（运筹学与控制论专业论文）混合动态系统的最优控制理论与应用.pdf

山东大学博士学位论文 混合动态系统的最优控制理论与应用 于瑞林 ( 山东大学数学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 本文主要研究了混合动态时变系统在有限时间域上的最优控制理论及其应用 问题本文首先分别考虑了有限时间混合动态时变系统在终端自由和终端约束两 种情形下的最优控制问题，得到了最优控制问题的解在这两种情形下分别是一类 拟变分不等式的唯一的粘性解和唯一的下半连续解的结论，并给出了它们之间的 关系随后对于实际存货系统建立了一个统一的混合动态模型，并将前面所得到的 理论结果应用到生产存货系统中的一个具体实例中，得到了最优切换控制问题的 解以及相应的最优切换律本文的最后还讨论了非线性边界抛物型方程在三维柱 坐标系下的能控性问题全文包括有以下七章 第一章介绍了混合动态系统及其研究背景，简单描述了混合动态系统的数学 模型，并从最大值原理和动态规划两个方面回顾了关于混合动态系统的最优控制 问题的研究现状以及存在的问题最后对于本文的主要工作做了简要说明 第二章研究了一类有限时间终端自由的切换时变系统的最优控制问题，讨论 了值函数的性质，得到了切换问题的最优化条件，并给出了建立最优切换律的策略， 最后对于最优切换问题的值函数是一类拟变分不等式的唯一的连续粘性解的结论 给出了新的严格详尽的证明这一章的内容也是为下文关于混合动态系统终端受 到约束的情形奠定了必要的理论基础，并且在这一章中采用的方法以及得到的结 论和下文中所采用的方法以及得到的结论可以形成更清晰的对比 第三章研究了一类有限时间内终端受到约束的切换时变系统的最优控制问题 终端约束的出现使得最优控制问题的值函数不仅仅不是连续可微的，甚至是不连 续的因此，以往关于拟变分不等式的粘性解的讨论中所使用的方法也就不再适用， 需要利用新的方法将粘性解延展到半连续函数中本文首次将生存理论这一数学 工具应用到有限时间切换时变系统的最优控制问题中，得到了最优控制问题的值 函数是一类拟变分不等式唯一的下半连续解的重要结论值得注意的是，本章的证 明中去除了以往文献 5 7 ，5 8 中关于切换费用通常所做的三角不等式的假设，而只 保留了严格大于零的假设条件在这一章的最后在对值函数附加了一定的假设条 件后还进一步地得到了最优切换控制问题的值函数是这类拟变分不等式粘性解的 结论 第四章研究了一类同时包含有两类离散事件，即状态跳变和系统切换的混合 山东大学博士学位论文 动态时变系统在终端受到约束时的最优控制问题这类系统的最优控制问题比起 第三章的最优切换问题更为复杂本文首次将生存理论应用到这一复杂系统的最 优控制问题中来，得到了最优控制问题中的值函数是一类拟变分不等式唯一的下 半连续解的重要结论在这一章中同样把以前文献【3 】 5 7 ，5 8 中常用的关于切换费 用和跳变费用的三角不等式的假设条件都予去除而且在这一章中，比 6 8 】和第三 章更进一步地讨论了这类拟变分不等式的下半连续解与拟变分不等式的粘性解之 间的关系 第五章从实际的库存系统的优化管理中提出一个数学问题，即是我们对于存 货系统应该建立一个怎样的数学模型使得这一模型能够全面而真实的描述出一个 实际存货系统的变化在这一章中对以往的关于存货系统的数学模型进行了回顾， 并建立了一个新的模型这一模型中不仅含有驱动系统演化的连续变量，也有驱动 系统演化的离散事件而且这一新的模型不仅可以刻划存货系统中出现的各种离 散现象，还可以包容以前关于存货系统建立的各种数学模型因为这一模型的高度 包容性，我们称之为存货系统的统一的混合动态模型这一章也为第六章的内容做 了必要的铺垫 第六章的主要目的是要将前面第三章中关于切换系统的理论成果和应用问题 联系起来，通过一个生产存货系统的具体实例说明这些复杂艰深的数学理论的实 用性在这一章中并没有对h - j b 方程进行直接计算，而是首先提出了候选值函数， 通过计算候选值函数的邻近次微分，并且验证其是否满足拟变分不等式下半连续 解的定义，由此证明了这一候选值函数确实是最优切换问题的值函数，从而得到了 与之相对应的最优切换策略这一求解途径和以前关于切换系统最优控制问题的 应用方面所取得成果都是不同的，而且在这一章中的最优切换问题的切换序列是 未知的 本文的第七章研究了柱坐标系下的三维热传导方程的非线性边界控制系统的 能控性问题这类非线性系统中的非线性项只满足局部l i p s c h i t z 条件，于是采用了 阶梯函数的方法，对于热传导方程的逼近能控性进行了讨论，得到了线性系统的逼 近能控性，并给出了控制的显式表达，而在文献 1 0 3 中控制的具体求法是未知的。 在这一章的最后，利用线性系统的结果得到了非线性边界控制系统的逼近能控性 关键词：混合动态时变系统有限时间最优控制拟变分不等式粘性解下半连 续解唯一性动态规划生存定理库存系统数学模型邻近次微分抛物型方程 非线性边界 山东大学博士学位论文 o p t i m a lc o n t r o lt h e o r ya n d a p p l i c a t i o n so fh y b r i dd y n a m i c s y s t e m s y ur u i l i n s c h o o lo f m a t h e m a t i c s , s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，2 5 0 10 0 , s h a n d o n g , 只r c h i n a a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，o p t i m a lc o n t r o lt h e o r ya n da p p l i c a t i o n so fh y b r i dd y n a m