（等离子体物理专业论文）球位形下旋转磁场驱动rotamak等离子体电流的理论分析.pdf

球位形下旋转磁场驱动r o t a m a k 等离子体电流的理论分析 摘要 r o t a m a k 是一种紧凑的球形等离子体磁约束装置，它与传统的 t o k a m a k 磁约束装置不同。t o k a m a k 中的等离子体电流是由欧姆脉冲 放电获得的，而r o t a r n a k 中的等离子体电流是由旋转磁场驱动的。当 旋转磁场的频率满足 国“时，离子被认为是静止的本底，电 子被旋转磁场捕获随其以相同的频率旋转，从而产生等离子体电流。 目前在研究旋转磁场驱动等离子体电流的理论中几乎均采用直 柱近似。柱坐标下虽然简化了分析和计算，但实际的装置不能是无限 长的直柱，球形位形可能产生的非线性效应也因此得不到认识。因此 有必要在球坐标下对r o t a m a k 中旋转磁场驱动等离子体电流的基础 过程进行分析，在真实位形下研究旋转磁场的渗透过程、电流驱动效 率、磁场位形结构等。 本论文从麦克斯韦方程组和欧姆定律方程出发，利用球位形的对 称性和磁场的散度等于零的特点，将磁场在矢量球函数下进行展开， 并得到了各分量的方程，再利用c r a n k - n i c o l s o n 有限差分方法编程计 算了无纵场情况下的磁场方程，最后分析了球形位形下旋转磁场的渗 透过程、电流驱动效率、磁场位形结构等。 计算表明旋转磁场与等离子体作用过程中，有一个由边缘向中间 的渗透过程，渗透时间在采用的计算参数下约为o 5 个旋转磁场振荡 摘要 周期，对应其驱动的等离子体电流由边缘向中心不断发展。当无外加 垂直场时，电流驱动效率呈现开始阶段的快速上升、中间阶段的缓慢 上升到最后趋于饱和的过程。当有外加垂直场时，电流驱动效率存在 下降的过程。分析表明，外加垂直场能有效提高电流驱动效率。 计算还显示在球形位形下，旋转磁场与等离子体相互作用，除了 产生等离子体电流外，还产生了在r o t a m a k 中左右两个半球方向相 反，大小相等的纵向磁场。当无外加垂直场时，自产生纵场的最大值 约为外加旋转磁场的2 。当有外加垂直场时，自产生纵场的最大值 约为外加旋转磁场的4 。此磁场在开始的旋转磁场渗透阶段，为不 但左右两个半球方向上反向，同时在径向上也相反的四极纵场。当驱 动电流饱和后，纵场也稳定为双向双极场。我们的计算结果很好的再 现了在r o t a m a k 上观测到的结果。产生纵场的原因是在球形位形下， 旋转磁场与等离子体电流的相互作用。等离子体电流有两个分量z 和 z ，它们与旋转磁场i = ( 茸，瓦，瓦) 相互作用产生径向电流和角向电流， 形成四偶极矩，从而产生双向磁场。 关键词：球位形，旋转磁场，电流驱动，自生纵场 t h et h e o r e t i ca n a l y s i s0 fr o t a t i n g m a g n e t i cf i e l dd r i v i n gp l a s m ac u r r e n ti n r o t a m a ku n d e rt h es p h e r i c a lc o o r d i n a t e a b s t r a c t ar o t a m a ki so n ek i n do fc o m p a c tm a g n e t i cc o n f i n e m e n tp l a s m a e x p e r i m e n t a ld e v i c e ，w h i c hi sd i f f e r e n tt ot h et r a d i t i o n a lt o k a m a k t h e p l a s m ac u r r e n ti nt o k a m a ki so b t a i n e db yo h mp u l s ed i s c h a r g e ，a n dt h e p l a s m a c u r r e n ti nr o t a m a ki sd r i v e nb yt h er o t a t i n gm a g n e t i cf i e l d ( r m f ) w h e nt h ef r e q u e n c yo fr o t a t i n gm a g n e t i cf i e l dm e e t s 颤o c , 彩 舻时n 5 1 ，则离子被认为是静止的 本底，电子被旋转磁场捕获随旋转磁场一起旋转，从而形成等离子体电流，这里 吼、吃分别为离子和电子绕旋转磁场的回旋频率，国为旋转磁场的旋转频率， 口为等离子体半径，万为对应于旋转频率国的传统趋肤深度 1 6 , 1 7 , 1 8 1 。