（光学专业论文）w—型双势阱中量子隧道效应的研究.pdf

yt i l u 0 8 8 w 一型双势阱中量子隧道效应的研究 毕冬艳 摘要早在量子力学全盛时期人们就对量子隧道效应有所认识，这是量子力学 的基本问题。1 9 2 7 年h u n d 就提出了量子隧道效应会对( 如n h 3 ) 三角锥形分子 的内部结构有很大的调整作用，所以通过适当选择外部条件，便可在不同程度上 控制分子结构的稳定性。随着量子通讯和量子计算的发展，特别是半导体量子肼 技术的日渐成熟，极大的提高了量子阱的实用化发展。因此近些年来，人们十分 关注分子和半导体量子阱中双势阱的量子隧穿效应的研究。于是粒子在双势阱_ 中 受外场驱动的量子力学行为便成为近年来人们研究的热点问题之一。 外加电磁场作用下二能级系统和三能级系统的演化是许多实际应用的理论基 础。新兴学科分子电子学其进展包括分子导线和分子开关。分子导线是利用了能 使电子非局域化的分子结构，将电子从集成的分子装置的一个区域移动到另一个 区域。分子开关则是一些在外电场、光场、化学或生物作用下可以发生结构或其 它状态改变的分子，它们有希望被用了来作为开关器件和存贮单元等。很多的这 些器件表现出一种两能级隧穿的特性，比如有些分子材料的导电性就是通过电子 从分子的部分到分子的另外一部分的隧穿或跳跃来实现的；有的分子开关则是 利用了分子的机构互变现象，而这往往也就是电子、质子、氢原子、甚至原子基 团的隧穿现象。如果能够遥过改变外界条件来控制这些隧穿过程，我们就可以操 纵这些器件。 本文的第一个主要工作是利用二能级近似研究了受驱动光场作用时的粒子在 双势阱分子中的量子隧道效应抑制现象。讨论了在远共振激发，和在强场激发情 况下的粒子定域问题。在处理方法上从二能级系统的哈密顿量出发，得出系统的 本征矢，它不但适合远共振激发极限，同时也适合于强场激发极限。从而克服了 以往将两极限分开讨论的缺陷，以简单的形式获得了内涵深刻的物理结论。即， 在0 阶贝塞尔函数为0 时，系统将永远保持起始的定域状态，而不发生隧穿。在 强场极限下，利用贝塞尔函数的渐近行为，得出关系系统本质的相位解释。实现 了处理方法和形式上的简单化，物理意义的清晰化。 本文的第二个主要工作是，讨论了当单独的一个孤立的分子被镶嵌在一个主 体的媒质中时，形成上势阱不对称下势阱是对称的特殊模型，对称势阱对应的是 电子的非激发态，非对称势阱对应的是激发态。本文就对这一特殊系统进行讨论。 在一近共振外场钓作用下，上下两势阱便联系起来，形残一八型三能级系统。在 这种情况下，系统将会发生相干隧穿抑制现象，也即相干布居数捕获现象，粒子 完全定域在初始的势阱中。本部分内容分别用缀饰态和明黑态对这一问题作了分 析，通过一些近似，得出结论，明黑态的分析对这一特殊系统发生相干隧穿抑制 现象作了物理解释。最后一部分数值的分析，更是详细的讨论了外加的激光场对 系统隧道效应的影响，并特别的讨论了外场对于左右阱间和上下阱间粒子数布居 分布的影响状况。在一定的情况下粒子不但可以被定域在各自所处的阱里，而且 可以完全定域在较低的势阱里。 关键词：双势阱隧道效应相干隧穿抑制二能级系统 a 型三能级系统 i i s t u d y o ft h e t u n n e l i n g e f f e c ti nw t y p ed o u b l ew e l l d o n g - y a n b i a b s t r a c t n l ct u n n e le f f e c tw a s r e c o g n i z e dl o n ga g od u r i n g t h e h e y d a yo fq u a n t u m m e c h a n i c s i n l 9 2 7 ，h u n dd e m o n s t r a t e dt h a tq u a n t u mt u n n e l i n gi so fi m p o r t a n c ef o r i n t e r m o l e c u l a rr e a r r a n g e m e n t si np y r a m i d a lm o l e c u l e ss u c ha sa m m o n i a s o ，t h r o u g h s e l e c t ee x t e r n a lf o r c e ，w ec a r lc o n t r o lt u n n e l i n ga n dc o n t r o lt h ef r a m eo fm o l e c u l a r s f a s td e v e l e p m e n to f q u a n t u mc o m m u n i c a t i o na n dq u a n t u mc a l c u l a t i o na n de s p e c i a l l y t h em a t u r i t yo f q u a n t u ms e m i c o n d u c t o r p o t e