（应用数学专业论文）脉冲无限时滞微分方程零解的一致渐近稳定性.pdf

考虑脉冲无限时滞微分系统： 摘要 圣( ) = f ( t ，z ( ) ) ，t t 。，t t k ， z ( 亡七) 全x ( t ) 一x ( t 一) = 以( z ( i ) ) ，k = 1 ，2 ， z 叮= 妒，一。 t 跫, , t # t 二k ， t h e s t u d yo fs t a b i l i t yi so n eo fb a s i ca n di m p o r t a n ts u b j e c ti nt h er e s e a r c ho fi m p u l s i v ef u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h i sw o r k , i ti sc o n s i d e r e df o rt h es t a b i l i t yo fz e r os o l u t i o no fi m p u l s i v e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi n f i n i t ed e l a y b yu s i n gl y a p u n o vf u n c t i o n a l sa n dt h en e wr a z u m i k h i n t e c h n i q u e ，t h eu n i f o r m l ya s y m p t o t i c a ls t a b i l i t yo fz e r os o l u t i o no fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t hi n f i n i t ed e l a yi sd i s c u s s e d s o m ek n o w nr e s u l t sa r ee x t e n d e da n di m p r o v e d t h en e wr a z u - m i k h i n t e c h n i q u ei sf i r s te s t a b l i s h e db ys h u n i a nz h a n g w i t ht h ep i e c e w i s ed e f i n i t i o n ，t h es t r u c t u r e o fl y a p u n o vf u n c t i o ni ss i m p l e rt h a nb e f o r ea n dm o r eg e n e r a lr e s u l t sa r eo b t a i n e d ，w h i c hh a v e s t r o n ga p p l i c a b i l i t ya n do p e r a b i l i t y a ne x a m p l e i si n t r o d u c e da tt h ee n do ft h ep a p e rt oi l l u s t r a t e t h ea d v a n t a g eo fo u rr e s u l t s k e yw o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi n f i n i t ed e l a y ；u n i f o r m l ya s y m p t o t i c a ls t a b i l i t y ； l y a p u n o vf u n c t i o n a l s ；r a z u m i k h i nt e c h n i q u e s 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，进行的研究工作及取得的研 究成果除文中已经注明引用的内容外，本论文的研究成果不包含任何他人撰写过的己公开 发表或未公开发表的研究成果，对本文所涉及的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已 在文中以明确的方式标明并表示谢意本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担 学位论文作者签名马缃嘭 ， 砑年6 月，乡日 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关收集、保存、使用学位论文的规定同意如下各项内 容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保留学位论文并向国家主 