（概率论与数理统计专业论文）重尾随机变量和的精确大偏差及相关问题.pdf

p r e c i s el a r g ed e v i a t i o n sf o rs u m so fh e a v y - t a i l e d r a n d o mv a r i a b l e sa n dr e l a t e dp r o b l e m s d e p a r t m e n t ： m a j o r ： r e s e a r c hd i r e c t i o n ： s u p e r v i s o r ： 墅堕竺堕竖堕里璺坠竖 a u t h o r ： d a t e ： w a n gs h i j i e m a r c h ，2 0 1 0 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文重尾随机变量和的精确大偏差及相关 问题，是在华东师范大学攻读博士学位期间，在导师的指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他 个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：汹 日期：垒坐掣 华东师范大学学位论文著作权使用声明 重尾随机变量和的精确大偏差及相关问题系本人在华东师范大学攻 读学位期间在导师指导下完成的博士学位论文，本论文的研究成果归华东师 范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文， 并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的 印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、 借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进 行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式 合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文木， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 7 ( ) 2 不保密，适用上述授权。 作者签名：五哟导师签名：逊 日 期：涩f 旦= ：l e t期：2 f 皇：i 掌“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学 位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经 上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均 适用上述授权。 汪世界博士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 叶中行 教授上海交通大学理学院主席 杨静平教授北京大学数学科学学院成员 张丽宏教授清华大学经济管理学院成员 汪荣明教授华东师范大学金融与统计学院成员 汤银才教授 华东师范大学金融与统计学院成员 第一章摘要 重尾分布是保险精算学的核心研究问题之一，这是由于相对于轻尾分布，重 尾分布更符合理赔的实际大偏差理论是应用概率论的一个重要研究课题它可 以用于定量地刻画极端事件的性质因此，近年来有关重尾随机变量序列部分和 的精确大偏差问题受到应用概率学者的广泛关注本文在前人研究结果的基础上， 分别考虑单风险模型与多风险模型中重尾随机变量部分和的精确人偏差问题最 后讨论了随机加权两两q a i 随机变量和的尾概率渐近估计及其在风险理论中的应 用主要内容包括以下几个方面 其一，我们考虑一列c 族i n d 同分布重尾随机变量，且存在某常数c 一o o 使 得_ ( c ) = 1 在某些条件下，我们分别证明了确定和与随机和的精确大偏差，推广 了一些经典的结果( t a n g ( 2 0 0 6 ) ，l i u ( 2 0 0 7 ) ，c h e n 等( 2 0 0 7 ) ) 其二，鉴于目前已有的精确大偏差结果都局限在c 族重尾随机变量上，我们讨 论一列d n z 族n a 重尾随机变量，利用“h - i n s e n s i t i v e ”函数的性质在一定的条件 下，得到确定和与随机和的精确大偏差，首次将精确大偏差结果推广到更大的重 尾分布类上 其三，考虑到在实际应用中单个保险公司一般同时经营着多个不同险种，我 们研究多风险模型令i 墨，f = l ，k ，j 1 1 为一独立随机阵列，且对任意f = l ，k ，瓦c 在一定条件下，我们证明了双指标确定和冬le t - - l 墨，与随机 和惫l 掣蕾j 的精确大偏差，其中 f ( f ) ，f = l ，料为一列相互独立的更新计 数过程，且与 墨f ，f - l ，k ， i i 