（理论物理专业论文）捕获原子中的有限粒子数效应.pdf

摘要 基j 二t h o m a s f e r m i 近似，在不考虑原子间相互作用的前提下，我们分别 对处于三维、二维、1 维谐振子势场中的b o s e 体系干 f e r m i 体系的热力学 性质作了详细的讨论，并得到了有限粒子数效应下热力学量和临界温度 的修正。同时谐振子势场的维数也剥体系的热力学性质产生 r 很大的影 响。 对f b o s e 体系，系统的临界温度随粒子数n 减小而降低。在潴振子 势场的调制卜 ，体系的基态粒子数所占的比蕈、比热均随温度t 的d 次 幂变化，b j n o n ，co ( t “，其中d ；h 谐振予势场的维数。在热力学极限 下，b e c 的临界温度t 2 。( ( i 而n ) ，降低束缚势场的维数有利于提高体 系的临界温度。但是由于有限粒子数效应的影响，体系实际的l 临界温 度要低于热力学情况，这个差别取决于谐振子势场的频率分布和粒子 数n 。而且，随着维数的降低有限粒子数的修正也就越小。在维情况 下，我们无法得到相应的有限粒子数修正项。 对丁f e r m i 体系，同样由于谐振子势场的调制，体系的f e m l i 温度碍0 ( ( 了；) 1 肛，比热也随温度的d 次幂变化为主。有限粒子数效应降低了体 系的实际的f e r m i 温度，这个差别也是由位势的频率分布和粒子数n 决定 的。且随着维数的降低，有限粒子数效应愈规不明显。对于低维情况的 化学势的讨论，我们得到：在二：维情况下，当温度很低时，化学势“不冉 趋于f e r m i u m , 量：在+ 维情况下，“为常数( 谐振子势场的频率定) 。 在这种意义下，一维f e r m i 体系不会有相变现象。 关键词：有限粒子数效应，b o s e - e i n s t e i n 凝聚，量子简并f e r m i 气， t h o m a s - f e r m i 近似 2 a b s t r a c t b a s e do nt h et h o m a s f e r m ia p p r o x i m a t i o n ，t h ef i n i t en u m b e re f f e c t ，a l o n g w i t hd i m e n s i o n a l i t y , h a sb e e nd i s c u s s e df o rab o s es y s t e ma n d f e r m i s y s t e l n t r a p p e di n3 d ，2 d ，1 da n i s o t r o p i ch a r m o n i co s c i l l a t o rp o t e n t i a l ，w i t h o u t c o n s i d e r i n gt h ei n t e r a t o mi n t e r a c t i o n w ei n d e e df o u n dt h er e m a r k a b l e d i f i e r e n c e sb e t w e e nt h ef i n i t en u m b e rc a s ea n dt h et h e r m o d y n a m i c a lc a s e i n c l u d i n gd i m e n s i o n a l i t y f o rb o s e s y s t e m ，t h e c r i t i c a lt e l n p e r a t u r e 疋i n c r e a s ew i t ha t o l nn u m b e r na n dw ca l s of o u n dt h a tt h ed i m c n s i o n a l i t yh a dag r e a te f f e c to ns u c h s y s t e m t h ec o n d e n s a t ef r a c t i o n n o i s p r o p o r t i o n a lt ot 3i n3 d ，t 2i n 2 d ，w h e r e a sti n1 d t h i sr e l a t i o ni sh o l df o rs p e c i f i ch e a te a n dt h e c r i t i c a lt e m p e r a t u r e 掣u n d e rt h e r m o d y n a m i c a ll i m i ti sa l s op r o p o r t i o n a l t 。