（概率论与数理统计专业论文）多响应线性模型检验与判别的试验设计.pdf

摘要 经典最饯设计缓论瑕定螭痊抽蕊为真，瞧郯试验老弱选翅的模型是完全正确的。扶 实际考虑，一般要傲到这点是不容易的。通常面临的实际问题是对所选模型的正确性未 知，甚至会面临多个模型的选择，在这些常见的情况下采朋经典最优设计理论来进行试 验设计( 例如d 最优设计，a 最侥设计等等) 显然楚不舍骥也是不埘靠静。钎对这样的 实际情况，在拟合模型前对所选用l ! | 勺模型进行显著性检验魑非常必娶的，由此建立的最 倪设计可傻检验的结栗最w 信。努舞，在选用模黧前可能会瑟l 强多个模型寓的这铎阂 题，为了能从中选择出一个更好的模型，必须使这螳模型柱拟合后有尽量大的区别，为 鼗椽造静皴往设谤缝最好缝翔裂鑫模型。本文赞黠爨土嚣类润露，糖已鸯豹擎稳应线洼 模型的结论推广至多响应线性模型情形，使其在理论一卜更完罄也更贴近实际。 第一章，为了讨论多赡瘟线牲模型约试羧设计，本章蓉受对已鸯蕈瘸瘦线性模裁试 验设计的结论作一些简单介绍。在这些结论的基础上，之届两章将用一种线性组合的方 法将其接广至多蛹避情形。对质逸模型正确链未知骢试验设诗，一般可分别从捡验、刹 剐、预测兰个角度考虑。w i e n s ( 1 9 9 1 ) 、j o n e s 并e i m i t c h e l l ( 1 9 7 8 ) 讨论了单响应线性模型失拟 梭验的设计问题，其中，w i e n s ( t 9 9 1 ) 证明了均匀设计( 设计区域上的均匀分布) 的壤优 馥。在模整翔嗣方面，a t k i n s o n ( 1 9 7 5 ) 构造了t 最德设计酌潮剐准剐、等价馁定理及构造 算法，而其中两模型之间的判别是其基础。另外，响应预测的精度问题一礅是最优设计 豹重点，w e l t h ( 1 9 8 3 ) 鼓预测毽静均方误差为准蹙讨论了这一最傀设诗兹麴遗，可港豹是 此种设计猩多响应方面几乎没有结论也很滩推广。 第二警，通过翡一章瓣奔绥骥瘸了w i e n s ( t 9 9 1 ) 的结论，潍均匀设诗在辩模型避特失 拟检验时肖其最优性。这使我们很自然地猜测用均匀设计对多响应模型进行失拟检验也 盛该是最侥的。本肇通过i 强溉( 1 9 8 5 ) 的模裂转换箕他了多昀应静矩阵处理l i j l 题，并结合 以往对多响应模型失拟的定义，建立起了多响应近似线性横型失拟的定义，另外，剃用 掇磋不等戏褥转换前后的多响应横挺失拟联系了起来。最簇，证躜了均匀设诗的话个最 优性质，即模型失按时，检验出稹型不正确的概率簸小值达蓟最大，丽模黧实际不失拟 时，检验出模型不正确的概率最火值达到最小。鬻要指出的是对多响应线性模型失拟 梭验静方法戳及检验统计蘩奉文臻的是k h u r i ( 1 9 8 5 ) 瓣结论，在诧基穑上，溺均匀设诗迸 彳亍检验才能达到墩优的效果。从遮点反过来看，k h u r i ( 1 9 8 5 ) 的检验方法是合理的，商效 懿。 第三章，两组多响应模型判别的设计是多组多响应模裂判别试骏设计的蒸础，本章因 敦罄重讨论嚣组多嫡应摸黧判爨黪试验设诗。慰多璃应戆娥理瘿嚣建k h u r i ( 1 9 8 5 ) 豹模型 转换方法，简化了繁琐的矩阵处理，之后利用a t k i n s o n ( 1 9 7 5 ) 2 泰j 单响应线性模型构遗* 最 傀设计的结论，建立了判舅g 暑最捷设计酌判剐准则以及等馀性定理，弊基予等爨性定理 第1 页 申支穗要 类 班壤绘盛了构造t 最捷设诗熬穿贯算法。 性。鹅外，根据a t l d n s o n ( 1 9 7 5 ) 之后的讨论， 型r - 最倪设计酶思想方法。 最菇，黻一令鼗壤实攮疆翻了该算法瓣可行 本文也简单地说明了一下构谶多组多响应模 关键谲：失拟梭验，梭验穗教，非中心参数，模型转换，均匀设计，模型削尉，* 最优设 诗，穿黉黪法，线毪缝合，多镳应线筏模翟 繁珏贳 a b s t r a c t i no p t i m u md e s i g nt h e o r y , m a n yr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e du n d e rt h ea s s u m p t i o no fe x a c t l y c o r r e c tr e s p o n s ea n dh o m o s c e d a s t i c i t y b u tt h i sa s s u m p t i o ni sn o ta l w a y sc o r r e c t i nm o s ts i t u a t i o n s ，w ed o n tk n o wt h ec o r r e c t n e s so ft h ec h o s e nm o d e la n da r ea l w a y sc o n f r o n t e dw i t ht h e c h o i c eo fs o m em o d e l s i t sn o ti nr e a s o nf o rt h et r a d i t i