（应用数学专业论文）强阻尼非线性波动方程的初边值问题.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 本文研究任意维强阻尼项非线性波动方程的初边值问题 u t t - - o t a u t - a u = 厂( 甜) ，x q u ( x ，o ) = ”。( x ) ，z ( x ，0 ) = 甜。( z ) ，x q 甜i 弛= 0 其中qcr ”为适当光滑的有界域首先，我们应用新的方法引进了一族新的 位势井，然后应用这族新位势井方法得到了问题的整体解的存在性定理及相 关的推论，进而证明了整体弱解的存在性，整体强解的存在性与唯一性；其次， 研究了问题解的不变集合和解的真空隔离现象最后，利用改进了的积分估 计方法，在关于非线性项非常广泛的假设下，证明问题的整体强解当时间 t 哼+ 时，以指数形式衰减为零的渐近性质 关键词：位势井族：非线性波动方程；整体解存在性；真空隔离；渐近性质 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo f s t r o n g l yd a m p e dn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s - a a u , - a u = 厂( 甜) ，x q u ( x ，0 ) = ( x ) ，u t ( x ，o ) = ( x ) ，x q l f l 砌= o w h e r e qcr ”i sab o u n d e dd o m a i n f i r s tb yu s i n gn e wm e t h o dw ei n t r o d u c e af a m i l yo fp o t e n t i a lw e l l s t h e nb yu s i n gt h e mw eo b t a i ns o m ee x i s t e n c e t h e r o r e m so fg l o b a ls o l u t i o n sa n dc o r r e s p o n d i n gc o r o l l a r i e s ，t h e n o b t a i nt h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s so fg l o b a lw e a ks o l u t i o n sa n ds t r o n g s o l u t i o n s ，t h ei n v a r i a n ts e t so fg l o b a ls o l u t i o n so fp r o b l e m ，t h e p h e n o m e n ao fv a c u u mi s o l a t i n go fs o l u t i o n s a r ed i s c o v e r e d a tt h e l a s t ，b yu s i n gi m p r o v e di n t e g r a le s t i m a t ew ep r o v et h a tt h eg l o b a l s t r o n g s o l u t i o n o ft h ep r o b l e md e c a y st oz e r oe x p o n e t i a l l ya s f + u n d e rv e r yg e n e r a la s s u m p t i o nr e g a r d i n gn o n li n e a rt e r m k e y w o r d s p o t e n t i a lw e l l s ：n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n ；g l o b a l s o l u t i o n e x i s t e n c e ：v a c u u mi s o l a t i n g ：a s y m p t o t i cb e h a v i o r 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由 作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献等的引用已 在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已经注明引用的内容 外，本论文不包含任何其他个人或集体己公开发表的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方 式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：马，移字 