（计算数学专业论文）发展方程的各向异性有限元方法.pdf

发展方程的各向异性有限元方法 摘要：本文运用具有各向异性特征的非协调元( 修正的旋转q l 元) 以及协调元( 双二次 元) 分别对二阶双曲方程及抛物方程进行了g a l c r i 【i n 逼近( 半离散格式) ，通过采用积分恒 等式和边界估计技巧，对双曲方程得到了各向异性网格下的收敛性结果，对抛物方程得到各 向异性网格下的超逼近结果在超逼近的基础上，利用插值后处理技术又得到了超收敛结果 关键 司：各向异性，协调元及非协调元，二阶双曲方程及抛物方程，积分恒等式，超逼 近及超收敛 a m i s o t r o p i cf i n “ee i e m e n tm e t h o d sf o re v o l u t i o 珏e q u a t i 蚰s a b s t r a c t ：i nt l l i s p a p e r ， g a l e r k i l la p p r o x i m a t i o n so fs e c o n do r d e rh y p e r b o l i c e q u a l i o n 锄dp a r a b o i i ce q u a t i o na 陀咖d i e dw i mt l l e 柚i 鲫h _ o p i cm o d m e d 献a t e d 蜴一c i c m e n t 柚da n i s o 廿i ) p i cb i q u 舣i r a l i ce i e m 饥t s p e c t i v e l y e 珂m e a l l so fi n t e g r a i i d t i d e sa n db o u n d a r ye s t i l l l a | e st e c h n 岫u e s ，t h ec o n v e r g e n c e a l y s i si sp 他s 眦d f b rh y p e r b o l i ce q u a 童i o n ，拍dt h es l i p e k l o s er e s u i ti so b b i n e df o rp a r a b o l i ce 1 4 u a t i o n r e s p t i v e l y a tm es 咖et i m e ，b a s e do nt h es u p e l o s ep r o p e r t y 锄di 1 1 t c l 硼l a t e p o s t 曲a 1 1 e n tt c c i l r i i q u e ，t h es u p e f c o n v e r g e n c er e s u ni so b t a i n c d k e yw o r d s ：a n i s 咖p y ；c o n f o 瑚i i l g 趾dn o n c o n f o 咖i n ge l 锄e n t ；s e c o n do r d e r h y p 幽l i ce q u a t i o na l i dp a m b o i i ce q u a t i o n ； i n t e g r a l i d e n t i t i e s ； s u p e r c i o s e 柚d s u p e r c o n v e r g e n c e 1 i 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写井完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违反 学术道德，学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后 果特此郑重声明 前言 在科学与技术的发展中提出了种种发展方程的求解问题，2 0 世纪中、后期发展起来的 有限元方法对发展方程的近似求解具有显著的优越性众所周知关于发展方程的一些解的 收敛性分析以及高精度分析已有一些研究，比如f 4 ，6 ，7 】，但都要求网格剖分满足正则性 条件【”m ，即! k sc ，v x r ，t 为区域q 上的剖分， f 和p k 分别表示单元k 的直径 p 和内切于x 的最大圆的直径，c 为正常数这些条件在很大程度上限制了有限元方法的应 用范围。