（数学专业论文）μ—bloch空间上的加权复合算子有界性与紧性.pdf

摘要 讨论了多圆柱一上p b z d 如空问( 小胪b f d 矾空间，小胪 b l o c h + 空间) 之间的加权复合算子，的有界性和紧性特征，得到 了以下结论：( 1 ) ，是少b z o 矾空间之间的有界算子或紧算子之充 要条件；( 2 ) 巧，是小妒b z d 执空间之间的有界算子或紧算子之充要 条件；( 3 ) 巧是小# - b l o c h 空间之间的有界算子或紧算子之充要 条件。 关键词：# - b l o c h 空间，小“b l o c h 空间，p , - b l o c h + 空间，加权复合算 子，复合算子 a b s t r a c t t h eb o u n d n e s sa n dc o m p a c t n e s so fw e i g h e dc o m p o s i t i o no p e r a t o r ，pi n p - b l o c hs p a c e ( 1 i t t l ep - b l o c hs p a c e ，l i t t l ep - b l o c h * s p a c e ) o nt h eu n i tp o l i d i s k i n 伊i sd i s c u s s e d as u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h eb o u n d n e s sa n d c o m p a c m e s so f 弓pi nt h ep b l o c hs p a c e ( 1 i t t l ep - b i o t as p a c e ，l i t t l ep - b l o c ) z * s p a c e ) o nt h eu n i tp o l i d i s ki n 伊i sd e r i v e d k e y w o r d s ：p b l o c hs p a c e ，l i t t l ep b l o c h s p a c e ，p b l o c h + s p a c e ，w e i g h e d c o m p o s i t i o no p e r a t o r ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后 致谢 首先向我尊敬的导师刘太顺教授表示由衷的谢意。在与他 相处的几年中，刘老师从学术到人格，都给了我无私的教导。 他的治学风格之严谨，探讨学术之热情，将使我在今后的工作 和学习中受益。刘老师对学生研究兴趣的支持，使我深深感激 于心。正是因为刘老师的指导和支持，我得以顺利的完成这篇文章。 同时，在这里要感谢卢金、王雄亮、王建飞、徐庆华等师兄 弟在学习上给我的帮助。在讨论数学问题的过程中，我们互相启 发，互相帮助，共同取得了很大的进步。 在这里还要感谢数学系的各位领导和老师，感谢张韵华和黄 稚新老师在学习生活上的关心和帮助。感谢史济怀老师对我的鼓 励；感谢任广斌老师、罗罗老师在论文写作过程中对我的指引 这些老师和同学给予的关怀。将给我留下难忘的回忆。还有和 我度过三年宝贵时光的所有同学，我在这里向你们致敬，谢谢你们! 最后感谢我的父母和家人我得以有今日的发展，和他们的 默默关怀和背后的支持是分不开的。他们是我的动力源泉。 1 1 背景 第一章内容概要 多复变数全纯函数空间上的复合算子以及乘子的研究，是近几十年来多 复变数研究中比较热门的一个领域。而在本文中讨论的加权复合算予，是复 合算子和乘子的结合，其结果可以应用到复合算子和乘子的讨论中去。本文 主要讨论的是加权复合算子的有界性和紧性 对于b l o c h 空间上的复合算子，在单位圆盘d 的情形 m a d i g 柚与m a 吐圮s o n 在 【2 】中讨论了b z d 曲空间上的复合算子的有界性与紧性。以此为基础，o h n o 和z h a o 在 【4 】中讨论了加权复合算子在b ( d ) 与b o ( d ) 上的有界性和紧性 对于多圆柱上的p b l o c h 空问，周泽华，魏中齐在【6 】中，对u ( r ) = 1 一 r 2 的状况，刻画了其上加权复合算子的有界性和紧性。