（计算数学专业论文）无界区域上的区域分解算法.pdf

无界区域上的区域分解算法 摘要 本文借助于区域分解思想并基于自然边界归化理论，研究圆外区域椭圆边 值问题的重叠型和非重叠型区域分解算法对非重叠型区域分解算法( 即 d i r i c h l e t - n e u m a n n 交替算法) ，作者将两个子域的d - n 交替算法直接推广做法， 研究了无界区域上的多子域非重叠型区域分解算法，并给出了离散情形d n 算法， 分析了该算法的收敛性及它与r i c h a r d s o n 迭代法的等价性，该算法对于实践中 科学和工程的计算中是非常有效，缩小计算规模对重叠型区域分解算法( 即 s c h w a r z 交替算法) ，作者提出了构造一种并行的s c h w a r z 交替算法，分析了该算 法的收敛性及收敛速度，并说明了该算法在计算效率上高于一般的区域分解算 法，对大型问题的求解是非常有效的 关键词：区域分解算法：自然边界归化：人工边界：多子域d n 交替算法：并行算 法 d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o do fi n f i n i t ed o m a i n a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h r o u g ht h ei d e ao fd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o da n dt h et h e o r y o fn a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o n , w es t u d yo v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d a n dn o n - o v e r l a p p i ngd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o df o re l l i p t i cb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m si na ni n f i n i t ed o m a i n f o rt h en o n - o v e r l a p p i n gd d m ，t h ea u t h o rg i v e sa p r a c t i c eo fd i r i c h l e t - n e u m a n na l t e r n a t i n ga l g o r i t h m ，w h i c ht h ed i r e c tp r o m o t i o no f t w os u b d o m a i no ft h ed - na l t e r n a t i n gm e t h o d d i s c r e t ed - na l g o r i t h mi sg i v e n t h ec o n v e r g e n c eo fa l g o f i t h mi sg i v e na n di ti se q u i v a l e n tt ot h er i c h a r d s o ni t e r a t i v e a l g o r i t h m o u rm e t h o di sp e r f o r m a n c ef o rt h e s c i e n c ea n de n g i n e e r i n gp r o b l e m s w h i c hr e d u c e st h es c a l eo ft h ec a l c u l a t i o n f o ro v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o n m e t h o d ，t h ea u t h o rp u t sf o r w a r das t r u c t u r eo fp a r a l l e ls c h w a r za l t e r n a t i n ga l g o r i t h m t h ec o n v e r g e n c eo ft h i sa l g o r i t h mi sg i v e na n dt h ec o n v e r g e n c er a t eo ft h ea l g o r i t h m f o ra ne x