（概率论与数理统计专业论文）时间相依的常数边界分红风险模型研究.pdf

南开大学学位论文使用授权书 根据南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法，我校的博士、硕士学位 获得者均须向南开大学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。 本人完全了解南开大学有关研究生学位论文收藏和利用的管理规定。南开大学拥有在 著作权法规定范围内的学位论文使用权，即：( 1 ) 学位获得者必须按规定提交学位论文 ( 包括纸质印刷本及电子版) ，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生学位论 文，并编入南开大学博硕士学位论文全文数据库；( 2 ) 为教学和科研目的，学校可以将 公开的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校内师生阅读，在校园网上提供论文目录检 索、文摘以及论文全文浏览、下载等免费信息服务；( 3 ) 根据教育部有关规定，南开大学向 教育部指定单位提交公开的学位论文；( 4 ) 学位论文作者授权学校向中国科技信息研究所和 中国学术期刊( 光盘) 电子出版社提交规定范围的学位论文及其电子版并收入相应学位论文 数据库，通过其相关网站对外进行信息服务。同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文。 论文电子版提交至校图书馆网站：h t t p ：2 0 2 1 1 3 2 0 1 6 1 ：8 0 0 l i n d e x h t m 。 本人承诺：本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并已通过论文答 辩；提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负。 本人同意遵守上述规定。本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留存。 作者暨授权人签字：昌雪 2 0 1 0 年5 月2 7 日 南开大学研究生学位论文作者信息 论文题目时间相依的常数边界分红风险模型研究 姓名 口币 学号 2 1 2 0 0 7 0 0 3 9 答辩日期2 0 1 0 年5 月2 7 日 口一 论文类别博士口学历硕士团硕士专业学位口高校教师口同等学力硕士口 院系所数学科学学院专业概率论与数理统计 联系电话1 3 8 2 1 4 2 3 4 9 4e m a i l x i a o x u e x u e _ 19 8 4 y a h o o c n 通信地址( 邮编) ：南开大学西区公寓5 2 6 0 8 ( 3 0 0 0 7 1 ) 备注：是否批准为非公开论文否 注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写( 一式两份) 签字后交校图书 馆，非公开学位论文须附南开大学研究生申请非公开学位论文审批表。 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取 得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任 何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉及的 研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文 原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 昌雪2 0 1 0 年5 月2 7 日 非公开学位论文标注说明 根据南开大学有关规定，非公开学位论文须经指导教师同意、作者本人申请 和相关部门批准方能标注。未经批准的均为公开学位论文，公开学位论文本说明 为空白。 论文题目 申请密级 口限制( 2 年)口秘密( 1 0 年)口机密( 2 0 年) 保密期限 2 0 年月日至2 0年月 日 审批表编号批准日期 2 0 年月日 限制2 年( 最长2 年，可少于2 年) 秘密l o 年( 最长5 年，可少于5 年) 机密2 0 年( 最长l o 年，可少于l o 年) 摘要 这篇论文考虑在常数分红边界情况下具有两类索赔的复合p o i s s o n 模型。 每个主索赔会导致附加索赔，即附加索赔是由主索赔所引起的，并且可能与 主索赔同时发生或者以某一概率推迟到下一个主索赔发生时刻。在此之前 在y u e n ，g u o ( 2 0 0 1 ) 及x i a o ，g u o ( 2 0 0 7 ) 的文章中讨论过索赔是时间相 依的离散情况下的破产理论，并且在x u e y u a nw u ，s h u a n m i n gl i 的文章中讨 论了在该模型下常数分红边界的期望折现分红。本文讨论的在连续时间常数 分红边界模型下，得到了破产前期望折现分红的一般解法，并且在最后给出 了指数索赔分布下的明确表达式。 关键词：复合p o i s s o n 模型；主索赔；附加索赔；期望折现分红 a b s t r a c t i nt h i sp a p e ra c o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e lw i t hac o n s t a n td i v i d e n db a r r i e r i sc o n s i d e r e d n e r ea r et w ot y p e so fi n d i v i d u a lc l a i m s ：m a i nc l a i m sa n d b y c l a i m s w h e r eb y c l a i m sp r o d u c e db yt h em a i nc l a i m sm a yc o i n c i d ew i t ht h em a i nc l a i m sa t t h es a m et i m eo rd e l a yt ot h en e x tm a i nc l a i mo c c u r r e n c et i m ew i t hac e r t a i np r o b a b i l i t y y u e na n dg u o ( 2 0 01 ) ，x i a oa n dg u o ( 2 0 0 7 ) c o n s i d e r e dt h er u i np r o b a b i l i t y i nc o r r e l a t e d t i m ed i s c r e t er i s km o d e l x u e y u a n 、a n ds h u a n 嘶n gl is t u d i e dt h e e x p e c t e dp r e s e n tv a l u eo fd i v i d e n dp a y m e n t su pt ot h et i m eo fr u i n i nt h i sp