（应用数学专业论文）非线性blackscholes方程求解.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文依据数学机械化思想，在导师张鸿庆教授提出的“a c = b d ”理论下，借助于 符号计算软件m a p l e ，研究了带交易成本的期权定价模型并求出非线性b l a c k - s c h o l e s 方 程的闭形式解。 第一章介绍了数学机械化思想与计算机代数。 第二章介绍了“a c = b d ”理论的基本思想，给出了c d 对的构造方法。 第三章介绍了期权定价理论，给出了一种非线性b l a c k - s c h o l e s 方程的闭形式解。 关键词：数学机械化；“a c - - b d ”理论；期权定价；同伦分析法；波动率 非线性b l a c k - s c h o l e s 方程求解 s o l v i n g n o n l i n e a rb l a c k - s c h o l e se q u a t i o n a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，u n d e rt h eg u i d a n c eo fm a t h e m a t i c a lm e c h a n i z a t i o na n dt h ea c = b d t h e o r yp u tf o r w a r db yp r o f z h a n gh o n g q i n g ，a n db ym e a n so fs y m b o l i cc o m p u t a t i o n s o f t w a r em a p l e ，s t u d i e dw i t ht h et r a n s a c t i o nc o s t so fo p t i o np r i c i n gm o d e la n do b t a i n e d n o n - l i n e a rb l a c k s c h o l e se q u a t i o no ft h ec l o s e df o r ms o l u t i o n c h a p t e r1 i sd e v o t e dt oi n s t i g a t i n gt h ei d e a so ft h em a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o na n d c o m p u t e ra l g e b r a c h a p t e r2i n v e s t i g a t e sa c = b dt h e o r ya n dm e t h o d so fc o n s t r u c t i n go ft h eo p e r a t o r so fc a n dd c h a p t e r3i sd e v o t e dt ot h et r a n s a c t i o nc o s t so fo p t i o np r i c i n gm o d e la n do b t a i n e d n o n - l i n e a rb l a c k s c h o l e se q u a t i o no ft h ec l o s e df o r ms o l u t i o n k e yw o r d s ：m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ；a c = b dt h e o r y ；o p t i o np r i c i n g ；h o m o t o p y a n a l y s i sm e t h o d ：v o l a t i l i t y ： i i 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目： 作者签名： 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目： 作者签名： 导师签名： 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 本文简要介绍了数学机械化思想，符号计算的发展和应用，以及同伦算法在求解一 种非线性金融方程的应用。 1 1 数学机械化与符号计算 纵观数学的发展历史，主要有两种思想：一种是公理化思想，另一种是机械化思想。 前者源于古希腊，后者则贯穿整个中国古代数学。从汉初完成的九章算术中对开平 方、开立方的机械化过程的描述到宋元时代发展起来的求解高次代数方程组的机械化方 法，无一不与数学机械化思想有关。我国传统数学在从问题出发以解决问题为主旨的发 展过程中建立了以构造性与机械化为特色的算法体系，对数学的发展起到了巨大作用。 公理化思想在现代数学，特别是纯粹数学中占据着统治地位。