（计算数学专业论文）laplace方程cauchy问题求解的正则化方法.pdf

摘要 有限区域上l a p l a c e 方程c a u c h y 问题是一类典型的不适定问题，其物理背景是 由区域的( 部分) 边界上可以测量到的c a u c h y 数据来求解区域内部的解，或者另一 部分边界上的解在一般情形下此类问题的古典解是不一定存在的，并且解也可 能不连续依赖于输入数据因此需要引进正则化方法 本文考虑圆环域上在外边界上给定c a u c h y 数据的l a p l a c e 方程的定解问题 f j 品( p 嚣) + 1 砸0 2 u = o u ( b ，臼) = ，( ， 【o 。u t 、b ，p ) = 9 ( 目) ， ( p ，p ) ( a 6 ) ( 0 ，2 r r ) 0 ( 0 2 7 r )( 0 0 1 ) 0 ( 0 ，2 r r ) 求解的正则化方法本文的工作分为三部分首先我们证明了该问题解的唯一性， 并建立了该不适定问题解对输入数据的条件稳定性，得到了在局部区域上h h l d e r 型的稳定性估计，即该估计的h 6 l d e r 指数依赖于所讨论的部分区域的大小所采用 的方法是对解的加权模建立凸函数的估计该结果为利用条件稳定性确定t i k h o n o v 正则化参数的某些新方法提供了理论基础其次我们讨论了在利用m o r o z o v 相容性 原理确定t i k h o n o v 正则化参数时，近似求解m o r o z o v 方程的模型函数方法，该方法 利用较少的计算量，可以以很高的精度确定正则化参数最后我们给出了有关的数 值结果，说明了提出的方法的有效性 本文选定标准的圆环型区域作为我们的模型问题，只是考虑到在这种模型下 可以写出问题解的解析表达式，从而可以方便地检验我们提出的方法的有效性对 于一般的环型区域上的l a p l a c c 方程在外边界上给定c a u c h y 数据的不适定问题，很 多情况下可以通过区域的坐标变换把环型区域变为圆环型区域，丽l a p l a c e 方程变 为了一般形式的椭圆型方程通过上述变换，本文提出的处理圆环型区域上l a p l a c e 方程c a u c h y 问题的正则化方法，可以推广到一般区域上的问题 关键词：不适定问题，l a p l a c e 方程，条件稳定性，模型函数，正则化，数值解 a b s t r a c t t h ec a u c h yp r o b l e mf o rl a p l a c ee q u a t i o ni sak i n do f i l l p o s e dp r o b l e m i t sp h y s i c a l b a c k g r o u n di s t od e t e r m i n et h ei n t e r i o rf i e l dw i t h i nt h em e d i u mf r o mt h em e a s u r e dc a u c h y d a t ao np a r to ft h eb o u n d a r y i ng e n e r a lc a s e t i l ec l a s s i c a ls o l u t i o nt ot h i sp r o b l e mm a yn o t e x i s t a l s o ，t h es o l u t i o nd o e sn o td e p e n dc o n t i n u o u s l yo nt h ei n p u td a t a s os o m er e g u l a r i z i n g m e t h o ds h o u l db ei n t r o d u c e dt og e tas t a b l ea p p r o x i m a t es o l u t i o n i nt h i sp a p e r w ec o n s i d e rt h ec a u c h yp r o b l e mf o rt h el a p l a c ee q u a t i o no nar i n gd o m a i n d ：= ( n 0 ) 0 n 0 , v e o ，o “l is 。