近年来出现了各向异性单元的研究，如【5 ，8 】等最近一些文章在各向异性剖分下 分析了二阶椭圆问题的协调l a 鲥m g e 型元和非协调c r 元的插值误差就目前来说关 于在各向异性割分下发展方程问题的误差估计和高精度分析的文章还不多见本文利用具有 各向异性特征的修正的旋转口l 元及双二次元分别对二阶双曲方程和二阶抛物方程进行了 g a k r k h 逼近( 半离散形式) ，利用积分恒等式技巧和边界估计技巧得到各向异性网格下二 阶双曲方程的收敛结果，进一步的，对抛物问题还得到了各向异性网格下的超逼近结果即 有限元解与有限元插值的误差比有限元解与真解的误差高l 阶，最后利甩插值后处理技术， 在超逼近的基础上得到整体超收敛，改善了在整个区域上解的精度 咀上在各向异性网格下对发展方程的有限元方法的研究，摆脱了网格剖分满足正则性条 件的限制，因而具有更重要的理论和应用价值 本文的写作安排如下t 第一章：预备知识列举本文中运用的记号和定理 第二章：利用具有各向异性特征的非协调元( 修正的旋转q 1 元) 对二阶双曲方程进行 有限元收敛性分析 第三章：利用具有各向异性特征的双二次元对二阶抛物方程先进行超逼近分析，再利用 插值后处理技术，在超逼近的基础上得到整体超收敛 第一覃预备知识 在本章中，我们引入所需要的一些记号和基本知识 1 设口= ( 口l ，) 是一个 重指标并且h = 口i + + + ， 。4 v = 万j ，其中a 艇= l ，2 ，一) 是非负整数 2 定义空问：p ( q ) = ( ：i l 厂b ( n ) o ，土+ ! ：l ，则v d ，p 有 俳扣9 + 扣 7 b r 锄b l e h i l b e n 引理1 1 ：设。是丑”中一个开集，边界满足l i p s c h i 乜条件，对某些七o 和某些数p 【o m ) ，( 日“( n ) ) 7 ( “1 9 ( n ) 的对偶空间) 有 ，( n ) = o b a 只( o ) 那么，存在常数c ( o ) 使得 i ，( “) i c ( q ) - 。乩。，冉， v “e 日“1 ，9 ( q ) 其中| | | | + 妇，。为( h “9 ( o ”上的范数 8 g 公式”：v ”，ve h l ( o ) ， “曩诎= 一色“- 妇+ l w 嵋出，江1 ，2 ，一 9 g r o n w a l l 引理”：设y ( f ) 在【0 ，r ) 上连续并满足 y ( f ) s 儿+ d ( f 沙( f ) d f ， 其中 ( f ) 0 且 ( f ) f ( o ，r ) ，则 y ( f ) y 。e x p ( 1 2 ( f m ) l o 各向异性插值基本定理： 设霞是参考元，矿”1 ，( n ) 和日“( n ) 是s o b o l e v 空阿，b ( 旬是意上次数不超过，的 多项式空间 引理1 1 ( 【l 】的定理3 1 1 ) 存在常数c ( 盂) 使得v ；矽，( 露) ，o 脚，+ 1 ， 有 0 浆，”钆，jsc ( 重帆，t 引理1 2 ( 【l 】的定理3 1 4 ) 对某些j 】 o 和m o 假设矽，9 ( q ) 卜矿”( o ) ，j 三 ( “( o ) ；”( o ) ) 是( n ) 到形“4 ( q ) 的有限元插值算子使得 审= a 跆e ( 詹) ， 存在常数c ( j ，詹) 使得， 卜铣。j c ( j ，堋，+ “ 设户是足上的一个维数为m 的多项式空问，声是声的共轭空间，侈。，丸) c 户 和慨，矾) c 声是声和声，的一对共轭基满足 疵( 岛) = 磊 称碱，矾) 为单元自由度 设j ：h ( 露) 斗声，七1 是有限元插值算子，满足 疵( 知) = 砖( t ) ，f = l ，m v # 厅( 启) ， 显然 靠= 芝移( t 冶， 3 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 且 知= 口v t p ( 1 4 ) 设口是一个多重指标，则西8 声也是启l 的多项式空问，设d i m 西4 户= ，谊，) ，i 。是西。户 的组基。则西“知可表示成 伊知= 艺或( t 归“声一圭岛( 口碗 f t l，c l ( 1 5 ) 其中亩，是函4 p ，蔓，的线性组合，岛( 口) 是她( 口) 蔓。的线性组台，设 岛( 口) = c i ，( 口) ， ( 1 6 ) 则( 1 6 ) 和( 1 2 ) 我们有 m 岛( # ) = c ，t ( ；) = c 疵( 知) = 局( 靠) 拉l胆i ( 1 7 ) 引理1 3 ( 【5 】的定理2 1 ) 设口是一个多重指标，只( 启) c 西4 p ，假设j 矿1 4 h “( 霞) p 是满足矿，( n ) 矽“，( n ) j 三( 矿i 口i “9 ( 启) ；矽h + m 。( 露) ) 的有限元插值算子，设于：矽9 ( 霞) 呻西。声是满足于工( t ( 霞) ；矿w ( 重) ) 的 一个插值算子，且 西。矗= f 西4 p ， v ；矽h “( 尘) ， 则存在常数c ( j ，重) 使得， l d “( ；一知l 。，t c ( j ，刮西4 。| f + l 。t ，v t 矿。口卜“( 叠) ( 1 8 ) 引理1 4 ( 【5 】的定理2 2 ) 设口是一个多重指标，毋( 圣) c d 4 户，假设j ： 矽i 斗7 + ( 立) 寸声是满足矽( n ) h 矿”( o ) ，? 