然而，对数学史的考 察可以发现，数学的多次重大跃进无不与数学机械化思想有关。从中国传统文化与数学 机械化来看，周易对中国算法机械化有着深远的影响【l 一钉。首先周易是变的程 序。周易的占卜过程所用一变、二变、三变、四变来表达其机械化程序，对后世数 学中的机械化程序表述产生了深刻影响。九章算术中虽无“变”的名称，但由于几 乎所有的问题必须计算出具体的数值，各种术文全是可操作的计算公式或计算程序，求 解的过程即是对各种算法的程序操作，其实就是“变”。其次周易是关于“简易” 的程序。周易系辞上谈到关于“易简”的变换原理：“乾以易知，坤以简能。易 则易知，简则易从。简易则天下之理得矣。”可见“易”与“简”同义，“易简” 就是简约、“简明”之意。这种思想被数学家所继承，成为化约求解过程的程序化和简 洁性的追求方向。最后周易是关于“类”的思想。周易中关于“类”的思想特 别明显。易系辞上：“方以类聚，物以群分。”又易乾：“各从其类也。” “类”与数学机械化有密切关系，因为作为机械化的算法特点之一就是普适性，既要普 遍适用于解决同一类中的其他问题，中算家，通过各种问题归类，抽象出这一类数学问 题的模型，然后给出一般解法，以达到总结、归纳出现一类问题的机械化算法的目的。 然而，数学启蒙的四则运算由于代数学的出现而实现了机械化；线性方程组求解中的消 去法是机械化思想的杰作；对近代数学起着决定作用的微积分也是得益于经阿拉伯传入 欧洲的东方数学机械化思想。即使在现代纯粹数学研究中，机械化思想也一直发挥着重 大作用，h i l b e r t 所倡导的数理逻辑为计算机的设计原理作了准备；数学巨匠e 。c a f t a n 关 于微分方程、微分几何以及l i e 群的著作中也经常显现出机械化特色；h c a r t a n 关于代数 拓扑学中同调群计算的工作也可以看作是机械化思想的成功范例。在数学发展的历史长 非线性b l a c k s c h o l e s 方程求解 河中，数学机械化算法体系与数学公理化演绎体系曾多次反复，互为消长，交替成为数 学发展中的主流。肇始于我国的这种机械化体系，在经过明代以来近几百年的相对消沉 后，势必重新登上历史舞台。 2 0 世纪7 0 年代，我国著名数学家，首届国家最高科学技术奖以及邵逸夫数学科学 奖获得者吴文俊院士【5 墙1 在对中国古代数学思想研究的基础上发展并完善了形的方法， 于1 9 7 8 年创立了吴代数消元法，将该方法用于初等几何的机械化证明，获得了很好的 结果。在吴先生的大力倡导下，数学机械化思想得到迅速的发展，非线性波、几何可积 性与群分类已经渗透到诸多领域，如理论物理，c a d ，c a g d ，机器人及控制论，力学， 组合等。数学机械化连续列为“八五”、“九五”国家攀登计划及“9 7 3 ”国家重大基 发展规划项目之一。1 9 8 9 年，在r i t t 等人工作的基础上，吴先生将吴代数消元思想推广 到微分情形，创立了吴微分消元法【9 】，提出了吴微分特征列的概念，完善和发展了特征 集理论。 吴方法【1 0 】的创立，引发了几何定理机器证明的高潮。张景中院士、高小山研究员、 周咸青教授 1 卜1 3 】合作提出了基于几何不变量的“消点法”，实现了自动生成几何定理可 读证明这一目标。王东明研究员、高小山研究员等研究使用吴方法证明构造型定理与轨 迹求解问题。林东岱研究员、刘卓军研究员将吴方法推广到有限几何。吴尽昭研究员、 刘卓军研究员将吴代数消元法运用到逻辑中去，较好地解决了逻辑中一阶定理证明的 题。k a p u r 教授等人究用吴r i t t 分解算法证明定理。李洪波研究员、程民德教授提出了 基于c l i f f o r d 代数与吴方法的向量算法，这一算法不仅可以用来证明初等几何定理，还可 以证明微分几何中的定理。王东明研究员和张景中院士对这一方法作了进一步的发展。 石赫研究员利用吴代数方法，研究了著名的y a n g b a x t e r 方程解的问题。王世坤研究员、 吴可研究员队将吴方法应用于y a n g b a x t e r 型方程( 包括带参数、带色参数、带谱参数等) 的解的结构问题。吴方法还有许多重要的应用，1 9 9 3 年起，李志斌教授等利用吴代数消 元法，在求解非线性发展方程精确解方面做了很多出色的工作，通过引入t a n h 函数方法， 将偏微分方程求解问题转化为代数方程组的求解问题，沟通了吴代数消元法与微分方程 之间的关系。最近，李志斌教授及其学生基于t a n h 函数方法和椭圆函数展开法在m a p l e 平台上编制了计算孤子方程精确解( 孤波解、双周期解) 的软件包r a t h 。 近年来，张鸿庆教授【悼1 6 】及其课题组成员在微分方程求解的代数化和机械化方面做 了大量的工作【1 7 - 2 5 , 提出并发展了“a c = b d ”理论。范恩贵教授基于r i c c a t i 方程和一般 的椭圆方程并利用吴方法研究很多方程的精确孤波解，受到国内外同行的广泛关注。闫 振亚副研究员基于两种凡r i c c a t i 方程展开并应用吴代数消元法，提出了求解非线性发展 方程的更为有效的算法。