（应用数学专业论文）生物动力系统中的时滞效应.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 时滞微分方程数学模型在描述生物动力学行为中起到了非常重要的作用它从数学的 角度解释许多种群之间及种群与环境之间的动力学行为，有助于人们科学地认识生物动力 学，从而对某些种群之间以及种群与环境之间相互作用进行有目的地控制本文针对时滞 种群动力系统的概周期和时滞脉冲动力系统中的种群控制的几个问题，利用时滞泛函微分 方程及脉冲微分方程的相关理论和方法建立了相应的动力学模型，同时讨论了所提模型的 一些动力学行为，包括概周期解的存在性与稳定性，半平凡周期解的存在性与吸引性、系 统的持久性与灭绝以等动力学的行为，并讨论其生物学意义所得主要结果概括如下。 第二章研究非自治时滞概周期种群动力系统第一节研究一类非自治l o t l 协- v o l t e r r a 包含连续时滞与离散时滞的捕食扩散系统运用时滞泛函微分方程的基本理论讨论了时滞 对系统持续生存的影响，利用构造适当的l y a p u n o v 泛函来证明系统的全局渐近稳定性， 运用概周期泛函的壳方程理论来获得概周期解的存在惟性条件解决了高维多时滞扩散 动力系统运用以前的方法不能解决的难题，同时改进了以前一些已知的结果第二节研究 纯时滞积分微分l o g i s t i c 概周期系统的动力学行为用时滞泛函微分方程的定性理论得到 了系统有界的较弱的条件，并运用微分中值定理及有关时滞微分方程的计算技巧；我们获 得了在系统有界这样弱的条件下就能保证系统全局渐近稳定的结论同样运用关于概周期 泛函的壳方程的引理直接分析系统的右端泛函来讨论概周期系统的严格正概周期解的存 在惟一性，所得结果去掉了以前已知的一些结论中多余的限制条件，并回答了个s e i f e r t 提出的公开问题 t 第三章讨论脉冲时滞种群动力系统第一节研究一个具有一般功能反应，捕食者具有 成熟期时滞的阶段结构且脉冲收获食饵的捕食系统利用离散动力系统的频闪映射获得” 捕食者灭绝”周期解，并利用脉冲时滞微分方程的比较定理及不等式的技巧，证明了该 周期解的全局吸引性，给出了与时滞有关的系统持续长久生存的条件解释了大量捕杀害 虫可使天敌首先灭绝最后导致害虫泛滥的生物现象并给出数字分析及借助计算机模拟说 明脉冲及时滞对种群动力学的影响第二节研究了害虫( 食饵) 具有阶段结构及成熟期时 滞，脉冲周期地投放天敌，s 型h o l l i n g 功能反应的捕食模型利用脉冲时滞微分方程的 基本理论，通过脉冲投放天敌获得了与时滞有关的害虫灭绝的条件以及当害虫被控制在作 物经济危害水平之下，天敌的最小投放量与最长投放周期，并利用数值模拟来说明我们上 述害虫管理策略的合理有效性第三节发展了经典的m o n o d 恒化器模型，考虑了一类新 的污染环境下具有时滞增长反应及脉冲输入的m o n o d 恒化器模型，并且分析了培养基的 脉冲干扰，时滞增长反应以及有害物质的脉冲输入对恒化器系统的动力学行为的影响结 果表明微生物的灭绝与否决定于在每一次n t 时刻的营养液的脉冲输入量及同时伴随的有 害物质的脉冲输入量分析得出没有污染的恒化器环境有利于微生物的培养，而污染的环 境可能导致微生物的灭绝这表明伴随着有害物质输入对恒化器模型的动力学行为产生了 生物动力系统中的时滞效应 重要的影响 第四章研究脉冲免疫接种、时滞及垂直传染对s e i r 及s e i r s 流行病动力系统的影 响第一节和第二节分别讨论了具有垂直传染和脉冲免疫的时滞s e i r 及s e i r s 传染病模 型发展了经典的s e i r 及s e i r s 传染病模型，并克服了混合脉冲干扰条件带来的困难 第一节和第二节分别利用离散动力系统的频闪映射获得”无病”周期解，并讨论了该周期 解的全局吸引性，给出根除疾病的理论依据在可能形成地方流行病的情形下，用定性分 析的方法证明了该系统的持续生存性，讨论了脉冲接种免疫策略通过数值模拟显示了脉 冲接种、两个时滞及垂直传染对系统动力学的影响 关键词：时滞，概周期解，全局渐近稳定，全局吸引性，永久持续生存，脉冲时滞微分方 程，恒化器模型，脉；中免疫 i i 大连理工大学博士学位论文 e f f e c t so fd e l a y so nd y n a m i c a ls y s t e m si nb i o l o g y a b s t r a c t m a t h e m a t i c a l m o d e l so fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nd e s c r i b i n gb i o - d y n a m i cb e h a v i o r m a t h e m a t i c a l l y , t h e s em o d e l se x p l a i nm a n yb i o d y n a m i cb e h a v i o r so fa m o n g p o p u l a t i o u sa n db e t w e e np o p u l a t i o na n de