（光学专业论文）傅里叶变换轮廓术的若干问题研究.pdf

四川大学硕士学位论文 摘要 傅里叶变换轮廓术的若干问题研究 光学专业 研究生李满海指导教师陈文静 摘要 光学三维面形测量在工业测量、机器视觉、实物仿形、制鞋服装设计、 生物医学等领域具有重要意义和广阔应用前景。基于条纹投影的傅里叶变换 轮廓术( f t p ) 具有单帧获取，全场分析和高分辨率等优点，成为三维传感的基 本方法之一。随着计算机技术硬件和软件的发展，以及图像获取设备分辨率 的提高，傅里叶变换轮廓术倍受人们的关注，成为三维传感中最重要和最活 跃的研究领域之一。 本文在离散傅里叶变换分析理论的基础上，深入讨论抽样对f t p 的影响。 重点讨论c c d 的取样模型，致力于分析实际测量中c c d 像元对f t p 测量精 度的影响，完善了f t p 中的抽样模型。最后从频域滤波角度分析提高f t p 测 量精度的新方法。主要研究成果如下： l 、针对讨论抽样对f t p 影响中存在的缺陷，着重研究了c c d 成像所完 成的第一次取样，以及c c d 的取样中所涉及信号的带宽限制和频谱混叠问 题。建立了c c d 的取样模型，分析了c c d 像元的尺寸对f t p 测量精度的影 响，并给出了相关的表达式和判断准则，使得f t p 的研究更贴近实际测量。 2 、由于频谱滤波是f t p 中很重要的一个过程，也是影响f t p 测量精度 的一个重要因素。本文提出一种门限滤波方法，针对正弦结构光场情况，这 种滤波方法无需手工选择滤波函数，又可以很好地保留有效高频信息，并有 效消除c c d 采集的变形光栅条纹中混入的随枫干扰噪声。 关键词：离散傅里叶变换、抽样、三维面形测量 四川大学硕士学位论文 摘要 s t u d y o ns o m ep r o b l e m si n f o u r i e rt r a n s f o r m p r o f i l o m e t r y m a j o ro p t i c s g r a d u a t el im a n h a ia d v i s o r w e n j i n g c h e n a b s t r a c t o p t i c a l3 - dp r o f i l o m e t r yi su s e dw i d e l yf o ri n d u s t r ym e a s u r e m e n t ，m a c h i n e v i s i o n ，p r o f i l em o d e l i n g ，s h o e m a k i n ge n g i n e e r , b i o m e d i c a li n d u s t r y , e t c f o u r i e r t r a n s f o r m a t i o n p r o f i l o m e t r y ( f t p ) b a s e d o nf n n g ep r o j e c t i o ni so n eo fa r t i m p o r t a n t3 - ds e n s i n gm e t h o d ，i n c l u d i n gf o l l o w i n gm e r i t s ：o n l yo n ef r i n g en e e d e d ， f l a i lf i e l da n a l y s i s ，a n dh i g h p r e c i s i o n w i t h t h ed e v e l o p m e n to f c o m p u t e rh a r d w a r e a n ds o f t w a r et e c h n i q u ea n d h i g h - r e s o l u t i o ni m a g eg r a b h e r , f t p h a sb e c o m eo n eo f t h em o s ti m p o r t a n ta n dp o p u l a rm e t h o d sa n dp a y e dm o r ea n dm o r er e s e a r c h e r s a t t e n t i o n b a s e do nt h ed i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r ma n a l y t i c a l m e t h o d ，t h i sp a p e r d i s c u s s e st h ei n f l u e n c eo ft h ep i x e ls i z eo fc c da n dp r o p o s e san e wf i l t e r i n g m e t h o d t h em a i nr e s u l t sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w i n g ： l 、a i m e da tt h ep r o b l e m