( 五n 而) 1 3 i n 3 d ，( 五n 两) 1 2 i i l 2 d ，w h e r e a sal i t t l e d i f f e r e n c ei n 1 d ( s e e e q ( 23 3 ) ) t h i sl a wc a nb eg e n e r a l i z e dt o as y s t e mi n a n yd i m e n s i o n d ，i e ( 五n 可) 1 ，d i ti s a l s 。r i g h t f o r n o a n dc ，沁n o ，c 。( 丁“h o w e v ( 、r t h ef i n i t en u m b e re f f e c td e c r e a s et h ec r i t i c a l t e m p e r a t n r ea n dm a k ea n o b v i o u sc h a n g e si n 等a n dc t h ed i f f e r e n c eb e t w e e nf i n i t en u m b e re f t e c t a n dt h e r m o d y n a m i c a ll i m i td e p e n d so i lt h es h a p eo fa n i s o t r o p i ch a r m o n i c o s c i l l a t o rp o t e n t i a la n dt h et o t a ln u m b e rn i ti si n t e r e s t i n gt on o t et h a i , t h ef i n i t en u m b e re r i e c ti sd e c r e a s e dw i t ht h er e d u c t i o no fd i m e n s i o nd f o rf e r m is y s t e m ，t h ef i n i t en u m b e re f f e c ta d d san e g a t i v ec o r r e c t i o n t ot h ef e r l n it e m p e r a t u r ei n3 d 2 dc a s c s w h e r e a sh a sn oe f f e c to n1 d c a n e f e r m it e m p e r a t u r eu n d e rt h e r m o d y n a m i c a ll i m i ti sp r o p o r t i o n a lt o ( 万为) 1 归i n3 d ，( 五为) 1 肛i n2 d ，w h e r e a s ui n 1 d i na d d i t i o n ，t h e s p e c i f i ch e a tch a v eb e e nm a n i p u l a t e du n d e rc o n t r o lo fd i m e n s i o n a l i t y ie c 。( t 4t h ec h e m i c a ip o t e n t i 鲥“h a v eb e e nd i s c u s s e di nl o w e r - d i m e n s i o n s y s t e m t h er e s u l t si si n t e r e s t i n gt h a t 肛d o s en o ti n t e n dt of e r m ie n e r g y e fw h e nt e m p e r a t u r ei sv e r yl o wi n2 d ，w h e r e a si sac o n s t a n ti ni d t h i s m e l k n st h a ti ti si m p o s s i b l et oo b s e r v e p h a s et r a n s i t i o ni n1 df e r m is y s l e m k e y w o r d s ：f i n i t en u m b e r e f f e c t ，b o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t i o n ， q u a n t u md e g e n e r a t ef e r m ia t o m i cg a s ，t h o m a s - f e r m ia p p r o x i - m a t i o n 2 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：卑；幽丕f i _ 1 期：翌磷! 