日期眺年月，d 日 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第1 章绪论 偏微分方程作为数学的一个分支独立地加以研究是于十八世纪初开始 的当时首先加以系统研究的是三种基本的数学物理方程：波动方程，热传 导方程和调和方程，所采用的主要工具是经典分析经过两个多世纪的研究 和探索，在偏微分方程理论和应用两个方面都取得了许多重要的成果，各种 经典的求解方法相继建立，对于上述三种基本的数学物理方程以及一些更一 般的偏微分方程的性质有了相当多的了解，并建立了多种解定解问题的研究 非线性发展方程是近5 0 年来从力学、流体力学、物理、化学、生物学、 人口动力学等大量实际问题中提出来的，它们有非线性抛物方程、非线性双 曲方程、非线性拟抛物方程等等所以这些方程都有强烈的实际背景与广泛 应用对非线性发展方程的研究起始于上世纪六十年代，至今已取得大量的 研究成果，并积累形成了很多比较成熟的研究方法，形成了一套较为完善的 理论体系但是，迄今仍存在不少问题没有解决，相应的理论和方法也有待 于进一步的改进和完善 1 1 概述 偏微分方程的兴起已有两百多年的历史了在本世纪以前，人们多是直 接联系着具体的物理或几何问题来讨论各种偏微分方程( 包括线性和非线 性) 在上个世纪和本世纪之交，由于材料的大量积累，开始出现了新的变 化1 9 0 0 年希尔伯特在巴黎的国际数学大会上提出了著名的2 3 个数学问题， 哈尔滨工程大学硕士学位论文 其中第1 9 、2 0 与2 3 问题都涉及如何系统地研究偏微分方程的初边值问题首 先是椭圆问题，而且指出了这种研究与变分法的关系，实际上已经孕育了现 代偏微分方程理论的问题与方法的萌芽；其后出现了偏微分方程( 包括线性 与非线性) 的巨大发展问题不断深化，新概念新方法层出不穷二、三十 年代兴起的希尔伯特空间方法以及五十年代出现的广义函数论( 即分布理论) 已成了“常规武器”，进入六十年代后期，几何一拓扑概念和代数概念的渗入 又在强迫着人们实行或准备实行“设备更新 更重要的是，当代“知识爆炸 的局面提出的新问题丰富的无与伦比例如非线性问题可说是一片待开垦的 处女地这样人们发现偏微分方程理论是一个范围广阔又十分复杂的科目一 方面，在几个世纪里发展了一套很大但又颇为芜杂的技巧来处理各种特定的 问题另一方面，近几十年来，又看到了成长起来一个以更精巧更抽象的方 法为基础的一般理论想要懂得偏微分方程的数学家必须对这个科目的这两 个方面都有一定程度的熟悉即熟悉现代理论的技巧和意义，植根于具体的 经典问题之中并且对这些问题的现代处理应用了现代数学的许多工具所以 我们看到，偏微分方程的研究不仅是历久不衰，而且是方兴未艾 在本世纪3 0 年代以前的近二百年中，紧密地联系着物理学、力学、几何 学等方面的需要，对于几个在数学物理中最常见的偏微分方程( 热传导方程、 调和方程、波动方程等) 已经有了系统的了解，并以多元微积分学( 以及常 微分方程、复变函数、线性代数等) 为主要工具形成了许多至今仍在广泛 使用的有效方法这些，都属于经典偏微分方程理论的范畴其中，一方面 是实践中不断提出新的研究课题，而电子计算机的出现又为偏微分方程的应 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 用领域前所未有地扩大了；另一方面，大量素材的积累进一步提出了将它系 统化的任务早在1 9 0 0 年希尔伯特为预见2 0 世纪的数学发展所提出的2 3 个著名问题中，有好几个都提出了建立系统的偏微分方程理论的必要性3 0 年代开始，在s o b o l e v 空间理论基础上建立起来的泛函分析方法为处理线性 及非线性偏微分方程的问题提供了一个强有力的框架和工具，并在实践中已 得到广泛的应用，数值分析中现今常用的有限元素法就是以他为基础的其 后，从5 0 年代开始，又以广义函数的出现为标志，提供了处理偏微分方程的 又一框架，在其中，许多经典的方法突出的如f o u r i e r 分析进一步发挥了重 大的作用在此基础上，以后还陆续出现了拟微分算子、f o u r i e r 积分算子、 微局部分析、超函数等新的强有力的理论和工具，不仅极大地改变了残性偏 微分方程的面貌，并且开始应用于处理非线性偏微分方程的问题 在国外，对应用偏微分方程的发展是相当重视的很多大学和研究单位都 有应用偏微分方程方面的研究集体，并得到国家工业、科技部门及军方、宇航 等方面的大力资助如在国际上有重大影响的美国的c o u r a n t 研究所，法国的 i n r i a ( 信息与自动化国立研究所) 等，都集中了偏微分方程的研究人员，并 把数学模型、数学方法、应用软件及实际应用融合为一体，在解决实际课题， 推动学科发展及加速培养人才等方面都起了很大的作用 在我国，我国的四化建设中很多重要的实际课题都需要求解偏微分方程， 为相应的工程设计提供必要的数据，保证安全可靠且高效率地完成任务其 中不少课题( 特别是一些国防课题) ，是不能或很难用工程试验的方法来进行 