t e r i o rc i r c u l a rd o m a i ni sa l s oa n a l y z e d i ti se x p l a i n e dt h a tt h ep a r a l l e l a l g o r i t h mi sh i g h e rt h a nt h eg e n e r a ld o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o di nt h ee f f i c i e n c y o fc a l c u l a t i o n ，a n do u rm e t h o di sp e r f o r m a n c ef o rt h el a r g e s c a l ep r o b l e m k e yw o r d s ：d o m a i nd e c o m p o s i t i o na l g o r i t h m ；n a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o n ；a r t i f i c i a l b o u n d a r y ；m u l t i s u b d o m a i n d - na l t e r n a t i n gm e t h o d ；p a r a l l e l a l g o r i t h m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得 金壁王些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文储虢聚4 - 冉 签字日期：口( 7 年徊8 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金艘王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权金 旦巴王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者虢黎4 再 签字日期：口7 年牛月8 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 签字日期明年牛月莎日 电话： 邮编： 致谢 在论文完成、毕业即将来临之际，我就要离开学习和生活了近三年的 工大校园，想自己从当初的懵懂青年成长为掌握了一技之长即将踏入社会 工作岗位的一位硕士毕业生，心里的感激之情难以言表。 首先我要特别感谢我的研究生导师王寿城老师的热情关怀和悉心指 导。在我读研的近三年问，得到了王老师的精心指导，无论是在研究课题 的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方 面，王老师给了我许多富有成效的建议和帮助，他的悉心指导是我完成毕业论 文不可或缺的，特别是王老师广博的学识、严谨的治学精神和一丝不苟的 工作作风给我留下深刻的印象，将使我终生受益，在此表示真诚的感谢。 其次非常感谢数学系的师友。我的本科和研究生阶段都是在数学系度 过的，在这里，我遇到了很多的良师益友。首先非常感谢叶老师，她是我 本科毕业论文的指导老师，是她把我带入学术研究的大门。其次感谢大学 三年来我的所有任课老师，朱功勤老师，苏化明老师，檀结庆老师等等， 他们毫无保留地将他们的学识和做人经验传授给我。最后感谢我的所有同 学，在研究生阶段对我的工作和学习给了很大的支持和帮助，同时也非常 感谢那些默默地关心、支持、帮助过我的其他师长和朋友。 最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专 家表示衷心地感谢! 作者：张丹丹 2 0 0 9 年0 2 月1 0 日 1 1 区域分解算法概述 第一章绪论 在实践中提出的科学与工程问题，如油、气藏的勘探与开发、航天飞行器的 设计、大型水利设旋的建筑、反应堆的设计等等，其数学模型皆属高维、大范围 的偏微分方程所以科学计算的核心就是如何计算偏微分方程实践中的问题规 模如此之大，单靠计算机硬件的发展是远为不够的因此，研究高效率的计算方 法在过去、现在和将来都是提高计算能力的重要途径一类被称为区域分解算法 的偏微分方程数值解的新技术骤然崛起，并愈来愈受到人们重视 1 区域分解算法的发展史，最原始的思想可追溯到1 8 7 0 年德国数学家 h a s c h w a r z 2 提出的著名的s c h w a r z 交替法，但s c h w a r z 本意是借用交替法论 证非规则椭圆型方程解的存在性与唯一性直到本世纪五十年代，才有人把 