翊 i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位 论文的规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人 授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编 学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：纽指导教师签名：乏盛 r 飙，2 锄门飙裂铡 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 电话 邮编 序言 1 9 2 4 年，印度物理教师s n b o s e 将他的一篇论文寄给了当时正在德国 的a l b e r te i n s t e i n ，并附言道：“尊敬的先生，我冒昧地送卜所附文稿 请您审阅。我迫切地希望能够听到您的意见。我试图不依赖经典电动 力学推导p l a a a c k ( 黑体辐射) 定律的办法是假定相空间体积的基本单位 是舻。我的德文不足以翻译此文。如果您觉得此文值得发表并安排 在( 德国) 物理杂志上，我将不胜感激。”e i n s t e i n 亲自把b o s e 的手稿 翻译成德文，并送去发表。他在文中说道：“我认为b o s e 对p l a n c k 公 式的推导乃是一项重大进步，文中所用的方法也将改变理想气体的量 子理论。”e i n s t e i n 在随后的几篇文章中，将b o s e 所使用的方法( 即 后来称之为b o s e 统计) 推广到了无相互作用的原子情况，这就是著名 的b o s e e i n s t e i n 统计。e i n s t e i n 立刻注意到：根据这种统计方法确定的 有分立能级的原子体系的布居( p o p u l a t i o n ) 会出现一种奇特的现象：在 很低但有限的温度下，大部分原子会集中在最低能量态上。这个现象就 是著名的b o s e e i n s t e i n 凝聚( b e c ) 。 b o s e e i n s t e i n 凝聚产生的条件可简单的表述为：辛甘空间的密度 近似大于1 。我们也可以用另外+ 个条件表出：在热力学极限下 2 ( t h e r m o d y n a m i c l i m i t ) n a k 2 6 1 1 其中n 为粒子数密度，a d b 为d eb r o g l i e 波长，是温度的函数a d b ( t ) = ( 而2 7 r h 2 ) m 但是这个现象在当时并没有引起足够的重视，甚至包括e i n s t e i n 在 内。直至u p r i t zl o n d o n ( 1 9 3 8 ) 和l a s z l ot i s z a ( 1 9 3 8 ) 在解释流体4 h e 的超 流机制时，引用了b e c 的概念，这才引起人们的关7 x 1 1 。也正是这个 工作第一次揭示了b o s e - e i n s t e i n 凝聚的一个重要的特征( 这也是为什 么b e c 如此受人嘱目的重要原因) ：b e c 向人们展示了宏观物体的量 子力学行为2 。尽管关于4 h e 的超流机制仍然存在一些争论，但是3 h e 和4 日e 中的超导和超流现象与b e c 有联系是被普遍认同的f 1 ，5 1 ，尽管这 两种流体与e i n s t e i n 所考虑的理想气体的物理特性相差甚远。 七十年来人们一直在寻找b o s e e i n s t e i n 凝聚存在的直接证据3 。这个 伟大的探索最早是从极化氢开始的f 3 ，4 1 。这种物质被冷却到趋近丁绝对 零度时，仍可以保持气态。在自旋极化氢巾，所有氧原子的自旋都指向 同一方向。这样的气体如同氦一样都是惰性气体，因为两个氢原子要形 成一个原子的话就必须具有相反的自旋方向。在所有元素中，只有这种 形式的氢才能在温度接近绝对零度时始终保持气态。然而事情并不像想 象的那么简单，由于极化氯在低温下的古怪性质，直t , j b e c 在碱金属原 子气中实现后的三年 2 ，7 ，我们才观测到极化氢的b o s e 凝聚6 1 。 在制备b e c 的实验中两个关键的技术：一个是磁势阱( m a g n e t i ct r a p 1 有的文献也将此条件称作e i n s t e i n 条件 2 由于经典宏观物体具有很大的内部自由度且互相关联。