n t i a l st e c h n o l o g ye n h a n c et h ea p p l i c a t i o no f q u a n t u m w e l l l a r g l y 1 1 1 et i m ee v o l u t i o no ft h et w o l e v e ls y s t e ma n dt h r e e l e v e ls y s t e mw h i c hi n t e r a c t w i t hal a s e rf i e l di st h et h e o r yb a s eo f m a n y p r a c t i c a la p p l i c a t i o n m o l e c t r o n i c si so n eo f t h er i s i n gs u b j e c t s i ti n c l u d em o l e c u l a rw i r ea n dm o l e c u l a rs w i c h t h em o l e c u l a rw i r e i sb a s e do nm o l e c u l a r w e i g h tw h i c h c a l lm a k ee l e c t r o nd e l o c a l i z e d i tc a nm a k ee l e c t r o n m o v ef r o mo n ea r e at oa n o t h e ra r e ai no n e c o m p o s i t i v em o l e c u l a re q u i p m e n t m o l e c u l a r s w i c hi sm o l e c u l a r e sw h o s e c o n f i g u r a t i o na n do t h e r s t a t e sc a nb e c h a n g e du n d e r e x t e r i o re l e c t r i c 矗e l do rp h o t l ca n dc h e m i ca n db i o l o g i ce f f e c t t h e yc a r lb eu s e da s s w i c hd e v i c ea n ds t o r a g el o c a t i o n m a n yo ft h e s ed e v i c ee x h i b i t et w ol e v e lt u n n e l i n g c h a r a c t e r i s t i c ，f o re x a m p l e ，t h ee l e c t r i cc h a r a c t e ro fs o m em o l e c u l a rm a t e r i a li sr e a l i z e d t h r o u g h t h e t u n n e l i n ge f f e c to f e l e c t r o nf r o m o n ea r e at oa n o t h e r ；s o m em o l e c u l a rs w i c h i su s i n gt h et a u t o m e r i s mo fm o l e c u l a rf r a m w o r k ，t h i ss o m e t i m e si st h et u n n e l i n ge f f e c t o fe l e c t r o no rp r o t o no rh y d r o g e na t o m s i fw ec a nc o n t r o lt h e s e t u n n e l i n gp r o c e s s t h r o u g h s o m eo u t s i d ee f f e c t , w ec a nc o n t r o lt h e s ed e v i c e i nt h i s p e p e r ，f i r s t ，s o m ea s p e c t s o fq u a n t u m t u n n e l i n g o fa p a r t i c l e i na d o u b l e - w e l lo fm o l e c u l e sd r i v e nb ya ne x t e r n a lf i e l da r es t u d i e dw i t h i nt h et w ol e v e l a p p m x i m a t i o m n 把l o c a l i z a t i o np r o b l e m so fp a r t i c l e sa r es t u d i e dw h e nt h es y s t e ma r e d