i c t i m e v a r y i n gs y s t e m si n f i n i t eh o r i z o na r er e s e a r c h e d a tf i r s t ，t w oo p t i m a lc o n t r o l p r o b l e m sf o rh y b r i dd y n a m i ct i m e - v a r y i n gs y s t e m sw i t hf r e e t e r m i n a la n dt e r m i n a l c o n s t r a i n ta r ec o n s i d e r e d ，v a l u ef u n c t i o n so ft h e s et w o o p t i m a lp r o b l e m s a r e r e s p e c t i v e l yp r o v e d t ob et h e u n i q u ev i s c o s i t y s o l u t i o na n dt h eu n i q u el o w e r s e m i c o n t i n u o u ss o l u t i o nt oat y p eo fq u a s i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ( h e r e i n a f t e ra sq v i ) a n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e mi sa d d r e s s e d c o n s e q u e n t l y , an e wu n i f i e dh y b r i d d y n a m i cm o d e lf o ri n v e n t o r ys y s t e m si sf o r m u l a t e d ，a n dac o n c r e t ee x a m p l eo f s w i t c h i n go p t i m a lp r o b l e ma r i s i n gf r o ma c t u a li n v e n t o r ys y s t e m si ss o l v e db yt h eu s eo f p r e v i o u st h e o r e t i c a lr e s u l t s f i n a l l y , t h ec o n t r o l l a b i l i t yp r o b l e mf o rt h r e ed i m e n s i o n a l p a r a b o l i cc o n t r o ls y s t e m sw i t hn o n l i n e a rb o u n d a r y i sd i s c u s s e d t h e r ea r es e v e n c h a p t e r si nt h i sd i s s e r t a t i o n i nc h a p t e r1 ，h y b r i dd y n a m i cs y s t e m sa n dt h e i rr e s e a r c hb a c k g r o u n da r ei n t r o d u c e d ， a n dm a t h e m a t i c a lm o d e l sf o rh y b r i dd y n a m i cs y s t e m sa r es i m p l yd e s c r i b e d f r o mt h e v i e wo fm a x i m u m p r i n c i p l ea n dd y n a m i cp r o g r a m m i n g ，s o m ea d v a n c e si nt h es t u d yo f o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mo fh y b r i dd y n a m i cs y s t e m sa r er e c a l l e d s o m eo p e np r o b l e m s i n t h i sf i e l da l ep o i n t e do u ta sw e l l a tt h ee n d ，t h em a i nw o r ko ft h i sd i s s e r t a t i o ni s l i s t e d i nc h a p t e r2 ，a no p t i m a ls w i t c h i n gp r o b l e mf o rac l a s so fd e t e r m i n i s t i cs w i t c h e d c o n t r o lt i m e v a r y i n gs y s t e m sw i t hf r e et e r m i n a l si nf i n i t eh o r i z o ni sc o n c e r n e d b y e m p l o y i n gt h ep r o p e r t i e so f v a l u ef u n c t i o n sf o rt h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m ，t h eo p t i m a l c o n d i t i o n sa r eo b t a i n e da n da no p t i m a