n v i r o n m e n t ，w h i c hh e l p sp e o p l et ou n d e r s t a n db i o d y - n a z n i c ss c i e n t i f i c a l l y8 0t h a ts o m ei n t e r a c t i o n so fp o p u l a t i o na n di n t e r a c t i o n so fb e t w e e np o p u l a - t i o na n de n v i r o n m e n tc a b ei n t e n dt oc o n t r 0 1 i nt h i sd i s s e r t a t i o n b ym e a n so ft h et h e o r ya n d m e t h o do fd e l a yf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o l l sa n di m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，b i o d y n a m i c m o d e l s 脚七e s t a b l i s h e dt oc o n s i d e rs e v e r a lp r o b l e m si nt h ea l m o s tp e r i o do fd e l a yp o p u l a t i o n 妒 n a m i cs y s t e m sa n dp o p u l a t i o nc o n t r o l so i ld e l a yi m p u l s i v ed y n a m i cs y s t e m s t h ei n v e s t i g a t e d d y n a m i cb e h a v i o r si n c l u d et h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fa l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n ，t h ee x i s t e n c e a n da t t r a c t i v i t yo fs e m i - t r i v i a lp e r i o d i cs o l u t i o n ，t h ep e r m a n e n c ea n de x t i n c t i o no fs y s t e m s ，a n d t h e i rb i o l o g i c a ls i g n i f i c a n c ei sd i s c l l s s e d t h em a i nr e s u l t so f t h i sd i s s e r t a t i o nm a yb es u m m a r i z e d 龉f o l l o w s ： i nc h a p t e r2 ，n o n a u t o n o m o u sd e l a ya l m o s tp e r i o d i cp o p u l a t i o nd y n a m i cs y s t e m sa r ei n - v e s t t e d ，s e c t i o n2 1s t u d i e san o n a u t o n o m o u sl o t k a - v o l t e r r aa l m o s tp e r i o d i cp r e d a t o r - p r e y d i s p e r s a ls y s t e mw i t hd i s c r e t ea n dc o n t i n u o u st i m ed e l a y s b ym e a 。l l so ft h et h e o r ya n dm e t h o d o fd e l a yf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h ee f f e c to ft i l d ed e l a y so np e r m a n e n c eo fs y s t e m si s s h o w n b yc o n s t r u c t i n gs u i t a b l el y a p u n o vf u n c t i o n a l i ti ss h o w nm a tt h es y s t e mi sg l o b a l l y a s y m p t o t i c a l l ys t a b l e u s i n ga l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n a lh u l lt h e o r y , t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o r t h ee k i s t e i i c ea n du n i q u e n e s so fa h n o s tp e r i o d i cs o l u t i o na r eo b t a i n e d 毗s o l v e st h ed i f f i c u l t y t h a tm u l t i d i m e n s i o n a la n dm u l t i d e l a y e dd i s p e r s a ld y n a m i cs y s t e m sc a nn o tb ei n v e s t i g a t e db y t h ef o r m e rm e t h o d s m o r e o v e r ，s o m ef o r m e rr e s u l t sa t ei m p r o v e d d y n a m i cb e h a v i o ri nap u r e d e l a yi n t e g r o d i f f e r e n t i a ll o g i s t i ca l m o s tp e r i o d i cs y s t 哪i ss t u d i e di ns e c t i o n2 2 b ym e s f f l so ft h e q u a l i t a t i v et h e o r ya n dm e t h o do fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h ew e a kc o n d i t i o n sf o rt h eb o u n d - e d n e s so ft h es y s t e m 缸eo b t a i n e d b yu 盹o fd i f f e r e n t i a lm e a l lv a l u et h e o r e ma n dc o m p u t a t i o n a l t e c h n i q u e so nd e 1 a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w es h o wt h a tt h es y s t e mi sg l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a - b l eu n d e rc o n d i t i o nf o rt h eb o u n d e d n e s s b yl e m m ao na l m o s tp e r i o d i cf u n c t i o n a lh u l le q u a t i o n ， w ed i r e c t l ya n a l y z et h er i g h t h a n df u n c t i o n so fs y s t e mt od i s c u s st h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f s t r i c t l yp o s i t i v ea l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n ，r e m o v es o m er e s t r a i n e dc o n d i t i o n so ft h ef o r m e rr e s u l t s ， a n da n s w 鬯a - a no p e nq u e s t i o nr a i s e db yg s e l f e f t i nc h a p t e r3 ，t h ed e l a yi m p u l s i v ep o p u l a t i o nd y n a m i cs y s t e m s 珊d i s c u s s e d i ns e c t i o n3 1 w ei n v e s t i g a t ear o b u s tp r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t h8g e n e r i cf u n c t i o n a lr e s p o n s ef u n c t i o n p e r i o d i c h a r v e s t i n gf o rt h ep r e ya n ds t a g es t r u c t u r ef o rt h ep r e d a t o rw i t hm a t u r a t i o nd e l a y u s i n gt h e i i l 生物动力系统中的时滞效应 d i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e md e t e r m i n e db yt