徐辉明在【3 仲对u ( r ) = ( 1 一r 心p 0 的状况刻划了其上加权复合算子的有界性和紧性而胡璋剑 在【l 】中对任意正规权函数p 刻划了其上复合算子的有界性与紧性 而张学军，诸玉明在【5 】中，对多圆柱上p ( r ) = ( 1 一r ) p ，p o 的状况，对 其上点乘子的性质进行了刻画。 本文对单位多圆柱上的p b l o c h 空间吼( d n ) 和玩( d n ) 之间的加权复 合算子进行了详细而全面的讨论( 其中p 是正规权函数) ，得到了一系列系统 而完整的结果，给出了在不同的弘一b l o c h 空间。小肛一b l o e h 空间，以及 小p b l o e h 空间之问，加权复合算子孔。，有界的充分必要条件( 详见第三 章) ，同时给出了在这些空间下，加权复合算子，为紧算子的充分必要条件， 并且发现，随着原函数空间点0 ( d ，。) 中p 的不同，能够得出不同的结论( 详见第 四章) 本文推广或改进了单位圆盘( 【2 】，【4 】) ，和单位多圆柱上( 【6 】，【3 】，【l 】，【5 】) 的已知结论，并使许多已知结果在形式上达到统一因此。本文的结果可作为 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第2 页 第一章内容概要 这一方向已有研究结果的总结和相对最深入的拓广 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第3 页 第一章内容概要 1 2 预备知识 设d ncc m 是n 维的单位多圆柱。o d 是p 的拓扑边界。 o * d “= d = ( z l ，勿，) ：i 钆i = 1 ，k = 1 ，n ) 为d “的特征边界 定义1 ( # - b l o c h 算子j 给定【o ，1 ) 上的非负函数“设，h ( d “) 定义 慨= i f ( o s u p 。e z e d 例删) i 苗i ， ”一 ”巧 若i 凰 0 ，a 。，如，”d i 彘氲( 牡，训晶 5 跚i 毫氲“圳= iivgcuv)l i g c u v ) l 南晶 证明? i 羞g p ( 州) i = 赢赢 “l 乱口， l o ，1 ) ，由引理j ，知j 6 ( 0 ，1 ) ，使得p ( r ) 在r 1 ) 上单调下降于d 设【o ，田上p ( r ) 的 考辄( u ) 与p 若删( 测小) 小”) ，即器l 筹， 瑶若伽【o 舭口糌芸由于m m 与具体的珥值无关故性质z 证 倒刍g o ，讹 d q ( “，面) c j 0 南出p 、o ， 矾掣：掣竽等窖 f 南如i f 南出i f 南出 右夸是在f d ，1 j 上定义的i i 的连续可微正值函数在l u l 。o 时取值趋于+ o o 且 当f 南 + o o 时，函数值可连续延拓到i u i ；1 上且取有限值；当 l 丽1 ；栅 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文第7 页 第二章引理 i “p 1 + g f _ 刖- 1 d r 0 。 川 一= i f 南出 l “i 1 + 躬f 。南出 0 丁一 f 南出 = 垡掣：掣1 t i f 赤出+ 。曩南出岛+ 二赤如 d 知函数值也可连续延拓到= 1 上且取有限值c i 训21 这样兰；垂赶柳肚必可瞩肛蝴a f 南出 掣孤 f 南出 仰，仰两式从瓯的表达式中容易看出 绷幻。，讹, r ed , i 搿l d i 黜i = 筹篙 絮竺墨引理 中国科学技术大学硕士学位论文第8 页 若f 。g ( 。) 疵 + o o ，则易知原式有界；若f 。g ( t ) d t 2 ，则由引理2 ，知 i 糨p i 竺掣。 i 糨卜一d 1 + ，g ( 。) 