ls w i t c h i n gp o l i c yi sc o n s t r u c t e d an e wr i g o r o u s a n de x h a u s t i v ep r o o fa b o u tt h es t a t e m e n tt h a tv a l u ef u n c t i o n so ft h eo p t i m a lc o n t r o l p r o b l e mi sau n i q u ev i s c o s i t ys o l u t i o nt oab e n s o u s s a n l i o n st y p eq v i i sg i v e n t h i s c o n c l u s i o na b o u ts w i s h i n gs y s t e m sw i t hf r e et e r m i n a lh a se s t a b l i s h e dt h e o r e t i c a l f o u n d a t i o nf o rd i s c u s s i n g o p t i m a lp r o b l e m o fs w i t c h i n g s y s t e m s w i t ht e r m i n a l c o n s t r a i n t si nt h en e x tt w oc h a p t e r s ，a n dt h ec o m p a r i s o no fm e t h o da p p l i e di n t h i s c h a p t e rw i t ht h a to ft h en e x tt w oc h a p t e r ss h o w s t h i sm o r ec l e a r l y c h a p t e r3i sd e v o t e dt ot h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mf o rac l a s so fs w i t c h e dc o n t r o l t i m e v a r y i n gs y s t e m sw i t ht e r m i n a lc o n s t r a i n t s t h ep r e s e n c eo fa ne n d p o i n tc o n s t r a i n t 山东大学博士学位论文 m a k e st h ev a l u ef u n c t i o n sn e i t h e rb ec o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l e ，n o rb ef i n i t ev a l u e do n t h ei n t e r i o ro fi t se f f e c t i v ed o m a i n s i n c et h ee x t e n d e dv a l u ef u n c t i o n sa r em e r e l y s e m i c o n t i n u o n s ，a l le x t e n s i o no fv i s c o s i t ys o l u t i o n st os e m i c o n t i n u o n sf u n c t i o n si s n e e d e d v i a b i l i t yt h e o r yi sa p p l i e dt ot h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mf o rs w i t c h i n gt i m e v a r y i n gs y s t e m s i nt h i sd i s s e r t a t i o nf o rt h ef i r s tt i m e 1 1 1 es t a t e m e n ta b o u ta c h a r a c t e r i z a t i o no ft h ee x t e n d e dv a l u ef u n c t i o n sa st h eu n i q u el o w e rs e m i c o n t i n u o u s s o l u t i o nt oab e n s o u s s a n - l i o n st y p eq v ii sp r o v e d i ti sa l s ow o r t hn o t i n gt h a tt h e c o m m o n l yu s e dh y p o t h e s i si n 5 7 ，58 1a b o u tas w i t c h i n gc o s tf u n c t i o ni sr e m o v e d a n d o n l yt h eh y p o t h e s i s ，t h a ts w i t c h i n gc o s ti sm o r et h a nz e r o ，i sp r e s e r v e d f i n a l l y , w e c o n c l u d et h a tt h ev a l u ef u n c t i o no fo p t i m a ls w i t c h i n gc o n t r o lp r o b l e mi sav i s c o s i t y s o l u t i o nt ot h i st y p eq v iu n d e rs o m ea d d i t i o n a la