朝鲁教授将吴微分特征列法( 吴微分消元法) 应用于微分方程对 一2 一 大连理工大学硕士学位论文 称计算，取得了很好的结果。陈勇博士，谢福鼎博士和李彪博士将吴微分消元法应用于 偏微分方程的p a i n l e v e 性质的研究，并根据算法编制t m a p l e 软件包，对许多偏微分方程 进行了p a i n l e v e 检验。吕卓生博士完成了l i e 对称程序编制。 计算机与应用数学的结合分可为两个层面；数值计算和符号计算。数值计算的内容 是实数演算，更确切地说，数值计算是寻找适当的有理数去逼近实际问题的实数解。数 值计算得到的结果是近似的。符号计算，顾名思义，是在计算机上以符号的形式进行运 算，实现公式的机器推演，符号计算的结果是精确的，计算机代数是致力于数学求解问 题中准确计算自动化的学科。 1 2 计算机代数与符号计算软件 计算机代数( c o m p u t e ra l g e b r a 或s y m b o l i ca n da l g e b r ac o m p u t a t i o n ) 兴起于上世纪6 0 年代初，是介于计算机，数学与人工智能之间的- - f - 3 边缘学科，计算机代数的主要研究 内容是计算机上数学公式演绎的算法和系统应用。其发展，大致可分为以下几个阶段【2 6 j ： 1 2 0 世纪6 0 年代：发展初期，着重于多项式算术，积分方法； 2 2 0 世纪7 0 年代：诞生了m a c s y m a ，r e d u c e ，以及用于抽象域s c r a t c h p a d i i ； 3 2 0 世纪8 0 年代：多项式时间方法，因式分解等的研究，m a p l e 与m a t h e m a t i c a 相 继发布； 4 2 0 世纪9 0 年代：微积分，数学的w e b 发布，黑箱符号对象； 5 本世纪初：符号计算，数值计算，几何，组合与逻辑范例的融合。 计算机代数的主要功能在于：在计算机上以符号形式进行运算，实现公式的机器推 演。如果和初等数学相比，寻常的数值计算可比拟为数值计算，而符号计算可比拟为代 数运算( 故有计算机代数之说) 。前者只适合于个例分析，后者的结果则具有普遍性。由 于计算机代替了人工的推导，演算速度成千万倍地增加，使得原来令人望而生畏的复杂 计算变得简易快洁。在最初的十几年间，计算机代数也被叫做：符号与代数计算、公式 处理、机器代数等。于是在1 9 7 9 年，美国加州理工学院的e e g 教授统一了计算机代数 的名称和定义：“计算机代数是一门利用数学、计算机进行代数和解析处理或操作的学 科 。1 9 8 2 年，德国卡尔斯鲁厄大学的r l o o s e 教授又进行了进一步的拓广和补充：“计 算机代数是设计、分析、改造和应用代数算法的计算机科学分支”。计算机代数的最早 出现公认以1 9 6 0 年美国麻省理工学院的m c c a r t h y 推出的l i s p 语言为标志在随后的十几 年间，计算机代数的发展引起了国际计算机科学界的重视美国的计算机协会组织了符号 与代数处理专业组( s p e c i a li n t e r e s tg r o u po ns y m b o l i ca n da l g e b r a i cm a n i p u l a t i o n 简称 s i g s a m ) ，其成员遍布世界3 0 多个国家。这个国际组织每两年召开一次国际会议( 简称 非线性b l a c k - s c h o l e s 方程求解 i s s a c ) ，专门交流计算机代数方面的研究成果。西欧各国计算机工作者组织了欧洲符号 和代数处理专业委员会( s y m b o l i ca n da l g e b r a i cm a n i p u l a t i o no f e u r o p e a n 简称s a m e ) ，定 期召开简称a a e c c 的国际会议这两大组织还分别创办了计算机代数刊物s l g a m b u l l e t i n 暑i j o u m a lo fs y m b o l i cc o m p u t a t i o n 这些学术活动大大地推动了计算机代数的发 展。在过去的三十几年间，计算机代数取得了诸多的成就【2 7 】。r i s c h t 2 8 l 证明了：数学函 数在闭形式下的积分问题是可判定的。b e r l e k a m p 2 9 1 给出了有效分解多项式( 模一个大素) 如的随机化算法。因为多项式的系数域的不同，这时需要给出一个更一般的算法。在上 个世纪的七十年代的早期，b e r l e k a m p 给出了这个代数算法在抽象代数域上的更一般的 程序。b r o w n 3 0 】给出了新的有效的多元多项式最大公因子的符号计算方法。g o s p e r 对于 无限超几何和给出了一个精巧的算法。l e n s t r ae ta l l 3 1 , 3 2 的l o v a s z s 的格点约化算法，是 具有深远意义的e u c l i d e a n 算法的一般化，最初是作为一个多项式分解的子算法出现的。 