o no p t i m u md e s i g nm e t h o di nt h i ss i t u a t i o n f o rt h i sc a s e ，i t sn e e dt ot e s tt h em o d e lb e f o r ef i t t i n g c e r t a i n l y , t h ep o w e ro ft h et e s t w i l lb em a xu n d e rt h eo p t i m a ld e s i g n o t h e r w i s e ，w ea r ea l w a y sc o n f r o n t e dw i t ht h ec h o i c eo f s o m em o d e l ss ow es h o u l dg e n e r a t ed e s i g nt od i s c r i m i n a t et h e s em o d e l s i nt h i sp a p e r , w e ，i nt h i s s i t u a t i o n ，e x t e n dt h er e s u l t sf r o ms i n g l e - r e s p o n s el i n e a rm o d e lt om u l t i r e s p o n s el i n e a rm o d e l sf o r t h ec o n s u m m a t i o no f t h eo p t i m u m d e s i g nt h e o r y i nc h a p t e r1 ，b e f o r et h ed i s c u s s i o nf o rt h ee x p e r i m e n td e s i g n so ft h em u l t i r e s p o n s el i n e a r m o d e l s ，w ei n t r o d u c es o m er e s u l to f t h es i n g l e r e s p o n s el i n e a rm o d e li nt h i sc h a p t e r b a s e do n t h e s er e s u l t s ，w ew i l le x t e n di tf r o ms i n g l e - r e s p o n s el i n e a rm o d e lt om u l t i - r e s p o n s el i n e a rm o d e l s b yt h el i n e a rc o m b i n a t i o nm e t h o d w h e nd o n tk n o wt h ec o r r e c t n e s so ft h ec h o s e nm o d e l ，w e c a ng e n e r a t ed e s i g n sf o rt e s t ，d i s c r i m i n a t i o no rf o r e c a s t w i e n s ( 1 9 9 1 ) 、j o n e sa n dm i t c h e l l ( 1 9 7 8 ) h a v ed i s c u s s e dt h ee x p e r i m e n td e s i g n sf o rt h et e s tf o rl a c ko f f i to f s i n g l e r e s p o n s el i n e a rm o d e l t h eo p t i m a l i t yp r o p e r t i e so fu n i f o r md e s i g n sa l s oh a v eb e e np r o v e db yw i e n s ( 1 9 9 1 ) o nt h e o t h e rh a n d ，a t k i n s o n ( 1 9 7 5 ) g e n e r a t et h ec r i t e r i o n ，e q u i v a l e n c et h e o r e ma n dt - o p t i m a ld e s i g nf o r t h ed i s c r i m i n a t i o nb e t w e e nm o d e l s a sw ea l lk n o w , t h ed i s c r i m i n a t i o nb e t w e e nt w om o d e l si st h e b a s i c o t h e r w i s e ，t h er e s p o n s ef o r e c a s ti so f t e nak e y s t o n eo f e x p e r i m e n td e s i g n s w e l t h ( 1 9 8 3 ) d