独立从而首次获得重尾场合下多风险模型的 精确大偏差，同时这一结果也是对一维风险模型相应结果的推广 其四，在前一结果的基础上，考虑 勘，i = 1 ，七，j l 为一n a 随机阵列，如 果对任意f - 1 ，七，瓦c 在一定条件下，再次得到了双指标确定和冬le t _ - l 勤 与随机和笔lp m j = l 勘的精确大偏差该结果表明，在多风险模型中，精确大偏差 同样对n a 相依结构是不敏感的 最后，我们研究了随机加权两两q m 随机变量和的尾概率的一致渐近估计在 常利息力和常数保费率的条件下，得到了非经典连续时间更新风险模型下破产概 率的渐近表达式，在模型中，我们假定理赔为一两两q a i 随机变量序列 2 关键词：风险模型，精确大偏差，重尾分布，上负相关，负相伴，随机阵列，破产 概率 a b s t r a c t h e a v y t a i l e dd i s t r i b u t i o n sa r eo n eo ft h ec o r ei s s u e si na c t u a r i a ls c i e n c e b e c a u s e t h e y 龇l ；em o r ei na c c o r d a n c ew i t hc l a i m s r e a l i t yt h a nl i g h t - t a i l e do n e s l a r g ed e v i a - t i o ni sa ni m p o r t a n ts t u d yt a s ki na p p l i e dp r o b a b i l i t y , a n di ti su s u a l l yu s e dt oq u a m i t a t i v e l yc h a r a c t e r i z et h ep r o p e r t yo fe x t r e m a ie v e n t s b yt h i sr e a s o n ，r e c e n t l y , p r e c i s e l a r g ed e v i a t i o n sf o rs u n l so fh e a v y - t a i l e dr a n d o mv a r i a b l e sa r ew i d e l yi n v e s t i g a t e d b ym a n ya p p l i e dp r o b a b i l i t ya u t h o r s b a s e do nt h ee x i s t e dr e s e a r c hr e s u l t s ，p r e c i s e l a r g ed e v i a t i o n sf o rs i n g l er i s km o d e l sa n dm u l t i r i s km o d e l sa r es t u d i e dr e s p e c t i v e l y i nt h ep r e s e n td i s s e r t a t i o n ，a n da s y m p t o t i ce s t i m a t ef o rt a i lp r o b a b i l i t i e so fr a n d o m l y w e i g h t e dp a i r w i s eq a i ( q u a s i a s y m p t o t i c a l l yi n d e p e n d e n t ) r a n d o mv a r i a b l e s s u m s w i t ha p p l i c a t i o n si nr i s kt h e o r ya r ei n v e s t i g a t e di nt h ee n d 乃em a i nc o n t e n t si n c l u d e t h ef o l l o w i n ga s p e c t s f i r s t l y , w ec o n s i d e ras e q u e n c eo fu n dh e a v y - t a i l e dr a n d o mv a r i a b l e sb e l o n g i n g t ocw i t hc d m n o nd i s t r i b u t i o n s 。