稀疏多元多项式的差补算法【3 3 1 ( 其中一部分是基于修正误差码的) 已经变成了在计算黑 匣子多项式中的基本工具( k a l t o f e n & t h a g e r 【3 4 1 ) ，1 9 9 5 年s h o u p 3 5 】在修改了由k a l t o f e n & s h o u p 给出的关于一元多项式( 系数在有限域上) 的分解算法后，使这个算法更加实用化。 特别是在上个世纪的9 0 年代，借助于一些符号计算软件工具，计算机代数的发展更加 迅猛，而且不断地应用到其他领域，如高能物理、天体力学、广义相对论、电子光学、 分子物理、自动化、航空学、生物学和化学等等。 关于符号计算软件流行的有：m a p l e 、m a t h e m a t i c a 、r e d u c e 、m a c s y m a 、l i s p 等等， 其中，m a p l e 最为流行与其他符号计算软件比，m a p l e 计算效率比较高，功能强大，而 且还逐渐完善。多年来的经验证明符号计算软件有很多优点，当然使用符号计算软件时 一个常见的也是最严重的间题就是中间表达式膨胀，常会遇到时间和空间的限制，如何 寻求有效而高效的算法仍是我们利用计算机代数的主要任务。 1 3 同伦分析法概述 同伦分析法是求解非线性问题的一种重要方法，它被成功用于工程技术中许多非线 性问题求解，如非牛顿流体的磁流体动力学、深水中非线性波的传播、自激系统的自由 振荡等。这些成功应用的例子表明同伦分析法是一种行之有效的方法，关于该方法的更 多介绍参见廖世俊的文献f 7 2 】 【7 3 1 。但使用该方法求解非线性的b l a c k s c h o l e s 方程的报道目 前还不多。本文就是利用这种求解高度非线性问题很有效的方法同伦分析法，在3 3 中我们解决了非线性的b l a c k - s c h o l e s 方程的美式期权定价问题，并且得出了方程的闭形 式解。在3 4 中我们更是详细的利用同伦分析法，求解了一个线性的b l a c k s c h o l e s 方程的 近似解，并做出了卉曲线。 大连理工大学硕士学位论文 2a c - b d 理论及c d 对的构造方法 2 1a c = b d 理论在微分方程( 组) 中的应用 自从张鸿庆教授【3 5 1 于二十世纪六十年代提出了“a c = b d ”思想，并于1 9 7 8 年发表 以来，他和他的学生们在这方面做了大量的工作，使得这一思想在电动力学、弹性力学、 流体力学、量子力学、孤立子理论、物理学等方面得到了广泛的应用【3 岳5 0 1 。这一思想是 一个开放的体系，遵循“简易、变易、不易”的原则。近年来该思想推广到解决非线性 问题中，张鸿庆教授又提出了c - d 可积系统与c - d 对的概念，形成了在微分方程( 组) 求解 中的c d 可积理论，在孤立子理论及其应用方面有了很好的成绩。以下简要介绍张鸿庆 教授提出的关于微分方程( 组) 求解的“a c = b d ”，理论及应用，c - d 对的构造方法。 “a c = b d ”理论的基本思想就是：将复杂不易求解的方程( 原方程) 通过适当的变换 转换为简单易于求解的方程( 目标方程) 。不失一般性，可形式地将原方程和目标方程分 别表示为a u = 0 和d v = 0 ，则原方程的求解就变为寻找适当的变换甜= c v ，将原方程 a u = 0 化为易于求解的目标方程d v = 0 。但是，在实践中往往需要求得算子b ( 辅助算 子) ，使其满足a c = b d ，有时还需要求得算子尺( 余算子) ，使得a c = b d + r 。其具体格式 是：设a u = 0 为待求解的原方程，d v = 0 是易求解的目标方程，寻找变换“= c v ，使得 a u = 0 j d v = 0 且c k e r d = k e r a 对一般微分方程的求解，就转化为以下问题的解决： 给定算子a ，构造算子c 和d ，使得c k e r d = k e r a ，即如何构造变换u = c v ，将待求解 方程a u = 0 约化为目标方程d v = 0 定义2 1 1 设x 是线性空间，4 ，曰，c ，d 是从x 到x 的算子( 阵) ，对任意v v x a q y ) = 么( c 、，) ，b d v = b ( d v ) 。 如果对v v x ，a c v = b d v ，则称a c = b d 。 定义2 1 2 如果对于算子( 阵m ，存在算子( 阵) b ，c ，d ，使得a c = b d ，c k e r d = k e m ，其中k e r a = u l a 甜= d ) ，k e r d = v l d v = 0 ，则称a u = 0 为c - d 可积系统。 若c k e r dk e r a ，但c k e r d ck e r a ，则称a u = o 是部分可积系统。 