研究的，至少也应该尽可能的减少试验的次数或要求在试验前作较准确的预 3 哈尔滨工程大学硕士学位论文 计 在处理这些实际课题( 包括其他科学领域中的一些理论课题) 时，电子 计算机已越来越成为一种重要的工具，要能有效地利用电子计算机来解决一 个实际课题，其先决条件是： 建立合理的数学模型，对决定性的现象，这种数学模型大量是通过偏微 分方程来描述的；对相应的偏微分方程进行定性的研究；寻求或选择有效的 求解方法，特别是数值求解方法编制高效率的程序或建立相应的应用软件； 这些在整体上均属于应用偏微分方程的研究范围，解决得好坏直接影响到使 用计算机所得结果的精度及耗费的大小抓住了这一环节，就抓住了关键， 就能起到事半功倍的效果应用偏微分方程在解决国内有关高速飞行、石油 开发、机械设计等方面重大实际课题中取得成功的例子已充分地说明了这一 点 同时，由于同一类型的偏微分方程往往可以用来描述许多性质上颇为不 同的自然现象，对一些重要的偏微分方程开展研究，可以有多方面的应用前 景，并可望在新兴学科或边缘学科的开发中及时地发挥作用 应用偏微分方程的发展，在现时有如下的特点和趋势： 很多意义重大的自然科学和工程技术问题都归结为非线性偏微分方程的 研究，而且随着研究的深入，有些原先可用线性偏微分方程作为近似处理的问 题，也必须考虑非线性项的影响因此，现时应用偏微分方程研究的主体是非 线性偏微分方程它的难度大，很难用一个统一的方法来加以处理，其研究往 往更紧密地结合着相应的物理模型，用不同的方法来处理不同性质的问题，现 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 已取得不少深入的成果，很有发展前途与此同时，对线性偏微分方程的深入 研究仍有其重要性，这对非线性偏微分方程的研究，也是一个必要的基础：一 些重要的物理，力学的基本方程( 如流体力学方程组、弹性力学方程组、 m a x w e l l 方程组、s c h r o d i n g e r 方程、e i n s t e i n 方程、k d v 方程、y a n g m i l l s 方程) 已先后成为比较熟知而重要的应用偏微分方程，并在相应的学科中 起着具有基本重要性的作用对这些方程的研究已具有相当的规模与深度， 但仍有很多重要而且基本的理论和实际问题亟待深入研究在此基础上，由 于考虑到几种因素的联合作用和相互影响，还出现了反应扩散方程、电磁流 体力学方程组、辐射流体力学方程组等，进一步开拓了应用偏微分方程的对 象和应用范围：除传统的领域外，在化学，生物学甚至社会科学等非传统的应 用领域内，也不断归结出一些重要的偏微分方程，成为应用偏微分方程发展 的一个新的重要的源泉：在数学的其他分支，特别是整体微分几何的研究中， 不断提出了一些有重要意义的非线性偏微分方程，引起了广泛的注意与重视， 并已做出了出色的成果：在对具体方程及问题进行研究的基础上，逐步过渡到 对某一类问题建立适当的框架，作系统的研究：在很多实际模型( 如地理、物 理、生物学、生态学) 中提出了越来越多的非局部边值问题的研究，开拓 了应用偏微分方程的一个广阔而富有意义的研究领域；对偏微分方程的反问 题的研究近年来越来越活跃，它的诸如地球物理探矿，计算机化分层扫描构 象等方面有重要的应用，在理论上也有重要的意义，已经成为应用偏微分方 程最有希望的方向之一：应用偏微分方程的发展不断促进着许多有关联的数 学分支的发展；与此同时，愈来愈多的现代数学工具( 如泛函分析、拓扑、 5 哈尔滨工程大学硕士学位论文 群伦、微分几何和代数几何、多复变函数论) 被用于处理应用偏微分方程 中的问题，有的己逐步发展为现代应用偏微分方程研究中的常用方法：在具体 处理应用偏微分方程问题时，还提出了一些暂时虽然没有建立严格的数学基 础，但在实际中却行之有效的方法提出这种“启发性”的方法并予以总结 提高，使现代偏微分方程值得注意的研究内容 以应用为目的或以物理，力学等其他学科问题为背景的微分方程的研究， 不仅是传统应用数学中一个最主要的内容，也是当代数学的一个重要组成部 分它是数学理论与实际应用之间的一座重要桥梁，研究工作一直非常活跃， 研究领域日益扩大 目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方 程很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程 的研究另外，随着研究的深入，有些原先可以用线性偏微分方程近似处理 的问题，也必须考虑非线性的影响 求解非线性微分方程远比求解线性微分方程要困难得多，线性微分方程 的一些基本性质在非线性微分方程中不再成立，很难用一个统一的方法来处 理后者 在大多数情况下，非线性偏微分方程的求解只能依赖于数值解法多年 来，数值解法在非线性微分方程的求解上虽然取得了令人瞩目的进展，但这 种解法存在着明显的局限性：首先，它只能针对给定的个别初值计算数值解， 