（计算数学专业论文）多带小波滤波器的算法设计和性能分析.pdf

国 防 科 学 技 术 人 学 研 究 生 院 学 位 论 文 摘要 本文通过研究完全重构滤波器提升格式的一般形式，讨论了含参数双正交小波的构造 方法。特别地，适当选取参数，可以构造出与 c d f 9 - 7压缩性能相当的小波滤波器，同时 新小波具有系数简单，便于硬件实现的优点。文中对其在计算和压缩方面的优势进行了分 析。现有的提升格式作为小波变换的一种新型的运算方式，大大减少了小波变换过程的运 算量。但是，利用提升格式进行小波构造不是很有效。本文通过研究对称小波滤波器的提 升分解，给出了一种新型的提升格式。新型提升格式作为原提升格式的一个更一般形式， 部分克 服了上述缺点。文中给出了利用新型提升格式进行对称正交小波设计的例子。 m- 带小波和滤波器具有一些两带小波和滤波器所没有的优良 性质，可以更精确地对 信号 进行分析和处理， 因而成为目前小波理论和应用中研究的热点。目前， 关于 m 一 带正交 小波的构造方法主要有两种一种是基于多相矩阵格型分解然后限制消失矩条件的，它相 当于 求解个约束优化问题。另外一种通过对多相矩阵正交化实现。二者具有约束条件过 - 复杂或不能保证线性相位性质等缺点。本文将计算机代数中 g r o b n e 基与合冲模的理论 和算法引入到m一 带正交小波的设计中， 提出了一种具有任意阶消失矩的对称正交小波设计 的 一 般算法，克服了己有算法的缺陷。 并且， 利用该算法可以构造出含有参数的m一 带对称 正交小波。因此，在实际应用中可以适当选取参数，以满足不同的要求。 关键词:小波、滤波器、提升格式、g r o b n e r 基、合冲模 第 i 页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 a b s t r a c t t h e c o n s t r u c t i o n o f b i o r t h o g o n a l w a v e l e t f i l t e r b a n k s c o n t a i n i n g p a r a m e t e r a r e d i s c u s s e d b y d e v e l o p i n g t h e c o m m o n f r a m e w i th l i f t i n g s c h e m e o f t h e p e r f e c t r e c o n s t r u c t i o n f i t le r b a n k s , a n d t h e f a m o u s c d f 9 / 7 w a v e l e t i s t h e n a c h i e v e d b y c h o o s i n g a p a r t i c u l a r p a r a m e t e r . i n i m a g e c o m p r e s s io n a p p l i c a t i o n , n e w w a v e l e t s w i t h s im p l e i n t e g e r c o e f f i c i e n t s a n d c o m p a r a b le p r o p e rt y t o c d f 9 / 7 w a v e l e t a r e e a s i l y o b t a i n e d b y p r o p e r p a r a m e t e r s . t h e a b o v e w a v e l e t c a n a l s o b e e a s i l y i m p l e m e n t e d i n h a r d w a r e c i r c u m s t a n c e . t h e s u p e r i o r i t y w i t h s i m p l e c o e f f i c i e n t s w a v e l e t i s a n a l y z e d f r o m t h e v i e w p o i n t c o n t a i n in g c o m p u t i n g a n d i m a g e c o m p r e s s i o n . a s a n e w c o m p u t a t i o n a l p r o c e s s , k n o w n l i f t i n g s c h e m e c a n b e u s e d t o d e c r e a s e t h e c o m p l e x i t y , b u t i t c a n n o t b e u s e d t o c o n s t r u c t w a v e l e t s e ff i c i e n t l y . i n t h i s p a p e r , w e p