s c h w a r z 方法用于计算，但未引起计算数学家的确特别注意六十年代，k m i l l e r 3 是最早把s c h w a r z 方法用于计算的数学家，康立山在1 9 7 9 年推广 s c h w a r z 方法用数值计算上康立山 4 e 5 与唐维伯 6 应用解的渐进展开，论证 了矩形域上p o i s s o n 方程的s c h w a r z 交替法收敛速度与重叠域的关系，p l l i o n s 7 应用极值原理论证了一般域上的二阶椭圆方程的s c h w a r z 交替法的收 敛速度与重叠域的关系近十年来，由于并行计算机问世并且日益普及，经典的 串行计算格局不适应于并行计算机，传统的算法受到挑战如何构造高度并行的 算法是提高计算速度的关键我们面临的科学与工程问题是如此之浩大，计算能 力的提高有赖于计算机与计算方法两方面的发展，而区域分解算法正是在这种 背景下应运而生 区域分解算法是八十年代崛起的新方向由于该方法能将大型问题分解为 小型问题、复杂边值问题分解为简单边值问题、串行问题分解为并行问题，因此 1 9 8 5 年以后研究渐趋活跃1 9 8 7 年之后，每年召开一次国际会议美、苏、法、 意、中国等数值分析家竞相参加此项研究进入九十年代，区域分解算法已成为 当今计算数学的热门领域，其趋势方兴未艾 一 m 简而言之，区域分解算法是把计算区域q 分解为若干子域：q = ij q ，子域 q ，的形状尽可能规则，于是原问题的求解转化为在子域上求解区域分解算法 特别受关注是因为它具有其它方法无以比拟的优越性： i ) 它把大问题化为若干小问题，缩小计算规模 i i ) 子区域形状如果规则( 如长方形) ，其上或者允许使用熟知的快速算法， 如快速f o u r i e r 变换( f f t ) 、谱方法、f 方法等：或者已经有解这类规则问题的 高效率软件备用 i i i ) 允许使用局部拟一致网格，无需用整体拟一致网格甚至各子域可以用 不同离散方法进行计算。这对于形态极不规则的问题，如锅炉燃烧问题：炉体部 分与烟筒部分几何尺寸相差很大，整体计算为了对付烟筒部分，不得不把网格加 的得很密，而区域分解算法可以把这两部分分别处理，具有很大的灵活性其它 如建筑结构中的板、梁组合结构，轧辊设计等也有类似情况 i v ) 允许在不同子域选用不同的数学模型，以便整体模型更适合于工程物 理实际情况例如，油、气藏模拟中，靠近井管部分流速快，应服从非d a r c y 流规 律，而远离井管处则服从d a r c y 流规律，分解区域时应考虑在不同子域选用不同 数学模型；又如气体绕飞行体流动，在边界层附近为粘性流，在边界曾外为无粘 流，二者有不同的数学模型，使用区域分解算法易于在不同子域选用更合于实际 的模型：再如对数学中颇为棘手的混合型方程，如果我们把区域的椭圆型部分与 双曲型部分作为两个子域考虑，在子域内进行计算，就简单多了 v ) 算法是高度并行的，即计算的主要步骤是在各子域内独立进行的 v i ) 对对称区域问题有更简单的区域分解算法 上述各点，以缩小规模及并行计算尤为根本 1 2 自然边界元方法概述 许多物理问题可通过不同途径归结为不同形式的数学模型，它们或是表现 为偏微分方程的边值问题，或是表现为区域上的变分问题，或是归结为边界上的 积分方程这些不同的数学形式在理论上是等价的，但在实践中并不等效，它们 分别导致有限差分法、有限元方法和边界元方法等不同的数值计算方法 边界元方法是在经典的边界积分方程法的基础上吸取了有限元离散化技术 而发展起来的一种偏微分方程的数值解法它把微分方程的边值问题归化为边 界上的积分方程然后利用各种离散化技术求解对微分方程作边界归化的思想 早在上世纪就已出现，但将边界归化应用于数值计算并为此目的深入研究边界 归化理论则是从本世纪6 0 年代才开始的随着电子计算机的广泛应用，也使得有 限元方法蓬勃地发展人们将有限元技术与经典的边界归化理论相结合，为边界 积分方程法在工程技术和科学计算中的应用打开了新局面于是7 0 年代后期，边 界积分方程法开始被成为边界元方法，并被许多科学家和工程师看作继有限元 方法之后出现的一种新的、重要的数值计算方法大量的理论和应用研究正是在 此期间开始的c a b r e b b i a ，g c s i a o ，w l w e n d l a n ，j c n e d e l e c 以及我国 的冯康、杜庆华等人对这一方法的发展与推广都作了大量的工作边界元方法已 被广泛应用于弹性力学、断裂力学、流体力学、电磁场和热传导等领域的科学 研究和工程技术的数值计算 边界元方法的主要优点是将所处理问题的空间维数降低一维它只须对边 2 界进行单元剖分，只要求出边界节点上的解函数值就可计算区域内任意点的解 