面尹 但此文中的方法也有缺点，一是只能得到在伊区域所的收敛性结果；二是不易于 数值计算，因为要同时计算t ，厶u ( 2 ) 转化为矩问题( m o m e n tp r o b l e m ) 求解 ych o n 在 2 1 】一文中运用格林公式，将上述问题转化为一个易于数值求解的 矩问题设调和函数。满足 、 筘：i n 0三f 。国 、 1 舞= ， a n r u 石矗 则由格林公式 上( 。”一讼”= 上，扣筹一“嘉) 眠 可得到如下的矩问题形式 k 懒= z ( ，寡训幽 其中p = 嘉k l 、r ，运用b a c k u s - g i l b e r t 算法可以得到口( ，即勰“在o n r 上的边界数 据，这样就把原来的不适定的c a u e h y 问题转化为一个适定的混合边值问题，从而 可以求出原来问题的解值得注意的是，满足( 1 2 2 ) 的”是不唯一的如果选择许 多u ，就是矩方法，如果选择一个确定的”，就是求解第一类的不适定方程。需要引 进正则化方法这种方法可以推广到兰维上的一般的椭圆方程 ( 3 ) 在【1 7 】中，通过引进一个类似能量的泛函( e n e r g y l i k e f u n c t i o n a l ) ，将原来的 问题转化为一个最优化问题，然后运用k m f 算法( k o z l o v - m a z y a r f o m i na l g o r i t h m ) 进 行求解 不妨设u b z r = h 舞、r = h i 首先，对一对变量( 叶，r ) ，考虑下面两个适定的混 合边值问题； 憎 = 0 i nn = ，d nr =轨dno a r 坳k t t 2 三强i n r 【鬻= 口， 饥r 显然只有( q ，r ) 在边界o a r 上等于真实值( h ，h x ) 时，有“l = t 2 则( 矗， 1 ) 的求解转 化为下面的最小化问题 ( j i ，h ) ；a r # 景争f ( 仉力 塞童查竺堑圭堂堡垒塞量三塞! ! 亘 5 e ( v , r ) = k ( ，一等) ( u i - - 7 ) - f 上( 铬- g ) ( f 刊 通过求解上述最小化问题即可得到( h ，h - ) 的近似解此方法可以很容易的推广到 三维情形，在工程技术等领域有着广泛的应用而且这里求解n e u m a n n ，d i r i c h l e t 数 据所采用的方法是一样的，给数值计算带来了方便但这种方法的局限性在于受 到c a u c h y 问题的不适定性的限制，即当输入数据有扰动时，用此方法所求得的区 域在边界上满足扰动数据，从而给求解带来了误差 ( 4 ) 中值差分正则化方法( c e n t r a ld i f f e r e n c er e g u l a r i z a t i o nm e t h o d ) 在【1 8 】中。作者运用中值差分方法来处理由= 0 处的数据来求解区间0 z 1 上的解的l a p l a c e 方程c a u c h y 问题， i 龆- f 1 锄= 0 ，0 o 1 ，一o o 譬 + o 。 u ( o ，可)= 9 0 ) 一 y + 。， ( i 2 3 ) i ( o ，y ) = 0 ， - - o o y + o 。 其基本思想是将u 。