r e s e n t e d a n e w k i n d o f l i f t in g s c h e m e , w h ic h i s o b t a i n e d b y f a c t o r i n g s y m m e t r ic o r t h o g o n a l w a v e l e t i n t o l i f t in g s t e p s , t h e w e a k n e s s m e n t i o n e d a b o v e i s p a r t l y o v e r c a m e , a n d s o m e e x a m p le s a r e g i v e n t o i l l u s t r a t e i t b e c a u s e m- b a n d w a v e l e t s a n d f i l t e r b a n k s h a v e s o m e u n p a r a l l e l e d p r o p e r t y a s t w o - b a n d o n e s , i t c a n a n a l y z e a n d p r o c e s s t h e s i g n a l m o r e p r e c i s e ly . s o , i t h a s b e e n a h o t s p o t i n r e s e a r c h o f w a v e le t s t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n . a t p r e s e n t , t h e r e a r e t w o m a i n m e t h o d s i n t h e c o n s t r u c t i o n o f 4 - b a n d o r t h o g o n a l w a v e l e t s . t h e f i r s t m e t h o d i s b a s e d o n la t t i c e s t r u c t u r e a n d c o n s t r a i n t o f r e g u l a r i t y , w h i c h i s r e a l i z e d b y s o l v i n g a c o n s t r a i n e d o p t i m i z a t i o n . t h e s e c o n d a p p r o a c h i s a c h ie v e d b y o rt h o g o n a l i z i n g t h e p o l y p h a s e m a t r i x o f m- b a n d w a v e l e t s s y s te m . b o t h o f t h e m h a v e t h e d e f e c t t h a t e i t h e r t h e c o n s t r a i n t s a r e t o o c o m p l i c a t e d o r t h e p r o c e s s n o t t o k e e p t h e l i n e a r p h a s e p r o p e rt y . i n t h i s p a p e r , w e p r e s e n t a m e t h o d t o d e s i g n s y m m e t r i c o r t h o g o n a l m- b a n d w a v e l e t s w i t h a r b i t r a r y r e g u l a r i t y b y u s i n g g r o b n e r b a s i s a n d s y z y g y m o d u l e a l g o r i t h m i n c o m p u t i n g a l g e b r a t o o rt h o g o n a l i z e t h e p o l y p h a s e m a t r i x . t h e d r a w b a c k s m e n t i o n e d a b o v e a r e a v o i d e d . s i m u l t a n e o u s l y , t h e p r e s e n t e d w a v e l e t f i lt e r s c o n t a i n s f r e e v a r ia b l e s w h e n t h e a s s o c i a t e d s c a l e f i l t e r c o e f f i c i e n t s i n v o l v e p a