（运筹学与控制论专业论文）强阻尼随机sinegordon方程的随机吸引子的存在性及其hausdorff维数.pdf

上海师范大学硕士学位论文中文摘要 摘要 随机吸引子是描述无穷维随机动力系统渐进行为的中心概念。本文主要研究具有重要 物理背景的强阻尼随机s i n e g o r d o n 方程的随机吸引子的存在性与维数估计。 本文在第一章简单的介绍了随机动力系统的发展历史和跟本论文相关的一些基础知 识( 包括随机动力系统的定义、随机吸引子的存在性定理以及维数估计的理论等) ， 及其所需用到的基本的函数空间和一些常用的不等式例如y o u n g 不等式、g r o n w a l l 不等 式、h f l d e r 不等式，以及本文的主要工作 本文的研究工作主要由两章内容组成 第二章，主要考虑具强阻尼的随机s i n e g o r d o n 方程，通过引入加权范数与对关于时间 为一阶的发展方程对应的线性算子的正性分解，证明了该方程的随机吸引子的存在性， 且该随机吸引子吸引所有的缓增随机集。 第三章，考虑相同的具强阻尼的随机s i n e g o r d o n 方程，得到该方程吸引缓增随机集随 机吸引子的h a u s d o r f f 维数的上界估计，得到的h a u s d o r f f 维数上界随阻尼1 的增加而变小， 且在一定的条件下，该随机吸引子的h a u s d o r f f 维数为0 。特别的，该上界也是它所对应的 确定性的s i n e g o r d o n 方程生成的整体吸引子的h a u s d o r f f 维数的上界，换句话说该情况下 的白噪声对吸引子的h a u s d o r f f 维数的上界是没有影响的 关键词：强阻尼；随机s i n e g o r d o n 方程；w i e n e r 过程；缓增随机集；随机吸引子；h a u s d o r f f 维数 英文摘要 上海师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h er a n d o ma t t r a c t o ri st h a to fc e n t r a lp a r t so ft h ea s y m p t o t i cd y n a m i c so ft h es t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h ee x i s t e n c eo ft h er a n d o ma t t r a c t o ra n dt h ee s t i m a t e o ft h eu p p e rb o u n do ft h eh a u s d o r f fd i m e n s i o no ft h er a n d o ma t t r a c t o rf o rt h es t r o n g l yd a m p e d s t o c h a s t i cs i n e g o r d o ne q u a t i o nw i t hi m p o r t a n tp h y s i c a ls i g n i f i c a n c e i nc h a p t e r1 ，t h i sp a p e ri n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n ts u r v e yo ft h es t o c h a s t i cd y n a m i c a ls y s t e m sa n dp r e l i m i n a r yr e s u l t sa n dd e f i n i t i o n s ( i n c l u d e st h ed e f i n i t i o no ft h es t o c h a s t i c ，t h ee x i s t e n c e o ft h er a n d o ma t t r a c t o ra n dt h ee s t i m a t eo ft h eu p p e rb o u n do ft h eh a u s d o r f f d i m e n s i o no ft h e r a n d o ma t t r a c t o r ) ，t h eb a s i cf u n c t i o ns p a c e sa n df r e q u e n t l yu s e di n e