函数值这对于无界区域上的问题特别有意义边界元方法也有其局限性由于 数学分析的复杂性，边界元方法对变系数、非线性问题应用受到了限制在数值 计算方面，也由于得到的刚度矩阵的非稀疏性而增加了一些困难但尽管如此， 用边界元方法计算许多工程问题的成功仍引起人们对这一方法的充分重视几 十年来边界元方法的研究和应用不断取得新的成果，每年都有大量的文献出版 这一方法与有限元法的结合也为进一步开拓起应用范围提供了可能 1 9 7 8 年1 0 月，我国学者冯康先生应法国国家科学研究中心及意大利国家科 学院邀请赴法、意讲学在这次讲学中，冯先生首次提出了一种全新的边界归化 方式一正则边界归化 8 由于这种边界归化保持能量不变，原边值问题的许多有 用的性质如双线性对称性、强制性等均被保持，从而积分方程的解的存在唯一性 及稳定性等结果也就随之而得这一优点也保证了边界归化与经典有限元方法 能自然而直接地耦合与一般边界归化得到的边界积分方程也取决于归化途径及 所选择的基本解不同，自然积分方程是由原边值问题唯一确定的，它准确地反映 此边值问题的解的互补的微分边值之间的本质的关系因此，后来冯先生又将正 则边界归化改称为自然边界归化 9 ，这一提法一直沿用至今 基于自然边界归化的边界元法称为自然边界元方法，它是由g r e e n 函数和 g r e e n 公式出发，将微分方程边值问题归化为边界上强奇异积分方程，然后化成 相应的变分形式在边界上离散化求解的一种数值计算方法随着超奇异积分的 计算问题在二维领域中得到解决 1 0 ，自然边界元方法获得了极大的发展到八 十年代中期，自然边界元的研究工作就已在二维问题中取得了许多重要成果 1 1 - 1 8 余德浩的专著 1 9 的出版则是自然边界元方法趋于成熟的重要标志 该书建立了自然边界元的一般理论框架，并系统地研究了二维调和问题、重调和 问题、平面弹性问题和s t o k e s 问题的自然边界元法及自然边界元与有限元的耦 合算法此后， 2 0 及 2 1 又分别研究了二维及三维h e l m h o l t z 方程边值问题的 自然边界元法 与一般边界归化得到的边界积分方程取决于归化途径及所选择的基本解不 同，自然积分方程是由原边值问题唯一确定的，它准确地反映此边值问题的解的 互补的微分边值之间的本质的关系我们可以通过各种不同的途径，例如 1 9 中 使用的g r e e n 函数法、f o u r i e r 级数法及复变函数论方法等来推求自然积分方程， 但殊途同归，对同边值问题只能得到同一个自然积分方程因此可以说，自然边 界归化中占有特殊的地位并具有许多优越性从数值计算的角度也将看到自然 边界元方法的许多优点，如刚度矩阵的对称正定性，近似解的稳定性，以及在处 理无穷区域及断裂区域时仍保持理想的精度，等等特别是对于圆周边界的情况， 自然边界元刚度矩阵还有某种循环性，于是我们并不需要计算全部矩阵系数，而 只要计算大约半行系数就可以了这样一来，与一般边界元方法由于刚度矩阵系 3 数计算的复杂性使得边界元降维的优点在很大程度上被抵消不同，自然边界元 方法确实使计算量大为减少 自然边界元方法也有其明显的局限性其困难主要是解析上的，因为对一般 区域而言，g r e e n 函数往往难以求得其它可用以求得自然积分方程的途径也有 同样的局限性因此我们仅对少数典型区域应用自然边界元方法，而对一般区域 则应用自然边界元与有限元耦合法其实，所有边界元方法都有局限性与有限 元方法耦合对于所有边界元方法都是极其重要的从这个观点看，自然边界元方 法的优越性就极为明显了，因为唯有自然边界元与有限元的耦合是基于同一变 分原理的自然而直接的耦合 2 2 2 3 这种耦合综合了自然边界元方法与经典 有限元方法的优点，既克服了自然边界元方法对区域的局限性，又使经典有限元 方法能适用于无界区域及裂缝区域正如冯康教授所指出的，边界元方法应作为 有限元方法的一个组成部分，完全适合在有限元方法的框架内发展 1 3 预备知识 首先给出有关s o b o l e v 的一些概念和定理【2 4 j 定义3 1 设q 是r ”的有界开集，用x = ( x l x 。) 表示r ”中的点，e ( n ) 表 示q 上由可测函数构成的等价类，即视几乎处处相等的可测函数为同类函数对 1 p ，定义函数空间 r e ( n ) = 0 e ( q ) ：l i u ，出 ， 并用胪( q ) = ( h 出) p 规定范数对于p = o 。，按常例用r ( q ) 表q 上真性有 界函数空间，其范定义为 l l u l , o , = e 。s 。u p l “( 刮， 用。及。表示“关于( q ) 及r ( q ) 的范 p ( q ) 是b a n a c h 空间，且当l 。