用一个步长为的中值差分替代，然后利用f o u r i e r 变换，可以 得到问题( 1 2 3 ) 的正则化解这里的步长k 相当于正则化参数 假定( v ) = q ( 1 ，) ，满足i i i f l 2 ( 用e ，定义，的f o u r i c r 变换； 1 f - b o o ，( f ) = 杀 e 叫，( p ) d y ， 由f o u r i e r 变换，( 1 2 3 ) 的解可写为吐( z ，f ) = c o s h ( z ) 9 ( f ) 将( 1 2 3 ) 中的t w 用一个步 长为k 的中值差分近似替代，( 1 2 3 ) 可以转化为下面近似形式， f + 班墨趔选匕鱼鼍龃= ! 鲤上= 盟= 0 ，0 z 1 ，一o o 掣 + o 。 v ( 0 ，f ) 2 9 6 ( y ) ， 一 y + ， i ( o ，掣) = 0 ， o o 掣 l 驴厕再1 丽 则显泰有k 0 ，n = 0 1 ，2 由( 2 1 1 1 ) 得 z h + 薹硝c o s n r e o s n o + s i n n r 斑埘册( r ) d r = o t ( 2 1 1 2 ) 此即 a 0 “ ( r ) d r + 量陋。f “c 。8 m ( ，) d rc o s 8 i n n 川：o ( 2 1 1 3 ) a 0 z ) d r + 至上c 。8 m c o s o 咖”联7 咖棚j = o ( 2 1 1 3 对所有的0 【o ，2 r 】成立从而 a 。z “m ) d r = “z 斯附胪，：“s i n n r h 打一。 由于钿o ，云t i 0 ，从而 z 甜”舻o “c o s m 打= j ( 0 2 s i n n r h 打一o 由此得 ( r ) i0 利用此方法证明唯一性的优点是。表达式( 2 1 1 0 ) 给出了求解 ( 口) 的具有已知 核函数的第一类积分方程，它为数值求解此不适定问题提供了基础 我们把本节得到的结果叙述为下面的定理； 定理2 1 1 当c a u c h 数据i f , g ) 满足l ( f ，9 ) r m n a e ( k ) 时，原g a u c h y 问题偿j 砂 f 2 1 3 ) 每茌唯一解 2 2 解的条件稳定性 证明tc a u c h y 同题解的唯一性以后，我们这里直接对在圆环域上的解来建立 条件稳定性，而不是对求解 ( p ) 建立条件稳定性因为我们最终的同题是在圆环区 域上求解定解问题，而不只是t ( n ，日) 通过引进适当的能量泛函，我们建立了一个 对圆环域上的解依赖于区域大小的h s l d e r 条件稳定性从我们得到的结果来看， 一个重要而有趣的结论是在整个区域上建立一致的条件稳定性似乎是不可能。随 着区域的增大，h f l d e r 指数趋于0 本节采用的方法是( 9 1 ) 中考虑的问题在周期边 界条件下的应用，方法是类似的但是我们需要更一般的变换 对满足( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 的“( p ，0 ) 进行分解，记 u ( p ，0 ) = u d p ，0 ) + u 2 ( p ，口) ， 其中u l ( p ，0 ) 满足 ：1 五0 = ( p o u 1 ) + 忑1j 0 万2 u t ；0 。( p ，口) ( 4 ，6 ) ( 0 ，2 ，r ) ( 2 2 1 ) 石历归口p + 尹丽r = u l p ，f ) 。j z ，r jj j l ( 6 ，0 ) = ，( 口) 一地( 6 ，口) ，0 ( 0 ，2 )( 2 2 2 ) 鬻( 6 ，口) = o ； 口( o ，2 丌)( 2 2 3 ) 地( 以0 ) 满足 ；吴( p 尝) + 互1 商0 2 u 2 ：o ，( n p ) ( 。曲) ( o m ) 石历l 9 万，+ 孑萨刮协 j “ u 2 ( a ，0 ) = 0 ，0 ( 0 ，2 7 r ) ( 2 2 4 ) 等( ) = ) 口( o ，2 ”) ( 2 2 5 ) 对u 2 ( n 口) ，它满足的是圆环域上的混合边值问题由分离变量法，可解得 咖= 坐气坐f 0 2 ”g ( 啪+ 霎 而芒嘉名南n bj 产。咖) 一n r d r n 一+ 惫【 “扩1 + 1 。) “。 