（课程与教学论专业论文）组合问题解决过程中的直观表示与分析思考.pdf

学位论文独创性声明 y 1 0 圭s 王0 s 本人巍呈交戆学袋论文是寂在导舞瓣稽导下透蠢舞霹突麓终及臻缮戆磺究残 暴器我所知，除文审已经注明| 餍酶癣察绛，本论文不包龠其毪个人已经发表 娥撰写过的研究成聚对本文的研究做出熏要贡献的个人和蒙体，均已在文中怍 了明确说明并表示谢意。 嚣者签名：亟基垂瓣黎：乏! ! 墨! 乡7 母 学位论文使用授权声明 本人完垒了舞挚东薅蓬大学有关保留、捷建学位论文瓣规定，学菝舂毂像辩 学位论文并鸯藩家主餐鄂门或英稽定魏穗送交论文翡电子激和纸震驻。舂蔽将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权梅学 1 藏论文的内容编入有凝数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版 善萎尊文俸者签名垂熏 器蘩： 7 勰磊 娜葶每“瞬f 7 辞 导龉签名：拟 基囊：“参，f ， 摘要 本文通过对5 囊商三学生的游谈，对毫中生缀台问题烬决的过程进行了较为 细致的研究。研究| ：i 勺络暴表明，学生在解决缀合问题中，赢躐表示和分析恩考是 交织谶行，相互作用和影响的；对于崴观表示，学生自觉或不自觉地进行着简化， 篱位寄秘予瓣题解决，稳不决定瓣蘧翳决蕊袋凌；分孝蓐愚考爵以缍势为飙袁鼹表 示接怒莛趣翁筵粟、数誉黪藕心；中翘、疆定藏嚣拣、整控这疆糖类型戆溪旗。 尽管在学生的组合问题解决中，学生都使用赢观表示和分析思考，但是并不 表示学生都能成功越解决闯题。学生在使用直观表示和分耩憨考辩有着搬夭麓簿， 如：( 1 ) 排除问蓬中无关因素的干扰存在差昴；( 2 ) 乖j 霄蠹观表示对闻鼷避行转 他存在楚男；( 3 ) 在分类帮分步瓣概镊上存在篾舅，其中有些茇异决定黄蚀们能 否成功她勰决问题。 在组合问题解决中，学生们腻示出不同的思维特点：鼹否追求简洁，是否善 于独立簿考、努疆露蠼，等等。 最焉，缀撂磷究静缝莱穗鑫魏下教学建议：( 1 ) 试囊对特缀合阉题瓣姨中戆 直观化；( 2 ) 区分学生错误处于分析恩考四种活动中的哪一种，有针对性地纠正； ( 3 ) 熏褫缀合闯题解决中对分类酾分步的概括；( 4 ) 帮助学生辨试并摊除阀题情 境中无关因索的干扰。 关键澜：缝合闽邋，越题鳃决，纛残纯，纛躞表示，分凝思考。 3 a b s t r a c t b yi n t e r v i e 、i n g 丘v es t u d e n t sf r o ms e n i o rg r a d et h r e e ，m ea u t h o fo f m ee s s a ym a d e as t u d yo ft h ep m c e s so nh o w h i 曲s c h o o ls t u d e n t ss 0 1 v ec o m b i n a t o r i a lp r o b l e m s t h e s t i l d ys h o w sm a tv i s u a l i z a t i o na i l da i l a l y s i sw mn a t u r a l l yi n t 前a c ta n di n f l u e n c ee a c h o t h e ri nc o m b i n a t o r i a l p m b l e m s o l v i n g f o rv i s u a l r e p r e s e n t a t i o n ， c o n s c i o u s l y o r u n c o n s c i o u s l ys t u d e m sa r es i m p l i p i n gt h e “s u a lr e p r e s e m a t i o ns o a st os o l v et h e p r o b l e ms u c c e s s f u j l y ，b u tt h a ti sn o tt os a y ，t h ep m b l e mi sc e n a i nt ob es o l v e d a n a l y s i s c a l lb eb r o k e nd o w ni m of o u rk i n d so fa c t i v i t i e s ：i n f b r r i n ga d d i 曲n a lc o n s e q u e n c e s ， m a t h e m a t i c a le l a b o r a t i o n ，i m p o s i n gan e w g o a lm o n i t o r i n gs t a t e m e m s t h o u g hs t u d e m sa r eu n c o n s c i o u s i ym a k i t l gu s eo ft h ec o m b i n a t i o no f “s u a l i z a t i o n a r l da n a l y s i si nc o m b i n a t o r i a lp r o