q u a l i t i e ss u c ha sy o u n g s i n e q u a l i t y , g r o n w a l l si n e q u a l i t ya n dh b l d e r si n e q u a l i t y ，t h e n ，t h ea u t h o rb r i e f l yi n t r o d u c et h e r e s e a r c hw o r ko ft h i sp a p e r t h er e s e a r c hw o r k so ft h i sp a p e rc o n s i s to ft w oc h a p t e r i nc h a p t e r2 ，t h ea u t h o rc o n s i d e rt h es t r o n g l yd a m p e ds t o c h a s t i cs i n e g o r d o ne q u a t i o nu n d e r t h ed i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n f i r s t l y , t h ea u t h o rp r o v et h a ts t r o n g l yd a m p e ds t o c h a s t i cs i n e - g o r d o ne q u a t i o nc a ng e n e r a t eas t o c h a s t i cd y n a m i c a ls y s t e m t h e n ，b yi n t r o d u c i n gw e i g h tn o r m a n ds p l i t t i n gp o s i t i v i t yo ft h el i n e a ro p e r a t o ri nt h ec o r r e s p o n d i n ge v o l u t i o ne q u a t i o no ft h ef i r s t o r d e rw i t hr e s p e c tt ot i m e e x i s t e n c eo fac o m p a c tr a n d o ma t t r a c t o ri ss h o w nw h i c ha t t r a c t sa l l t e m p e r e dr a n d o ms e t i nc h a p t e r3 , t h ea u t h o ro b t a i na l le s t i m a t eo ft h eu p p e rb o u n do ft h eh a u s d o r f fd i m e n s i o n o ft h er a n d o ma t t r a c t o ra t t r a c t t i n ga l lt e m p e r e dr a n d o ms e tf o rt h es t r o n g l yd a m p e ds t o c h a s t i c s i n e - g o r d o ne q u a t i o n t h eo b t m n e du p p e rb o u n do fh a u s d o r f f d i m e n s i o nd e c e a s ea st h es t r o n g l y d a m p i n gg r o w sa n di su n i f o r m l yb o u n d e df o rl a r g es t r o n g l yd a m p i n g u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s ，t h ed i m e n s i o ni sz e r o i np a r t i c u l a r , t h ea u t h o rp o i n to u tt h a tt h eu p p e rb o u n do fh a u s d o r f f d i m e n s i o no ft h er a n d o ma t t r a c t o ri sa l s ot h eo n eo fh a u s d o r f fd i m e n s i o no ft h eg