（应用数学专业论文）一个强耦合的捕食模型.pdf

东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人己经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名：越逄 l 日 期：埘幽 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 研究生签名：盘蝮霉 导师签名： 日期：岬z ，。f 本文讨论强藕合的撼食模型； 摘要 珏1 = a u l ( d l 十l l t + 0 r 1 22 ) 】+ 舢l ( n a l l u l 盘1 2 “2 ) ，嚣q ， t 0 3 v , 2 t = f u 2 ( 如十拉列) w + u 2 ( - r 2 十a 2 1 “l n 鞠“2 a 2 3 u 3 ) ，嚣尊q ，t 0 d = l ”3 t = f “3 ( d s + o t 3 1 u l + 挚薏十3 地) l + 镪( 一十括3 ：啦) ，。q ，# o 岛u 1 嚣岛“2 = 岛u 3 = 0 ，毫a n ，t 0 u i ( x ，o ) 。站i 0 ( x ) 0 ，善q ， 其中nc 辩楚一个有界光滑鲢域，怒毋q 上的单彼外浚向量，岛一鑫，系统辑瓷了该方 程组的非常数正平衡解的存在性、非存在性及分支。浚问题对应的平缝鹪方程缎愚 a u i ( d i + 。1 1 珏l 十耽1 2 让2 ) 】+ 醢l p l 一。l l “l 一盘1 2 t $ 2 ) = 0 ，茹q ， 3 心2 ( d 2 + 乏：a 哗) 】十“2 ( n + 口2 l 珏1 一。2 2 拈2 一a 2 3 3 ) 黼0 ，茹q ， j = l a 慨+ 船3 l 铂1 十最十蝴钍3 ) 】十“3 ( 哪十t i 3 2 t t 2 ) = o ， 茹q ， 岛珏i = 岛钍2 拦岛珏3 = 0 ， 茹毋q 在弓l 言中，篷要分缨了阁题的背景姆本文静童螫结果。 在第二节，利用h a r n a c k 不等式髑最大值原理给趣芷解的一个先骏估计。 农第三节，剽是积分苓簿斌数按巧秘l y a p u n o v 娆瓣，我铅获稽了游帮数莲平衡解静不 存在憷结果， 在第四节，借助予l e r a y - s c h a u d e r 度毽论褥到了非常数正平衡解的毒磁性以及鬻数正乎 饕姆麓局郄嬲整体分支 荚键宰；平鬻解，强耩舍，嚣常数熊，分支 东南大学硬士毕业论文 a b s t r a c t i nt h ep a p e r ，w ed e a lw i t has t r o n g l yc o u p l e dm o d e l ，w h i c hi sa , sf o l l o w s 珏1 = a m ( d 1 + 0 。1 1 u l + a 1 2 4 2 ) 】十“l p l a l i b i 8 1 2 4 2 ) ， 3 4 2 t = a 4 2 ( d 2 十芝二盘2 j w ) + “2 ( r 2 十a 2 1 姓l 一, 6 2 2 “2 一a 2 3 u a ) j = l 毪瓤= f 勰( 如十礅l “l + 警兰十8 3 3 u 3 梵+ “3 卜张+ 龌弛抛) ， i 十“2 “ ” 岛“1 = 岛锄= 岛“3 0 ， 4 d z ，0 ) = “；o ( z ) 0 ， g q ，t 0 。 茹n t 0 ze n ，t 0 ， 茹a n 、 0 o n a n dd i s c u s st h ep o s i t i v es t e a d y s t a t es o l u t i o n so ft h es y s t e mu n d e rt h eh o m o g e n e o u sn e u m a a n b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，i e z q 4 1 ( d l4 - 盘l i 珏l + 堪1 2 u 2 ) j + 链l ( n a l l 嚣l 一寤1 2 珏2 ) = 0 ， 茹n ， 3 a u = ( d 2 + 盘v u d u 2 ( 一r 2 + 鼯2 l 姓l a 2 2 嚣2 一a 2 3 铭3 ) 嚣0 ，。毫q ， ，= i 【珏3 翟a4 - a a l u t4 - 惫牛3 3 珏3 ) 】+ 钍3 ( 一铂十盛耱乱2 ) = 。