这使得他们之问的波蛹数互相叠加这些 叠加的总的效果使整个体系的相干项消失。陶此我们无法观测到他的量子力学行为 3 1 9 9 5 年美国国家标准技术局( n i s t ) f i g eac o m e l l 和cew i e m e n 率先在实验室中得到f b e c 【2 】2 3 ) ，它是一个不均匀的磁场。利用这个磁场可以将具有磁矩的原子束缚 在定域空间内；第二个是蒸发冷却技术( e v a p o r a t i n gc o o l i n g ) 8 ，通 过这种方法将势阱中的较“热”的原子“蒸发”出去，使样本气体的温 度进。步降低。 为了防止气体原子之间的相互作用过于强烈而形成分子，同时由 于e i n s t e i n 条件的限制，样本气体的粒子数密度必须保持一个合理的 限度。1 9 8 7 年，磁光阱( m a g n e t i c o p t i c a lt r a p ，m o t ) 技术的出现开创 了b e c 研究的新纪元。m o t 技术的关键在于磁场和光场对样本气体的联 合束缚。首先利用不均匀磁场将气体固定在磁光捕集器内，同时用六束 从不同方向射出的激光照射样本，利用光波的d o p p l e r 效应，原子只吸收 与其运动方向相反的光子，使原子的速度减慢。利用m o t 我们可以将样 本气体的温度冷却n l o 一1 0 0 # k ，粒子数密度维持在茎1 0 1 2 ，并保 持样本为气态4 。进一步的冷却并使体系的粒子数密度增加由于冷却原 子对激光的光散射，而变得很困难。 下一步是关闭激光器，由于磁场的束缚，样本气体不会逸出磁捕集 器。这时我们可以用蒸发冷却的办法使原子体系的温度进一步下降。这 个过程取决于原子由束缚态向非束缚态的转变，也就是说是磁捕活器中 原子通过碰撞交换能量，这使得部分原子的能量达到足以逃出磁场的束 缚。这些逃逸的原子带走了多余的热量，使样本的温度不断的降低。当 达至i j b e c 的临界温度正时，原子开始在势阱的能量基态上聚集，b e c 出 瑚了。 4 我们可以对这个密度范围作如下粗略的估算：在标准状况f ( 2 7 3 k ，一个标准大气压) 1 m o l 气体 所占的体积为2 24 1 0 3 c r n 一3 由关系： pp ， 亍2f 肖丁= l o t k 时口一1 0 1 2 c 竹z 一3 4 ， ， + 气：斗 嚣_ - 糊刚 坩l 枷瞄恤 删一h ，彬丽；露f 1 与a 乙弓艺 = 勰：= ：= = = = ：= ：= ：慧：“一“删蝴b t h 墙口n _ q “- 岫 月- - _ ”：h 瑚t - d 。p _ “v 。t v 畔h m 1 9 9 5 年，美国国家标准技术局( n i s t ) 和c o l o r a d o 大学的e a c o r n e l l ，c e w i e m a n 使用碱金属8 7 励的蒸汽利用e 述的实验方法制备了世 界卜- 第+ 个b o s e - e i n s t e i n 凝聚体f 2 1 。紧随其后，麻省理工学院( m i t ) 的w o m ek e t t e r l e 也得到了2 3 n a 蒸汽原子的b e c t 。2 0 0 1 年度的n o b e l 奖 金也因此授予了e a c o r n e l l ，c ew i e m a n ，w k e t t e r l e 以表彰他们在 “捕获稀薄碱金属原子的b o s e e i n s t e i n 凝聚和对凝聚体特性的早期基础 性研究所取得的成就。” 就像前面所提到的，b e c 所表现出的宏观物体的量子行为不得不使人 联想到流体氦的超流性质和金属的超导性质这样一些宏观物体所表现的 量子行为。他们之间似乎存在某种必然的联系f 5 1 。理论上的_ 重大困难在 于组成流体的粒子之间存在强烈的相互作用，这种强作用在b e c 中是不 存在的。b e c 中的每个原子d eb r o g l i e 波相互重叠( 见上图) ， 我们可以利用同一个波函数来描述：每个原子都具有相同的运动方向， 相同的振动频率和相同的振动相位。通过对b e c 控制，我们可以控制任 何个原子。b e c 达到了精确控制的极限。激光器发射出的光子束具 有与b e c h 同的特性，很自然的想法是如果将b e c 发射出去，形成原子 束。这样我们将得到精确度达到原子量级的测距工具。我们把这样的原 子束形象的称之为原子激光( a t o ml a s e r ) 。原子激光5 可以被发射、聚 焦、衍射以及进行频率调制和振幅调制等等，这样的控制可以极大地 改进现在的原子时钟、基本常数的精密测定的精度。甚至有人设想利 用b e c 发展原子芯片技术，并以此为平台发展“物质波集成电路”。