定义2 1 3 如果算子( 阵) c 和d 称为算子( 阵m 的c - d 对，如果系统 僻 ( 2 1 1 ) i d ( v ，甜) = 0 、7 的相容条件恰为a u = 0 ，其中z f 为参数。“恰”的意义为：如果系统( 2 1 1 ) 的另一个相 容条件为a , u = 0 ，那么k e r a 宰c k e r a 。特别的，若c ( m 甜) = o 可写为u = c v ，d 以“) = o 可 写为d v = 0 ，则称么有显式的c d 对。 非线性b l a c k s c h o l e s 方程求解 定理2 1 1 1 4 3 i 设耀线性空间，a ，b , c , d 是从旌岍得线性算子( 阵) 。如黝c = b d , b ( o ) = 仍 且c k e r d dk e r a ，则方程( 组m u = o 的一般解为u = c v ，其中，x ，并满足方程d v = o 。 证明：由a c = b d 和b ( o ) = o 可知，对d v = o 的任一解1 ，x 。如果u = c v ，则 a u = a c v = b d v = 0 ，即u = c v 是a u = o 解。反之，由于c k e r d 3 k e r a ，故对a u = o 的任一 解材，存在d r = 0 的解v x 使得u = c v 。 定理2 1 2 1 3 5 i 溉线性空间，a ，b , c , d 是从砸归得线性算子( 阵) 。如黝c = 肋， c k e r d dk e r a ，则方程( 组m z f 可的一般解为u = c v + e ，其中v 满足伽= g ，b g 是方程 ( 组) a e + b g = j l 拘- - 组解。 证明：对满足a e + b g = f 的一组解e 和g ，令u = c v + e 其中y 满足d v = g ，则 a u = a c v + a e = b d v + a e = a e + b g = f 反之对a u = p 3 i 任一解u ，设u l = c v l + e ；是a e + b g 可的一个 特解，其中伽，= 吕彳p + b g = f , 贝l j u h i e k e r a j 王存在坳k e r d 使得c v 2 = u u l 。因此 h = i , i ，+ c v 2 = c v ，+ e + c 吻= c d ，+ ，2 ) + p 令v = v l + v 2 臣o 得证。 定理2 1 3 1 4 1 i 雠线性空间，a ，b , c , d 是从旌! 脚导线性算子( 阵) 。若有彳c = b d 成立， 则方程( 组m u = b y 满足u cc 肼勺般解为：“= c ， ，= 删+ 少，其中x ，胁馏。若 同时还有d k e r c 3k e r b 成立，则方程a u = b v 满足帮c 螂岛一般解为：群= c ，v = d 矽o ，其 中矽z 。 证明：只需要证明最后一个结论。由于z f c x , 因此存在破x ，使得甜= c 破从而 a c e , = b v 。由于a c = b d 以及b 是线性算子，则b ( v d 办) = 0 。因此v = d l + 少，其中 k e r b 。由于d k e r ck e r b ，从而存在识k e r c ，使9 司识。由于d 是线性算子， 因此1 ，= d ( 谚+ 欢) ，而改k e r c ，c 是线性算子，所以u = c ( o l + 欢。令= 办+ 苁即得证。 以下我们证明算子曰的存在性。 定理2 1 4 设a c 是定义在b a n a c h 空间x 上的泛函，且是g a t e a u x 可微的，d 是 x x 上的可逆算子，也是g a t e a u x 可微的，若由d v = - o 可推出a c v = o ，则存在x 上的 泛函曰，使得a c v = b v d v 。 证明：因为d 是址的可逆算子，所以x ，存在唯一的y ，使得，= d 。g 令，刊c d 7 由肋加幽空间的三铅w 中值定理知【4 7 1 ，3 p 【o ，l 】使得 a g ) - a o ) = 琐o g ) g 即 a c d 7 ( 0 ) = 0 逸= 上， 所以令b v = d ( f ( o g ) ) ，既得a c v = b v d v 。 一6 一 大连理工大学硕士学位论文 引理2 1 1 谢c 是定义在b a n a c h 空间肚的泛函，且是g a t e a u x 可微的，d 是x _ x 上的可逆算子，也是g a t e a u x 可微的，若由d v = - o 可推出a c v = o ，则存莅址的泛函b ，使 得 = ( b v d v , y ，其中y f ，f 为御拘对偶空间。 证明：因为d 是可逆的，对任何g 墨存在唯一的v 使得d v = g ，8 0 v = d - 。俐州c d - 。， 由算子形式的三q 卯馏口中值定理知道，存在护【o ，1 】使得领曲欢移沙 = ，其中 y r 。又因为彳c 抄( 0 ) = 0 ，g = 西，a 拿b v = d ( a c d - 。( 日历) ) ，则“西，y * ： 。 