， 茁n ， 岛稚l = 岛珏2 絮岛珏3 = 0 ，嚣 拿鼗 w h e r enc 藏“i sab o u n d e dd o m a i n 、w i t hs m o o t hb o u n d a r y 鳓，计i st h eo u t w a r dn o r m a lv e r t o ro f 撇a n d 岛= 豁 f i r s t ，w eu s es o m et e c h n i q u e so f i n e q u a l i t ya n dt h em a x i m u mp r i n c i p l eg i v eap r i o r i - e s t i m a t e s f o rp o s i t i v es o l u t i o n s t h e nw es t u d yt h en o n - e x i s t e n c eo fn o n c o n s t a n tp o s i t i v es o l u t i o n s a n d t h e nw eu s el e r a y m s c h a u d e rd e g r e et h e o r y , e s t a b f i s he x i s t e n c eo fn o n - c o n s t a n tp o s i t i v es o l u t i o n s a n dd i s c u s st h ej o e a la n dg l o b a lb i f u r c a t i o n 。 k e yw o r d s ：s t e a d y s t a t es o l u t i o n s ，s t r o n g l yc o u p l e d ，n o n c o n s t a n ts o l u t i o n s 、b i f u r c a t i o n 2 第一节 l 富 4 生态数学模鹜的辑究楚一个十分热门懿漾题，露| 超了众多生物学家和数学家的檄大关 注本文讨论了一个强耦合的捕食模獭，即 “1 = 【1 ( d l + n i l u l + g 1 2 u 2 ) + u l ( r l a l l u l t 2 1 2 2 ) ，x q ，t 0 3 u 2 产l x u 2 ( d 2 + a 2 j 呦) + “2 ( 川十a 2 1 u l a 2 2 “2 一n 2 3 u 3 ) j = l u 铲d 3 + o l 3 1 u 1 + 惫佃3 刚柏( _ r 3 + a 3 2 u 2 ) ， 岛“1 ：岛“2 = 岛珏3 = 0 ， ；( ，0 ) = t 矗o ( 。) 0 ， oen 、t 0 、 z n t 0 ， ( 14 1 ) o 0 n ， 0 ， g 毫q 的正平衡解，其中nc r n 是具有光滑边界的有界区域，q 是口q 的外单位法向量d l ，珐d 3 ，n 8 = 1 ，2 ，飘8 1 1 ，a 1 2 ，8 ”( i 一2 ，3 0 = i ，2 ，3 ) 均为正常数，a 1 1 ，吐1 2 ，盘t i 一2 ，3 ，一1 ，2 ，3 ) 为非 负常数“2 和n 3 分别为种群的分耀密度，啦吃“l ，嘶吃u 2 、喀( i = i ，2 ，3 ) 分鄹秀健镌 的扩散率，r l 为“l 的自然出生率，r 2 ，r 3 分别为“2 ，蛳的自然死亡率o i ( i = 1 ，2 ，3 ) 通常 是指鑫扩教燕力，8 1 2 ，i ，( i 囊i = 2 ，3 ，= 1 ，2 ，3 ) 逶常是掺交镑扩散爨力。鳓果把扩教凄 写成散度形式： 阻l i d l + a l l 钍l 十口1 2 钍2 j j = ( 出+ 2 1 1 u 1 + m = u 2 ) a u ：+ d t 2 t l 珏2 + 2 ( m ：v u ：+ c 。t 2 v u 2 ) - v u ： 阻2 ( d 2 + n 2 j 蜥) 】 j = l ：d 2 l “2 “l + ( d 2 + n 2 1 l + 2 d 2 2 u 2 + a a s u a ) t , u = + n 2 3 “2 t 3 + 2 ( 。2 l 审姐1 + c 也2 v 珏2 + 娌2 3 v “3 ) ，v t 2 ， 陆( d 3 + 锄t * t + 最专镌3 渤) 】 = d s ，“s a u l i 擎奇锚z + ( 如+ 铷t 让t + 惫+ 。口3 s “s ) “s + 。锄。v 奶 + 2 a 3 l v “1 v 3 2 。3 2 ( 1 + u = ) v 1 u i a - 磊u _ i j a v r u d 一v u 2 ， l l 十t 鲤 ” 交错扩散系数叫2 蚍，“2 3 u 2 分别液示饥逃避，啦逃避u 3 ，向着，u 3 密度小的方 向迂移；交错扩散系数一貔3 2 u a ( i + ) 。