我 们无法想象原子激光器的发展前景，就像四十年前激光器刚刚出现时我 们无法想象今天他已经深入到我们的日常生活的方方面面。前途是光明 的，道路是曲折的。原子激光继续向前发展的一个不小的障碍就是：我 们希望原子束能够在空气中不受影响的传播6 。 1 9 9 7 年麻省理工学院( m i t ) 的wk e t t e r l e 的实验小组得到了第一束 原子激光 9 。他们利用射频脉冲连续照射凝聚体，使凝聚原子的自旋翻 转，从而摆脱磁捕集器的束缚，并在重力作用下运动形成新月状凝聚体 脉冲。在此以后，其他一些研究小组也实现了原子激光f l o 。原子激光束 也可以被放大( 使更多的b o s o n 子凝聚) 和观察j f 线性效应。 如前所述，b e c 具有很好的相干性。当两个不同的b o s e 凝聚体在 空间区域重叠时，会出现类似t y o u n g 氏双缝干涉的条纹f 1 1 1 。利用 凝聚体相干特性我们可以得到多粒子体系的纠缠态( m a n y - p a r t i c l e e n t a n g l e m e n t ) 1 2 。b e c 的波函数是一个量子力学纯态( p u r es t a t e ) ， 由于含有大量的原子，它们之间的内部自由度可以通过外部激发的方法 5 史确切地说埘该是b o s e 凝聚体的物质波。 6 原子束穿过非真空介质时m 十与粒子的碰撞会使粒子柬散身j 直生消失 6 使之与外部自由度耦合，在时间演化下形成多粒子的纠缠。b e c 开刨了 量子信息学的新途径。但我们也注意到，实现量子计算的物理装置需满 足以下三个条件：相干性、可操作性、规模化。b e c 具有很好的相干性 和可控制性，但是b e c 的形成需要非常苛刻的物理条件，限制了b e c 不 可能像晶体二极管那样大规模的集成。 将一个系统束缚在低维空问时，常常会引发一些新的实验现象 的出现。典型的例子就是二维电子气的量子h a l l 效应( q u a n t u mh a l l e f f e c t ) 。众所周知，对于热力学极限的均匀理想气体，当空间维数d = 2 时，b e c 的临界温度砟= o k ；当d = 1 时，则不会出现b o s e 凝聚现象。 更严格地理论推导已经将上述结论推广到了存在相互作用的b o s e 体系 中f 1 3 1 。引起人们兴趣的是这个结论并没有告诉我们当体系处于束缚势 中时，会有怎样的结果。特别是在实验中，凝聚的原子气束缚在有限的 空间范围内，具有有限的粒子数。这些特点使得实验室中的原子气体可 能出现完全不同于热力学极限下的热力学特性。理论计算表明：当体系 处于束缚势场中时，对于二维b o s e 体系的温度满足耳丁= 亢u 、警 1 4 ； 对于一维体系温度满足t = 0 2 t o f 2 0 1 ( 其中死是理想b o s e 气体凝聚温 度) ，仍然会有b e c 现象出现。但是列于一维b o s e 系统由于存在较强的 相互作用，凝聚体在较低的温度下会出现很大相位涨落1 6 ，因此严格 地说这时候的凝聚只能称之为准凝聚( q u a s i c o n d e n s a t i o n ) 。类似地，在 适当低的温度下，二维b o s e 体系的凝聚体也会出现大幅的相位涨落1 7 1 。 2 0 0 1 年，麻省理工学院( m i t ) 的a g s r l i t z 等人f 1 9 1 ，成功地在m o t 中 得到了低维的b o s e 凝聚体。他们通过降低三维凝聚体平均场相互作用 能，使得处在捕获位势中的原子气在一个或两个方向上受到更紧的束 缚，原子在这些方向，卜的能级差远大于其他方向卜的能级差，从而得 7 到低维的b o s e 凝聚体。其他实验还有6 助7l i 2 0 1 和在微型芯片卜实 现b e c 【2 1 1 。 自从b o s e ，e i n s t e i n 凝聚诞生以来，无论试验探索还是理论研究都取得 了长足的进步。但同时我们也注意到这样一个情况：大部分的理论研究 都是在热力学极限下( n 一。，v c o ，v c o n s t a n t ) 进行的。我 们已经注意到，由于对捕获原子气空间体积和密度的限制，实际卜被束 缚的原子数只有1 0 9 ，凝聚的原子数则更少，只有1 0 3 ，远远偏离热力学 极限的要求。在这种情况下，b o s e 凝聚体的热力学性质必然会受到有限 粒子数效应的影响而发生改变。如何确定这种效应对凝聚体特性的影 响，成为摆在我们面前亟待解决的问题。这也是作者撰写本文的目的。 相对于b o s e 体系，f e r m i 体系由于p a u l i 不相容原理( p a u l ie x c l u s i v e p r i c i n p l e ) ，不会出现大量粒子凝聚在最低能级上的现象。