h es t r o b o s c o p i cm a p ，w eo b t a i n p r e d a t o r - e x t i n c t i o n p e r i o d i cs o l u t i o n ，b yu s eo fc o m p a r i s o nt h e o r e ma n dd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e sf o rd e l a yi m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w es h o wt h a tt h es y s t e mi sg l o b a l l ya t t r a c t i v ea n dg i v et h ec o n d i t i o n sw i t h t i m ed e l a yf o rt h ep e r m a n e n c eo fs y s t e m w es h o wt h a tn a t u r a le n e m yb e c a m e se x t i n c tf i r s t l y w h e np e s ti sh a r v e s t e dl a r g e l y , w h i c hl e a dt op e s ti n c r e a s er a p i d l ya n do v e r r a nu l t i m a t e l y t h e i n f l u e n c eo ft i m ed e l a ya n di m p u l s eo np o p u l a t i o nd y n a m i c si ss i m u l a t e db yc o m p u t e r i ns e c t i o n 3 2 ，a nst y p eh o u i n gf u n c t i o n a lr e s p o n s ep r e d a t o r - p r e ym o d e li si n v e s t i g a t e d ，i nw h i c hn a t u r a l e n e m yi sr e l e a s e di m p u l s i v e l ya n dp e s th a ss t a g es 伽l c t 珈呛a n dm a t u r a t i o nd e l a y u s i n gb a s i c t h e o r e mo fd e l a yi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w eo b t a i nt h ec o n d i t i o nw i t ht i m ed e l a yf o rt h e e x t i n c t i o no fp e s tb yi m p u l s i v er e l e a s i n gn a t u r a le n e m ya n dt h em i n i m a lr e l e a s i n gn a t u r a le n e m y a n dm a x i m u mi m p u l s i v ep e r i o dw h e np e s tp o p u l a t i o ni sc o n t r o l e du n d e rt h ee c o n o m i ct h r e s h o l d l e v e l w 毫i l l u s t r a t et h ea c a d e m i cr e s u l t sa n dt h ea p p l i c a t i o no np e s tm a n a g e m e n tb yn u m e r i c a l s i m u l a t i o n i ns e c t i o n3 3 ，w ed e v e l o pt h ec l a s s i c a lm o n o dm o d e l ，t h e nc o n s i d e ran e wm o n o d t y p ec h e m o s t a tm o d e lw i t hd e l a y e dg r o w t hr e s p o n s ea n dp u l s e di n p u ti nap o l l u t e de n v i r o n m e n t t h ee f f e c to fi m p u l s i v ei n p u to ft h en u t r i e n tc o n c e n t r a t i o n t i m ed e l a yf o rg r o w t hr e s p o n s ea n d i m p u l s i v ei n p u to ft h et o ) c i c a n to nd y n a m i cb e h