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弹性动力学中的某些偏微分方程问题 摘要 关于弹性动力学中的偏微分方程研究具有重要的理论意义，同时又具有很高的 应用价值本文主要讨论与弹性动力学有关的偏微分方程问题，主要贡献是证明了 以线性弹性动力学方程组为主部的三维二阶拟线性双曲型偏微分方程组解的整体 存在性：本文的另一贡献是利用渐近分析方法得到了一个二维线性弹性扁壳的动力 学模型 关于非线性弹性力学方程组解的存在性研究已有许多重要的结果1 9 8 8 年，f j 0 h n 【1 2 】利用线性弹性动力学方程组基本解的估计，证明了非线性弹性动力学方程组 初值问题经典解的几乎整体存在性；1 9 9 6 年，s k 1 a i n e n i l a n 和t s i d e r i s l 3 2 1 利用能量估 计及k l a i n e r m a n s o b o l e v 不等式得到了相同的结果；2 0 0 0 年，r a g e m i 【2 和ts i d e r s f 48 】 分别证明了在满足零条件时，非线性弹性动力学方程组c a u c h v 问题解的整体存在性； 2 0 0 5 年，j x i n 和t q i n f 6 0 1 证明了非线性弹性动力学方程组星形区域外d i r i c h k t 初边 值问题解的几乎整体存在性；最近，j ，m e t c a l f e 和b t h o m a s e s f 4 4 1 证明了在满足零条 件时，非线性弹性动力学方程组外问题解的整体存在性 关于弹性扁壳的模型，主要有两类，一类是静力学模型，一类是动力学模型，p g c i a r i e t 和b m i a r a g 】首先给出了在笛卡尔坐标下二维厚度不变的弹性扁壳静力学 模型之后，s b u s s e ，p g c i ”l e t 和b m i ”a 【4 l 在曲线坐标下讨论了相同的问题接 着，n s a b u f 4 7 1 给出了二维变厚度的弹性扁壳静力学模型而关于弹性扁壳的动力学 模型方面的工作目前还不多在边界有限制的条件下，l m x i a o 在f 5 8 ，5 9 1 中分别给 出了厚度不变的二维膜壳与弯壳的动力学模型j y e 6 1 1 则给出了更一般的厚度不 变的二维膜壳动力学模型， 下面对本文的结果作一简单介绍 f 1 ) 证明了在满足零条件时，以线性弹性动力学方程组为主部，非线性项含有u 的 一次幂时拟线性双曲型方程组c a u c h y 问题的解整体存在。 f 2 ) 证明了在满足零条件时，以线性弹性动力学方程组为主部，非线性项含有n 的 二次幂且具散度型的拟线性双曲型方程组c a u c h y 问题的解整体存在 f 3 ) 讨论了以线性弹性动力学方程组为主部，非线性项含u 的一阶导数项的拟线 性双曲型方程组c a u d l y 问题，给出了新的零条件并证明了其解的整体存在性， ( 4 ) 由三维弹性动力学方程组出发，利用渐近分析的方法得到了二维的变厚度 的线性弹性动力学扁壳模型 关键词：非线性弹性动力学方程组，c a u c h y 问题，零条件，广义能量方法，k l 新n e r m a n s o b o l e v 不等式，扁壳，渐近分析，变厚度，弹性动力学壳 2 0 0 0m r 主题分类：3 5 l 1 5 ，3 5 l 7 0 ，7 4 h l o ，7 4 h 2 0 ，7 4 k 2 5 中图分类号：0 1 7 5 2 7 0 3 4 3 5 s o m ep r o b i e m so np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n si n e l a s t o d y n a m i c s a b s t r a c t t h es t u d yo np a r t i 出d i 丘b r e n t i a le q u a t i o n si ne l a s t o d y n a m i c si sa ni m p o r t a n 七s u b j e c t i nb o t ht h e o wa n da p p l i c a t i o n s 1 1 h i st h e s i sd e 时sw i t hs o m ep r o b l e m s0 fp a r t i a ld i 朊r e 力t i a l e q u a t i o n sr e l a t e de 1 8 s t o d y n a m i c s t h em a i nc o n t r i b u t 沁no f 乞h et h e g i si st op r 叫et h e 直o b a le x i s t e n c eo fs 