s s u m p t i o n s i nc h a p t e r4 ac l a s so f h y b r i dd y n a m i ct i m e - v a r y i n gs y s t e m s 、斩t ht e r m i n a lc o n s t r a i n t , w h i c hi n c l u d i n gt w ok i n d so fd i s c r e t ee v e n t s s y s t e ms w i t c h i n g a n d s t a t ej u m p i n g ， a r ec o n s i d e r e d t h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mo ft h e s es y s t e m si sm o r ec o m p l e xt h a nt h e o p t i m a ls w i t c h i n gp r o b l e mi nc h a p t e r3 v i a b i l i t yt h e o r yi sa p p l i e dt ot h eo p t i m a l c o n t r o lp r o b l e mf o rt h i sc l a s so fh y b r i dd y n a m i ct i m ev a r y i n gs y s t e m si nt h i s d i s s e r t a t i o nf o rt h ef i r s tt i m e a n dt h es t a t e m e n ta b o u tac h a r a c t e r i z a t i o no ft h ee x t e n d e d v a l u ef u n c t i o n sa st h eu n i q u el o w e rs e m i c o n t i n u o u ss o l u t i o nt oab e n s o u s s a n l i o n s t y p eq v ii sp r o v e d s i m i l a rt oc h a p t e r3 ，t h ec o m m o n l yu s e dh y p o t h e s e si n 【3 】【5 7 ，5 8 】 a b o u tas w i t c h i n gc o s tf u n c t i o na n daj u m p i n gc o s tf u n c t i o na r er e m o v e d c o m p a r e d w i t hp r e v i o u sr e f e r e n c e s 【6 8 】a n dc h a p t e r3 ，t h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nv i s c o s i t y s o l u t i o n sa n dl o w e rs e m i c o n t i n u o u ss o l u t i o n st oq v ia r ef u r t h e rd i s c u s s e di n t h i s c h a p t e r i nc h a p t e r5 ，an e wa n du n i f i e dh y b r i dd y n a m i cm o d e lf o rr e a l - w o r l di n v e n t o r y s y s t e m si sp r o p o s e do nt h e b a s i so fh y b r i dd y n a m i cs y s t e m st h e o r y t h i sh y b r i d d y n a m i cm o d e lc h a r a c t e r i z e si n v e n t o r ys y s t e m sa si n t e r a c t i n gc o l l e c t i o n so fd y n a m i c s y s t e m s ，e v o l v i n go nc o n t i n u o u s - v a r i a b l es t a t es p a c e sa n ds u b j e c t i n gt oc o n t i n u o u s c o n t r o l sa n dd i s c r e t et r a n s i t i o n s t h i sn e wm o d e li sc a l l e du n i f i e dm o d e lb e c a u s ei t c o u l dc a p t u r ea l lk i n d so fd i s c r e t ep h e n o m e n ai ni n v e n t o r ys y s t e m s ，a n ds u b s u m ea l l p r e v i o u sm o d e l sf o ri n v e n t o r ys y s t e m s c h a p t e r6d e a l sw i t has w i t c h i n go p t i m a lp r o b l e mo fac o n c r e t ee x a m p l ea r i s i n gf r o m a c t u a li n v e n t o r y s y s t e m s a ss h o w ni nc h a p t e