管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，并采用影印、缩印、扫描、数字化和其他 手段保存论文；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制或全部内容用于学术活动并允 许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索；有权将 学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：马缃前屿导师签名 d 岳年多月，多日孝年 第一章引言 第一章引言弟一早 ji 石 由于近代科学技术的发展，在许多科学领域的研究中，例如：力学，物理学，生物数学，经济 数学，自动控制，通讯理论等，都需要借助于微分方程作为他们的数学模型，这些问题实际上 都是假定事物的变化规律只与当时的状态有关，而与事物过去的历史无关就一阶常微分方 程 e ( t ) = f ( t ，z ( t ) ) ，x ( t 。) = c 而言，它所描述的物理量z 在时刻t 的变化率e ( t ) 是仅仅依赖于时刻t 和z ( ) 本身的而不 依赖于z 在时刻t 以前的取值但是，在现实世界中，客观事物的运动规律是复杂和多样的 大量事实证明，事物的发展趋势不仅依赖于当前的状态，而且还依赖于过去的历史状态本世 纪以来，自然科学和社会科学的许多学科中提出了大量的时滞动力学系统问题，如核物理学， 电路信号系统，生物系统，化工循环系统，遗传问题，流行病学等社会科学方面主要是各种经 济现象时滞的描述，如商业销售问题，财富分布理论，资本主义经济周期性危机，工业生产管 理等，各种工程中的时滞现象更为普遍，特别是自动控制系统在这种情况下，微分方程显然 不能很精确的描述客观事物了，取而代之的是带有时滞的微分方程一一泛函微分方程事实 上，动力系统中总是不可避免的存在滞后现象，如在自动控制装置中，从输入信号到收到信息 反馈，必然相差一段时间，因此用传统的微分方程去描述系统的状态只是一种近似，必须符 合所要求的精度才可以，否则将导致错误时滞动力系统的数量庞大，形式也较为整齐，自变 量t 通常表示时间时滞可以使稳定系统不再稳定，有时甚至很小的时滞就可以导致混沌正 是基于这些原因，时滞微分方程的研究引起人们极大的兴趣对时滞微分方程的研究不仅具 有重要的理论价值，而且具有相当大的使用价值 近些年来，无论是一般的时滞微分方程，还是较具体的微分差分方程，其发展都是相当迅 速的在解的基本理论，稳定性理论，周期性理论，振动理论，分支理论等方面都出现了很多重 要结果而且每年都有数亿百计的论文问世专著也陆续出现( 【2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 】) 无穷时滞和 无界滞量的泛函微分方程随之兴起，它们与有界滞量的泛函微分方程形成三大方向，发展非 常迅速 第一章引言 在很多领域中，由于对一个动力系统加入脉冲能够使不稳定的系统变的稳定，而且脉冲微 分方程在利用数学模型解决现实生活中的一些现象方面比微分方程更为恰当、准确，这使脉 冲微分方程被广泛应用脉冲微分方程的理论最早是由m i l ，m a n 和m y s h k i s 在他们合作的 文章中提出的( 见文献【6 】) 近年来已经取得了很多成果( 【7 】， 2 9 1 ) 稳定性问题是脉冲泛函微分方程理论研究中的一个基本而又重要的研究课题许多作 者对其进行了广泛而深入的研究，并取得了大量的研究结果( 见文献【9 1 4 1 ) 在稳定性理论 的研究中，李雅普诺夫第二方法是一种非常重要且行之有效的方法( 见文献 8 1 ， 1 5 1 ) 但李雅 普诺夫泛函的构造没有一般规律可循，只能针对系统凭经验尝试着去构造同时，由于人们 构造的李雅普诺夫泛函形式上的不同，得到的结果也会不同，使用的范围也有所不同在文 献【3 ，1 5 1 7 1 中利用李雅普诺夫泛函和r a z u m i k h i n 技巧讨论了有限时滞的脉冲微分方程的 稳定性，使研究难度大大降低 然而，在现实生活中，存在大量具有无限时滞的模型例如：在捕食者被捕食者系统中，捕 食者会降低被捕食者种群的平均增长率，因为在捕食者幼年时，它是没有能力捕食被捕食者 的，它必须成长一段时间，这段成长期在数学上假定是无限时滞但有限时滞的脉冲微分方 程的稳定性理论是不能直接推广到无限时滞脉冲微分方程的其困难之处在于它的象空间 为( 一o 。，t o 到舻的函数空间因为( 一，t o 】不是紧的，因此相空间的元素即使是连续函数， 其性质也不是很理想的所以在讨论无限时滞的脉冲泛函微分方程的时候，我们需要对它的 相空间建立一套限制性公理系统，如文献 3 0 1 ，【3 l l z p 所叙述的公理系统 本文考虑脉冲无限时滞微分系统： l 圣( ) = i ( t ：z ( ) ) ，t t 。