a n dt h e r ee x i s t ss o m ec o n s t a n tc 一s u c ht h a t ，( c ) = 1 u n d e rs o m em i l dc o n d i t i o n s ，w ep r o v ep r e c i s el a r g ed e v i a t i o n sf o rd e t e r m i - n a t es u m sa n dr a n d o ms u m sr e s p e c t i v e l y a n dt h eo b t a i n e dr e s u l t se x t e n ds o m ec l a s s i c o n e s ( t a n g ( 2 0 0 6 ) ，l i u ( 2 0 0 7 ) ，c h e ne ta 1 ( 2 0 0 7 ) ) s e c o n d l y , s i n c ea l lt h ee x i s t e dp r e c i s el a r g ed e v i a t i o n sh o l d so n l yi nt h eh e a v y - t a i l e ds u b c l a s so tcs of a r , w ed i s c u s sas e q u e n c eo fn ah e a v y - t a i l e dr a n d o mv a r i a b l e s i nd n zw i t hc o m m o nd i s t r i b u t i o n s ，b yu s i n gt h ep r o p e r t yo f h - i n s e n s i t i v e f u n c t i o n , u n d e rs o m ec o n d i t i o n s , w eg e tp r e c i s el a r g ed e v i a t i o n sf o rd e t e r m i n a t es u i t 摄a n dr a n d o ms u m s ，a n dt h i si st h ef i r s tt i m et oe x t e n dp r e c i s el a r g ed e v i a t i o n st os o m el a r g e r h e a v y - t a i l e ds u b c l a s s e s t h i r d l y , n o t i n gt h a ts i n g l ei n s u r e ru s u a l l ym a n a g e sm a n yd i f f e r e n tt y p e so fc o n t r a c t s a t t h es a m e t i m e i n r e a l i t y , w e c o n s i d e r m u l t i - r i s k m o d e l s l e t i x i ，f = l ，k ，j 芝 l lb ea ni n d e p e n d e n tr a n d o mm a t r i x ，a n df o ra n y i = l ，k ，一c u n d e rs o m e a s s u m p t i o n s ，w ep r o v ep r e c i s el a r g ed e v i a t i o n sf o rt w oi n d i c e ss u m sw i t hd e t e r m i n a t e o n e s 笔j 兰l 如a n dr a n d o mo n e s 各l 臀如，w h e r e j ( f ) ，f ：l ，k b ea s e q u e n c eo fi n d e p e n d e n tr e n e w a lc o u n t i n gp r o c e s s ，i n d e p e n d e n to f ，f - l ，七，j 3 k e y w o r d s ：r i s km o d e l ，p r e c i s el a r g ed e v i a t i o n ，h e a v y t a i l e dd i s t r i b u t i o n ，u p p e r n e g a t i v e l yd e p e n d e n t , n e g a t i v e l ya s s o c i a t e d ，r a n d o mm a t r i x ，r u i np r o b a b i l i t y 第一章摘要 第一章 1 1 1 2 1 3 1 4 第二章 2 1 2 2 2 3 2 4 第三章 3 1 3 2 3 3 3 4 目录 绪论 主要符号对照表 重尾分布的研究背景 重尾分布的概念 本文的主要研究成果 c 族u n d 随机变量和的精确大偏差 引言 相关概念及引理 c 族l i n d 随机变量确定和的精确大偏差 c 族u n d 随机变量随机和的精确大偏差 dnz 族n a 随机变量和的精确大偏差 研究背景 几个需要用到的命题 d n z 族n a 随机变量部分和的精确大偏差 dnz 族n a 随机变量随机和的精确大偏差 第四章c 族独立随机阵列部分和的精确大偏差 4 1 重尾随机阵列的研究背景 4 2 一维风险模型的精确大偏差与引理 4 3c 族独立随机阵列确定和的精确大偏差 4 4c 