工( 矽i 十9 ( 露) ；矽l q + 4 ( 量) ) 的有限元插值算子，如果( 1 6 ) 的厉( 可以表示成 岛( # ) = ( 西“口) ，l j ， 其中 f ( 矽“9 ( 量) ) 。1 ，r ， 则存在常数c ( j ，霞) 使得， i d 4 ( ；一知) f ，。t c ( j ，丘) p “q 。，t v t e 矿h “9 ( 定) ( 1 9 ) 1 1 6 1 设矩形单元k = 【x r 一 ，h + 也】【y r 一以，靠十一】，中心点为( j f ，蜥) ，引 进误差函数 层( x ) = ( ( 工一x 。) 2 一圮) ， f ( x ) = 寺“y y 。) 2 一碍) 1 2 引理1 5 v “e 日“1 ( n ) ，p 只( q ) ，n 为“的有限元插值，l 为n 上的 矩形剖分，无论剖分l 是否正则，都有 陋一n 8 。s 拍“。 ( 1 1 0 ) 其中 2 1 瞬m 8 x 以， ， ，这里及以后出现的常数f 在不同的地方表示不同的常数，但 均 与k 风及无关 证明：卜n 峨3 ；( ”一n ”) 2 蚴 2 暑i ( 一f l ) 2 峨喇叩 c t 同：+ ，尘 2 c ；吃一i ，五。( 蒜) 2 蝴 c p 妒邶i 互。( 南) 2 ( w 。1 蚴 c 圮佧“i l | i ：+ 占c 矗2 “”i 叫：。 所以 牡一n ”4 旧5 幽“1 b k d 成立 第二章二阶双曲问题各向异性非协调元的收敛性分析 考虑模型问题 。一”= ，在q ( o ，r ) 内， “= o ， 在a q ( o ，r ) 上， “( x ，o ) = v ( z ) ，“( x ，o ) ：w ( j ) ，在。内 ( 2 1 ) 其中q c r 2 为有界凸区域，e r ( n ) ，触为。的边界，与( 1 ) 等价的变分问韪为 求”仨叫( n ) ，使 ? ：哩+ ( v “，v 伊) 2 u ，伊) ，v 伊5 吲( 锄， ( 2 2 ) 【“( x ，o ) = v ( x ) ，”，( j ，o ) = w ( z ) 设o c r 2 为有界凸区域，l 为q 上的矩形剖分，v 置t ，记足的中心点为 ( 靠，y f ) ，平行于。，轴的边长分别是2 丸，2 - 设“， b ，记 2 翟野m a x 丸， 一 ，四顶点分别为z 1 ( 靠一以，蜥一以) ，z 2 ( + t ，y 。一吩) 乙( 靠+ t ，儿+ 以) ， 五( 靠一t ，) ，+ 以) 四边为= i i ，f = l ，2 ，3 ，4 ，毛= 毛 记参考元为重= 卜l ，l 】卜1 ，1 】，四顶点坐标依次为盈( 一l ，一1 ) ，a 2 ( 1 ，一1 ) ，龟( 1 ，1 ) 及 盈( 一l ，1 ) 其四边为= 岛舀f + l ，b 1 ，2 ，3 ，4 ，也= 占。 霞到k 的仿射变换记为攻：启呻 i x = h x + x 【， 【) ，= ，7 + y r 在霞上定义有限元空间( 詹，户，宝) 如下： 户= s i m 1 f ，叩 ，宝= 口，f = 1 ，2 ，3 ，4 # l + t ，= 口2 + 成 ， 州。南肛怯砷 f = 1 ，2 ，3 ，4 引理2 1 v t e 日1 ( 重) ，存在唯一的插值算子j ：日1 ( 重) 叶声使得 6 ，、【 且插值为 南肛2 亩p 纵，z ，3 ，4 i 口：! l ! 警+ 寻( 口：一t 。) f + ；( ；，一口。) 叩 42 、2 、 引理2 2 上述插值算子具有各向异性，即对二重指标口= ( q ，呸) h = 1 ， v 口日1 ( 重) 有 即 显然 i i 心“( 口一i 口) 。c i 西4 q 。j 溉扣( 1 ，州，鲥口。嚣2 扣鳟，则 屈2 ；( t ：一；。) = ( i 口( 1 ，7 矽，7 一l 口( 一1 ，叩矽功 。 皤蜊叩2 南i 善倒叩垒f c 善， 即卜南1 w 倒叩，v 憾， 丘( 日1 ( 重) ) 运用异性网格的插值理论得 西。( ；一i 口) i | 。c i 西“q 。，。， 同理，当口= ( o ，1 ) 时，( 2 4 ) 式也成立 定义有限元空间： 吒= k h = 殴。1 ，口。e p ，坛l ，【v 】凼：o ，f 亡强j 由于盛磁( n ) ，此元为非协调元 对于( 2 2 ) 的有限元解是：求矿圪。使得 i ( ：，伊) + ( v “6 ，v 伊) = ( ，伊) ，v 伊e k ， 【”( o ) = u 矿( o ) = w 其中玑m 吒加舢有限元插值以v 伊卜荟勺尹 7 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 我们定义： | 1 | i 。= ( 慨) 必 r l 容易证明i m 是圪上的范数 有限元空间的插值 ：h 2 ( o ) 叶圪 n 。= n 。乓1 引理2 3 设解”日3 ( n ) v v 吒，有 ( v 一n ) ，v v ) = o 证明：令”一兀= w 【，= 一i + ( 1 一f 肌方 匕( 卜f m 咖：o 同理可证上。