出g + gf 05 1 2 南出 ， 敌性质维毕 引理4 设，b ( 伊) ，刚有l ，( z ) i g 0 州且瓯( 。) ，v z z p 证明? i ( 。) l f ，( 0 ) ；f 羞，似) a t l i f ( o ) l + 妻细鬈帕 i ，( o ) f + 彭揣删钏i 瓦o f 、t z 眦 i i f l i b 圳b 叠? 揣 i i l l 耳( 1 + 壹e 瓯( 句，弓) ) g 8 州口。g 。j ( z = ) 1 引酗设南d t _ 删虮跏c 训时 , 枷l i r a 伊黜= 。 证明：类似于【3 l ，+ 1 - 理4 1 3 引理6 若，南d r o o ， 厶) 是吼( 上弘) 中的有界序列，且在沙中内闭一致 收敛于0 ，则有 f l i ms u pi ，m ( z ) i = o ； 伪竹【0 1 ) ，j = 1 ， 有舰。跚) 瞬o ) i = o m - d “( o ，) j 证明? 类似于【3 】，引理4 1 4 第三章 加权复合算子而，妒在吼( d n ) _ b ( d n ) 上有 界之充要条件 在本节里我们考察算子，p 的有界性，主要有以下3 个定理 定璎! 尘曼日( d ”) 一日( d ”d “) ，则乃舻：耳( d n ) 一鼠( 伊) 为有界算子 的充兽觥是以下两条件同时成立： ( i ) 。s u d ，l p 似p ( 乃) i 考( z ) l q ( 妒( z ) ) 。； ( ) z 8 u p e d n j , k f f i 。揣i 甏( 。) 荆i 0 ，v 毛t ，d “，p ( z k ) l d k 丘0 ) i q 口j 彤p ，厶0 ) = o ； 俐厶( 妒( 叫) ) = 0 ； ( 5 ) 3 0 o ，v w d n ，l d k 凡( 妒( 叫) ) p ( 吼( 叫) ) i a 则由fj j f 2 ) 得知 0 厶0 风= i 丸( o ) i + s u pp ( z ) l d k 厶( 2 ) l a 謦 凡：伽s = d = ：) 是里( d ”) 中的有哥集，由于弓，有界故 ，p 厶：伽d t 。 是风( 工p ) 中的有界集，则，d ”，有 口i i t , p 厶0 岛 钏( o ) 舭( 0 ) ) | + s u p z e d n 妻俐亟鳝o z 型j = 眇( o ) 厶( i p ( o ) ) i +一( 勺) 户! 生；! ! 旦( z ) j = 船喜俐m 圳j 煎铲i _ i 黝腆) ) i ) 骞删删l 篓似酬箐( 酬 嘻揣篱c 训 在上式中对叫上) t i 取上确j 艮得 嚣蒜盎m 埘当( 训a 再由拍任意性，得知 船暑揣l 筹唰一 成立现对v t l ，d ，l ，知= 1 ，2 ，n 构造符合条件r j j 例的函数厶( z ) 如下? 固定r ( o ，1 ) ，设“= 讯( w ) 2 年中国科学技术大学硕士学位论文第l页_007 l 第三章加权复合算子孔，在b 。( d “) 一日，( d n ) 上有界之充要条件 丘( z ) = 当u = 0 时 i 吐l t ，g ( v ) d v ，当o i t i r 时， m 2 喾。z r 夕( 口) 幽，当i t i r 时 掣机 当t = o 时容易检验其符合( 1 ) 一( 5 ) 而t 0 s f t g 征如 f ： m 2 ，夕( ) 幽 r 剀t i r 时，厶( o ) = o ；当l u l r 时，i l ( o ) l = 哥 设踹如) = m 删肿) i 箐m 剐成立 但j v z ，叫伊，当m 1 1 r 时， i d 厶( z ) p ( 钆) i 邓( 洲攀训譬铲i , 。, i _ 3 9 ( 譬硎 年( ) 9 ( 1 缸i ) + t t ( z k b ( 1 u 2 2 4 ) = z 齑( 1 u 硌1 2 胁珈+ 茄肘钏鲥蚓) g ： 当i u i r 时， l z ) 厶0 ) 卢( 缸) i = p ( 乱) b ( 钆面) i g ( z d g ( i z k l ) c 1 3 1 ( 4 l 易b 蛰证 伪? 