r3 ，t h ed e s c r i p t i o n o fl o w e r s e m i c o n t i n u o u sf u n c t i o n sa st h eu n i q u eg e n e r a l i z e ds o l u t i o n st oq v ih a sb e e na d v a n c e d h o w e v e r ，t h e r ea r ef e we x a m p l e sa v a i l a b l ei nt h ep r e v i o u sl i t e r a t u r e st oi l l u s t r a t i n gt h e u s eo ft h i sa n a l y t i cm a c h i n e r y t h ep u r p o s eo ft h i sc h a p t e ri st op r o v i d es u c ha n e x a m p l e o u ra n a l y s i sd o e sn o td i r e c t l ys o l v et h eh - j be q u a t i o n s ，b u tp r o v i d e sa c a n d i d a t ef o rt h ev a l u ef u n c t i o n a f t e rs o m e s t e p s i n v o l v e di n c a l c u l a t i n g s u b d i f f e r e n t i a l sa n dv e r i f y i n gs a t i s f a c t i o no fq v i ，t h ef a c tt h a tt h ec a n d i d a t ei si n d e e d t h ev a l u ef u n c t i o ni sc o n f i r m e d t h eo p t i m a ls w i t c h i n gp o l i c yi st h e r e u p o no b t a i n e d 山东大学博士学位论文 t h i sm e t h o do fs o l v i n gs w i t c h i n gp r o b l e mi sd i f f e r e n tf r o mp r e v i o u sl i t e r a t u r e s ，a n dt h e s w i t c h i n gs e q u e n c ei nt h i sc h a p t e ri sa l s ou n k n o w n i nc h a p t e r7 ，ac o n t r o l l a b i l i t yp r o b l e mf o rat h r e ed i m e n s i o n a lp a r a b o l i cc o n t r o l s y s t e mw i t hn o n l i n e a rb o u n d a r yi sd i s c u s s e d t h en o n l i n e a ri t e m so n l ys a t i s f yt h el o c a l l i p s c h i t zc o n d i t i o n ，b u tn o tt h eu n i f o r m l yl i p s c h i t zc o n d i t i o n t h es t e pf u n c t i o ni s a p p l i e dt ot h ea p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t yp r o b l e mo ft h ec o r r e s p o n d i n gl i n e a rs y s t e m t h ee x p l i c i te x p r e s s i o no ft h ec o n t r o li sp r o v i d e d b a s e do nt h er e s u l to fl i n e a rs y s t e m s ， t h ea p p r o x i m a t ec o n t r o l l a b i l i t yp r o b l e mo fn o n l i n e a rs y s t e m si ss o l v e d k e yw o r d s ：h y b r i dd y n a m i c ，t i m e - v a r y i n gs y s t e m s ，f i n i t eh o r i z o n ，o p t i m a lc o n t r o l ， q u a s i - v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y , v i s c o s i t ys o l u t i o n ，l o w e rs e m i c o n t i n n o u ss o l u t i o n ， u n i q u e n e s s ，d y n a m i cp r o g r a m m i n g ，v i a b i l i t yt h e o r y , i n v e n t o r ys y s t e m s ， m a t h e m a t i c a lm o d e l ，p r o x i m a l s u b d i f f e r e n t i a l ，p a r a b o l i ce q u a t i o n ，n o n l i n e a r b o u n d a r y x 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：奎蚣 日期： 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者虢赴导师躲c 必日 期：竺竺墨竺：三! 