（概率论与数理统计专业论文）几类离散风险模型的研究.pdf

摘要 完全离散的经典风险模型已经得到了广泛的研究，然而由于它的 局限性，很多学者对其进行了多种形式的推广，本文在已有结论的基 础上，从不同的角度对以下几类离散时间风险模型进行讨论。 ( 一) 离散时间单险种风险模型。论文第三章讨论了两类特殊的 离散时间单险种风险模型。首先，考虑到保险公司在实际经营中，不 同单位时间收取的保单数通常为一个随机变量，令保单收入过程与个 体索赔过程为相互独立的两个二项过程，即双二项风险模型；其次， 讨论多项分布风险模型，重点研究了三项分布风险模型在任意初始盈 余下破产前一刻盈余为x 的概率f ( u ；x ) 和最终破产概率l i ， ) 的递推公 式，在此基础上，得到了最终破产概率甲 ) 的简洁递推公式，及其在 m a n a b 中的算法实现，在实例分析中，通过比较原递推算法与改进算 法所得的数据，论证了简化公式的有效性： ( - - ) 离散时间双险种风险模型。论文第四章讨论了此类风险模 型。首先，对经典的离散模型进行推广，用一般的点过程描述两个险 种的理赔次数，得到了最简单的双险种风险模型，对此模型在初始盈 余为时的生存概率和初始盈余为0 时的破产概率进行讨论：之后， 对保费收取和理赔次数进行进一步推广，讨论了一类广义双险种风险 模型，用鞅的方法证明了破产概率的一般表达式和l u n d b e r g 不等式， 并在特殊情形下得到了有限时间破产概率的上界估计； ( 三) 离散时间相关多险种风险模型。论文第五章详细讨论了此 类风险模型，给出了理赔次数分别为p o i s s o n 过程( p c s 模型) 和n b 过程( n b c c 模型) 时的数字特征表达式。在考虑含两个险种的风险 模型时，对p c s 模型和n b c c 模型分别从两方面进行讨论：( 1 ) 相 关性对保费的影响；( 2 ) 独立与相关风险过程的调节系数的比较，最 终反映出相关性对破产概率的影响，并用实例验证了结论的正确性。 关键词离散风险模型，破产概率，鞅方法，调节系数，递推公式， 保费计算原理 a b s t r a c t t h ec l a s s i c a lr i s km o d e li nf u l l yd i s c r e t es e t t i n gh a sb e e ns t u d i e d e x t e n s i v e l y h o w e v e r , b e c a u s e o fs o m e d e f e c t s ，m a n y s c h o l a r s g e n e r a l i z e di tf r o mv a r i o u sa s p e c t s b a s e do nt h ee x i s t e n tc o n c l u s i o n s ，t h e t h e s i sd i s c u s s e ss e v e r a lk i n d so fd i s c r e t er i s km o d e l sf r o md i f f e r e n t v i e w p o i n t s ( 1 ) s i n g l e t y p er i s km o d e li nd i s c r e t es e t t i n g t w os p e c i a lt y p e so f t h i sm o d e la r ed i s c u s s e di nc h a p t e r3 f i r s t l y , c o n s i d e r i n gt h ea c t u a l o p e r a t i o no f t h ei n s u r a n c ec o m p a n y , d i f f e r e n tu n i to f t i m ef o r t h ep o l i c yi s u s u a l l yar a n d o mv a r i a b l e ，m a k i n gt h ea r r i v a lo ft e r mp o l i c i e sa n dt h e o c c u r r e n c eo fc l a i m st w oi n d e p e n d e n tb i n o m i a lp r o c e s s e s ，t h u st h e d o u b l eb i n o m i a lr i s km o d e li s o b t a i n e d s e c o n d l y , w e d i s c u s s m u l t i n o m i a ld i s t r i b u t i o nr i s km o d e l ，m a i n l ys t u d yt h er e c u r s i v ef o r m u l a o ft r i n o m i a ld i s t r i b u t i o