寝示u 3 遣赶档2 ，向着“2 密度大的方向迁移 更详缨的生物学鬃释，可参见文蛾【4 ，8 ，1 8 ，1 9 ，1 6 1 岑文主簧讨论( t 。1 ) 的正平键怨，鄹磅突 第二节正解的先验估计 撼圆型方程缎鲰n e u m a n n 逑僵问题： 阻1 ( d 1 + 吐1 1 1 + 。i 2 朝+ u l ( t 1 一a l l 钍l a 1 2 2 ) = 0 ， 。n ， 3 a u 2 ( d 2 + a 2 j 聊) 】+ “2 ( 一r 2 + 。2 1 u l a 2 2 2 一口2 3 u 3 ) 一0 ，。q ， j = 1 盎喊d 3 + 蛳珏l + 惫+ 螂3 缸3 ) 】+ 钍3 ( 一r 3 + 妇乜2 ) = o ， 茁q ， 岛“l = 岛u 2 訾岛u 3 = 0 ， z a n 文献譬l l 考虑了一个l o t l m - v o l t e r r a 褰蠡食模型 5 ( 13 ) 接中r 。( 咄a j ( t ) ( t ，= 1 ，2 ，3 ) 是【o ，o 。) 上遴续有界的正函数，( t ，j = l ，2 ，3 ) 是非负常数 作者证明了( 1 , 3 ) 在适当的条停下是一致掩久的，并获褥了( 1 3 ) 全鼹渐进稳定鲍糍分条件 文敲蔺褥受t ( 1 ，3 ) 魏歪溪期薅整霉存糕秘充分条谇在文靛疆筠串 笮者褥载了( 1 3 ) 在逐 化情形下周期解的存在性和燕体稳定性 反应扩散方程模型的研究已经有了擞长的历史，在建立椭圆型方程组的非平凡解的存 在睦这一霹瑟上嚣蔫有秀耱典鳖秘方法一秘是努支方法。裁震邃耱方法黠皇褥耱群动力学 融进行了大墩的研究各种分支技巧是借助于l e r a y - s c h a u d e r 度理论这一强有力的工具( 事 先必须得到一个良好的解的先验估计) ，参见文献【l ，2 ，3 ，5 ，6 ，7 ，n ，1 2 ，1 7 ，2 0 1 嬲外一种是 奇异扰动方法，参见文献【2 2 ，1 3 ，2 3 】本文我 】梅利震第一释方法采磅究分支， 本文组织如下：在第二节，我们建藏了( 1 2 ) 的菠解的一个先骏估计在第三节，和用 积分不等式的技巧和l y a p u n o v 泛函，我们得到了( 1 2 ) 的非常数正解的不存在的条件在第 四节，利用攘扑庹的同伦不变性，给出了非常数正嬲襻在的条件，弗讨论了( 1 2 ) 关于正常 数勰懿分支。 2 溅解的先验估计 本节，我们黄先给赛- v 覆n + 翕嚣 命题2 1 ( 最大值原理) ( 【1 2 】) 假定g g ( q r ) ( i ) 如果 c 2 ( q ) n c l ( q ) 满足 a w ( x ) 十9 ( g ，罅 茹) ) 0 ，茹f t ； 强材0 ，茹8 q 殿w ( x o ) = m 舳哂 ，贝0g ( x o ，”( 口o ) ) 0 3吃 一 3 石 )0 孙 吐一 ) 星三堇垂攫鲤韭墅照盐6 ( i i ) 娥暴t f c 2 辫) n c l f 囝瀵楚 叫( 。) 十9 ( 茁，”( 。) ) 曼0 ，茁n ；叫麓o ，e0 n 厦w ( x o ) = m i 妫w ，则g ( x o ，w ( 。o ) ) 兰0 ， 命题2 2 ( h a r n a c k 不等式) ( 【1 4 】) 设础c 2 n ) i 3 c 1 ) 裁带蠢齐次n e u m a n n 逸爨条 件的a w ( z ) + c ( z ) ( z ) = 0 在n 上的一个藏解，其中c ( ) g ( 晓) ，那么存在一个正常数 g 一瓯( ，n ，阳；。) 使褥 m a x h w g m i n f t w 。 为了方便，我们定义 u = ( “2 浅) ，蝣2 赢五”f 嚣妇， 五1 ( q ) ， ( u ) = r l a i l u l a 1 2 u 2 h ( u ) = - - r 2 + a 2 1 u l 一8 2 2 t t 2 8 2 3 “3 ， h ( u ) = 一r 3 + a s 2 u 2 ，= ( ，是，3 ) 记 = 翌a l l f l 十舞+ 7 1 蕊( x 1 2 ) m = 景( 1 + 杀+ 墼d l a z 2 、m = m i n m a , x p ，瓜( 2 1 ) 舻避 1 + 警”( 面i + d 2 口g t 2 3 ；肿t 哪，一心) j 1 t = 警e l + 警酣i i 。( 、0 。2 i 2 + a 2 l q i - 您小9 2 。幽溉一锄，同懈2 ) 本文我们想假设a 2 1 q l 7 2 利用命题2 1 和2 , 2 ，我们可以_ 得到定理2 1 。 