当i 缸i r 时， i d i 厶( 妒) p ( | p k ( 伽) ) i 邓( 刮譬州呐i i 酬钍) 州蚋i 川2 者踹州u 1 3 ) 州呐i m 2 0 1 2 0 0 7 年中国辩学技术大学硕士学位论文 第1 2 页 第三章加权复合算子珏，在巩( d n ) 一毋( d “) 上有界之充要条件 当l l r 时，有 j d 厶( 1 p ( 加) ) p ( 妒k ( ”) ) i 邓( u ) 鲥舻i ) = 着黔川砰i ) 州砰i ) 岛 这样，我们证明了( i ) 成立下证( i ) ： v w ，固定 1 ，2 ，n ，定义 眦，= 景器基， 则有| 厶( 0 ) | 。瓦石忑景云丽1 与比d “ p ( 塾) i 仇厶( z ) i 。l 否i 恙： ：；i ：嬖粽l l ；石c t c ，l 。c i 魂石c 叫，i ，p c z - ， “ 故| j 厶0 风1 + d 又凡 ) ) = g p ( ) ) ，更, l v w 伊，有 c 8 ，凡l i 毋 p ( 叼) i 易似，。曲( 伽) i ( t c ) i i ，( 妒( 叫) ) d ，妒( t t ，) i 一乏二p ( 嘶) l 妒( ”) | | d ，( 妒( 伽) ) j i p ，似( 叫) p ( 嘶) l d j 妒( ”) i 瓯( i p t ( t t ，) ) 一g 喜轰篑盎功咖 由( i i ) 知， 一( 嘶) i 马砂( 叫) i 魏( 妒* ( 伽) ，瓦( t t ，) ) a 从而由蛐任蠢巨知( i ) 也成立 _ 2 9 0 7 年史国科学技术大学硕士学位论文 第1 3 页 弟三章加权复合算子鱼，。在( d ”) 一毋( d ”) 上有界之充要条件 定理拿尘善黟( 少) ，妒只( 伊，研) ，则舻：耳，o ( m ”) 一如o ( 扩) 为有界算 子的充要条件是以下三条件同时成立： ( i ) s u p 。倒俐挚删 o o ； 似) 船嘉端l 甏俐 0 ，| 多项式吼，使得 l i ，一g 晦云 由f i 纵耳。卯b u , o ( d ”) ，故j 多项式啊使得 8 ，p g h l l b 2 因此 i i ，p ，一危0 日；8 巧。p ( ，一g ) i i b i + i i 耳，p g 一九l f b ； 已 故巧，p ，b 如( d ”) 再证明必要性 设，p ：吼。0 一b 知有界，则由于v 多重指标a ，矿b v , o ( d “) ，而定理j 中使用 的测试函数都是日( 历i ) 中无故也是五0 ，o ( d ”) 的元类似定理j ，可推出( ) ，0 t ) 定理3 妒日( d ，i ) ，妒日( d ，l ，d ”) ，则舻：耳咿( d ”) 一b , o ( d ) j b l 6 2 b l o o t 年中国辩学技术大学硕士学位论文 第1 4 页 弟三章加权复合算子，在口。( d “) 一鼠( d “) 上有界之充要条件 算子的充要条件是以下三条件同时成立： 怒骞俐秘川删 o o ； 似) 器喜煮南i 甏( 啪( 圳 叩，v k 1 ，2 ，佗) 时，有 p ( ) l 易化) j 叩l ，v 凫t l ，2 ，n 时， 若“动眇。粉侬。) i r n a z ( r t ，吼) 时，考察i 饥( 2 ) l 的取值若i ( 。) l 耽则 厶= 骞俐北) 功咖川洲俐i 丽而i l f l 丽l 邬 若l 慨( z ) i 弘则 厶= 骞未胁慨地脶肌班础 其中考虑每4 - t = l ，2 ，y l 若i 竹( z ) i r l , i , r 1 = i 竹( ：) i ；若l 竹0 ) i 协记巧= 字 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 第1 5 页 第三章加权复合算子，在b 二( d “) 一l 乙( d “l 上有界之充要条件 4 - d ”( o ，r ) = d ( o ，r 1 ) d ( o ，r 2 ) d ( o ，) ) ，i i i d k f 在d ”( o ，r ) 上全 纯雇面i 丽e 连续 故 p ( 似( 圳仇，( 妒( z ) ) | 。m 。伊a 伊x p ( 1 w k l ) i d d c w ) l e l m 。