山东大学博士学位论文 第一章绪言 1 混合动态系统及其研究背景 混合动态系统是指包含有离散事件动态系统( d i s c r e t ee v e n td y n a m i cs y s t e m ， 简称d e d s ) 和连续动态系统( c o n t i n u o u sv a r i a b l ed y n a m i cs y s t e m ，简称c v d s ) ， 两者又相互作用的一类复杂系统，是一种离散构件和连续构件融合在一起的混合 系统其特点是既随时间而连续变化，又受离散突发事件的驱动 混合动态系统在我们的生产生活中无处不在最简单的生活中的例子如室内 空调设备，有“开 和“关”两个离散模式，这两个不同模式又分别对应着不同的 连续动态在生产中的例子如一类具有批处理和间歇特性的中小流程的化工生产 及处理装置近三十多年来，随着高新技术发展的需要，特别是随着计算机能力的 飞速提高，使得计算机已经被大量应用在传统的连续加工过程和连续处理过程，例 如半导体和集成电路生产线的生产和调度，化工、石油化工、冶金等连续流程工业 的生产控制和调度，区域性供电网的调度和监控，大城市交通管理系统的实时监控 和指挥计算机的这种应用不仅突破了计算机单纯替代模拟控制装置的局限，而且 突破了计算机只是作为运动控制和过程控制单元的单一功能，是集底层控制、加工 调度、运营管理、总体优化等等为一体正是由于现代计算机等数字控制技术在连 续制造和连续处理系统的应用和渗透，使得混合动态系统理论得到了很大的发展 和促进混合动态系统理论研究发展的历史也正好说明了这一点早在混合动态这 个概念提出之前，人们已经研究了许多带有混合行为的动态系统并且取得了很多 成果上世纪六十年代，美国学者h s w i t s e n h a u s e n 1 】首先对同时具有连续和离散 特性的系统进行研究，在单纯的连续系统和单纯的离散系统的基础之上第一次提 出了“混合”的概念然而混合动态的这一概念并没有得到系统化的发展，后来的 研究多集中在脉冲控制【2 ，3 】和分段确定性过程 4 ，5 】的研究上在1 9 7 9 年，由瑞典学 者f e c e u i e r 6 】用计算机的方法研究了具有连续和离散特性的系统，该系统的 结构可以分成三部分：连续运动部分、离散事件部分和管理两部分的接口，并称 之为混合动态系统，于是混合动态系统( h y b r i dd y n a m i cs y s t e m ，简称h d s ) 这 一结构的基本形式就被广泛地沿用至今1 9 8 9 年，美国学者a g o l l i 和p v a r a i y a 7 】 在计算机磁盘驱动器的模型中引入了h d s 的概念，把系统的连续部分和接口结合 成一类新的离散事件动态系统( d e d s ) ，开始了针对实际系统运用h d s 工具进行 建模、分析等应用研究随后对于混合动态系统的研究更加地系统化和规范化近 二十年来混合动态系统的研究已经取得了长足的发展，并成为控制理论和计算机 山东大学博士学位论文 科学的研究热点 8 1 5 一些专门研究混合系统的杂志，如( ( d y n a m i c so f c o n t i n u o u s ， d i s c r e t ea n di m p u l s i v es y s t e m s ) ) 和( ( n o n l i n e a ra n a l y s i s ：h y b r i ds y s t e m s ) ) 也分别于 1 9 9 5 和2 0 0 6 年出版发行 1 2 混合动态系统的数学模型 混合动态系统涉及的领域广泛，遇到的问题复杂多样，很难找到一个通用的模 型来解决问题围绕着系统的建模问题，研究者们提出了许多理论框架模型总的 来说，在建立这些模型框架时有两种角度一种角度是从计算机科学的观点出发， 把整个的系统看做是有限自动机或者离散事件动态，而通过将状态空间分区 1 6 】等 方法将连续动态抽离在这种观点下建立的模型主要是有限自动机、混合p e t r i 网、 混合逻辑动态模型 1 7 2 0 等，其解决的主要问题是系统的安全性，形式验证等而 另一种角度是从控制科学的观点出发，其重点放在连续动态上，将离散事件嵌入到 常微分方程中或者将离散行为处理成微分方程的扰动，这样可以把混合动态系统 看成是传统的连续动态系统的延拓本文所采用的是后一种观点 从控制理论的观点出发，建立的数学模型都具有一个共同的特点，就是在状态 空间中，连续变量和离散变量同时存在通常用一族常微分方程或差分方程来描述 系统连续部分特性，用状态的跳变或系统的切换表示离散事件的发生这些模型可 以分为三种类型：( 1 ) 对实际的混合动态系统所做的广义的、抽象的模型 2 1 2 4 其中以m s b r a n i k y 2 1 ，2 2 所建立的统一的、受控的混合动态模型最具有代表性， 不仅可以完整刻划出系统的连续动态和离散事件，而且可以包容先前所提出的所 有关于混合动态系统的模型( 2 ) 将混合动态系统的状态空间限制在彤上的数学 模型如 2 8 3 0 3 6 6 2 6 5 - 8 8 】( 3 ) 由特殊实际工业背景提炼出的数学模型，如 p e p y n e 和c a s s a n d r a s 2 5 2 7 关于批处理生产流程所建立的数学模型在本文中所涉 及的数学模型可以归为第二类和第三类综合 2 1 ，2 2 ，2 8 3 0 1 文中的数学模型，我们 可以得到从控制论的角度对于混合动态系统建立的数学模型的通常形式 定义1 2 1 一个混合动态系统通常可以由一个四元组表示， h = ( q ，j ，s ) 其中 q 为系统的离散状态集，通常记为z + 或者 1 ，2 ，) = ，) 。