，t t k ， a z ( t k ) 全z ( ) 一z ( 一) = 以( z ( i ) ) ，k = 1 ，2 ， 【z 盯：妒， 一。 t 。 o l - - 0 0 ，假设f ( t ，x ( s ) ：q s t ) 或者，( ，z ( ) ) 是一个v o l t e r r a t y p e 型函数，它的值域 是舻中的某个区域，其函数值是由t ( t t 。) 和z ( s ) ( s q ，t 】) 的值决定的当q = 一时， 区间 o l ，t 】就相当于( 一，t 】 我们考虑v o l t e r r a t y p e 型的脉冲无限时滞微分方程组： 烈d = f ( t , x ( ”， 以。舢b ( 1 ) 【a x ( t k ) 全x ( t ) z ( t 一) = 以( z ( t i ) ) ，七= 1 ，2 ， 其中圣( t ) 表示z ( ) 的右导数，t 。 t 七 t 。，定义p c ( t ) = 尸c ( ( 一o o ，】，形) = 咖：( 一，t 】- - - - - - - - or n ，( t ) 是除了 有限多个点t = t 七之外几乎处处连续的，并且在t k 处有( t 吉) 2 。船o z ( t ) 和( t i ) 存在 以及妒( ：) = ( t 去) l ，对于任意的咖p c ( t ) ，定义l i i i = 1 i i i ( 一，目= s u p 一。 t 。和妒c ( 盯) ，方程( 1 ) 的初始条件是 z 口= 妒，一 t 。，令( ) = c ( t ) ，i f i i = 1 i 咖| | ( 一，t | 0 ，都存在5 = 6 ( e ) 0 使得当妒 g ( 盯) 时，ix ( t ，o r ，妒) i e ，t 口 ( 2 ) 一致渐近稳定的( u a s ) 如果它的解是一致稳定的并且存在一个6 0 ，对于任意 的e 0 都有t = t ( e ) 0 使得当盯t 。，够c 6 ( 盯) 时，ix ( t ，盯，妒) i e ，t o r + t 为了下一步的研究，我们还需要引进两个l y a p u n o v 函数( 泛函) 类和( ) ( 定义如【8 】， 【1 5 】中所述) 定义2 3 称函数v ( t ，z ) ：【q ：0 0 ) 彤_ r + 属于函数类如果 ( a 1 ) 对于所有的z r n 以及k z + ，v 在每一个子区间 t 七一1 ，t k ) 肝上是连续的，并且 极限l i m v ( t ，秒) = y ( t i ，x ) 存在 ( a 2 ) y 在点z 处是局部l i p s c h i t z i a n ，并且v ( t ，0 ) 三0 定义2 4 称函数v ( t ，q o ) ：【o t ，0 0 ) xc ( t ) _ r + 属于函数类( ) 如果 ( b 1 ) y 在每一个子区间 t k 一1 ，t k ) c ( t ) 上是连续的，并且对于所有的矽c ( t ) 以 及k z + ，极限l i r a v ( t ，妒) = y ( i ，妒) 存在 ( b 2 ) y 在# 处是局部l i p s c h i t z i a n ，并且v ( t ，0 ) 三0 定义2 5 称函数v ( t ，妒) 属于w 类的如果v v o ( ) ，并且对于任意的z p c ( r ，舻) ， v ( t ，z ( ) ) 是连续的0 。) 定义2 6 称函数u 为楔函数如果u c ( 兄+ ，r + ) ，满足u ( o ) = 0 ，并且u ( s ) 是严格增加的 5 第二章预备知识 设 和 对妒以及z 采取和【5 】相同的分法则有 z ( j i = m a x l 惫唧iz 寥i ，j = 1 ，2 ，仇，l 丁i = m , a z l _ 0 和每一个e 0 ，都存在相应的t t 。以及6 0 ，使得当t2t ，开集qc i t l ，】，l ( q ) e 时，f q , ( t ) , t t 5 也成立其中p ( q ) 表示集合q 的测度 6 第三章主要定理及其证明 第三章主要定理及其证明 文献【5 】中证明了脉冲无限时滞微分方程零解的一致稳定性，这一节我们将给出脉冲无限 时滞微分方程零解的一致渐近稳定性首先，给出两个引理 引理3 1 设z 是逐段右连续的有界函数，对于任意的楔函数w 和w 以及h 0 ，入 0 ， 都存在相应的肛 0 ，使得当l - ( iz ( s ) 1 ) d s 入时，l - i i lw + ( iz ( s ) i ) d s 肛 引理3 2 设z 是逐段右连续的有界函数，7 7 尸j m ，对于任意的楔函数，此以 及h 0 ，a 0 ，都存在p 0 和t t 。