se x i s t e di nt h es t u a yo fi n f l u e n c eo f s a m p l i n gi nf t p , w ed i s c u s st h ef r s ts a m p l i n gw h e nc c d c a p t u r e st h ei n f o r m a t i o no fo b j e c t ，a n d d i s c u s st h ei n f l u e n c eo f t h ep i x e ls i z eo fc c d ，s u c ha st h el i m i t a t i o no f b a n d w i d t h a n dt h ef r e q u e n c yo v e r l a p p i n g n o ww ed i s c u s st h es a m p l i n gm o d e lo fc c da n d g i v et h ee x p r e s s i o na n ds a m p l i n gs e l e c t i o nc r i t e r i a 1 1 1 e d i s c u s s i o nm a k e st h e r e s e a r c ho f s a m p l i n gt h e o r yi uf t p m o r ea c t u a l l ya n d p r a c t i c a l l y ， 2 、f i l t e r i n gi sa 1 1i m p o r t a n tp r o c e s s i nf o u r i e rt r a n s f o r mp r o f i l o m e t r y , a n di ti s a l s oa ni m p o r t a n tf a c t o rf o ri n f l u e n c i n gp r e c i s i o n i nt h i sp a p e r , an e wf i l t e r i n g m e t h o di s p r o p o s e d ，w h i c hi s a ne f f i c i e n tm e t h o dt o i m p r o v e t h em e a s u r i n g p r e c i s i o n t h i sm e t h o d c a n k e e pe n o u 咖f r e q u e n c y a n de l i m i n a t et h er a n d o m n o i s e ， 四川i 大学硕士学位论文摘要 a n dt h e r ei sn on e e dt oc h o o s eaf i l t e r i n gw i n d o w k e y w o r d s ：d i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m 、s a m p l i n g 、3 - ds h a p em e a s u r e m e n t 四川大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 随着计算机技术、光学和光电子技术的迅速发展，传统的光学计量技术发 生了很大的变化，新的三维传感和计量方法也不断涌现。基于结构光照明的光 学三维面形测量( 又称光学三维传感) 方法具有非接触、高精度、高速度以及 易于在计算机控制下实行自动化测量等特点，在机器视觉、自动加工、工业自 动检测、产品质量控制、生物医学等具有重要意义和广泛的应用前景m ”。 1 1 光学三维传感 光学三维传感是获取三维面形表面各点的空间坐标的方法和技术。如图1 1 所示，获取三维面形信息的基本方法可以分为两大类：被动三维传感和主动三 维传感1 4 】。 r 被动如双h 视凳1r 直接三角法 主誊譬r 空魄 调制度瓣量 形测量1f 空魄1 散斑投爰至法 l 主动( 结构照明1。嚣繁量p m 法p ) 。时阕( 如t o 黔 图1 - 1 三维传感技术分类 被动三维传感采用非结构照明方式，从一个或多个摄像系统中获取的二维 图像中确定距离信息，形成三维面形数据。被动三维传感需要大量的相关匹 配运算，当被测目标的结构信息过于简单或过于复杂时，或被测物体上各点的 反射率没有明显差异时，这种相关运算将变得十分复杂和困难。因此被动三维 传感方法常常用于三维目标识别、位置形态分析等。这种方法结构简单，在无 法采用结构光照明的情况下具有独特的优点，尤其适用于机器视觉领域。 主动三维传感采用结构照明方式，利用三维面形对结构光场的空间和时间 调制，从携带有三维面形信息的观察光场中解调得出三维面形数据【5 ，6 ，。主动 三维传感具有非接触、高灵敏度、高测量糯度、高自动化等优点。主动三维传 四川大学硕士学位论文第章绪论 感可分为时间调制和空间调制两大类。 时间调制方法主要包括飞行时间法( t i m eo f f l i g h t ，简称t o f ) 1 ，直接测 量激光或其它光源脉冲的飞行时间来确定物体面形。 