，f = 1 ，肌，善mi 1 = l ，则 出闯吨川i 如 局部空间是有用的概念，定义为 l l ( n ) = n l p ( q ) ：q c cq ) 定义3 2 广义导数 首先引进记号： d 口= d f d 乒，d r = 兰，口= ( 口l ，口。) ， c w 。 而| 口f = 口， 设“，为q 上局部可积函数，若 徊2 9 出= ( 一1 ) 川1 ，妒出，v 缈c o ( a ) 成立，则称1 ，为”的口次弱导数 设 “。) 是c ”( q ) 中的函数列，若u 。按e 。( q ) 度量收敛到甜，而d “。收敛到 v ( 当m o o ) ，则称，为”的口次强导数 引理3 3 强导数与弱导数一致 证明见 1 可引入正则函数的方法证明上述引理 称弱( 强) 导数为广义导数把所有在q 内存在h k 阶广义导数的全体函 数构成的线性空间记为w 。( q ) 显然c ( q ) cw 。( q ) 今后导算子d 。或d 皆视 为广义的 定义3 4 取p 1 ，k 为非负整数，定义s o b o l e v 空间如下： 嘭( q ) = 似w 。( q ) ：v l , 4 - - k ，d 4 “f ( q ) ) 嘭( q ) 中的范数定义为 i l u l b q 一驯d 口i ( 1 3 1 ) l a l k 在赋予范( 1 3 1 ) 后，嘭( q ) 是完备的b a n a c h 空间如果七= 0 ，显然略( q ) = p ( q ) 如果p = 2 ，嘭( q ) 是h i l b e r t 空间，简记为h ( q ) 这是由于在h ( q ) 中可定义内积 p 上i 篆诎 接下来考虑s o b o l e v 空间中函数在区域边界上的迹 定理3 5 如果区域q 具有线段性质，则对l p 0 ，使得 l i r ： l b - c i 孕 i 。q ，v 妒c i ( _ ) 证明见 2 4 可用f o u r i e r 变换及范数的定义来证明上述定理 由定理3 6 ，即可定义日1 ( q ) 中函数的边值事实上，若1 ，h 1 ( q ) ，则存在 纯c 1 ( q ) ，使得 一v 忆qj 0 ，当刀寸时 从而娩) 是h 1 ( q ) 中的c a u c h y 序列： 0 吼一k o ，当行，m - - o o 时 由定理3 6 知 0 吼一，0 伊。0 。，m c l i 一伊。| l l q 一0 ， ，z ，小一， 即 r o e p 。) 是r ( a q ) 中的c a u c h y 序列，由l ( a n ) 的完备性，则存在r ( 讹) ，使 6 得 这样，即可定义= r o y ，则 0 ，0 一忆船一0 ， l l o m - 0 ，使得 d ( 1 ，) 口l i v i | ，v ve y ( q ) 证明见 1 9 在上述引理中，d ( u ，) 为y ( q ) 上的对称连续双线性型易得，因此只需证明 y 一椭圆性 定理2 4 n 9 1 若以h2 ( r ) 且满足相容性条件( 2 2 3 ) ，则变分问题( 2 2 4 ) 在商空间y ( q ) = h 1 ( a ) p o 中存在唯一解甜，且解连续依赖于给定边值以 证明见 1 9 所谓在商卒_ r , - - jh 1 ( q ) 只中存在唯一解是指在h 1 ( q ) 中存在解，且解在可差 一只中函数的意义下唯一这里只为常数函数全体 对于右端项f 0 的p o i s s o n 方程，n e u m a n n 问题的相容性条件为 f d x d y + f 4 d s = 0 当这一条件被满足时，同样有相应的变分问题在商空间矿( q ) 的解的存在唯一 性 若q 为无界区域，则变分问题的解函数空间日1 ( q ) 应换为 吣) _ 甜i 丽再蒜，罢，考锄跳 ( 2 2 6 ) 见 1 9 2 3 圆外部区域匕的自然积分方程及p o i s s o n 积分公式 考察圆外区域q 上的调和边值问题，设g ( p ，p ) 为关于区域q 的g r e e n 函数， 其中p = ( x ，y ) ，p = ( ，y ) 为平面上的点令 尸( p ，p ) 一咖o - 望- - g ( p , p ) ， 聊卜_ 丽9 2 咖，r 分别表示p o i s s o n 积分公式及自然积分方程的积分核 通过f o u r i e r 级数法可得到圆外部区域的自然积分方程及p o i s s o n 积分公 式，后面的定理中我们将会用到这种方法 半径r 为的圆外部区域q 的边界在极坐标( ，目) 下即为r = 缸，护) l ，= 尺， 秒 o ，2 万】) ，而1 1 上的外法线方向正是r 的负方向 aa 1 2 先设r = l ，即考虑单位圆外部区域 已知单位圆外调和函数可表示为如下级数形式 甜：一+ 1 0 吖i n i p 伽， 其中以。