0 1 u t i o nt os e c o n do r d e rq u a s i l i n e a rh y p e r b o l i cs y s t e m sw i t ht h eh n e a r e l a s t o d y n a m i cs y s t e ma sm a i 玎p a r t ，a n o t h e rc o n t r i b u t i o no ft h i s 七h e s i si st oo b t a i nt h e 2 一d i m e i l s i o n a lm o d e lf o rt h el i n e a r l ye l a s t o d y n 蜘i cs h a l l o ws h e l l 8w i t h 、w i a b l et h 【c k n e s s b ym e a n so ft h e 日s y m p t o t i cm e t h o d a tp r e s e n t ，t h e r eh a ，eb e e ns o m ei m p o r t a n tw o r k so nt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n s t ot h en o n l i n e a re l a s t o d y n a i cs y s t e m i n1 9 8 8 ：f j o h n | 1 2 p r o v e dt h ea l m o s tg l o b a l e x i s t e n c eo fs o l u t i o n st ot h ei i l i t i 出v a l u ep r o b l e mf o rt h en o n l i n e 耵e l a s t o d y n a m i cs y s t e m b y 印p l y i n gt h ee s t i m a t e so nt h ef u n d a m e n t a ls 0 1 u t i o no ft h el i n e a re l a s t i co p e r a t o r b y a p 曲y i n ge n e r 斟e s t i m a t e sa n dk 1 a i n e 珊蜘一s o b 0 1 e vi n e q u a l i t y ，s a i n e r m a na n dt s i d e r i s 3 2 s h o w e dt h es a n i er e s u l ti n1 9 9 6 i n2 0 0 0 ，r a g e m i 2 ja n dt s i d e r i sf 4 8 】i n t r o d u c e dt h e n u l lc o n d i t i o i l sf o rt h en o n l i n e a re l a s t o d y n 删cs y s t e mi nd i 髓r e n tw 蚵sr e s p e c t i v e l ya n d p r o v e di n d e p e n d e n t l yt h e 舀o b a le x i s t e n c e0 fc l a s s i c a ls o l u t i o n st ot h ei n i t i “v a l u ep r o b l e m w i t hs m a l li n i t i a ld a t a j x i na n dt q i n 【6 0 】p r o v e dt h ea l m o s t 苜o b “e x i s t e n c eo f s o 】u t i o n s t ot h ei n i t i a l b o u n d a r yv a 】u ep r o b l e mo fn o n l i n e a re l a s t i cw a v e 8i nt h ee x t e r i o ro fas t a r _ s h a p e dd o m a i mr e c e n t l y j m e t c a l f ea n d & t h a m o s c sf 4 4 1p r o v e dt h e9 1 0 b a le x i s t e n c eo f s o l u t i o 璐t ot h ei n i t i a l b o u n d a f yv a 】u ep r o b l e mo fn o n l i n e a re l a s 乜cw a v e ss a t i s 分i n gn u l l 0 0 n d i t i o ni ne