而，r ( n a 娶2 n b 刍焉n b 与1j 厂o “卅) s i n 铊衙s m 叫 ( 2 f 。6 ) 一 一1 + ”一) 7 一 j 、 特别地，在此解的表达式中取p = b 郎解出 嘶朋= 塑型”卵肌 耋 去等善嵩z 打加，鲫融懈棚+ 厶鼍i n 7 r d 一2 “6 ，i + 6 一“厶 扒 磊b 丽a - 2 n b n - - b - n 五f 2 x 咖) s m n 协s h 叫露丌n 一觚驴+ 6 一“ 趴一j 圣堕查竺堑圭兰竺篁苎 篓三塞丝墼童塞堡；堡三堡；丝丝塞窒堡 1 1 由p a r s e r v a l 等式t i l u 2 ( b , ) l i 刍f o 圳= ! q ：毒f 垫垡( z “9 ( 口) 瑚) 2 + 。 薹品c 箬磊箬幸鬟，2 c z “鲋，一n 咖，2 + c r 。柙，西n 埘甜川 由h 6 1 d e r 不等式并注意到i 隔a 2 b n _ b - ni 1 ，从而有估计 忆( 6 ，) 嵫【0 2 川 掣掣十薹凳t 两a - 2 n b n 币_ b - n ) 2 | | 硎 掣掣+ 薹孙硎刎 记c 孑一塑掣+ 巽。崭，从而 i l u 2 ( b ，+ ) l l x 声【o ，2 , d c o l l g l l l = l o 2 州 ( 2 2 7 ) 对t t i 满足的定解问题( 2 2 i ) - ( 2 2 3 ) 作自变量代换p = b r ，则新自变量r 满足 0s r b o 在此变换下，记u 1 ( “0 ) = u ( r ，口) ，则( 2 2 1 ) ( 2 2 ，3 ) 化为 品( 4 ( r ) 筹) + 历0 ( b ( r ) 警) = o ( r 功( o 6 - a ) ( o 2 力 ( 2 2 8 ) u ( o ，0 ) = f ( o ) 一u 2 ( b ，0 ) ：= g ( p ) ，0 ( 0 ，2 ) ( 2 2 9 ) 硌( 0 ，0 ) = 0 ，口( o ，2 7 r )( 2 2 1 0 ) u ( r ，0 ) = u ( r ，2 7 r ) ，砺( r 0 ) = 砺( r 2 f ) ， r ( 0 ，b 一口) ( 2 2 1 1 ) 其中a ( r ) = 击，b ( r ) = 6 一r 在r 【o ，b 一。j 上具有正的上下界 对卢( 0 ，b o j ，定义阿题( 2 2 8 ) 一( 2 2 1 1 ) 所在区域的子区域 d o ：= ( f ) ：0 冬0 s2 7 r ，0 0 ，r 【0 ，卢】，从而由定义( 2 2 1 6 ) 知左半不等式成立 童塑奎堂塑圭竺垒垒苎堑三塞堡墼童垄丝；堡三堡；垂堡堡星堡 l n 另一方面，由定义( 2 2 1 6 ) 及p r 一譬的非负性得 删；d b ”2 抛+ q + 厶字舻栅 t 专b 移棚西+ q + | d 等酣龇 这里第二个不等号用了o o s b ( r ) b ，即得到右半不等式 口 该引理中的泛函f ( 卢) 实际上是”的一种带权能量下面对这样的f ( 卢) 来建立 一种带权意义下的对数凸性不等式，它是得到本文所论问题的解u 的条件稳定性 的关键 首先我们由( 2 2 1 5 ) ，c a u c h y - s c h w a r z 不等式及引理2 2 1 的左半不等式可得 ( ，) ) 2 丑2 d i ) d r ，口砰d o d rs2 f ( d ) b 砰d o d r j d oj d aj d e 据此式可得不等式 f 一( 一) 2 f f 上。( a 讲+ b 霹) 譬胁一2 厶b 谚d p d r 】= f 眨，( 砒；一b ”；) 棚训( 2 2 1 7 ) 对上式右边的积分。利用等式，d 。( 口一r ) w , , e w d a d r = 0 以及边界条件( 2 2 1 1 ) ，通 过对”中的两个导数分部积分即可得到 五。( 讲一b 砰) 8 8 d r 。