i s c u s s e dt h eg e n e r a t i o no f t h eo p t i m a ld e s i g nu n d e rt h em s ec r i t e r i o nb u ti t sp i t yt h a tt h e r ew e r e n or e s u l tf o rt h em u l t i - r e s p o n s el i n e a rm o d e l s i nc h a p t e r2 ，a f t e rt h ei n t r o d u c t i o no ft h ew i e n s ( 1 9 9 1 ) sr e s u l t ，t h eo p t i m a l i t yp r o p e r t i e so f u n i f o r m d e s i g n s ，i nc h a p t e r l ，i t s n a t u r e t h a t w e g u e s s t h e o p t i m a l i t y p r o p e r t i e s o f u n i f o r m d e s i g n s a l s oe x i s ti nm u l t i r e s p o n s el i n e a rm o d e l s i nt h i sc h a p t e lw e p r e d i g e s tt h em a 打i xc a l c u l a t i o nb y m o d e lt r a n s f o r mo f k h u f i ( 1 9 8 5 ) w h a t sm o r e ，w e g e n e r a t et h ed e f i n i e n so f l a c ko f f i tn o to n l yf o r t h eo r i g i n a l l ym o d e l sb u ta l s of o r t h et r a n s f o r mm o d e l s a tl a s t ，w ep r o v et h eo p t i m a l i t y p r o p e r t i e s o f u n i f o r md e s i g n s f o r t h e m u l t i - r e s p o n s e l i n e a r m o d e l s i nas h o r t ，w h e n t h e m o d e l i s l a c k o f f i t , t h eu n i f o r md e s i g n sm a x i m i nt h em i n i m u m p o w e ro f t h et e s ta n dw h e nt h em o d e li sn o ti a c ko f f i t t h eu n i f o r md e s i g n sm i n i m u mt h em a x i m i n p o w e r o f t h et e s t c e r t a i n l y , t h em e t h o do f t h et e s ti n t h i sc h a p t e ri sk h u r i ( 1 9 8 5 ) a n dt h eu n i f o r md e s i g n si so p t i m a lu n d e rt h i sk i n do f t e s t c o n t r a r i l y , i t sa l s os h o wt h ee f f i c i e n c yo f t h i st e s l i nc h a p t e r3 ，e x p e r i m e n td e s i g n sf o rt h ed i s c r i m i n a t i o nb e t w e e nt w o m u l t i r e s p o n s el i n e a r 第l h 页 m o d e l si st h eb a s i co ft h ed i s c r i m i n a t i o nb e t w e e ns e v e r a lm u l t i 。