x t e r i o rd o n l a i n br e g a r d se l a s t i cs h a l l o w8 h e l l s ，恤e r eh a eb e e ns o m ew o r k so nt h es t a t i cs h a 】o w s h e l l s c i a r l e t8 n dm i a r a 9 】j u s t 访e dt h et w o - d i m e n s i o n a lr n o d e lo fs h a l l d ws h e l l sw i t h c o n s t a n tt h i c k e s s i nc a r t e s i a nc o o r d i n a t e s a f t e r w a r d sb u s s e ，c i a r l e ta n dm i a r af 4 】 d i s c u s s e dt h es a m ep r o b l e mi nc u r v i l i n e a rc o o r d i n a t e s t h e ns a b u1 4 7 1i d e 毗i 丘e dt h et w o - d j m e n s i o n a lm o d e lo fas h a l l o ws h e uw i t hv a d a b 】e 七h i c k n e s s t h e r ea r eaf e ww o r k si n t h ed y n a m i cc a s e a 0 【5 8 ，5 9 p r e s e n t e dt h et w o d i m e n s i o n a ld y n 蛐i cm o d e l so f b o t h 1 i n e a rm e m b r a n e sw i t hr e s t r i c t i o n so nt h eb o u n d a d a n d 丑e x u r 8 1s h e l l s a n dt h e ny e 【6 l 】i m p r o v e dx i a o ：sr e s u l t s 。nm e m b r a n es h e l l sa n de x t e n d e di tt og e n e r a l i z e dd y a m i c m e m b r a n es h e u s n o w ，w es t a t eo u rr 鹋u l t s ： ( 1 ) w ep r o v et h eg l o b 出e x i s t e n c eo fc j a s s i c a ls o l u t i o n st oak i n do fs e c o n do r d e r q u 蚓】i n e a rb y p e r b 0 1 i cs y s t e m ss u b j e c tt oan u uc o n d i t i o n ，w i t ht h e1 i n e 盯e l a 础o d y n a m i c s y s t e ma sm a i np a r ta n dt h en o n i i e a rt e r m sd e p e n d i n go n 乞h e 丘r s tp o w e ro fu ( 2 ) w ep r a v e 七h eg l o b a le x i s t e n c eo fc l a s s i c a ls o l u t i o n st oak i n do fq u a s i l i n e a rh y p e r _ b o l 沁s y s t e m ss u b j e c tt oan u nc o n d i t i o n ，耐t ht h el i n e a re l a s t o d y n a r n i cs y s t e m8 sm a i n p a r ti nd i v e r g e n tf o r ma n dt h en o n l i n e a rt e r m sd e p e n d i n go nt h es e c o n dp o w e ro fu ( 3 ) w ed i s c u s st h ec a u c h yp r o b l e mo fak i n do fq u 8 s i l i n e 竹h y p e r b o l i cs y s t e m s ，w i t h t h el i n e a re l a s t o d y n a m i cs y s t e m 鹪m a i “p a na n d 地en o n l i n e a