定理2 1 ( 上界估计) 假设0 0 霹彳尊 从而 1 ( 挪) 0 可得 一t 2 + a 2 1 t 毒l ( x l 一8 2 2 越2 ( 碧1 ) 一t 2 2 3 珏3 ( 2 ：1 ) 0 ， 弱 r 2 + 吐2 2 搬( 鬈1 ) + a 蹦3 ( x 1 ) 基8 2 l 铭l ( 嚣1 ) 砚l 魏， 获褥可缮 “。溉) 茎壶( 锄，”嘲，嘲去( a 2 1 q l - 啦 与* 1 懿讨论蹙憾，我锅髫淡彳蓐裂撕的童莽 最惑我懿考窳钍3 静上葬令 ) = d a + a a t u t + 焉+ 蝴螂，c 。器 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 , 6 ) ( 2 7 ) 箜三芷至缝塑蠹建焦盐8 那么w 3 ：= u 3 h 满足 a w a - 4 - c ( 嚣) 程玛然0 ，茹n ；褊w 3 = 0 ，。毋n 爨 d 3 ( 嚣) s 如十凸l m a x 矗u l + 锄2 十a 3 3 “3 因此，由h a z n a c k 不等式知，襻在正常数以，使得 m a c a w 3 竖a m i n n w 3 反掰可得 南+ v e 3 3 m a x u 3 ) m a x 叠u 3 m a x h 蛾sc , m i n 磊w 3 曼c , m i n 彘 ( d 3 + 0 3 2 ) u 3 十0 3 l t 工l “3 + n 3 3 “豹 曼g k d 3 + 3 2 ) “3 ( z 1 ) + 0 3 1 “l ( 。1 ) 乱3 ( 嚣1 ) + a 3 3 “i ( 茹1 ) 】 g t 【( 南+ 3 2 ) u 3 ( z l j + a 3 l ( m a x 彝铭l ；锯秘l + 8 3 3 铭；和l ；j q 【( 如+ n 3 2 ) ( a 2 1 q l r 2 ) 口2 3 + a 3 1 ( m a x au 1 ) ( a 2 1 q l r 2 ) a 2 3 + a 3 3 ( a 2 1 q l r 2 ) 2 0 1 3 】 与m a x f i u l 的讨论类似，我们可以得刘( 2 3 ) 的第三个不等式 定理2 2 令盘o = m & x 。1 2 ，0 1 2 1 ，a 2 3 ，o l 3 1 ，a 3 2 ，0 d 0 且满足 g n 茹q 。q 、 z 0 q t 妒+ c ( ) 妒一o ，。n ，其巾c ( ) 一1 d l ( 1 + n 2 q ) 】 j 端i 堑兰堇韭堂堂正竖煦至壹堑造 9 由( 2 , 9 ) 可知，存在正常数亏( 矾。o ) ，使得j i c ( x ) l s0 ( d ，n o ) + 由h a r n a c k 不等式知，存在一个 正常数c + 溉a 。) 僚莩摹 m a x a 妒b 汹a o ) m i n f i 妒( 21 0 ) 因为 m a x 自l m 觚n 仍m i n f ie p ( 1 + r u m a x n u j ) r a i n a u l q ( d ，铷) m i n q “1 ， j 搿1 萁中g i d ，。o ) 为菜一个蓬鬻数宙 2 ，1 0 ) 胃麓， 2 8 ) 对i 一1 成立。类镄的，我 稳可戳证明 ( 2 , 8 ) 对i = 2 ，3 成立 3 非常数威解的不存在性 令0 = “1 “2 0 成立的充分必 要条件是对新煮静o u 。，幻嚣u 。 证明由抛物戮方程组的强最大值原理秘h o p f 边界萼l 理知，对v 茹曩，t 0 ，啦涵t ) 0 ，i = 1 ，2 ，3 因此，对所有的 0 ，四( u ( t ) ) 是有意义的令 m = 譬乒 ( d 1 + 2 8 l l 锃l + n t 2 娩) v 铭1 i 2 + g 1 2 也1 v 铭l v 毯2 ， 宴2 = ! ! 罂乒 ( d 2 + 球2 l 珏l + 2 娃2 2 锃2 + 8 2 3 毫王3 ) | v 钍2 1 2 十啦审龆2 v ( 娥l t 毒l + 理2 3 钍3 ) ， 蜘= 警 d 3 + & 3 1 u l + 旦1 + u 2 ) + 2 8 3 3 蝴盼啦v 螂v 旷器滋。 计算可得 掣= 一矗渤+ 啦+ $ ( 3 - 3 、 + 蠡 多婶l 一镕；) 矗埘+ a 3 2 ( u 2 一弼) 盎( 璃+ 翘3 戢3 一逮) 矗璃 矗 箜三芷! e 堂墼至竖塑丕蹙垄堡1 0 辫显，我幻意 j j 卢m 1 一“；) ，l ( u ) + d 3 2 ( 2 一“；) ，2 ( u ) 十3 2 3 ( “3 一u ；) f a ( u ) d x = 矗 卢( u l “i ) ( ，1 ( u ) 一，l ( 1 1 ) ) + 3 3 2 ( u 2 “；) ( 厂2 ( u ) 一f 2 ( u + ) ) + n 2 3 ( “3 一u ；) ( ，3 ( u ) 一f a ( u + ) ) ) d z = 点! 