a v i o r so fc h e m o s t a tm o d e li sa n a l y z e d w h e t h e r t h em i c r o o r g a n i s mi se x t i n c to rn o ti sd e t e r m i n e dc o m p l e t e l yb yt h ei n p u ta m o u n to ft h es u b s t r a t e a n dc o n c e n t r a t i o no ft h et o x i c a n ta tt h e 丘) ( e di m p u l s i v ep e r i o dn t t h er e s u l t ss h o wt h a tt h e e n v i r o n m e n tw i t hn op o l l u t i o ni si nf a v o ro fl i v i n go ft h em i c r o o r g a n i s ms p e c i e sa n dt h a tt h e p o l l u t e de n v i r o n m e n tc a nl e a dt ot h em i c r o o r g a n i s ms p e c i e sb ee x t i n c t t h i ss h o w st h a tt h e i n p u tc o n c e n t r a t i o no ft h et o x i c a n tg r e a t l ya f f e c t st h ed y n a m i c sb e h a v i o r so ft h em o d e l i nc h a p t e r4 ，t h ei n f l u e n c eo fp u l s ev a c c i n a t i o n ，t i m ed e l a y sa n dv e r t i c a lt r a n s m i s s i o no n s e i ra n ds e i r se p i d e m i cm o d e l si si n v e s t i g a t e d i ns e c t i o n4 1a n ds e c t i o n4 2 d e l a ys e i ra n d s e i r se p i d e m i cd i s e a s em o d e l sw i t hv e r t i c a lt r a n s m i s s i o na n dp u l s ev a c c i n a t i o na r ed i s c u s s e d r e s p e c t i v e l y w ed e v e l o pt h ec l a s s i c a ls e i ra n ds e i r se p i d e m i cm o d e l sa n dw i nt h r o u g ht h e m i x i n gi m p u l s i v ec o n 山t i o n s i ns e c t i o n4 1a n ds e c t i o n4 2 u s i n gt h ed i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e m d e t e r m i n e db yt h es t r o b o s c o p i cm a p ，w eo b t a i na n i n f e c t i o n - f r e e p e r i o d i cs o l u t i o n ，d i s c u s sg l o b a l a t t r a c t i v i t yo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o na n dg i v et h ec o n d i t i o nf o rt h ed i s e a s et ob ee r a d i c a t e d ， r e s p e c t i v e l y w h e nt h ed i s e a s eg e n e r a t e se n d e m i c ，w eu s eq u a l i t a t i v ea n a l y s i sm e t h o dt op r o v e t h ep e r m a n e n c eo fs y s t e m sa n dd i s c u s sp u l s ev a c c i n a t i o ns t r a t e g y t h en u m e r i c a ls i m u l a t i o n s h o w st h ei n f l u e n c eo fp u l s ev a c c i n a t i o n ，t w od e l a y sa n dv e r t