rt e r m sc o n c l u d et e 玎1 so f t h e r s to r d e rd er v a t i v e so f “as y s t e mo fn e wn u uc o n d i t i o n sa r e 西v e n ，b yw h i c hw e s h o wt h eg l o b a le x i 8 t e n c eo ft h ep r o b l e m ， ( 4 ) b y 印p l y i n gt h ea s y m p t o t i cm e t h o d ，w ei d e n t i f yt h et w 0 _ d i m e n s i o n a lm o d e lo f 钆 e l a s t o d y n a m i cs h 出l a ws h e l lw i t hv a r i a b l et h i ；鼋( a ) o ， ( 1 1 2 ) 记偏导数为 3 ( u ， ) = b 蔬( a ) 国( a m 以矿) ， 1 3 ( 1 1 3 ) ，如n ，n ；l 岛= 魂= 象伽嘉，。，3 2 第一章绪论 简记为 角动量算子为 其中 为向量积 a = ( a 0 ，a 1 ，a 2 ，邑) ，v = ( a 1 ，如，a 3 ) n = ( n 1 ，n 2 ，n 3 ) = 。 v v = ；a r 一； n ，r = i z i ，屏= ；，v ( 1 1 4 ) 巩= ( ；三i ) ，巩= ( ；i ：) ，巩= ( i ；) 与线性算子相应的能量定义为 剐删= ；上。脚( 驯2 + c 撕( 圳2 + ( c 一c 押删j 2 出 3 第一章绪论 高阶能量定义为 峨( u ( ) ) = e 1 ( r 。( “( ) ) ) 川s k 一1 为了描述解空间，引入算子 a = ( a 1 ，a 7 ) = ( v ，q ，r 屏一1 ) a 与r 有类似的交换性质 定义 月支= ( ，上2 ( 豫3 ) 3 ：a 。，( l 2 ( r 3 ) ) 3 ，i 口l 惫 ， 带有范数 = 坩川i z ( r 3 ) 女 解将在空间群( t ) 中得到，其中雌( 丁) 是g o 。( o t ) ；c ( 麟) 3 ) 按范数s u p 硪( “( t ) ) 完 备化得到因此， 诽( t ) c “( ) 非线性满足零条件 3 b 慧( a ) 矗白& 矗岛矗= o ，对任意f 铲 ( 1 1 ，5 ) ， k ，f ，m ，n = 1 结论：对任意a r + ，设零条件( 1 1 5 ) 满足，则存在e ( a ) o ，若问题( 1 1 1 ) 的初 值满足 o u ( o ) 日一1 ， 七29 ， 且 。晚一2 ( u ( o ) ) e x p 【c ( ) f ( ( o ) ) 】se ( ) ， 对任意的t o ，存在唯一的整体解u 直 ( t ) ，且解满足不等式 e 一2 ( u ( t ) ) o 满足 玩( u ( t ) ) ! g 反( ( o ) ) ( ) o f 口让= f ( 缸，血，d 2 “) ，( t ，# ) r + r 3 k ， ，制驰= 。， c - 工， l “( o ) = ，巩u ( o ) = 9 ， b 7 ( d u ) = a 擀岛一巩n ， 1 j ，耳e d o s j k 3 q 7 ( 机，d 2 u ) = b 搿2 a u 白巩“7 装i 箍： 第一章绪论 尺。( u ，砒，d 2 u ) = g m ( ud “) 岛巩u 。 遣器 在( u ，d u ) = o 附近， 并且 c 7 j ( u ，d u ) = o ( 1 u 1 2 + l d u l 2 ) ，p ( ，d u ) = o ( i d 札1 3 + l d u r ) 二次非线性项满足 咄j = 8 盘i k = b 餮氍 e 。7 ，j 2 ( “，d u ) = g 7 h ( u ，如) = g 盯，j ( t ，砒) 努。岛靠= o ，当筹一器一器一器= o ，j = 1 ，2 ，d ， 0 f k 3 。j b 劳批白靠白= o ，当筹一爵一器一嚣= o ，j = 1 ，2 ，一，d 0 ，k o ，使得对e o ，对任意e o 存在唯一的经典解，且满足估计 玩( “( ) ) sc 最( n ( o ) ) ( ) + 2 ，b 2 ( ( ) ) o ，对于给定的初值，h a 和g 域一1 ( 9 ) ，若满足 h ：十破一，+ 。9 o 存在唯一的经典解，且解满足如下估计 ! ，p 【z 靠( u ( ) ) 十( 1 + ) 南颤( u ( t ) ) j 2 e ， o s t ( o 。 4。 