眵8 l i ( 姓i 一锰；) 2 + 8 3 2 嚣2 。锃2 一t 圭；) 2 l d 茹0 ， 如果下面三个不等式 4 母。3 2 u ；姑；( 譬十凸1 1 “l 十d 1 2 钍2 ) ( 安+ 。幢l 趾l + 位2 2 t 2 ) ( 卢a i 2 珏；“2 + b 3 2 0 2 l t l u ；) 2 ， ( 3 4 ) 帮珏i ( 冬十a l l 钍l j t i d a + a 3 i 缸l + 在3 3 蛳) 8 2 3 司i 锚；嚣；， ( 3 ，5 ) 4 啦s n s z u ；“；( 譬十a 。t “。十口。u a ) ( 鲁十最+ n 3 3 u 2 3 ) ( a a 。n z a “；蝴一篇) 2 ( 3 - 6 ) 藏立，舔么 9 1 十9 2 + 9 3 0 ( 3 7 ) 缝合( 3 3 ) 可熟，g l 理3 1 的第一部分成立丙由上蕊的讨论可知，颤果对浆一个南 0 ，d e ( u ( t o ) ) d t = 0 ，鄂么钕( 一，岛) = 常数， 一1 ，2 ，3 蠢( 1 2 ) ，我稍有u ，翻一矿又困为 四( u ( t ) ) 对所有的t 0 是非负不增的蛹数，因此，对所有的t t o ，e ( u ( 0 ) = 觑( u ( o ) ) = e ( u ) = 0 从而对所有的t o ，u ( ，t ) 耋u + 定瑾3 , 2 绞设( u ；一0 骞灌一懿疆常羧薅u + 一 t ；，“刍“参鄄么存在一个不蔹羲子 1 2 1 1 ，m 2 ，。玎，i 。2 ，3 ，= 1 ，2 ，3 的正常数d ，使得当i d s j ( 0 1 2 ，o r 2 1 ，鲍3 ，n 3 l ，0 3 2 ) d 时，旷是 ( 1 2 ) 的唯一正解 谖鹤稷患瑾3 1 懿诞鹱类经，强* 3 。6 ) 是充分鹣。魏暴下嚣三令不等式 4 胁。u 弼( 鲁姐u ，+ 鲁毗。) ( 腿州钍。) 2 + ( a a 2 c x 2 i u i u ；只 2 卢d l u ；28 2 3 a 3 1 u 1 ：， 锄s 嘲。篱( 裂睾罱+ 查竽) 嘞：锄婚s ) 2 + 擎竽) 2 成立，则( 3 4 ) * ( 3 6 ) 成立易证如果下面的不等式成立， ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 j ( 3 1 1 ) 剜3 s ) 一( 3 + 1 0 ) 袋立，d 蔻是理2 , 1 孛爨缎没戆，8 。越敬 a 1 2 ，觎l ，0 ：2 3 ，。3 1 ，3 2 巍定理2 ，1 知，存在一个磁常数m m ( r i ，d ，a f 6 ) 使得 m a x f i t “s j i tt = 1 ，戡3 蛳 亳： 芝一 懿一一 蓥兰堇韭鲎塾匡壁数丕壹垄选l l 因此存在一个不依赖于n 1 ，j = 1 ，2 ，o 蟠，l = 2 ，3 ，j = 1 ，2 ，3 的厩常数6 ，使得当m “ a 1 2 ，c t 2 1 1 d 2 3 0 1 3 1 ，c 。z 2 s5 时，f 3 1 1 ) 成立。 定理3 3 如果下列条件之一成立： ( h 1 ) d 1 + d 1 1 1 ，0 2 2 34 - “3 2 1 ； ( h 2 ) 魂+ 观2 1 ，a 3 l 1 ( h 3 ) d 3 十n 3 3 1 ，f 2 1 2 + d 2 l 1 ； ( h 4 ) d 1 l ，0 2 3 + 0 ： 3 2 l ，a 2 1 k l # 2 d 2 ，a a 2 k 2 9 2 d 3 ，8 i 3 k i 4 ( 弘2 如一垃甜南1 ) ( 抛如一a 3 2 k 2 ) ， 部么( 1 , 2 3 没有 谬数黪委薅。 证明( i ) ( h 1 ) 成立的情形 假设u = ( 1 ， t i 2 ，u 3 ) 魑( 12 ) 的正解分别用卢扣l 一面1 ) l ，a 3 2 ( 2 一面2 ) u 2 ，a 2 3 ( u 3 一面3 ) “3 乘以( 1 ，2 ) ，菸在q 上分郝积分霹褥 。= 一上等v 扣t + t 地+ 锄。地) 】v u l d x + i n # ( ”t 一奶) ( n ) d 。= ：；+ 傩， 。= 上警v b c 如+ 妾a 2 j u j ) v u 2 d x + f n 啪响删蜘确慨涵埘 。= 一点鼍挚v 嗡( 如+ a 。捧t + 惫+ 锄s 锄强v u 3 d x + i n n t s 鼬一镪) 盎( u ) d 茁 田3 j 利( z 8 j 廿j 得 j 洲，a o ) 。m 刚i n f i u i ；赛鬻s 去，忍。