b l e m s o l v i n g ，t h i sd o e s n tm e a nt 1 1 a ts t u d e n t sc a ns o l v e p r o b l e m ss u c c e s s f u l ly t h e r ee x i s tg r e a td i 艉r e n c e sw h e ns t u d e n t sa p p i yv i s u a i i z a t i o n a n da n a l y s i s i ti n c l u d e s ：( a ) t h ed i 髓r e n c e si ns i r i n gt h o s ei r r e l e v a n t1 1 i m s ；( b ) t h e d i 疵r e n c e si n t r a i l s f o m l i n gp r o b l e m ；( c ) t h ed i 雎r e n c e si n g e n e r a l i z a t i o n o f c l a s s i n c a t i o na n df r a c t i o n s o m ed i a e r e n c e sd e t e h n i n ew h e t h e rm e vc a i ls u c c e e di n s o l v i n gc o m b i n a t o r i a lp r o b l e m s i nt h ep r o c e s so fc o m b i n a t o r i a lp f o b l e m s o l v i n g ，if i n ds t u d e m sr e p r e s e mv 撕o u s c h a r a c t e f i s t i c s ：、v h e t h e rt h e ya r cp u r s u i n gp r e c i s e n e s so r 、v h e t h e rm e yd ow e l li n i n d 印e n d e n tt h i n k i n ga n db r e a k i n g 也r o u g hc o n v e m i o n s f j n a j 】y b a s e do nl h er e s e a r c hr e s u l t s ，io 疗hs o m et e a c h i n gi m p l j c a t i o n s f i r s tj y ， s e r i o u s l yt r e a tv i s u a l i z a t i o ni nw o r k i n go u tc o m b i n a t o r i a lp r o b l e m s s e c o n d l y ，t e l lm e m i s t a k e st h a ts t u d e r l t si n a k eo fw h i c hk i n do fa c t i v i t i e si si n v o l v e di na n a l y s i s t h i r d l y ， p a yg r e a ta n e m i o nt og e n e r a l i z a t i o no fc l a s s i f i c a “o n 柚df h c t i o ni nc o m b i n a t o r i a l p r o b l e m s o l v i n g f o u n h l y t r ) rt or e d u c et h ei n t e r f 毫r e n c e st os t u d e n t s 丘d mm ep m b l e m c i r c u m s t a n c e s k e y w o r d s ： c o m b i n a t o r i a l p m b l e m s ；p r o b l e m s o l v i n g ；v i s u a l i 删o n ； v i s l l a l r e p r e s e n t a t i o n ；a n a l ”i ct l l i n k i n g 4 第一章问题的提出 组合是离散数学的一个重要部分，它在学校数学中扮演着重要角色。在我国 的高中阶段，学生开始学习组合问题，一般包括排列、组合。它的基础是分类计 数加法原理和分步计数乘法原理，足学习古典概率的基础之一。在高考中，组合 问题通常以选择题或填空题的形式出现，是必考内容，往往有一定难度。由于组 合问题偏重于分析思考，抽象程度也可以很不同，所以对不同年龄的学生都可以 给出一些挑战性问题，可以用来训练学生表示、列举、猜想、概括和系统思考， 还可以培养学生对大数的感觉和克服困难的勇气和信心。所有这些理由都说明组 合学的教学是重要的。然而，对于许多学生来说，组合学习又是很困难的。 排列组合是传统教学内容，无论中外学生，都有不小的学习困难，所以，对 此教学内容的研究在国内外数量都不少，取得了许多有益的探索结果。 