厶一r ) ( a r 斫+ 屏群) 棚d r + 卢上r 2 w ( b 衍) ( o 础( 2 。2 。1 8 ) ， 利用( 2 2 1 7 ) 和( 2 2 ，1 8 ) 就可以建立f ( p ) 的带权的对数凸性不等式，即下面的 定理2 2 2 存在常数k 1 = 喾 0 使得f ( p ) 有下面的估计 f f ”一( ) 22 一k 1 f ( 2 2 1 9 ) 证明t 由a ( r ) ，b ( r ) 的表达式并且注意到a ( r ) ，b ( r ) 2o 得 正。伊一r ) ( 万圭”；一砰) 甜d r 一厶( 卢一r ) ( 刍”；+ 砰) d 胁 一五。( 卢- r ) ( 刍a ( r ) 嵋+ ：b ( r ) w ；) a a d , - 一! 掣( 2 2 卿 把( 2 2 2 0 ) 代入( 2 2 1 8 ) 后再把结果代入( 2 2 1 7 ) 即得 f 一( f f 一a 。+ 。b f f , ， 东南大学礤士学位论文第二章解的存在性唯一性，条件稳定性 1 4 即得到定理 口 该定理中的非线性微分不等式可以有一个等价的积分形式，它是我们建立条 件稳定性的出发点我们将其写为 推论2 2 3 对口( o ，b 一口) ，定义q ) ：= 暑端( o ，1 ) 则俾2 j 彰对应于下面的积 分不等式， f ( 卢) s 【p ( o ) j 1 一玑印【f p d ) j “所( 2 2 2 1 ) 证明t 引进自变量代换一= e - k t 和函数代换n ( a ) = m l f ( b c a ) ) ，则直接计算并 由( 2 2 1 9 ) 得 - - - - 互 n ( ) ) = 礤丽1 【f 一( ，) 2 + 耳l f 卅。， 从而日( 口) 在p l t l 】上是凸的，其中9 l = e - k 1 ( 6 - 口j 于是对口p l ，l j 有下式成立 h ( 盯) r 6 r = - - i o 1 日( 1 ) + 而1 - - o 日( 盯1 ) 一 此不等式返回到口坐标和f ( 卢) ，即得到 f ( 卢) 【f ( o ) 】一口4 ( f ( 6 一j 9 ( 所， 即完成了定理的证明 口 把前述的变换返回，很容易得到 f ( 0 ) = 字妒字上打脚砍叩肌与埠1 ( 6 训2 。1 0 。订 对此式再利用( 2 2 7 ) 和边界条件( 2 2 2 ) 得到 f ( o ) 皇i ! i ；堕( 1 + c b ) 2 ( 1 1 1 1 p 岫2 霄l + i l g l l 口【0 h 】) 2 ， ( 2 2 2 2 ) 另一方面，同样由引理2 2 1 和前述函数变换的定义，我们可以计算出 f ( b 一曲a d b 一。以r ) 舻栅+ f ( 0 ) a 6 j 么。舻鼬+ f ( o ) 。 j di h 一4 c 1 b u 2 ( r e ) d o d r + f ( o ) j i h 一 一a 6 i ( 内o ) d e d p + f ( o ) ( 2 2 2 3 ) 其中d = t ( p ，0 ) ：o p 6 ，0 s 0 s2 丌 对定义于区域d = ( n f ) ：p 陋，6 l ，0 【o 2 丌j ) 上的二元函数p ( n 口) ，下面采用的 都是直角坐标系下的p 模恻f 2 。( d ) ：= 后”片f p ( n e ) r 2 , p d 矽，显然它和把d 视为舻上 的圆环形区域时其上函数的驴模后7 r i p ( p o ) 1 2 p d p d e 是等价的 下面就可以在c a u c h y 问题的解的先验有界性条件下来证明解的条件稳定性 对芦( 0 ，b 一口) 记 岛= ( 岛口) ：b 一卢 0 而产生的解的误差，它被正则化解算子的模| | 0 放大了，对任何给定的6 0 ，当 o t 一0 时，刚如0 一o 。；第二项表示正则化解算子风逼近不适定算子_ 1 在精确 右端数据l ( y ，g ) 处产生的误差0 ( 一k “) 圳，当。