- 1 毒面m i n 砑f i u l 裂娟训小蛐 - 3 由( 3 1 3 ) 直接计算可得 m = 一五等池弛舭t 棚。蚓t 2 d x - 互警v “t v 蛐 s 一互声( 磕+ 攀) 网，1 2 d x + 互警陬i i v 蜊岔 ( 3 1 4 ) 兰一p 霉t 最( 盔a 。) 4 - 2 。i i 饼毒锄醒一q t 转t ，或硒 互| v “t 1 2 d x + e l 互| v 珏。1 2 出， 其孛c i l 涵，d ，o f 0 毙菜一茏常数。娄键懿。袭识霹羰译疆 p 2 曼一 口3 2 ( d 2 c 2 ( d ，a o ) + 2 a 2 2 。笙( 面锄) ) 一2 ，矗l v , , 2 t 2 d z ： + 侥1 ( 溉d ，蛳) ，n i v 坝1 2 血+ a 。如慨，或锄) 厂i v u 3 1 2 d 奶 ( 3 1 5 j i l 第三节非常数正解的不存在性1 2 p 3 一 9 2 3 汹c s ( d ，锄) + 2 a 3 3 c ；( d ，o 习一8 3 2 岛3 ( d ，s o ) ) 矗i v u 3 l 。d x + q t ( 蕊。) 五l v u t l 2 d + s 3 i v 碱1 2 妇， 1 6 其中岛l ( s 2 ，d ，a o ) ，0 2 3 ( s 2 ，d ，o o ) ，岛l e 3 ，d ，a o ) ，6 3 3 ( 3 ，d ，锄) 必某一正常数枣( 3 1 4 ) 一( 3 1 6 ) 露 得 一 声 d l c l ( d ，n o ) + 2 c z n c ( d ，吐。) 】一；篡lc t ( 吩，d ，穗o ) 岛 v 珏1 1 2 d x 一 a 3 2 【d 2 ( b ( d ，a o ) + 2 0 c 2 2 0 蔷( 矾s o ) 】一( 1 十e 2 + 翩) ) ，ni v u 2 1 2 d x 31 7 、 7 f1 一 a 2 3 ( d 3 c 2 ( d ，s o ) + 2 a 3 3 c ( d ，a 。) j a 2 3 岛3 ( e 2 ，d ，n o ) 一a 3 2 岛3 ( 船，d ，o ) ) 矗 v 札3 i 2 d x 毽为d l + c f l l l ，0 2 3 + 。3 2 l ，我爨霉澄选释充分，l 、熬魏i = 1 ，2 ，3 ) 簌褥 p t + p 。+ p s s 一2 d t 磊池铷) - - 2 a l ，“。) 】互l f “t 1 2 d z ， 涵1 8 ) 由p o i n c a r e ，s 不等式可樗 p + p 。+ p 3 一警 d ，岛( d ，a 。) + 2 a l l g ( d 】种。) 】五( 毗一豇d z ( 3 1 9 ) 另一方面， = 蠡【声( 钲l 一露1 ) 矗u ) + a 3 2 ( b 2 一奶；。是( 聪) + 蛙2 s ( 锃3 一蟊3 ) 蠡糕) 】硅嚣 = 如 卢( “l 一日1 ) ( ，l ( 1 1 ) ，1 ( d ) ) + a 3 2 ( u 2 面2 ) ( ，2 ( u ) 一丘( 豇) )( 3 2 0 ) + a 2 3 ( u 3 一面3 ) ( 庙( u ) 一，3 ( 霞) ) d z = 一岛【多癌l l ( 链l 一露l 2 + 盛麓8 2 2 ( 辘一嚣2 ) 2 l ks0 ， 由( 3 1 9 ) ，( 3 , 2 0 ) 可得 。2 墨3 ( 班刊s 一警【确鳓恤t t 刚删小呐) 2 d 删， 从而7 1 i = 口1 再次利用( 3 1 咳( 3 , 2 0 ) 可得 7 l + 讹+ 舶嚣一 a 2 2 a 3 2 ( 2 一砬2 ) 2 d 卫兰0 ， 从而u 2 = 日2 令a = 面2 ( 一r 2 + a 2 1 面l 0 2 2 豇2 ) ，由( 1 , 2 ) 的第二个方程可得 露2 a 2 3 t 工3 十a 一面2 a 2 3 u 3 嚣0 ，oe n ， 磊铭3 = 毽 霪8 鑫。 第三节非常数正解的不存在性 由最大值原理可得，u 3 兰a ( 吐2 a 2 a ) = 常数，即u 3 麓6 3 ( i i ) 当( h 2 ) ，h a ) 残立时，秘珏1 ) 舔 芷舞方法类狻 ( i i i ) ( h 4 ) 成立的情形+ 分别用( u l 一日1 ) ，( u 2 一i 2 ) ，( “3 一面3 ) 乘以( 1 2 ) 的各个方程，井在n 上分部积分可得 蠡v u l 矗v u 2 d l + a 1 1 锄+ m 2 u 2 ) v u l d z = 矗f u l a j m a ( u ) 一西1 矗f 程) ；玉， 勘十；：la 2 j u i ) v u 2 d x = 矗( 地一露2 ) f u 2 是u ) 一豇2 盎( 豆) 】d 。