然而物质 的低温性质无论在实验上还是在理论方面，都是个吸引人的主题。因 为一些奇特的现象常常出现在这领域内。1 9 9 9 年。b d e m a c o 的实验 将f e r m i 体系冷却到b o s e 凝聚温度以内 2 2 。这使得我们对f e r m i 体系的低 温性质的研究成为可能。但我们也注意到p a u l i 不相容原理限制了每个 量子态只能被一f e r m i 子占据，这样我们就不可能将大量的粒子冷却到很 低的温度7 。我们无法运用热力学的方法进行讨论。有限粒子数效应再 次扮演了个不容忽视的角色。 本文着蕈于讨论有限粒子数效应和空间维数对捕获在非均匀谐振子势 场巾的b o s e 年t 1 f e r m i 体系的影响，这里仅仅局限于讨论无相互作用的情况 ( 在低温情况下，b o s e ( f e r m i ) 体系中原子之间的相互作用很小，可以忽 略不计) ，这样体系的热力学性质可以直接由配分函数计算得到。 7 在bd e m e c o s j 蛮 h _ 有7 1 0 5 被捕抉 2 2 】 第1 章 b o s e e i n s t e i n 凝聚 b o s e - e i n s t e i n 凝聚是纯粹的量子力学效应，可概括为动量空间中的原子 的凝聚( 此时凝聚的原子的具有最小的能量，但不一定为零【2 3 ) 。本章 首先简要回顾了低温理想b o s e 气体的热力学特性，然后对简谐振子势场 中的理想气体进行了详细的讨论。我们将看到由于束缚势场的影响，理 想b o s e 气体性质将发生一些变化。 1 1 自由理想b o s e 气体的b o s e e i n s t e i n 凝聚 2 3 ，2 4 在热力学极限下( 、r 一。，1 7 一。，a r c o n s t a n t ) ，处于平衡状态 的理想b o s e 气体的配分函数、粒子数分布分别为： l n e = 一f f n ( 1 一z e 毋)( 1 1 ) z 一 、 = 吼= 志， ( 12 ) 其中卢= 1 ，b t ，z = e o “定义为气体的逸度( f u g a c i t ) ) f 2 6 c 9 热力学极限下，单粒子的能谱趋于连续，上两式的求和变为积分 z 凡三= 一= 1 7 其中a 为原子d eb r o g i e 波长， ，、= 夕。( o ) = 嘉螂( z ) 一1 邮一：) 11 ，、 1： ；2 两9 3 2 + 矿r i g 。( z ) 为b o s e 积分， ( 2 7 r m k b t ) 1 2 丽1z 。未出 ( 1 3 ) ( 14 ) ( 1 5 ) 0 2 1 ，( 16 ) 方程( 1 4 ) 中的右边第二项来自于原子在能量基态上分布。n b e c 开始 出现时，他将占有重要的位置。我们把方程( 14 ) 写成如下的形式： 堕：! 一9 3 ，。( ：) ，( 1 7 ) 其中 一吾南。当：一1 时，大量的原子将在单粒子的能量基态上 聚集， 急剧增加，这就是著名的b o s e e i n s t e i n 凝聚现象。 从上面的讨论中我们注意到b e c 的产生需满足下列条件( 注意 到b 0 8 e 积分9 3 2 ( z ) 是z g a i n n 函数) ： - - 菩 9 3 2 ( 1 ) _ 2 6 1 2 ( 1 8 ) 这就是e i n s t e i n 条件，即当以原子的d eb r o g l i e 波长为长度的空间体积内 的原子数如果不止一个，原子的波函数互相重叠，b e c 出现了。由 二式 我们可以得到理想b o s e 气体b e c 的临界温度： 耳正= 面丽2 v h 2 9 ( 19 ) m 口( i i f o 1 0 c y n _ l c 。 1 9 2 ； 1 s 正 吲11 ：理想b o s e 气体的比热随温度的变化 下面给出了理想b o s e 气体在l 临界温度附近的。些性质，详细的推导请 参阅相关的教科书。 热力学势 比热 半= h 秽胆鬟 丽u ：3 肛裂d 瓦 ( 1 1 1 ) 娜旧3 2 躺t 正： ”。 1 1 j 9 丽g s 2 ( z ) ，t 咒 2 1 t 聊2 8 ) 在t ：疋，c 有最大值，且( 衍o c ) t ；t c 在该点不连续，这表明b e c 出现。对 比( 2 1 4 、1 5 ) 式和( 2 2 7 、2 8 ) 式，我们注意到三维情况下白随温度的 三次幂变化，被二维势场的二次方规律所代替。这同样也是捕获位势调 制的结果。 2 3 一维b o s e 体系 s o ，3 1 】 在本节我们讨论一维捕获位势b o s e 体系的热力字性质。 