族独立随机阵列随机和的精确人偏差 4 5 应用 第五章 5 1 5 2 5 3 c 族负相伴随机阵列部分和的精确大偏差 引言 定义与引理一 c 族负相伴随机阵列确定和的精确大偏差 5 l 1 l 2 4 8 5 5 6 9 2 5 5 6 7 l s 5 7 o 7 l 3 3 5 9 l l l l 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 5 5 5 5 5 6 5 4c 族负相伴随机阵列随机和的精确大偏差 “ 第六章 6 1 6 2 6 3 6 4 参考文献 致谢 随机加权两两q a i 随机变量和的尾概率估计及其应用 卯 模型的研究背景6 9 定义、命题与引理7 l 随机加权两两q a i 随机变芾和的尾概率估计7 3 常利息力下连续时间更新风险模型的破产概率7 6 攻读博士期间论文完成情况 8 3 9 1 9 3 1 1 主要符号对照表 第一章绪论 为了本文后面叙述的方便，首先列出本文中采用的一些常用记号： a +口v0 = m a x a ，0 l a 一 一( 口ao ) = 一m i n a ，0 ) 口( 曲以力l i m s u p a ( x ) b ( x ) sl ，对任意的正值函数口( ) ，纵) 口( 曲乏酞曲f i m i n f a ( x ) b ( x ) 1 ，对任意的正值函数口( ) ，城) r + 口( 力一阢力口( 曲s6 ( 曲与口( 力乏以力同时成立 口( 力以曲l i r as u pa ( x ) b ( x ) 以及l i ms u pb ( x ) a ( x ) d ( 1 ) ，d ( 1 ) l i md ( 1 ) = 0 ，l i ml 伙1 ) i 0 ， e e r x = 卯( 曲= 。 ( 1 3 2 ) 则称随机变量x ( 或，( 曲) 是重尾的否则称随机变量x ( 或f ( 曲) 是轻尾的 注1 3 a 由定义不难看出，任意一个重尾分布f 都一定有右无界支撑，即对任意 的工 0 ，瓦曲 0 满足( 1 2 2 ) 式的，( 工) 构成了整个重尾分布族，e m b r e c h t s 等( 1 9 9 7 ) 用必来表示 该族下表中列出了一些实际应用中常见的重尾分布，以供读者参考( 可以证明， 它们都是次指数分布，具体定义见后面) 第一章绪论 表1 1 几种重要的重尾分布 5 分布名称分布的尾f 或密度，参数 p a r e t o ，( 劝= ( 焘) 口 口，k 0 b u r r f ( 力= ( 嘉) 口 口，丁 0 l o g n o r m a l 厂( 曲= 丽b e x p ( 1 0 9 舻x - - l a 户) ，矿 0 l o g g a m m a 八曲= 焉) ) ( 1 0 9 x ) a - 1 x - 口一1i a i ，p 0 眙i b u l l f ( x ) = e - ( ra 0 ，0 口 l c a u c h y 八曲= 币焉1 i 两 一 a 0 t y p e - i p - # ( 1 0 9 x ) z - - - ( a + 1 ) l o g x b e n k t a n d e r - f ( 曲= 矿伊r ( 1 帼p 吨一伊口，0 卢 1 ) ：如果随机变量x ( 或其分布函数为f ( 曲) 满足，对任意的 常数y r ，有 一l i m 铬矿， ( 1 3 4 ) 6 则称随机变量朋或分布函数，( 曲具有正规变化尾( r e g u l a rv a r y i n gt a i l ) e r v ( 一口，韵族( 对某0 口声 1 ，有 广剑器妒筹剑紫筹矿 ( 1 3 5 ) 则称随机变量x 或分布函数f ( 曲具有广义正规变化尾( e x t e n d e dr e g u l a rv a r y i n gt a i l ) c 族：如果随机变量极或其分布函数为f ( d ) 满足： l i ml i mi n f 丽f ( x y ) = l 或等价地l 舛i m ll i m h s 。u p 器乩 ( 1 3 6 ) 则称随机变m _ x 或分布函数，( 曲具有一致变化尾( c o n s i s t e n t l yv a r y i n gt a i l ) d 族：如果随机变r e x ( 或其分布函数为f ( 曲) 满足，对任给的y ( 0 ，1 ) ( 或等 价蜘= 1 2 ) ，有 1 1 掣铬 o o ， ( 1 3 7 ) 则称随机变：r x 或分布函数以柚具有控制变差( d o m i n a n tv a r i a t i o n ) s 族：如果随机变量x ( 或其分布函数为，( 曲) 满足，对任意的r t 2 ( 或等价 地，l = 2 ) ，有 一l i r a 错乱 ( 1 3 8 ) 则称随机变量x 或分布函数，( 力为次指数分布( s u b e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ) z 族：如果随机变量x ( 