l o b a la t r a c t o r f o rt h ec o r r e s p o n d i n gt ot h ed e t e r m i n i s t i cs y s t e mw i t h o u tn o i s e k e yw o r d s ：s t r o n g l yd a m p e d ；s t o c h a s t i cs i n e - g o r d o ne q u a t i o n ；t e m p e r e dr a n d o ms e t ；r a n d o m a t t r a c t o r ；w i e n e rp r o c e s s ；h a u s d o r f fd i m e n s i o n u 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果。其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意。 作者签名： 吼丝粤筮止 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 名：社名：醴 上海师范大学硕士学位论文 第一章前言 第一章前言弟一早日i ji 1 1 动力系统概述 文兰在【l 】中概括了动力系统的含义：动力系统就最广泛的意义来说是研究系统演化 规律的数学学科这里，演化的直接含义是就时间而言的因此动力系统又被简称为时 间的科学时间可以是连续的，如经典的微分方程定性理论；也可以是离散的，如迭代 论演化的进一步含义是就系统的空间而言，比如向量场的扰动与映射的扰动 动力系统的经典背景是常微分方程的解族所确定的整体流动动力系统常可以看成 是微分方程的化身，其思想是不通过微分方程的显示解而直接研究解的几何和拓扑性 质，这是牛顿、庞克莱等人工作的成果。2 0 世纪2 0 年代，伯克霍夫继承和发展了他们的 理论，首次使“动力系统”这个词见于专著【2 】，并完成了拓扑系统公理化的工作，从而为 这一学科建立了大范围的理论框架。这使动力系统的含义更为广泛，可以不一定由微分 方程产生。到2 0 世纪6 0 年代开始，动力系统，尤其与计算机迭代相关的离散动力系统迅 速活跃起来。新的研究方向相继产生，形成各具实力的美国学派，前苏联学派，欧洲学 派，巴西学派，以及廖山涛先生独树一帜的理论为代表的中国学派【6 】 今天的动力系统大致可分为微分动力系统、哈密顿系统、拓扑动力系统、复动力系 统、遍历论、随机动力系统等若干方向，其界限并不严格，很多相互交叉动力系统理论 成果能广泛运用到经济数学、气象预报、数值计算、统计力学等领域里 1 2 随机动力系统与随机微分方程概述 生活中，人们在用数学方法解决实际问题的时候，常常会舍去“次要因数，而由主 要因数建立确定的模型，希望以此来估测未来的情况。然而事实却总不能达到人们所期 望的那样，甚至对一些问题无法找到合适的确定性模型，即使建立了模型也会失去许多 重要的信息。因而引入随机因数是合适的也是必然的。而在动力系统中考虑随机因数最 简单的方法就是在系统的描述参数中引入随机项。例如1 9 0 2 年，g i b b s 讨论了统计力学问 题，研究了保守力学系统的h a m i l t o n j a c o b i 微分方程的积分，初始态是随机的，这是最早 的随机微分方程。 1 9 0 8 年，l a n g e v i n 在研究布朗运动时就得到形如m 雾= 一伽+ r ( ) 的微分方程，这种 形式的方程称为l a n g e v i n 方程，其中m 为b r o w n 粒子的质量，p 为粘滞系数，u 表示液体微 粒在某一方向的运动速度，r ( ) 是涨落力，表示液体分子对b r o w n ：粒子的持续撞击。后面 涨落力被描述为w i e n e r 过程的广义导数。r ( ) 也称为白噪音。在现实过程中自噪音是不存 在的，这需要无穷大的功力谱来实现，但白噪音是许多真实过程的理想化，在数学上是 基础的而且是重要的。 1 第一章前言上海师范大学硕士学位论文 1 9 5 1 年伊藤发表了著名的i t 6 型随机微分方程的论文，严格的数学描述才建立。 1 9 0 7 年s y s k i 将随机微分方程分为三大类型，( 1 ) 具有随机初始条件的随机微分方 程；( 2 ) 具有随机作用项的随机微分方程；( 3 ) 具有随机系数的随机微分方程。 从数学上看，随机微分方程介于微分方程与概率论之间的边缘分支，随机微分方程 也是随机分析的一个重要分支。