r a m e t e r s . s o , m- b a n d w a v e le t s w i t h f r e e v a r i a b l e s v i a p r a c t i c e r e q u i r e m e n t a r e a l s o d e v e l o p e d k e y w o r d s : w a v e l e t s , f i l t e r b a n k s , l i f t i n g s c h e m e , g r o b n e r b a s i s , s y z y g y m o d u l e 第 “页 独创性声明 本人声明 所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的 研究工作及取得 的研究成果。 尽我所知， 除了 文中 特别加以 标注和致谢的 地方外， 论文中 不包含 其 他人已 经发表和撰写过的 研究成 果， 也不 包含为 获得国防 科学技术大学 或其它 教育机构的学 位或证书而使用过的 材料。 与我一同工 作的同志对本研究 所做的 任 何贡献均已 在论文中 作了明确的说明并表示谢意. 学 位论文题目 : 多 带 小波 滤波 器的 算法 设计 和性能 分 析 学位论文作者签名:i v t 4 -日 期 : a 0 弓 年 11月硕日 学位论文版权使用授权书 本人完全了 解国防科学技术大学有关保留、 使用学位论文的规定。 本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子 文档， 允许论文 被查阅和借阅; 可以 将学 位论文的全部或部分内 容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、 缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论又. ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。 ) 学 位论文 题目 : 多带 小波滤波器的算法设计和 性能 分析 学 位 论 文 作 者 签 名 : 作t 作者指导教师签名: 日 期: 2 0 0 年 月s 日 日 期 : 、了 年 /o i h- 国 防 科 学 技 术 人 学 研 究 生 院 学 位 论 文 插图目录 6q八 名侣141922272931394041牡46 一一一一价一一一一 一一一 图 i一维信号的小波分解和重构过程. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 图2提升小波变换的分解过程， ， . . . . . . . . . _ . . _ 二 . ， 图 3提升小波变换的重构过程. . . . . . . . _ 二 ， _ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 图 4采用提升格式的h a a r 小波变换分解和重构过程. . . . . . . . . . 图 5 2 一 带9 / 7 双正交尺度滤波器 r - 0 .7 3 0 1 7 二和r - 3 / 4 时的比较 图 6 8 - 6 对称双正交小波的幅频响应. . ， .， . ， . ， . . . . . . . . . . . . . . . 图 7最大消减m- 带滤波器系统 二 、 ，. . 、 ， .， . 、 二 ， tt . . . . ， ， . ， . ， ， 图 8一阶格型系统结构. . . . . . . . . . . . ， . . . . . . . . . . . . ， ， ， . ， 二 图 9 l p p r正交多带f i r f b的格型分解 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 图 1 0 m- 带1 1=. 交滤波器系统的频率响应. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 图 1 1消失矩为 i 的3 带对称正交尺度滤波器的幅频响应.， 二 ， ， . . 图 1 2消失矩为2 的3 带对称正交尺度滤波器的幅频响应. ， 图 1 3消失矩为2 的4 带对称正交尺度滤波器的幅频响应. . ， . 图 1 4消失矩为2 的 8 带对称正交尺度滤波器的幅频响应 ， . 图 1 5消失矩为2的3 带对称正交小波系统的幅频响应 . . . . ， . . . . - - - . . . -. . -一. . . - . -. 一. 一-一. .-. 呻 第 a贡 国 防 科 学 技 术 人 学研 究 生 院 学 位 论 文 表格目录 衬6勺j勺c二 11， 表 i不同压缩方法下图像压缩客观质量p s n r ( d b )比较t . 表 2不同压缩方法下图像压缩客观质量p q s 比 较. . . . . 