或其分布函数为f ( 曲) 满足，对任意的) ，( 或等价地y = 1 ) ，有 一l i r a 篱_ l ( 1 3 9 ) 则称随机变量翩戈分布函数，( 力具有长尾( 1 0 n gt a i l ) 注1 3 1 0 容易看出，允口族的定义等价为：如果存在0 口 o 有2 甄l ( t x ) i l ( x ) = 1 ) ，有 f ( 曲= x - l ( x ) 第一章绪论7 注1 3 1 1 对于上述提到的重尾子族，当o 曲， ( 1 3 1 3 ) 在众多文献中，对于这一性质，常称随机变量序列 兄，n 之1 ) 满足单大跳准贝：j ( t h e p r i n c i p l eo fas i n g l eb i gj u m p ) ，如f o s s 等( 2 0 0 9 ) ( 1 2 1 3 ) 式表明，对于保险公司而 言，最大的理赔额在总理赔额中占有相当重要的地位，从而用次指数随机变量来 表述索赔额，与实际情形相吻合 差我们将随机变量序列的相依性减弱为u n d ，在没有附加更多条件的情形下，分 别得到了c 族u n d 随机变量确定和与随机和的精确大偏差因此，所得结粜推广 t t a n g ( 2 0 0 6 ) 。c h e n 等( 2 0 0 7 ) 与l i u ( 2 0 0 7 ) 我们得到的结果如下：设x = l x k ，k l 为一列u n d 随机变量，其共同分布 为，( 曲，有限期望为若存在常数c 一使得f ( c ) = 1 r f c ( i ) 确定和情形：则对任意常数y 0 ，有 h s 一一n i l 曲一n f ( x ) ， 对x 一致成立，即， 腮黑i 掣一l = 0 ( i i ) 随机和情形：如果( d 为与x = i x k ，k 之ll 独立的非负整数值随机过程，满 足对任意5 o 且对工之( 1 + d a ( f ) 一致地有， p ( ( d 力= d ( l ( r ) f ( 曲) 则对任意常数y 0 ，有 p ( s n ( o 一l ( f ) 怛 力一a ( ，) _ ( 力， x c x ( f ) 一致成立，即， 鸭l i r a 蚓堕铲一- i = o 第一章绪论 9 第三章：本章我们考虑dnz 族n a 随机变量和的精确大偏差n g 等( 2 0 0 4 ) 研究 了独立随机变量部分和与随机和的精确大偏差，这是很有意义的一个结果t a n g ( 2 0 0 6 ) ，c h e n 等( 2 0 0 7 ) ，l i u ( 2 0 0 7 ) ，分别将上述结果推广到n a 相依随机变量情形， s h e n 等( 2 0 0 9 ) 讨论了n a 随机变量随机加权和的精确大偏差但据作者了解，到目 前为止基本上所有的精确大偏差结果最弱的情形都必须建立在c 族随机变量的 基础上，这在应用中显然有一定的局限性在一定的假设下。本章中作者首次成功 地将精确大偏差结果推广到d n z 族重尾随机变量上，而据c a i 等( 2 0 0 4 ) ，d n z 族 是严格包含c 的 我们得到的结果如下：设 x k ，k l l 为同分布n a 随机变量序列，其共同分布 为f ，期望为乒 l 使得e i x l i r 0 p ( s 。一n p 曲一n f ( x ) ， 对工旷1 ( y 帕一致成立，即 一l i m s u p ，i 警- i l = o 伍) 确定和情形：再令( f ) 为一非负整数值过程，与 x k ，k l l 独立，且满足：对 任意6 0 以及某个p 露，有 e n p ( t ) i v c f ) 州l + 刚( f ”= “a ( r ) ) ， 若p = 0 ，则对任意给定常数y o p ( s n ( o 曲一t ( f 风力， 对工之h - io a ( t ) ) - - 致成立。即 ，1 i m 。脚s u 。p 。mi ! 垡坠等铲一i i = o 。”腔虫一( ( ，) ) i a ( f ) ，( d 第四章：本章我们研究c 族独立随机阵列部分和的精确大偏差由于在实际应用 中单个保险公司往往同时经营着多个不同险种，而与由这些不同的险种所对应的 理赔额的差别可能也很大，比如我们不能简单认为通常的车辆保险、人寿保险与 极少发生的地震、海啸保险所产生的理赔额基本差不多，因为地震、海啸所产生 的损失往往是很大的( 甚至会超过单个保险公司的承受能力) 从概率的角度来说， 这就相当于我们不能简单地认为理赔过程中的所有随机变量都服从同。一分布为 了克服这一缺陷，我们考虑重尾场合下随机阵列的精确大偏差问题，即多风险模 型的精确大偏差，这一领域的研究目前还没有相应的结果为简单起见，本章中我 们假定不同险种之间发生的索赔是相互独立的，同时每一险种所产生的索赔也是 独立的，在一定的条件下，得到了c 族独立随机阵列随机变量和的精确大偏差 我们得到的结果如下：设阱 _ l l 为非负独立随机阵列，对f = 1 2 ，屯 勤，j l 独立同分布，共同分布为r ，期望为0 柚一以i 瓦( n 石。