空间调制方法主要采用三角法测量原理。在基于三角测量原理的方法中， 不同的测量技术中从观察光场中提取三角计算所需几何参数的方式不同，一般 又可分为四大类：调制度测量法、散斑投影法、直接三角法、位相测量法。 调制度测量法【1 2 1 主要特点是投影方向与观察方向相同，可避免阴影的影响， 用于测量空间分布不连续的复杂三维物体表面具有明显优势。直接三角法轮廓 测量术包括：激光逐点扫描法( 6 , l 3 , l 4 1 、光切法【1 5 。8 1 和二元编码投影法f 1 9 1 。位相禊8 量法包括：莫尔轮廓术( m o i r 6p r o f i l o m e t r y ) 1 9 , 2 0 】，傅里叶变换轮廓术( f o u r i e r t r a n s f o r m p r o f i l o m e t r y , 简称f t p ) t 2 1 , 2 2 】，位相测量轮廓术( p h a s em e a s u r i n g p r o f i l o m e t r y , 简称p m p ) t 2 ”，空间位相检n i l ( s p e c i a lp h a s ed e t e c t i o n ，简称s p d ) t 2 4 1 等。 傅里叶变换轮廓术是基于位相测量的光学三维传感技术。基于条纹投影的 f t p 测量方法只需采样一帧或两帧条纹图就可以恢复被测物体的三维形状，测 量速度快，而且具有全场分析和高分辨率等优点。因此自提出以来，f t p 测量 方法受到人们的广泛关注。很多研究者口”1 对f t p 进行了改进研究。 1 2 改进的f t p 研究 1 、( 准) 正弦投影和厅相移技术l ”2 “2 7 】 采用( 准) 正弦投影和万相移技术，条纹的空间频率中只留下基频分量。准 正弦投影指沿投影光轴将光栅移动一定的距离，使系统离焦，这导致系统的脉 冲响应扩展，此时r o n c h i 光栅像的边沿平滑，并扩展，逐渐接近于正弦分布。 两次采样得到的条纹强度相减后，可以消除参考平面背景的影响。 随着大规模集成电路制作工艺的快速成熟，利用面积调制方法【2 8 1 可以得到 精确的正弦结构光场。在正弦光栅投影情况下，对条纹进行两次采样，在第二 次采样时，将光栅沿垂直于投影光轴且垂直于栅线的方向移动半个光栅周期。 2 、基于双色条纹投影的傅里叶变换轮廓术口” 采用正弦投影和厅相移技术可以消除零频和高次谐波对傅里叶变换轮廓术 钡4 量结果的影响。但是测量系统中需要安装精密相移装置来完成石相移，增加 四川大学硕士学位论文 第一章绪论 了系统的复杂性。傅里叶变换轮廓术测量中采用投影一帧具有7 相移的双色正 弦光栅图在被测物体表面，用彩色数码相机记录信息，利用它们完成从一帧条 纹图中消除零频。该方法同传统的z 相移方法相比，不需要相移装置，测量系 统简单，能真正实现动态和瞬态测量。 3 、离散的傅里叶变换轮廓术【3 0 l 在实际f t p 测量中，摄像系统获取的是变形结构光场各个离散样点上的强 度值，f t p 处理的是离散分布的信息。显然抽样的影响是不可忽略的。而离散 信号的傅里叶谱具有周期形态，频域中所需要的基频分量可能和相邻周期的高 频分量发生混叠，增加了重建三维面形的噪声。因此，必须选择适当的抽样频 率以防止周期间的频谱混叠。 4 、基于小波数字滤波的傅里叶变换轮廓法口1 l 若被测物体形状复杂，在频谱中的能量分布是弥散的。表征背景光强信息 的零频分量的频带较宽，造成和有用的基频分量发生混叠；另外高频部分也可 能和基频部分发生混叠。这种情况下滤波，区分有用频带和无用频带的截止频 率十分困难。采用小波数字滤波与傅里叶变换轮廓术相结合的方法，能较好地 将物体的相位信息分离出来。先利用小波变换基本滤除变形光栅图中的零频分 量和高频分量，再进行相位计算。该方法在一定程度上解决了频率混叠的问题， 从而也降低了对低通滤波器的设计要求。 5 、采用交织抽样方法消除频谱混叠m 1 如果没有分辨率足够高的探测器，则一个条纹周期内的采样点数将减少， 当不满足抽样频率的选择条件时，会引起频谱周期间的频谱混叠。利用微扫描 方法将多帧亚像素的图像重建成一帧图像，然后采用交织抽样方法可以消除 f t p 周期间的频谱混叠，这样可以在不增加探测器的分辨率的条件下，尽可能 地提高系统的测量精度。 6 、利用灰度图提高f t p 的测量精度1 3 3 1 利用灰度图中包含的频谱信息来减小零频分量对基频分量的影响。先记录 一帧灰度图，然后投影正弦条纹到被测物体表面，记录变形条纹图。利用这帧 灰度图，可以从空域先消除非均匀反射率对变形条纹的影响，得到均匀的变形 条纹分布；也可以从频域中消除零频。该方法可以避免携带物体高度信息的基 频分量与表征物体灰度信息的零频分量的混叠，提高测量精度，而且测量装置 四川大学硕士学位论文 第一章绪论 简单，不需要相移装置，又可以达到石相移的效果。 7 、利用条纹外搔减小f 职的频谱泄漏误差! f t p 测量中，探测器获得的变形光场是离散的空间有限函数，做离散傅里 叶变换时先要进行周期拓展，如果拓展周期选择不当，拓展后的条纹将出现断 裂，对之进行傅里叶变换会产生频谱泄漏。