表 3实系数的l p f i r滤波器的类型和特征. ， . . . . . ， . . ， .， ， 表 4 m一 带l p p r f i r滤波器对称性和长 度. _ _ ， . ， ， _ _ _ - 一一. . 口 . . . . . . . . . . . ， . . . . 口 第 i i i 页 国 防 科 学 技 术 人学 研 究 生 院 学 位 论 文 第1 章 绪论 1 . 1前言 传统的信号分析是建立在傅立叶 ( f o u r i e r ) 变换基础之上的，但是傅立叶变换是 一 种 全局变换，无法同时表述信号的时频局部性质，而时频同时局部特征恰好是非平稳信号最 关键的性质。为了寻求使得同时时频信息局部化的变换方法，在上个世纪 8 0年代初，法 国地质工程师mo r le t 等人引入了小波变换的思想，并应用于石油地质勘探， 取得成功。8 0 年 代末 期 与9 0 年 代初期， g r o s s m a n , m e y e r , c o i f m a n 以 及d a u b e c h ie s t 1,z ,3 等 人建 立 起小 波分 析的 理论框架， 尤 其是d a u b e c h i e s 1 ,2 1对小波的构造成为在小 波发 展史 上具 有里 程碑的 贞 献。1 9 8 9 年m a l l a t 4 1 1 各 计算机视 觉中 的多 分辨率思想引入小 波理论中， 提出了 在小波分 析中的地位与f o u r i e : 分析中f f t的地位相同的ma l l a t 算法，从而使小波变换广泛应用于 信号处理的各个领域。 1 9 9 5 年， s w e l d e n s 5 .6 1 通过研究完全重构滤波器的相位矩阵分解， 利 用经典的e u c l i d e a n 算法， 提出了 基于提升格式 ( l i f t i n g s c h e m e ) 表示的小 波滤波器分解 算法， 运算量比ma l la t 算法减少3 0 左右， 并且适于硬件实现。 根据提升格式的小波分解， 可以设 计出具有无损表示信息的整数小波变换17 1 ，从而扩大了 现有小波变换的应用范围。 小波具有很好的低频能量集中的性质，但是对在中一 高频的少数频带具有大量信息的 信号 效果不好，而精心设计的 m一 带小波可以解决这个问题。另外，m一 带小波可以同时满 足线性相位 ( l p )和正交 ( p u )的性质，这是两带小波变换做不到的 ( h a r r 小波除外) 。 多分辨率思想的引入将滤波器和小波的设计紧密的联系在一起。 m一 带小波即是满足一定消 失 矩 条 件 的 一 类 特 殊 的m 一 带 滤 波 器。 1 9 8 7 年p . p . v a i d y a n a t h a n l8 9 将 多 相 位( p o ly p h a s e ) 分解的思想引入到滤波器设计中， 并系统地提出了m一 带正交滤波器组的理论， 取得了突破 性 进 展 。 随 后p .p . v a id y a n a t h a n 和t .q .n g u y e n 于1 9 9 3 年 c io 提出 了 线 性 相 位 完 全 重构m - 带 滤波器的格型分解算法。自 此， m一 带小波的设计逐渐热门起来。 1 9 9 3 年， p . n . h e l l e r . c . s . b u r r u s 等人将d a u b e c h i e s 关于两带正交小 波的设计算法推广到多带。1 9 9 5 年， c .k .c h u i 和j .l i a n l 设计出了3 一 带紧支撑对称和反对称的正交小波系统。1 9 9 8 年， b . h a n 1 1 3 对于4 - 带正交小波设计进行了详细的讨论。 2 0 0 1 年， 我国的水鹏朗、 保铮、 张贤达( 14 等人通过研 究对称插值方法给出了一种有效的m一 带正交尺度函数的设计方法。2 0 0 1 年， t . d . t r a n . t . q . n g u y e n is 等人 基于 格型分解给出了 消失 矩为1 和2 的m 一 带 对称正 交小 波的 优化设计算 1 . 2小波变换理论与应用面临的新课题 经过 1 0多年的研究发展，小波变换作为一种同时具有时频局部化特性的新型变换取 得了一系列丰硕的研究成果，并在模式识别、图像处理、图像压缩、 信息隐藏和图像去噪 等领域发挥重要作用。 但同时应看到，小波变换理论是一种新型的变换框架， 它与f o u r i e r 变换 一 个显著的区别就是其变换的多样性和灵活的选择性。不同的小波变换在不同的应用 中，性能指标经常显示出明显的差别。如何根据不同的实际问题，选择最合适的小波变换 一 直是信号分析中的难点和重点。另外，小波变换以其良好的能量集中性质在图像压缩中 明显优于其他变换， 而成为j p e g 2 0 0 0 标准的变换方案。 但是与d c t相比， 其计算过程复 州 . . . . . . . . 第 1页 国 防 科 学 技 术 人 学研 究 生 院 学 位 论 文 杂，运算量大，硬件实现成本高。 