y2 0 由( 2 7 ) 和( 2 8 ) 引理2 3 得证 引理2 4 在异性网格下，v v ，有 啦sc 以“批。， m 。sc 以。1 。 证明：敝i i o 。( 妾) 2 劬2l ( 善善+ 苗2 丸一倒冲 2 铲( 嚣) 2 噍蜊，7s 吨酽；2 倒1 7 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 拍，以砰v 2 ( 以一) 。1 斑咖= 以- 2 州i ：。 因此( 2 9 ) 成立，同理( 2 1 0 ) 也成立 v 置e l ，v v 日1 ( 置) ，我们定义： 即2 击肛小蜩即2 毒l 畸小z 小印= 南p 方 类似于文献【l o 】的边界估计证明我们有如下引理： 8 + 胜【( y r 圳壶考( 姚w 妒 其中 因为 引理2 5 在异性嗣格下，如果“h 3 ( q ) ，则有下面的边界估计 莓l 缸邮c 吼小v v 。e ( 2 1 1 ) 证明；l 凼2 丢篆崇一出2 荟t j c h 一砷从参一参出 + l ( h 一v 一) ( 考一昂雾冲+ l ( v 一一v 一) e 一罢渺 砂咖 4 2m 一 一f ( v 一一气v 以罢一瓦警胁。萎【+ 厶+ l + l 】 ( 2 1 2 ) 铲h 喝v ) ( 考喝考冲 l = l( v 一岛v 。) ( 罢一罢) 方 四出 l 2 f ”嘣考吨考) 出 f( h 一气v ) ( 竺一晶笋砂 出m ，l + l 2 i - ( v 喝咋) 当吨出+ l( h 一v 。) ( 宴一只3 宴) 矗砂c ， 翳t 够圳一击胜挈砚一胁， n “驴咿击翳“w 。圳出舫 + 黯当”铲击聪埘啪卜 ( v ( 姚圳一击胜吣执出眦 注意到嘣w r 一一) _ 壶胜吣魄圳凼 9 因此 。击翳h ( 训r 圳州。圳出 2 击瞄f 警( 训r 一一，蚴。壶鞋r 警c 训。+ 以) 鼬 吲圳r 蝴一壶翳“w r + 以冲 厶吩胜卜驴”击翳考c 姚圳出 翳 + 秘儿w 一去胜y 。 叭挑圳一击翳以训r 圳出协 卜击翳f 舄儿一一，蝴 + 壶翳f 舄欺抛卜 r 击e r 鲁( 砚十一) 拗，出 2 去胜c 盛r 翳争卜 c 去e r 鲁( 卅r + 一) 抛，出 2 壶胜印z 出， 其中n 2 翳r 翳争 又因为 d 2 2 击翳r 鲁( z ，y 。+ ) 蝴 1 0 所以 i d l l 2 翳r 翳i 啬f 蚴鸭胜卜岫 2 疋翳翳i 舄1 2 蚴啦e 卜懈 吨以i 戮。睁叫破， l d 2 1 2 2 击i 胜r 鲁( 训r + 一) 蝴1 2 志翳r i 警1 2 揪聪卜憎 翳i d l l 2 出4 以 。4 以k 路n 隐n 歧胜卜r i 融 芋= 学蚓l 翳2 出壶譬翳r i 鲁1 2 蝴翳卜r i 触 击跌i 警阳胜髓川f 抛 2 击翳i 鲁孚2 簧胜翳l 鲁1 2 妫仁嘲 由( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) ，( 2 1 5 ) 和c 锄c b y - s c h 忸r t z 不等式以及引理2 4 ，可得到： “悟等垮u 陲l 等黪b v 删 s ， 同理可证 m 峰孚路卜一 由( 2 1 2 ) ，( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ，得到( 2 1 1 ) 8 ( 2 1 7 ) 引理2 6 设”，分别是( 2 2 ) ( 2 5 ) 的解，n 辞圪为h 的有限元插值，k 为 各向异性网个格下具有约束条件的旋转q l 元的有限元空间。则 i 扣一“l k c i “i ：。 怫一n “k 州蜘。川) 出】；， ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ) ，一坼o 。sc 删：+ ( f ( ：+ | l “) 凼) i ) ( 2 2 0 ) 证明：下面我们先证( 2 1 8 ) ，因为 她一n 硎。2 ( 善卜一珥1 4 i 。) i 2 ( 荟荟归8 一r “氍。) 2 f d lr e t i d 仁l 一 2 ( 薹l 萎碌。( t 归8 ( 一f i t ) l ) 2 r e t l 口i = l “ c ( 荟。荟硭“( 以以炉“巳) 2 r e l i 口目 “ 如磊i 不秦彬旷也) 2 c 盹。， 故( 2 1 8 ) 得证 接下来我们证明( 2 1 9 ) 令口= 蚝一h 甜，由( 2 2 ) ，( 2 5 ) ，v v k ，我们有： ( 柙只v v 地- ( n 吨肿( v ( “一n 如v 咿；l 萋凼 取v 2 q ，由b 理1 5 ，引理2 3 和引理2 5 以及c g h y - s 。1 1 w a 嗽不等式。可得到 圭丢( 怜幢+ i 蚓e ) 曲2 k ：矜乱+ 拍i 叫，怜k 幽( 刚：+ | | 3 ) 帜l 。 