b a t a n e r 0 等人( 1 9 9 7 ) 的研究经过精心设计，参加研究的学生人数众多，有 7 2 0 名1 4 1 5 岁学生参加了测试卷的调查。他们就性别( 男女) 、测验卷版本( a 卷b 卷) 、教学( 是否学过) 、组合模型( 选取分开分配) 、组合运算( 组合重复 全排列重复排列全排列排列) 、元紊胜质( 物体人字母或数字) 这6 个变量，研 究了哪些变量对学生的解题产生显著的影响。他们还概括了学生的一般错误类型， 如对问题陈述的错误解释、顺序错误、重复错误、混淆元素的类型、构造时丢掉 一些元素、不系统地罗列、凭感觉给一个错误答案、运算错误、公式错误、公式 中参数值意义弄错、树状图的错误解释、组合数性质使用错误等。最后，他们指 出影响排列组合问题难度有四个因素：问题陈述的复杂性、组合模型、排列问题 的特征、有重复的组合与排列之间的相似和差别。 笔者认为他们的研究具有丰富的理论意义，然而他们的研究对象都是初中学 生，问卷中的问题也都比较简单。作为一名高中教师，很自然地希望能够把这样 的研究与实际教学内容结合起来，进一步丌展研究。 关于国内的文献，胡海霞( 2 0 0 6 ) 已经做了很好的归纳，这里就转述如下。 她总结搜索到的三百多篇有关排列组合的文章，发现国内“有关排列组合内容的 实证教学研究很少。”杨光伟曾做过一个实证研究，他以8 个本科生为研究对象， 6 分成两组，一个讨论组，一个独立组，通过测试分析得出结论：不同的作业方式 之间在成功解决问题方面存在显著差异，不同的作业方式之间在元认知监控程度 方面也存在显著差异，但元认知监控程度在错误类型上并不存在显著差异。他认 为，合作讨论有助于成功解决排列组合问题( 胡海霞，2 0 0 6 ) 胡海霞总结说，检索到的国内绝大多数文章内容都是解排列组合问题策略的 总结或介绍。她归纳出这些策略大致有以下几种：1 、特殊元素优先安排；2 、合 理分类与准确分步；3 、排列组合问题先选后排；4 ，正难则反，等价转化；5 、相 邻问题“捆绑”处理；6 、不相邻问题插空处理；7 、定序问题除法处理：8 、分排 问题直排处理；9 、“小团体”排列问题中先整体后局部；1 0 、构造隔板模型：1 1 、 枚举法；1 2 、韦恩图法( 或集合法) ；1 3 、对等法( 正反概率相等) ；1 4 、均匀分 组问题均除法。关于学生常犯的错误，主要有：1 、未看清题意或误解题意；2 、 误用原理；3 、排列与组合问题相混淆；4 、对于分组分堆的概念不清晰；5 、对均 匀分配( 有序) 与分割( 无序) 问题经常会产生错误；6 、对“插空、捆绑、隔板” 等常见的策略不清楚；7 、自行加入其他条件去解题；8 、计算错误；9 、对公式不 够理解而错误地使用公式。( 胡海霞，2 0 0 6 ) 胡海霞( 2 0 0 6 ) 研究了影响高中生组合推理的因素。她通过对8 6 7 名学过和未 学过排列组合知识的高中生的测试发现：学生的解题错误主要包括与两个基本原 理和概念有关的错误、文字或语义理解上的错误、重复和遗漏错误、关于公式和 计算的错误等。通过对1 5 名学生的访谈，得到错误的四种成因，即概念不清、文 字与语意的理解能力的影响、分类和分步过程中的重复或遗漏、计算错误。 依据我的教学经验，我认为她所指出的错误类型是常见的。但是，这些错误 是如何发生的，在解决组合问题时，学生之间有哪些差异，特别是思考问题方式 上的差异，这些问题都还需要进步加以研究。 对于中国的高中学生，面对较为复杂的组合问题，他们是如何解决的呢? 对 于他们的思维过程，相关的研究很少。 在平时的教学中，我观察到，在许多组合问题解决过程中，学生都要先画图 ( 直观表示) 再分析思考。本文试图从直观表示与分析思考的角度对组合问题的 解决作进一步细微的研究。它包括两个问题： ( 1 ) 学生在组合问题解决过程中，是怎样使用直观表示与分析思考来解决 问题的? ( 2 ) 学生使用直观表示与分析思考有什么差异? 为什么有的能成功地解决 问题，而有的不能? 成功的内在原因是什么? 直观表示与分析思考是本研究的重要概念，在这里先给出一个明确的界定。 本研究采用z a z k i s 等人( 1 9 9 6 ) 所给出的定义。 直观化是一种活动。在这个活动中，个体在内部心理结构和感知到的东西之 间建立强的联结。这个联结可以在两个方面取得，一方面，直观化活动由物体或 过程反映在个体的心理结构组成，个体与作为外界感知到的物体或事件联系起来。 另一方面，直观化活动也可以由通过外界媒体( 如纸、黑板、计算机显示屏) 反 映出的物体或事件所组成，个体在心理上认同或识别这些物体或事件的过程。 分析活动或分析思考( 本文等同地使用这两个术语) 是在有符号或没有符号 帮助下对物体或过程的心理操作。 以本研究所设计的访谈题目2 的第( 2 ) 问为例，这个问题是：把一个五棱锥 的每个面涂上一种颜色，要求相邻两个面颜色不同。现在有5 种颜色可供选择， 一共有多少种涂法? 学生在读完题后，通常情况下，要画一个五棱锥；这是一个 直观化活动。在这个图形的基础上，学生可能会发现，其中有些面相邻，有些面 不相邻，这是分析活动或分析思考。 第二章文献综述 直观表示的使用可以追溯到数学的萌芽时期。例如，几乎所有的文明古国都 出现过刻划记数。