对于具有一定消失矩的多带正交小波的设计目 前主要有两种算法。 第一种 1 5 1 是从滤波 器角度上考虑，对正交多带滤波器的格型结构中的参数增加消失矩条件限制，然后求解一 个具有约束条件的优化问题。其缺点是随着消失矩的增高，参数的限制条件越来越复杂， 实际可 操作的 只能 达到两阶。第二种 1 1 .1 6 ,1 7 1 方法是首先设计具有一定消失 矩的 正 交多 带小 波的尺度滤波器，然后从多相位矩阵分解的角度上求解其余的小波滤波器，但是一般情况 下得到的多带正交小波的尺度滤波器和小波滤波器均不具有对称性质。 因此，在小波变换理论及其应用研究方面两个非常重要的问题是: ( i ) 、设计具有压缩性能更好的两带小波滤波器，并且便于硬件实现; ( 2 ) ,研究具有任意消失矩的多带对称正交小波的设计算法。 1 . 3论文主要工作简介 本论文的_ 1二 作得到了国家自 然科学基金的资助，主要研究内容包括四个部分: ( 1 ) ,基于 提升结构的新型含参数小波设计及其在图像压缩中的应用; ( 2 ) 、新型提升结构及其在小波设计中的应用; ( 3 ) 、对称正交m一 带尺度函数的构造; ( 的、基于g r o b n e : 基与合冲模算法的任意消失矩的m一 带对称正交小波设计算法; ( o ) ,含有参数的具有任意消失矩的m一 带对称正交小波设计算法。 论文内容安排如下 第二章:概述小波变换的基本理论和知识。其中包括 ma l l a t 算法，小波的消失矩定义 以及小波的提升结构分解等，构成第三章的基础。 第三章:主要包括基于小波提升分解的新型含参数9 - 7小波滤波器的设计，并对其图 像压缩性能进行了 分析 然后提出了一种新型的提升结构，并将其利用于小波滤波器的设 计中。最后对利用提升结构进行小波设计的方法进行了讨论。 第四章:概述多带滤波器的基本理论和知识。其中包括多带滤波器的多相位矩阵表示 及其性质，线性相位多带正交滤波器系统的多相位矩阵表示及其格型分解。最后给出了目 前主要的两种多带正交小波的设计算法，构成第五章的基础。 第h . 章;首先介绍了计算代数中关于g r o b n e : 基和合冲模的算法，结合多相位矩阵正 交化的力 一 法，建立了具有任意消失矩的多带对称正交小波的设计算法，以及含有参数的多 带正交小波的设计算法，并且给出了算法的设计举例。最后讨论了算法的优缺点和进一步 的工作 第 2页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 第2 章 小波分析的基本理论 ; 2 . 1 连续小波变换 满足下 述允 许条件的函 数称为 基本小 波或母小波 ( 1 8 .19 r lw ( w ) i ， w (t) l ( r ) a n d c , “ 饰 才d w 母小波经过伸缩和平移可以得到一组小波序列，小波序列构成所分析的空间的一组标准正 交基，即信号可以按照小波序列进行展开。连续小波序列定义为 vj,h(t一 lal ， t 一b ._ _ . ._. _ _ . . _ 叭 ，a , h c h , a # 。 共甲，a 为件绷算于，b 为半移算子。 而连续信号的小波变换定义为 fv r ( a , b ) = = 叫 一 了 在一 定条件 卜上述变换存在逆变换为，且 r， ， 、t 一 b ! 1 ( t ) y r ( ) a t n“ 1 r r 1， 二_ t 一b ._ 八t ) =- 1 i - 炸， ( a , b ) v r ( -) a a d b c * a n ua 1 以i 十 一 算连续小波变换的时频窗口为 b 一 a 4 w , b 十 a a 司 x 1 。 。 一 w j / a , 1 w o + a yr ) l a j ii,j 窗和频窗的宽度分别为a 0 ,( 2 - t - k ) 。 厂 ， 。 (3 ) . r ie s z 基 存 在 rt : 存 在 o (t ) e v o ， 使 得 0 (2 一 z t - k ) i k 。 z 构 成 v ， 的 r i e s z 基 。 利 用 上 述 性 质 ， 可 以 证 明 ， 存 在 函 数 抓 。 。 气 ， 使 它 的 整 数 平 移 系 0 ( 2 一% i t - k ) i k e z 构成v ， 的规范正交基，称0 ( t ) 为尺度函数 ( s c a l i n g f u n c t i o n ) ，于是函数 0 (1)(t) 一 2 - 与(2 一 卜 k ),.j , k 。 z 构 成 标 准 正 交 基 。 设v ， 表 示 分 解中 的 低 频 部 分， w ， 表 示 分 解中 的 高 频 部 分， w ， 是v , 在v. 