r e s p o n s el i n e a rm o d e l s ，s ow e d i s c u s st h ee x p e r i m e n td e s i g n sf o rt h ed i s c r i m i n a t i o nb e t w e e nt w om u l t i - - r e s p o n s el i n e a rm o d e l s i nt h i sc h a p t e r s i m i l a r i t y , w ep r e d i g e s tt h em a t r i xc a l c u l a t i o nb ym o d e lt r a n s f o r mo f k h u r i ( 1 9 8 5 ) a f t e rt h a t , b yt h er e s u l t so f a t l d n s o n ( 1 9 7 5 ) ，w eg e n e r a t et h ec r i t e r i o n ，e q u i v a l e n c et h e o r e ma n d p r e s e n tt h et - o p t i m a ld e s i g n ss e q u e n t i a lg e n e r a t i o nf o rt h ed i s c r i m i n a t i o nb e t w e e nt w om u l t i r e s p o n s el i n e a rm o d e l s a tl a s t ，t h ee f f i c i e n c yo f t h i ss e q u e n t i a lg e n e r a t i o ni sd ei l l u m i n a t e db ya n u m e r i c a le x a m p l e o t h e r w i s e ，a c c o r d i n gt oa t k i n s o n ( 19 7 5 ) ，w ea l s oe x p l a i nt h et h o u g b t w a yo f e x p e r i m e n td e s i g n sf o r t h ed i s c r i m i n a t i o nb e t w e e ns e v e r a lm u l t i - r e s p o n s el i n e a rm o d e l s k e yw o r d s ：t e s tf o rl a c ko f f i t ，t h ep o w e ro ft h et e s t ，n o n c e n t r a l i t yp a r a m e t e r , m o d e lt r a n s - f o r m ，u n i f o r md e s i g n ，d i s c r i m i n a t i o nb e t w e e nm o d e l s , t - o p t i m a ld e s i g n ：s e q u e n t i a lg e n e r a t i o n , l i n e a rc o m b i n a t i o n ，m u l t i r e s p o n s el i n e a rm o d e l s 关于学位论文使用授权的说明 本入竞全了解上海薄熬大学套关镙整、 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 采闱影印、缩印或其他复制手段保存论文。 y9 3 1 9 1 3 使用学位论文戆瓣定，醪：学棱毒较镶罄送 学校研以公布论文的全部或部分内容，可以 ( 保密的论文在解密后应遵守此规宛) 作蒜签名： 日期： 露师签名： 哮免 日期：毒趔! ：歹 易舒 一 致谢及声螭 声明 本人郑重声明：所璺交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取 褥的成果。尽我所知，除文中已经注嚷b l 用的内容强，本学镶论文的研究成果不包含任 何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。 一麴一 第2 2 页 ，伊名、r 。洌 第一章单响应线性模型的试验设计 试验设计中的最优设计部分主要针对的是统计模型，考虑的角度往往是在限定的试验 次数下为了使所拟合的模型最优化来选择试验点( 试验水平) 例如d 一最优设计、g 最优设 计、a 最优设计等都是针对线性模型的参数估计精度而言的，然而需要指出的是d 一最优设 计、g 一最优设计等从准则的建立到设计的构造都是基于所选模型是完全正确的前提下的， 也即在进行试验获得响应观测值前必须己知将要拟合的模型是正确的，是可以真实反映响 应与因子间关系的 实际情况下，采用的模型是否合理正确很可能是未知的，那么如果盲目的应用d 一最优 设计或者g 一最优设计等最优设计显然不妥因此我们必须在试验设计前考虑到需要用试 验数据对选用的模型进行显著性检验( 失拟检验) ，而检验的功效则是判别设计好坏的准则， 在这个意义下得到的最优设计一般称为 一最优设计更值得注意的是在对所选模型进行 显著性检验前我们很可能会面临有多个模型可供选择，而其中哪个更准确，哪个更合理是 必须探讨的，我们希望的是在得到试验数据后用其分别拟合( 参数估计) 这些模型可以使得 它们之间在解释数据时有较明显的区别，那么我们就能较清晰的选择出一个好的模型，也 即我们需要一个设计可以对模型进行清晰地判别，在这个意义下得到的最优设计一般称 为t _ 