印为一族受控的动态系统，其中，= 【，f 。，啦，u ，】表示一个受控的动 态系统，其中五为连续状态空间，r 。是时间空间，或者它是具有单位元的拓扑半群， 即转移半群，屯：x f x 是转移映射，它是具有半群性质和同一性的连续函数， 刻划了系统的连续动态，眈为连续控制集如果将转移映射仡换成它的生成元无， 2 山东大学博士学位论文 该受控动态系统可写为【，r 覃，】我们常见的，= ( g nr + ，f ，u ) 即是这样的 动态系统： 戈( f ) = f ( t ，x ( f ) ，甜( f ) ) ，x ( 0 ) = x o 状态变量x ( f ) r ”，控制变量“( f ) ucr ”凸闭集，厂关于其自变量连续或连续可 微 j = ) ，cr 。，通常是指时间空间中的一个时间段【，】 s 是系统离散事件集s w i t c h ( h 1 的一个子集，其中， s w i t c h ( h ) = 0 为一个给定常数，称为折扣因子，l ：r “x 1 ，2 ，m ) - _ r 为运行 费用，k ( 4 - 嚷) 为系统由模式砬一。切换到模式吨的切换费用定义值函数 v 8 ( z ) = z ( 口) = i n 。fz ( a ) 定理l3 2 系统( 1 3 1 ) 的最优控制问题的值函数在一定的假设条件下，是以下 拟变分不等式的唯一的粘性解 m a x a v 8 ( z ) 一f ( x ，d ) d v 4 ( z ) 一l ( x ，d ) ，v 4 ( z ) 一m i n v 4 ( z ) + k ( d ，d ) ) ) = 0 ， z r ”，d = 1 ，2 ，m ， 以上这些文献的目标都是要证明无穷时间域、带有折扣因子的值函数是拟变 分不等式唯一的、连续的且一致有界的粘性解这一结论对于有限时间情形，文献 【6 1 ，6 2 对于切换驻定系统曾提到过可以有类似结论，但仅是如此而已而对于有限 时间时变系统最优控制问题而言，由于其值函数中多出了关于时间t 的自变量，使 得很多定理的证明特别是对动态规划最优化条件和拟变分不等式唯一性的讨论时， 并不能由时不变驻定系统无穷时间域的情形直接获得，因此在有限时间域内的时 变系统情形需要完整详尽的证明，这也是本文中第二章写作的出发点 我们知道，即使是在连续控制系统，很多时候对于系统的假设条件并不能保证 最优控制问题的值函数是处处可微的，甚至是不连续的因此，以前关于q v i 的粘 性解的讨论就不再适用，需要将粘性解延展到半连续函数中h e l e n ef r a n s k o w s k a 6 山东大学博士学位论文 在 6 3 ，6 4 】中利用生存定理将连续控制系统的最优控制问题的值函数和广义下半连 续函数之间建立了联系她指出终端约束的连续控制系统的最优控制问题的值函 数其上图具有前向生存性和后向不变性，从而获得了值函数是h - j b 方程的唯一下 半连续解的重要结论这一研究工具后来被a u b i n 和他的合作者 f 6 5 - 6 7 大量地应 用在混合动态系统的生存性问题和无限时间域内带有折扣因子的脉冲控制系统的 值函数性质的讨论上但鲜见有将此类方法应用到有限时间内时变系统的最优混 合控制问题中的相关文献【6 8 中讨论了一类有限时间域内带有终端约束的脉冲控 制的最优控制问题，未加证明地给出了值函数是一类拟变分不等式的唯一下半连 续解的结论但此文献给本文的整个写作过程带来了很大的启发，使得本文作者开 始关注于生存定理这一数学工具，进而利用这一数学工具，对于终端受到约束的切 换系统以及带有脉冲跳变的混合动态系统的最优控制问题进行讨论，完成了本文 的第三章和第四章 由于利用动态规划法容易获得计算机算法的实现，所以利用这一方法可以解 决一些较为简单的实际问题 6 9 】例如在切换系统理论的应用中，主要处理的是系 统的切换不产生费用的情形根据切换机制的不同，切换系统的最优化问题分成了 两类一类是由状态空间的划分决定状态反馈切换律，这时系统的最优控制转化为 分段仿射系统( p w a ) 的最优控制问题 7 0 7 7 还有一类是切换信号是不受约束的 外在参数所决定的情形，主要的结果有x u p i n gx u 提出的两阶段法 7 8 8 6 而对于 前面所提到的利用动态规划法在理论方面的许多结果，我们知道拟变分不等式是 由一系列的h j b 方程组成，而h - j b 方程本身求解就已经十分困难和繁琐，使得理 论上的研究成果很难应用到实际问题中去虽然c a p u z z od o l c e t t a 5 7 和m s b r a n i k y 2 1 ，2 2 】都曾对切换系统和混合动态系统提出过理论上的算法，但这些算 法并不能解决实际问题文献【6 8 利用动态规划和生存定理解决了一个存货系统 中的最优脉冲控制问题，此文启发了本文作者对于这种复杂艰深的数学理论是否 能够真正地应用到切换控制系统的思考，从而促使了本文第六章的完成 1 4 本文的主要工作 本文主要研究了混合动态系统最优控制问题理论及其应用问题，主要结果包 括有以下六章 第二章研究了一类有限时间终端自由的切换时变系统的最优控制问题，讨论 了值函数的性质，得到了切换问题的最优化条件，并给出了建立最优切换律的策略， 最后对于最优切换问题的值函数是一类拟变分不等式的唯一的连续粘性解的结论 给出了新的严格详尽的证明这一章的内容也是为下文关于混合动态系统终端受 到约束的情形奠定了必要的理论基础，并且在这一章中采用的方法以及得到的结 7 山东大学博士学位论文 论和下文中所采用的方法以及得到的结论可以形成更清晰的对比 第三章研究了一类有限时间内终端受到约束的切换时变系统的最优控制问题 终端约束的出现使得最优