+ h ，使得当t t 时，若正 ( iz ( s ) i ) d s a 成 立，则正l 比( iz ( s ) i ) 7 7 ( s ) d s 肛也成立 注：此引理是文献 2 1 ，2 3 】中的相应结果的一般化情况，在文献 2 1 ，2 3 q b 已经详细证明过， 故此处省略其证明过程 为了简便，我们取, = 2 给出一致渐近稳定的结果下文中的q 可以取一( 3 0 定理3 1 设呜c ( n + ，r + ) ，呜l 1 【o ，o 。) ，呜( ) 其中t 0 ，坞是常数w , j 是楔函 数，( ，3 7 ) v o ，( ，妒) v o * ( ) ，g j c ( n + ，r + ) ，并且劬( s ) 是不增加的( 2 = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ；7 = 1 ，2 ) ，假设下面的条件成立： rt t1 ( i ) 厂1 j ( i 妒( j ( t ) 1 ) sv ( ，妒( ，( ) ) w 7 乃( i 妒( j ( t ) i ) + 白l 中j ( 一s ) w 厂4 ，( 1 妒o ( s ) i ) d si l j a j 其中v x t ，妒( ，( ) ) = v 1 j ( ，妒( ( ) ) + v 2 j ( t ，妒( j ) ( ) ) v o ( ) ； ( i i ) 对于任意的k z + 和所有z r 几，都有v x j ( t k ，以( 扣) ) ) ( 1 + b 七) v l ，( t i ，x o ) ) ( 俐) 对于任意的仃t + 和妒( j c ( 盯) ， 当v l ( t ，z ( 1 ( ) ) k ( t ，z ( 2 ( ) ) 时，如果对于任意的s 【m a x a ，t q a ( k ( t ，z ( 1 ( ) ) ) ) ，吼 都有v 1 ( 8 ，z ( 1 ( ) ) p l ( v l ( t ，z ( 1 ( ) ) ) 成立，则w ( t ，z ( 1 ( ) ) 1 ( iz ( 1 ( t ) i ) ； 当v l ( t ，z ( 1 ( ) ) k ( t ，z ( 2 ( ) ) 时，如果对于任意的s m a x a ，t 9 2 ( ( ，z 2 ( ) ) ) ) ，味 7 一 k 中 其 第三章主要定理及其证明 都有k ( s ，z ( 2 ( ) ) b ( k ( ，z ( 2 ( ) ) ) 成立，则昭( ，z ( 2 ( ) ) 一w 5 2 ( iz ( 2 ( ) i ) ；其中 m = i i ( a + 巩) m s ，而z ( ) = ( z ( 1 ( t ) ，z ( 2 ( t ) ) 是方程( 1 ) 七= 1 和( 2 ) 的解 则方程( 1 ) 和( 2 ) 的零解是一致渐近稳定的 0 0 证明：因为b k 0 ，且k m s ，( s 0 ) ? q ( s ) 是不增加的 类似于文献 5 】可证，对于每一个t 芝t + ，v ( t ) 的左导数和右导数( 统一记作v 他) ) 必定满足 下列条件之一： ( a ) 在【t + ，o o ) 的任何一个子区间上，当( ) k ( ) 时，如果对于任意的s m a x a ，t g ( y ( ) ) ) ，t 】都有v ( s ) p ( y ( t ) ) 成立，则 v 他) 一w 5 1 ( iz ( 1 ( ) 1 ) ( 5 ) ( b ) 在 t 。，。) 的任何一个子区间上，当( t ) ( ) 时，如果对于任意的s m a x a ，t 一 口( y ( ) ) ) ，t 】都有y ( s ) p ( y ( t ) ) 成立，则 v ) 一眠2 ( iz ( 2 ( t ) i ) ( 6 ) 因为条件( i i i ) g # 着文献【5 】中的条件( 钇) ，所以根据文献 5 】的证明，方程( 1 ) 式满足初始条 件( 2 ) 式的零解是一致稳定的( 详细证明见文献 5 】) 第三章主要定理及其证明 一一一一- 一 y ( t ) 掣以及iz ( t ) i “ ( 7 ) 其中m e ：= m i n ( m 1 ( 1 ) ，w 1 2 ( 1 ) ) 对任给的 0 ( e 0 ( e e 1 ) ，令m s 4 = 仇i n 叭1 ( e ) ，叭2 ( e ) ) 存 摧端辫y 川二 7 1 赤1 ( ；) 1 ( 等) j = 1 二 。州 哺) w 2 棚扣沁) i ) + w 3 ，畦1 ( 等) + w 4 棚( s ) 1 ) d s ( 9 ) 令。 