= a n ，刀= 0 , i ，2 ，于是 风( p ) = “( 1 ，臼) = 一口。p 加， 以( 口) = 一昙( 1 ，p ) = 一4 - 0 0 。p 姗o r二 + c a 令“= 尸木。，“。= k 宰鳓，p = p 。口枷，k = k e 伽，便得 a n r l i = - 2 x p 。口。，l ，z l a 。= 2 x k a 从而由见：一去少i 及吒：婴可得 z死厶疆 及 + 田11 尸= 一专陋i = 一寺( 儿肿+ 艺r e - 加o ) ，差二2 万2 7 r 、篇鲁 1 ， 1 r e 一坩、 r 2 1 2 一万( 丽+ 1 - r e - ，口) 2 2 x ( 1 - r e 口) ( 1 - r e - 口) r 2 1 2 乃n + r 2 2 ，c o s o ) 。 小薹e m o = 一去。 2 冥最后一步让明见l 1 9 j 于是豆剐得剑p o i s s o n 积分公式 “( ，- ，口) = 葡鬲r 巧2 - 1 f 鬲丽宰鳓( 伽， r ，( 2 3 3 ) 艄一丽1f 墨彬 ( 2 3 4 ) 2 2 4 圆外区域自然积分方程的直接研究 设圆域半径r = 1 单位圆外区域调和方程的自然积分方程由( 2 3 2 ) 给出 心( 秒) = 一南风( 口) = k 。( 臼) 4 r ：s i n 2 二 2 由此出发定义双线性型 “。，：f 5 (24d(izv o )v o ( o ) k o ( o ) a o 4 1 ) 。， 2 j ： ( 2 1 ) 引理4 1 n 钔由单位圆外调和方程的自然积分算子k 导出双线性型 l d ( z 。，y 。) 为商空间h2 ( r ) p o 上的对称正定、y 一椭圆、连续双线性型，其中昂为 r 上的常数函数全体 证明见 1 9 引理的证明过程中我们引入了f o u r i e r 级数法及l a x m i l g r a m 定理 这里，尽管一i _ i 处处为负值，但由 4 z s i n 2 k 一二万 4 z s i n 2 二 2 导出的双线性型却是正定的这种奇特现象正是由积分核的强奇异性所引起的 i 。一三 定理4 2 n 9 1 若已知边值以h i ( f ) 且满足相容性条件，即以h2 ( r ) ， 则单位圆外调和方程的自然积分方程( 2 3 2 ) 在商空间hz ( r ) p o 中存在唯一 解 证明见 1 9 1 定理4 3 n 9 1 若已知边值以日j ( r ) 且满足相容性条件【i z d o = 0 ，则相 应于单位圆外调和方程的自然积分方程( 2 3 2 ) 的变分问题 1 4 求日2 ( r ) ， 使得 ， ( 2 4 2 ) 弋iz 4 z ) p ( 硒，v o ) = f ( v o ) ，v v o h 2 ( r ) 1 在商空间h 2 ( r ) e o 中存在唯一解，且解连续依赖于给定边值以 证明见 1 9 由上述定理，我们得出自然积分方程( 2 3 2 、与变分问题( 2 4 2 ) 等价，且在 l 商空间h 2 ( r ) p o a ：存在唯一解因此，求自然积分方程( 2 3 2 ) 的问题可转化为 求变分问题( 2 4 2 ) 3 1 引言 第三章无界区域上的非重叠型区域分解算法 文 2 9 首次提出了无界区域上基于自然边界归化的非重叠型区域分解算 法，并应用此方法求解了二维p o i s s o n 方程外边值问题这一方法同时具备了自 然边界元方法和区域分解算法的优点其基本思想是：先引入一个人工边界( 二 维情况一般选为圆周) ，将原无界区域分解为一个“很小的有界子区域和一个 典型的无界子区域( 即圆外区域) ，然后通过交替求解这两个子区域上相应问题 来获得原问题的近似解在有界子区域上的问题通常使用有限元方法求解，在无 界子区域上的问题则使用自然边界元方法求解如二维调和方程和h e l m h o l t z 方程，它们的外问题的非重叠区域分解算法都已经为大家所熟悉 3 0 一3 3 文 3 0 3 3 介绍了无界区域上两个子域的非重叠型区域分解算法，而对于 科学和工程计算，有必要设计和分析比较一般的有限元离散情形下的非重叠型 区域分解算法文 3 6 3 7 分别讨论有界区域上的多子域的非重叠型区域分解算 法本章则是在此基础之上，作者提出了一种新的算法，讨论了无界区域上的多 子域情形的非重叠型区域分解算法为了简单起见，以三个子域为例，并分析了 其离散问题迭代的0 r j o ) 于是我们提出如下 多子域d - n 交替算法： 步1 选取初始刀日j ( r 1 ) ( f - 1 ，肌一1 ) ，以：= 0 步2 在q 。