而且只能计算有限次这样，数值解不可能包含原方程解能够表示无穷情况 的全局特征在很多情况下，人们不仅需要知道一些个别解的具体数值，更 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 希望了解方程解的一半定性特征，它对问题的描述往往更深刻；其次，数值 解本身还存在非线性、计算不稳定性和解的可靠性问题因此，非线性微分 方程解析解的研究工作，就显示出了很重要的理论和应用价值 从传统的观点看，求偏微分方程的解析解( 也称为精确解) 是十分困难 的然而经过4 0 多年的研究和探索，对某一类非线性偏微分方程，人们已经 找到了一些构造解析解的方法这类方程通常用于描述随时间而演变的过程， 我们称之为非线性发展方程或演化方程例如，著名的反散射方法以及各种 函数变化方法等等，都是构造一些非线性发展方程解析解的有效方法通过 这些方法获得的非线性发展方程的诸多精确解，合理地解释了相关的自然现 象，极大地推动了相关学科如物理学、力学、应用数学以及工程技术的发展 自然界中由非线性现象引出的许多非线性发展方程中蕴藏着一系列十分 有效的求解方法和技巧，其中许多方法都是构造性和代数化的，这些方法所 涉及到的运算和推理往往十分复杂近年来，随着计算机符号计算的出现和 广泛应用，人们以计算机为手段，积极探索那些过去不能处理的非线性问题， 从中发掘出规律性的认识，并从共性，普适性方面探讨各种非线性系统的行 为，现已取得了不少深入的成果，有很好的发展前途特别是受到数学机械 化思想的影响，在非线性发展方程解析解的解法研究中出现了各种代数方法， 在某些计算代数系统上甚至出现了求解特定形式解析解的专用软件包 发展方程( e v o l u t i o ne q u a t i o n ) ，又称演化方程或进化方程，广义地说， 是包含时间参数f 的许多重要的数学物理偏微分方程的统称，在物理、力学或 其他自然科学中用来描述随时问而演变的状态或过程狭义地说，它是指可 哈尔滨工程大学硕士学位论文 以用半群方法化为一个b a n a c h 空间中的抽象常微分方程的c a u c h y 问题来处 理的那些数学物理方程波动方程、热传导方程、反应扩散方程、k d v 方程、 流体动力学方程组等等以及由这些方程通过适当的方式耦合起来的种种耦合 方程组，都属于发展方程的范畴 对线性的发展方程，只要初值适当光滑，其c a u c h y 问题的解也必具备适 当的光滑性，而且在整个半空间t 0 上是整体存在的但对于非线性发展方 程，情况就不同了非线性发展方程的c a u c h y 问题的整体经典解通常只能在 时间t 的一个局部范围中存在，即使对充分光滑甚至还充分小的初值亦如此 而一个偏微分方程通常有无穷多个解，而这些方程又都有实际的物理背景，是 从实际问题中抽象出来的例如，当”= 2 时，方程“圩= 口2 a u 可以表示在一平 面区域上的薄膜的横振动，而薄膜的边界状态是已知的也就是说按薄膜具体 的物理状态，位移函数“( x ，y ，f ) 在边界上的值或法向微商的值或二者的线性 组合的值是已知的这就要求求出的解满足这个条件我们把方程的解必须 满足的事先给定的条件叫做定解条件，一个方程配备成定解条件就构成一个 定解问题一般来说，常见的定解条件有初始条件和边界条件两大类，相应的 定解问题叫初值问题和边值问题初值问题或边值问题的解或称古典解是指 这样的函数：它在区域的内部具有方程中出现的一切连续偏微商，而本身在其 闭包上连续( 有时根据具体问题的性质或边界条件的类型，也要求有关的偏微 商连续到边界) ，它满足方程，并且当时间变量趋于初始时刻或空间变量趋于 区域的边界时( 有时及其有关的偏微商) 连续取到给定的初始值或边界值有 时对方程同时附加上初始条件或边界条件，这就构成了一个初边值问题 r 哈尔滨工程大学硕士学位论文 波动方程是一种重要的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声 波、光波和水波它出现在不同领域，例如声学、电磁学和流体力学波动方 程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到 历史上，像乐器那样的振动弦问题曾被很多科学家研究，包括达朗贝尔、 欧拉、丹尼尔伯努利和拉格朗日虽然完整的波动方程的解用程序实现起 来都比较复杂，但只要明确各种解的物理含义，进行简化应用，就可以很容 易的实现各种真实的振动、波动及弹性效果，比如真实的弦振动、动态波纹、 肥皂泡等，只要计算足够精细，做出的动态效果和真实几乎没有差别 波动方程对于量子力学及其发展，具有特别重要的地位和意义首先， 波动方程深刻地反映了微观客体运动的基本规律波动方程是直接从德布罗 意的物质波概念导出的，后来波函数的物理意义又得到了明确的统计解释，即 波函数绝对值的平方的数值表示粒子在该点出现的几率这就使波动方程更 明确的反映了微观客体的波粒二象性，使人类对于微观世界的认识再一次深 化，1 其次，波动方程的建立，提供了系统的，定量的处理有关原子结构问题的理 