定义2 1 4 可适定算子：若对一个算子方程d u = 0 ，在给定条件下，该算子方程的解 是唯一的，则称所给定的条件为算子方程d v = 0 的可适定条件，称算子d 为可适定算子。 定理2 1 4 蝴c 是定义在b a n a c h 空间肚的g a t e a u x 可微算子，d 是可适定的g a t e a u x 可微算子，若由d v = - o 可推出a c v = o ，则存龇的召，使得( a c v ，y ) = ，其中 ) ，f ，f 为瑚对偶空间。 证明：由可适定算子的可逆性和引理2 1 1 ，易知定理2 。1 5 成立。 c - d 对理论的基本思想就是将给定的方程( 组m u = 0 通过适当的变换u = c v 转化为现 对容易求解的方程( 组) d r = 0 易失附和d 可以有如下不同的表达式【4 8 1 ： a u = o _ d v = o 任意微分方程组具有对角形式的微分方程组 非线性微分方程线性微分方程 变系数微分方程 常系数微分方程 高阶微分方程 低阶微分方程 高维方程低维方程 微分力程 代数方程 任意的方程具有特定形状的方程 不可分离变量微分方程可分离变量微分方程 不会求解方程会求解方程或具有重要性的方程 现在的任务是对于给定的算子么，如何构造算子c 和d 使得 c k e r d = k e r a ( 2 1 2 ) 一般地说，算子c 和d 不是唯一的，因此要在满足( 2 1 2 ) 的所有c 和d 中，选取尽可 能简单的c 和d 。郑玄“易赞”有云：“易一名而三义，简易一也，变易二也，不易三 也”。这个思想用于我们的问题，首先研究变换，变不会解的方程为会解得方程，变换 非线性b l a c k s c h o l e s 方程求解 的结果要使c k e r d = k e r a ，即阶的集合不变，然后在满足c k e r d = k e r 4 的c 和d 中选取 简单的c 和d 。这个过程可以表述如下： 彳影= o 2 三业j 所= 0 变易 c k e r d = k e r a 不易 选择简单的c 和d简易 现在的问题是如何构造变换u = c v 将待求解方程a u = o 约化为求解方程d v = o 。下 面我们通过几个例子来说明a c = b d 模式在微分方程( 组) 求解中的应用， ( 1 ) 不是对角型的微分方程组_ 对角型的微分方程组 例1 3 5 1 齐次m a x w e l l 方融u - - o 缸扣n i h ) = 昙掣， l d i v ( e + 旧) i ，= o = 0 利用如下变换 盼 一三巩 a 羔 c a 2 。三a 三 。 c a ：一l a ；0 c ( 2 1 4 ) 那么目标方程为： 。：r o a ：+ a ；+ a ；一吉a ；三：+ a ：+ a ：一三a ； ( 爱) ：。c 2 - 5 ， i u j 。v y 。v = fv j r 2 例2 c a u c h y r i e m a n n 1 4 1 方程组 令u ( u l 。u 2 ) ，做变换 将( 2 1 7 ) 带入( 2 1 6 ) 么u = “：c v ：( 导，昙) v 卯d x ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) o o l i = 批一砂舰一缸 一 + 堕知批一砂 大连理工大学硕士学位论文 d v = a v = 专芬胪。 叫， o 舅v ( 2 ) 非线性微分方程线性微分方程 例3 势b u r g e r s 方程【4 3 1 a u = 【a ，+ ( a ，) 2 一舶。】”= o ( 2 1 9 ) 基于a c = b d 思想，取变换u = c v = - 2 2 l n v ，将其代x , ( 2 1 9 ) n - i 得 b 1 ，：一 = 2 _ 2 ，d v = v , - a k ：0 ( 2 1 1 0 ) 1 ， 一 显然可以证明a c v = b v d v ，并且可以证明c k e r d = - k e r a 。因此彳铲o 的解析解n - q - p a 表示 为u = c v ，d v = 0 例4 b e r n o u l l i l l 9 方程 考虑方程 a u = 甜。+ p ( x ) u q ( x ) u “= 0 拧l ( 2 1 1 1 ) 令 l 甜= c v = v l 一” 则有 i 1 a u = a c v = ，卜”c l _ 1 ，+ p v q ) = 0 l 一门 即b y d v = 0 ，其中d r = _ l _ ，+ 尸 ，一q 是线性微分方程。 i n ( 3 ) 变系数微分方程_常系数微分方程 例5 变系数k d v 删方程 考虑方程 a u = 豁，+ 盔) 。