i石1 对工m a x l t n f ，i = l ，埘：= ( 七) 一致成立即， ! 蕊l 型鼍舞拶一t l = 0 ( i i ) 随机和情形：设 m ( d 为一列相互独立的非负整数值随机过程，且与 勘，歹 l 瞧l 相互独立如果 m ( f ) ，i = 1 ，埘满足：对任意i = 1 ，惫，6 0 ，存在 某佛 蟾使得 e 胛( ，) l ( ，( ，) 坷l + 刚，( ，) ) = d ( 五i ( f ) ) 则对任意固定的y 0 ，当t - 时，有 p ( s ( k ；0 一胁 ( f ) 曲一a j ( f ) 瓦( 曲， 对石m a x f ( f ) 。i = 1 ，料：= r ( 七) 一致成立即， 1im，。xsu兀p幻i!垦墅堡专耋主妻铲一-i=。 第一章绪论 第五章：本章我们研究c ) 唉n a 随机阵列部分和的精确大偏差上一章我们得到 了独：澎随机阵列情形下的精确大偏差，但独立性假设显然过于苛刻，而且在实际 应用中具有很大的局限性为此，本章我们研究c 族n a 随机阵列随机变量和的精 确大偏差从直观上讲，我们不仅假设与某一险种所对应的理赔额是n a 的，同时 还假定与不同险种所对应的索理赔也是n a 的，这显然增加了在数学处理上的难 度在一定的条件下，我们得到了精确大偏差，推广了第四章的结果 我们得到的结果如下：设l 墨，j 1 k = i 为一n a 随机阵列( 具体定义见第五 章) ，对f = 1 ，2 ，毛 置j ，j l 同分布，共同分布为只，期望为0 力一n i - f i ( x ) ， 对所有x m a x l y n f ，i = l ，k l ：= ( 足) 一致成立即， l i m 。u pi 坐堕譬掣窆垄趔一1 f = 0 艘，i 囊葡丽产一- 1 i = 0 ( i i ) 随机和情形：设 m ( f ) 为一列相互独立的非负整数值随机过程，且与f 鼍，之 l 瞧i 相互独立如果对任意的i = l ，2 ，七均都j o ，存在某研 瞎，成立 e ( d l ( m ( f ) 1 w ”如) ) = d ( a f ( f ) ) 则对任意固定的y m a x t u f i ，i = l ，2 ，七 ，当t _ 时，有 p ( s ( k ；0 一 d i l i ( t ) 曲一l i ( t ) - f i ( x ) ， 对z m a x y i j ( f ) ，i = 1 ，k l ：= i ( 七) 一致成立即， ，1，im。鸵sfu。p妁。!坠墅垡塞主妻铲一，l=。 第六章：本章我们研究了c 族q 越( q u a s i a s y m p t o t i c a l l yi n d e p e n d e n t ) 随机变量随 机加权和的尾概率的渐近表达式，以及常利息力情形下非经典连续时间更新风险 1 2 模型的破产概率的渐近估计在研究更新风险模型的破产概率的估计时，由于实际 模型除了债务风险外还要考虑利率等市场风险，需要研究随机加权重尾随机变量 和的尾概率估计近年来，这方面的结果层出不穷t a n g 等( 2 0 0 3 ) 讨论了次指数族 随机变量随机加权和的尾概率估计式w a n g 等( 2 0 0 5 ) 研究了随机加权d n z 族随 机变量和极值的尾概率估计然而上述两篇文献都假设重尾随机变量序列是独立 的，这显然在实际应用中具有很大的局限性为此，s h e n 等( 2 0 0 8 ) 讨论了c 族n d 随 机变量序列随机加权和的尾概率估计( 精确大偏差) z h a n g 等( 2 0 0 9 ) 研究了c 族上 尾独亩 ( u p p e r - t a i l e di n d e p e n d e n t ) 随机变量序列随机加权和的尾概率估计以及在风 险模型中的应用c h e n 等( 2 0 0 9 ) 得到了e r v 族q a i 随机变量和以及随机加权和的 尾概率渐近表达式在此基础上。本章我们讨论了c 族q a i 随机变量随机加权和 的尾概率的渐近估计，推广了s h e n 等( 2 0 0 8 ) 、z h a n g 等( 2 0 0 9 ) 以及c h e n 等( 2 0 0 9 ) 的 相应的结果。 我们得到的结果如下：设i 溉，k 1 l 为一列q a i 同分布随机变量序列，其共 同分布为f ( 曲c 且0 占露 若 o k ，k 芝i 为另一非负随机变量序列， 与 溉，k 芝1 l 独立若存在常数0 p i 石s 露 p 2 o o 使得 妻( e 矽) ，l 唁t i j + 盘，l t 啡， x ) 五一i i l i ms 俐u pi p 以( m 瞄n e - x ) 写一- l = o 在本章的后半部分，我们对经典的c r f i m e r - l u n d b e r g 风险模型做了如下形式的 推广，使得它更贴合实际，进而考虑破产概率的估计式 索赔额 墨，i l l 构成了一列q a i i 司分布非负随机变量，具有共同的分布函 数f c 与有限的期望： 索赔时间间隔 妖，f l l 构成了另一列独立同分布的非负随机变量序列，在 时间区间【0 ，f 】内的索赔次数记为： ( o = s u p n 1 ：靠sf l ，t 0 ， 其中= 冬i 坼表示索赔时刻； 第一章绪论1 3 索赔额隅，f ll 与索赔来到过程i n ( t ) ，t 0 1 独立； 存在一个影响风险过程的常数利息力j o ( 即经过时间t 后1 元钱变为矿元) 这样到时刻f 保险公司的累积盈余过程满足下面的方程： ， 阢= x e 6 t + c 厶e e 。