其中靠 o 为常数 ( 1 13 9 ) ( 1 1 4 0 ) ( 1 1 4 1 ) ( 1 1 4 2 ) ( 1 1 4 3 ) ( 1 1 4 4 ) ( 1 1 4 5 ) ( 1 1 4 6 ) ( 1 1 4 7 ) 盯 鹪 1 1 0 0 第一章绪论 在第五章中将讨论具有u 一阶偏导数项的拟线性双曲型方程组解的整体存在性， 即 卜卸咄俨，( 1 1 4 8 ) 【u ( o ) = ，瓤( o ) = 吼 其中l u = 砖u c l “一( c i 一) v o v “非线性项可以分解为 f ( v ，v 2 ) = ( v “，v 2 “) + 日( v u ，v “) ，( 1 1 4 9 ) 对1s 3 ， i ( v u ，v 2 u ) = b 藏a ( 口巩u 2 ) l s j ， 3 1 5 l ，m ，n 至3 ( v v u ) = 咏：a u 2 ， ：量毒墨 其中 b 黥= b 苏= b 慧 ( 1 1 5 2 ) 除了满足零条件( 1 1 2 2 ) 外，c 豁还要满足下面条件 嘟的缸矗知= o ，v s 2 ( 1 1 5 3 ) 臀嚣 嘴戎1 嘭2 樱岛= o ，v 耐。s 2 ， = o ( 1 1 5 4 ) 遵i 臻嚣， 定理i 3 若零条件( 1 1 2 2 ) ，( 11 5 3 ) ，( 1 1 5 4 ) 和对称性条件( 1 1 ，5 2 ) 满足令女9 ，则存 在正常数e 和a ，使得对满足下列条件的具有紧支集的光滑初值 4 风一2 ( “( o ) ) 唧【州2 取( u ( o ) ) 向3 2 ， ( 1 15 5 ) 问题( 1 1 4 8 ) 对所有 o 有唯一经典解，且满足估计 既( ( t ) ) 曼d 鼠( u ( o ) ) ( t ) ，取一2 ( ( t ) ) o ，定义集合 n 5 = u ( 一，+ e ) ，r 5 = 伽【- e ，+ e 】，r 量= u 士e 以= ( ) = ( z 1 z 2 ，。) 表示伊中的点，或= a a z ：，= a a z 假定对任意的 0 函数萨：西一醒，萨g 3 ，定义曲面 c ：，5 = ( z l ，z 2 ，矿( z 1 ，z 2 ) ) r 3 ；( z 1 ，茹2 ) u ) 在( ) 一中的每一点，单位向量 扩= “a 1 酽1 2 + i 如俨1 2 + 1 ) 一 ( 一a 萨，一a 2 矿，1 ) 是曲面f 0 5 ) 一的外法向量对e o ，定义映射圣：秘一r 3 ， 圣5 ( z ) = ( z 1 ，z 2 ，口5 ( 。1 ，z 2 ) ) + 石e ( z 1 ，z 2 ) a 5 ( $ l ，z 2 ) ，vz 。= ( z l ，z 2 ，z ) 饼， 进一步假定，对任意充分小的正常数e o ，圣e ：矗一壬5 ( 弘) 为c 1 微分同胚可以 证明，当s 充分小时，( 5 3 1 2 ) 中考虑的映射8 6 是e 1 微分同胚( 参考引理5 1 ) 这一假定 表明 盎= 西5 ( n 5 ) 是开集且 弦) 一= 圣5 ( 僻) 令妒= ( z ；) 表示集合 仟一中的点，癣= 8 a 对每个e o ，集合 伶) 一为带l a m 常数” o ，旷 o 的弹性体的参考构形与集 合u 的测度相比较，e 小，因此称 盎e ) 一为壳，厚度为2 e ( z 1 ，。2 ) ，中间曲面：= 圣5 ( u ) 下面列举一些在本文中常用的主要不等式 引理2 1 任意的u 诽口) 为( 1 1 1 9 ) 的解，则 俨u = ( r 6 t “r 。u ) ( 2 圳 6 + c = d 证明见t s i d e r i s 【4 8 l 命题3 1 | 口 引理2 2 若u 砩， = 奄+ ( 砖一谚) v o v ，则有 j f ：【a u ( z ) 一c ：群“( z ) s ；【l v 孬u ( z ) i + l v u ( z ) i 】 ( 2 1 4 ) 第二章预备知识 证明见t s i d e r i s 【4 8 】引理3 1 引理2 3 若u 峨( 丁) ，则对= 1 ，2 ，有 知 口 c 。t r 1 | r a u ( ，z ) isg 【1 v r u ( t ，z ) l + i v u ( t ，。) l + i 工u ( t ，z ) | ( 2 1 5 ) c 。一r | | r 岛v 缸0 ，刀) 1sc 【| v r u o ，茹) i + l v u ( t ，z ) 1 + t i l 札( ，z ) 证明见t s i d e r i s ( 4 8 】引理32 ( 2 1 6 ) 口 引理2 4 对任意的， ， 峨，非线性项满足( 1 1 2 2 ) ，= ( a ：p ，7 ) ( 1 ，1 ，1 ) ( 2 ，2 ，2 ) ) ，则 i f s 孙z ) i ij v 矗。v ( 。) j j v w ( z ) l + j v 降 ( z ) 帆( z ) l 忸l ! l + i v 2 w 0 ) l l 孬。