此环形电流 在外加的垂直场的作用下达到平衡。当等离子体电流较大时，由此电流产生的磁 场将使中心区域的平衡场发生反向，形成反场位形( f r c ) 1 1 9 , 2 0 。由于r o t a m a k 等离子体电流是由旋转磁场驱动，只要射频电源许可，完全可以做到连续运行； 另外r o t a m a k 的纵横比小，结构紧凑，同时它不需纵场，可以获得较高的d 值 1 4 2 1 。 由于r o t a m a k 所具有的这些优点，作为一种新概念磁约束聚变等离子体实验装 置，近年来受到广泛的关注，澳大利亚、美国、日本、巴西等国家分别开展了实 验和理论方面的研究，并取得了许多进展 1 2 , 1 3 , 1 5 , 1 6 , 2 2 】。 1 3 旋转磁场电流驱动基本原理 第一章绪论 4 r o t a m a k 中的等离子体电流是由旋转磁场驱动的。当旋转磁场的频率满足 t o a 国 a i d 时，r m f 可以完全渗透到 等离子体内部。因此线 功 1 d r ， 外加磁场在矢量球函数下可表示为 ( 2 2 6 ) 卅陋眠一- ，+ 尽蚝一五，h 乒m + 乒m ( 2 2 7 ， 在等离子体外部的真空区域，麦克斯韦方程组简化为拉普拉斯方程。此区域的解 为 a 加= 口l 加，7 + 口2 砌，一7 1 ( 2 2 8 ) k = 0 ( 2 2 9 ) 这里，伉l 加和伉2 加都是常数。i l ：r 专0 0 ，可由外加磁场确定加的值： 口l = 0 0 r l l o = 1 序7 c 厦 yj = 一知p 砌 一乒 v ，2 ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) 为了保证磁场和电流密度有限，q ，卅和瓯勿必须在边界处连续。由此得到 在，= 1 处的边界条件为 a _ a t r n + 1 ( 1 + 1 2 ) ：( 2 t + 1 ) 口l 加 o rr = 0 2 3 2初始条件 当f = 0 时，只有外加的垂直场，因此初始条件为 其它分量均为零。 a l o 吖、亏万反 ，l ，l ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 第二章物理模犁及方程的建立 方程( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 为一非线性方程组，很难求得它们的解析解，下一 章我们将利用c r a n k - n i c o l s o n 差分方法对它们进行数值计算。 题。 第三章模型方程的数值计算 本章详细论述了计算网格的划分、模型方程的离散以及离散方程的求解等问 3 1 坐标与网格 上一章的方程( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 可以归结为以下定解问题【2 9 挑3 1 】 詈一口窘川彬， 斛， u ( x ，o ) = 伊( x ) ，0 x 1 ， u ( o ，f ) = 口( f ) ，u o ，f ) = ( f ) ，0 t t ， ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) 其中a 为正常数，f ( x ，f ) ，妒( x ) ，a ( t ) ，f l ( t ) 为已知函数，矽( 0 ) = a ( o ) ，9 ( 1 ) = f l ( o ) 。 称( 3 2 ) 为初始条件，( 3 3 ) 为边界条件。 为了用差分方法求解问题( 3 1 卜( 3 3 ) ，将求解区域 q = ( z ，f ) l0 x 1 , 0 t t j ( 3 4 ) 作剖分将区间【0 ，l 】作朋等分，将区间【o ，丁】作，z 等分，并记厅= l m ，f = t n ， = i h ，0 i m ，t t = k r ，0 k , j 分别称h 和f 为空间步长和时间步长。 用两簇平行直线 x=x。