一维谐振子势场中的b 。s e 子具有如下的能级： 己： 。( n + ；) 则配分函数为： q ( 8 ) = 二斋 则由( 2 4 ) 式定义的有效态密度： 舶) = 三 考虑个束缚在 f 22 9 1 ( 23 0 ) ( 2 3 1 ) z 、o c 图24 ：一维束缚势场中凝聚的原子数随温度的变化。图中的点线、长划线、实线分别 对应n = 1 0 0 0 ，5 0 0 0 ，1 0 0 0 0 。 我们注意到体系的态密度仪仅取决于谐振子的振动频率。因此我们只需 通过改变谐振子的振动频率，就可以达到控制体系的内部状态的目的。 这里再一次体现了外部势场对体系热力学性质的调控作用。 由( 2 7 ) 式体系的总的粒子数为： = n 。一历1l n ( 卜瓤 ( 23 2 ) 鼬j b e c 的临界温度满足如下的方程： 1 + 慧l n 丽g o _ 0 ( 2 3 3 ) 在图( 24 ) 中我们画h 了在不同粒子数情况下，基态粒子数随温度变 化的曲线。我们同样得到疋随粒子数得增加而增加的结论。 将( 23 1 ) 式代入( 21 2 ) 式得到一维b o s e 气体的热力学势： 1 u 2 ”o f - 。+ 壶9 2 ( 2 ) _ ( 23 4 ) 2 5 则体系的比热为 c ：甓b r 。：挚卯( 1 ) 丁 1 v u t 瓦， 丁 l ( 23 5 ) ( 2 3 6 ) 比热近似随温度线性变化，在t = 正由最大值，且( 斋) t ；露在该点不连 续。 到此为止，我们已经对b o s e 体系在各种维数的捕获势场中的热力学性 质作了详细的讨论。我们发现在外势场的调制作用下，体系的热力学性 质发生了很大的变化。我们也注意到通过降低束缚势场的维数，可以达 到使b e c 的临界温度升高的目的。 另一个需要注意的问题是：有限粒子数效应下，b e c 的出现不能简单 的看作是热力学相变过程。这是因为凝聚的粒子数非常有限，而相变是 体系的宏观行为。 第3 章 捕获f e r m i 气体中的有限粒子数效应 由于遵循p a u l i 不相容原理( p a u l ie x c l u s i o np r i n c i p l e ) ，f e r m i 体系不会 出现类似b o s e - e i n s t e i n 凝聚的大量原子聚集在同一量子态上的现象。尽 管如此，f e r m i 表现出的量子简并特性和在低温情况下的耦合f e r m i 凝聚 ( p a i r e df e r m ic o n d e n s a t e ) 先驱者的形象，仍然值得引起我们的广泛关 注f 3 2 a 。 1 9 9 9 年，b d e m a r c o 和d sj i n 的实验使我们窥视f e r m i 体系在低温 下的热力学性质成为可能f 2 2 1 。与带有电荷的f e r m i 子( 例如固体物质中 的电子和核子) 不同，中性原子气的f e r m i 统计只有在很低的温度下才 能发生( 大约低于1 0 - 7 k ) ，而且在这么低的温度范围内，由于p a u t i 不 相容原理的限制，原子只能在有限的能级匕分布，冈此f e r m i 体系的数密 度允许我们将体系看作理想f e r m i 气体来处理。进一步的，根据碰撞的 选择定则，对于自旋极化( s p i n p o l a r i z e d ) f e r m i 气体( 例如处在磁场中 的6 “和如k ) ，在量子统计简并情况下仍然处于亚稳定( m e t a s t a b l e ) 状态3 3 ，这样使得我们可以很容易的得到体系的热力学性质。而且在这 种情况下，稀薄气体f e r m i 子5 波散射振幅由于多体f e r m i 波函数的反对称 性质而互相抵消3 2 。p 波在低温情况下可忽略不计。综卜所述，量子简 并f e r m i 气体完全可以看作理想气体来处理。 唯一存在的相互作用是原子之间的磁偶极相互作用( m a g - n e t i c d i p o l e d i p o l ei n t e r a c t i o n ) 他对原子能量的贡献为 = ( h a d ，) ，其中是原子的质量，a d 1 0 1 0 m ，他的影响完全可以忽 略 3 3 1 。 在低温情况下，由于f e r m i 子开始在较低能级上分布。因此，t h o m a s f e r m i 近似这种情况下仍然有效，即k b t u 。 在前面的论述中我们也注意到：由于p a u l i 不相容原理，在低温情 况下，原子只能在较低的能级上分布，特别是对于处于束缚势场中 的f e r m i 体系，由于空间区域的限制，体系中的原子数非常有限。