i c a lt r a n s m i s s i o no nt h ed y n a m i c so f s y s t e m s k e yw o r d s ：t i m ed e l a y , a l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n ，g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y , g l o b a l a t t r a e t i v i t y , p e r m a n e n c e ，d e l a yi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，c h e m o s t a tm o d e l ， p u l s ev a c c i n a t i o n i v 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及 取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或者其 他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡 献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者签名： 壶鲁耐 日期； 伽。鼋f ，。砂6 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人学位论文作者及指导教师完全了解。大连理工大学硕士、博士学位论文版权使 用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论丈的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等手段保存或汇编学位论文 作者签 导师签 ) 辽 1 1 9 第一章引言及预备知识 本章首先介绍所研究内容的前景、国内外研究概况、水平和发展趋势、特点及意义， 然后介绍时滞微分方程及脉冲微分方程的一些基本概念和基本结论特别地给出所要研究 的时滞微分方程中的比较定理、概周期的基本概念、壳方程和壳理论，以及研究脉冲微分 方程的重要理论一比较定理、不等式理论、稳定性理论周期脉冲微分方程理论详细 内容主要参阅f l o ，6 2 ，8 0 ，8 2 】 1 1 引言 生物数学作为一门交叉学科正在快速地发展数学科学的知识和技巧已经被引进生 物科学的领域，它们帮助生物学家解释各种生命现象生物动力学作为生物数学的个分 支，已经引起许多学者的兴趣数学模型具有解释功能、判据功能和预见功能微分方程 数学模型在描述生物动力学行为中起到了很大的作用这些数学模型的研究常常涉及到常 微分方程、时滞微分方程和脉冲微分方程的相关内容利用微分方程动力系统的理论对许 多种群之问的相互作用进行分析，从数学的角度来解释各种种群动力学行为，使人们科学 地认识种群动力学，从而对某些种群的相互作用有目的地进行控制微分方程动力系统的 应用非常广泛，如经济开发、环境保护、种群生态学，传染病和药物动力学以及微生物的 培养等研究的课题包括正平衡点的存在性和稳定性，极限环的存在性和稳定性，周期解 和概周期解的存在性和稳定性，种群的持续生存和灭绝，种群的开发和利用等连续动力 系统的应用起步较早，是多年来主要研究方向，以经典的种群动力学为基础形成了一套理 论体系，特别是连续动力系统有着丰富的研究结果，比如：竞争系统、合作系统、捕食系 统、扩散系统等 现实世界中存在这样一些问题，由常微分方程不能解决，研究发现这些同题常常与时 间延迟、即时间滞后有关，于是数学家们建立了事物变化不仅依赖当前的状态，而且还依 赖过去的状态的一类方程，即时滞微分方程，又称泛函微分方程考虑到种群密度变化对 于增长率的影响效应都不是瞬时发生的，而是有时间延迟的，与过去的生活状态有关时 滞在生物活动中经常出现，自从m a y 【1 0 4 】发现时滞会破坏l o g i s t i c 模型正平衡态稳定性 并引起周期振动以来，时滞效应对生物种群的影响引起许多专家学者的极大兴趣如考虑 时滞对自治系统中的平衡点存在性和稳定性，非自治系统中的正周期解或概周期解存在惟 一性的影响，以及考虑时滞对系统的持续生存性的影响，如果时滞对系统的动力学行为产 生影响，我们称之为时滞是一有害的。否则是。无害的- 关于非自治时滞动力系统的 研究的文献已有不少比如：文f 2 0 ，7 5 ，8 9 ，1 0 7 ，1 1 3 ，1 3 0 ，1 3 7 ，1 4 2 ，1 4 6 1 研究了非自治时滞 动力系统的持续生存性与渐近稳定性 在自然界中有许多现象呈现周期变化，如季节变化、昼夜更替，食物增减等，因此生 l 物种群的生存环境是随时闻而改变的近年来，有许多学者对非自治周期系统进行了广泛 的研究，得到了系统正周期解的存在性和全局吸引性如文【1 4 7 ，1 4 8 1 分析了时滞捕食系 统正周期解的存在性和全局稳定性文 3 8 】研究了中立型时滞单种群增长模型周期解的 存在性近几年来，利用重合度理论叫研究时滞周期系统周期解的方法得到广瑟应用， 例如文f 3 9 ，4 0 ，7 3 ，7 9 ，9 7 】但由于环境随着季节呈现出非严格意义上的周期性变化，因此 研究时滞效应对概周期系统的动力学行为的影响也很有必要出现的比较早的是些偏微 分方程的概周期解问题 2 l 】后来，有关常微分及时滞泛函微分方程的概周期解的文献多 了起来。