r i v e nb yf a ro f f - r e s o n a n c ea n d o rs t r o n gl a s e rf i e l d s f r o mt h eh a m i l t o n i a no ft w o l e v e ls y s t e mw e g o tt h ee i g e n v e c t o r s ，t h e ya r cr i g h tf o rt h et w ol i m i t a t i o n s i n s t e a do f d i s c u s st h et w ol i m i t a t i o n so n eb yo n e ；w eg e t s i m p l ee x p r e s s i o n w i t h p r o f o u n d m e a n i n g o u rs y s t e mw i l lr e m a i nl o c l i z a t i o ni no n eo f t h ew e l lw h e n e v e rt h ep a r a m e t e r s o ft h ed r i v i n gf i e l da r es ot u n e dt h a tt h ez e r o t hb e s s e lf u n t i o na t t a i n saz e r o f r o mt h e a s y m p t o t i c s b e h a v i o ro f t h eb e s s e lf u c t i o n si nt h es t r o n g 击e l dr e g i m ew e g o t t h es t o k e s i i i p h a s e t h u sw ea b t a i n d es m p l i ym e a n sa n ds i m p l yf o r ma n dc l e a n o u tt h ep h y s i e a l m e a n i n g s e c o n d ，s u p p r e s s i o n o f q u a n t u md y n a m i c a lt u n n e l i n gi sp r e d i c t e d t oo c c u rw h e na l a s e rf i e l dd r i v e sat r a n s i t i o ni na n i s o l a t e d ，s i n g l em o l e c u l e e m b e d d e di nah o s tm e d i u m t h es y s t e mi sc h a r a c t e r i z e db yt w oe l e c u o n i cs t a t e sw i t hd o u b l e - w e l lp o t e n t i a l sf o rt h e g r o u n d 【t g ) 】a n de x c i t e d 【t g ) 】s t a t e s t h eu n e x c i t e dg r o u n ds t a t ei ss y s m e t r i ca n d t h ee x i t e ds t a t e si sa s y m m e t r i c ae x t e r n a lf o r c eh a v i n gq u a s i r e s o n a n tf r e q u e n c yd r i v e s t r a s i t i o n sb e t w e e nt h eg r o u n da n de x c i t e ds t a t e s ，f o r maa t y p es y s t e m ，w ed i c u s s e d t h i sp r o b l o m ei nt w or e p r e s e t a t i o n ，o n ei sd r e s s e dr e p r e s e t a t i o nt h eo t h e ri sd a r ka n d 嘶曲tr e p r e s e t a t i o n b ys o m ea p p r o x i m a t i o nw eg a i n e dt h es o l u t i o na n dap h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n ，t h r o u g h n u m e r i c a lr e s u l tw ep a r t i c u l a rd i s c u s s e dt h ei n f e c t i o no f t u n n e l i n gb yt h el a s e rf i e l d ，a n do