曲( ：+ ，舱i 。， 由( 2 5 ) 知 战o ) = 只( o ) = o ， 由y o l l l l g 不等式并对上式积分得 ：+ c 2 ( 仲。帕出) + c f “ 1 2 即 。喇i 。如( 如。m 幽) ； 坝胁。卜) 出) ： | 1 一叫k 拍【蜘8 i + 6 “e ) 出成立 利用( 2 2 1 ) 和引理1 5 知 k l ) ，一0 。= l | ( “。) ，一( n “) ，+ ( i h ) ，一坼1 i 。 l | ( “一) ，一( n “) ，i l 。+ 8 ( n “) ，一q k i 防扎+ c 2 h i ：1 只i 。+ 拍28 虬i i ： ( 2 2 1 ) 拍 忆0 ：+ ( 且+ 删；) 凼) i 由以上分析，我们可得到下面的收敛结果 定理2 1 设”( f ) ，0 ) 分别是( 2 1 ) ，( 2 5 ) 的解，则半离散问题( 2 5 ) 的解是 收敛的，并且满足 愀，) 一( 叫ls 如日叫：+ 【永i ( + 1 l 川) 出】i ) 证明： 怯( ，) 一( r ) k 帆f ) 一n ”( f 地+ i ( ，) 一“( f ) k ， 由引理2 6 的( 2 1 8 ) ，( 2 1 9 ) 定理2 1 得证 注：对抛物方程及抛物积分微分方程，利用与二阶双曲方程相同的有限元方法和积分恒等式 技巧也可得到相应的收敛结果 考虑模型问题 第三章抛物问题各向异性协调元的超收敛分析 3 1 抛物问题及单元构造 f 虬一“= ， j “= o ， l “( 石，o ) ：“。( x ) ， 在q ( o ，丁内， 在a q ( o r 】上， 在n 内 ( 3 - 1 ) 其中n c 月2 为有界凸区域，r ( q ) ，a q 为。的边界，与( 3 1 ) 等价的变分问题为 求”叫( n ) 。使 i ( 坼，们+ ( v “，v 伊) = ( ，们，v 妒纠( f 【“( j ，o ) = ( ) ( 3 2 ) 设l 为。上的矩形剖分- v 芷t ，足的中心点为( 靠，y r ) ，平行于x ，y 轴的边长 分别是2 凡2 一设丸 一，记厅2 翟蛩m 瓤 t ， ，四边为。q 口“- f - 1 ，2 ，3 4 - ，2 q 四顶点分别为z 1 ( 靠一以，k 一以) ，z 2 ( z ；+ 以，) ，。一一) z 3 ( + 以，儿+ 以) ，z 4 ( 靠一以，y 。+ l ) 四边为= 萃= ，f = 1 ，2 ，3 ，4 z ，= z 记参考元为霞= 【一l ，l 】【一1 ，l 】，四项点坐标依次为龟( 一l ，一1 ) a 2 ( 1 ，一1 ) ，岛( 1 ，1 ) ， 或( 一1 ，1 ) ，其四边为e = 虿瓦，f = 1 ，2 ，3 ，4 ，也；占 霞到足的变换记为昧：启斗置 i x = h l + x e ， 【y = 一叩+ 蜘 定义： 绞( 启) = 印一4 ，f ，叩，f 2 ，勃，矿，f 2 勃2 ，f 2 ，7 2 1 那么，存在唯一插值算子n ：日2 ( 露) 斗姥( 霞) ，满足： ( 1 ) 矗烈商) = 戗岛) 垒；，f = 1 ，2 ，3 ，4 ( 2 ) ln t 毋2 j ；毋垒e + 4 f = l ，2 ，3 4 1 4 ( 3 ) i f l 蝴玎2 i 蝴叩垒；， 通过计算，可得插值为： 矗口2 去( ；，+ t ：+ 屯+ 口一3 氐一3 屯埘，一3 t s + 9 ；，) 十；( 奇。一蚕：一帚，+ ， 4 + 3 帚。一3 帝。) f + ；( 帝+ 蚕：一审，一母。一3 帚，+ 3 口，) 珂 + 云( e 一口：+ 岛一t ) 翻 一素( q + 。2 + 色+ 口4 一也一3 t 6 一；，一3 口s + 3 9 ，) f 2 一素( 玩+ 也+ 岛+ 屯一3 或一口s 一3 口，一氐+ 3 ，) 吁2 一i ( e + 也一p ，一以一；，+ 岛) f 2 ，7 一i ( i t 一口：一口，+ 以+ 氏一岛) 勃2 + 素( 9 ，+ 。：+ ；，+ 以一o ，一屯一t ，一龟+ 屯) f 2 野2 引理3 - 1 上述完全取二次插值满足各向异性插值特征，即对多重指标口，i 刮= l 存在 常数c ，使得v i 2 ( 霞) 。有 所以 陬t 一帆。妒q ：j 证明：为了完整起见，我们给出该定理的证明梗概，当口= ( 1 ，o ) 时 d 啷= 警= ；( q 屯一岛+ 也埘。哦) ( 3 3 ) 一；( e + 口：+ 岛+ t 一也一3 晚一口，一3 以+ 3 氐) f + 丢( 口。一也+ 岛一也) 1 7 一知城 证也如) 白一；( q 吨一岛地地也) 玎2 + ；( ，+ ；：+ 也+ 也一岛一也一钙一口。+ t ，) 勃2 e 妒a h 4 ，f ，刁，f 口，圩2 ，f 狰2 ) d i m 西4 q 2 = 6 ，侈。，p ：，允，a ，a ，允 = ，f ，玑勃，矿，勃2 是西a 幺的一组基，记d a m 垒壹届( t 殄 屈= 扣幔屯地埘。