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特征根法求数列的通项公式胡贵平(甘肃省白银市第九中学 ,甘肃 白银 730913)类型一、如果数列满足下列条件:已知的值且对于,都有(其中p,q均为非零常数).先把原递推公式转化为,其中满足,显然是方程的两个非零根.1) 如果,则,成等比,很容易求通项公式.2) 如果,则成等比.公比为, 所以,转化成: ,( I )又如果,则等差,公差为,所以,即: 可以整理成通式: ( Ii)如果,则令,,就有,利用待定系数法可以求出的通项公式所以,化简整理得: .小结:对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程.若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组).例1. 已知数列满足,求数列的通项.解:其特征方程为,解得,令,由,得, .例2.已知数列满足,求数列的通项.解:其特征方程为,解得,令,由,得, .类型二、 如果数列满足下列条件:已知的值且对于,都有, (其中p、q、r、h均为常数,且),那么,其特征方程为,变形为 若方程有二异根、,则可令(其中是待定常数),代入的值可求得值. 这样数列是首项为,公比为的等比数列,于是这样可求得. 若方程有二重根,则可令(其中是待定常数),代入的值可求得值. 这样数列是首项为,公差为的等差数列,于是这样可求得.例3. 已知数列满足,求数列的通项.解:其特征方程为,化简得,解得,令 由得,可得,数列是以为首项,以为公比的等比数列,.例4.已知数列满足,求数列的通项.解:其特征方程为,即,解得,令 由得,求得,数列是以为首项,以为公差的等差数列, .例5(2005,重庆,文,22)数列记()求的值;()求数列
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