最优设计需要指出的是当选择并检验出一个合适的线性模型后，并不意味着d 最优设 计、a 一最优设计或t _ 最优设计就一定能满足实际的需要，它们只是针对线性模型的拟合、 检验以及判别而言从现实意义出发，我们一般希望最后拟舍得到的模型有最好的预测力， 那么对各水平下响应值的均方误差之平均就成了很好的准则需要指出的是均方误差准则 的前提是所选模型与真实模型之间相差了一个量( 因子的函数) ，如果它们是一致的，则均方 误差准则下的最优设计即为g 一最优设计 多响应线性模型是实际中常见的，而单响应线性模型是其理论基础，在对多响应线性模 型研究其试验设计前有必要简单介绍一下单响应线性模型的试验设计而设计的角度则分 别根据上述的失拟检验、模型判别和响应预测之后两章分别将检验和判别两方面的最优 设计推广至多响应情况，而预测方面的推广会很复杂，很难运用第二、三章的方法 1 1单响应线性模型的检验 对线性模型的显著性检验是在未知模型合理性的情况下必须做的工作，而其中失拟检 验又是一个很常见的问题对假设检验而言我们总希望检验的功效尽量大，也即拒绝模型 正确的概率尽量大一般，在这个意义下做出的最优设计称为a 最优设计，它使得检验功 效( 模型实际不正确而检验结果拒绝模型正确的概率) 达到最大 w i e n s ( 1 9 9 1 ) 对真实模型是近似单响应线性模型的情况作了讨论。证明在试验区域上的 均匀设计( 试验点在区域上服从均匀分布) 可以使得检验功效达到最大，也即当所选模型不 合理时，均匀设计使拒绝模型正确的概率达到最大另外值得注意的是，当所选模型较合 理时，均匀设计可以使拒绝模型正确的概率达到最小从这两个结论来看，无论所选模型 是否合理，用均匀设计对其进行失拟检验，其检验结果都是最可信的必须指出。这一结 果仅适用于真实模型是近似线性模型的情况，而对真实模型也是线性模型的情况，一般只 讨论功效达到最大的设计为了下一章将这一结果推广到多响应情形，本节先简单介绍一 下w i e n s ( 1 9 9 1 ) 得出结论的过程 第l 页 第一章单响成线性模型的试验设计 首先簸竣将要菸台戆蘩嫡应线毪模罄为： 矶，篇z ( z ) + e ( 1 - 1 ) 其中试验水平。s 脚，止d x = 1 ，j 一1 ，m ，t 一1 ，c ，e 量l 啦= 竹，即商。个试 验点，各重簸魄次，共徽n 次试验，丽误差向量s 潢足：童麓= 0 c o v e = 扩磊，另9 b o 遐芦l 维 豹参数蠢璧， 实际正确的单响应近似线性模型为： y l j = z ( ) + ，( 戤) 十( 1 2 ) 这里静，( 瓿) 帮力真实搂燮与毅台模型之溺豹差别， 在f ( z t ) 满足以下条 掌孵可以认为织合模型( 1 ) 与囊实模型( 2 ) 脊湿著差剐( 模溅失拟) ， 即，碍： ( j ) ，k f 2 ( z ) d x q 2 ( 1 ) 蠡z ( x ) f ( x ) d x = 0 筵薅，我粕零整捡验赉摸溪( 1 ) 是不垂臻静，这里匏露蹩鞭据实际清熬巍选定秘霉数 而在f ( x i ) 满足以下祭件时可以认为拟合模型( 1 ) 与冀实模型( 2 ) 没有显著差别( 横测不失 拟) ，f 1 1 f 露： ( ”艮f 2 ( z ) d z q 2 ( ) 五z ( x ) f ( x ) d z = 0 j 毙对，我们希勰检验窭摸溅( 1 ) 是正确的 对模型( 1 ) 进行显著性检验的方法是威用一般的检验统计量： f 。陋二盟璺量建二生二1 2 曼翻坐二堕 s b 其中品f = ( 物一釉2 扣一c ) 是纯误差，而s k g 一8 y 一西8 2 一p ) 则是矿的最小二 乘估计 由于误麓q 服从正态分布，所以有：沁一c ) 昂g 一一2 x 2 一c ) ，f 一曲碟嚣g 一唧一 e ) $ e l a z x 2 ( c p ，毋，鞭韭乏：统诗慧f f ( c p ，露一g 5 ) ，纛溜f 蜀对，剥诀为 须霆静毅台模鍪不正确，郄模型1 ) 失撂，其中f 糖f ( c p ，n c ) 魏a 上铡努证数，另外， 届( 伽一c ) 昂嚣) = a 2 ( n c ) ，e ( m p ) s g 一唧一c ) 睇e ) = 0 - 2 ( c p + 6 ) ，所以非中心参 数6 = 击e ( ( 扎一p ) s 叠目g 一( n c ) 昂e ) 一( c p ) 一在以往的结论中，当对线性模型做照著性检验时，检验功效妒一p ( f r ) = 1 一 j 笔姜一。一龋( 嚣) 如是菲孛，参数5 麴壤涵数，其中五，# 。蝣砖是菲孛，f ( e p ，岛5 ) 分 雍的密度邈数，困诧考患检验功效的大小必要考虑菲中一心参数6 豹大小 先说明一些记号：z 一( 扛1 ) ，一，( 。) ) ，1 。一( 1 ，1 ) 乞。l ，y = ( h 。1 ，u = o 釜1 1 。= d i a a ( 1 。，l 。) ，= ( ，( 茁1 ) ，( 石。) ) 7 ，根据正确模型( 2 ) 知：e y u z o + u f 。