中 的 正 交 补， tp v, = v , o l4 , , j e z 从 包 含 关 系气c v 一 我 们 很 容 易 得 到 尺 度 函 数 0 ( t ) 的一 个 极 为 有 用 的 性 质 注意 到人o ( t ) 二 v v 二 v ， 当0 ( t 一 k ) , k e z 构 成v o 的 基函 数时， ( 2 t 一 k ) , k e z 构 成 b , 的基函数，因此存在下 列双尺度方程 0 ( t ) = 拒艺h ( k ) 0 ( 2 t 一 k ) ， 其 中 h ( k ) 为 低 通 滤 波 器 系 数 。 类似地，我们可以 在空间叽 中找到生成函数 y ( t ) .并由w o 二v , 推得另外的双尺度方 程 t (r ) 一 拒芝g ( k ) 0 ( 2 t 一 k ) ， 其 中 g ( k ) 为 高 通 滤 波 器 系 数 。 1111 相应p t 1 数 y ( 1 ) 称之为小波函数。小波的构造其实就是构造低通和高通的滤波器系数。 定 理2 . 1 ( m a lla t ) 1i ， 设 护 ， : .f e z 是 空 间 l 2 ( r ) 的 一 个 过 分 辨 率 分 析 ， 0 ( 1 ) 为 此 多 分 辨率分析的尺度函数，满足如下的尺度方程 0 ( t ) 一 , r 2 y, h ( k ) 0 (2 1 一 k ) i l . 椒， 一 k ) : k 二 z 构 成坑 空 间 的一 组 标 准 正 交 基 ， 则 y ( 1 ) = f ( 一 1) 一 ， h ( 1- k ) 0 ( 2 t - k ) 为 基 小 波 ， 令 yv ,， 一 sp a n rvl a , 一瓦 k e z， 则 有 l v o r ( 1 ) , k e z 为叽的一 组 标 准 正 交 基 ; 哄 ， 土 v n 枯 二 叽 气 上 述定 理说 明， 只 要 我 们 构 造出 低 通 滤 波 器 系 数h ( k ) , k e z ， 那 么 可 以 选 取 相 应 的 高 7!r 滤 波 器 系 ” “ g (k ) (一 )一 h (1- k ),k e z ， 而 一 ” 地 ， r i) s ,是 构 造 系 数 “ 实 数 的 滤 波器，那么高通滤波器系数变为 9 (“) 一 (一 )一 “(，一 “)， z 大量的研究表明正交小波在图像处理尤其是图像压缩中，会出现图像失真的弊端，为 了得到具有线形相位的小波从而克服图像失真的情形，人们发展了一种双正交小波的理 论。多分辨分析子空间的嵌套序列分为两种: ， 二 cv, cv , c叽鱿 . .- 叫 .-. 一一. ，-.- .-一- . . 一 ，叫 第 4页 国 防 科 学 技 术 人 学 研 究 生 院 学 位 论 文 仁v _ 2 仁仁v o 仁v , 其中，函数0 ( t ) 与0 ( t ) 分别构成空间v 与v . 的生成元 = 8 ( k 一 n ) , = 仁 并且满足下面的双正交条件 s ( j 一 m ) 8 ( k 一 n ) 当 上 式 成 立 时 有 以 下 的 正 交 关 系 成 立 v ， 土 w , , v , 土 w , . 此时， 尺 度函 数0 ( t ) 苏 ( ， ) 与 小 波函 数p ( t ) . i ( 1 ) 的 双尺 度 方 程也 变为 0 ( t ) 甲( 1 ) 打艺h ( k ) 0 ( 2 t - k ) , ( 1 ) , f 2 y, g ( k ) o ( 2 1 - k ) , y ( t ) 五艺h ( k ) ( 2 t - k ) 打艺 k ( k ) ( 2 1 一 k ) 其 中 g ( k ) = ( - 1 ) 一 ， h ( 1 一 k ) , k ( k ) 一 ( - 1 ) 一 ， h ( 1 二 k 2 . 2 . 2 信号的分解与重构的 ma l l a t 算法 设 o ( ) 为 多 分 辨 率 分 析 v , j e z 的 尺 度 函 数 ， 4i ( 1 ) 为 相 应 的 基 小 波 。 双 尺 度 方 程 为 : 0 ( ) 一 拒艺h ( k ) 0 ( 2 t - k ) , t ( t )= 拒艺 g ( k ) 0 ( 2 t - k ) 。 对 v , 中 的 任 意 一 个 信 号f l, ( t ) 月 儿禅或 ， ， f 山 关 于o ( t ) 的 双 尺 度 方 程 和正 交 基 的 性 质 可以 得 到c l.- 1 * 一 艺 c 1. 万 二 丁 ， 同 理 可 的 l ) r.- , 、 一 艺c 1 , 虱 石。 这 就 得 到 了 关 于 信 号 .八 ( t ) 的 分 解 算 法 。 和 上 述 分 析 类 似 ， 可 以 得 到 信号的重构算法为 c r. = 艺 c r - i k h , - -* 十 艺 d , * 二 卜 2、 一 般地，对于一个信号x ( n ) ，采用实的双正交小波滤波器， 对其进行分解与重构，设 分解后的低通部分为s ( 1 ) ，高通部分为d ( ! ) ，那么就有 分 解 : s , = 艺x h - ,+ ， d , = 艺x n 9 - 21 重 构 : x , 一 艺 s ,瓦 - 2 l * 艺 d ,凰 _ z - . ， 州 州 口口 . . 一- . . . . .一. .- .