例如文【1 8 ，2 6 ，2 7 ，6 7 ，1 2 4 ，1 6 1 运用概周期解的定义来证明概周期解的存在性 最近出现一些文章运用不动点定理来证明神经网络系统概周期解的存在性及指数稳定性 【9 9 ，1 7 1 还有一些文章通过构造合适的l y a p u n o v 函数v ( t ，z ) 满足文【1 6 2 】中的定理使得 d + 矿( t ，z ) s c v ( t ，工( t ) ) 【2 8 ，4 2 ，4 3 ，1 7 5 ) 而本文的第二部分运用泛函概周期的壳理论。建 立了一个新的引理，根据该引理直接分析微分方程的右端泛函的性质来判断概周期解的存 在惟一性，不仅能够改进一些以前文献的结果，而且能够解决一些以前所用方法不能解决 的问题 许多实际问题的发展过程往往具有这样的特性，即系统经历一个短时间的外部作用， 但这个短暂的干扰时间同整个发展过程相比可以忽略不计，所以从数学的角度来描述这 种发展过程要用到脉冲微分方程脉冲微分方程是在常微分方程的基础上发展起来的，其 突出的特点是能够充分考虑到瞬间变化对状态的影响，能够更合理、更精确地反映事物的 变化规律，所以许多学者对脉冲微分方程的理论及其应用作了广泛的研究如专著【9 ，i 0 ， 8 2 】详细介绍了脉冲微分方程理论文【1 1 ，1 9 ，2 9 ，1 6 0 】研究了脉冲微分方程解的振动性 文【8 1 ，1 1 5 ，1 2 5 】研究脉冲微分系统的稳定性文1 4 9 ，1 1 9 l 给出脉冲微分系统周期解和极限 环的存在性和稳定性脉冲微分方程已经被应用到各个科学领域假设系统的发展是连续 的，然而在现实生活中人类对资源的管理和开发总是季节性的或离散的，而且是瞬时或短 时间完成的所以把人类的连续干扰修改为离散的脉冲干扰更加符合实际【7 6 ，7 7 ，1 3 8 】 我们注意到生物种群的进化和繁衍过程中存在着许多脉冲现象很多种群的出生通常是季 一节性的而且是短时间完成的即生育脉冲【1 2 1 ，1 4 1 物种的迁徙也具有脉冲现象，如候鸟 迁徙、种子飘移在渔业资源的开发和管理中，鱼苗的教养和成鱼的收获是周期性地发生 而且是短时间完成的【1 6 8 1 在农业生产中，害虫的综合管理策略通常是把化学控制和生 物控制有效地结合起来将害虫控制在经济危害水平( 导致经济危害的最低害虫数量) 以下 【1 1 6 1 化学控制一般是喷洒杀虫剂消灭害虫，往往能够快速控制害虫，其缺点是污染环 境，同时杀死大量天敌、危及人类健康生物控制是投放天敌控制害虫，天敌可以人工培 养生物控制可以弥补化学控制的缺点，这样人们可以把投放天敌和喷洒杀虫剂结合起来 去有效地控制害虫，使害虫的数目低于经济危害水平喷洒杀虫剂或投放天敌是瞬时的、 不连续的，从而引起害虫与天敌的数目瞬闻发生变化 8 6 ，9 2 ，1 4 0 ，1 6 7 】另外，人们也利 用传染病来控制害虫，即投放染病害虫或病毒【5 6 ，7 4 ，1 0 6 ，1 6 4 在微生物培养方面，已经 2 。大连理工大学博士学位论文 有很多学者进行过研究，如文【1 ，1 6 ，3 2 ，5 1 ，5 2 ，6 5 ，7 0 ，1 1 1 ，1 1 2 ，1 1 7 ，1 7 2 】等但他们考虑 的模型都假设培养基的输入是连续的实际上，培养基采用脉冲输入可能会更经济、更有 效，如文 5 3 ，1 2 7 ，1 3 4 ，1 3 5 人类一直同传染病进行着不屈不挠的斗争，并在二十世纪人类已取得征服传染病的最 辉煌成果，天花、鼠疫、破伤风等带来巨大灾难的传染病得到消灭或遏制，然而，人类要 征服传染病，道路依然曲折漫长，一些新近出现的传染病也来势凶猛，例如，性病、艾滋 病、s a r s 、禽流感、口蹄疫等因此人类正面临着传染病长期而严峻的威胁，对传染病 发病机理、传染规律和防治策略研究的重要性日益突出现在许多生物学家和数学家根据 种群生长的特性，疾病的发生及在种群内部的传播、发展规律，以及与之有关的社会等因 素，建立能反映传染病动力学特性的数学模型，通过对模型动力学性态的定性、定量分析 和数值模拟，来显示疾病的发展过程，揭示其流行规律，预测其变化发展趋势，分析疾病 流行的原因和关键因素，寻求对其预防和控制的最优策略，为人们防治决策提供理论基础 和数量依据作出了重要贡献我们常见的传染病模型都是s i r ( 易感者，染病者，恢复类) 模型然而，许多传染病在宿主发病前都要在宿主体内潜伏一段时间例如，麻疹病毒有 8 - 1 3 天的潜伏期以及人类从感染狂犬病毒后到发病，狂犬病毒在体内的潜伏期有可能少则 几个月多则几年要考虑潜伏期，还需要考虑一个新的传染病群体，即，潜伏者在这种 情形下，我们称这种传染病模型为s e i r ( 易感者，潜伏者，染病者，恢复类) 模型【5 ，3 0 ， 3 5 ，6 0 ，6 6 ，8 3 ，1 1 0 ，1 5 0 考虑阶段结钩( 如染病者具有确定的传染期、潜伏者具有确定的潜 伏期、免疫者具有确定的免疫期等) 时而出现时滞微分系统 1 7 ，3 0 ，7 8 ，1 0 2 ，1 3 6 ，1 5 0 ；而描 述种群在脉冲出生或对种群进行脉冲预防接种等情形下，各仓室的变化状态是脉冲传染病 模型【3 5 ，3 6 ，1 0 0 ，1 3 3 关于流行病模型的知识细节可以参考 6 ，7 ，8 ，1 7 3 ，1 7 4 。