一3 吼 屈一知峨+ 岛+ 以也埘。吨埘。埘，) 尼= ( q 也+ 也“) ， 屈= 一言( ”口：也也也城) - 压一；( 卜铲”铲， 展= 詈( 叶口：如代也吨屯也+ 呲 五个系数屈( f _ l ，2 ，6 ) 可表示成 届。h 篙地一f 。学+ 孤鼍蛎咿墨c 旁 屈2 ；( 一f 。f 挚一f 。f 鱼：；嘭 屈2 h 甏+ f 。警m c 麒。“f 学f + f 。f 篙m t 参 屈2 ；c f l 篙勘+ 甏一拟甏护e c 屈2 乳f 学f + f l f 挚f 一。c f 篙勘一f ：篙勘脚俨r ( 势 f ( f = 1 ，2 ，6 ) 定义为 e ( 奶= 一；( 船+ l 溉一三i ，蝴叩) 足 e ( 奶= 一；( i 触+ l 渺一；i ( f 谛一f ：谛删口) e ( 谛) 5 ；( 一l 溉+ l 溉) ， ( 谛) 5 ；( 一l 触+ l 触) ， e ( 栌i ( 溉+ l 础一i 蝴机 砌) ；詈( 1 融+ l 触一去i ( f 每西一谛西删礼 利用迹定理和s c h w a f z 不等式。不难证明 旧( 例c 忡8 ，p c | 2 t ，( f = 1 ，2 ，6 ) 从而f ( j = l ，2 ，6 ) 为日2 ( k ) 上的有界线性泛函 运用异性网格的插值理论得， p ( 口一m ) k 妒屯 同理当口= ( 0 ，1 ) 时，( 3 3 ) 也成立 故当h = l ，v # h 2 ( 霞) ，有 l p 4 ( 口一f k ) | l 。j d 西“q ：。 3 2有限元逼近格式及超逼近分析 在q 上构造完全双二次有限元室问6 ；如明( n ) ，p k = m 。巧1 ，v 足t ) 对于二阶抛物问题( 3 1 ) ，此空问是协调元空间 相对于( 3 2 ) 的有限元解是：求矿5 。使得： 雌”) + ( v 矿，w ) = ( ， v ) ，聪， ( 3 4 ) i 矿( o ) = 订 其中n 曙为的有限元插值 对上述问题，运用引理3 1 和类似于文献f 4 1 中7 l l 页的证明，可得有限元解和真解 的误差估计如下： 引理3 2 设“( f ) ( f ) 分剐是( 3 2 ) ，( 3 4 ) 的解，e 打3 ( q ) ，且n 满 8 n 一呲幽2 ， 7 时，有 i k ( f ) 一。( ，) i 蔓拍z l k 扎+ ( f l | 3 + ( 永怯，( r ) d r ) ；) ( 3 5 ) 下面我们将讨论这一问题的超逼近性质 引理3 3 在异性网格下，v v 有 i v ，k c ，4 批 。5 以。 m 。sc 一“。 证明：( 3 6 ) ，( 3 7 ) 的证明和b i 理2 2 的证明方法一样下面证( 3 8 ) 卜i ( 等) 2 姗 = 量c 等蔷+ 鲁争2 以删叩 2l 够2 ( 2 t 一蜊印 ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) c t 以妒量d 彰叩 sc t 以妒【v ：( 也以) 。出西， = c 矿p 难。 因此( 3 8 ) 成立 推论：在异性网格下，v v e 虼“有 0 k k 。c ，- 1 p ，i | 0 ，。茎c ，删。， i | l ，4 吖c - 1 l v ，l 。sc 巧2 | | | l 。， j h0 。sc 何2 。，。啦! 妒卜k ，i i v 。8 。sc 砰妒批工 引理3 4 设“日5 ( n ) n 风1 ( n ) 则v ve k 有 一n ”) ，v l n i j ( “一n “) ，v c ；。帆。 c 圮。挑。 1 8 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 咖 蚓 酬 蚓 ， y 证明：记w = “一“，对v e k “关于变量y 做t a y l o r 展开： 匕( w ) = 叱( 训。) + ( y 一吲y 。) + 圭( y y ， 由插值函数的定义知： 删= o ；w ( 毛) = o ；# 1 ，2 ，3 ，4 j w 姗= o 于是有： w ，匕= 峨【心( x ，) ，r ) 十( y y 。) v ，( x ，y 。) + ( y y ) 2 v w 】d x d y fr - 其中： 因为 所以 w 。匕o ，y 。) ；( 卜咖v ，k y 。) 咖一加。 ，y ；) = o ( 3 1 1 ) x l th k 少( y 仇k ( 五y 护：少 2 ( 胪v 加肌) 2 吉，少( f 2 ( y u v 一( 而y r ) 出一：少，( f 2 ( 瑚”岛( 薯妇) ；，2 ( y 。啪魄) 。吉p 2c y 一v 舢胁，一丢寸，f x f 2 0 。“蜥渺邝- ：， p 三( y 仇一。卜喘( n + 簪 2 嘉( ，p f 3 ( 枷m 峨v 。