为了减小频谱泄漏对f t p 测量的影 响，在视场边缘5 1 0 范围内不要出现被测物体。当被测物体占满整个视场， 应对条纹进行迭代外插延拓，两边外延5 1 0 后再按f t p 处理，将误差外延 出去，以提高测量精度。 s 、菲箱对称墼滤波器在f t p 中钓应嗣啊 普通物体表面在频域中接近轴对称分布，其特点是对空间不同方向的带通 宽度相等。而在实际中许多物体的频谱分布是不对称的，其中一个突出的例子 就是锯齿型表面，其在与锯齿走向垂直方向上的高频成分远多于其他方向。针 对于这种在频域具有非轴对称性的物体，使用非轴对称型滤波器( 比如，滤波器 在水平截面为圆及椭圆，滤波器长轴、短轴分别对应椭圆的长短轴) 可使测量结 果保留更多的高频细节。 9 、条绞外插和空域的数字加权 3 6 1 f t p 测量时，对离散的条纹进行d f t ( 离散傅里叶变换) 运算，存在“栅栏效 应”，离散频谱不能完全无误地代表原连续频谱分布，相当于在频域内发生了 谱信息损失。为了消除边沿添零导致豹周期拓展最条纹的不连续性；在条纹外 插前，先采用汉宁窗1 2 1 对条纹进行加权，使得主值序列拓展后得到的条纹是连 续的，从而消除频谱泄露的影响。采用了条纹外插结合空域的数字加权方法减 小了由“栅栏效应”引入的位相误差从而提高f t p 的测量精度。 l o 、多频率的傅里叶变换轮廓术p 】 f t p 测量方法基于的是三角测量原理，如果被测物体表面有剧烈的高度变 化或者不连续区域，就会出现阴影和遮挡。要正确获得三维面形数据，需要获 取不同方向钓多椟条绞凰。从中解出对应的位稻鬣。再采用拼接的方法获得全 场三维数据。为了快速地从一帧条纹图中获取三维面形，提出了多频率的傅里 时变换轮廓术。该方法的基本原理是：通过投影包含k 个不同空间载频的正弦 条纹在被测物体表面，结合g u s h o v s o l o d k i n 算法。可阻得到具有高度不连续 和孤立表面的物体高度分布。 四川大学硕士学位论文第一一章绪论 1 3 本论文研究重点 本文主要对f t p 测量中两个方面的内容进行深入研究。首先进一步从离散 傅里叶变换的角度讨论抽样对f t p 影响，我们采用矩形序列进行抽样，更接近 c c d 像元的成像的过程，修正并完善了抽样对f t p 测量精度的影响的理论分 析；另外我们从频域滤波角度分析c c d 噪声对f t p 的影响，并提出了消除噪 声提高f t p 测量精度的新方法。本文的组织结构如下： 第一章，主要介绍光学三维传感的意义和应用背景，重点描述了f t p 测量 方法的最新研究状况，这些是本文提出改进方法所参考的重要资料。 第二章，详细论述了傅里叶变换轮廓术( f t p ) 的测量原理，并讨论了f t p 方法中的优点和不足，从原理上为本文提出的改进方法做了铺垫。 第三章，主要论述了c c d 像元的尺寸对f t p 测量精度的影响，对离散傅 里叶轮廓术进行理论上的改进。以前在基于条纹投影的f t p 的研究中，没有考 虑c c d 的取样所涉及信号的带宽限制和频谱混叠问题。实际上，作为图像接 收器，c c d 像元的不同尺寸将一定程度上影响f t p 的测量精度。本章深入分 析了c c d 的取样模型，给出了相关的表达式和判断准则，并通过计算机模拟 和实验验证了改进后的理论分析，使得f t p 的研究更贴近实际测量。 第四章，主要论述新的频谱滤波方法。该滤波方法在正弦结构光场情况下， 无需手工选择滤波函数可以很好地保留物体高频信息并消除随机噪声。本章 计算机模拟比较了采用新滤波方法与采用滤波函数还原物体的误差值，证实了 新滤波方法的可行性，而且可以提高f t p 的测量精度。 第五章，全文综述并对未来的研究作了一些展望。 四川大学硕士学位论文第二章傅里叶变换轮廓术原理 第二章傅里叶变换轮廓术原理 傅里叶变换技术目前广泛应用于信息光学领域。1 9 8 3 年，m t a k e d a 等人 将傅里叶变换用于三维物体的面形测量，提出傅里叶变换轮廓术( f o u r i e r t r a n s f o r mp r o f i l o m e t r y ) ，简称f t p 。傅里叶变换轮廓术的工作原理可以描述为：( 1 ) 被测物体三维面形( 调制信号) 对投影在其表面的光栅结构光场( 载波信号) 进行 调制，使光栅结构光场的位相受到物体三维面形高度分布的调制，形成调制后 的变形条纹 成像系统将此连续分布的变形结构光场( 已调信号) 成像于面砗 探测器上，探测器阵列对其进行抽样，获取离散信息送计算机处理；( 3 ) 计算机 对所得的离散信息进行快速傅里叶变换处理，从频谱中滤出基频分量，然后对 基频分量进行逆傅里叶变换，获取该位相信息；( 4 ) 根据位相与高度分布的调制 关系，解调出被测物体的三维面形信息。 2 1f t p 的基本原理 g 壤 ，l 4 ， 三。 仰弋絮 c 爿 or e f e r e n c e 图2 - 1f i p 的光路原理图 f t p 的典型测量光路如图2 - 1 ，只和b 分别是投影装置的入瞳和出瞳，：和 ，分是摄像装置的入瞳和出瞳，d 是b 与，：间的距离，l o 是，：到参考平面r 间 的距离a 和c 是参考平面r 上的两点，d 是物面上的点，光栅垂直于图平面。 