一0 时，它趋于0 一方面，近 似解对输入数据的误差6 0 的稳定性要求需要1 1 吼很小( 由正则化解算子耽的 性质知，o 不能太小) ；另一方面，正则化解算子吼对不适定算子。的逼近性要 求i | ( 吼一k - 1 ) 圳很小( 即a 越小越好) 这样就产生了一个问题。正则化参数a 如何 选取，使得 矿i i j k 0 + i l 玩k h 一训 极小 这样在利用正则化方法求解过程中，确定合适的正则化参数成了核心问题 其基本要求是：对于待求解施加定性的或定量的信息，以使正则化参数与原始输 入数据的误差水平相匹配 确定正则化参数a 通常有先验和后验两种策略先验策略是在求解( 3 1 3 ) 前， 先取a 的值从正则化解算子如的定义可知，a 不会太大，应在区间( 0 ，1 ) 内在 求解( 3 一1 3 ) 前，在区间( 0 ，1 ) 中随意取值作为正则化参数d ，通过( 3 1 3 ) 求出正则化 解磁，如果 ：与精确解h 的误差在估计范围之外，则另取a 值这样不停的试，以 期能求得h 的近似值后验策略就是在解( 3 1 3 ) 过程中确定正则化参数本文使 用模型函数的方法来确定正则化参数的后验选取 3 2 正则化参数的先验取法 不妨记 如；丽1 + 薹篙酬一) ， ( 棚) = 丽两1 + 三_ r t b - l 酽a - 2 n 呵- 4 - n b - 2 n - 1 一n ( r 叫 对( 2 1 1 0 ) 运用正则化，即得如下的表达式 以+ 存, o 知k ( e 出甜= 序灯卅序m ) l q 批川3 2 1 ) 在( 3 1 3 ) 中， r 2 n 一2 “ 耳2 磁( r ) = l ( r ，口) i ( 口，z ) 碡( z ) d z d o j oj o 在计算中我们近似取 】 。( l 8 ) 2 丽商j 丽 如卅= 去+ 耋端并一嘶叫 把区间 0 ，2 1 r 】作f f l 等分，利用复化梯形公式离散积分 办岫“筹薹删， 其中口o = a m = 1 2 ，q = 1 0 = 1 ，m 一1 ) 故( 3 1 3 ) 的近似形式为 c r ，+ 等薹吩醑 薹啦；c 勺川以n ) = 豢薹q 如州矿c 勺卜 等弘勺) 匡咖枷) ( 3 。2 ) 盯 瞄 禹筹 骊 垦塞苎量垒坠苎兰：! 丝塞 叁三塞垂墅堡室墼塑里墅丝叁墼塑垄壁 2 1 荐对r 离散，可得矩阵方程 ( 。曰+ 等再日= 等r g 一丽4 7 r 2 弼g o ( 3 2 3 ) 其中e 为m + 1 维的单位阵， t = t o = 日：_ p ( 功) ，舻( 田) ，r 一，旷( ) 】r ， g ：；p ( 勺) ，( 几) ，矿( ) 】r ， 岛：= ，6 ( 内) ，4 ( 矗) ，6 ) t ， a o k ( ”o ，勺) n l i ( r o q ) m ，) a o k ( n ，勺) o l 磊( 丁1 ，下1 ) d m 矗( n ，7 h ) 。o ( ，t o ) o i ( ，n ) n 。i ( ，) a & ( r o ，勺) a o k ( r z ，t o ) 8 l ，7 1 ) a z k ( r z ，丁1 ) a t k ( r o ， r m ) a 1 k ( t z t r n ) ：。： g o ( ， t o ) a l l ( ，q ) 口m l ( ，) 由( 3 2 3 ) 式，我们可以求出原问题的数值解日在第四章中我们将给出数值例子 驺3 正剐化参数选取的模型函数方法 前面我们介绍了正则化参数的先验取法，即通过试验选取多个正则化参数来 计算相应的正则化解，以期从中得到较好的结果可以发现，这种方法具有很大的 局限性，不仅效率比较低，而且得到的正则化参数也不一定是最优的因此，人们 提出了很多后验取法来选取正则化参数其中，由m o r o z o v 相容性原理确定正则化 参数的方法在处理线性反问题有着广泛应用 m o r o z o v 相容性原理的基本思想是通过求解方程( 3 1 2 ) 的最小模解来确定正则 化参数理论上，该方法通过 l i n c h 。