随机常微分方程向无穷维的自然推广就是随机偏微分方 程。j b w a l s h 1 9 给出了随机偏微分方程的解。g d ap r a t o 和j z a b c z y k 3 4 对随机偏微分 方程的解的存在性和遍历性质做了研究。最近人们越来越重视对随机偏微分方程理论的 研究，在定性理论研究上取得了很大的发展。 随机动力系统是联系动力系统和随机分析的桥梁。e l w o r t h y ，b a x e n d a l e ，b i s m u t ，i k e d a ， w a t a n a b e ，k u n i t a 等一些数学家的发现，将随机微分方程和动力系统联系起来，同 时使我们对随机微分方程的一些经典结果可用动力系统的观点来看。德国数学 家l u d w i ga r n o l d 领导的b r e m e n t j 、组创建并推动了随机动力系统理论的发展。粗略的 说，随机动力系统可以看作是如下两类系统的结合( 1 ) 遍历理论意义上的保测动力系 统( q ，厂，p ，( 。t ，t 为时间) ；( 2 ) 光滑或拓扑动力系统。有关随机动力系统的定义见本 章( 1 4 ) ，详细情形将文献 3 1 1 2 0 】。 1 3b r o w n 运动 b r o w n 运动最初最为对水中花粉颗粒的无规则运动的描述，它的发展离不开b a c h e l i e r , e i n s t e i n ，s m o l u h o w s k i ，o r n s t e i n ，p l a n c k ，l a n g e v i n ，w i e n e r , l e v y 等众多科学家的贡献，文 献 2 2 】较详细地描述t b r o w n 运动的发展历史作为一类特殊的随机过程，b r o w n 运动的重要 性不言而喻，有关b r o w n 运动的文献和书籍也数不胜数( 参考 3 2 - 3 5 ) 它的应用也遍及物理， 化学，生物，金融等各个领域，其中最为著名的莫过于m e r t o n 和s c h o l e s 将其应用到经济模型 中，从而获得了n o b e l 经济学奖 b r o w n 运动作为具有连续时间参数和连续状态空间的一个随机过程，是一个最基本、 最简单同时又是最重要的随机过程。b r o w n 运动与微分方程( 如热传导方程) 有密切的联 系，在实际应用中更多的也是考虑带有b r o w n 运动的随机微分方程，而在本文中考虑的就 是带有b r o w n 运动的随机微分方程，因此下面简单介绍b r o w n 运动的定义及其在本文中要 用到的一些性质 3 5 】。 定义1 3 1 ：称随机过程( ) ，t 0 ；芒b r o w n 运动或w i e n e r 过程，若 ( 1 ) w ( ) 是独立增量过程； ( 2 ) 任意s ，t 0 ，w ( 8 + t ) 一w ( t ) 一n ( o ，o r 2 t ) ，a o w ( s + t ) 一( ) 是期望为0 ，方差为盯2 t ，的 正态分布； ( 3 ) 关于t 是连续函数。 2 上海师范大学硕士学位论文第一章前言 定义1 3 2 ：称尘型d t ，t d 为b r o w n 运动的形式导数，若 ( 1 ) v t 0 ，垡业d t n ( o ，。o ) ； ( 2 ) 1 t 2 ，掣i t = 。t l 叫i - - - - _ d w r ( t ) l t = 2 互相独立。 布朗运动的形式导数，有时也被称为连续参数的白噪音。它在随机微分方程理论中起着 及其重要的作用。下面介绍b r o w n 运动的两点性质。 ( 1 ) 关于t 是亚线性增长的，即 l i m 攀：o ： l t l - - * + c l o t ( 2 ) e ( ) 表示随机变量f 的期望，则 e w 2 咏) _ 嬲六七 特别地，当k = 2 时，有 e w 4 ( t ) 】_ 3 t 2 1 4 随机吸引子 在说随机吸引子之前，有必要说一说无穷维动力系统的有限维的渐进行为，这包 括判断吸引子的存在性及其维数的估计，见文献 2 0 ，2 3 ，其基本思想就是根据偏微分 方程解的存在性和稳定性得到系统相对应的解半群s ( ) ，t 0 ；解半群s ( ) ，t 0 在适当 的b a n a c h 空间中是连续的且有一个有界的吸收集，然后利用半群的一些紧性理论得到紧 致的吸引子。但是系统有噪音影响时，所描述的紧致不变集就不可能存在了，噪音使得 系统可能跑出任何一个有界集合的概率为1 因此对随机系统考虑吸引子的问题就需要重新 定义不变集与吸引子的概念，这样仍然可以得到一个紧致的不变集，但是这个不变集是 时间平稳变化的，称为随机不变集。