另外假设嚣= u z ( z u u z ) 1 1 z ，j = 移( 固一1 u ，耍l 毒：s 疗= 磊与y 轰一h ) y ， 昂e = 壶，”( 厶一j ) y ，蔼j t r h = 热虽( 嚣y ) ( 厶一h ) ( e y ) = ，( 矗一n ) v f , 掰戳蒋： e ( ( n p ) 铭职g ) ；亡r ( ( 厶一灯) 口2 厶) + ( e y ) ( 厶一h ) ( e y ) = 一p ) 扩+ i v ( l 一灯) 叫 故： 1 5 2 壶 ( 椎一芦) 扩+ 夕扩 矗一h ) u f 一机一c ) c p ) = 去，酽7 厶一醋) 秽， 第2 页 霹鞋令：壤= 警i 敝。( ) z ，( 龟) 一蠡z ( 。) z 7 ( z ) ( ) ，箕中热= n j n ，孬令：b l = ：，n 。( 敬) ，f ) = 矗4 x ) f ( z ) 扛) ，臻8 有： ，u 7 ( 厶一h ) u f = ，2 ( 。) d f ( z ) 一吩，f 1 b ，f 是卢( ) 这嚣懿鸯： d ；“3 ( f ，) 因此可以说检验功效正e b 予p ( ，) w i e n s ( 1 9 9 1 ) 翡结论楚： ( 1 ) 对均匀设计a 有：a a r g m a x er a i n 矧寸疹( ，f ) ，郎均匀设计馕巍缀合模型失拟时检验出 模型不正确的概率的最小值达到最大， ( i ) 对均匀设计a 有：a a r gm i “fm a x f 4p ( ，) ，即均匀设计使当拟合模型不失拟时检验 出模型蠢确的概率的最大值达至4 最小 w i e n s ( 1 9 9 1 ) 瓣讨论照有萁特殊之楚静，赞对於是两个模登之闽稳蒺麓悬承 平的一般函数而对于真实模型和拟合模型之间的差别为一个线性函数时， j o n e s f f f l m i t c h e l l ( 1 9 7 8 ) 给出了其失拟的定义及判别凇则( 检验功效) 这就有了a 最优设计， 另外，w 日e s i n h a 和k h l l r i ( 1 9 8 7 ) 则将其推广到了多响殿情形并绘出了完整的构造a ，爆优设计 的方法，逛曩嚣要指趱豹是w i j e s i n h a 耪k h u r i ( 1 9 8 7 ) ：嚣j 多响瘟模型失羧熬定义与本文下一章 的定义楚僚持一致的能们豹这些结论这里不再奔缨 1 2 单响应线性模型的判别 在选择一个模型为了对已鸯斡瓣鹿数据述荦亍较合理的解释辩，必绶霪多缝摸罂骰塞有 效辩羚裁，在这个意义下檄醅试验竣诗来掇合模型，篡中最戆区溺备攮墅的设计称为t - 最优 设计而对两个单响应模溅的判别则是篡中一种特例 为了说明r - 最优设计的判别准则及等价定理，a t k i n s o n ( 1 9 7 5 ) 先假设已有个已知参数 的正确模擞： ! 飘1 ) ( 茹) 一壤，) 秘) = 式1 ) ( ) 飙的 而实际拟合的模型为： e y ( 2 ) ( x ) 一对( 2 ) 扛，反2 ) ) 一弱) 扛) 婊2 ) ( 1 _ 3 ) ( 1 - a ) 其中x 罴设诗送域x 上的一个试验茂婊l ，是正确耩型的已知参数，反2 ) 是蒋簧搬台的模 型的未知参数，而误差e 服从均值为0 ，方差为a 2 的芷杰分布另外可以假设对一个有次观 测的设计矗而毋和f 2 分别是模型( 3 ) 6 1 ( 4 ) 的设计阵 在圾1 ) 殴知的前提下，姣2 ) 的不考虑误差的最小= 莱信计是： ， 聩( 舒2 强挚z ( ”( ，) ( 。) 一婶( 2 ) o ，反：) ) ) 2 ( 。) 而与之相对应的不考虑误差e 的残麓为： 焱2 ( f ；= 7 ( 野f 1 ) ( 。) 一墩2 ) ( 童，反2 j ) ) 2 茹) j x 第3 页 第一一章单响应撬性模型曲蒜验设1 对上述线性模型而言，反2 ) ( ) = ( 曷f 2 ) _ 1 日f 1 卢( 1 ) ，而学是非中心参数( 与前节类似) ， 且笔磐一腰1 1 ( g n e f 2 ( 眉f 2 ) 。g e ) 觑。) _ 所谓t - 晟优设计是指f + 一a x g m a x 2 ( e ) ， 也即在腿模型对试验数据解释时，t - 最优设计最能撼真实模型和拟合模擞区别开来 在判翻孓最爨设诗霪，a t k i n s o n ( 1 9 7 5 ) 绘窭了答徐牲定理。蓄兔簸设+ 是鄹尉模 型( 3 秘( 4 ) 鞠孓最优设诗，令绣) = 最2 ) 麓4 ) ，2 ( 4 ) 一 豫，) g ) 一嗽2 ) ( 筇，稼) ) ) 2 壮) ， 如( 。，+ ) 一( r o ) ( x ) 一吼2 ) ( 譬，1 ) ) 2 这样就有以下几种情况等价： ( 1 ) t - 最优设计p = a r gm “a 2 ( ) ( 2 ) 她( z ，+ ) 2 ( + ) ，对比x ( 3 ) 对于f 中的支撑点z ，1 c 1 2 ( ，+ ) = 2 ( + ) ， ( 4 ) 对予任塞； t - 最优设计，郎2 ( ) 2 ( 4 ) 引x 最腊简单介绍- - t a t k i n s o n ( 1 9 7 5 ) 构造两个单响应线性模型的最优设计的序贯方 法上述的最优设计完全依赖于己知参数的正确横戳，丽现实中正确的模型应该是未知 的，因此构造最优设计用的是肖迭代过程的序贯方法先假设矗是第步遮代得到的设计， 反，) 积反瓣一般静最小二乘鼹计分裂是： 反t ) ，e 媳) = ( ， 焉，) ，女k 反z ) ，m 慨) = ( 捌。