+ 6 u u ，) + 4 h 2 ( t ) u ，一h 3 ( t ) ( 2 u + _ ) c 材，) = 0 其中h a t ) ，卢l ，2 ，3 为t 的任意函数，做变换 “= e x p ( 12 h 3 ( t ) d t ) v ( 善，f ) 孝= xe x p ( i k 3 ( t ) d t ) - 4i k 2 ( t ) e x p ( ，2 h 3 ( t ) d t ) d t f = n ( f ) c x p ( 3 h 3 ( t ) d t ) d t 则( 2 1 1 4 ) 约化为常系数k d v 方程 v f + 6 比+ k = 0 ( 2 1 1 2 ) ( 2 1 1 3 ) ( 2 i 1 4 ) ( 2 1 1 5 ) ( 2 1 1 6 ) ( 2 1 。1 7 ) ( 2 1 1 8 ) 非线性b l a c k - s c h o l e s 方程求解 ( 4 ) 高阶微分方程低阶微分方程 例6 浅水中的w h i t h a m b r o e r - k a u p 1 9 1 方程 i u t + u l l x + 匕+ 肛k = 0 【u + ( 懈) ，+ a u x x x 一k = 0 若取 u = ( ： = c 国= 国。 c o + 彩 等一等鸲国彩一 ( 2 1 1 9 ) ( 2 1 2 0 ) 则可化为目标方程低阶b u r g e r s 方程 d c o = c o , + 2 缈q + = 0 ( 2 1 2 1 ) ( 4 ) 微分方程代数方程 例8 考虑线性常系数常微分方程 4 y = a n y o + a n l y ”一1 + + q y 。+ j ，= 0 ( 2 1 2 2 ) 冬沙= c 俐= p 螂，那么砂= a c v = e “( a n y ”+ 一l v ”1 + + a o ) = o 令丑( v ) = e 讼， 以d = 1 ，”+ 一1 1 ，”1 + + 容易验证a c v = 以砂d ( d 。 从上面的具体应用可以看出a c = b d 理论系统的解决了微分方程求解方面许多重 要的问题。这一思想是开放性的，在弹性力学、电动力学、流体力学、量子力学、孤立 子理论、理论物理等方面都有广泛的应用。 2 2 构造g - d 对的若干方法 在精确求解非线性偏微分方程过程中，有两种构造c - d 对的方法：一是直接法 1 4 , 1 5 , 2 2 1 ，即从方程本身出发，直接构造满足需要的c - d 对；二是假设法，即对于c - d 对的 构造提出一定的假设，再假设的基础上构造c d 对。这种方法解决了一类非线性系统的 求解问题。下面主要介绍构造c - d 对的假设法。 对于给定的( - = l l z ) 线性偏微分方程( 组) ： a u = o ，( 2 2 1 ) 其中u 是x = u ( t , x i , x 2 , ，而) 的函数，为寻找方程( 2 2 1 ) 的精确解，我们采取以下步骤： 步骤一：对方程( 2 2 1 ) 作行波变换得到相应的常微分方程。 步骤二：假设一个可能的变换 u = c v ， 大连理工大学硕士学位论文 其中v 可以使函数也可以使函数向量( 办，欢，丸) ，c v 是关于 ，以，) ( 与1 ，线性无关) 的 多项式或有理式，且v 满足一个相对简单或易求解的方程( 组) ，我们称之为目标方程； t = o l v = o ，砬v = 0 9o 9 p i v = 0 ( 2 2 2 ) 步骤三：对得到的常微分方程中的最高阶导数项与最高阶非线性项进行平衡，确定 西中的项数。 步骤四：将u = c v 代入步骤一得到常微分方程，得到关于1 ，次d 的多项式， 步骤五：令多项式中的各项系数为零，得到代数方程组，求解后连同方程组( 2 2 2 ) 的解带入u = c v ，即得到原方程( 2 2 1 ) 的解。 以下几种方法是上述思想的具体化： 方法一t a n h i 垂l 数展开法【4 9 】： 取目标方程为日v ( 善) = 妄等- - $ c c h 2 ( 善) ，砬y ( ) = t a n h 2 ( 孝) - l ，解得形式设为 “( 孝) = c v ( 善) = t a n h ( 古) i 互l 将u - - c v 和d v = - o 代入原方程后得到关于t a n h 。( 孝) s e e h ( 孝) q = 0 ，1 ；- - 0 ，1 ，) 的多项式形 式，令它们的系数为零，可得到未知变量的方程组，通过解该方程组和目标方程得到原 方程的解。 方法二s i n e c o s i n e i 函数展开法 5 0 , 5 1 ： 取目标方程为口( y ( 善) ) ：堕娑一s i n ( 矿( ) ) ：0 ，设方程的解有如下形式 订g ( 善) = c 、，( ) = 芝：c o s 1 v ( 毒) 【哆c o s ( v ( 孝) ) + 协s i n ( v ( 孝) ) 】+ 以。 将u = c v 和d v = o 代入原方程后得到关- ts i n7 ( v ( 孝) ) c o s 7 ( v ( 善) ) q = o ，1 ；- - 0 ，l ，) 的多项式 形式，令它们的系数为零，可得到未知变量的方程组，通过改方程组和目标方程得到原 方程的解。 