四川大学硕士学位论文 第二章傅里叶变换轮廓术原理 采用正弦光栅投影得到的变形结构光场表示为： g ( x ，y ) = a ( x ，y ) + b ( x ，力c o s ( 2 顽o x + 妒( x ，y ) )( 2 - 1 ) 其中a ( x ，y ) 是背景光场，b ( x ，y ) 是条纹对比度，妒( x ，y ) 是由物体高度分布 h ( x ，y ) 引起的位相调制， 是投影光栅的基频。对条纹进行傅里叶变换得到其 频谱分布，在x 方向上的一维傅里时频谱表示为： g ( f ，y ) = a ( f ，y ) + q ( f 一 ，y ) + q ( ，+ ，y )( 2 - 2 ) g 列 文，力 甜一f o ，力t z u + f o ，力 、 i、 x 图2 - 2 正弦光栅投影时变形条纹的一维频谱分布图 其中。q ( f ，y ) 为去6 ( z ，y ) e x p h p ( x , y ) 的一维傅里叶变换，a ( f ，y ) 为a ( x ，y ) 上 的一维傅里叶变换，其分布示意图如图2 2 。当第一项a ( x ，y ) 通过石相移技术 消除后。得到的频谱分布表示为： g ( f ，y ) = q ( f 一工，y ) + q ( 厂+ 五，y )( 2 - 3 ) 将如图2 2 中的阴影部分所示的基频分量滤出，然后对其进行逆傅里叶变 换，经运算得到位相信息妒( x ，y ) 。类似通过对相同频率的参考条纹进行同样的 处理，可以求得参考平面所引起的调制位相( z ，y ) ，则单纯由物面高度分布 调制的位相为： a q , ( x ，y ) = 妒( x ，y ) 一伊o ( z ，y )( 2 4 ) 由图2 1 投影光路的简单几何关系，得： 四川大学硕士学位论文 第二章傅里叶变挟轮廓术原理 a o ( x ，y ) = 2 ；r o c a( 2 - 5 ) 由于6 1 9 0 ( x ，力被截断在( 一i c ，+ 石) 之间，必须进行位相展开，将断裂的位相恢 复为连续位相，再利用三角形d c a 和d p 2 1 ：的相似关系，即可以计算出物体面 形的高度分布为： 慨y ) = 面l 丙o a 尹瓣( x , y ) 在远心投影光路条件下，考虑到实际测量中上。，h ( x ，y ) ，被测物体的高度 分布和调制位相的关系为l ： m ，y ) 一篙笋 ( 2 - ，) 傅里时变换轮廓术过程的流程图如图2 - 3 所示： 训乾面蕊鼢耀雌燃 由i 型鳇珏l l 解i | 萄出 删谪魔分布i 图2 3 傅里叶变换轮廓术测量流程图 2 2 离散f t p 的原理 在实际测量中，摄像系统c c d 获取的是变形结构光场各个离散样点上的 强度值，f t p 处理的是离散分布的信息。因此，应该从离散傅里叶变换的角度 对f t p 进行研究。 一个简化的光学成像系统的过程，如图2 - 4 所示： 8 四川大学硕士学位论文 第二章博里叶变换轮廓术原理 圈2 - 4 光学成像系统的过程 物函数厶g ，y ) 经光学成像系统成像后的图像为厶g ，) ，探测器阵列记录 图像平面一个分立点集的抽样值阵列工g ，y ) ，此过程相当于抽样函数j g ，y ) x 寸l ( x ，y ) 进行抽样， 当投影正弦光栅产生的结构光场到祓测三维物悴表面时，二维变形结构光 场可表示为： g ( x ，坊= d ( x ，) ，) 十6 ( x ，力c o s ( 2 n f o x + 乒( x ，y ) )( 2 一b ) 实际上变形光栅像是成像在探测器阵面上，理想的离散过程相当于用梳状 函数s ( x ，y ) 对g ( x ，y ) 进行了抽样。探测器获得的离散变形条纹表示为： “w ) 2 g 扛，咖砒( 毒) c 。m 6 ( 毒) ( 2 - 9 ) 缸，和衄，分别表示在x 和y 方向上的离散抽样间距；击和击为x 和y 方向的抽样频率。 当投影的面形结构光场只有- - 懒( x 方向) 的载频 ，对变形条纹作与 光栅垂直方向( y 方南) 的一维傅里峙变换( 二维情况类推) ，秘羁卷积定理，可得 到离散后的图像的频谱为： g = 量姒一工一毒川+ q ( ，+ 一毒眦姗6 ) ( 2 圳) 如果将亡可以表示为喊，m 为一正数，表示抽样频率与光栅基频之间 的比值，受l l 方程( 2 一l o ) 改写为： 四川大学硕士学位论文 第二章博里叶变换轮廓术原理 姒力2 互四一五一嘶，) + 础+ 五一嘶础伽6 b z x y s ) ( 2 - 1 1 ) 方程( 2 - 1 1 ) 表明：函数 q ( 厂一兀，_ y ) + q + ( 厂+ f o ，y ) 以”巩为间隔周期性 重复出现。而且m 的取值决定了相邻的“频谱岛”是否发生混叠，如图2 - 5 所 示。 图2 - 5 离散f t p 的“频谱岛” 同一个频谱周期内，仍是存在如图2 - 2 所示的两个共轭基频分量。所以离 散f t p ，同样要提取其中一个基频分量，然后对其进行逆傅里叶变换，经运算 得到位相信息伊( t y ) ，再算出物体的高度分布信息a 2 3 抽样对f t p 测量精度的影响 频谱混叠是影响f t p 测量精度的另一个重要因素。