这实际上就是直观表示的使用。而对于较大的数，简单的刻划 记数变得不方便，古人想出各种方法克服这个困难，如进位制的发明等。这实际 上是直观表示的简化。很明显，这其中包含着数学加工。在古代希腊，泰勒斯用 叠合的办法证明“有两双对应角和一双对应边相等的两个三角形全等”。他“先取 一个和原三角形相同的等腰三角形，然而( 原文如此，引者注) 将所取的那 个三角形翻一个身，贴合在原三角形上面，如果它们正好重合，那么问题就得到 证明。”( 袁小明，1 9 9 2 ) 这个证明过程中使用了“翻身”、“重合”等直观操作 和认识手段，深深地依赖于图形的使用，运用了直观推理。 伴随着数学的发展，直观推理一直得到广泛的接受和使用。然而，直观推理 的地位随着1 9 世纪的几个事件发生了动摇，其中最著名的事例之一是：n e 训o n 相信，每一个连续函数至少在一个邻域里是可导的。到了1 9 世纪末，德国数学家 w e i r s t r a s s 给出了一个反例： 1 ，( x ) = 6 “c o s o ”丌x ) ，其中6 是一个奇整数，o 口 1 + 丢石， n = 0 二 它是一个连续函数，但是没有一个点可导。w j i r s 订a s s 没有使用图形，而是使用形 式代数符号证明了这个函数的存在。推理形式化的成功产生了今天严密的数学， 然而它也导致人们有时放弃用图形进行推理( s t y l i a n o u ，2 0 0 2 ) ，甚至产生不借助 图形等直观更高级的偏见。 尽管在正式出版物中放弃了直观工具，但是从数学家们的工作过程中可以看 出，他们仍然在使用直观推理。g e o r g ep 6 l y a 就提出，即便你的问题不是几何问题， 你也可以试着画图，为非几何问题画图可能成为解决问题的一个重要步骤。 ( s t y l i a i l o u ，2 0 0 2 ) p r e 锄e g ( 1 9 8 6 ) 通过特定的测试，从3 4 2 名1 6 1 7 岁的学生中，选出5 4 名直 观化得分高的直观型学生，进行大量的课掌观察和访谈，对1 8 8 次访谈录音和1 1 8 节课堂录像所进行的数据分析研究表明，在数学学习过程中，直观表象具有以下 的优点： 9 ( 1 ) 清晰的直观表象具有记忆的作用。 ( 2 ) 具体的表象与抽象的非直观的模型( 如分析，逻辑) ，或公式的非直观 地使用相结合，是有效的。例如，在求4 5 。的余弦值时，学生可以先画一个等腰 直角三角形，让直角边等于1 ，通过几步计算就能得到所求的值。 ( 3 ) 运动的表象具有潜在的效果。这种表象在研究中很少出现。 ( 4 ) 直观表象用于抽象作用是有效的。在这个研究中，它的作用以两种方式 体现出来。一是具体化关系项，指的是在一个具体的表象中体现一个抽象的观念。 二是方式表象，这种表象可能是模糊的或清晰的，但是它的实质是一种方式，去 除了具体的细节。在数学学习中，它有利于克服表象的一个具体形式所带来的困 难。 从p r e s m e g ( 1 9 8 6 ) 的工作我们可以看出，直观表示与分析思考是缠绕在一起 的，相互作用，相互影响。在p r e s m e g 的基础上，z a z k i s 等人( 1 9 9 6 ) 设想，对于 多数人，直观表示与分析思考是整合在一起的，以建构对数学概念丰富的理解。 他们的研究也的确证实，大学生在抽象代数“群”的概念学习中，这种直观化和 分析相互影响现象是存在的。 z a z k i s 等人还对问题解决者的思维特征提出了一个专门的术语叫做直观者 分析者模型( s u a l i z e r a n a l y z e r m o d e l ) ，简称v a 模型，表明直观表示与分析思 考之间的相互作用和相互影响是多步的，直观表示与分析推理是互为补充的。 这个模型中，直观表示和分析思考都被分为若干个离散的水平，v l 早于a l ， 分析思考始于直观表示活动，v l 可以是观看计算机显示屏、观看图画或画图，在 此基础上建构心理认识，形成a l 。接下来又是一步直观化，称为v 2 ，学生返回到 v 中同样的“图画”，但是已经经过a l 而改变了的“图画”，v 2 相当于a l 的 应用，再解释图形，有可能用新的图形来替代旧的图形。v l 专a l 专v 2 a 2 ， 如此发展，每一个分析活动建立在以前的直观化活动的结果上，用以产生新的， 更为丰富的直观化，用以进行更为复杂的分析。一丌始，直观化和分析活动被个 体看成非常独立而不同的东西，随着活动的继续，这两种想法逐渐相互靠近，两 者之间的运动变得微乎其微，两种思考在个体的思想中变得更为深刻地内在化。 经过一段时间，分析和直观理解形成一个整体，以致于个体或观察者很难区分它 们。 s “l i a l l o u ( 2 0 0 2 ) 通过对8 位具有博士学位的数学工作者问题解决过程的研究， 对v a 模型作了进一步的改进。她更关心这种模型中“分析步骤”的实质。通过 研究，她指出，这种“分析步骤”可以用以下的四种活动作进一步的刻画。 ( 1 ) 从直观表示推想其他的结果。每一步直观化之后，数学家们不断地尝试 从直观活动中推想其他的结果。数学家每次画出一个新图形或修改旧图，然后停 留几秒钟，试图从图中推断出其他的信息，理解这种活动所代表的意义。 ( 2 ) 数学的精心计划。在从图形中得到其他信息后，数学家们用这个信息再 次研究问题，一旦想到某种方法，他们就用这种方法去操作图形，这往往有利于 促进问题的解决。 ( 3 ) 确定新目标。再画图为问题解决提供更多的信息，推进问题的解决。 ( 4 ) 监控。监控贯穿于数学家们问题解决的始终，他们有意识地监控自己的 活动。 s t y i i a i l o u 和d u b i n s k y ( 1 9 9 9 ) 研究了线性代数问题解决中，大学生如何使用 直观化去建构意义。结果表明，在面对包含有几何因素的问题时，大学生们能把 直观化和分析结合起来使用，但是，他们在把代数和直观表示相互转化时有困难。 使用直观也不总是带来帮助，p r e s m e g ( 1 9 8 6 ) 对使用直观的学生所经历的困 难进行了研究。她指出， ( 1 ) 表象或图形的典型例子可能把你的想法同不相关的细节联系起来，甚至 提供错误的素材。 ( 2 ) 一个标准图形的表象町能减少思考的灵活性，阻碍在非标准图形下对一 个概念的认知。 ( 3 ) 一个常规的表象可能阻碍更为丰富的思想途径的打开，而且表象越清晰， 困难越显著。 ( 4 ) 特别地，如果表象是模糊的，没有与严格的分析思考过程融合起来，那 么它是无用的。她还发现直观的方法比非直观的方法更花费时间。 “l a b o r d e 也发现，画图的缺陷，例如特定的非本质属性的不相关的东西，可 以影响出想法式画图( i d e a l i z e dd r a w i n g ) 的效果。她指出，数学知识需要把画 图转化成能成功地运用于问题的形式。”( b o o t l ，2 0 0 0 ) 所有这些研究支持直观表示的使用，但是，过分依赖直观表象可能会带来种 种限制，增大学习的困难。 第三章研究的方法 本研究所要研究的问题是：( 1 ) 学生在组合问题解决过程中，是怎样使用直 观表示与分析思考来解决问题的? ( 2 ) 学生使用直观表示与分析思考有什么差 异? 为什么有的能成功地解决问题，而有的不能? 成功的内在原因是什么? 由于本研究关注的是学生解组合问题的具体过程，所以我设计了3 个难易程 度不同的组合问题，以观察和访谈个别学生的研究方式进行研究。 1 问题的设计 我设计了3 个组合问题( 每个问题又分为两到三个小问题) 对学生进行访谈。 这三个问题的第( 1 ) 问都比较容易入手，后面的问题难度逐渐加大，它们都不是 一步就能解决的，思考每一个问题通常都需要画图，不容易完成。这样做是为了 了解学生解决问题的每一个环节，直观表示与分析思考的详细过程，所遇到的困 难，从中揭示学生使用直观表示和分析思考的规律、差异，以及造成差异的原因。 问题1 ( 1 ) 把一个三棱锥的每个面涂上一种颜色，要求相邻两个面颜色不同。 现在有5 种颜色可供选择，一共有多少种涂法? ( 2 ) 把一个五棱锥的每个面涂上一种颜色，要求相邻两个面颜色不同。现在 有5 种颜色可供选择，一共有多少种涂法? 问题1 的第( 1 ) 问比较容易，即使不在草稿纸上画图也可以，但5 位学生都 给出了直观表示，经过一步分析( v 1 a 1 ) 就解决了问题。解决第( 2 ) 问学生需 要画图，在分步计数的同时还需要作自我检查，然后发现需要分类，从而进行分 类讨论，比第( 1 ) 问复杂得多。笔者关注他们进行问题转化的过程。学生可能先 画图，涂好底面，然后从一个侧面开始，按要求涂颜色。当他涂最后一个面时， 可能会产生疑问：最后一个面有多少种涂法呢? 他可能会发现：这就要看相邻的 两个面是否同色。顺着这个想法，他有可能成功地对问题进行分类。用第( 2 ) 问 可以观察学生是如何进行分类和分步的。 问题2 ( 1 ) 甲班3 名学生，乙班3 名学生，丙班1 名学生，一共7 人站成一 排照相，要求甲班3 名学生不相邻，一共有多少种站法? ( 2 ) 甲班3 名学生，乙班3 名学生，丙班1 名学生，一共7 人站成一排照相， 要求同班学生不相邻，一共有多少种站法? 问题2 的第( 1 ) 问，也是比较容易的问题，为第( 2 ) 问作铺垫，有利于学 生熟悉问题的背景。但是，它的解决方法可能对第( 2 ) 问的解决有负面的干扰作 用。有的学生可能先让甲、乙班学生相问排好，再把丙班唯一的学生任意地排进 去。这是一个错误的解答。也有可能有学生能够排除第( 1 ) 问的干扰：安排7 个 位子，按让甲班学生选3 个位子进行分类，分好类后，再排乙、丙班学生。笔者 可以观察学生排除干扰的能力。 问题3 ( 1 ) 三人相互传球，由甲丌始发球，并作为第一次传球，经过5 次传球 后，球仍回到甲手中，一共有多少种传法? ( 2 ) 五人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5 次传球后，球 仍回到甲手中，一共有多少种传法? ( 3 ) 三人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过l o 次传球后， 球仍回到甲手中，一共有多少种传法? 第( 1 ) 问主要用来观察学生怎样用简单列举法解题，他们如何对问题进行转 化。第( 2 ) 问用简单列举法己不现实，考察学生如何在简单列举基础上对问题进 行转化。