-. . . 曰-.-.州 . . -. - - -. . .， . .叫 第 5页 国 防 科 学 技 术 人 学 研 究 生 院 学 位 论 文 2 . 2 . 3 小波滤波器的消失矩 函数j ( x ) 称为具有n阶的消失矩， 若 i f (x )二 d x = 0 , 一 0 ,1,2 , - - -, n 一 成立。于是， 对于小波函数v ( x ) ， 其n阶的消失矩可以表示为 丁 gi (x ) x 0 d x 一 0 , k = 0 ,1,2 ， 一 、 n 一 1 设函数w ( x ) 的 f o u r i e : 变换为w ( a ) ， 由 简单的数学分析分析知识可知上式的等价形式为 华a ) k i m = u 7 d = 0 , k = 0 , 1 , 2 , - - , n- 1 。另外 当小波函数v ( x ) 具有 n阶消失矩时， 容易证明 对十尺度函数ox ) 与小波函数vv ( x ) 所对应的低通滤波器函数h ( a ) ， 下列等式成立 里 h (rr ) 。 二 一 。 ,k = 0 ,1,2 ,., n 一 i 或 者 有 h (za ) 一 (竺 二 二 ) r (a ) 互 2 . 3 双正交小波的提升分解12 0 设 两 带双正 交小 波 分解 端 低通 和高 通 滤波 器 分别为h ( 习 , k ( 约 重 构 端低 通和高 通滤 波 器分别为阿 : ) ， 爪: ) 。山m a l l a t 算法可知， 一维离散小波变换过程可以表示为 图 t一维信号的小波分解和重构过程 其中，杏 2 和个 2 分别表示采样周期为2 的下采样和上采样。 设 输 入 信 号x ( n ) 和 输出 信 号y ( n ) 的 : 变 换 分 别 为 x ( z ) 和y ( z ) ， 即x ( z ) 二 艺x ( n ) z - 和 l ( = ) = y y ( n ) : 一 。 考 虑 下 采 样 过 程 x ( n ) - ). 回 。 ， ( 的 ， 其 : 变 换 表 示 为 i x (z1 ) + x 一 ;_)i 1，- y ( z ) 而 对f二 采 样 过 程 ， ( n ) 一 回 。 ， ( 。 ) ， 变换的过程用2 变换可以表示为 其z 变换表示为y ( z ) = x ( z ) 。因此，一维离散小波 x (z ) = 告 x (z)h (一 ) x 、一 ) 一 ) h (z) + 2 x (z )8 (一 + x (一 )、 (一 ) ; () 一 粤 x ( z ) r h (z )h (: 一 ) + % (z )% (z ) + ; x (z ) h (z )h (一 : 一 ) + 、 (: )、 (一 : 一 )1 卜曰“j 若 要 保 证上 述系 统是 无 损的， 即戈 ( z ) 二 x ( z ) ， 那么 完 全 重 构 条 件可以 表示为 h ( z ) h : 一 ， ) + 8 ( z ) 8 ( z - ) = 2 h ( z ) h ( - : 一 ， ) + g ( z ) g ( - : 一 ， ) 二 0 第 6页 国 防 科 学 技 术 人 学 研 究 生 院 学 位 论 文 定义调制矩阵m( z ) 为 h( z ) h( - z ) g ( z ) g ( 一 z ) - z m 类 似定 义 对 偶 调 制 矩阵m ( z ) ， 则 上述 完 全 重 构 条 件 等 价地 表示 为 应 ( : 一 ， ) m ( z ) 二 2 1其 中i 为2 阶 单 位 矩 阵 。 滤 波 器 h的 多 相 表 示为h ( z ) = h r ( z z ) + : 一 h , ( z ) , 其中气 含偶 系数 而权 ， 则 包 含奇 系 数， 即 h , ( z ) 一 艺h z k z _ p , h , ( z ) = 艺h z k . i z - k ， 多 相 位 矩 阵 为 z m 1一2 leses|1 、尹、j zz 了、了.、 u盯 gg h , ( z ) 权( z ) 并且满足 p ( z z ) , = 尸lesesesesesl - 、 z 了马、 尸 类似定义户 ( 约，那 么 完全 重 构滤 波器的 条 件 变为p ( z ) p ( : 一 ) , = i 。 定义 2 . 2 命题 2 . 1 称滤波器对( h , g ) 互补，如果 相应的多 相位矩阵p ( z ) 的行列式为l ( l if t i n g ) j- 0 设( h , g ) _h 补， 那 么 任 何f i r 滤 波器厂 。 ( : ) 与 h 互 补， 必 定 有 如下形式: .1生质 g ， ( z ) = g ( z ) + h ( z ) s ( z 2 ) ，其中s ( z ) 是l a u r e n t 多项式。 2 . 1考虑两个 l a u r e n t 多项式 a ( z ) 与b ( z ) x 0 。( z )b . 并作 e u c lid e a 。 除 法 ， 有 。 二，: ) 一 。 (: )，、 十1(z ) = r e m a in d e 碧 】 u , l z ) 设a , ( z ) = a ( z ) , b o ( z ) = 2 则a ( z ) = g c d ( a ( z ) , b ( z ) ) ， 其中 n 为满足h ,. ( z ) = 0 的最小自 然数。 厂.十l 飞.11.1 设 。 .、:，= a (z)b,(z)，那 “ ;h !b,17,:一:一 1 - q ( 习 u , 约 b , ( z ) ， 以 匕类 推 可 以 得 p i ，leseses|1 冲 一 衅一 。1(zj b( (z )j , 或 者 !n(z) = q,b(z)j = ( 么 ) 1m , ( z ) 0 考虑l a u r e n t 多 项式k . ( z ) 和h ( z ) 的 最大 公 因 式g c d ( k ( z ) , k ( z ) ) 必 定 整 除p ( z ) 的 行 列 式d e t ( p ( z ) ) ，而由 完全重构条 件可知d e t ( p ( z ) ) = i ，因此g c d 叭( z ) . h ( z ) ) = i ，即h , ( - ) 和 1 71, ( 习是玩 _ 素的。那么由性质2 . 1 可得 .llraj|习 ko 厂leslll.j 门lesesesesesj f h ,(z )1 = 而 l h仕 ) 气 礼 q , ( _ ) i ，11.eseseeeseej 1-k h . ( z ) h( 幼 9 :一 一 六 “ 一 ， 9 了 l ) ， i l 叫 容易证明， 对应的h ( z ) 与g , ( z ) 构成补。又山d e t ( p 0 ( z ) ) = 1 可知n 为偶数， 结合 r.lll - 气几lesesj q , ( _ ) i i q , ( z ) 月卫 ，三lweeslj 心甲0/j 么1，气/ . q 1 1 0 i l = o i l k j l i 0 j l i o r 可得 k0 尸一 勺.!lesj rllweweweesj 一一 ， 。(:。= 蓉 0 q , ,- . ( z ) q , , ( z ) i 最后再山命题2 . 1 可知对于完全重构滤波器，满足 一. . . 口 . . . . . . . . 侧 第 7页 国 防 科 学 技 术 大 学 研 究 生 院 学 位 论 文 ， 一 ，) 一_、 ,11k lj l , k z ) i ， . , r , ._ - , f k 1 k1 1 以 及 p (z)一 叹 一 旅 一 )r 一 “ 丫 土剖 这就是双正交小波的提升分解。那么基于提升的小波分解和重构过程可以表示为 一 厂c 匕 笼c - c s , ( z ) t , ( z ) 图 2提升小波变换的分解过程 + , - 一 一( t 2 t r( z ) s , ( z ) 子z2 - j - 2 - j 图 3提升小波变换的重构过程 下 面 h a a r 小波为例说明小波的提升分解以及提升小波变换的过程。对 h a a :小波有 z ) = i + : 一 ， ， 以 z ) = - i / 2 + 1 / 2 z , 众 z ) = 1 / 2 + 1 / 2 z - , 烈 约 = - i + : 一 ， ， 利用 上 述 提升 分 解算 法 可 拭得 尸 (卜 几 一了 一 ; 一 i /2 口 尸 ()一 户 (卜 ; 1 12三 ， 那么利用 h a a r 小波进行的一维信号的提升小波变换的分解和重构过程为 厂 一( 1 2 i p lp +f 一一b p b p 一 图 4采用提升格式的 h a a r 小波变换分解和重构过程 匕 图中的提升小波变换过程也可以表示为 一 ) xz r xz r + r t o) i =s , 一1 / 2 d, “ 。 和 =d ， +s , 。 =d 尸) =: 。 +1 / 2 d ，s ( 0 山，(0。 5.dxx sdds !1一 第 8页 国 防 科 学 技 术 人 学 研 究 生 院 学 位 论 文 第3 章 基于提升结构的两带小波设计 前言 根据实际的需要，构造满足要求的小波滤波器是小波理论研究中的一个热点。但是， 已经证明，正交小波 ( h a a r 小波除外) 不可能具有对称性质，而滤波器的对称性在信号处 理中具有很重要的意义。因而，1 9 9 2 年d a u b e c h i e s h l 等人提出了 双正交小波的概念并给出 了 相应的设计算法， 其中设计出了 著名的c d f 9 / 7 小波。 1 9 9 5 年， s w e l d e n 护6 1 系统提出了 小 波构 造与计 算的 提升格式方法， 1 9 9 8 年d a u b e c h i e s 和s w e ld e n s t 2 0 ,2 1 等又 进一步 对常见的 if 交 和 双 正 交小 波 进 行了 提升 格式分 解。 1 9 %年， s t r a n g 12 2 借 助数 值分 析的 方 法设 计出了 系数简单的