n s o m e c o n d i t i o n ，p a r t i c l e sc r n b ec o m p l e t el o c a l i z e d i no n ew e l lo rb el o c a l i z e di nl o w e rd o u b l e t k e y w o r d s ：d o u b l e w e l l t u n n e l i n g c o h e r e n ts u p p r e s s i o n o f t u n n e l i n g t w o l e v e ls y s t e m a 哪p e t h r e el e v e ls y s t e ms y s t e m i v 第一章引言 1 1 研究现状 量子隧道效应是量子力学的一个基本问题。早在1 9 2 7 年h u n d 1 就提出了 量子隧道效应会对( 如n h 3 ) 三角锥形分子的内部结构有很大的调整作用。氨 分子作为一个典型模型，它的隧道效应现象已是众所周知。近些年来，人们十分 关注分子 2 】和半导体 3 】量子阱中双势阱的量子隧穿效应的研究。适当选择外部 条件便可在不同程度上控制分子结构的稳定性。因此受外场驱动的粒子在双势阱 中的量子力学行为便成为近年来人们研究的热点问题之一。降v 1 0 对于氮分子【l 】，由于n 原子较h 原子重，可以认为它静止不动，其它三个 氢原子组成一个正三角形，它的中垂线通过氮原子，于是系统势能是氮原子到氢 原子平面之距离的函数，于是系统势能是由具有两个外形相同的稳定均衡势阱组 成，它关于正三角平面对称，氢原子在两对称势阱中来回隧穿，形成振荡，分子 振动能级的分裂明白显示了这一现象 1 1 】。h f 镜象 1 2 】等都形成w 型对称双势 阱。如下图： 图1 1 卜取势阱中二能级系统 这一对称双势阱的哈密顿量为【1 3 ： h ( f ) = h o + & c o s 陋) ； f o - = 面p 2 + 矿g ) ； 矿g ) 一4 x 2 + 6 4 1 d x 4 ； 其中矿为对称双势阱势能表达式，s 为外场，当s 为0 或是周期性外场，则势 阱是对称的，s 为静电场，则势阱是非对称的。d = ：卫，表示单位为志的中 九。 间脊的高度。表示每个势阱较低谐波振荡的角频率。f 是以塾为单位的。 在无外场情况下，d 决定了双势阱具有负能量的本征态的个数，t o 为外场频率。 fff，陋m蕊 在双势阱分子的系统中，由于量子隧穿效应，较低的本征态形成双重线，它 是定域在左右势阱中的两个较低态的线性组合。如果隧穿分裂较小，且左右势阱 中的能级调制幅度远小于单个势阱的激发态，系统的跃迁动力学可以很好地通过 两能级近似来描绘。即假设势垒穿透只与较低的两个本征能级有关，分子不能通 过热效应而达到更高能级。所以对于一些两能级系统研究所的结论也可以解释一 些隧道效应现象。 人们特别关注的是如何控制隧道效应，以达到不同的现实要求。在这一方面 科学家们做了大量的研究。通常人们主要集中注意于系统所展示的可能的无序行 为或量予混沌，和它对应的经典部分的关系 1 扯1 6 ，1 9 9 1 年g r o s s m a n n 等人 1 7 - 1 8 发现在外场驱动下的相干隧穿抑制现象( c o h e r e n t d e s t r u c t i o n o f t u n n e l i n g c d t ) 。 这是人类在研究隧道效应以来第一次发现这一现象，这是一个伟大的发现，即一 个高颏波包起始定域在一个势阱中将永远不迁移到另一个势阱中，好像量子隧穿 被冻结了一样。而在之前的l i n 和b a l l e n t i n e 1 6 】还有后来的g o m e zl l o r e n t e 和 p l a l a 1 9 则观测到隧穿几率会由于外场的调制而得到加强或减慢。这两种不同的 现象其产生的外部条件不同，所观察到的这些现象表明了驱动系统中量子隧道效 应的动力学演化是被完全不同的物理机制所导致的。同时对于在经典领域的分析 表明相位相干结构受到干扰是基于非驱动系统的 1 5 - 2 0 】。9 0 年代初一直到现在科 学家们对于如何加强和如何彻底的控制隧道效应做了大量的研究。文献【2 1 】中用 脉冲光作用可使起始不是处在定域态i l ( i r ) 上而是处在本征态1 1 或i2 上 的电子发生定域，此处初始在左右势阱中几率是相等的，证明了可以创造定域， 实验上证明了c d t 的存在。m a r t i nh o l t h a u s 2 2 利用脉冲形状的调制来作用于势 阱，他发现隧穿几率可以比原来缩短好几倍。1 9 9 7 年r a a n a n b a v l i 和p e t e r h a n g g i 【2 3 】 利用圆偏振光，通过两能级近似，使隧道效应减慢，也可以产生相干隧穿抑制现 象。除了在经典的j - c 模型中研究问题外，特别是经典上难以渗透的领域也成为 人们重要的研究方向【2 4 也6 1 ，即，在远共振和强场领域【2 7 】人们也做了大量的研究。 