nr i s km o d e lu n d e ra r b i t r a ls u r p l u s b a s e do nt h e m ， t h ei m p r o v e dr e c u r s i v ef o r m u l at ot h eu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t yi sd e d u c e d a n dt h ea l g o r i t h mi si m p l e m e n t e dw i t hm a t l a b i nc a s ea n a l y s i s t h e i m p r o v e dr e c u r s i v ef o r m u l ah a sb e e nv a l i d a t e db yc o m p a r i n gt h ed a t ao f t h et w oa l g o r i t h m so b t a i n e d ( 2 ) d o u b l e - t y p er i s k m o d e li nd i s c r e t e s e t t i n g t h i s m o d e li s d i s c u s s e di nc h a p t e r4 a tt h eb e g i n n i n g ，g e n e r a l i z et h ec l a s s i c a lr i s k m o d e l ，u s i n gg e n e r a lp o i n tp r o c e s st od e s c r i b et h et w oc l a i mn u m b e r p r o c e s s e s i t i st h e s i m p l e s td o u b l e t y p e r i s km o d e l t h es u r v i v a l p r o b a b i l i t yf o ra r b i t r a ls u r p l u sua n dt h er u i np r o b a b i l i t yf o rs u r p l u su = 0 h a v eb e e nd i s c u s s e d a d d i t i o n a l l y , w eg i v et h ep r e m i u mi n c o m ea n dt h e c l a i mn u m b e rf u r t h e rg e n e r a l i z a t i o n h e n c et h eg e n e r a l i z e dd o u b l e - t y p e r i s km o d e li sg o t t h ef o r m u l a so ft h eu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t ya n d l u n d b e r gi n e q u a l i t ya r eo b t a i n e db yt h eu s eo fm a r t i n g a l e i nas p e c i a l s i t u a t i o n ，w eg i v eu p p e rb o u n d so f t h ef i n k e t i m er u i np r o b a b i l i t y ( 3 ) t h ed i s c r e t et i m ec o r r e l a t e dm u l t i - t y p er i s km o d e l w es t u d yt h i s m o d e li nc h a p t e r5 t h em o d e l sw h e r et h ec l a i mn u m b e rd i s t r i b u t i o n s s a t i s f yp o i s s o np r o c e s s ( p c sm o d e l ) a n dn bp r o c e s s ( n a c cm o d e l ) a r e d i s c u s s e de x p l i c i t l y , a n dt h ec o r r e s p o n d i n gc h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o n so f a g g r e g a t ec l a i m sa r eg i v e nu n d e rt h et w om o d e l s c o n s i d e r e dt h er i s k p r o c e s s e sw i t ht w oc l a s s e so fb u s i n e s s ，p