非循环覆盖 定义1 2 7 ( 极限系统) 设有非自治系统 面d x = ，( z ) ，：r dc _ r 舻一舻 ( 1 7 ) 与自治系统 面d y = g ( g ) g ：d r ，i 一研，( t - s ) 且设解的存在唯性条件满足。解的存在区间为( n ，+ o 。) 若当一+ o 。时，对v x d ， f ( t ，z ) 一致地趋向于g c x ) ，则称系统( 1 - 8 ) 是( 1 7 ) 的极限系统 定理1 2 8 对于一个耗散系统来说，一致持久生存等价于持久生存 定理1 2 9 x 是一个完备度量空间，假设x ocx ，x ocx 且) n x o = 西t ( t ) 是x 上的岛半群，且满足 t ( t ) ：_ ) c o ，t ( t ) ：x o _ x o 记t b ( t ) = t ( ) i ，a 是r b c t ) 的全局吸引子且满足 ( i ) 存在t o 0 ，当t t o 时，t ( t ) 是紧的， ( i i ) t ( t ) 在x 中耗散， ( i i i ) a b = u 。血u ( z ) 是孤立的，且有一个非循环覆盖m = 矗m 2 ，m 。 ， ( i v ) 彤( n x o = o ，i = 1 2 n ， 则粕是一致排斥x o ，即存在f 0 ，使得任意的z x o ，有l i m h i n r a ( t ( t ) x ，x o ) e ， d 是丁( h 到集合的距离 5 第一章绪论 定理1 2 1 0 【3 9 】( r o u c h e s 定理) 令，( a ，r ) = a 2 + a a + b a e 一”+ c 十d e 。7 = o ，其中a ，b ，c ， d r 均为实数，7 - 0 那么，随着r 的变化，位于右半平面内的，( a ，r ) = o 的根的重数 的总和发生变化当且仅当，( a ，r ) = 0 的一个根出现在或穿过虚轴 定理1 2 1 1 吲( 极限方程理论) 设，g ( r r “) ，g e ( j p ) 均满足局部l i p s c h i t z 条 件若系统( 1 - 6 ) 的任一解z ( ，) 均正向有界，且其极限系统( 1 7 ) 的平衡点e 全局渐近稳 定，则系统( 1 6 ) 的任一解z ( ) 都有 。n m 。z ( ) = e 定理1 2 1 2 ( b a r b a l a t 引理) 设，( t ) ：【a ，+ o 。) 一r ，a r 是一个一致连续函数， l i m c _ 。j ：1 ，( r ) id r 存在且有界，则当一+ o 。时，( ) 一0 定理1 2 1 3 【蚰】( b a r b a l a t 引理推论) 如果g ( 0 g ( ) l 。( 即9 ( t ) ，9 ，( t ) 有界) 而 且9 ( t ) 岛( 即9 ( ) 平方可积) ，则当一+ o 。时，g ( ) 一0 6 第二章一类基于比率的捕食- 被捕食模型的全局稳定性分析 本章考虑的是一类捕食一被捕食模型由于种群在幼年期和成年期的捕食能力、被捕 食的概率不同，我们把捕食者与食饵都分为两个阶段：幼年和成年种群从出生到成年有 一个时期，我们称之为成熟期这个时期的存在，产生了时滞众所周知，时滞可以对生 态系统的性质产生相当大的影响在本章中对于这个时滞，我们用离散时滞来描述在该 模型中，描述捕食者对食饵的捕食能力是基于比率依赖理论的我们假设成年捕食者只捕 食幼年食饵，这在自然界中是有很多这样的例子的对于成年捕食者和成年食饵，有人类 的捕获，捕获率是常数对于该课题，我们首先利用解对参数的连续依赖性得到了解的正 不变性，构造适当的函数得到了解的有界性，分析了每个平衡点的局部渐近稳定性，应用 极限方程理论，比较原理和b a r b a l a t 引理等，最终得到了系统持久生存和各平衡点全局 稳定的充分条件 2 1 问题描述及背景知识 近年来，具有阶段结构的捕食一被捕食模型受到了人们的关注很多论文中，假设捕 食者只捕食成年食饵我们则假设成年捕食者只捕食幼年食饵基于这种假设的论文，早 在文献 9 1 中，作者就研究了下面这个捕食一被捕食模型： = o 。2 7 i z l 一国z l 一叩z ：一z x z l y ， 毛= 3 2 1 一，y 如，( 2 - 1 ) y = y ( - 7 + 岛z l m 口) 本章我们主要考虑如下一类系统 z ：( t ) = 。，z 。( t ) 一r ，z ( 功一一n e n 1 勋。一n ) 一；嚣i 嚣；揣， z ：( t ) = 0 a l e - - r lt - 1 x 2 ( t n ) 一风z ；( t ) 一e z 2 ( 0 ( 2 - 2 ) 小归焉揣- r 2 y l ( d _ a 2 e - r 2 ”意笔磐鹅， 7 第二章一类基于比率的捕食- 被捕食模型的全局稳定性分析 如( = 啦e r 2 。