， ( 3 2 1 ) d a 十0 3 l 饥1 + 青+ c , 3 a u a ) v u a d z = 矗( u a 一面a ) b a a ( u ) 一面a a ( a ) d z 剜稃在正常数o ( g ) ，便释 盎v u l ( d l + a l l e l + a 1 2 u ：) v u l d x = ，n ( d l + 2 埘1 1 u l + a * = u 2 ) w u l 2 d z + f n a m u l v u l v u l 矗( d 1 一e ( s ) ) v 1 i 2 d x 一矗s 1 v 2 1 2 d x ， p3 厶v 2 + 薹a 巧u j v 刚z ( d 2 一s ) 1 w , 2 1 2 d z d 忙) f 引v “l 2 + 积2 3 l v u 3 1 2 ) d 搿， j n j n v u a ( d 3 + “3 1 u l + 惫十攀。胛训z f ( 舔一e ) l v u a l 2 d z c ( e ) f ( v l i 2 + 3 3 2 i v u 2 2 ) d j n，n 勇一方嚣，我翻鸯 ，n ( u l 一面o m k ( u ) 一位l l ( f i ) d x = 矗( u 1 一面1 ) p l ( t 正l 一缸1 ) 一a l l ( u 一霞i ) 一n 1 2 ( q 1 2 一面l 百2 ) 】d z 矗驴1 ( 钰l 一磊t 2 8 1 2 ( t | l 一露1 ) ( 蛙l 珏2 一露l 西2 粥d 茁 s 蠡( r l + a 1 2 如) ( 让l 一磊! ) 2 d 嚣， ( 3 2 2 ) ( 3 。2 3 ) ( 3 2 4 ) ( 3 。2 5 ) 上( 让2 一面2 ) 姑2 盎( u ) 一旺2 支( 矗) 】d z f 睡2 l 蠡l ( 钍2 一西2 ) 2 + a = a 。d u = 一 臣= l l u a 一霹3 】d 茁，( 3 2 6 ) 立 ? 矗 ? ( 3 一蠹3 ) 汹f a ( u ) 一蠡a a ( a ) d zsfa a = e = ( u a 一露3 ) 2 d x 3 2 7 ； j f l ，n 盎( 3 , 2 2 ) ( 3 2 4 ) 可得 如v u l ( g , + 1 1 u l + n 1 2 珏2 ) v “l 妇+ 厶v 【让2 ( d 2 + 窃工l 口纠呦) 】v 2 如 + 矗v 缸3 ( d 3 + 0 1 3 1 u i + 救l + u 2 + a a a u a ) v u a d 茁 2 ，翕( d l 一3 0 舞) ；| v l 2 d x + 是翰_ 2 一a a = c ( ) ) w u d u d x + 鑫( 奄一一盘2 3 0 ) ) l v 毽 2 酝， 1 3 ，llit，、lll，【 第四节非常数正解的存在性 因为r 2 3 + n 3 2 1 ，所以我们可以选择充分小的a 2 3 ，“3 2 ，使得( 2 2 3 g ( e ) ，q 3 2 g ( s ) ，从而 可得 如vj u t ( a l l 十a 1 1 “1 + a t 2 u 2 ) v u l d x + j 五v u 2 ( d 2 + ；= l a 2 j u j ) v u 2 d x + 矗v 娜3 + a 3 1 1 + 髓+ n 3 3 u 3 肌3 妇 蚴1 ( d l 一3 s ( ) ) 岛i v t , - l i 2 d x + ( d 2 3 ) 蠡t v - , 2 t 2 d x + 涵一2 。) 岛l v 蛳| 2 d x m ( d l 3 g ( e ) ) 厶( “1 一面1 ) 2 d x + m ( d 2 3 ) f n ( u 2 一j 叵2 ) 2 d x 十芦2 ( d a 一2 e ) 厶( “3 一面3 ) 2 d z 由( 3 2 5 ) 一( 3 2 7 ) 可得 f n ( u l a 1 ) u i l i ( u ) 一7 2 1 l ( f i ) d x + 矗扣2 一砚) 阻2 办( u ) 一露2 办( 程) d # + j 、n “3 一e 3 ) u 3 f 3 ( u ) 一面3 a ( 豇) l d p 1 + a 1 2 k 2 ) 如( “1 一面1 ) 2 d x + a 2 i k ij k ( 2 一面2 ) 2 + a 2 3 k 2 如i “2 一面2 1 1 3 a a l d x q - a 3 2 k 2 矗( 。一云3 ) 2 d $ 。 