1 9 9 3 年y o s u k ek a y a n u m 2 8 利用传递距阵的形式也得出了在强场极限时的解。 1 9 9 4 年y o s u k ek a y a n u m a 2 9 1 就在这两种极限情况下研究了相干隧穿抑制现象，得 到该系统近似统一的解。同年x i a n - g e n gz h a o 3 0 再次就关于两能级系统的问题， 通过用一个含时的哈密顿量对其进行描述，利用s u ( 2 ) 对称，的到了个关于 演化算符的正式的解。2 0 0 0 年g a l z e t t a , a g o z z i n i ，l m o ia n dg o r r i o l s 【2 6 应用密 度矩阵的办法再度对远共振和强场领域这两极限进行了讨论，并且保留了一阶微 ， n ，、 扰相，得出了两种极限情况的统一解，且在零阶贝赛尔函数j 。1 厶旷、1 为0 时发 l u l 生相干隧穿抑制现象。这些科学家很巧妙地应用了一个特殊的旋转变换，即从能 2 量表象转换到隧道效应表象，使问题转换成用微扰的方法就可以解决，就是以远 共振极限的条件下的量。形、作为微扰分析的较小量，这样二极限就得到了统一。 “， 2 0 0 1 年a s a n t a n a , j m g o m e zl l o r e n t e 和v d e l g a d o 2 5 就同样的模型，同样的外界 条件，对该二能级系统的半经典的缀饰态进行了详细的讨论，该文通过计算系统 的演化算符，同上利用了特殊的旋转变换，保留一阶微扰项，得出在零阶贝赛尔 ， ，、 函数厶 “2 形、 为0 时，系统的一系列缀饰态发生能级交递。这一结论也是该系 lu ， 统发生相干隧穿抑制现象的最本质原因，即，f l o q u e n t 态发生能级交递时，隧穿被 抑制。对于相干隧穿抑制现象，其本质乃是对应与较低态的f l o q u e n t 态的能级交 递，属一特殊的相干布居数捕获现象【3 l 。1 7 】。通常起始的状态是一个定域态，能 级发生交递时，波包( 丸丸) 2 在经过中脊时发散，于是它被定域在初始的势阱 中。通过f l o q u e n t 态讨论相干隧穿也可被抑帛t j 3 2 3 3 1 。前面已提到当外场为静电 场时，势阱不再对称，这时部分较低态，其布居几率是完全在一个势阱中的，并 且这种状态随外静电场的变化是非常敏感的 3 4 1 。理论上对于不对称势阱也有大量 的研究 3 5 】。 事实上这种相干隧穿抑制现象就是一种特殊的相干布居数捕获现象，相干布 居数捕获是场和多能级系统量子干涉效应研究的核心，大多数同量子干涉效应有 关的现象是以此为基础的，因而它是最基本也是最早开展研究的课题。由于相干 场和能级系统间的相互作用，一部分粒子被捕获在一些能级，这部分粒子不再吸 收或发射光子，这种现象被称为相干布居数捕获。它首次由a l z e t t a ，g o z z i n i ，和 m o i o r r i o l s 于1 9 7 6 年观察到【3 6 ，他们用一束激光与钠原子的两个靠得很近的基态 能级和一个激发态能级构成的三能级系统相互作用，并在样品池的轴向上加以一 非均匀磁场，他们在样品池的一个很小的区域内观察到在一片明亮的荧光背景中 的一条暗线。产生这种现象的原因是由于在磁场的作用下，粒子被束缚在两个相 邻的下能级，它们不再吸收光子，激发态能级无法得到布居而出现了暗线。这种 共振而无吸收的状态后来就被定义为相干布居数捕获。量子相干现象还有相干布 居转移 3 7 3 9 相干外场诱发的电磁感应透明 4 0 1 ，无反转激光 4 1 4 5 等。 1 9 8 5 年h i y o o 和j h e b e r l y 在文献【4 6 中说两能级原子不能发生相干布居数 现象。很快这一结论就被k z a h e e r 和m s z u b a i r y 4 7 推翻了，一个由二能级原子 组成的系统，起始处于上下两个态的叠加，在一定的原子偶极子与腔场的相位差 情况下，在该系统中也能发生相干布居数捕获现象。这在双势阱中就意味着粒子 被定域在一个阱中，没有隧道效应现象发生。对于双势阱模型，外场作用一般来 说都将较低的双重线与较高的能态联系起来，对于三能级统有如下模型： 3 2 l 图1 2 星型能级系统图1 3 矿型势阱形成a 型能级系统 这里的相干布居数捕获可以发生在较低的二能级上也可以发生在左阱或右阱里。 2 0 0 2 年v d e l g a d e a n d j m g o m e z l l o r e n t e 2 6 对如图1 所示的模型进行了研究，外 场条件是两个极限，即，较强场或远共振场。得出，当初始的粒子状态处在较低 的态j 1 ) 上时，相干布居数捕获将发生在较低的双重线上，上能态没有粒子数布居， 且两极限的情况一致。当一个单独的分子被镶嵌在一个主体媒质中将形成图2 所 示的模型，其中的上势阱是不对称的下势阱是对称的，对称势阱对应是电子的非 激发态，非对称势阱对应的是激发态。