第( 3 ) 问是最难的问题，对问题转化的要求更高。在解决第( 2 ) 问时， 即便学生转化完成得不是很好也有可能解决问题，把分类和列举结合起来，只是 麻烦一点，因为毕竟只有5 次传球，但第( 3 ) 问就不同了，虽然只有3 个人在传 球，但是有1 0 次传球，传球的次数增加了，如果没有对问题进行很好地转化，概 括出更为本质的东西，问题的复杂程度是可想而知的。 2 访谈 访谈对象是我所任教的2 0 0 6 届高三政史班上的5 名学生。4 名女生，1 名男 生，他们分别代表班级里水平不同的学生。其中，2 个数学成绩较好，1 个中等， 2 个较差( 见表1 ) 。 表1参加访谈的5 名学生的相关情况 学生学生1学生2学生3学生4学生5 项目 性别女男女女女 数学成绩较差较好较好较差中等 这里需要作一个补充说明。由于在高考前学生没有空闲时间，如果做访谈，学 1 4 生注意力很难集中，所以我把访谈放在高考结束后。高考结束后，学生都已回家， 由于交通不方便，访谈对象主要是居住在学校附近的学生。另外，这个班近8 0 的学生是女生，能够选取的男生不多，唯一选取的男生家离学校也较远，所以造 成女生偏多，中等生偏少。 笔者每次找1 人访谈，就3 个问题逐步展开。在访谈的过程中，让他们边解决 问题，边说出现在正在想什么。有时他们自己在想什么，不容易讲出来，因为如 果说出来，会影响思考问题。我就在他们取得新进展或挫折时，询问他们是如何 思考的。访谈做了录音，保留了所使用的草稿纸。当他们遇到困难，我也会给他 们暗示，如“你这样做的理由是什么? ”“你为什么这样做? ”如果他们经过 较长时间努力也无法完成，那我也作一些暗示，如，对于问题2 的第( 2 ) 问，有 的学生无法完成，我暗示他们先考虑7 个位置。这样做的目的是看他们如何分类。 对于问题3 的第( 1 ) 问，有的学生数不出所有的传球方法。我暗示他们用字母( 文 字) 表示传球方法，这样，他们就有可能解决后面的问题，便于笔者通过后面的 问题进一步观察他们是如何对问题进行转化的。 本研究利用访谈录音并结合学生所用的草稿，采用质的研究方法进行分析。首 先把学生们的问题解决过程区分成直观表示和分析思考两种活动。验证直观表示 和分析思考是不是相互作用，相互促进的；分析活动是不是可以区分为s 哆l i a i l o u 所说的四种活动，即，从直观表示推想其他的结果、数学的精心计划、确定新目 标、监控；观察在问题解决过程中，直观表示水平在发生什么样的变化。通过比 较不同学生在同一问题解决中的表现，找出他们思维之间的差异以及产生差异的 原因；通过比较同一个学生在所有问题解决中使用的策略，分析他们个人具有什 么样的思维特点。 最后，根据研究的结果提出教学建议。 第四章研究的结果与讨论 下面通过所作的访谈研究，回答以下两个问题： ( 1 )学生是如何使用直观表示和分析思考来解决问题的? ( 2 )学生使用直观和分析解决问题有什么差异? 为什么有的学生能成功 地解决问题，而有的不能? 成功在什么地方? 1 在比较复杂的组合问题解决中，学生的直观表示和分析思考可以用v a 模 型来刻画 通过对5 位高中毕业班学生的观察和访谈，发现在较为复杂的组合问题解决 中，学生都在使用直观表示和分析思考，而且需要多步的直观表示和分析思考。 读完题后，先作一步直观表示，接着是一步分析思考，根据分析思考的结果，再 作第2 步的直观表示，最后根据直观表示作第2 步的分析思考，。5 位参与访 谈的学生在所有问题解决中使用的直观表示与分析思考的步数如表2 所示。 表2问题解决中使用v ，a 的步数情况 题 问题问题问题问题问题 问题 问题 憋弋 1 ( 1 )l ( 2 )2 ( 1 )2 ( 2 )3 ( 1 )3 ( 2 )3 ( 3 ) 学生1 l 2 22232 较差 学生2 1 2 22232 较好 学生3 1222232 较好 学生4 1222l22 较差 学生5 1 2 22233 中等 注：每一步直观表示后都有一步分析思考，只是有的分析思考没有促成问题的解决。所 以直观表示和分析思考的步数大体相同。学生2 为男生，其他学生均为女生，下同。 下面以学生1 在问题3 的第( 1 ) 问的解决为例进行说明。 问题3 ( 1 ) 足：三人相互传球，出甲丌始发球，并作为第一次传球，经过5 次传球后，球仍回到甲手中。一共有多少种传法? 这个问题解决的最大困难是，无法把它转化成一个熟悉的问题模型来解决。 1 6 学生l 先写出“甲”、“乙”、“丙”三个字( 构成三角形的三个顶点) ( 第1 步 直观) ，模拟传球的场景。她要让第5 次的球正好传给甲，需要认真的分析( 第1 步分析) ，记下一种传球方法：甲一乙一甲一乙一丙一甲( 第2 步直观) 。在记下 这种方法后，她发现：只要把“甲”、“乙”、“丙”三个字在一行上有重复地写上6 个、首尾2 个是“甲”、不能连着写同一个字就可以了( 第2 步分析) 。接下来按 照这个规律写下去，问题得到解决。 从这个例子可以看出，第2 步直观比第l 步直观简洁，第2 步分析比第l 步 分析推进了。 2 直观表示的简化有利于问题的解决 从对学生的访谈中，可以观察到学生们对于自己的直观表示在分析的帮助下， 往往有一种自觉或不自觉的简化。通过这种简化，学生去除了无关的细节，保留 了本质的东西。