t - , ) d s 一蜀n “鳓， o v = l 其中工 0 为保险公司的初始储备金，c 为单位时间内的保费收入这个模型常 称为带利息力的更新风险模型，见t a n g ( 2 0 0 5 ) ，c h e n 与s u ( 2 0 0 7 ) ，c h e n 与n g ( 2 0 0 7 ) ， s h e n 等( 2 0 0 9 ) 定义该模型的破产概率为： 砂似丁)= p ( 阢 0 ，存在某t o t u o = 力 = p ( i n f 仉 0 的条件下，得到 f 。酗r i 似j ，) 南 随后，c h e n 与s u ( 2 0 0 7 ) 在一定的条件下将上述结果推广到s 族随机变量情形 c h e n 与n g ( 2 0 0 7 ) 将隅，f ll 放松为两两n d 序列并假设f e r v ，得n e ( x , ) 的渐近表示式，这是一项非常重要的工作；最近，s h e n 等( 2 0 0 9 ) 进一步将i 墨，f l 放宽为u 兀，同时f 嘴形，证明t 砂( x , o o ) 的渐近表示式本文将l x f ，f 1 1 推广 到更一般的相依结构q a i 下，同时假定f c 得到了破产概率的渐近的表达式， 所得结果与c h e n 与n g ( 2 0 0 7 ) 、s h e n 等( 2 0 0 9 ) 是一致的。从而推广了上述经典结果 我们得到的结果如下：设 x k ，k 1 1 为一列q a i 同分布随机变量序列，共同分 布为，( 曲c 且0 而) h p ( x k 砍) ( 2 2 2 ) 丘= l 注2 2 3 设 x k ；k = l ，2 ，l 为一列随机变量， 下负相依( l n d ) ：如果对任意n = l ，2 ，以及期，砣，而，有， n p ( x ls 工i 。，s ) shp ( x ksx k ) ( 2 2 4 ) b i 负相依( n d ) ：如果对任意n = l ，2 ，以及工l ，恐，而，( 2 2 2 ) 与( 2 2 4 ) 同时 成立由上述定义易见，当疗= 2 时，l n d 、u n d 和n d 是等价的上述相依结构已 被系统地研究过，相关文献可以参i 弼e b r a h i n i 和g h o s h ( 1 9 8 1 ) ，b l o c k 等( 1 9 8 2 ) 注2 2 5 与n d 相依性类似的另一种相依称为负相伴( n e g a t i v e l ya s s o c i a t e d 或n a ) 称l 溉，lsk n 为n a 随机变量序列，如果对i l ，2 ，n i 的f 1 2 意不交子靴l 和a 2 ， 有 c o v o q ( x k 。，k i a 1 ) ，五( x k 2 ，乜a 2 ) ) s0 ， ( 2 2 6 ) 其中五压是对每个变元非增( 或非降) 的函数，并且使得上述协方差存在称f 救，k l l 为n a 的，如果它的任意有限子族是n a 的可见，如果 溉，k l 是n a 的，则它必 是n d 的另外n a 相对于n d 而言，条件验证起来更加容易，所以一般我们总是假 设序列是n a 的 注2 2 7 由b l o c k 等( 19 8 2 ) u n d 随机变量序列具有如下性质： 第二章c 族u n d 随机变量和的精确人偏差1 7 命题2 2 8 对于随机变量l 凰；七= l ，2 ，l 和实函数 五( ) ，k = l ，2 ，l ， f ，如果f 噩；七= l ，2 ，j 是u n d 的且 五( ) ，k = l ，2 ，j 都是单调递增r 或单调递 减j 的，则 五( 溉) ，k = 1 ，2 ，l 仍然是u n d 随机变量； 口j 如果l x k ；k = l ，2 ，l 非负且为u n d 的，则对n = l ，2 ， ( 溉) si i e 溉 ( 2 2 9 ) 本节除了假定 噩；k = l ，2 ， 为u n d 序列外，我们还假定 溉；七= l ，2 ， 为c 族重尾随机变量，有关重尾分布的一些基本概念由于在第一章中已经做了系 统的介绍，这里就不再重复下面我们将给出重尾分布函数的m a t u s z e w s k a 指数概 念以及它的性质，这在后面的章节中也经常会用到按, 照b i n g h 锄等( 1 9 8 7 ) 的提法， 分布函数的m a t u s z e w s k a 指数的定义如下： 定义2 2 1 0 对于任意的分布函数只对y 0 ，令 翮= l i m i n f 筹，确= l i m s u p 篱， ( 2 2 1 1 ) 并称 弗