出一嘉( ( 础y ) ) ( 3 + 等寸吩咖一等w 蚴， w 硼= o ；( 刁) = o ；、恼方= o n ( y 一2 v 。 r 厶 嘉c f f x p ) ) ( 3 w 声一壶c j - 垆y 。础+ 去f o ，) ) i k ， 2 嘉，) ( f b ) ) f w w 出一嘉( f 3 ( y ) ) 1 w 一 一嘉( 耿朋 2 嘉c p c y “一嘉c ，j j ) c f 3 c 朋”。v 一西c ， 注意到f 2 ( ，) ，( y ) ，“w “m v ，v ，在平行于，轴的单元边上连续，且 当v “时，在平行于y 轴的区域边界上0 = 0 ，v 。= o 因此，由( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) 。( 3 1 3 ) ，得 w j v ，2 ：莓p ( y w w v ，( 墨y e ) + 嘉莓( f 3 ( y m - ，n ur 7 uf f 由s c h w a f z 不等式和引理3 3 得到 l u v ，蚴卜i ：；f 2 ( y 皿。l + i 去；( ( 肋 c 善一l 虬。i j 。怫k 。+ c ； ；| | “。k0 k c 以4 h 躔虻1 扣k 。+ c 彬h 璀妒眯c 唧川。俐。 即( 3 9 ) 成立，同理可证( 3 1 0 ) 成立，引理3 4 得证 利用上面的估计我们可得到如下的超逼近结果 定理3 1 设( f ) ，( r ) 分别是( 3 2 ) ( 3 4 ) 的解n “碟为“的有限元插值 昧圳1 为各向异性网格下的完全双二次有限元空间，则 1 k ( ，) 一n “( 叫l ，s 曲，【永胁( 喇：+ 1 1 呱f ) 巾出壬 证明：令一= ( ，) 一( f ) ，由( 3 2 ) ( 3 4 ) ，v v 仨噌 ( 只，v 卜( v 以1 唧) = ( “，一( h ) ，v ) h v ( 甜一n h ) ，v v ) ， 取v = 鼋蹭，由引理1 5 ，引理3 4 ( 3 1 4 ) 孵躬+ 三罢c 3 圳q i b + c 萎q 。 啦+ c ；碟。慨k c 3 恤，限扎+ c 矿i 叫，l b8 。c 旷( 9 蚱l ，+ i “f ，1 旧l i 。 c 旷( ，+ ) 忖弘， 由y o l l i l g 不等式得 岭蕺+ 丢吲：幽6 ( 尉h + o 耀) 出) + 怜峨 由( 3 4 ) 知口( 0 ) = 0 ， 对上式积分得 i 叫。幽3 ( 永+ 删；) 出) j 由有限元空间模等价得 帆( r ) 一n “( f ) s 拍3 【肌+ m ；) 出】_ ( 3 1 5 ) 注：( 1 ) 对抛物积分微分方程及二阶双曲方程利用上面相同的方法和技巧也可得到相 应的超逼近结果 ( 2 ) 用积分恒等式技巧可使( “。一( n ”) ，v ) 达到o ( 4 ) 再对( 3 1 2 ) ，( 3 1 3 ) 进一 步的推导，我们可以得到有限元解与有限元插值的误差可以达到o ( j 1 4 ) 3 3超收敛分析 上一节我们得到了超逼近结果，这节我们将在超逼近理论的基础上构造与有限元插值相 协调的插值后处理算予，得到整体超收敛性质，从而在整个区域上改善其精度 为此，我们按如下方式构造插值后处理算子n 矗： 4 将相邻四个单元合并成一个大单元，箩= u 口，( 见图3 1 ) 使得在大单元亭上， r e l ：觏 ；：； j j j ，鞋 唧 t 埘 l - ， 簖 ：| ：| 瓤掌 l 譬、 1 曩、 嘲，膏e 2 1 4 w q 4 ( f ) v w c ( 亨) 这里q 4 为双4 次多项式空间，c ( f ) 为f 上的连续函数空间 且满足 氧w ( z j ) = w ( 互) ，f = l ，9 ， f 4 w 讲= f 砌，f _ 1 ，一，1 2 ， i l 这里e 。，z 1 分别为小单元及它们的边和顶点( 见图3 1 ) 容易证明，在各向异性网格下，我们构造的插值算子n 4 满足以下三个性质n q ( i ) 。w 一卅。c 啡圳 ( i i ) 9 n 圳，c | l 吼。v v e 瑶( n ) ( m ) n ： w 7 = ： w 其中w 7 瑶( n ) 为w 有限元插值 故我们可以得到下面的整体超收敛结果： 定理3 2 设“( f ) ，” ( ，) 分别是( 3 1 ) ，( 3 4 ) 的解，则有 i 时4 ( r ) 一”( f ，茎曲， 犯( ，) i | + 【i ( ( r ) | i i + 肛( r 堆) 出# ) 其中n k 为满足条件( 3 1 7 ) ，( 3 1 8 ) ，( 3 1 9 ) 的插值后处理算子 证明：注意到 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ： “ ( f ) 一“( f ) = h 鲁( f ) 一玎： ( n “( f ) ) + ： ( “( f ) ) 一”( ，) ， ( 3 2 0 ) 田l 3 1 9 ) 利t 3 1 ，) ， 忡4 ( h “( f ) ) 一“( ，) i = 6 n ：( r ) 一( r ) i i 。