但前提是必须保证系统生成一个随机流 6 】本文考虑 的是无穷维空间的系统，这和有限维的情形有很大的不同，对此仍然没有作出很好的解 答，这个方面可以见文献【2 4 】。 1 9 9 4 年和1 9 9 7 年，c r a u e l ，f l a n d o l i 9 和d e b u s s c h e 1 0 = j i 入了随机动力系统的随机吸引 子。如果它存在，随机吸引子是一个可测的，吸引所有轨道的紧不变随机集，它是 最小的吸引紧集且是最大的不变集。在一定程度上，它是对经典的确定动力系统的全 局吸引子的一种合理的推广。最近许多作者在研究随机吸引子各种各样的性质，见文 献【5 】【1 5 】 1 7 】【2 5 】【2 6 ，2 7 本章( 1 4 ) 给出了随机吸引子的基本概念和结论，本章( 1 5 ) 给出了 在随机吸引子存在条件下的随即吸引子的维数估计。 下面给出一些将在下文中用到的关于随机动力系统的基础知识( 参考 2 0 ，2 3 】) 令( q ，歹，p ) 是概率空间，其中q 是一个空间，丁为q 上的仃一代数，p 为概率测度。 3 第一章前言上海师范大学硕士学位论文 定义1 4 1 ：称( q ，厂，p ，( t r ) 是一度量动力系统，若 ( 1 ) 变换o t ：qhq ，t t 是一单参数族，满足 o o = i d ，o t 如= 0 t0 以，t ，s r ( 2 ) ( ，u ) h 以u 是可测的； ( 3 ) 对所有的b 厂，t r 有 p ( 口f 1 b ) = p ( b ) 定义1 4 2 ：称b 厂为p 一不变集，若对所有的t r 都有 o t b = b 定义1 4 3 ：称度量动力系统( q ，芦，p ，( o t ) 挺r ) 是遍历的，若对任意的不变集b 厂，都有 p ( b ) = 0 ，o rp ( b ) = 1 设( x ，”恢) 是具有b o r e lo r 一代数8 ( x ) 的可分h i l b e r t 空间。 定义1 4 4 ：设( q ，厂，p ，( o t ) r ) 是一个度量动力系统，若( t 3 ( r + ) j r t 3 ( x ) ，b ( x ) ) 一可测映 射 s ：r + q x x ，( t ，u ，z ) hs ( t ，u ，x ) 满足： ( 1 ) 对所有的s ，t o 和u q ，映射s ( t ，u ) ：= s ( t ，u ，) 满足 s ( o ，“，) = i d ，s ( t + s ，u ) = s ( t ，以u ) 0s ( s ，u ) ； ( 2 ) s 关于t 和乱连续 则称s 是( q ，p ，( 巩) t r ) 上的一个连续的随机动力系统。 给定z x 和e ，fcx ，令 d ( z ，e ) 。瓣忪一训x 和 妇( e ，f ) = s u p d ( x ，f ) x e e 则称d 日( e ，f ) 是e 到f 上的h a u s d o 衅距离 4 上海师范大学硕士学位论文第一章前言 定义1 4 5 ： ( 1 ) 对任意的z x ，映射uhd ( x ，d ) ) 是可测的，集值映射uhd ( w ) ： q 一2 x 称为随机集。若对每一个u q ，随机集d ( w ) 是闭( 紧) 的，则称映 射uhd ) 为随机闭( 紧) 集。若存在黝x 和随机变量兄( u ) 0 使得对所有 的u q 。 d ( u ) c 【z x ：i i x x o l l x r ( u ) ) 则称随机集叫hd ) 是有界的。 ( 2 ) 称随机集uhd ) 是缓增的，若对所有的p 0 ，p - a s u q ， j i me - f i ts u p ( 1 l b l l x ：b d ( p t u ) ) = 0 t + 。 ( 3 ) 称随机集uhb ( u ) 是一个随机吸收集，若对x 中任意的缓增随机集d ，存在t o w ) ， 使得对所有的t t o ) ，有 s ( t ，p t w ) d ( o 一u ) cb w ) ，v w q ( 4 ) 称随机集uh 台) 是一个随机吸引集，若对x 中的任意的缓增随机集d ，有 1 i md h ( s ( t ，o - t w ) d ( $ 一t u ) ，b w ) ) = 0 ，v w q t - - + 0 0 ( 5 ) 称随机紧集uh4 ) 是一个随机吸引子，若uh4 ) 是一个随机吸引集，且对所 有的u q 和t o ，都有s ( t ，u ) a ( u ) = a ( o t w ) 。 