c sm o d e la n dn b c cm o d e la r e d i s c u s s e df r o mt w oa s p e c t s ：( 1 ) t h ei m p a c to f t h ed e p e n d e n c er e l a t i o no n c a l c u l a t i o no ft h ep r e m i u m ；( 2 ) c o m p a r i n gt h el u n d b e r ge x p o n e n t sf o r i n d e p e n d e n c em o d e la n dd e p e n d e n c em o d e l ，f i n a l l yi tr e f l e c t st h ei m p a c t o ft h ed e p e n d e n c er e l a t i o no nt h er u i np r o b a b i l i t i e s a n dc o n f i r mt h e c o n c l u s i o na c c u r a c yw i t he x a m p l e k e yw o r d st h ed i s c r e t er i s km o d e l ，r u i np r o b a b i l i t y ，m a r t i n g a l e a p p r o a c h ，a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ，r e e u r s i v ef o r m u l a ，p r i n c i p l eo f p r e m i u m c a l c u l a t i o n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南 大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的同志对本 研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：垒壑歪! 三日期：塑堑年! ! 月兰日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校可根 据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：! 墨坌3 三 导师签名主# 翌日期：趟年上月堑日 硕士学位论文第一章绪论 1 1 风险理论简介 第一章绪论 风险理论是近代应用数学的一个重要分支，主要应用于金融、保险、证券 投资以及风险管理等方面，它借助概率论与随机过程理论来构造数学模型，描 述各种风险业务。 现已公认，风险理论的研究溯源于瑞典精算师f l i pl u n d b e r g 于1 9 0 3 年发 表的博士论文【i j ，至今已有近百年的历史。事实上，一类最重要的随机过程， 即p o i s s o n 过程，正是l u n d b e r g 首次在那篇论文里提出的。不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学严格标准。它的严格化是以h a r a l dc r a m e r 为首的瑞典 学派完成的【2 】 3 1 4 1 【5 】a 他们建立了风险理论与随机过程理论之间的联系。关于风 险理论系统的论述当推g e r b e r 和g r a n d e l l 。 近几十年来，随机过程的一般概念与结果在风险理论的地位不断提高，应 用随机过程的已有结果来研究风险理论的方法，不仅大大简化了一些经典结果 的证明，而且可以解决许多新问题，如平均破产时间、破产瞬间前后的盈余额 的分布、破产前最大盈余额的分布、引起破产的索赔额分布以及破产到恢复期 间的最大盈余额的分布等等。这些方法主要有鞅方法和更新方法，还有部分是 利用强马氏性，如1 6 】。 关于风险理论的研究，主要是破产理论的研究。破产理论主要应用在经营 稳定分析方面，是研究经营者的经营状况的理论和方法。一般地，我们可以用 以下随机过程来描述保险公司在时刻r 的盈余： u ( 0 = “+ r o ) 一s o ) ( i - 1 ) 其中，u ( u o ) 表示保险公司的初始资本； r ( f ) 表示( o ，t 】时间段内的总保费收入； s ( t ) 表示( o ，t 】时间段内的总索赔。 这里我们忽略了利率和其他除保费和索赔之外影响余额的随机因素。随着时间t 的变化，盈余可能在某一时刻为负，当首次出现这种情况时，我们说保险公司发 生了破产。当然，这里所说的破产并不是指保险公司要面l 临倒闭，这样做只是为 了数学上的处理方便而已。如果把财务上其它影响盈余的因素都考虑在内的话， 当保险公司出现微小赤字时，该公司仍能继续运转，盈余u ( f ) 仍然可能为正的或 者可能恢复为正的。 