叫扛) i + i v 2 ”( z ) 孬。 0 ) i + c 1 r ”( z ) li 场v 2 u ( z ) i i 曩v w ( z ) l + i 昂v 2 w ( z ) | | 耳v 。( 。) | ， 一。 证明见t s i d e r i s 【4 8 】命题3 2 ( 2 1 7 ) 口 引理2 5 对任意的u c f ( r 3 ) 3 ，其中r = p = 有 商啦胚。到v 魏 ( 2 1 8 a ) i 口l l 巾l 到瓣“哆到矾睃纠l 口i li 口1 1 2 ( 2 1 8 b ) 嘲q 向心惦e 。黜“刊徊叱盼) w 1 到阮恢川 r ) 坤c ) f d i 1 。 i n f 2 一” 卜州出胚c l 渺小脚8 叱怕盼，w 1 渺铲撕。u 驯tl o l 1 1 n i o 有唯一经典解，且满足估计 ( u ( t ) ) sg 乳( “( o ) ) t ) g 。+ g 5 2 ，e k 一2 ( o ) ) 1 时 r f ( c 。t r ) p a a 严( “( z ) ) l ! e r 丘：l 静( “一r ) r a r 。( u ( 一) ) 1 4 幽) 怕 l 。 l l ( c 。t r ) 渺a r 。t i l 仃z u + 卜r ) a v u 怯 怕l 曼+ 1川s h + l c e i l + 2 ( u ( t ) ) + g m 8 | 十3 0 ( t ) ) 当r 1 时，令 吣) ： 1 当l 叫 1 l o ，当川2 百r 以得到 i ( c 。t r ) a r 。u ( ，七) i g ( 1 + t ) f 垂a r o u l 2 s e ( 1 + t ) 桫( 圣卯。) 怯 = l 2 l 第三章一类拟线性双曲型方程组解的整体存在性 蚓1 + 引i 剐寸卯慨蚓 r ) 1 1 l o l 1 时，由上式作用兄a 2 r 。“可以得到( 3 2 5 d ) 当r 1 时， c 。t r ) i r a 2 r 。u ( ，z ) i s c ( t ) i 圣a 2 p u ( t ，z ) i 蚓三耐 ) 忆 ( 2 蚓幻。引卿6 r n “ 2 ) 吲 2 一 c 莓剐( 哪叫乃卿6 r o u 忆 卢 2 一 c m + d ( “( ) ) 3 3 加权l 2 模估计 口 在引理3 2 中的右端出现了辅助能量 “( “( t ) ) ，所以估计加权的工2 模m k ( u ( ) ) 非常 有必要，这一节我们将证明m k ( “( t ) ) 被叠( u ( t ) ) 估计首先从k l a i n e n i l a n s i d e 。i 。不等式 开始 引理3 3 俾协n e n 一成出n 5 不等式j当2 ，当右边的范数小于无穷时，下面不 等式成立 靠( u ( t ) ) sc 磅( “( t ) ) + e | i o + r ) l r 。u ( t ) 1 l l ：，( 3 3 1 ) i 口i k 一2 第三章类拟线性双曲型方程组解的整体存在性 证明由t s i d e r i s 【4 8 中引理3 4 知 r ) r a v r 口“( t ) 怯se 露( “( c ) ) + g f | | r 。( t ) 怯 一2 2 为证( 3 3 1 ) 式，只要证明l l t r ) r 砰r 。( t ) 1 i 弘小于( 3 3 1 ) 式的右端项即可 l d i 一2 口= l 定义 训“= c ；u o ，z ) + ( c 一谚) v ( v u ( t ，茁) ) 通过观察可以得到 巩s 一a t u = 霹u 十r a a r u ， 4 s 让一4 缸= r 钾t + t 4 巩u ， 因此 ( 巩s u 一巩“) 一r ( 屏s “一a ，“) = 2 a ；t 正一r 2 群“ 为了得到( 3 3 1 ) 式， t 2 砰u r 2 辞u = 生i 笔i = 。塑砰u + 爰l “+ 基( w u c ：a ；u ) ，n = ，z ， 即 ( 毫t 2 一r 2 ) 霹u = c ： ( t 2 砰“一r 2 辞u ) 一；l “一筹( w u 一毫辞“) 。口。a 根据( 2 1 4 ) 式得到 i c 。t r i | p q 砰u l c 1 a r “( ，z ) + i v “0 ，z ) i + r i l u 0 ，z ) i ， 进而 a t r ) 只田r 。“( t ) 怯e 磅( u ( ) ) + r 。u ( t ) 忆 口 引理3 4 设为( 3 1 1 ) 的光滑解，8 ，女7 = 【孚】+ 3 ，则对任意的川s 一2 ，有 吣+ r ) l r n u ( 圳i l ：c 砖( u ( ) ) 慨( u ( t ) ) + 磅( u ( t ) ) 慨，( 。