论在此之前，爱因斯坦的量子论和玻尔的原子结构理论，只能对原子结构和 运动规律作定性的描述，而波动方程建立之后，便由定性描述变为定量描述： 再次，波动方程原则上能解释除了物质的磁性及其他相对论效应之外的所有 原子现象，它在原子物理学中是应用最广泛的公式之一随着波动方程的建立， 许多新兴技术相继诞生所以，以波动方程为核心的波动力学迅速得到了物理 学家们的普遍接受正因为如此，玻尔指出：“波动方程简单明了，大大超过了 以前的一切形式，代表着量子力学的巨大进步 普朗克也说：“这一方程式奠 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 定了近代量子力学的基础，就像牛顿、拉格朗日和哈密尔顿创立的方程式在经 典力学中所起的作用一样 波动方程的求解方法主要有两种：分离变量法和积分变换法其中分离变 量法的主要思路是：通过分离变量把所给偏微分方程的定解问题化为常微分 方程的定解问题通常假设定解问题的解可以表示成几个未知函数的积或和 的形式，而每一个函数都依赖于一个变量，使得方程可以写成一边依赖于一个 变量，而另一边则依赖于余下变量的形式，要使得方程对于分别依赖不同的变 量恒成立，则每一边必须等于常数反复这样做，就可以将解偏微分方程的问 题化为解常微分方程的问题求解所得的常微分方程，并考虑到边界条件，就 可以得出满足边界条件的特征解，然后利用叠加原理，对这些特征值的线性组 合，使其满足其它定解条件，从而得出定解问题的解：积分变换法又分 f o u r i e r 变换和l a p l a c e 变换两种，前者要求作变换的量在( 娟，棚) 内变化， 后者要求作变换的自变量在( o ，佃) 内变化当然，在f o u r i e r ( 或l a p l a c e ) 变 换解定解问题时，是假定所求的解及定解条件中的已知函数都是能够取 f o u r i e r ( 或l a p l a c e ) 变换的，即假定它们的f o u r i e r ( 或l a p l a c e ) 变换都存 在 对于某类方程的定解问题，仅用能量估计的方法，不能得到解的先验估 计，也就得不到整体解的存在性为了解决这些不具有正定能量的双曲方程 定解问题整体解的存在性问题，s a t t i n g e r 1 于1 9 6 8 年在国际上首次提出了 位势井理论，从而完全解决了能量非正定的这类方程的整体解的存在性问 题此后，位势井理论就成为研究非线性发展方程解的整体存在性与不存在 1 0 哈尔滨工程大学硕士学位论文 性的一个基本重要的方法，而被很多数学家应用和推广具有代表性的工作 有：t s u t s u m i 1 1 于1 9 7 2 年对h i i b e r t 空间中的半线性双眭和抛物方 程，1 9 7 3 年对强非线性抛物方程，p a y n e 与t s u t s u m i 7 于1 9 7 5 年对一般二阶 半线性双曲与抛物方程，l e v i n e 3 3 于1 9 8 7 年对具有非线性边界条件的发展 方程，n a k a o 于1 9 9 1 年对柯西问题分别对位势井理论作了推广和应用但是 这些工作所引进的位势井与s a t t i n g e r 1 于1 9 6 8 年引进的位势井并没有本 质的区别而且这些位势井方法所得到的结果也基本相同：即当u 。( x ) w 且 0 e ( o ) d ( 或，( “。) 0 为常数，最早的研究是w e b b 2 于1 9 8 0 年在对珂= 1 ，2 ，3 非 线性项( z ，) 加上了四个条件之下，得到了问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 整体强解的存在 性1 9 8 8 年 3 刘亚成，刘大成在华中理工大学学报发表的方程 h t t e t a u ，一a u = 厂( 掰) 的初边值问题中把w e b b 对，( 豁) 所加的四个条件去掉了 两个，而只保留其中两个的假设下，仍然证明了问题( 1 - 1 ) 一( 1 - 3 ) 整体强解的 存在唯一性，从实质上改进了w e b b 的结果而在1 9 9 5 年 4 应用数学学报发 表的任意维数的强阻尼非线性波动方程中刘亚成，王锋，刘大成又研究了 聆4 时问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的整体强解的存在性，又进一步推广了前人的结 果2 0 0 4 年 5 刘亚成，刘萍在应用数学学报发表的关于位势井及其对强阻尼 非线性波动方程的应用中，则研究了不具有正定能量时的问题( 卜1 ) 一( 1 - 3 ) ， 用位势井方法在某些假设下证明了整体弱解与整体强解的存在性此外，在 2 0 0 0 年 6 ，尚亚东还研究了问题( 1 - 1 ) 一( 1 - 3 ) 解的整体不存在性与有限时间 b l o w u p 