鬲主吉! 三 导! ；：；亏兰与一r s 珈( t ) 一f 珈( 巩 其中n ( ) 和z 2 ( ) 分别代表t 时刻幼年食饵和成年食饵的数量；9 l ( ) 和抛( ) 分别代表t 时刻幼年捕食者和成年捕食者的数量下面我们假设， ( h 1 ) 食饵种群：幼年的出生率与成年的总数成正比，比率系数为n 。 o ：幼年的死亡 率与幼年的总数成正比，比率系数为r l o ；成年是按l o g i s t i c 增长的。死亡率与成年的 总数的平方成正比，比率系数为历 0 其中 o a l e 一1 ”x 2 ( t n ) 项代表在t 一 r l 时刻出生，在t 时刻仍然存活并且从幼年阶段进入成年阶段的幼年食饵的 数量，0 0 代 表成年捕食者的捕获率，m 是捕获的半饱和度，鲁是营养转化为成年的繁殖能力比率； 成年的死亡率与成年的总数成正比，比率系数为1 3 0 其中 a 2 e - r ”翥兰学象与 项代表在t 一砣时刻出生，在t 时刻仍然存活并且从幼年阶段进入成年阶段的幼年捕食者 的数量这里我们假设幼年捕食者不具备捕食能力和繁殖能力f 代表收获率 系统的初始值为 x i ( s ) = 也( s ) 0一n s 0 ，i = 1 ，2 ， 雏( 5 ) = 识( s ) 0一砘ss 0 ，i = 1 ，2 为了保持系统的连续性，当k l = 0 时，初值满足 f o z l ( o ) = 口n l 如( s ) e “8 d s ， 洲。，= 螂”揣孤 8 ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) 第二章一类基于比率的捕食被捕食模型的全局稳定性分析 2 2 解的正不变性、有界性和局部稳定性分析 引理2 2 1 如果l = 0 成立，那么系统( 2 - 2 ) 相应于初始条件( 2 - 3 ) 一( 2 4 ) 的解对所有 的t 0 总保持正值 证明：用【l o 】定理2 1 的方法，易得x 1 ( t ) ，z 2 ( ) 和y 2 ( t ) 对所有的t 0 总保持正值从 系统的第三个方程可以得到 蜊= e - r 2 t f 一。t 。眈而z l 而( s ) y 2 ( s ) d s 因此，我们可以得到1 ( t ) 0 定理得证 定理2 2 1 存在常数 0 ，使得当h ( 0 ，) 时，系统( 2 - 2 ) 相应于初始条件( 2 3 ) 一 ( 2 - 4 ) 的解对所有的 0 总保持正值 证明。由引理2 2 1 以及解对参数的连续依赖性，我们可以得到定理2 2 1 的结论成立 定理2 2 2 如果h ( 0 ，) 成立，那么存在m 0 使得系统( 2 - 2 ) 的任意解当t 充分 大时都有z l ( ) m ，轨( f ) m f l ( ) m 耽( ) m 成立 证明：令 v ( x l ，x 2 ，y 1 y 2 ) = a 2 x l ( t ) + n 2 2 2 ( ) + k l y l ( t ) + k l y 2 ( t ) 对v 沿着系统( 2 1 2 ) 的轨线求导，得到 矿( t ) = 一a 2 r l z l + ( a l a 2 一0 2 e ) x 2 一a 2 t 3 1 x ；一k l r 2 y 1 一k l ( f + r s ) y 2 对于正常数r ( r m i n ( r l ，r 2 ，f + r 3 ) ) ，我们有 矿+ r v ( 0 1 0 2 一口2 e + r ) x 2 一a a p l x ； 因此，存在正常数c 满足 矿+ r v 0 使得系统( 2 - 2 ) 的任意解当t 充分大时都有z l ( ) m ，x 2 ( t ) m l ( ) ，抛( t ) ，成立 9 第二章一类基于比率的捕食，被捕食模型的全局稳定性分析 下面我们计算系统的非负平衡点系统( 2 - 2 ) 的平衡点由下面的等式决定 n l z 2 一r l z l o a l e r t n ? 2 一唑= o ，6 a l e - r l n z 2 一尻z ；一e x 2 ：o m y 2 十x l 一 鬲a 而2 x l y 2 一您肌一a 2 e - r z 。鬲意= o ，g 2 e - r 2 。鬲麦等三一巧妇一f y 2 = 0 m 驰十z l m 抛+ z 1m 抛+ z l 。 ( i ) 如果o a x e l l l e 成立，那么系统( 2 - 2 ) 只有一个非负平衡点，a ( 0 ，0 ，0 ，o ) ( i i ) 如果e o a l e - r l n 和a 2 e n n f + r 3 成立，那么系统( 2 - 2 ) 有两个非负平衡点t a ( 0 ，0 ，0 ，o ) ，口( z 2 ，避，0 ，o ) ( i i i ) 如果e o a x e - r 1 1 和f + r 3 o a e n 。成立，那么系统( 2 - 2 ) 有三个非负平衡点。 a ( 0 ，0 ，0 ，o ) ，b ( z 2 ，遥，0 ，o ) ，c ( z ：，酊，蝣) ，其中 础：( a l - o a l e ) x 0 ， 迓：吼1 1 e - r l - _ r l - - 一e 铲o a er 2 趔r 2 。r 蔫1 器a 2 焉fr 3 ，铲竿， 1 一 + k l ( e m n 一一) 4 2 一 鹿 萨篆挚，虻= 号措舞等等高善咎筹产 下面我们讨论这些平衡点的局部稳定性平衡点a ( o ，0 ，0 ，0 ) 的特征方程为 ( a + r 1 ) ( a + 您) ( a + f + r 3 ) ( a + e o a l e 一7 。n 一 q ) = 0 显然，a = 一r l ，a = 一r 2 ，a fr 3 是三个负特征根其他的特征根取决于a + e o a a e - r i t | - n = 0 当o a l e l l l 1 e 成立时，为了证明特征根具有负实部，我们采用反证 法假设r e a20 ，分离出特征根的实部得到 r e a = o a i e 一1 n r d nc o s ( i m a r l ) 一e o a l e 一l q 一k 枷一e o a l e 一7 1 7 1 一e 0 ， 引出矛盾因此方程的所有特征根只有负实部所以p n l e ”- n e 成立时，a ( o ，0 ，0 ，0 ) 是局部渐近稳定的 平衡点b ( z 2 ，翘0 ，0 ) 的特征方程为 o 十r 1 ) ( a + r 2 ) ( a + f + r 3 一d 2 e r 2 心一1 它) ( a + 2 0 a l e n n + e o a l e 一7 l n h ) = 0 显然，a = - - r l ，a = 一r 2 是两个负特征根其他的特征根是a + f + r 3 一a 2 e n n 一概= 0 或a + 2 0 a l e 叫q + e o a l e - n q 一概= 0 的根当e o a l e n n 和a 2 e 一心心 f + r 3 成 】0 第二章一类基于比率的捕食被捕食模型的全局稳定性分析 立时，为了证明特征根具有负实部，我们采用反证法假设r e , x 0 ，分离出特征根的实 部得到 r e a = 口2 e r 2 力一k l nc o s ( i m a m 2 ) 一f r 3 a 2 e 一他n 一k 力一f r 3 0 r e a _ o a l e 一7 1 1 一e 一2 0 a l e 一7 1 1 0 引出矛盾因此方程的所有特征根只有负实邵所以e o a l e l “和a c e 一1 。 f + r 3 成立时，b ( 胡，端，0 ，0 ) 是局部渐近稳定的 平衡点g ( z ：，z ；，坑，虻) 的特征方程为 ( r 2 ) ( + 2 8 a , e - t i n + e - # a l e - t n - x n ) a 2 + a ( r l + f + r s + 蒜) + ，( r - + i ：赛! ；条) ( f - - r 3 ) 一。z e r 2 一( 入十n ) 禹】= 。 显然，a = 一您是一个负特征根其他的特征根是 a + 2 0 a l e 一1 n + e a l e 一1 n 一 n = 0 ，( 2 - 5 ) 或 a 2 + a ( r - + 百鬲m 丽k , y 5 2 一i - r 3 + f ) + ( r + 蒜) ( f + 如) 一n 2 e 一”。一1 。( a + r 1 ) ( m y 孑i w + x 1 ) 2 2o ( 筘6 ) 首先我们讨论方程( 2 - 5 ) 当e 8 a l e ”，n 和f + r 3 0 ，分离出特征根的实部得到 觑a 口口1 e 一7 1 力一e 一2 8 a l e 一1 q 0 引出矛盾因此方程( 2 - 5 ) 的所有特征根只有负实部下面，我们讨论方程( 2 - 6 ) 当r 2 = 0 时，通过计算，我们得到方程( 2 - 6 ) 只有负实部的根令a = w ，把它代入方程( 2 - 6 ) ，通 过计算，我们得到 o d 4 一p w 2 + q = 0 。 其中 p = 一 r l 4 百i m 而k i y ；2 】2 一( r 3 + f ) 2 + 【n 。e r 2 。