如厶2 o ； 而对于以若f 南d r o o ，则忱d ，瓦j = 1 ，2 ，l ， l u l 21 色( u ，- ) ( - + 9 ( z ) 咖) + g 赤d r d a k 而v z 伊，q ( z ) = i g p ( 句，乃) i a 又由于妒b 矿( d ”) ，故 j = t 捌l i m 伊j ( 。) 0 ，j 紧集彤cd 一若妒( z ) d “j t 则 嬲 啦，则z ，( 刁) i d ，( 2 ) ) i g c k ，而若妒( z ) 时又有 j g ( ) i 功妒( z ) i e 若妒( z ) g e 则，砑畿锑 0 ，| ，7 ( 0 ，1 ) ，使得当d 武0 ( 2 ) ，o d ) 7 时，i g ( z ) l 0 ，却( 0 ，1 ) ，使得当1 一慨( 。) i 叩时i g c z ) l 厶则称 i 溉1 9 ( 。) = o 1 4 1 f 南d r 0 ，却( 0 ，1 ) ，当i ( z ) l ，7 时，有 壹友易嘶)iem,jffil 厶p ( 妒k ( z ) ) 、。7 。、。” 而 p ( ( # ) ) i d k ，m ( 妒( z ) ) l 0 厶i i 且坛 故以 1 一百軎币，这样当价一 o o 盹。 1 i 1 2 i 删 ( 1 一嘉) 卅2 _ 1 ， f p i i ”2 _ 1 不妨设l 卅1 i 1 ，v m n 只需构造出一全纯函数列 厶) 满足： f 即 ，m ) 在玩( d “) 上有和 f 2 j ，m 在沙上内闭一致收敛于0 ； 例当m 一时0 ，m 0 毋一0 司磊钆 i m ，韶。 厶( 加去鲋) 班一面际1荆出 i 。p 枷m l ”+ 2 则 i i 。 i l p i - r ” l 南鲋肌南弘砒 考察函数b 0 ) = 嘉_ rg ( t ) d t , 易知 r ( 茹) c c ( o ，l 】) ，且鲰晶扛) = o 故 | g 0 ，r ( 茹) g 更l j i 厶( 0 ) i f l ( i ) + 矗+ l ( i ) g 2 0 0 7 年中国科学技术大学硕士学位论文 第2 0 页 第四章加权复合算子，。在且二f d “) 一毋( d “! 上紧之充要条件 而 因此r j ，成立 s u pi d k 厶( z ) i p ( 张) ：e d “ = s u pp ( ) 旧( i 际z k ) 一g ( 1 w , , , l - 砺z k ) 钆d s u p p ( 磊) 2 g ( i z k l ) z k e d a v r ( o ，1 ) v z 【o r j ( z ) i i 去i fg c t ) 出一去i f g ( 2 i + f 去fg ( 懈一丽碡f g ( 力别+ ( o ) l ，m ( o ) i + i z k l ( 1 一l p ) + ( 赤一1 ) 鼢g ( “) 0 ， 而。峨i ，仇( o ) i = o ，从而r 劲成立而 0 一，m 0 毋 s u p ，( 勺) i 易( 妒厶。妒) ( 。) j z e d 亲嗓p ( ) i 岛妒0 似) ，m ( i p 0 ) ) + 妒( 。) d 女厶( 妒0 ) ) b 饥0 仇) i = ，巢器p ( 妒) i 妒( z 仲) d k 厶( 妒( 。”) ) 岛仇( z m ) = _ ! i 生肛( 饥( z ( m ) ) i d k 厶( 妒0 胁) ) i 石i ：害m 名) b m ( 。) i 毒嗓p ( 依( z m ) ) 慨，m ( p ( z 如) ) i 2 舰p ( ) 圳1 2 ) 一9 ( i i 删) i 热 爱器州以) 州n 一t 甄及高每“m ) 甜2 州l 卅2 ) ) g 一0 = d 从而例成立，定理得证 推论j 复合算子c ；= 噩，p 为紧算子的充要条件是 v 后= 1 ，2 ， ，p 风( d 帕) ，且 j i m ，。善友篆裔i 易删f o ( ：) l 一，1 一p 【i p ( 2 ) ) 。 定理5 设妒日( j d “，i 竹) ，妒日( d “) ，且，南d r + o o ，则p 是b ，o ( 。) 