因为要保证三维面形的 正确恢复，必须避免包含物体高度信息的基频分量同其他频谱分量的混叠。 乏u 一五，力f 夏，+ 工，d a八 一 0 f 。 图2 - 6 正弦光栅投影时变形条纹的一维频谱图 四川丈学硕士学位论文 第二章傅里叶变换轮廓术原理 当正弦光栅投影在物体表面时，采用石相移技术 2 5 , 2 6 , 2 7 1 消除零频分量后 同一个周期内只有q ( f 一五，y ) 与q ( f + 兀，y ) 预个共轭的基频分量存在。 如图2 - 6 所示，这两个基频分量分离条件为： ( q f f + f b y 1 ) m m 0 ( ，。( ，+ ，口) 。代表基频分量q ( 厂+ 五，y ) 的最小值 域轴上的零点，所以测量范围限制为【3 8 】： 堡掣i 一 岛，d 僦 ( 2 一1 2 ) 因为基频可以扩展到频 r 2 1 3 ) 厶d = 1 t g o ，0 是投影光轴与成像光轴之间的夹角。我们称该条件为f t p 测量系统的结构条件。h ( x ，y ) 与妒( y ) 之间的关系由( 2 - 7 ) 公式决定。 正弦光栅投影的傅里叶变换频谱，除了保证同一个周期内正负基频分量不 混叠，还要保证基频分量与相邻周期的频率分量不混叠。即为了防止抽样引起 的频谱混叠，要保证与q ( f 一厶) 有关的信息同相邻周期的与q ( ，+ 厶一嘶) 有关的信怠的分离。 如方程( 2 1 1 ) 所示，当m 取得足够大时，相邻的“频谱岛”是分离的；当m 取得太小，不满足n y q u i s t 抽样定理时，相邻“频谱岛”会发生混叠。图2 - 6 给出一维傅里叶谱两个相邻周期闻的频谱分布示意图。 q ( f - f 日) ， 、 一形。) q ( 一。、 n ， 、 、 f1 0形。 图2 - 7f o u r i e r 谱相邻两周期间的频谱分布示意图 实线表示妻【q ( 厂一五，y ) + q ( 厂+ 矗，y ) 的右半部分，虚线表示 四川大学硕士学位论文 第二章傅里叶变换轮廓术原理 【q ( ，一厶一峨，_ y ) + q + ( f + f o 一峨，_ y ) 的左半部分。 设抽样频率为光栅频率f o 的k 倍，如图2 - 7 所示。利用瞬时频率的定义【3 8 1 ： + 去乩 址l 枇a i 一) 2 兀幽 石( k - 2 ) f o l o x i m a l 凯 4 ( 2 - 1 5 ) 上式表明，在正弦条纹投影时，一个条纹周期至少需要4 个抽样值才能保 证频谱不发生混叠。 所以为了保证f t p 测量精度，一方面，必须满足抽样条件，即方程( 2 1 5 ) ； 另一方面，被测物体的高度变化必须满足方程f 2 1 3 ) 。 2 4 本章小结 本章介绍了傅里叶变换轮廓术的基本测量原理。针对实际测量中，计算机 处理的是c c d 获取的离散信息，回顾了抽样对f t p 测量的影响及抽样频率的 选择条件。但是以前在对f t p 的研究中，仅仅将抽样模型简化为点抽样，相当 于只考虑了抽样系统中图像采集卡a d 转换装置完成的第二次抽样，没有考虑 c c d 的取样过程。实际上，c c d 取样中同样涉及信号的带宽限制和频谱混叠 问题，并且像元的不同尺寸将一定程度上影响f t p 的测量精度。下面先讨论 c c d 的取样模型，再讨论像元的不同尺寸对f t p 测量的影响，完善了抽样对 f t p 测量的影响，使得f t p 的研究更贴近实际测量。 四川大学硕士学位论文 第三章c c d 取样对f t p 测量精度的影响 第三章c c d 取样对f t p 测量精度的影响 c c d ( c h a r g ec o u p l e dd e v i c e ) 全称为电荷耦合器件，是7 0 年代发展起来 的新型半导体器件，具有光电转换、信息存贮和传输等功能。自问世以来，在 光电成像方面的应用发展最为迅速，已经成为光学系统的一个重要组成部分。 由于c c d 器件是由分立的光敏单元组成，因此景物通过镜头成像到c c d 像敏面要完成第一次取样。随后图像采集卡对c c d 器件输出的视频信号进行 第二次取样，并进行直流恢复、增益控制、量化等一系列处理后，变成所需的 数字信号输出口”。数字图像采集系统工作框架，如图3 一l 所示。 叫成像系统l 掣图像采集卡l 必 h 卜- 纠卜 景物 11 竖：兰! i 图像 l ! ! 兰兰!l 数字图像 图3 - i 数字图像采集系统的框图 以前在基于条纹投影的f t p 的研究中，仅仅将抽样模型简化为如图3 2 所 示的点抽样函数对连续的条纹图像的抽样【4 5 】，相当于只考虑了数字图像采集系 统中图像采集卡中a d 转换装置完成的第二次抽样，没有考虑c c d 的取样所 涉及信号的带宽限制和频谱混叠问题。实际上，c c d 像元的不同尺寸将一定程 度上影响f t p 的测量精度。下面先讨论c c d 的取样模型，再讨论像元的不同 尺寸对f t p 测量的影响，使得f t p 的研究更贴近实际测量。 3 1 取样信号的数学模型 投影正弦光栅产生的结构光场到被测三维物体表面时，= 维变形结构光场 可表示为： g ( x ，y ) = a ( x ，y ) + b ( x ，y ) c o s ( 2 n f o x + p ( x ，_ y ) ) ( 3 - i ) 面阵c c d 的功能是把二维光学图像信号转变成二维视频信号输出。