sc 3 i 扣o ) | 1 ， ( 3 2 1 ) 又由( 3 1 8 ) 和定理3 1 i l n ：。( f ) 一4 ( m 叫| t = | i n 鲁( ( ，) 一n “( ，) ) i c 0 ( f ) 一n “( ，m j 。s 幽3 【永0 蚱( d 4 ：+ i 陋( f ) e ) 出】i ，( 3 2 2 ) = 幼 w 外 ，j q 参考文献 【1 1 p g c i a r l e t n e f m n e e l 唧e n t m e l o d f o r e l l i p t i o p m b l e m s 【m 】n o r t l l h o l l 蚰d ： a m s t e r d ，1 9 7 8 【2 】李开泰，黄艾香，黄庆怀有限元方法及其应用西安交通大学出版社，1 9 8 4 【3 】王烈衡，许学军有限元方法的数学基础科学出版社，2 0 0 4 【4 1 黄明游 发展方程数值计算方法【m 】科学出版社，2 0 0 4 【5 】 s c c h 姐龃dd y s h i 蛐dy c z h a j d s o h d p i c 油e r p 0 1 鲥咖柚dq u 船i - 晰l s e l e m t f o r n a r r o wq u a 商l a 啉l m e s h 【j 】i m aj n 哪e r a n a l 。2 0 0 4 ，2 4 ：7 7 9 5 【6 】林群，严宁宁 高效有限元构造与分析【m 1 河北大学出版社，1 9 9 6 【7 】q z h u ，q 拙 s u p 盯c o n v e 瑁e n c en e o r yo f d l ef _ m - e 【m 1 c h a n g s h a ： i 岫蛐s c i e l ，c e p r e s s ，1 9 9 0 【8 】 t a p e l ， m d o b m w o l 嫡 a n i s a 心o p i c m t e r p o h t i o nw i ma 印l i c a t i t o 龇 f - e - m 【j 】c o m p “妇g 1 9 9 2 ，4 7 ：2 7 7 也9 3 【9 】 d y s h ia i l ds c c h 胁 c o n v e r g e n c e a n a l y s i so f a n 伽c o n f o r i l l i n g a n l s 曲d p i cf i n h e e l e i n t 【j 】j o f c o 唧m a n l ，2 0 0 5 ，2 3 ( 4 ) ：3 7 3 3 8 2 【l od y s h i ，s p m 舯，s c c h a n a n i s o 仃o p i c n 蚰c o n f o n n i n 窑f i n i t e e l 锄哪 w i ms o m es u p e r c o n v e r g e n c er 啪n s 儿 j o f c o m p m a t h ，2 0 0 5 ，2 3 ( 3 ) ：2 6 卜2 7 4 【l l 】 x q l i u h i 曲a c c u m c ym e 廿1 0 d s 矗mf u i l yd 话啾ga l e r k i i la p p m x i 咖t i 蚰o f p a r a b o l t ce q u a t i o n 朝 b e 面m g m a 出锄a t i c s ，1 9 9 5 ，1 ( 2 ) ：3 1 3 6 1 2 】q 妇，j p 觚o ( ) s u p e m v e 噼n c ef b rb i q l l a 出a t i ce l e m 乜i np a m b o l i cp r o b l s ， i b i d 3 8 9 3 9 4 【1 3 】吴景珠。石东洋 s o b o l e v 方程的各向异性有限元的高精度分析【j 】河南科学，2 0 0 4 ， 2 2 ( 6 x7 2 7 7 2 9 f 1 4 1 az j e n i s s e k ，mv a 砌l e t h ei n t e r p o 蜥o t k o 舢f b rn 埘o wq 眦蛐如咖i s 0 呻i c m 柏讧n n i t ed 啪t s 【j 】n u i 驿r ，m a t h ，1 9 9 5 ，7 2 ：1 2 3 1 4 1 【1 5 1 【1 6 l 【1 7 】 【1 8 】 【1 9 2 0 1 【2 1 】 【2 2 】 【2 3 】 t h e a p e l ， sn c a i s e c r o i l z e i 】【r a v i a r tt y