a p e r , w eo b t a i n e dt h ee x p e c t e dp r e s e n tv a l u eo fd i v i d e n dp a y m e n t si nc o m p o u n dp o i s s o n r i s km o d e lw i t hac o n s t a n td i v i d e n db a r r i e ra n dt h ee x p l i c i te x p r e s s i o n sf o rt h ee x p o n e n t i a lc l a i m sa l eo b t a i n e d k e y w o r d s - c o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e l ；m a i nc l a i m s ；b y - c l a i m s ；d i v i d e n d ； e x p e c t e dp r e s e n tv a l u e c o n t e n t s 摘要 i a b s t r a c t i i c o n t e n t s i i i 1i n t r o d u c t i o n 1 2t h em o d e l 3 2 1s e tu pt h em o d e l 3 2 2 a n a l y s i st h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o no fk ( 饥) 4 3 e x p e c t e dp r e s e n tv a l u eo f d i v i d e n d s 8 3 1g e n e r a ls i t u a t i o n 8 3 2 e x p l i c i te x p r e s s i o nf o re x p o n e n t i a lc l a i ms i z e 11 4s o m es p e c i a lc a s e s 1 5 b i b l i o g r a p h y 2 0 致谢 2 2 个人简历与研究成果 2 3 i i i c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n t h ea s s u m p t i o no fi n d e p e n d e n ti n c r e m e n to nt h es u r p l u sp r o c e s so fa ni n s u r a n c e c o m p a n yi sv e r yr e s t r i c t i v e i nr e a l i t y , i n s u r a n c ec l a i m sm a y b ed e l a y e dd u et ov a r i o u s r e a s o n s f o ri n s t a n c e ，as e r i o u sm o t o ra c c i d e n tc a u s e sd i f f e r e n tk i n d so fc l a i m s ，s u c h a sc a l d a m a g e ，i n j u r y , a n dd e a t h ；s o m ec a nb ed e a l tw i t hi m m e d i a t e l yw h i l eo t h e r s n e e dap e r i o do ft i m et ob es e t t l e d a n di nr e c e n ty e a r s ，r i s km o d e l sw i t hc o r r e l a t e d c l a i m sa n dw i t hd i v i d e n dp a y m e n t sh a v eb e e nt w oo ft h em a j o rr e s e a r c hi n t e r e s t si nt h e r i s kt h e o r yl i t e r a t u r e w a t e r sa n dp a p a t r i a n d a f y l o u ( 19 8 5 ) c o n s i d e r e dad i s c r e t e t i m e r i s km o d e la l l o w i n gf o rd e l a yi nc l a i m ss e t t l e m e n t sa n du s e dm a r t i n g a l et e c h n i q u e st o d e r i v eu p p e rb o u n d sf o rr u i np r o b a b i l i t i e s b o o g a e r ta n dh a e z e n d o n c k ( 1 9 8 9 ) s t u d i e d t h em a t h e m a t i c a lp r o p e r t i e so fal i a b l ep r o c e s sw i t hs e t t l i n gd e l a yw i t h i nt h ef r a m e w o r k o fa ne c o n o m i c se n v i r o n m e n t i nt h i sp a p e rw ec o n s i d e ra c o m p o u n dp o i s s o nm o d e l w i t ht i m e - c o r r e l a t e di n d i v i d u a l c l a i m sa n de x p e c t e dd i s c o u n td i v i d e n dp a y m e n t st h a ta r er u l e db yac o n s t a n td i v i d e n d b a r r i e r t h i sm o d e li ss i m p l e i fs o m e o n eh a si n t e r e s t e di ni t ，h ec a nr e s e a r c ht h a tt h e t i m eo fd e l a yf o rt h eo c c u r r e n c eo fab y c l a i mi sa s s u m e dt ob er a n d o mw h i c hi se x p o n e n t i a l l yd i s t r i b u t e d y o uc a nr e f e rt o 【13 ( y u e n ，g u oa n dk a i ( 2 0 0 5 ) ) ，a ne x p r e s s i o n f o rt h eu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t yh