1 9 9 6 年s y a k i l i np r b e r m a n t m m a v e s k a y a 4 8 】对这一问题进行了讨论，1 9 9 9 年e m m a n u e lp a s p a l a k i s 【4 9 】在次 就这一问题进行了研究，应用不同的外场，针对1 9 9 6 年s y a k i l i np r b e r m a n t m m a v e s k a y a 4 8 一文，引用明黑态 5 0 5 1 的物理概念对其做了物理的解释，并 得出了更深一层的结论。 外加电磁场作用下二能级系统和三能级系统的演化是许多实际应用的理论基 础。新兴学科分子电子学其进展包括分子导线和分子开关。分子导线是利用了能 使电子非局域化的分子结构，将电子从集成的分子装置的一个区域移动到另一个 区域。分子开关则是一些在外电场、光场、化学或生物作用下可以发生结构或其 他状态改变的分子，它们有希望被用了来作为开关器件和存贮单元等。很多的这 些器件表现出一种两能级隧穿的特性比如有些分子材料的导电性就是通过电子 从分子的一部分到分子的另外一部分的隧穿或跳跃来实现的；有的分子开关则是 利用了分子的机构互变现象，雨这往往也就是电子质子氢原子甚至原子基团的隧 穿现象。如果能够通过改变外界条件来控制这些隧穿过程，这样就可以操纵这些 器件。这就是人类对自然的主观能动性。 1 2 本文的工作： 1 ) 对于不同的控制隧道效应的外界条件，都必须以系统在绝对零度附近和无 外场时的自发隧道效应现象为根本。所以我们首先利用俩能级近似，以解析表达 式的方式给出在绝对零度附近和无外场时的自发隧道效应现象。 2 ) 本文的第一个主要工作是利用二能级近似研究了受驱动光场作用时的粒子 在双势阱分子中的量子隧道效应抑制现象。讨论了在远共振激发，和在强场激发 情况下的粒子定域问题。在处理方法上从二能级系统的哈密顿量出发，得出系统 的本征矢。它不但适合远共振激发极限，同时也适合于强场激发极限，从而克服 了以往将两极限分开讨论的缺陷，以简单的形式获得了内涵深刻的物理结论。即， 在0 阶贝塞尔函数为0 时，系统将永远保持起始的定域状态，而不发生隧穿，在 强场极限下，利用贝塞尔函数的渐近行为，得出关系系统本质的相位解释。实现 了处理方法和形式上的简单化，物理意义的清晰化。 3 ) 本文的第二个主要工作是，讨论了当单独的一个孤立的分子被镶嵌在一个 主体的媒质中时，形成上势阱不对称下势阱是对称的特殊模型，对称势阱对应的 是电子的非激发态，非对称势阱对应的是激发态。本文就对这一特殊系统进行讨 论，在一近共振外场的作用下，上下两势阱便联系起来，形成一人型三能级系统。 在这种情况下，系统将会发生相干隧穿抑制现象，也即相干布居数捕获现象，粒 子完全定域在初始的势阱中。本部分内容分别用缀饰态和明黑态对这一问题作了 分析，通过一些近似，得出结论，明黑态的分析就是对这一特殊系统发生相干隧 穿抑镱4 现象的一种物理解释。最后一部分数值的分析，更是详细的讨论了外加的 激光场对系统隧道效应的影响，并特别的讨论了外场参数对于左右阱问和上下阱 间粒子数布居分布的影响状况，在一定的情况下粒子不但可以被定域在各自所处 的阱里，而且可以完全定域在较低的势阱里。 第二章基本理论 2 1 辐射场与原子的相互作用 2 li 薛定谔表象和相互作用表象 a 在薛定谔表象中，体系的状态矢量是随时间变化的，遵守薛定谔方程： i ha - - w ( t ) = h w ( 0 ( 2 1 1 ) o t 令： 甲o ) = u ( f ，o ) 、壬，( o ) ( 2 1 2 ) u ( t ，0 ) 称为时间演化算符，可视为体系状态随时间的连续变化，即把体系在时 刻t 的状态甲( r ) 与初始状态甲( o ) 联系起来的一种连续变换。要求： u + ( ，o ) u ( t ，0 ) = u ( t ，o ) u + ( r ，0 ) = 1 或 u + ( ，o ) = u 1 ( ，o ) = 1 ( 2 1 3 ) 即u 为幺正变换。用式( 2 1 2 ) 代入( 2 1 1 ) 得 i h 二一u ( t ，o ) 掣( o ) = h u ( t ，0 ) 甲( o ) 由于甲( o ) 是任意的，所以 i h l 。u ( t ，o ) = h u ( t ，o ) ( 2 1 4 ) 按式( 2 1 2 ) 及初始条件，易见u ( o ，o ) = l ， 解出式( 2 1 4 ) ，( h 不显含t ) u ( t ，o ) = e x p - i h t h 】 ( 2 1 5 ) b 相互作用表象。设体系的啥密顿量为 h ：矾+ v ( 2 1 _ 6 ) 其中v 表示相互作用能。相互作用表象中的态矢甲，与薛定谔表象中的态矢掣，有下 列关系： ( ，) = e x p 【f 乩f 壳】t ( f ) ( 2 1 7 ) 因此 j i h 2 - - q j o ) = e x p i h o t t t 】( i h 。