定理1 4 6 ：令s 是( q ，厂，p ，( 仇) 挺r ) 上的一个连续的随机动力系统，若存在一个关于s 的随 机紧吸引集uh 雪) ，则uh4 ) 是s 的一个随机吸引子，其中 4 ( u ) = nu s ( 丁，口一r u ) 雪( p 一下u ) ，u q t 0 f 芝t 证明：参考 1 4 】【定理1 8 1 】 1 5随机吸引子的h a u s d 础数 为了估计定义于空间x ，q 上的随机动力系统s ( t ，u ，z ) t o ，u n 的随机吸引 子4 ) 的h a u s d o r f f 维数上界，这里引入d e b u s s c h e 【1 7 】的相应的结论。 令( q ，尸，p ) 是概率空间，其中q 是一个空间，歹为q 上的盯一代数，p 为概率测度。口是 空间( q ，p ) 上的一个保测遍历的变换，在一个具有范数恢的h i l b e r t 空间x 上，给定一 个映射族s ) ：x x ，u q s 第一章前言上海师范大学硕士学位论文 定义1 5 1 ：称4 ) ，u q 是s = s ) ：u q ) 的一个紧的可测不变集，如果4 对s 满足 以下三个性质： ( 1 ) 对任何u q ，a ) 是h 的一个非空紧子集； ( 2 ) 对任何z x ，映射uh d ( z ，a ( u ) ) 是可测的，其中d ( z ，a ) = i n ，f d ( x ，y ) ”。q ( 3 ) 依概率对几乎所有的u q ， s ( w ) a ( w ) = a ( o w ) ( 1 5 1 ) 根据随机映射s ( t o ，u ，x o ) = s ) ，可令t o = 1 ，s ( 1 ，u ，x o ) = s ) ，p = p 1 ，令c ( x ) 是x 到 其自身的连续线性算子所组成的空间。 定义1 5 2 ：对几乎所有u q ，对每一个u a ，存在c ( x ) 中的一个线性算子d s ( u ，u ) ： x _ x ，在u + h a 时，有 i s ( u ) ( 乱+ h ) 一s ( u ) 札一d s ( u ，w ) h i k ：( w ) l h l l + 6 ( 1 5 2 ) 其中 6 0 ，( 1 5 3 ) | i | c ) 是一个随机变量且满足 j l c ( “，) 1 ，u q ( 1 5 4 ) 则称s ) 在4 ( u ) 上几乎必然一致可微的。 令 q n ( 己) = s u p i n f il咖igch妒eg ， d i m g ni 妒1 ：1 n = 1 ( l ) = c q ( l ) a 2 ( l ) o t n ( l ) ， 其d p l c ( x ) ，扎n 定理1 5 3 ：设4 ) ，叫q 为随机映射s ) ，u q 的一个紧的可测不变集，且( 1 5 1 ) 在保 测遍历变换p 上成立。如果 ( 1 ) s 在4 ( u ) 上几乎必然一致可微的，且式( 1 5 2 ) ，( 1 5 3 ) ，( 1 5 4 ) 和e ( i n g ) 都成立； ( 2 ) 存在一个可积的随机变量砀) ，使得对任何u a ) ，依概率几乎必然有 e d ( d s ( u ，u ) ) s 砀( u ) ， ( 1 5 5 ) 而且 e 阶砀) 】 0 ( 1 5 6 ) 上海师范大学硕士学位论文 第一章前言 ( 3 ) 存在一个随机变量a 几乎必然有 a21 ， 对每个乱a ) 都有 a i ( d s ( u ，u ) ) a ( u ) ， 且 e ( f n a ) ) 。o 那么对几乎所有的u q ，a ) 的h a u s d o 雠数 妇p ) ) d 证明：参考 1 7 】【定理2 4 】 1 6 函数空间与不等式 下面介绍本文要用到的函数空间和一些不等式，可以参见文献 11 】， 3 1 - 4 1 等 定义1 6 1 连续的实函数空间c ( u ) c ( q ) 表示在有界开区域q 上的连续的实函数空间，c ( q ) 上的范数定义如下： ( 1 5 7 ) ( 1 5 8 ) ( 1 5 9 ) ( 1 。5 。l o ) 0ui i c = l iui i c ( q ) = s u pl 乱( z ) 1 z f 2 空间c 知( q ) ，k n 是由f l h 的k 次连续可微函数的全体组成的，其上的范数定义如下： i l ul i o k = l iu i i g t ( n ) = m a x i f 俨ul l c ( a ) iq z 军，iqi 惫) ， 其中，多重指标q = ( q 1 ，口2 ，口n ) ，( 叱z + ) ， iol = q 14 - - i - a 。