( ) 一l ( 1 6 , 9 5 ) ( ) i l l 。f o ，2 叫= ( 矿) 2 ( 3 3 1 ) 来确定正则化参数o ( d ) ，其中矿前面已由j 显式表出而对给定的n ，胪( 日) 满足前面 的正则化方程( 3 1 2 ) 从而( 3 & 1 ) 实际上是一个求解正则化参数。的隐函数方程 该方程在一定条件下的可解性由下面的结果来保证( 1 2 d 引理3 3 1 如果l ( i 6 , 矿) gk e r ( k + ) ，( o ) 0 使得 ( k h 4 ( 口) ，k h o ( 口) ) = 0 ( 口) ( 8 ( 口) ， o ( 口) ) 不妨令 ( 耳胪( 口) ，k h o ( p ) ) 2t ( h a ( o ) ，胪( 口) ) = 2 t j ( a ) 其中t 为常数将此意义下的模型函数记为m ( a ) 于是由( 3 3 5 ) 知m ( a ) 满足 q m 7 ( 口) + m ( 口) + t r o t ( a ) = ；i i l 6 1 1 2 ， ( 3 3 6 ) 解这个常微分方程得到含有两个参数a ? 的删：口) 表达式 m ( 。) = 扣知2 + 亍 ( 3 3 7 j 由上式可以看出，常微分方程( 3 3 6 ) 的解含有两个参数c , t 模型函数方法的思想 即为：对于在不同的正则化参数a 的邻域内以及其对应的参数c , t ，正则化泛函 的极小值j ( a ) 可由( 3 3 7 ) 定义的m ( o ) 近似得到为了确保在每一个a k 的邻域内由 ( 3 3 6 ) 能得到唯一的m ( a ) ，我们根据( 3 3 2 ) 给出了参数c , t 的更新步骤，以使得 m ( o ) 在o 的邻域内能局部逼近j ( o ) 在( 3 3 ，2 ) 中。用m ( o ) 替代了( o ) ，得到关于 a + 1 的显式方程，可以解得n + l 下面给出确定两个参数g ，t 的迭代算法即模型函数方法，给定c t 0 0 和e 0 ， 令= 0 。 ( 1 ) 解( 3 1 ，2 ) 得到h “，计算j ( a k ) 和，( 毗) 然后由表达式( 3 ，3 7 ) ，更新靠和o k ： 帆) 2 ；j f 2 + 于彘2 ，) ， ( 3 | 3 8 ) 磁( ) 一赫2 ，) t 由上式可以确定r e ( a ) 中的c k ，死： 靠= 砰i i k h 8 * 1 1 2 ，c h = 一避焉铲 ( 2 ) 设第次的模型函数， 叫班妒胪+ 杀 在m o r o z o v 方程中求解铆+ l ： c k ( 口) ：= m k ( a ) 一a m ：( 口) = ：( 扩) 2 ， ( 3 ) 如果f a + 1 一a i se ，则停止；否则令：一+ 1 ，回到( 1 ) 另外很容易看出对n o ： 嗽( ；一枷 o ，碳( 加南 0 ， 由( 3 3 7 ) 可以看出迭代更新参数时的瓦表达式正是引进模型函数时的近似关 系( k 铲，鲫产) = t ( h o ，胪) 这表明，由此迭代更新参数t c 最终得到的m 应该是 j ( a ) 在上式意义下的一个近似 可以证明，( 3 3 1 2 ) 在鲰充分小时确实有解( 【1 2 】) 定理s 3 2 如果鐾k e r ( k ) ，j ( 0 ) 0 ，在上第二项的符号完全由a k 决定( 与k 反号) 再用方程 ， 瓯( 口) = ；( 州2 ( 3 3 1 5 ) 来代替式( 3 ，3 1 2 ) 松弛常数a 女的选取应该使得改进后的近似m o r o z o v 方程( 3 3 1 5 ) 存在唯一解由于岛( 帆) = 吼( a ) ( 扩) 2 ，故只要文( o ) 0 下面给出改进以后的近似方程迭代求解的模型函数方法t 水平e 0 ，令k = 0 ， ( 1 ) 解( 3 i ，2 ) 得到h a * ，计算j ( a a ) 和j ( 口 ) 然后出表达式( 3 3 7 ) ，更新聂和铱： 帆( 讯) = ；i i l 6 n 乞2 j ( 。 ) ， f 3 3 1 6 ) 即鼠( n ) 单调上升 给定蛳 0 和迭代误差 硝a 肛一禹= 以训， 由上式可以确定r e ( a ) 中的q ，孔： 靠；再i i k h 1 i i ，瓯；一螋每群i i 业1 5 1 i 7 ；石= 1 f 。一一 2 i i 。- 2 ( 3 3 1 7 ) ( 3 3 1 8 ) ( 3 ，3 1 9 ) 塞室查堂堡圭堂堡垒塞塞三塞重型丝垄鎏塾重型丝叁墼墼堡垒 2 6 ( 2 ) 设第次的模型函数t 州n ) = 扣6 | | 2 + 羔 ( 3 3 2 0 ) j t u 在m o r o z o v 方程中求解口+ l ： 瓯( 口) ：= g k ( a ) + k ( 瓯( 口) 一瓯) ) = 妻( 矿) 2 ，( 3 3 2 1 ) 确定新的近似零点，它也是式( 3 3 1 2 ) 的近似零点，其中h 由式( 3 3 1 6 ) 确定 ( 3 ) 如果瓯( a ) ( 扩) 2 或f 毗+ l q k i e ，则迭代停止；否则令_ 女+ l ，回到 ( 1 ) 显然我们这里由文( a ) = ) 2 确定时，不要求a 很小，这是由于我们引进了 松弛参数k 来保证鼠( a ) ；( 扩) 2 ，则由( 3 3 ，1 7 ) 一( 3 3 2 1 ) 确实产生了逼近序列 毗) 该序列具有下面的性质之一t ( 1 ) 该序列在某一有限步满足g k ( a ) ( 扩) 2 ； 否则即有 ( 2 ) 记o + 为式( 3 3 2 ) 的根，对任意初值o o ( 矿，l 】，序列 n k ) 是一个无穷项序 列，该序列单调减少收敛于o ， 下一章中我们将给出用改进的模型函数方法求勰本文问题的数值例子 第四章c a u c h y 问题求解的数值实现 在本章，我们利用前面讨论的正则化方法来对圆环域上l a p l a c e 方程c a u c h y 问 题的数值解这样一个不适定的问题进行数值实现根据第二章建立的条件稳定性 的结果，我们知道该问题是有条件稳定性的，可以在整个圆环区域上数值求解但 是为了集中讨论该问题的不适定性，我们讨论由外边界上的c a u c h y 数据来求内边 界上的d i r i c h l e t 数据的问题，该过程本质上反映了l a p l a c e 方程c a u c h y 问题的不适 定性因为一旦求出内边界上的d i r i c h l e t 数据，它和外边界的d k i c h l e t 数据就构成 了一个适定的边值阔题 为了检验正则化方法确定 ( p ) 的有效性，我们采取如下的模拟方法即我们 首先给出内，外边界上的d i r i c h l e t 数据求解正问题模拟得到外面界上的n e u m a n n 数 据然后我们对外边界上的c a u c h y 数据用( 3 1 0 ) 的方法加上扰动，得到外边界上的 噪音c a u c h y 数据，再用第三章讨论的正则化方法检验近似求解h ( e ) 的效果 为了减少引入的数值计算误差，我们选取特殊的边值数据，使得正问题有精 确解对此模型我们来讨论正则化参数的先验取法和模型函数取法 4 1 正则化参数先验取法的数值实现 下面我们运用正则化参数的先验取法来求原问题的数值解 我们不妨取模型问题的解是 t ( n 一) = ( 3 p 2 + 4 p 一2 ) c 0 8 2 9 ，i p 2 ，0 占2 1 r 则易得外边界的c a u c h y 数据f ( 8 ) = 1 3 c o s 2 ? ，g ( 9 ) = 1 1 c o s 2 9 ，内边界精确的d i r i c h l e t 数 据为h ( e ) = 7 c o s 2 0 对此模型问题，我们取扰动输入数据为 ，6 = ，+ 三s i n 9 ，9 6 = 9 + 兰c o s 0 7 9“ 首先取a ；0 0 0 0 1 ，m ：1 0 0 ，对于不同的扰动水平j ，数值解与精确解在整个边界上的 曲线表示见