+ h ) 甲，( f ) = e x p i h o f ， 】v 一( ，) = e x p i h d t 蚓ve x p 一i h o f ， 】e x p i h o ，卉】早，( f ) 即 腩昙o ) ；巧( ，) ( f ) ( 2 1 - 8 ) 其中 ( ，) = e x p i h o t 壳 v e x p 一i h o t n ( 2 1 9 ) 6 是相互作用表象中的表示( f ) 和薛定谔表象中的表示v 之间的关系。 2 1 2 缀饰态理论 在辐射场的作用下，原子的波函数v ( r ，f ) 满足的薛定谔方程为 3 i h v - - - w = ( h o + h ) 甲 凹 式中凰为原予的啥密顿量，日为原子与辐射场相互作用的哈密顿量 h ：一( - e ) 2 卢+ 兰二：j ： m c2 m c 在偶极近似下： h = 一面五 式中西= 一口芦 方程( 2 1 1 0 ) 式一般很难准确求解，经常采用微扰方法求解。当h = 0 时( 2 1 i 0 ) 为 访昙甲；。、壬 其解为： y 。= e x p t - f e 。t h 】u 。p ) n = 1 ，2 h o “= e “。 当h 0 时，方程( 2 1 1 0 ) 的解用掣。展开 甲( r ，) = ( t ) e x p - i e t h u 。( r ) 将( 2 1 1 1 ，1 5 ) 式代入( 2 i i 0 ) 式得： 警= 去；( k 川即“t 即为相互作用方程。 ( 2 1 1 3 ) ( 2 1 _ 1 4 ) 对于基态为g ，激发态为m 的二能级原子，按( 2 i 1 6 ) 式，其相互作用方 程可表示为： i d o s = 去h j 。 去铲去h j 。一a g 式中的相互作用矩阵元 日：。= 日二= 一。( e e + e + p “) 式中e 和国分别为外场的强度和角频率。并令丝孥兰：q ，q 为r a b i 频率，且有 ，z 五：国一。；q ：瓣 在强场的作用下，不仅影响原予在能级间的跃迁，而且也影响到原子的能级 能级位移。式( 2 1 t 7 ) 的通解为： m m 他 口。( ，) = e 1 6 t o ( i s i n oe 。“+ c o s o e l o “) a ，( ，) = i e 一地啦( c o s ee 劬以+ i s i n o e o 们) 缀饰原予的波函数方程为 v 。= c o s 0 甲。+ i s i n 曰甲m 掣g = i s i n p 一。+ c o s o q - g ， q - , 。= l d 。e x p 卜i e j h i ( , x 2 + q 2 ) t 】 v ，口= “。e x p 一i e ，t h i ( a 2 一q 2 ) t 】 甲p = “ge x p 一i e # t h i ( l x 2 + n 2 ) t 甲妒= “# e x p 一i e x t h i ( a 2 一q 2 ) t 式中c o s 口：、上丝s i n e ：，堂 y 2 y 2 。 从( 2 1 2 0 ) 和( 2 1 2 1 ) 看出，原子的缀饰态i 屯实际上包括两个能态、主，。 间距为q 。，是外场缀饰在原子上的状态，故称之为缀饰态。 2 1 3 缀饰态表象 因为缀饰态是外场作用的直接结果。为了研究问题的方便，许多情况下人们是 将系统直接转入缀饰态表象来讨论的，缀饰态的性质又简单而准确地反映着系统 的动力学演化特性。 对于一外场作用的系统，其哈密顿量为： 日= q ： 日2 2 h 3 2 1 3 日2 3 h ” l ： ： ： 对应的状态函数是：i 伊 = c l1 1 + c 2l2 + c 2l3 + ， 现将该哈密顿量对角化，所用幺正变换矩阵为u ，即： u + h u = d ，d 为对角矩阵，其形式如下： d = 0 0 如 00 oo 00 00 如0 0 。 其中对角矩阵元就是缀饰态表象中对应缀饰态的本征值。 新的缀饰态为：i 妒 _ u + l 妒 ， ( 2 1 2 5 ) 其中，i 庐 = c ：j 口i + c ：l 口2 + c ji 口3 + 。 ( 2 1 2 6 ) 当中的i q ( f = 1 , 2 ，3 ，) 是缀饰态表象下的新基矢，对应的本征值为 ， ( f = l ，2 , 3 ，- ) 。 变换后的薛定鄂方程形式如下： i 扣扭( 州u + 妄u ) 眇。 h 。= ( 。一；，+ 言u ) 为缀饰态表象下的哈密顿量。 ( 2 1 ，2 7 ) ( 2 1 2 8 ) 2 2 旋转变换 直接求解薛定鄂方程的主要问题之一是设法消去形如e x p i 。一出，h 的因 子，若可以消去它们，得到一个常系数的一阶微分方程组，就可以直接求解。但 是要消去这个因子，除了个别情况外，往往都是困难的。然而，若把实验室坐标 系中的波函数和哈密顿量转化为在与电磁场同步旋转的坐标系中，可以直接消去 这个因子，解出方程后，再做逆变换回到实验室系，得到所求的结果。步骤如下： ( 1 ) 把实验室坐标系中的波函数妒( r ，f ) 变成旋转坐标系中的波函数，作 变换： 伊。r ，j = e x p i a t 尹( r ，f j ( 2 2 1 ) 其中a 是一个对角距阵，它的对角元素是与系统的相应能级耦合的电磁场的频率。 ( 2 ) 求哈密顿距阵在旋转系中的形式。设在实验室系中的薛定鄂方 程是：捕詈妒( r ，f ) = 日( f k ( r ，r ) ( 2 2 2 ) e “h e “7 钆( r ，0 = e a t 跏，f ) = 扩肪兰p ( ，r ) 变换到旋转系中，变成胁“7 这时：= ( 访昙+ m e “伊p ，f ) q 2 3 = ( 腩鲁+ 鲥) ( ，) 因此得到：踊昙( r ，) = g “胁“。一m b 。( r ，f ) - 即旋转坐标系中的哈密顿距阵是： h o = e 4 t ( 风+ h 一m - 一“， ( 2 2 4 ) 从下面的讨论知道，通过适当的近似、旋转变换，很多情况下我们都可以得到不 含时的也。这时可以对薛定鄂方程访云妒( ，f ) = 疗。( ，f 如。p ，f ) ，直接积分得： 妒。( ，f ) = 却。p ，f ) ， m = e x p 一疗。( r f o ) 】， ( 2 2 5 ) 这样求系统的波函数在激光作用下随时间变化的问题归结为求演化距阵m 。 ( 3 ) 求出变换距阵s ，它把波函数系( r ，f ) 变成上l 的本征函数系，使 距阵日。对角化( 这等价与解薛定鄂方程) ： 凡= s h s ， ( 2 2 6 ) ( 4 ) 这时演化矩阵m 变成： 丝- e 叫一寺儿叫 2 7 ) ( 5 ) 变回到旋转坐标系，见的本征态对应的演化矩阵是：m = s 。m ：s ， 时( 2 2 1 ) 式可写作为： 缈( ，f ) = e - t a t 妒。p ，f ) = e “m ( r ，f 。) ( 2 2 8 ) = e - t a t m p “。p o ，t o ) = m o 妒妒，t o ) 因此，只要算出： 。 m = e - t a t m e “， ( 2 2 9 ) 即可用( 2 2 7 ) 式从初始波函数得出系统的波函数在激光作用下随时间的变化。 2 3 关于两能级系统 对于一个一般的量子系统，我们只考虑一类情况，其中只有少数能级，且外 界随时间变化的影响下强烈的相互作用的能级系统。这就意味着只对有限能级间 强烈相互作用的多能级体系的切割。这样两能级系统作为一特殊情况有着极大的 重要性，如核磁共振，量子光学，低温g l a s s y 系统。 设壳。= e 2 一e t ，能量表象中基态为l l ，激发态为l2 ，根据p a u l i 算符玎：， o x ，盯。可得系统哈密顿量为： 1 h e = 一言 o 口：， ( 2 3 1 ) 这里下标 “e ”代表这是在能量表象中。如有外场e 。作用，且表示两能 级之间的跃迁偶极矩。系统哈密顿量可表示为：h ，= 一去壳( 。a ，一g ar y ，) ， 其中一2 e o 2 。； ( 2 3 2 ) 忍 对于双势阱，考虑到两势阱间的隧道效应，在隧道效应表象中的哈密顿量为 日= 一妻a ( o 盯，+ p 盯：) 。 ( 2 3 3 ) 在该表象中研究隧道效应更为方便。这里的基矢i r 和i l 是本征值1 和一l 的仃，的本征矢，其中相互作用能a 。是由于隧道效应所导致的外场为。时的能级 分裂。 0 2 。4 拉普拉氏变换及相关理论 假设，( f ) 是一个在r 2 0 时有定义的函数，( ，) 的拉普拉斯变换的定义为： p 厂( ，) ) = f ( s ) = l ，( f ) e 。d t ( 2 4 1 ) 0 其中，s 一般是复数。如果，( f ) 是指数阶的，即：当f 0 时 i f ( t ) e “i m ( 2 4 2 ) ( 上式中：口和肘是常数) ，那么积分( 2 4 1 ) 定义的拉普拉斯变换只有在 r e ( s ) 口时存在。通常逆拉普拉斯变换公式是这样定义的， 儿) = 去b h 忡岫 ( 2 4 3 ) 在s 平面的积分是沿着b r o m w i c h 等高线进行的，等高线是用方程 s = ，+ 砂，m 为本征态， 仍g ) = 去眵g ) + 矿( _ 工) 】； 伊：g ) = 去【妒g ) 一庐( - x ) 】； 这里，吼g ) = ， 妒2 0 ) = ， 它们与ll 、ir 两定域态存在如下线性叠加关系： ( 3 1 ) ( _ x ) 和庐b ) 是左右势阱中的波函数 i 伊( f = o ) - c 11 1 + c 2i 2 ， ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 在f = 0 时刻我们假定系统状态为： 系统波函数为：妒g ，= 。) = 导斧g ) + 导矛庐( _ x ) ， 其中妒0 ，) = 。 任一时刻的系统波函数为： 妒g ，) = q 伊。g k 一埘+ c ：妒：b x 。n ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) = 写笋蚪2 坞e 一2 黼酽2 _ e 一2 * m 。8 b m 这里，( f = l , 2 ) 是5 1 i 态的能量值，j = 2 一q 是i l 态和l 2 态