，矿= 矿1 俨2 a “ 定义1 6 2 可积实函数空间汐( q ) ( 1 p o 。) 汐( q ) ( 1 p o 。) 表示使如下的范数是有限的q 上的可测函数的全体， i i 让i i o 炉= 1 1u 怯= ( i 乱( z ) i pd x ) 1 p ，s 2 l o 。( q ) 表示f l h 的本性有界函数的全体，其范数为 0 仳i i o ，= 0 钍i l l 一= e 8 5s u p iu ( x ) iiz q ) 定义1 6 3s o b o l e v 空间w 七p ( q ) ，k z + ，1 p o 。 7 第一章前言 上海师范大学硕士学位论文 s o b o l e v 空间w 七，p ( q ) ，k z + ，1 p o 。的范数定义如下： i iu 删= ( o 沪u ( z ) il l , ) 1 p ( 1 6 11 ) l a l s k 如果p = 2 ，则这个s o b o l e v 空间就是h i l b e n 空间h 七( q ) ，也即是日七( q ) = w k , 2 ( q ) ，且h 南( q ) 的内积定义为 垆i 三上州小州帕 空间w 七，p ( q ) 就是c 南( q ) 按范数( 1 6 11 ) 的完备化磁( q ) ，晡p ( q ) 分别表 示曙( q ) 在日七( q ) ，七，p ( q ) 中的完备化 h “( q ) 表示空间- 0 ( q ) 的对偶，范数定义为 u i i - 剐u p 制磁( q 小0 ) 定理1 6 4s o b o l e v 嵌入定理让1 p 1 p 2 l ，三：l 一兰，那么 口6 0 ： 最常用的就是p = 2 的情况： 的矿+ q 酽，g ：业 q 口6 e a 2 + 石b 2 8 上海师范大学硕士学位论文 第一章前言 定义1 6 6p o i n c ( z r e 不等式若q 有界，则 i iuf k 。久一 i iv ui l l 。，v u 硪( q ) ， 其中入是一在q 上带有齐次d i r i c h l e t 边界条件的第一特征值 定义1 6 7 h 5 f d e r 不等式铆t r + ( i = 1 ，2 ，3 ，庇) ，五1 + 瓦1 + + 元1 = 1 ，那么 。丘l 钆，c z ，u 如c z ，ld z 垂c f a u i ( x ) i p d x ) 面1 特别地，当k = 2 时，上式可以写成 11 上i 乱，( z ) u 。( z ) id x _ ( fl 仳- ( z ) i p l 如) 石( 。i 札2 ( z ) l 船如) 鬲 定义1 6 8g r o n w a l l t f 等式令可( ) c 1 ( i t o ，1 ) ，y o ；g ，h c ( 【o ，1 ) ，9 ，h 0 ，并 且下式成立 y 7 g ( t ) y + ( ) 那么 鲋脚) e x p ( 咖m + 石m ) e x p 。卅m d s ， 因此 们) 0 ，使得 l ，p ( ，o _ t 0 2 ) g ( o t 0 2 ) ct 3 0 ( u ) ， v t t 8 ( u ) ，u q 1 3 第二章具强阻尼的随机s i n e g o r d o n 方程随机吸引子的存在性 上海师范大学硕士学位论文 证明：设妒是方程( 2 3 3 ) l 筝j - - 个解，在方程( 2 3 3 ) 两边分别用= ( u ，) 1 作内积( ，。) e ，得 丢引d 钏e 2 + ( 啦= 州夕z ( 0 t 毗t ) ) + ( 一s i n u - ( ，y a + a - - e - - 1 ) 叫铀) ，耖) 由y o u n g 不等式和引理( 2 4 1 ) ，得到 列d 钏2 e 刊眺等+ 9 1 t 羽洲， 其中 9 1 _ - 等1 1 9 ( z ) 1 1 。+ 云( 圳2 + 了3 2 1 2 + 知。) l s + a 1 2 由g r o n w a l l 不等式，得 o ( ，u ) ( u ) 1 1 刍- e 一以i i 砂o ( u ) i i 刍+ f o t 3 2 - + g ，1 名( 以u ) 1 2 ) d s 由于z ( 仇) 是缓增的，且z ( 仇u ) 关于连续，则据【1 5 】中1 拘i ( 4 3 6 ) 5 戈，得到存在一个缓增的随 机变量r ：qhr + 使得 i z ( 0 ) 1 2 t ( o u ) e 钏r ( u ) 对任意的r ，u q ，( 2 4 4 ) 因此， 黼，u ) 删圳川刍e 卅1 1 o ( 钆训i 刍+ z e 廿8 ) ( 竺d r + 口1 i 弛驯2 ) d s 0 ，由引理( 2 5 1 ) ，有 d h ( c p ( t ，p 一u ) 召( p t u ) ，瓦( u ) ) 2 一( ) i n k f ( u ) i i 妒( t ，p 一u ) p 。