然而，我们所研究的破产概率p ( “) 仍是衡量一个保险公司或者所经营的某 硕士学位论文 第一章绪论 个险种的金融风险的极其重要的尺度，它可以为保险公司决策者提供一个早期 风险的警示手段，也可以为保险监管部门对保险公司偿付能力的监管提供依据。 因此，破产概率的研究对保险公司的经营和保险监管部门的监管都有着非常重 要的指导意义。 在我国保险公司的运作过程中，保费收入是主要收入来源，理赔则是主要 风险因素，保险公司最基本的经营目标就是提高它的偿付能力，确保稳定地运 作。因此，科学地预测保险公司未来的收入、可能发生的理赔额，以及估计保 险公司的破产概率等等都是十分重要的课题。 1 。2 经典风险模型的研究及其推广 1 2 1 经典风险模型 破产理论最早是从研究经典风险模型的破产概率开始的，模型如下： 令( q ，f ，p ) 表示一完备的概率空间，以下的随机过程( 变量) 均定义在该空 间之上。 _ “1 u ( f ) = u + c t - e z ， ( 1 2 ) t = l 其中，u ( t ) 表示保险公司在r 时刻的盈余，“0 为保险公司的初始资本，c 为 保费收入率，是一个常数。 u ( t ) ，t 0 ) 表示到时刻t 发生索赔的次数是强度 为五( 旯 0 ) 的齐次泊松过程，z 。是恒正的、独立同分布的随机变量序列，表 示第f 次的索赔量，期望为z = 研z 】= 广( 1 一f ( z ) ) 出 0 为相对安全负荷。 定义在某一瞬时，盈余过程取负值，称保险公司“破产”。令r 为保险公司 首次破产的时刻，简称破产时刻，即令 t = i n f ( t ：u ( t ) 0 ，则丁= ) 定义保险公司的最终破产概率( 简称破产概率) ( 甜) = p r ( t 。l u ( o ) = ”) v “0 显然，破产概率可作为评价保险公司偿付能力的一个数量指标。 2 硕士学位论文第一章绪论 关于破产概翠，主要有以f 结果： ( i ) 少( o ) = 击； ，! l ( i i ) y ( 甜) 2r 苦8 “引( z l 服从指数分布) 令矗( ，) = r 口”d f ( z ) 一1 ，则有： ( i i i ) c r a m e r - l u n d b e r g 逼近： 。1 ，i m + c oe “( 甜) = 志n _ 甩ij 一 ( i v ) l u n d b e r g 不等式。 i 】f ，( “) e “” 其中，r 为矗( r ) = _ c r 的正解，称为调节系数。 为了更加精确地描述“破产”的严重程度，g e r b e r 掣7 1 引入了函数 g ( u ，y ) = p “i u ( 丁) l ) ，t o o u ( o ) = “) ( 1 - 3 、 其中i u i 表示破产时的赤字，g ( “，) ，) 描述了破产赤字的分布。g e r b e r 等m 给出了g ( “，y ) 满足的积分方程。随后d u f r e s n e 和g e r b e r i s 又引入了函数 f ( u ，x ) = p r ( u ( t 一) x ，t 0 ) 称为一个计数过程，若n ( t ) 表示到时刻，为 止已发生的“事件”总数。显然n ( t ) 满足： ( 1 ) n ( t ) 0 ； ( 2 ) ( f ) 取非负整数值； ( 3 ) n ( o 的样本函数为右连续单调不减的阶梯函数。 定义2 2 计数过程 o ) ；r 0 ) 称为齐次p o i s s o n 过程，如果它满足以下几 个条件： ( 1 ) p ( ( o ) = o ) = l ： ( 2 ) 对于任何， s 0 ，增量m ，= ( f ) 一n ( s ) 有参数为z o s ) 的p o i s s o n 分布，即对_ j = o ，1 ，2 ，有 p ( m ，r - ) ：旦芝盟。叫川 k ： 这里五0 为常数，称作过程的强度： ( 3 ) 具有独立增量。 在以上定义中，条件( 1 ) 是对过程初始状态的规定，并不是实质性的限制。 条件( 2 ) 蕴含过程具有平稳增量，即f ，只依赖于参数t s 而与s ，t 的具体值无 关。条件( 3 ) 表示过程是无后效的，即对任意正整数打和任意实数 0 f 2 o 没有重点，即 尸 ( ，) = o o r l ，f o r e v e r yt o ) = l 满足上式的点过程称为几乎处处有序的。 若瓦表示第 点的发生时间，记鼠= 瓦一l 一，并且令矗= 0 ，则序列 s ，”= 1 ，2 ) 表示点过程的点间间距序列。对此，有以下重要定理： 定理2 4 计数过程 ( f ) ；f 0 是具有强度为旯的齐次p o i s s o n 过程的充要 9 硕士学位论文 第二章预备知识 条件是它的点间间距 最 是相互独立的均值为圭的指数分布随机变量序列。 2 2 随机和 设置，五，以是独立同分布的随机变量，并且有相同的分布函数f ( x ) 和 矩母函数m ( r ) = e e “】= f p “d f ( x ) 。它们和的分布是f “，其中f “在本文中表 示f 的n 重卷积，( m ( ，) ) ”是它们和的矩母函数。 