通过对这种简化的观察，可以看出学生是如何排除无关因素的干 扰，以及这种简化在问题解决中所起的作用。 例如，学生2 在解决问题2 ( 2 ) ( 七个学生站成一排拍照的问题) 的过程中， 先画了七个独立的小方框( 图1 1 ) ，代表七个位置，然后根据7 个不同的位置列 举甲班学生所处的位置，在写了几类之后，发现自己所写的“甲”与小方框的位 置对不齐了。这时他意识到自己画的小方框大小不一，不够简洁。他改画了七个 相连接( 共边) 的小方框，再根据甲班学生所处的位置进行分类，这时分起来觉 得容易多了。 他的这一次直观表示简化触到了问题的实质，使条理变得更清晰，促成了问 题的解决。直观表示对问题的解决起了很好的辅助作用。 图1 1图1 2 扩。j 。 j j j：一一i *i 学生l 在解决问题2 ( 2 ) 时，一开始就画了7 个相邻小方框( 图1 2 ) 代表7 个位置，然后根据甲班学生所处的位置进行分类，在第1 、3 位置各写1 个“甲” 之后，马上涂掉这两个“甲”，改用“”代表甲班学生。 她的直观表示简化使书写更方便，当然，她之所以能在我的提示下最终成功 地解决问题，最重要的是条理清晰，即有好的分类标准，而不是后来的简化。 学生4 在解决问题2 ( 1 ) 的过程中( 图2 ) ，在列举第1 种传球方式时是这样 写的：甲一乙一丙一甲一乙一甲，前4 次传球都使用了“一”，第5 次使用了“一”。 她可能是有意无意地认识到使用“一”比“一”更方便。当她写第2 种传球方式 时，干脆连“一”也省略了：( 甲) 乙丙甲丙甲。实际上，她在逐渐忽略传球 的动作，而仅保留接球人的顺序。当她把前面列举的传球方式进行重新整理时， 第1 种方法写成：甲一乙一丙一甲乙甲，以后的方法又省去了“一”和“一”。 这种简化的过程又重复了一次。 从这里可以看出，学生4 的这种直观表示的简化在大脑中只作了短暂的停留， 隔一段时间需要重复，也说明她受无关因素的影响大，需要反复地简化，才能抵 制干扰。 i 毒篡! 斓囊琶警i 。 t 孙1 舔肆撬鼍 蕊j 一 、j 一“i 二 蹙 。 j 。 缪擎篱麓嚣5 “? j i 糕嚣 每霉+ 蠢荔簿渗p 眷呷、 ，蛰稿譬璃“甲” l r 瑟嗡；骛簿警。 一i 攀14 铲 问题1 和问题3 ，也可以是留在头脑中，如问题2 。在直观化之后，学生都试图从 直观活动中提出新的信息推想其他的结论。 问题1 ( 2 ) 是：“把一个五棱锥的每个面涂上一种颜色，要求相邻两个面颜色 不同。现在有5 种颜色可供选择，一共有多少种涂法? ”在解决该问题时，5 个 学生都先画了五棱锥p a b c d e ，再寻找新的信息。 学生2 ：面a d e 与面a b c 不相邻，它们可能同色，也可能不同色， 分两类：面a d e 与面a b c 同色，面a d e 与a b c 不同色。 在这个例子中，学生2 通过画五棱锥，在给底面涂上一种颜色后，看到有的 面是不相邻的，根据题意，不相邻的面可以同色，也可以不同色，于是分类讨论。 在没有画图之前，他并不知道或并不很清楚分两类来讨论。画图这个直观化过程， 为学生提供了解决问题的新信息。 再举一个例子，在解决问题3 ( 1 ) 时，学生1 开始并没有找到一个好方法， 只是尽力写出了一种传球方式，甲一乙一甲一乙一丙一甲，有了这个直观表示之 后，她发现其实只要把“甲”、“乙”、“丙”三个字在一行上有重复地写上6 个、 首尾2 个是“甲”、不能连着写同一个字就可以了。 学生1 ：甲、乙、甲、乙、丙、甲，第一个是甲，最后一个还是甲， 甲乙丙乙丙甲，f 一共写了以“甲一乙一”开头的5 个，她还发现以“甲一丙 一”开头的也是5 个，一样多。) 在没有写出第一种传球方式以前，她无从下手，不知道从哪里开始，有了第 一种传球的这种表达之后，这样一步的直观表示，为她提供列举的思路，问题得 到了转化。 第三个例子。在解决问题2 ( 1 ) 时，只有学生2 把7 个人写成“甲甲甲乙乙 乙丙”。其他四位学生的直观表示都没有画出来，而是在口中反复念着：“甲班3 人，乙班3 人，丙班1 人”，每念一个班，手中的笔都比划一下，或作出其他动作。 然后他们都得出自己的结论。这个结沦，他们都没有明确地说出来，却贯穿于问 题2 解决的全过程( 学生3 除外) ：先排甲班学生，再排乙班学生，最后排丙班学 生。( 这将在本章4 1 节作详细说明。) 很明显，这个结论的得出没有经过特别的 努力，是不经意得出的，受着问题表述等的暗示。 比较这三个例子，前两个都是学生在数的过程中，通过努力从直观得到的结 论，第三个则是学生在不经意间得出的结论。而恰恰是这个不经意得到的结论， 后来却成了解决第( 2 ) 小问的大麻烦。因为它是不经意得到的，学生虽然在使用， 但是没有特别意识到。当它成为问题解决的阻力时，以至于一些学生无法对它进 行修改。 ( 2 ) 数学的精心计划 根据已有的直观表示，学生接着对原有的问题进行重新思考，重新认识。 例如，对于问题3 ( 1 ) ，学生1 在列举出1 种传球方法( 甲一乙一甲一乙一丙 一甲) 后，很快认识到，第1 次、第4 次不可能传给甲，而且，第1 次传给乙最 后传给甲的种数，与第1 次传给丙最后传给甲的种数一样多。接下来，只要分析 其中的一类就可以了。这样一来，对原有问题的理解更深刻，原有问题得到简化。 