关于问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的解的渐近性质，迄今尚未见到任何结果 1 3 哈尔滨工程大学硕士学位论文 1 4 本文的结构和主要内容 本文研究问题( 1 - 1 ) 一( 1 - 3 ) ，其中qcr ”为适当光滑的有界域，利用改 进了的积分估计方法在关于非线性项f ( u ) 十分广泛的假设下证明问题 ( 1 - i ) 一( 1 - 3 ) 的整体强解当时间t 专+ 时，以指数形式衰减为零的渐近性质 进而希望从实质上补充和完善关于强阻尼非线性波动方程的已有结果 首先，用位势井方法在某些假设下证明了整体弱解与整体强解的存在性； 其次，通过对初始值，( ) 及e ( o ) 的取值范围的假设，证明了整体解在 问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的流之下的不变性接着证明了真空隔离现象，即 v e ( 0 ，d ) ，都存在一个真空区域 吁卜i ( 器最 叫l ( 茄嗄斗 使得当o 1 1 5 几个常用的空间和引理 且 且 且 定义1 1 设qcr ”，0 t ，1 p o o ，1 q ，则 口( 。，r ；p ( q ) ) = “( x ，于) i “峨咿；( q ) ) 劬0k 膨0 j 定义1 2 设qcr ”，0 t ，1 p o o ，则 r ( 咿；掣( q ) ) = k 圳脚泌即， ) 扰0 p ( 。，r ：矿( q ) ) = e s s 。s u ，p 丁l l “il l , ( q ) 定义1 3 设qc 7 r ”，0 t 0 0 ，k 1 ，1 p 0 0 ，1 q o o ，贝i j 口0 , t ；w k p ( q ) ) = 彩( x ，f ) i 虿i “o 。p 。q ，衍 ) o “o 口( o ，丁；。，p 。q ，) = ( 孕l 秘l 易。，p 。q ，衍 i l g 、， 出 c ：g 旷 “ 毋0 ，。_ = 哈尔滨工程大学硕士学位论文 引理1 4 则 ( i ) 0 v 甜峙。) 为础( q ) 的等价模 ( ii ) i i a “峙q ) 为i 础( q ) n 日z ( q ) 的等价模 引理1 5设qc c 2 ，如( x ) j 为问题缈+ 旯国= o ，国f 劬= o 的特征函数系， ( i ) 如( x ) j 构成r ( q ) 的一个正交完备系 ( i i ) h ) j 在叫( q ) 中稠密 ( i i i ) b ，( x ) j 在日2 ( q ) n 叫( q ) 中的闭线性扩张何2 ( q ) n 磁( q ) 引理1 6 设1 g g ( x ，f ) a e 于q ，则岛( x ，f ) 于口( q ) 删f f ：g ( x ，f ) 引理1 7 ( s o b o l e v 嵌入定理)设q 具有锥性质，q 。表示q 与r ”中一个 k 维平面的交集，1 ks l , m 为正整数，为非负整数，1 p + 0 0 ，则由下 列嵌入关系： ( 1 ) 如果，妒 力，_ rn 一 妒 k 甩，贝i j w ( q ) cf ( q ) ，p q l ， h l i l p w p 册p ( q ) c 形朋( q ) ，p g 坠， 刀一m p 肜m ，( q ) c 形朋( 甜) ，p g 而n p ， 如果p = 1 ，则m 珂 ( m - 1 ) p ，则 形p 卅p ( q ) c c 。( 孬) ，o 口肌一詈； ( 2 ) 假定疗= ( m - 1 ) p ，则 胪机p ( f 2 ) cc 口( 孬) ，0 a l ， 如果p = 1 ，n = m 一1 ，则上式对口= 1 也成立 形鸭p ( q ) 的紧嵌入 设q 是r ”中的一个区域，q o 是q 的有界子区域，q 是。q 与r ”中的一 1 7 哈尔溟工程大学硕士学位论文 个七维超平面的交，m 是整数，o ，m l ，p 是实数，1 p 佃，则 ( 1 ) 如果q 具有锥性质且m p 玎，则下列嵌入是紧的，记为c c ： w j + m p ( q ) c c 眇( q ：) ，。 刀一叩 k n , l q 刀一k p 叩 形p 眠，( q ) c c 朋( q ：) ，n = m p ，1 后甩，1 g n ，则下列嵌入是紧的： w p 弘p ( q ) c cq ( q 。) ， 形p 峨p ( f 2 ) c cw 朋( q ：) ，l 刀( 聊一1 ) p ，0 口 朋一暑 ( 4 ) 若用附棚p ( q ) 代替形7 棚”，则对r ”中任意区域q ，上述嵌入都是 紧的 引理1 8 ( g r o n w aii 不等式) 设y ( f ) 一【o ，丁】且存在常数口与6 ，使得 则有 r 。 