方法三s i n e c o s h 展开法f 5 2 】： 取目标方程为d ( ，( 孝) ) = 掣) 2 _ s i n h ：( v ( 孝) ) 一c ：0 ，设方程的解忧如下形式 口5 群( p = c o ( 孝) = c o s 扣1 y ( 孝) qc o s ( y ( 孝) ) + 匆s i n ( v ( 孝) ) 】+ 非线性b l a c k s c h o l e s 方程求解 将u = c v 和d v = 0 代入原方程后得到关于s i n ( v ( 4 ) ) c o s j ( ，( 善) ) ( 产0 ，l ；卢0 ，l ，) 的多项式 形式，令它们的系数为零，可得到未知变量的方程组，通过改方程组和目标方程得到原 方程的解。 方法四r i c c a t i l 5 3 1 方程d ( 1 ，( 善) ) ：百d v ( 4 ) 一r 一，2 ( 孝) ，设方程的解有如下形式 “5 甜( 孝) = c 、，( 孝) = , v i - i ( 孝) 口j v ( 孝) + 岛扣2 ( 孝) + r 】+ q 。 将其带入原方程，得到关于v ，( 善) ( 可万石) ( ，= o ，l ；- - - 0 ，l ，) 的多项式形式，令它们 的系数为零，可得到未知变量的方程组，通过解该方程组和目标方程得到方程的解。 方法五摄影鼬c c a t i 【5 4 1 方程展开法： 取目标方程为 d i ( 盯( 孝) ，f ( 孝) ) ：掣一盯( 洲乡) a 5 0 2 ( d ( 孝) ，r ( 孝) ) ：d r 丁( 4 ) 一z - 2 ( 孝) + 盯( 孝) 一r a g q ( 吣) ，咐) ) _ - - t 2 ( 卅d r - 2 u 0 ( 4 ) + 竿0 - 2 ( 捌，弘+ l 代入原方程得到关于待定常数的方程组，利用m a p l e 软件求解即可得到原方程的解。 大连理工大学硕士学位论文 3 非线性b l a c k - s c h o l e s 方程的闭形式解 本章介绍了有关期权定价问题的背景，并着重研究了一种带有交易成本的非线性 b l a c k - s c h o l e s 模型美式期权定价问题，利用同伦分析法得到该模型的闭形式解。同时利 用同伦分析法详细求解了一个线性的b l a c k - s c h o l e s 方程。 3 1 期权定价理论概述 在一个不确定的世界中，风险总是处处存在的，而人们总是希望自己承担的风险尽 量小，获得的收益尽量大。而事实上，在激烈的市场竞争中，人们饱受了金融市场变幻 莫测的痛苦，受到了金融危机的威胁。但人总是能吸取教训的! 为了稳定市场，期权应 运而生! 在让无数人知道而难忘的1 9 7 3 年，b l a c k 和s c h o l e s 在美国“政治经济学”杂志 上发表“期权定价模型与公司负责”，m e r o n 在“贝尔经济与管理科学杂志”上发表“期 权的理性定价”，从此，金融衍生品的发展轰隆隆地开始了，向整个世界蔓延1 3 1 1 金融衍生工具 金融衍生工具是一类新型的金融工具，其价格和投资回报最终取决于另一种资产 ( 标的资产) 价格，即：金融衍生工具的价值是由其标的资产的价值衍生而成的。标的资 产可以是债券，股票，货币等基础金融工具，也可以是其他一些实物资产，以及金融衍 生工具本身基本的金融衍生工具有：远期合同，期货合同和期权合同，金融互换等其 中最具特色的是期权合同。金融衍生工具最主要和最基本的功能在于实现风险的转移， 从而为投资者提供套期保值的有效工具或途径为了说明其蕈要性和特殊性，我引用一段 格林斯潘1 9 9 4 年在美国国会听证会上的话：“近儿年发展起来的一批衍生工具提高了 经济效率这些合同的经济功能在于将以前被捆绑在一起的风险分解成不同的部分，并把 各部分的风险转移给那些最愿意承担和管理这些风险的人 。 3 1 2 期权 期权是一种选择权其持有人在规定的时间内有权利但不负有义务按规定的价格买 进或卖出某项标的资产。它的表现形式是一种特定的金融合同，分为买权和卖权两种类 型。买权合同( 看涨期权) 赋予其持有者( 多头或合同的做多方) 在规定的时间内以事先预 定的价格，从买权合同的出售者( 空头或合同的做空方) 处购买一定数量的标的资产的权 利卖权合同( 看跌期权) 赋予其持有者在规定的时间内，以事先预定的价格，向卖权合同 持有者出售一定数量的标的资产的权利。 非线性b l a c k - s c h o l e s 方程求解 根据行使期权合同的不同方式，期权可以分为欧式期权和美式期权。欧式期权的多 头只能在到期日当天行使权利，而美式期权的多头可以在到期日那天之前( 包括到期日 那一天) 的任意一天行使权利。期权合同的持有者只享受权利，不承担义务，而期权合 同的出售者必须承担义务，即：当持有者行使期权时，出售者必须无条件的履行期权合 同规定的义务。所以持有者可以获得行使权利带来的财富增值，而出售者面临受到损失 的风险，所以他得到期权购买者在起初给予的一笔权利金作为补偿。期权持有购买者一 旦支付了权利金，那么无论他是否执行权利，权利金都不予退还。 3 1 3 期