和【t , 3 v h , t t + i = 以，我们可以证明存在某个f 以，使得 旧筹+ d ( 1 2 ) 第三章主要定理及其证明 否则，对于所有的t 正都有 即) 等+ 譬d ( 1 3 ) 因为； n m 则有 p ( y ( t ) ) m v ( ) + d m r e * + ( 一z ) d y ( s ) ，亡一 s 等，并且g ( s ) 是不增加的，所以有q ( y ( g ( 等) 从而一口( y ( 一g ( 等) t 一 ，茵此当s m a x q ，一q ( y ( ：) ) ，亡】时，p ( y ( t ) ) y ( s ) 根据( 5 ) 和( 6 ) 辛 v 印) = w ( ) 一w 5 1 ( iz ( 1 ( ) i ) v 他) = 昭( ) 一w 5 2 ( 1x 2 ( ) i ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 因为( 1 4 ) 或( 1 5 ) 式在h + 危，。) 的连续子区间上成立，我们把子区间h + 危，t 】分成两类厶和厶 并且在 上，( t ) k ( ) ；在如上，( t ) k ( t ) 这样在i xi - _ ( 1 4 ) 式成立当取j = 1 时，根 据( 9 ) 式和( 13 ) 式可得 1 ( 1 砸) 1 ) + 丢1 ( ；) + 甄【，w 4 1 ( i ) ( s d 司m ( d 筹 因此有w 2 1 ( iz 1 ( ) i ) ；，即： 1 ) ( 圳 1 ( ；) 或者眇1 ( ；) 怕正刚w 4h 1 ) ( s ) d d s 和： ，w 4 1 ( j ) ( s 蛇面1 崂1 ( ；) 根据引理3 1 ，存在角 0 ，使得 ，t - r w 5 ) d s 1 ( 1z ( 1 ( s ) i历 ，t ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 第三章主要定理及其证明 令毋= i ( iz ( 1 m ) i ) ； ，易- = h + 川一日t ，同样的，：i 生1 2 i - ( 1 5 ) 式成立， 当取7 = 2 时，根据( 9 ) 式可得 l w 荔2 1 ( ；) 或者存在某个侥 0 ，使得 ，c w 5 2 ( iz ( 2 ( s ) i ) d s 恳 ，t - r 令目2 = ； ，易2 = h + 九卅一目z ，设蟛是正整数使得 令 蟛岛 ( 1 + m + ) t m e * ( 蟛一1 ) 岛，m 。= 田。( 1 + 州m ( 南+ 而nd ) t + = 危+ k ：7 + 蟛7 + i 乏- 科 聃聃翳+ 翳 岬m 鼎； ( c ) m ( e 1 2 ) 2 ( d ) m ( e 2 2 ) 蟛7 ；其中m ( e , j ) 表示集合巨，的测度( z ，j = l ，2 ) 1 l ( 1 9 ) ( 2 0 ) k 脚 旦丝小 + 正一；，坐坼 一 筋擀 一论胪一眠 兰 第三章主要定理及其证明 如果( a ) 成立，根据( 1 4 ) ，( 1 6 ) 式有 ，n + 丁 o 。 m ( 丁l + 丁) ( 兀+ ) 一 w 5 1 ( iz 1 ( s ) i ) d s + ( ( t 七) 一( t i ) ) jr+h=j 丝一厂氓。(s)2 je 1 1 “、l 一、。， i ) d s + ( 1 w ) 警一m ( e l 胍w f i l ( ；) ) 如 矛盾! 如果( b ) 成立，则在易1 上一定存在k ；个点使得瓦 易 o ，以及啡) 等+ n 一2 1 因为拉撕州删 圳叶d m ( 等+ 等( f ) 口( y ( f ) ) ) 8 f 时，p ( y ( f ) ) y ( s ) ，根据( 5 ) 和( 6 ) 可得： ( 2 2 ) y ( s ) ，即：当，。n z n ，f v ( f ) 一比1 ( 1z ( 1 ( ) i ) 0 或者y 7 ( f ) 一眠2 ( 1z ( 2 ) ( t ) 1 ) 盯+ t 都有 肌1 ( iz ( 1 ( ) i ) 胍1 ( e ) ，肌2 ( iz ( 2 ( 圳) 0 ) 是不增加的并且，( 圮以( 扣) ) ) 妒k ( v 1 j ( t i - ，z ( ) ) ) 存在常数m 1 ，使得对于任意的n 0 ， 半 o 。，饥( ( ( 帅) ) ) ) 口m 则方程( 1 ) 和( 2 ) 的零解是一致渐近稳定的 ( 3 0 注：定理3 4 是定理3 1 的一般化情况因为当b k 0 ，坛 0 ，i 咄i 1 ，易 0 和 0 ( 7 = 1 ，2 ) 使得一g 1 ( t ) + 口2 ( t ) + t t c + a l mib l ( f ) i s l a ，o ( t ) 一c 2 ( t ) + t t c + + a 2 mb 2 ( t ) i - l 2 并且a j # v mlb j ( t ) l 一( p 一1 ) 0 其中m = 兀墨1 ( 1 + k ) ，贝j j ( 4 1 ) 式和( 4 2 ) 式的零解是一致渐近稳定的 事实上，设j v o ，聆( ) ，并且 哪矧札化删= p 。