叁( 3 , 2 1 ) ，( 3 2 8 ；霹( 3 2 9 ；我嚣j 考 【p 2 ( d l 一3 g ( ) ) 一( r l 十1 2 乜) 】矗( l 一西1 ) 2 d $ 一沁2 ( d 2 3 9 ) 一a 2 1 k 1 ，n ( “2 一面2 ) 2 d x + a 2 a k 2 如i “2 一口2 1 1 “3 一面3 i d z ( 3 3 0 ) 一函2 【南一2 e ) 一a a 2 k 2 】蠢( t 3 一磊3 2 d # 。 因为d l 1 ，a 2 i k i t 2 d 2 ，a 3 2 k 2 # 2 d 3 ，3 4 ( 筘2 如一( 2 2 l k l ) ( 芦2 d 3 一# 3 2 ) ，搿淡我懿霹鞋 选择遁当的s ，使得 肛2 ( d 1 3 g ( ) ) 一( t i 十a 1 2 k 2 ) 0 ，p 2 ( d 3 2 e ) 一a 3 2 k 2 0 ，芦2 ( d 3 2 e ) 一a 3 2 k 2 & ( 4 4 ) la u o r 7 = 0 ， 搿a 呱t 0 ” ( 4 4 ) 相应的嚣撇 l ；：吞粒够： 等= g u c u + ，u ，g uc u + ，= - u l - b u l o。；1 it f l # = f u ( u 。) 妒十g 。( u ) ， g n ，t 0 ， 【o 妒a q = 0 ，茹an，t04 7 f ) 一 堑塑蔓韭堂熬至竖煦壹垄墼 一一1 6 蹦q 2e 惫硝 b 3 。d d + 8 u i ) ( p + j i i ) o ， 。= 陋；+ ( d + 9 u ；一呻瀚十志) + 器， l 抽潞1 鼬+ 去) + 蛐器， ( i i i ) l i m o - 一烈妒) ：坠铲，恶蹦则) ；业铲， 。篓巴芏韭堂墼垂蟹盟查查蝗 1 7 其中 捣= 鲫“；一“ i p + 南) ， 耻u ；卜删g + 南) + 尚) ， 蜗= ；。 定理4 1 假设( 4 2 ) 成立则存在厩常数d o 1 ，& 1 ，使褥燃d 蕊，0 0 0 时，( 4 4 ) 的正平衡解u ( x ，t ) 羞u + 对于某一区域n 是线性不稳定的 涯臻囊f 1 ) 颡f 2 ) 繁，鲡暴芦越，珑) o 声2 ，蕊) ，郡么嚣 娥d ，囝0 。囡魏，蔗( p ) = g 。( u ) 一卢f 。( 旷) 有一个证的特征值从而对于任意的区域0 ，n 使得特征值问题( 4 8 ) 有一 个将径筐弘( 芦，肛i ) u ( 抛，舀3 ) ，( 4 4 ) 静汪平衡解u ( # ，；1 1 + 是线往不稳定的 4 1 分支 魏在我麴应髑分支溪谂确藏【4 1 ) 麓菲豢数歪煞魏砻农往。谗矿固= 跳i n j ) d 。令 “地，也) 攉1 是( 4 8 ) 的特征对的完备集，其中 也，仁e o l 是线性无关的，o = p 1 肛2 氍嚣( 艇，d ，0 ) 一鸯， r = u 墨lr = ( m6 ) ( 0 ，o o ) 21 日( p ，a ，b ) = o ，p 品( 一) ) ， x 黼( c 。( 娩) ) 3 ，b a = u xi0 u 8 x 0 我瓣舔涵，氏，u ) 毫( 0 ，。) 2 x 蔻4 1 ) 戆一个燕翔点，魏栗存在一个趸常数5 ，餐褥对 任意的( d ，0 ) d o d ，d o 十硼一6 , 8 0 + 川，( 4 1 ) 在 u + + 风上有唯一的锵u ( x ) u + 给定一条简单的g 1 曲线1 ( $ ) ：馥_ + ( 0 ，o 。) 2 ，我们称( 7 ( o ) ，舻) 是( 4 1 ) 的相对于，y 的 一个分支点，如暴对于任寒鲍5 0 ，s ! 一最鲤，波0 ) = 了s ，( 4 ，1 ) 有一个勰( d ，0 ，u - 臻其中 u ( - ) 一u + 玩 0 ) 定瑾4 2 ( 焉鄙分支) 设巍 0 ，粕 0 是任意满蘸岛 0 a ( d o ) 的数考虑( 4 ，1 ) 静最平衡 解( d ，0 ，u ( ) ) = ( d o ，0 0 ，u + ) ( i ) 如果( d o ，o o ) r ，那么( d o ，如，矿) 是( 4 1 ) 的征则点； ( i i ) 如果( 8 0 ，如) r ，d i m e ( 越( d o ，岛) ) ，+ d i m e ( ( d o ，岛； 是奇数，那么( d o ，氏，u + j 是氍。1 ； 相对于任意满足吖( o ) = ( d o ，o o ) ，盛抒( 地- d o ) ) o ，v p 昂( 一) n 越汹，如) ，瞒，o o ) ) 的简单 懿c 1 夔线7 鳇一令分支点。 第四节非常数正解蜘存在然 1 8 比沪黹，锄。篱，氏：巡鲤鼍巫型 定理4 _ 3 假设d 南，则存在正常数k k ( r l ，r 2 ，吼c ，8 ，d ，藏使