f 2 ，) “蜀，k k 其中h k 和如，女分别是靠对应与模型( 3 ) 和( 4 ) 的设计阵，而k 则是与靠对成的真实响应的观测 向量于照可以得到一个估计傻： 奶( # ，& ) = r ( 1 j ( 霉，反1 ) ，女) 一壤2 ) 毛反2 ) ，) ) 2 序贸霹法：选定一个期始非奇异设计岛以下对第蛙 的设计瓢计算母：( z ， * ) 并找 出茁k + 1 使如( z 1 靠) = s u p 。x 讪2 ( 茹，靠) ，将z k o 加入到设计靠中，得到下步设计靠+ 1 重复 以上过稷盥到s u p m e x 锄( z ，靠) 邂渐减少的变化不明鼹，也即矗已经接近予t - 最优设计p 了。 需要指出的是，无论哪个模型豫确，当七一o o 时，颤一f + 1 3 荤晌瘫线注模型的颡溅 线性模型的预测精确度可以说是衡量所构建横烈的优劣程度的一个极其重要的标准， 也是在突际很多场合下人们关心在意的问题对于所选模型正确的情况，传统的g 一最优设 计正是针对预测精度作出的域优试验设计，然而对于实际所选模型未知藏是否完全准确的 情形，照然g - 蹑优设计( 预测方麓作为判别准则) 是不够的，而后w e l t h ( 1 9 8 3 ) 绘出了单响应线 性模型下游预测僮的均方误豢佟为判别准剥静试骏竣计方法，这拓展了鞭灏闻题试验设诗 弱理论誓嶷 本文燕簧对多响应线性模溅的试验设计进行讨论，将模型检验及剿剃溺题用类儆羽方 法拓展到多响应情形，而对预测问题的多响应拓展并不能简单照搬避臌只能简单介绍 下w e l t h ( 1 9 8 3 ) 的结论，目的悬可以较为全面地介绍线性模型的试验设计，幽然这对多响应 线性模型试验设计的认识是一个前提也是一个理论熬础 第4 贾 考虑离散的设计区域x 一 x 一，岛) ，其中为某个试验点。令设计矗中含有n 个 可古黛复的试验点：。( 1 1 ，茹( 。) ，对应的观测值为( z 砧i l ，n ，也即靠一 ( x 警lx 警2 。* 。 ， x 警r ) 、，相当予水平敬夔复魄。次， 设i f _ 确斡模型为： e y ( x | i ) = 7 7 ( x 1 ) = ，7 ( ) p 十氟i = 1 ，一一- ，r ( 1 。5 ) 实际拟台的模型为： e y ( x ) = ，铷 ) 廖i 一1 ，r ( t - 6 ) 方差淹玎2 ， 如果令在水平戤处的晌斑预测为( 托) ，也即雪( 茹，) 一，i 缸) 声，其中修怒卢的最小二乘估计 那么就有在设计岛下对应于痧) 的均方误差的平均值，其中： j 2 甚上e 协( z ) q ( 圳2 出昙 考惫劐x 麓寓教蛙，蜀这墼戆霹写残： 把预测值的均方误差的平均值j 作为最优设计的准则，那么最优设计p 应使j 达到最小 也即f 8 一a r g m i n e j 类钕一觳的均方误差弼分勰受方差与骧差的秘，这垂嚣襻露要凌了臻分藤： i ，= 去t ，一 雪( 孔) 】+ 杀嘞( 瓤) 一町( ) j 。 同时，定义y ( 靠) = 毒毛，射。r 够( 缸”，口( 矗) 一海：。嘞( ) 一q ( ) j 。 对于+ = a r g m i n j ，熙j = y ( 矗) + 凹( 矗) 丽言，找不到个设计矗可以月时 使y ) 鞫丑矗) 达到最小，冀羚羞要使瓞到激小，登须在构造娥忧没计露圈时齄 瑾矿瞧) 秘8 ( 矗，这又是稷囊掇灌豹。 b o x 和d r a p e r ( 1 9 5 9 ) 曾鹅的方法是当y 4 嚣时，仅考虑矗使口达到凝小，以此作为最傀 设计 较为合理的方法是：w b 妯( 1 9 8 3 ) 在设计区域x 内先限定b ，z ) ，使得偏差部分摆脱z 的 作用，也即将j 改进为： = 矿( 矗) + m a x b ( & ，z ； 塑窭整塑整量垡设计 + 一a r g m i n ej ，其中# 一，并) ，这样的设避方便了最优设计的 构造过程，而其合理蛀并不蹙多少影响 在醚样的思想下，w b l n l ( 1 9 8 3 ) 在构造最优设计时对m a x ；b 慨，2 ) 部分作出了进一步的 修正及说明，并在考虑曰( 靠，# ) 的比重对j 的影响臌对准则作了优钯，煅终给出了求最优 第s 贾 嚣 吁 一甜 f g ，汹 旦卉 = ， 第一u 章单响应线性模型的试验设汁 设计的种解析算法，得到的最优设计即各试黢水平的比熏有较好的效，这部分内密不 需要褥终详缨奔缀了， k i m 和d r a p e r ( 1 9 9 4 ) 对两晌疲情形作宙部分讨论，遥到较为困难的是瓶阵处理，同祥菪 依此对多响应模型进行讨论会有疆繁琐的矩降处理如果试湖用下两章的方法处理多响臌， 那么再构造最优设计时可能将难以找到一种台理的算法 攀穗应线挂模型的试验设计是多响应猿形豹理论基穑，将其推广到多嫡应模型的试验 设计弼麓会畜多零孛方法，其中霹静瓣方法登须瑟求准要l j 建立台瑾，梅遥方滚麓单可行，劳艇 