ly ( 乱。 则可得 j ( 缸，以( 码) ) = lg k ( x j ) l ( 1 + b k ) j ( ) j = ( 1 + k ) ，( t - i ，巧) 设弓( s ) = m s ，q j ( s ) = 7 - ，e ( t ，乃( ) ) = ，( ，巧) + v 2 ；( t ，x j ( ) ) ，那么，如果对于任何一个 解z ( ) = ( z 1 ( ) ，z 2 ( t ) ) = ( x l ( t ，盯，妒1 ) ，x 2 ( t ，吼妒2 ) ) ，当t 一7 - s t 时，有5 ( e ( t ，巧( ) ) ) k ( s ，码( ) ) 成立即： m ) l + ) b m p 厂lf ( u - s ) 吻( s ) id s j 一j t iz ，( t - - 7 ) i + u f 西一r i f(u-s)ft-1iooid l 巧( s ) id s 第四章应用 则：当( z ，z l ( ) ) 之k ( ，z 2 ( ) ) 时，有 w ( z ，z 1 ( - ) ) - a l ( t ) iz 1 ( ) i + a 2 ( t ) ix 2 ( t ) l + 1 6 1 ( ) i | z 1 ( t 一7 ) i + i 厂( 一s ) l lx l ( s ) ld s ，i o o r t + p l ，( u t ) id uz 1 ( t ) i 一肛i ，( t s ) i ix l ( s ) id s j tj o o 一a l ( t ) iz 1 ( t ) i + a 2 ( t ) ix 2 ( t ) i 一( p 一1 ) l ，( t s ) | | t 1 ( s ) id s + p c + iz 1 ) i + i h ( 圳( a - mi 州圳帆m p if ( 让_ s ) 小小) i d s ) ( 一a l ( t ) + a 2 ( t ) + p c + + a 1 ml6 1 ( t ) i ) ix l ( s ) l 一( 弘一1 ) i ，( 一s ) l lx l ( s ) ld s + ) q # m v1 6 1 ( t ) i i ，( t s ) i iz t ( s ) id s - l 1iz l ( ) i 同理，当h ( t ，z 1 ( ) ) ( t ，z 2 ( ) ) 时，有 嵋( t ，z 2 ( ) ) c ( ) iz ( ) l - c 2 ( t ) ix 2 ( t ) i + ib 2 ( t ) i lz 2 ( t r ) i + l ，( 一s ) i ix 2 ( s ) id s r ，c + p l ，( 仳一t ) ld uz 2 ( ) i p i 厂( 一s ) l lx 2 ( s ) id s j tj o o - l 2lx 2 ( t ) 1 根据定理3 1 ，方程组( 4 1 ) 和( 4 2 ) 的零解是一致渐近稳定的 1 7 参考文献 【1 】j h s h e n r a z u m i k h i nt y p es t a b i l i t yt h e o r e m sf o ri m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s n o n l i n e a r a n a l y s i s j 1 9 9 8 ，3 3 ，5 1 9 5 3 1 【2 】zl u o s t a b i l i t ya n db o u n d e d n e s sf o ri m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi n f i n i t ed e l a y s n o n l i n e a ra n a l y s i s j ，2 0 0 1 ，4 6 ，4 7 5 - 4 9 3 【3 】j h s h e n r a z u m i k i nt e c h n i q u e si ni m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s n o l i n e a ra n a l y s i s j ， 1 9 9 9 ，3 6 ，l1 9 1 3 0 【4 】s n z h a n g an e wt e c h n i q u ei ns t a b i l i t yo fi n f i n i t ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c o m p u t e r sa n dm a t h - e m a t i c sw i t ha p p l i c a t i o n s j 2 