y ( f ) 口+ 6p ( z ) a z ，o t t ， 0 y ( f ) a e 所，0 f 丁 引理1 9 ( h s l d e r 不等式)如果l p ，三+ 三：1 ， pq 1 8 则 且 哈尔滨工程大学硕士学位论文 厂l p ( q ) ，g l q ( q ) jf g l ( n ) ， 胁| j 1 店陋即) h g l 即) qlq 1 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第2 章关于位势井的定义及相关定理 2 1 位势井的定义 在本文中我们研究问题( 1 - 1 ) - ( 1 - 3 ) ，其中q c r ”是有界 域，( “) c ，厂( “) “o 且满足 i s ( “) l 口m1 p ，当丹= l ，2 ：1 0 ，( “) d u o ) ， 其中位势井深度为 y = 甜h l o ( q ) l i ( ”) 0 ，( 甜) 。，使得丢( 砌) = o ， g n 蔓d 2 他0 。、t i ( i v ) ，( 允“) 于o 名名单调增加，于见允 丢，( 砌) = 旯m2 _ a 五喇暖p + l = o ， 五= 黯厂 2 1 ( 2 - 4 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 筹，( 旯甜) = i l v u 2 _ a 2p _ l p 川p + l ， 将名代入，可知( i i i ) 成立 由( 2 - 4 ) 可得当o 五时，有 丢，( 勉) o 故( i v ) 成立 可得 引理2 3 设甜磁( q ) ，u o ，则，( 允甜) = o 的充分且必要条件是 ，( 五u ) = s u p j ( 旯”) 证明必要性由 故由引理2 2 可知， 充分性若 则由引理2 2 可知， j ( 力材) = 名2i l v “0 2 一口元p + 10 “i k ：= o ， 肚( 糕卜崛：j 小呻u f 刎) 小“) = ( s 掣( 刎) 2 2 肚五- 黯广 代入( 2 - 3 ) 可得 ，( “) = o 定理2 1 的证明 由引理2 2 得 扛删。( s ( 刎卜础i n 吼f 删小甜) 令 由引理2 3 得 其中 引理2 4 1 ，= 五u d = i n f j ( v ) ， v 或( q ) ，( v ) = o ，i v v l i 0 撕= 訾1 一s 叩i i v u i i p 一 2 ，a i 叩 d2 _ ， 7 爿 哈尔浜工程大学坝士学位论文 证明由( 2 2 ) ，( 2 3 ) 式及，( “) = o ，i l v u l i o 得 ，( “) 2 三1 v u l2 一而a 川p + l = 夏p 川- 1 ，i l v u i l 2 - 4 - 1 1 上p + lm ) = 一 一，- ，l 2 【尸十1 ， w 2 揣附i i ，2 ( p + 1 ) ” 殛 从而 0 v “0 2 = 口0 “i 匕：- 0 的充分且必要条件是 o o ，且 哈尔滨工程大学硕士学位论文 即 充分性若 引理2 7 丽p - 可1 胁u 2 面p - 司1 上丛 0 0 v 甜0 口卜p d 上丛 o 0 v 甜0 口1 。p d ，则科+ 1 i v u l p l 1 ， 故 口p p + l - i - a c v “i i v ”旷= 口醪“m m | 1 2 m i l 2 b 二cwc ， r 一 其中耳= “- g ( q ) l l l v 甜0 ，) ，r ：( 硝+ ) 南， 故有 及 证明 由引理2 6 可得形壤；又由u b 一， r l 最g o l v 甜i l ( 口| “严 d ， 。 r 由 巾) = 2 筹+ 1 1 ) 1 v u l l 2 + 而1m ) 结等 其中7 ，g 与引理2 4 相同，可得 m 舞1 ) l l v u i l 2 等， i 玫i ( u ) r ， 由引理2 6 和引理2 8 可得 2 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 推论2 1 0 若，( 甜) d ，则 ( i ) 甜i 的充分且必要条件是“， ( i i ) 甜y 的充分且必要条件是甜睇 2 3 本章小结 在【1 1j 中，对与本文不i 司的方程和不l 司的位势井，用与本文不i 司的方法得 到类似本文引理2 7 的结果本文引理2 6 ，引理2 8 一推论2 1 0 所得到的结果 是由我们首次得到的新的结果它们给出了位势井内外在硝( q ) 中的结构 此前，人们对位势井内外在磁( q ) 的结构并不太清楚而本文首次阐明，在一 定条件下，位势井就是磁( q ) 空间中以原点为心的一个球的内部这在理论 e 和应用匕都是很有意义的 2 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第3 章整体弱解的存在性 3 1 整体弱解存在定理 定义3 1 u = u ( x ，) 称为问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 在q o ，丁) 的弱解 若“r ( o ，丁；磁( q ) ) ，坼r ( o ，丁；r ( q ) ) n r ( o ，丁；r ( q ) ) ，对于几 乎所有的f 【o ，丁) 成立 = ( 厂( 甜) ，v 肛+ ( ，v ) + a ( v u o ，v v ) v v 叫( q ) 0 h _ u ( x ，o ) = ( x ) 于叫( q ) ，u t ( x ，0 ) = ( x ) 于r ( q ) 定理3 2 设厂( 掰) c ，f ( u ) u o 且满足( 日) ，u o ( x ) 磁( q ) ， 坼( x ) r ( q ) 若“。