( t ) ) + 段，( “( ) ) 舡( u ( t ) ) + 取，( “( t ) ) 磙( u ( t ) ) + 露( n ( f ) ) 竹，( u ( t ) ) 蘧( u ( 幻) 】 ( 3 3 7 ) 。瑚2 陋 0 2 3 4 5 6 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 第三章一类拟线性双曲型方程组解的整体存在性 证明先证舻l r 。“( t ) l l 胁类似证明i 卜l r 。u ( t ) 令m = 【学j ， | | r 。( t ) 协se t f v r 6 “v 2 r 。怯+ e t “r 6 1 1 。a 2 r 屯怯 6 + c t 一26 + c + d 兰一2 + 8 a r 6 们r 。乜a 2 r 。f | l 2 + l i u a r 。扯a r 4 缸f l l 2 + | l a r 6 u a r 。t 工a r d i | l 2 ( 3 3 8 ) 对( 3 ，3 8 ) 中的第一项在【4 8 】已经给出证明 0 v 一v 2 r 。u 怯 蚓圹- 警m 胍托) l 硪( u ( t ) ) 慨，( u ( t ) ) 对( 3 3 8 ) 中的第二项，由( 3 2 5 a ) 、( 3 2 5 b ) 及( 32 5 d ) 和h a r d y 不等式得 i | r 6 “a f 。“a 2 r 4 u | | 工2 e ( t ) 一1 c n t r ) r r 6 r 。“a 2 r 枷伊 g ( t ) - 1 净“忪a r 。u 恬忡。t r ) r a 2 r 8 u 陋，6 ，c m 。i 1 i i ( r ) r 6 “p 1 | a r 。“f | p | l ( r ) ( t r ) r 护r 4 “i l l * ，6 m d m 一1 。i 1 i i i 、吒| f l ：f f r 8 r c k * 8 ( r ) ( 一r ) r a 2 r d “l * ，csm ，d 冬m 一1 蚓圹慨蹴滁磅似啪 对( 3 3 8 ) 中的第三项，由( 3 2 5 b ) 及( 3 2 5 d ) 得 l i a r 6 们r 。t 上a 2 r 缸i i l 2 2 e ( t ) 一1 附) ( c a 一r ) 矗a r 6 u a r 。u a 2 r 4 圳p a = 1 6 c m 6 s m ，d s m 一1 b p 删 一 一 吖 啦 b 砸 t 产 打 p p 卵 卯 。雩1 第三章 一粪拟线性双曲型方程璺竺竺兰竺堡鱼堡 一 一一。 ，1 风心( ) ) 帆( t ( ) ) ， 夕 厂1 1e 砉( 邵) ) 帆小) 露( 啡) ) 对( 3 3 8 ) 中的第四项，rs 警时，由( 3 2 5 a ) ，( 3 2 5 b ) ，( 3 ，2 5 d ) 和h a r d y 不等式，有 妒u a r 。u a r 4 “，s 学) e ( t ) 一1 t r ) 尸n r 6 a r 。u a r 4 u 怯 i 壹叭彤r ) l 卜帜铲酬一8 r 屯1 1 胪 b ，c m 妒壮r 1 埽圳泸u r 酬州瞅咄叫兄删mc l d 。 i 咿吒l r a r c u 怯( c 。一7 ) 兄a 1 4 “。，4 茎” 兰c ( ) 一1 e ( u ( t ) ) ( 慨心( t ) ) + 磅( u ( ) ) ) 磺( “( ) ) 当r i 学时，应用( 3 2 5 a ) ，( 3 2 5 b ) ，( 3 2 5 d ) 和h a r d y 不等式，有 时u o r c 曲r 8 u 吣( ，! 华) g ( t ) 一1 r 6 a r 。u a r 4 训胪 l 壹一训圳一r ) r 抒u 怯l l 刑u b ，c sm 妒驻r 1 泯坤刈l 2 l 旧眺刮刑训m d s m i 咿6 u i r a r c u 怯a r 吨忪t 。，d sm 兰c 恸一f 磅( u ) 擘如) + 露( ) ) ) 露( 吣) ) 【取，( u ( t ) ) 硪( ”( o ) ) 对( 3 3 8 ) 中的第五项，不妨设b ，c 曼m ，由( 3 2 5 b ) 及( 3 2 5 e ) 可得 1 1 卵u 卯。a r d u 协 s g ( t ) 一1 ( c a 一r ) r 酽a r 。