禹】2 n 易知，这个方程无实根因此方程( 2 - 6 ) 没有纯虚根所以，方程( 2 - 6 ) 的所有根只有负实 部所以我们得到结论，当e o a l e - r 1 “和f + r 3 a 2 e ”2 。成立时，g ( z ：，z ；，班，虻) 是局部渐近稳定的 由上面的讨论我们可以得到下述定理 定理2 2 3 ( a ) 当日n l e l - 1 e 时，h ( o ，0 ，0 ，0 ) 是局部渐近稳定的 ( b ) 当e o a l e ”t 4 和a 2 e - r 。 f + r 3 时，b ( 研，迓，0 ，0 ) 是局部渐近稳定的 ( c ) 当e 0 ，c ，n o ；z ( t ) 0 ，当一r 0 0 时，我们有 ( 1 1 如果a b 而且m 0 成立，那么有 。蛾z ( t ) = 2 d ( a b ) 6 m + c d + x ( b m + c d ) 2 - 4 c d m ( b - a ) 如果a b ，c 0 而且m = 0 成立，那么有 。生臻z ( t ) = 了a - b 1 2 第二章一类基于比率的捕食被捕食模型的全局稳定性分析 ( i i ) 如果n b 时令知= 磊i 石丽裂笔誊菰定义 h l i + r a 。i n f z ( t ) = z * 0 ，t 里ms u p s ( t ) = z “ 如。+ c x 。0 2 d + m z 一 兴坠兰：k(t：)+。(磋)d+ m x ( t ：一r 1 r 州r 刖 黑bx。+口2。d+ ，w 一“一” ( i ) 如果口 b 成立，那么。知，z 。= 0 ，或者z 。x o 如果z 。= 0 。那么存在t 。，使 得z ( t o ) x o ，x ( t o ) 。 引出矛盾所以z 。x o 成立因此我们得到 。里z ( ) = 鬲五万而萧2 d ( a 焉- 乒b ) 菰丽， ( i i ) 如果n b 成立，我们得到z ”= 0 ，由此得出 h l i + r a x ( t ) = 0 定理2 3 1 如果k l ( 0 ，k o ) ，e o ，z 2 0 ，y 1 0 y 2 o 只要能够证明存在e o 0 使得系统( 2 - 2 ) 中起始于伊的任意解觑满足 l i r ad ( 轧，岛) 2e o ， m 4 ) 结论就能得证为了这个目的，下面我们证明定理1 2 9 的条件满足易知伊和g 是正 不变的从而，定理1 2 9 的条件( i ) 和( i i ) 显然满足因此，我们只需证明条件( i i i ) 和( i v ) 满足即可g 中有两个常数解a 和b ，它们分别对应着z l ( ) = x 2 ( t ) = y l ( t ) = 珈( t ) = 0 和z l ( t ) = z 2 ，勉( t ) = z 2 y l ( t ) = y 2 ( t ) = 0 如果( 卫l ( t ) ，z 2 ( ) ，g l ( t ) ，妇( ) ) 是系统( 2 - 2 ) 起始于a 的解，那么我们有z ：( ) = 一r l z l ( t ) 一蛊：g g 端一r l = l ( t ) 解之，可得当t 一+ o o 时，z l ( ) 一0 由于y l ( 0 嚣z l ( t ) 一r 2 y l ( t ) ，根据比较原理，我们得到y l ( t ) se - r 2 t 【t ( o ) + j ：鲁z l ( s ) e d 5 j 因此， 当t 一+ o o 时，1 ( ) 一0 又因为，：( ) e 2 2 三翌z l ( 一亿) 一( f + r 3 ) 耽( ) ，根据比较原 理，我们得到抛( ) e - ( f + 7 。) ( o ) + f 22 2 譬兰z i ( s 一忍) e ( n r a ) 5 d s 】因此，当t 一十o o 时，y 2 ( t ) 一0 如果( z l ( ) ，z 2 ( z ) ，1 ( ) ，驰( ) ) 是系统( 2 2 ) 起始于伤的解，那么我们有y ：( t ) - r 2 y k t ) 解之，可得当t 一+ o 。时，l ( f ) 一0 由引理2 3 2 ，我们有当t 一+ o o 时， z 2 ( t ) 一z 呈从而，可以得到x l ( t ) 的极限方程是z ：( t ) = 0 1 础一n z l ( ) 一o a l e - - r i l l z 2 解 之得，当t 一十o o 时，z 1 ( ) 一四 a 是a 中的孤立的奇点，b 是c 中的孤立的奇点这表明如果不变集a 和b 是 孤立的不变集合，那么 a ，b ) 是孤立的非循环覆盖显而易见，a 是孤立的不变集合 下面，我们证明a 和b 都是孤立的不变集合 现在，我们采