像敏 面将照在每个像敏单元( 本文简称为像元) 上的图像照度信号转变为少数载流予 密度信号存储于像敏单元( m o s 电容) 中，然后再转移到c c d 的移位寄存器中， 四川大学硕士学位论文 第三章c c d 取样对f t p 测量精度的影响 在驱动脉冲的作用下顺序移出器件，成为视频信号。 图3 - 2 二维梳状函数 x 面阵c c d 的像兀呈二维排列，可以将每个像元看作一个采样方格 r e c t ( _ ，) ，a x 和a y 分别表示像元x 方向和y 方向的大小【4 0 】。 出a v 所以c c d 的取样函数 g i y ) 可表示为： 一g ，y ) c f ( 去，旁坳砌峦，毒) ( 3 - 2 ) 缸，和缈。分别表示像元x 和y 方向上的间隔。c c d 的第一次采样过程可 以看作坷ty ，对物函数进行采样。坷y j 妻口图3 3 所示。 x 圈3 - 3c c d 采样函数的二维图 像元的间隔缸，和缈。与像元的大小缸和母之间在x 方向的关系，如图3 - 4 所示。 1 4 四川大学硕士学位论文 第三章c c d 取样对f r p 测量精度的影响 圈3 - 4 c c d 明米秤函数圈 如图3 - 3 所示进行方格采样，每个像元的位置上量化得到的灰度值就是对 应的小方格中的局部平均值。那么c c d 获得的离散变形条纹表示为： “w ) 2g g ，y ) 似训) 2 g ( x ，y 沌t 去，专) * c o m b ( 毒，瓦y ) 2 g g 咖呱脚r ( 旁坳m a 峦) c 厕哮) ( 3 - 3 ) 3 2c c d 的像元对f t p 的影响 梳状函数具有下列性质p 1 1 ： f c o m b ( - 三2 ) a x c o m b ( a x f x ) ( 3 - 4 1 ) ，“ f ( c o m 6 嚆) ) 妒。埘b ( a y f y ) ( 3 - 4 2 ) 枷( 血- 六) 3 忐萎j ( 六一州缸) ( 3 - 4 3 ) c d 砌( 缈f p 2 古萎占( 一纠y ) ( 3 - 4 4 ) 为方便讨论，我们计算( 3 - 3 ) 式的一维傅里叶谱( 二维情况是一维的拓展， 同理可求) ： q ( f 川= 缸掣击量盯一压。棚嘶力 四川大学硕士学位论文 第三章c c d 取样对f t p 测量精度的影响 。s i n ( t i n 芸) 等量i箬似，百nax a x ；怠册堡 ，“7 挚小簧喜等似哮，b s ， 将公式( 2 3 ) 代入( 3 - 5 ) 式得 g 。驴，y ) 2 簧 附卅q | ( ，y ) 】+ ，s i n ( 册尝) ( 3 6 ) 簧喜幸也旷肛- 基- f , y ) + q * ( f + f o - 秽n 、 可见取样后信号的频谱由一系列谐波组成，而不仅仅是原信号的频谱在频 域内简单的重复。如果c c d 的分辨率满足采样定理，则c c d 的低通滤波功能 能够完成从公式( 3 6 ) 中得到原始的模拟信号的频谱。 实际上c c d 成像时有“积分均化”作用”9 1 ，可用如下传递函数表示： 必r f ( 厂) ：s i n _ ( z l f a x ) ( 3 - 7 )、。 蠢敬 可以把c c d 的成像看成两个过程，首先像元对信号进行“积分均化”，然 后再进行取样，因此，取样前的信号频谱g c ( 厂) 应该修正为m z f ( ，) g 。( 厂) ，这 样，方程( 3 6 ) 应该修芷为： 四川大学硕士学位论文 第三章c c d 取样对f t p 测量精度的影响 g 从小簧，t 笺鲁掣恻朋+ 訾裂q ( m 川， + 簧孝等a xi 祟鬻f o 鲥 缸s 手册_ 。丌( ，一一；) 缸”血，“ + ! ! ! 兰i 糕q + c 厂+ 一毒，y ( 3 瑶) 其中，血为像元在x 方向的尺寸。公式( 3 8 ) 中可见，即使c c d 的分辨率 满足采样定理，c c d 完成低通滤波的结果仍然得不到原始的模拟信号的频谱， 变形条纹的频谱与c c d 像元的尺寸a x 有关。c c d 像元宽度a x 决定了在一个 基本周期内信号频谱的改变情况，抽样间隔血。决定了周期之间的频谱分布情 况。为了防止周期间频谱混叠，被c c d 采样的连续信号的频谱的宽度最大不 超过。即瓯( 厂，y ) 中代表的基频部分4 q ( 厂一厶，y ) + 丑q ( 厂十五，y ) 与代表 相邻周期的频谱一q ( ，一工+ 。， + b q ( ，+ ，o + ，y ) 不能混叠。 4 ，b ，a ：b 分别表示公式( 3 8 ) 中各项前匾的函数项。采用第二章讨论抽样对 f t p 影响的类似方法，我们可以得到：在正弦条纹投影时，c c d 在一个条纹周 期内至少需要采到4 个样值才能保证周期间频谱不发生混叠。 f t p 的测量中，我们滤出的是公式( 3 - 8 ) 中的第一项的基频分量，并进行处 理，即使采样矩形框滤波，g ( ，y ) 的分布受s i n c 函数的影响， s i n 。