一 b 。o ( d 4 ) 的紧算予的充要务件是以下2 奈件同时成立? j 觑。看黼v ( z l j 钏) i 妒( z ) 为嘶) ，七- l 2 ，嗡 ( i t ) v 多重指标口，妒矿e o ( 伊) 证明：先证明充分性? 由定墨钥备似r 卅得知，p 是耳( d n ) 一b y ( 一) 的紧算子，故必有界因 此只需证明v ，t o ( d “) ，耳舻，b y , o ( d n ) 该结论可由定理2 的证法得知 再证明妊要性： 若巧，零& o ( 叼) 一& ? ( 伊) 的紧算子，则又由于沌= ( 口2 ，口忭) ， 矿吼t 0 ( d ”) ，故而( z 8 ) = 妒妒4 正o ( d “) ，因此r “j 成立 耋鏖型塞星4 中构造的厶( 力日( 西- ) c 昂。o ( 沙) 直接引用定理彳中蓥要性的 证明即可证似 一 定理石设妒( 伊，扩) ，妒日( 伊) ，且f 南咖 + o o ，则是旷( 伊) 一 且妒( d ”) 的紧算子的充要条件是以下2 条件同时成立? l i r a + 。宴揣南嘶) f - 啪- l ，。，朋 ( i i ) 妒b 矗扩( d “) ，妒妒k b 0 ( d ”) ，南= l ，2 ，7 1 证明：先证明充分| 生： 宴定理4 和似f f f j 皇妒是耳( c 严) 一上o ( d “) 的紧算子故只需证明v f 吼，0 ( d ”) ，均 有，p ，鼠伊( d “) 即可 由于南d r 0 0 ，故得知g p ( z ) 在d ，上有界由引理锵知l ，( 妒( z ) ) j 在d ”上 有界：因此 厶= ；土瓣p ( 乃) f 岛州m ( 删d ：蝻z ，( 。j ) i d j 妒c z ) i = o ( + ) 又垤 1 ，2 ，n ) ， 以2 萎( 凇( z ) 仇“l p ( 瑚b 似( 圳忖。耳善石舌籍知i 妒( z ) 岛( 饥( 纠f j 2 ，2 l 7 由l i ) i 知粤西以。0 从上式和f 叶知，p ，最伊( 1 ) 再证明必要性： 类似定理5 得证 5 4 2 7 南d r = + o o 条件下紧性的判定 定理7 设妒日( 沙，d “) ，妒h ( d “) ，且r 南d r = + o o ，则马一是b ( d “) 一 王b ( d n ) 的紧算子的充要条件是以下? 务件同时成立? ( 订，( 震孙善俐争( 力m 烈力) ；0 ) ，。艘驴喜轰m 。) 筹( 圳：o ； ( i i i ) 妒玩( d ”) ，妒饥玩( d ”) ，七= 1 ，2 ，n 证明：先证明充分性 若f i ) ， 傅i ) 成立，则由定理j ，知p 是有界算子由引理4 之结论我堡 任蔷珏蔷 ，仇 cb ( 伊) ，i ) f l l 耳d 且在伊中 厶) 内- - 燃5 - 0 ，只 须证此时0 马，m 慨一o f p - f f 由于 怖剧护忡眦( 0 ) ) i + 躲言俐哗岳型i m ，：粤bl 妒( o ) ，m ( 妒( 0 ) ) j = o ， 妻扩( 圳亟壤掣l - 0 ，j 紧集kc 工，i ， 当“2 ) d ”k 时， 而 n j c l l f , 。l l a , ( 刁) i 马妒( 。) i q ( 妒( z ) ) s ， = 1 蚓i 耳塞蒜马删 当妒( 力拿簟时，由f 鲫知妒b y ( d ，。) ，又 ，m 在d r 呻内闭一致收敛于d 因 此当m 足够大时， j 搿l 厶( z ) i i i 币 i i b o ，y m n ，0 ，m 0 凡 o ，使 壹划m ) l b 砂o ) f q ( 妒p ( 仇) ) ) 已 j = l 则由于瓯( 妒( 加) ) = 耋瓯( 州z ) ，石忑而i ) ，必 o ，七 1 2 ，咄使 得 ( 之) i 岛砂p 呻) i 氲( p 呻) ，石瓦；5 劢 邱o ) 当d = ，! 骢( 矿) j 岛妒p ) i 0 ， 这与瓦，是紧算子矛盾，证毕 类似的，对于小p b z d 曲空间与小p b l o c h 空间，我们有以下2 个定理 定理占设妒日( d ”，d ”) ，妒日( d r 。) ，