因此， 对于有限数目的理想f e r m i 气体，通常的热力学方法不再适用，有限粒子 数效应在一次扮演了重要的角色。 对于低维的f e r m i 体系，维数的降低使原子之间的相互作用更加 明显的改变体系性质。由于在低维束缚势场中量子涨落明显，并且 体系内部的各种关联也随之加强 34 】 这些都将导致一些非常奇特 物理现象。例如二维f e r m i 体系的超流态( s u p e r f l u i ds t a t e ) 转变1 8 和一 维f e r m i 体系的l u t t i n g e r 流体( l u t t i n g e rl i q u i d ) 的自旋一电荷分离( s p i n c h a r g es e p e r a t i o n ) 3 4 卜这虽然不是本论文的讨论范同，但有限粒子数 在这里仍然扮演一个不容忽视的角色。 本章根据t h o m a s f e r m i 近似，同时采取对配分函数高温展开的方法， 分别讨论了三维、二维、一维理想量子简并f e r m i 气体的有限粒子数效应 及其对各热力学量的影响。 3 1 三维量子简并f e r m i 气体 2 8 考虑个自旋极化的f e r m i 子束缚在三维谐振子势场( 11 3 ) ，t - k a t u 。，我们可以对体系的配分函数进行高温展开，得到与b o s e 体系相同 的有效态密度1 根据p a u l i ：不相容原理，f e r m i 体系遵循f e r m i d i r a c 分布： 1 n ( 易) 2 万i 而- ( 31 ) 则体系的总粒子数为： = 莓媚，= z 。并一e ( 32 ) 将( 2 5 ) 式代八，得： ，= 象加) + 岳胁) + 等价) ( 33 ) 其中，n ( z ) 是f e r m i 积分， 肌) = 丽1 。兰南出 ( 3 a ) ( 3 3 ) 式中的第二、三项来自有限粒子数效应。在后面的讨论中我们将 看到他们对体系热力学性质的影响。 引入特征温度： 砰= 而1 ( 丽n 两) 1 3 ( 3 5 ) 表示在热力学极限t f e r m i w m 度，它满足k b 砰= 。| 二式中z f = z i t ：雄。则由( 33 ) 我们得到有限粒子数效应对f e r m i 温度的修正： 耳= 啦一轰艮粼一黔揣l ( 36 ) 维、一维f e r m i 体系具自类似的情况咀后小再赘述 2 9 其中艮= 焉i 茸。上式中第二、三项是有限粒子数效应下的修正。我们注 意到这时的f e r m i 温度要低于热力学的情况。 下面我们讨论一下量子简并情况下的f e r m i 体系的比热行为。体系总 的热力学势为： u = z 。瓣崛 ， 这里我们略去了体系的基态能量。将( 2 5 ) 式代入上式得： u = 象，4 ( z ) + 象，3 ( z ) + 鲁，2 ( 巩 ( 3 焉) 上式中第一项是热力学极限下的结果，第二、三项来自有限粒子数修 正。则体系的比热为： 蕊c = 歹4 5 2 川, z ) + ，3 ( ：) + 警，2 ( 。) 一3 b 2 盘丝堕垒堕一 3 6 l ，3 ，2 ( z ) ( 2 ) 2 3 2 a 2 ( z ) 3 b o 艘( ：) ，3 ( ：) 2 3 f l 2 ( z ) ( 39 ) 在上式中前三项起主要作用。其中第一项是热力学极限的结果，筇二、 三项直接由有限粒子数修正项得到。我们很明显地看到：有限粒子数效 应下，f e r m i 体系的比热要高于热力学极限下的情况，并且c 随温度的三 次幂变化，而不是热力学极限下的线性变化f 2 3 ，2 4 1 。这个差别是由于束 缚势场的改变了粒子的能级分布，并继而影响了体系的热力学性质。这 与b o s e 体系具有相似之处。 3 2 二维f e r m i 体系 3 l 】 由( 3 1 ) 和( 3 2 ) 式，直接将二维体系的有效态密度 得n - - 维f e r m i 体系的总的粒子数： = 嘉球) 十鲁胁) 3 0 ( 2 2 1 ) 式代入 f 3 1 0 1 其中第一项仍然为热力学极限的结果，第二项为有限粒子数修正。同 样，我们定义温度： 露= 去( 志妒 ( n 1 1 ) 表示在热力学极限下二维f e r m i 温度。则考虑有限粒子数效应得： 野= 唧一志渊】， ( 3 1 2 ) 其中第二项是有限粒子数带来的修正。同样在这种情况下，有限系统 的f e r m i 温度要低于热力学情况。这个差别主要取决于粒子数的大小和 谐振子势场的频率分布。 化学势在f e r m i 系统中扮演着重要的角色。由( 3 ，1 0 ) 式我们得到的 表达式为： p = e f 以丽丽( 1 一! 一j 6 1 2 ( z f ) 露2 占1 矗(