( x ) w ，且e ( o ) lv u o l l ，i l v “。( o ) 0 ：- + f l y 甜。i l ：+ l ， 又由( x ) w ，可知，( ) o , j ( u o ) o ，j ( u o ) o ，j ( u 。( o ) ) 0 ，( t ) w 用反证法若不然，必对某一充分大的朋存在f o = t o ( m ) 0 ，使( t o ) a w ， 即 i ( u 。( 气) ) = o ，l i v u 。( t o ) 1 1 o 或j ( u 。o o ) ) - - a 由f ( u ) u o ，a ( h ) 得 从而有 及 o f ( “) 寿一 l f ( “) a x 南 哈尔滨工程大学硕士学位论文 f ( ( o ) ) 出专l p ( u o ) 出， 故对充分大的所，由e ( o ) d ，可得对充分大的研，毛( 0 ) d ，因此有 l l j u m , 1 1 2 + ，( “。) + 口f0 v “棚1 2 d f = l l u , 1 1 2 + 扣。f | 2 _ 寿m 忱p + 。l + 口剧v u , 1 1 2 d r 1 1 1 , 1 1 2 + 扣v 0 2 一l f ( ) 出+ 口c 1 v u m t l l 2 如 = e m ( 0 ) d ( 3 4 ) i 故j ( u 。) = d 是不可能的 另一方面，若，( ( f 0 ) ) = o ，n _ v u 。o o ) 1 o ，由定理2 1 有 j ( u 。( ，0 ) ) d ，这与( 3 4 ) 式矛盾又由( 3 4 ) 可得 扣| 1 2 + 丽p - 1 陬| | 2 + 两1 砸。) + 口肿如 瓦( 0 ) 。， ( 3 _ 5 ) ) 在r ( o ，o o ；磁( n ) n v “( q ) ) 中有界， ( ，) ) 在p ( o ，；r ( q ) ) 厂、r ( o ，o o ；h o ( q ) ) 中有界， 3 l 哈尔滨工程大学硕士学位论文 抓训在即一刀( 咖中有界( g _ 等 ， 因此存在“，z 及 的子序列u ， 使得当y 专时 虬o u 在l 。( o ，；叫( q ) np ( q ) ) 中弱木收敛，且a e 于q = q o ，o o ) ， 材“一于t - ( o ，o o , e ( n ) ) 中弱水收敛，名ee ( o ，丁；硪( q ) ) 中弱收敛， i ( u ，) _ z 在r ( o ，o 。；口( q ) ) 中弱木收敛，且a e 于q = q o ，o o ) ， 又由s ( u ，) 于口( q ) 关于y 有界，i 故在l q ( q ) 中弱收敛于厂( 甜) 将( 3 - 1 ) 对r 积分，得 ( “肼，q ) + f ( v “朋，v q 矽f + 口( v ，v q ) = f ( 厂( ) ，q p f + ( ，( o ) ，q ) + 口( v ( o ) ，v q ) ， 令m = y - - 9 o o 可得 u t ，织) + f ( v ”，v q 矽f + 口( v 甜，v 织) = f ( 厂( “) ，织p f + ( 材。，q ) + 口( v u 0v 织) ，协， 故v 1 ，磁( q ) ，有 u t ，k ) + f ( v “，v v 沙+ 口( v 甜，v v ) = f ( 厂( 甜) ，v 沙+ u i , v ) + 口( v ，v v ) ， 3 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 且u w 于0 ， o o 又由( 3 2 ) 式与( 3 3 ) 式可知，u ( x ，o ) - - u o ( x ) 刁：x o ( q ) ，u t ( x ，0 ) = 材。( x ) 于r ( q ) ，故甜是问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 的整体弱解 定理3 2 设厂( “) cf ( u ) u o 且满足条件( h ) ，( x ) h o ( q ) ， u 。( x ) r ( q ) ，若( x ) 曝，e ( o ) d 则问题( 卜1 ) 一( 卜3 ) 存在一个整 体弱解甜r ( o ，o o , m g ( n )