设为取非负整数值的随机变量，记 州( ，) = 二p 以 ( 2 - 1 ) 其中只= p r n = ，l ，聍= o ，l ，2 ，所( r ) 是的矩母函数a 再假定 置，i = 1 ，2 ，) 与 也是相互独立的，并记 s = x 1 4 - x 2 + + xn(2-2) 约定当n = 0 时，s = 0 。以下称s 为随机和，并称为求和次数，而 z ，i = l ，2 ， 称为s 的加项。 s 的分布函数为： 乓( s ) = p r s s = e 【p r s s l n l = = i 。p r s j i = 以) a = 二，”( s ) 风 ( 2 - 3 ) 类似地，可得到矩母函数的表达式： m s ( r ) = e e ”】= e e e ”i 】= e ，( ，) ”】= r e ( 1 0 9 m ( r ) ) ( 2 - 4 ) 其中m 是由( 2 1 ) 定义的 r 的矩母函数。这样， 磁“( 1 。删砌豁 ( 2 - 5 ) 特别地，有必( o ) = m 。( o ) m ( o ) 也即 e s 】= e n e x 】 ( 2 6 ) 不难看出，( 2 6 ) 在保险理论中的意义：即索赔总额的期望值恰好等于索 赔次数的期望值与个体索赔额的期望值之乘积。 将( 2 5 ) 微分，并令r = 0 ，可得 m s ( o ) = m 。( 0 ) m ( o ) 2 + m 。( 0 ) m ( 0 ) - m ( o ) 2 ) 即有e s 2 1 = e n 2 】( e 【棚) 2 + e n v a r x 】 1 0 硕士学位论文第二章预备知识 最后，在上式两端减去( 2 6 ) 两端的平方，便得： v a r s = 附 】( e 】) 2 + e n v a r x 】 ( 2 7 ) ( 2 7 ) 表明，索赔总额的方差可分解为两个分量：第一个分量反映了索赔 次数是随机的，第二个分量则反映了个体索赔额是随机的。 当求和次数服从p o i s s o n 分布时，假设参数为五，这样由( 2 3 ) 知 r s ( 加二力争2 这便是著名的复合p o i s s o n 分布。 2 3 条件期望 概率空间记为( q ，f ，p ) ，g 是，的某一子仃代数，g c f 。善) 是满足 e 蚓 o o 的随机变量。 定义2 5 具有下列两性质的随机变量e ( 善l g ) 称为孝 ) 关于g 的条件数学期 望( 简称为数学期望) 。如果 ( 1 ) e ( 纠g ) 是g 的可测函数； ( 2 ) 对任意爿g 有： e ( 善i g ) p ( d c o ) 2 驴( 砌) a 定义2 6 设c f 为任意事件，则它的示性函数，即：i c ( 脚) = l ，如果国c ， 否则。( c o ) = c ，关于g 的条件期望称为c 关于g 的条件概率，记为p ( c g ) 。 p ( c i g ) 是满足下列条件的随机变量： ( 1 ) p ( c i g ) 为g 的可测函数； ( 2 ) 对任意a g 有：i p ( c i g ) p ( d a o = p ( a c ) 。 注：在本文中，如无特殊说明，所有l 表示示性函数，即：i c ( 国) = 1 ，如果 c ，否则i c ) = 0 。 条件期望的性质：以下等式、不等式或极限关系都是以概率l 成立的， 善，专，叩都是随机变量且e 蚓 e ( ，7 l g ) ； ( 3 ) i e ( 善l g ) l e ( f f i g ) ； ( 4 ) 设o 六个善，e 悟j ，则e ( 考i g ) 个e ( 善i g ) ： ( 5 ) 设毒_ f ，l 专l r ，e ，7 o o ，贝0 e ( 4 , i g ) 斗( 善l g ) ； ( 6 ) 如叮对g 可测，e 1 4 , 7 f m ，e l , 1 i o d ，则e ( f r l i g ) = 袒( f i g ) ； 硕士学位论文 第二章预备知识 ( 7 ) 如f 对g 可钡4 ，则e ( 孝l g ) ；f ： ( 8 ) 若善与g 独立，则e ( 手l g ) ；f ； ( 9 ) 如g 。c g ：c f ，则e 陋( 善l g ：) i g 。】= e ( 善l g 。) = e 陋( 孝l g ) i g ：】； ( 1 0 ) 陋( 善i g ) j - 霹。 在上述各性质中，取随机变量为事件的示性函数，就得到相应的条件概率 的性质。 一个常用记号，善关于盯4 瞰f x 。，t 的条件期望，e ( 善i f x ，t r ) 记 为e ( 善k ，t f ) 。 2 4 鞅 设( q ，只p ) 为一概率空间，( f ，f o ) 为一单调增的尸的子口一代数流， y = r ，f o ) 是任意的随机过程，令只7 = 盯( 1 ，j t ) ，则f7 = 盯( r ，t 0 ) ，则 f 7 是由过程j ，在时间 0 ，f 】段生成的盯一代数流，表示过程】，到时刻r 的历史。 如果对每个t 0 ，i | ：为f 一可测，那么过程y 成为f 一适应的，显然，r 是f 一适应的当且仅当对所有的t 0 ，f 只成立。 