a sb ed e r i v e du s i n gt h el u n d b e r ge x p o n e n to ft h ea s s o c i a t e dn o n d e l a y e dr i s km o d e lf r o mm a r t i n g a l et h e o r y a n dt h ed i f f e r e n c ef r o mt h a t p a p e ri st h a tw ei n v e s t i g a t et h eb y c l a i m so n l yc a nb ed e l a y e d t ot h en e x tt i m ew h e nt h e m a i nc l a i m so c c u r y u e na n dg u o ( 2 0 01 ) a n dx i a oa n dg u o ( 2 0 0 7 ) s t u d i e dac o m p o u n db i n o m i a lr i s k m o d e lw i t ht i m e c o r r e l a t e dc l a i m s ，t h a ti s ，e a c hc l a i mm a yc a u s eac o r r e s p o n d i n gb y c l a i mw h i c hm a yd e l a yt ot h en e x tt i m ep e r i o da n do b t a i n e dt h er e c u r s i v ef o r m u l ao f t h ej o i n td i s t r i b u t i o no ft h es u r p l u si m m e d i a t e l yp r i o rt or u i na n dd e f i c i ta tr u i n f o r ac o n t i n u o u st i m em o d e l ，t h em a r t i n g a l em e t h o di se m p l o y e di ny u e ne ta 1 ( 2 0 0 5 ) c h a f 叮e r1 d 丌r o d u c t l 0 n 2 w h i c hw em e n t i o na b o v e a n d 、 协a n dl i ( 2 0 0 6 ) o b t a i n e dt h er e s u l t so ft h ee x p e c t e d d i s c o u n t e dd i v i d e n dp a y m e n t so ft h i sd i s c r e t em o d e lw i t l lac o n s t a n td i v i d e n db a r r i e r r e l a t e dw o r k sc a nb ef o u n di nb i i h l m a n n ( 19 7 0 ) ，d i c k s o na n dw a t e r s ( 2 0 0 4 ) ，g e r b e r ( 1 9 7 9 ) ，g e r b e ra n ds h i u ( 1 9 9 8 ，2 0 0 4 ) ，l ia n dg a r r i d o ( 2 0 0 4 ) ，l i n e t a l ( 2 0 0 3 ) ，p a u l s e n a n dg j e s s i n g ( 19 9 7 ) ，z h o u ( 2 0 0 5 ) a n dt h e i rr e f e r e n c e s i nt h i sp a p e r , t h ec o m p o u n dp o i s s o nm o d e lw i t hac o n s t a n tb a r r i e ri sp r e s e n t e d ，t h e e x p r e s s i o n so ft w ok i n d so fd i v i d e n dv a r i a b l e sa n dt h ei n i t i a lc o n d i t i o n st h e ys a t i s f y c a na l s ob eo b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，t h ee x p l i c i te x p r e s s i o no ft h ee x p e c t e dd i s c o u n t e d d i v i d e n d sa r ee x p r e s s e di nm a t r i xb yu s i n gt h et e c h n i q u eo fl a p l a c et r a n s f o r m t h e c a l c u l a t i o ne x p r e s s i o n so f ( 0 ) a n d 盼( 0 ) c a na l s ob eg i v e n m o r e o v e r , c l o s e d f o r m s o l u t i o nf o rt h ee x p e c t e dp r e s e n tv a l u eo fd i v i d e n d si ne x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nc l a i m si s o b t a i n e di nt h i sc h a p t e r a n di nc h a p t e r4 ，s o m es p e c i a lc a s e sa r ec o n s i d e r e d c h a p t e r 2 t h em o d e l 2 1s e tu pt h em o d e l c o n s i d e rac o n t i n u o u st i m ec o m p o u n dp o i s s o nr i s km o d e lw i t ht w ot y p e so fi n d i v i d u a lc l a i m s ：m a i nc l a i m sa n db y c l a i m s n ( t ) s ( ) = 仳十西一五一忍 l = 1 ( 2 1 ) w h e r e 乱i st h ei n i t i a ls u r p l u sa n dci st h ep r e m i u mr a t e ( ) ，t o i sap o i s s o n p r o c e s sw i t hi n t e n s i t ya 0 w h i c hr e p r e s e n t st h en u m b e r so fc l a i m so c c u r r e di n ( 0 ，t 】 i n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e