0sfm， ( 3 5 ) t = t 1 0 k 刀( 3 6 ) 将q 分割成矩形网格，见图3 1 。记q = x i10 i m ) ，q ，= 敝10 k 刀) ， q ，= q i q ，。称( 墨，t 1 ) 为节点；称在f = 0 ，x = 0 以及z = 1 上的节点为边界节 点，其他所有节点为内部节点；称在直线扛气上的所有节点r 戈，t 。) 1 0 i 班) 为 第k 层节点。 第三章模型方程的数值求解 1 7 i 图3 1 网格剖分 设函? lo i m ，o k 刀) 为q 。，上的一个网格函。引进如下记号： u ： = 吉( u ? + u ? + 1 ) ， 口吖：! ( 西一球) ， f 见0 = 百1 ( 。卜u j ) ， 疋u l = d x 西， l + 一 2 。i 西= 去( 西”一西一1 ) ， 4 u j ：! ? 一u ? 一- ) ， r 2 0 = 去( 。j 一西一1 ) ， 色群= 去( o o h k ) ， 2 k = 嘉( u 三。一2 吖+ k ) ， 砰岔：( 讲一2 矿+ + t ) 。 f 。 3 2c r a n k - n i c o l s o n 差分格式 3 2 1 差分格式的建立 趴。弓。弘i ) 。 在点 ，) + _ 2 ( 3 7 ) 处考虑微分方程( 3 1 ) ，有 缸，叫一口睾c 彬。扩胞，砂姚川 8 ， 第三章模型方程的数值求解 1 8 应用公式 窘c u 专，= 圭 窘c 砒，+ 爵a 2 uc 砒圳卜； 可以得到 知叫 a 4 u 缸2 西2( 工f ，f 膻) ， “瓴，t ) j 1 口审f a 2 uc 砒，+ 萨a 2 u ( + i ) 叫q 专) 一等 = u ? 一百h 2 丽a 4 u ( 缸，f 。) 和 詈( 少巧u k 一西2 2 万0 3 u ( 卅小 得到 其中 b 孙一詈 a 4 u 苏2 西2 ( 一，靠) l f 2 - j + al f 萨a 4 u ( u + 萨0 4 u ( l ，f ) 办2 注意到初边值条件( 3 2 ) 和( 3 3 ) ，有 伊( 一) ，0 i m ， a ( t i ) ，u ：= p ( t i ) ，0 k s 玎 a 4 材 缸2 a f 2 ( 3 9 ) ( t ，f 膻) ， “( t k , t ) ( 3 1 0 ) 厶( i t - 1 , x ) ( 3 。1 1 ) r 聩( t k , t 川) ( 3 1 2 ) 在( 3 1 3 ) ( 3 1 6 ) 中略去小量项碟，并用u ? 代替u j 0 t 谚2 一口万x 2 , ，2 0 k 疗一l ， ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 得到如下差分格式 ( 3 1 7 ) 、j 厢 利 了，前鱼缸 h 请 r+ 、， l 一2 r 薯，l ， = l 一2 + u 水。 口一 l2 4 u 七o u i m 一 一 t i， 、， 卜2 ，i ， ，l ， l | 第三章模型方程的数值求解 1 9 u ： = 伊( x ，) ，0 i m ， 甜：= a ( t i ) ，材：= p ( t i ) ，0 k ， ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) 称差分格式( 3 1 7 ) ( 3 1 9 ) 为c r a n k n i e o l s o n 格式，称尺为差分格式( 3 1 7 ) 的局部截断误差，记 铲m a x 怯黔俐+ 詈辫矧卺辫i 剥 限2 。， 则 碟i c 2 ( f 2 + 办2 ) ，1 ，聊一1 ，o 后疗一1 ( 3 2 1 ) 它是一个具有o ( r 2 + j l 2 ) 精度的无条件稳定的差分格式，c r a n k - n i c o l s o n 格式的 节点图见图3 2 ，它是一个2 层差分格式 ( 恐- l ，f m ) ( 为，o m )( 而“，f “i ) 。 、，、 、 ( 、， ( 而- l ，气)( 五，t d ( 冯+ l ，气) 图3 2c r a n k - n i e o l s o n 格式( 3 1 7 ) ( 3 1 9 ) 的节点图 3 2 2 差分格式的求解 差分格式( 3 1 7 ) 可