上解d i r i c h l e t 边值问题 p ”二q m 皇 ( 3 2 4 ) b ：= 以- l ， r 卅一。上 步3 在q i “= 2 ，m 一1 ) 上解混合边值问题 其中娑是“? 沿外法向的方向导数 d 玎： 步4 在q 。上解混合边值问题 0 ， 锄； 锄2 q 内， ，e 上 ( 3 2 5 ) l 一。上 q l 内， r 1 上， r 0 上 步5 在r j ( f = 1 ，肌一1 ) 上置雒= o u j | + ( 1 一秒) 刀 步6 置刀= 刀+ 1 转步2 1 7 ( 3 2 6 ) 。：芏l：壬 仉丝锄 ， = 一 一 一 他缸堕溉。产以型锄砰 = 一 b 。r l l 缸堕h 。r“型锄吖 求解区域q ，( f = l ，m - 1 ) 上的问题( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 时可采用有限元法，而问题 ( 3 2 4 ) 实际上并不需要求解，因为只需要知道边界f 埘。上的函数的值，“| ：可以 利用p o i s s o n 积分公式( 3 2 3 ) 得到 将有界区域q ，( i = i ，聊一1 ) 作正规三角剖分，且任何单元p q 。都只能 含于某个西内设圪为上述剖分的有限元空间，作圪的子空间 叼= 1 1 n 。：v 圪；( f - 1 ，m - 1 ) ， 万= i ，碟：叫l = o ( ，m 一1 ) 定义双线性形式 q ( “，v ) = 【v u v v d x ，v u ，v h 1 ( q j ) ( 3 2 7 ) 多子域上的离散d - n 交替算法的离散格式： l 步1 取砖，h 2 ( t ) ( f = 1 ，m - 1 ) ，置，l ：= 0 步2 在q ，上解离散的d i r i c h l e t n e u m a n 问题 口。( “：，v ) ：【挈诎，v v 万( ， i 册， ” n l 呀， 训h = 鳓 步3 在q 。( 待2 ，m 1 ) 上解离散的d i r i e h l e t n e u m a n 问题 姒比h iv ) = e _ 筹v 出m 订( 啪= 2 ，。旷1 ) ， l d h “i “， 圳l = 礁 其中掣是“脏i 沿外法向的方向导数 o n i 步4 在q 。上解d i r i c h l e t 问题 嚣笺! ：蒜 为了叙述方便，不妨设所= 3 ，一般情形的推导和证明是类似的设哦，町， 讲，钟，瑶分别表示人工边界r 2 上、区域q ：内、人工边界r l 上、区域q - 内、 内边界r o 上的函数值向量，则d - n 交替算法的离散化，其迭代过程可写成 雩k n 萎曼 囊 = 一 ， c 粥， 雕k 2 2k 2 j 鞭 _ 甜 慨3 2 ， 及砖“= o u + 0 - 0 ) a , ， 人拿1 = 臼u ；+ ( 1 一秒) 人乞 限元得到硝为弼。在人工边界r l 上的相应的函数值向量，鸠为笼：在人工边 界r 2 上的相应的函数值向量b 正好是人工边界r l 上的自然边界元刚度矩阵，c 砖1 ( 人? ”- a ：) = e v o 一瓯。衅) ， ( 3 4 1 ) 碰2 ( 吖1 _ 鸠) = 既：( u ：一鸠) 一斛孙b ( u 。一q ) ( 3 4 2 ) 1 9 其中最。= 9 1 + 男，两1 = k f ：一k 。，k k 。，r = 五，巧1 k 。碥， 两2 = k 2 2 - k 2 ( 岛( k p ) 一k l ) 一k 即= 一k ：( 如一k j 。( 砰) 一k 。1 k j 。( 砰) 一， s 2 = s 2 + c 证明：( 3 4 1 ) 的证明见 3 3 设( ，u ) 是如下方程组的解 隧k 2 2 荆k u0 k i i 巧z 川，l l k f ；人u tj= - c u 2 0 b u l 融k22kk 鞭kn 驯u 豢0 0u 斟 l ，z 门l i 一，l = l 1 l k t k f p 八u ? 一u l ，jib ( 人：一t ) j k 2 ：一k ：( - k j 。( 群；) k l ) k j 2 】；一) = c ( u ：一鸠) 一k ：( 如- k 一( k p ) k 。1 k ( k p ) b ( u l q ) 砖2 ( 人；“一人：) = 臼& 2 ( 明一a 2 ) = 町砖2 ( 明一) + 砖2 ( 一人：) = 口 ( c + 碰2 ) ( 一鸠) 】一a 鞋孙b ( u 。一q ) = a 甄：( u 2 一鸠) 一a 辚孙b ( u l 一人：) 定理4 2 存在一个与子区域q 。，q ：上的有限元网格参数h 无关的常数 盯( o 盯 1 ) ，使得当0 r o u 2 一人譬1 = 【，一目( s 2 ) s