这也有利于增强用列举法求种数的自信心。 再举一个例子。问题3 ( 3 ) 是：三人相互传球，由甲开始发球，并作为第一 次传球，经过】o 次传球后，球仍回到甲手中，一共有多少种传法? 这是一个很难的组合问题，只有学生5 基本上解决了这个问题。她先把问题 转化成：在一行1 1 个空位上有重复地写“甲”、“乙”、“丙”三个字，不能连着写 同一个字，首尾两个字是“甲”。进一步，她得出，中间最多有4 个“甲”，也可 能有3 个“甲”，2 个“甲”，1 个“甲”，甚至没有“甲”。 学生5 ：，中间只有乙、丙相互传， 访谈者：只有乙、丙，没有甲? 学生5 ：再考虑甲参与进去，甲在第3 位，第4 位，6 ，7 ，8 ，9 ，不 对，不能在9 。1 次甲。 访谈者：你想对( 中间) 甲的个数分类? 1 次，没有，2 次? 学生5 ：嗯。最多有( 1 分钟) ，最多有4 次甲。我来看甲( 在中问) 有2 次的， 这是一个很好的精心计划，问题解决有了实质性进展，有了这个安排，下面 只要认真地执行就可以了。 ( 3 ) 确立新的目标 对于这些被访谈的学生来说，直观表示并不是最终的目标。他们通过直观表 示，期望从中得到新的信息，这些信息对于他们来说也许是有帮助的，每次得到 新的信息，他们都想尝试一下，它对问题的解决有哪些帮助，有时的帮助是直接 的，马上促成了问题解决。例如，问题1 的第( 1 ) 问，他们发现任何两个面都是 相邻的，问题很快得到解决。有时的帮助是间接的，例如，问题l 的第( 2 ) 问， 他们发现，面p a b 与面p c d 不相邻这一新的信息，于是推断它们可能同色，也可 能不同色，于是确立新的目标：同色怎么办? 不同色又怎么办? 学生l ：先涂底面，这个( 面p a b ) 这个( 面p c d ) 一样的话，( 以下 省略) 这个( 面p a b ) 这个( 面p c d ) 不一样的话，( 以下省略) 。 实际上，她把这个问题分成两个小的新的问题，一个一个地去解决。其实在 分成两个新问题时，她并不清楚下面将要发生什么，但是还是尝试着往下做。 ( 4 ) 监控 监督陈述是学生对问题解决过程的监控，也是对当前问题理解所达到的状态 的监控。学生们经常提出问题来检查自己的理解和调整自己所处的过程，但不同 学生的监控水平也不相同。 例如，学生2 在解决问题3 ( 1 ) 时，他试着列举了几种传球方法，当他写出 第1 种传法“甲乙丙乙甲”后发现，写出5 个字意味着4 次传球，不正确，接下 来进行修改。这是学生在问题解决中对自己所做事情最简单的检查。 再例如，学生1 在解决问题3 ( 1 ) 时，把第1 次传球分两类，即甲传给乙和 甲传给丙。当她写出第1 类后，就对自己所列出的5 种传法进行检查。在检查时， 她并不是重新数一遍，而是把这5 种传法分为两类，即“甲一乙一丙一”和“甲 一乙一甲一”两类。她的检查不是简单的重复。 第3 个例子。学生2 在解决问题2 ( 1 ) 时，他先写出“甲甲甲乙乙乙丙”，然 后从反面考虑：让7 个人任意地排成一列，从中排除不符合要求的情况。很快， 他发现这种不符合要求的情况并不容易找出来。他决定放弃这种想法。 实际上，这是他对于自己解决问题过程的监控，也是对自己当前问题理解所 达到的状态的监控。 第1 个例子监控水平最低，也最常见，第2 个例子监控水平稍高，它加入了 新的理解；第3 个监控水平最高，它是对自己当前状态和过程的监控。 下面给出对学生3 在解问题3 ( 2 ) 时的一4 个完整访谈记录，来说明学生是如 何使用直观和分析来解决问题的。顺便说一下，学生3 的数学成绩一直稳定在班 级的前列。问题3 的第( 2 ) 问是：五人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传 球，经过5 次传球后，球仍回到甲手中。一共有多少种传法? ( 简要解答如下：传球方法分为三类。第1 类，甲在中间没有接球，一共有4 3 3 3 1 种方法。第2 类，甲在第2 次接球，一共有4 l 4 3 1 种方法。 第3 类，甲在第3 次接球，一共有4 3 l 4 1 种方法。一共有2 0 4 种传法。) 学生3 ：经过5 次传球( 第l 步直观) ( 图3 1 ) ，仍回到甲手中，第一次有4 种传法，第2 步4 ，一共有4 5 种。，不对( 监督) ，第4 次不能传给甲， 第1 次没有甲，第2 次有甲，第3 次有甲( 第2 步直观) ( 图3 2 ) ，第1 次传给乙， 丙，丁，戊。分两类( 确立新目标) ，( 当中) 没有甲( 第3 步直观) ( 图3 3 ) ，第 1 次4 ，第2 次3 ，3 ，4 ，l ，第1 次4 ，3 ，3 ，第3 次不是甲，第5 次是甲，第4 次是3 ，一共有4 3 3 3 1 种。( 推想结果) ( 当中) 有甲( 第3 步直观) ，第2 次甲或第3 次甲。第2 次甲。第一次4 ，第2 次3 ，不对，1 ，第3 次3 ，第4 次3 ，第5 次1 。不对，第4 次肯定是3 ，第3 次 是4 ，一共有4 1 4 3 1 种( 推想结果) 。第3 次甲，一样多。4 l 4 3 l 2 种。一共有4 3 3 3 l + 4 1 4 3 1 + 4 x 3 x l 4 1 。第3 次是甲， 4 ，3 ，l ，4 ，1 ( 监督) 。应该