u 8 r 屯怯 一1 a 咖圳 ( 一r ) r a 刊圳“物 s c “) 一，e ( u ( f ) ) ( m f ( u o ) ) + e ( 亡) ) ) f ( u ( 亡) ) 口 第三章一类拟线性双曲型方程组解的整体存在性 由引理3 3 和引理3 4 我们可以得到 引理3 5 令9 ，p 一一2 ，存在大于零的常数印，具有以下性质：对任意的( 3 1 1 ) 的 解虬鄙( u ( ) ) 的上确界在【o ，t ) 上充分小，使得 s u p 罐( “( t ) ) o( 3 3 9 ) 0 s t l 成立，则 缸( ( t ) ) ! c 硪( u ( t ) ) ，( 3 3 1 0 ) m k ( “( t ) ) g 霹( u ( ) ) ( 3 3 1 1 ) 证明因为9 ，则= 【学】+ 3 s 一2 = 由引理3 3 和引理3 4 ，当印一。时，可以 得到 缸( “( ) ) c e l ( “( t ) ) + g 【e 耋( u ( ) ) 缸( u ( ) ) + 置j ( 珏( t ) ) i ，( “( t ) ) + 印( “( ) ) 埤( “( ) ) + 耳，( u ( t ) ) 露( u ( t ) ) + 磅( u ( t ) ) 埤，( u ( ) ) 馥( “( 洲 c 罐( 。( ) ) + e 。 缸( t ) ) + e 3 缸o ( ) ) + 。； se 砖( 。( t ) ) 以及 慨( “( t ) ) g 磋( u ( t ) ) + g 磅( u ( t ) ) 慨( u ( t ) ) + e ( “( t ) ) 帆，( u ( t ) ) + 鼠，( “( t ) ) 慨( u ( ) ) + 凤，( “( ) ) 研( u ( t ) ) + e 5 ( u ( t ) ) 肘；，( ( ) ) e ( u ( t ) ) 5g 磋( “( t ) ) + e 。 缸( u ( t ) ) + e 3 靠( u ( t ) ) + ；3 磙( 。( t ) ) sg 磋( n ( t ) ) 3 4 能量估计 口 按照t s i d e r i s 【4 8 以及t s i d e r i s 与s ，y n 【5 0 】的方法，通过得到一对高阶能量风( u ( ) ) ( k 兰9 ) 以及低阶能量以( u ( t ) ) ( 肛= 一2 ) 的耦合能量不等式组完成定理证明因为方 程是拟线性的，我们需要考虑修正的能量，此能量等价于小解原来的能量对任意的 初值( ，9 ) ，具有分量( ，。，矿) 四。( r 3 ) 噼。( r 3 ) ( = 1 ，2 ，3 ) ，对任意小的o 2 ess o ， 2 6 第三章一类拟线性双曲型方程组解的整体存在性 我们假设聪( u ( o ) ) e 由标准的局部存在性定理我们知道，方程存在唯一的局 部光滑解设乃为所有丁的上确界，其中t 满足：e ；( 。( o ) ) 2 。在【o ，丁) 上下面证 明露( u ( o ) ) 2 s 在【o ， 上成立，因此我们可以把局部解延拓到任意时间，即只要证 明 j ，爰晟( u ( t ) ) s c ( t ) 一- 氨( u ( ) ) 爵( u ( t ) ) + 耳( u ( 枷 ， 【墨耳( “( t ) ) 兰c ( t ) 一 邑( u ( t ) ) 【豆( u ( t ) ) + 磊( “( t ) ) ， 即可，其中鼠( u ( t ) ) ，耳( ( ) ) 为修正能量 假定o t 码，( ，) 表示r 3 中内积，对任意的2 - 1 ，2 ，忙29 ) ，有 础“) _ i 。巨。胁p u 胁 = 。邑上。嗾a l ( p 以蝴p 。如 + 。上。( “，删以劫p 矿a p 删一。毛名。( ( 一盯m 严啦c + 。毒。舯 l 矿嘶1 。聂。驴州删矗 胁 + l 善。臼l r 卜m p m 也 ( 3 4 ” 对( 3 4 1 ) 的右端的前两项，根据对称性条件( 3 1 5 1 和f 3 1 6 1 得 ，上。磁：a f ( p 靠矿) 诜 + ，上。( ，删以劫r 。玩p 出 = 。上，b 捻( a m 严巩矿执p 。) f d z + ，上：( 哦口( “，d u ) 釉p 矿仇p 小) a 出 一。上。礁 埘泖嘣虹，萎。上。以( 州u 妒螂 一。暑上。( 刈嘞吼讯吼 ，；爰，三，日蒜r 。巩u a f r 吖出+ ；，邑上。嗾r 。一仇a n u a r 。u 。如 苎三兰二：耋苎竺丝翌望翌塑堡璺竺塑兰竺堡奎堡一 + 差三上。钟，州删pl 鑫小啪 删卸r 协 一菇“。嘶一一；l 墓上。蛾机物矿拙 ：一；丢薹胁驴删矿胁；l 孙秣帕如 + 州矿一恤，墓上。鹕沁叫伽r 舶z l = i + ；r 加情玎甩r 慨 其中硝 量中，i 扰动的 一项和第三项可以作为低阶扰动引入到能 fb 黥r 。u ，a 。扩a f r 。u t 出 f r 3 8 ( u ，如) 磺劫r 吼r u 如， ( 3 4 2 ) t ) ) 估计，由( 3 25 a ) ，( 3 2 5 b ) ，归u u p 、【l 。 可以被埘l t 、一甜j sz 5 叫儿伺 ；e f ( 。( t ) ) s 画( u ( t ) ) 2 e l ( u o ) ) ， f = 1 ，。1