sx ha r ei n d e p e n d e n to f ( ) ， t h ec o m m o nd i s t r i b u t i o no fc l a i ms i z e sa r ed e n o t e db yf ，- 厂d e n o t e st h ed e n s i t yf u n c t i o n a n d 恤嚣i st h em e a n r ti st h es u mo fb y c l a i m sh a p p e n e db e f o r exn 【t 、w i t ha m o u n t so f t h eb y c l a i m sd e n o t e db yk ，g ，ga n d 盹a r et h ec o m m o nd i s t r i b u t i o n ，d e n s i t yf u n c t i o n a n dm e a no f k a s s u m et h a ta te a c he p o c h 五o ft h ep o i s s o np r o c e s s ，t h e r ei sn ob y c l a i mk h a p p e n e d w i t hp r o b a b i l i t yq ( o q 1 ) a n dw i t hp r o b a b i l i t yp = 1 一qt h e r eo c c u r so n e b y 。c l a i m t h eb y c l a i ma n di t sa s s o c i a t e dm a i nc l a i mm a yo c c u rs i m u l m n e o u s l yw i t h p r o b a b i l i t y0 ，o rt h eo c c u r r e n c eo ft h eb y c l a i mm a y b ed e l a y e dt ot i + 1w i t h p r o b a b i l i t y 1 0 t h u si no r d e rt og u a r a n t e et h ep o s i t i v ei ft h es e c u r i t yl o a d i n g ，w ea s s u m et h a t a ( 儿+ 地) 0 ) a n di nt h i sp a p e rw ea s s u m et h a t t b t h e s u r p l u sa tt h ee n d o ft i m etw i t ht h ed i v i d e n db a r r i e rb ，i st h e nd e f i n e dt ob e u b ( t ) = s ( t ) 一d ( ) ( u b ( o ) = 钍) ( 2 3 ) w h e r et h et i m eo fr u i ni st = i n f ( t ：u d t ) o a n do ( t ) i st h ea m o u n to fd i v i d e n d p a y m e n tb e f o r etu n d e rt h eb a r r i e rb n od i v i d e n d sa r ep a i dw h e n e v e r 沈( ) 0i st h ef o r c ei n t e r e s t a saf u n c t i o no f “，f l o ww es e tu pt h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o na b o u tk ( 乱) a n dt h e ng i v et h ee x p l i c i te x p r e s s i o no fi t 2 2 a n a l y s i st h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n o f ( 钆) t oe v a l u a t et h et h e e x p e c t e dd i s c o u n t e dp r e s e n tv a l u eo fd i v i d e n d s ，w en e e dt os t u d y t h ec l a i mo c c u r r e n c e si nt h r e es c e n a r i o s ： ( 1 ) m a i nc l a i mxo c c u rb e f o r et ，b u tt h e r ei sn ob y c l a i mw i t hp r o b a b i l i t yq ，s ot h e s u r p l u sa tt i m etb e c o m e su + c t 一义 ， f 】 矗 ，7 ) = s c “沙 0 i 1t 五 l 一占 c h a p t e r2 t h em o d e l 5 ( 2 ) m a i nc l a i mx o c c u r sb e f o r eta n dt h ea s s o c i a t e db y c l a i mya l s oo c c u r si nt h es a m e p e r i o dw i t hp r o b a b i l i t yp 0 ，h e n c et h e r ew i l lb en ob y - c l a i mi nt h en e x tt i m ea n dt h e s u r p l u sp r o c e s sg e t sr e n e w e d s ot h ei n i t i a ls u r p l u sb e c o m e s 仳+ c t x y 玩( o i 鲫= 6 材 0 夏t 瓦 z ( 3 ) t h e r ee x i s t sam a i nc l a i mxa n di t sa s s o c i a t e db y - c l a i my w i l lb ed e l a y e dw i t h p r o b a b i l i t yp ( 1 一p ) ，s ot h ei n i t i a ls u r p l u sb e c o m e st h es a m ea sf i r s ts c e n a r i o ( r ) 6 ，7 驷叫： 甜沙 o 7 tt 瓦 1 5 i fw ew a n tt og i v et h ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o no f ( ) ，w en e e dt od e f i n eac o r n p l e m e n t a r ys u r p l u sp r o c e s sa 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