函数将改变条纹的频谱分布，由于s i n c 函数的主瓣宽度和矩形的宽度 之间存在倒数关系，矩形的宽度越窄，s i n c 函数的主瓣宽度越宽，其对原始信 号的影响越小。像元的尺寸缸越小，c c d 获取的图像失真越小，f t p 测量的 精度就越高。 下面通过实验来验证我们的理论。 - 1 7 - 四川大学硕士学位论文 第三章c c d 取样对f t p 测量精度的影响 3 3 计算机模拟结果 为了证明c c d 取样对f t p 测量精度的影响，我们作了计算机模拟。模拟 的结构参数d l = 1 。模拟物体的函数表达式为： z ( x ，y ) = 3 3 0 一x ) 2e x p 一x 2 一( y + 1 ) 2 一1 0 ( x 5 一x 3 一y 5 ) e x p ( 一x 2 一y 2 ) 一】3 e x p 卜( x + 1 ) 2 一y 2 f 3 9 ) 为了使模拟更接近实际，我们模拟采用两种c c d 进行拍照，芯片尺寸约等 于8 4 0 0 a n 8 4 0 0 t a n 。一种c c d 像元的大小是7 a n 7 a n 。像元的间隔为7 a n ， 像元的个数为6 0 0 x 6 0 0 ；另一种c c d 像元的大d x 是1 4 m 1 4 t i n ，像元的间隔 为1 4 a n ，像元的个数为3 0 0 3 0 0 。模拟物体为2 4 0 05 2 4 0 0 离散点，如图3 - 5 ( a ) 所示。为了使两种c c d 获取变形条纹时都满足抽样定理，假设投影7 5 个条纹 周期，每个周期3 2 个离散点的正弦条纹在物体表面上，被物体调制后的结构条 纹成像在整个c c d 成像面上，如图3 - 5 c o ) 所示。 当采用像元的大小是7 p m 7 t u n ，像元的间隔为7 t a n 的c c d 获取物体时， 圈3 - s ( a ) 模拟物体国 3 - s ( b ) 模拟物体变形条纹灰度图 每个像元覆盖s = 2 x 2 离散点，像元的间隔为2 个离散点，得到的变形条纹如图 3 - 6 ( a ) ，变形条纹的二维频谱分布如图3 - 6 ( b ) 。恢复面形与模拟物体的差值分布 如图3 - 6 ( c ) 所示。方差的最大值分别为0 0 4 0 6 。 旦! 燮耍兰兰堕矍苎 塑三兰! ! 望里登翌! 婴型墨堕鏖塑墅堕 图3 - 6 ( a ) s = 2 x 2 时变形条纹的灰度图 图3 - 6 ( b ) s = 2 x 2 时的二维频谱分布 图3 - 6 ( 0s = 2 x 2 时恢复面形与模拟面形差值图 当采用像元的大小为1 4 o n 1 4 a n ，像元的间隔为1 4 , u r n 的c c d 拍照模拟物 体时，每个像元覆盖s = 4 x 4 离散点，像元的间隔为4 个离散点，得到的变形条 纹如图3 - 7 ( a ) ，变形条纹的二维频谱如图3 7 ( b ) ，恢复面形如图3 - 7 ( c ) 所示。方 差的最大值分别为0 0 7 9 7 。 通过上面的恢复面形与模拟物体误差的方差值比较，发现c c d 像元的尺寸 越大，c c d 拍照得到的图像失真越严重，引起的f t p 测量的误差也越大。 四门f 大学硕士学位论文第三章c c d 取样对f t p 测量精度的影响 图a - 7 ( a ) s - - 4 x 4 时变形条纹的灰度图 图3 - 7 c o ) s = 4 4 时的二维频谱分布 图3 - 7 ( 0s 一4 时还愿的物体面形 3 4 实验结果 为了验证c c d 取样对f t p 测量精度的影响，我们作了如下实验。测量的 简易装置如图3 - 9 所示： 2 0 - 四川大学硕士学位论文 第三章c c d 取样对f y p 测量精度的影响 带相移器的光栅投影仪 图3 - 9 实验简易框图 实验中采用厅相移技术消除背景，准正弦光栅的周期为2 线r a m 。采用型 号分别是m t v - 1 8 8 i e x 的c c d 摄像机进行数据采集，具体技术参数为：芯片 尺寸( c h i ps i z e ) 为7 9 5 0 脚, n + 6 4 5 0 , u m ，像元阵歹l j ( t o t a ln u m b e ro fp i x e l s ) 为7 9 5 5 9 6 ，图像采集卡抽样后阵列为7 0 4 5 1 4 。 为了精确恢复出物体的高度分布，我们首先建立位相与高度的映射关系。 物体高度 g ，y ) 和调制位相妒b ，y ) 的关系可用如下公式( 3 1 0 ) 表示t 4 2 】： 丽1 。口g ，y ) + 6 g ，y 石南 ( 3 邶) 本卖验先测量6 个校正标准平面( 其法线方向与摄像机光轴平行1 ，相邻平 面之间的距离为5 m m ，校准范围为3 0 m m 。然后对采集的数据进行多项式拟合， 计算出a ( x ，y ) 和b ( x ，y ) 的值。 图3 - l o ( a ) 分辨率为5 1 2 x 5 1 2 的c c d 拍照的条纹图 旦坐堕堂塑生兰型塑笙蔓一一 笺三里! ! 望里登翌! 堡型苎壁鏖塑墅堕 图3 - l o ( b ) 分辨率为5 1 2 5 1 2 的c c d 拍照的误差分布图 再对高度为1 2 r a m 的标准平面进行拍照比较。用m