0 0 2 ，4 4 ，1 2 7 5 1 2 8 7 【5 】yz h a n g ，j i t a os u n s t a b i l i t yo fi m p u l s i v ei n f i n i t ed e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a p p li e dm a t h e m a t i c s l e t t e r s j 2 0 0 6 ，19 ，110 0 11 0 6 【6 】v d m i l l m a n ，a d m y s h k i s o nt h es t a b i l i t yo fm o t i o ni nt h ep r e s e n c eo fi m p u l s e s ，s i b e r i a nm a t h j 1 ( 1 9 6 0 ) 2 3 3 2 3 7 【7 】v l a k s h m i k a n t h a m ，d d b a i n o v , e s s i m e o n o v , t h e o r yo fd i f f e r e n t i a le a u a t i o n s ，w o r l ds c i e n t i f i c ，s i n - g a p o r e ，19 8 9 【8 】a m s a m o i l e n k o ，n a p e r e s t y u k ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s ee f f e c t ，v i s c as k o l a ，k i e v , 1 9 8 7 ( i n r u s s i a n ) 【9 】a v a n o k h i n l b e r e z a n s k y ，e b r a v e r m a n ，e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fl i n e a rd e l a yi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ，j m a t h a n a l a p p l 19 3 ( 19 9 8 ) 9 2 3 9 4 1 【1 0 】d d b a i n o v , v c o v a c h e v , 1 s t a m o v a ，s t a b i l i t yu n d e rp e r s i s t e n td i s t u r b a n c e so fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a l - d i f f e r e n c ee q u a t i o n so fn e u t r a lt y p e ，j m a t h a n a l a p p l 18 7 ( 19 9 4 ) 7 9 0 8 0 8 【11 】m r a m am o h a n ar a o ，s k s r i v a s t a v a ，s t a b i l i t yo fv o l t e r r ai n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s i v e e f f e c t ，j m a t h a n a l a p p l 1 6 3 ( 1 9 9 2 ) 4 7 5 9 1 8 参考文献 【l2 】j h s h e n t h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n so fd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hi m p u l s e s ， a p p l m a t h c o m p u t 7 7 ( 1 9 9 6 ) 1 5 3 1 6 5 【l3 】j s h e n o ns o m ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yr e s u l t so fi m p u l s i v ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，c h i n e s e m a t h a n n 1 7 a ( 1 9 9 6 ) 7 5 9 7 6 5 【1 4 】j s y u ，b g z h a n g s t a b i l i t yt h e o r e m sf o rd e l a yd i f