正如靳祯教授在文【1 7 8 】中所说：。脉冲种群系统的研究比不含脉冲的种群动力系统有 着更加复杂的性质，若同时考虑具有时滞和脉冲的种群系统，其研究就更加困难，所见的 文献也有限，但脉冲时滞种群模型是广泛存在的”因此脉冲时滞动力系统引起了许多专家 学者的兴趣近几年来，关于脉冲时滞微分方程的抽象方程等的理论研究成果逐渐出现， 比如：文【1 3 ，9 6 】研究了时滞脉冲微分方程解的存在性、可微性和延拓性；文【5 0 ，1 5 9 】讨 论了时滞脉冲微分方程解的振动性；文 7 3 ，1 6 9 用重合度理论证明了一些周期时滞脉冲微 分方程解的周期解的存在性目前，关于具体时滞脉冲种群模型的应用性的文献主要集中 在讨论一维l o g i s t i c 型脉冲时滞种群模型的全局吸引性、持续性和稳定性方面【1 硎无论 是关于时滞种群动力系统和时滞传染病动力系统，还是关于脉冲种群动力系统和脉冲传染 病动力系统都做出了大量的好的工作，然而关于高维脉冲时滞种群动力系统和高维脉冲时 滞传染病动力系统的定性分析所做的工作极少，有些地方甚至是空白因此在高维脉冲时 滞种群动力系统和高维脉冲时滞传染病动力系统的定性分析方面，还有许多有意义的工作 要做 本文针对时滞种群动力系统的概周期和脉冲时滞动力系统的几个问题利用时滞泛函 3 生物动力系统中的时滞效应 微分方程及脉冲微分方程的相关理论和方法建立并研究了相应的动力学模型，同时借助计 算机模拟讨论了一些所提模型的各种动力学行为，包括概周期解的存在性与稳定性，边界 周期解的存在性与稳定性、系统的持久性与灭绝以及系统动力学的复杂性，并说明其生物 学意义所得主要结果概括如下。 第二章讨论非自治时滞概周期种群动力系统第一节研究一类非自治l o t l m - v o l t e r r a 包含连续时滞与离散时滞的捕食扩散系统，该系统由n 个斑块组成，其中食饵种群可以在 n 个斑块之间扩散，而捕食者种群只能限制在某一个斑块内活动并研究该系统的一致持 续生存性，解的渐近稳定以及概周期解的存在惟性。首先运用时滞泛函微分方程的基本 理论讨论了时滞对系统持续生存的影响，并利用构造适当的l y a p u n o v 泛函来证明系统的 全局渐近稳定性，接着运用概周期泛函的壳方程理论来获得概周期解的存在惟一性条件 解决了高维多时滞扩散动力系统运用以前的方法不能解决的难题，同时改进了以前一些已 知的结果第二节研究纯时滞单种群l o g i s t i c 概周期系统的动力学行为用时滞泛函微分 方程的定性理论得到了系统有界的较弱的条件，并运用微分中值定理及有关时滞微分方程 的计算技巧，我们获得了在系统有界这样弱的条件下就能保证系统全局渐近稳定的结论 进一步，同样运用关于概周期泛函的壳方程的引理直接分析系统的右端泛函来讨论概周期 系统的严格正概周期解的存在惟性，得到了一些相当的弱的条件，这些条件可以去掉了 以前已知的一些结论中多余的条件，并回答了一个s e l f e f t 的公开问题 第三章讨论了脉冲干扰对时滞种群动力系统的影响第一节研究一个具有一般功能反 应，捕食者具有阶段结构且脉冲收获食饵的捕食系统首先利用离散动力系统的频闪映射 获得”捕食者灭绝”周期解，并利用脉冲时滞微分方程的比较定理及不等式的技巧，证明 了该周期解的全局吸引性，最后给出了与时滞有关的系统持续长久生存的条件解释了大 量捕杀害虫可使天敌首先灭绝最后导致害虫泛滥的生物现象给出了应该适量收获捕杀害 虫使天敌与害虫共存而达到控制害虫的目的建议并给出数字分析及借助计算机模拟说明 脉冲及时滞对种群动力学的影响第二节研究了害虫( 食饵) 具有成熟期时滞，脉冲周期 地投放天敌，s 型h o l l i n g 功能反应的阶段结构捕食模型利用脉冲时滞微分方程的比较 定理及不等式的技巧等定性理论，通过脉冲投放天敌获得了与时滞有关的害虫灭绝的条件 以及当害虫被控制在作物经济危害水平( e i l ) 之下，天敌的最小投放量与最长投放周期， 并最后利用数值模拟来说明我们上述害虫管理策略的合理有效性第三节考虑了一类新的 污染环境下具有时滞增长反应及脉冲输入的m o n o d 恒化器模型，并且研究培养基的脉冲 干扰，时滞增长反应以及有害物质的脉冲输入对恒化器系统的动力学行为有何影响结果 表明微生物的灭绝与否决定于在每一次n t 时刻的营养液的脉冲输入量及同时伴随的有害 物质的脉冲输入量分析得出没有污染的恒化器环境有利于微生物的培养，而污染的环境 可能导致微生物的灭绝这表明伴随着有害物质输入对恒化器模型的动力学行为产生了重 要的影响 第四章讨论脉冲免疫接种和时滞对s e i r 及s e i r s 流行病动力系统的影响第一节讨 4 大连理工大学博士学位论文 论了具有垂直传染和脉冲免疫的时滞s e i r 传染病模型首先利用离散