得到的最优设计有较高的效，巍然多响应回到单响应时不能产生矛盾以下两章通过对检 验及判别方面的推广，说明一种处理多响应问蹶的线性组合方法，其结果娥值得采用的 第6 蕊 第二章均匀设计在多响应线性模型失拟检验中的 最优性 在检验线链模鳖失羧清嚣辩，羧 f 】希望可鞋找到一个设诗可醴使当模羹失羧时，检验的 功效函数德遮到最大；而当模型并不失拟时，检验的功效函数值达到最小( 这里的功效函数 是指认为横趔失拟的概率) 那么滗论拟合的模型实际臌确与否，用这样的设计对其进行检 验都是最可信的w i e n s ( 1 9 9 1 ) 发现在单响应情况下，均匀设计就有这样的鬣忧性，而本文讨 论的是均匀设计在检验多响应模泌的失拟情况时同样商此最优性，用均匀设计对多响应线 蛙横型进行捡验是最可痿的， 2 1 弓l 京 在我们对滞要拟合的模型的准确性没有足够认识的情况下，那么在实际应用该模型前， 对其是否失拟进行有效且尽量准确的检验是必不可少的，也是试验设计者必须考虑的问题 当然模溅失拟的部分可以越试验水平的一个函数，也可以是一组水平飚数的线性组 台( 含未知参黢) 对压一静情形模型检验设计的讨论，j o n e s 帮m i t c h e l l ( 1 9 7 8 ) 绘出了单响应 壤嚣下熬一魏结论，瑟w i j e s i n h a 箱k h u r i ( 1 9 8 7 ) 绘窭了多糖应凌嚣下豹缀谂，箕孛包藜了最 傀设计的潮掰准剜，等价性定璎以及构造最侥设计豹方法但他们的工释都是在假定襁合 的线性模溅失拟的前提下进行的，构造的设计也是在拣个意义下最优的。而如果实际上拟 合的模型并不失拟，那么这样构造的设计是否在检验模型时仍是最可信的睨? 本文我们讨 论的是当模溅失拟部分只是试骏水平的一个函数时，无论真实情况下拟食的模型是否真 的失拟，用均匀设计来对其进行照著性检验都是最可信，最可靠的当模刹实际上失拟时， 它可以使捡黢秘效函数f 认为摸激失羰豹概率) 的最小馕选到最大 两当摸溅赛琢上菇不失 掇露，它霹戮建捡验葫效螽数豹竣大篷达到最枣遮缝论在模型是革穗斑瓣溥嚣下已经 i 蠡w i e n s ( 1 9 9 1 ) 绘出，丽在模型楚多响应的情况下，我们发现这一结论仍残立霹戳说魇均匀 设计对多响殿线性模型进行失拟检验是最优的，最可信的 2 2 模戮转换及失拟定义 在设计酝域s 上，对某一个试黢水平。处的各响应观测款( 窖) i = 1 ，r ，我们定义其真 实，歪确豹壤整兔： 玩和) = 芦l ，( 嚣) = 爿江) 孱+ z i 协)i = 1 ，一，r( 2 一1 ) 其中屈是术知参数向量，维数为鼽1 _ 如果令( ) = ( y l ( 。) ，蜘( 聋) ) ，( 。) = ( 爿( z ) ，片p ) ) ，p = d i a g ( 卢l ，羼) 维数p r ，z ( 茹) = ( z 1 ( 。) ，斗( 茁) ) ，腿e & 1 a = p ，那么模型( 1 ) 可写成多响应线性横型： e 鼯( 。) = 芦l 。) = ，( 动磐+ ；嚣)2 2 ) 这里的( 嚣) 作为在水平。处的各囊实响应的观测值构成的向量，服从正态分布，它的协方差 阵设为e 一( ) ，。，而对不同水平下的各观测向量之间是互相独立的 第7 页 肇= 牵缘鸯莰诗在多镌建缦性模霆失投捻鲢孛戆最筑洼 另外，我们定义试验者实际将要拟合的模型为： p 2 ，( z ) 一爿( z ) 屈 = 1 ，r 如果令m z ) 一( 地，l ( 。) ，抛，( 。) ) ，那么模型( 3 ) 可写成多响应线性模型 地g ) = 歹g 弦 ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) 在寻找一个好的设计来拟合模溅( 4 ) 之前，我们必须先确定一个设计对它进行显著性检 验，以明确这个模型是否值得拟合，熄否应该采用，这也鼹本文研究的问题所在 对多响应线性模型的检验，我们用的方法是k h u r i ( 1 9 8 5 ) 先将多响应线性檬型的各响应 进行适当的线性组合，使其转化为单响应线性模型，然聪辫对其进行检验具体如下： 缓设嘉一个棼零的r l 维常数藏量e = e l ，岛) ，先对模型( 2 ) 作交换，令执扭) = 营彝) e ，t e , l 。) 一趣嚣) ，类觳蟪霉怼撰型 童筝交换，令斑，2 ( 茹) = 筘2 扛e ，鄹爨嶷攘整2 ) 襄 拟台模型f 4 谤t 转换为： rr l 玑( ) = 卢。，1 ( z ) = ， ) 风+ z c ( x ) = ：c l ) 侥+ ：c f 盈( z ) ( 2 5 ) = 1t = 1 斑，2 ( o ) 一尸o ) 痿= ：c ( 毒) 照2 6 ) = l 其中孱= 加一b 磁，岛群) 怒p l 维的参数向量，( 。) = z ( x ) c ，而v a r ( v j ( z ) ) = r ( 9 ( z ) c ) = 程，其中口：= d e c 一釜1 毒f f i i + 2 洲q q 另外需嚣假设的是对一个有次观测的非奇异设计，令或( i = 1 ，r ) 魁模型( 3 ) 的 各响应的设计阵，f = ( 日，群)