定义2 7 实值过程m = m ，o 称为，一鞅，如果满足： ( 1 ) 对于任意的，0 ，m ，为f 一可测； ( 2 ) 对于任意的，0 ，研i mi 】 - - 0 ， i = 1 ，2 ，k n = l 其中 i ( f ) ：f 0 ) 相互独立且是参数为旯，的齐次p o i s s o n 过程，对于同一个 f ， 圪) 为独立同分布的随机序列( 简称r ) ，其分布函数为最( y ) ，设其均值为k t , ， 则s ( ，) = s p ) ，o ，还是一个复合p o i s s o n 过程，设为 幽 s ( f ) = 互， f 2 0 k 其中( f ) 是参数为z = z 。的齐次p o i s s o n 过程，且五分布函数为 i = 1 1 # l 毛( z ) = 寺旯，( z ) ，均值为= 五，“。 t = l l t = l 2 6 二项随机序列 定义2 1 3 设z 是非负整数的集合，z + 为正整数的集合。设 n ； ( 聍) ，刀= 0 , 1 ，2 ，) 为定义在某概率空间( q ，f ，) 上的非负整数值随机序 列，如果满足以下条件： ( 1 ) 零初值：( o ) = 0 ； ( 2 ) 独立增量：0 丹i n 2 玎t ，疗，z + ，n ( n 1 ) ，n ( n 2 ) 一n ( n 1 ) ， n ( n i ) 一( 。) 是独立的随机变量； ( 3 ) 平稳增量：对l q 0 ，肼l ，n ( n + m ) 一n ( n ) 的分布与疗无关； ( 4 ) 二项分布：对胛0 ，埘l ，n ( n + m ) 一( n ) 有二项分布b ( m ，p ) ，其 中p ( o ，1 ) 。 硕士学位论文 第二章预备知识 称n = ( 珂) ，p l 0 ) 是具有参数p 的二项随机序列。 当p = 1 时，二项随机序列是决定的，因而是平凡的，记q = 1 一p 的非负随机变量，则随机 变量z u = 五+ 置+ + 耳( 当n = 0 时令z o = 0 ) 的概率母函数是 呸( s ) = 瓯【g ( s ) 】，这里g 。【】是的概率母函数。 1 4 硕士学位论文第三章离散时间单险种风险模型 第三章离散时间单险种风险模型 完全离散的经典风险模型的讨论己相当深入，得到了很多比较完善的结果。 但结合保险公司的实际运作情况，经典风险模型已不再适用，本章对其分别从 保单收取和理赔次数两方面进行推广，讨论了两类特殊的离散时间单险种风险 模型，得到了一些重要结论。 3 1 双二项风险模型 3 1 1 模型的建立与描述 模型的建立 假定在任意一个时间区间( 一1 ) ，胛】中，仅可能出现：1 或有一个客户投保， 或没有客户投保：2 或有一次索赔发生，或没有索赔发生。令= l 表示在该 区间内有一个客户投保，六= 0 表示没有客户投保；仉= 1 表示在该区间内有一 次索赔发生，玑= 0 表示无索赔发生。 ( 1 ) 六，n 0 ， 巩，h 0 分别为独立同分布的随机变量序列，且满足： p r ( 六= 1 ) = p l ，p r ( 六= 0 ) = q l = 1 一p 1 ，( o p 1 1 ) v r ( q 。= 1 ) = p 2 ，p r ( t 。= o ) = q 2 = 1 一p 2 ，( o 0 ，即c p 。 p 2 。定义相对安 全负荷系数为p ：堕一i 0 。 p 2 z 破产时刻：l = i n f n l ，u n 0 是下凹的，所以只要r 取足够大值，一阶导数将大于零，因此g ( r ) = 0 在 ( o ，m ) 存在唯一正解，记为r ，称之为调节系数。 定义3 3 对于随机过程器( 斤) ，聆= 1 , 2 ， 定义事件域f 5 = ( 巧， o ) ，其中 刀= 仃 s ( | | ) ，k 胛j 弓i 理3 4 缸知心孵。 是鞅，其中w 妒甓拼 定理3 5 在双二项风险模型 u ( 疗) ， o 下，设r 为调节系数，则最终破 产概率满足 d 一血 甲( “) = e e - r v r 二) it n 】p 晶( l 哟 = e 晶【e x p 埘砧+ s ( ”) 】) 瓦n p 岛( l 甩) + e 晶 e x p - r u + s ( n ) i l h 】尸厅( l 甩) 对上式两边取期望，并令疗一o 。得 e x p - r “) - l i m e e x p - r “+ s ( 训i l - n l p ( t 。 h ) 下证：l i m e i e x p - r u + s ( 哟】 i l n l e ( r 。 叻= o ，p 一口j j 1缈a 设l a ) = 称为集合a 的示性函数 1 0t t o 仨a 贝l j 0 - 川p ( 瓦 n ) = e e x p - r u + s ( ) 】 ，( 瓦 h ) 】1 又由强大数定理可得s ( n ) 斗o o ，p a 5 1 7 硕士学位论文 第三章离散时间单险种风险模型 因此由勒贝格控制收敛定理得 ! i m e e x p - r u + s ( - ) l r