( 口一t u ) 一秽( ) 0 刍 i l 妒口( ，o _ t w ) 妒o ( o t u ) i | 刍 e - 2 a t l l 妒3 ( 0 一t u ) 幢一0 ，t _ 0 0 我们得到对e 中任何缓增随机集召( u ) ，有 妇( 妒( ，o _ t w ) b ( o t u ) ，j i | c ( u ) ) _ 0 ， a 8t 一( 3 0 ，u q 定理2 5 2 ：随机动力系统 垆( t ，u ) ，t o ) 具有一个非空紧的随机吸引子a ) ce ，u q ，并且存在一个缓增的随机紧吸引集j i c ( u ) ，使得所有的u f z ， 以。( u ) = nu 妒( 丁，0 一r u ) 瓦( p 一下u ) ， t 0 r t 且 妒( ，u ) 4 。( u ) = 4 。( 巩u ) 证明：这是由第一章中的定理( 1 4 6 ) 和引理( 2 4 2 ) ，( 2 5 1 ) 以及上面的论述得到的。 1 6 上海师范大学硕士学位论文 第二章具强阻尼的随机s i n e g o r d o n 方程随机吸引子的存在性 注记2 5 3 ： ( 1 ) 当7 = 0 ，q 0 n ，已有范小明证明了方程( 2 】- 1 ) 的吸引确定性集合的随 机吸引子的存在性，而对于吸引缓增随机集随机吸引子的存在性，只要在本文中 取- y = 0 ，就可以得到。 ( 2 ) 当q = 0 ，7 0 时，已有尹福其证明了方程( 2 1 1 ) 的吸引确定性集合的随机吸引子的 存在性，而对于吸引缓增随机集随机吸引子的存在性，也只要在本文中取a = 0 ，就 可以得到。 结束语：本章中通过引入加权范数与对关于时间为一阶的发展方程对应的线性算子的正 性分解，证明了一个具强阻尼的随机s i n e g o r d o n 方程的随机吸引子的存在性，且该随机 吸引子吸引所有的缓增随机集该结果发表于上海师范大学学报( 自然科学版) ，2 0 1 0 年 第2 期第3 9 卷 1 7 第三章具强阻尼的随机s i n e g o r d o n 方程随机吸引子的h a u s d o r f f 维数上海师范大学硕士学位论文 第三章具强阻尼的随机s i n e g o r d o n 方程随机吸引 子的h a u s d o r f f 维数 3 1 背景 设u 是n 维欧氏空间兄n ( n ) 上的一个具有光滑边界a u 的有界开集，考虑下面具有 可加白噪声的波动方程： id u t + ( - - t a u t + q 饥一地+ ps i n u ) d t = g ( z ) d w ( t ) ，t 0 ，+ o 。) ， 仳( z ，t ) l $ 8 u = 0 ，t 0 ， ( 3 1 1 ) iu ( z ，0 ) = u 0 ( z ) 础( u ) ， z t ( z ，0 ) = i t l ( x ) l 2 ( u ) ，z 其中u = 乱( z ，) 是一个u 0 ，+ 。o ) 上的实值函数，y ，a ，p 是正常数，g d w 描述了一个 可加白噪声，其中g h 2 ( 【厂) n 明( u ) ，w ( ) 是概率空间( q ，厂，p ) 上的一维双边维纳过 程，q = 【u c ( r ，r ) ：u ( 0 ) = 0 ) ，厂为q 上由紧开拓扑生成的b o r e l0 - - 代数，p 为概率 测度。 具强阻尼的s i n e g o r d n 方程的解的渐近行为已被许多人研究过，在方程( 3 1 1 ) 中 没有随机项时，g h i d a g l i a 和m a r z o c c h i 1 8 】证明了全局吸引子4 的存在性，同时得到 了4 的h a u s d o r f f 维数的上界估计式，且所得到的上界当强阻尼系数7 适当大时，与7 成正 比，并且当，y 趋于无穷大时，该上界也趋于无穷大，这从物理角度上是难以理解的。后来周 盛凡【5 】在同样的条件下也得到全局吸引子4 的h a u s d o r f f 维数上界估计式，但该吸引子 的h a u s d