（运筹学与控制论专业论文）一类热方程扰动系统能控性.pdf

摘要 研究一类热方程扰动系统的能控性问题首先通过对系统线性化，构造泛 函，利用对偶方程，给出控制函数具体形式的办法得到系统的逼近能控性；然后 采用变分方法对系统线性化，再结合解映射好的性质，应用推广的隐函数定理，证 明系统的局部零能控性；最后利用局部零能控性和逼近能控性结合给出系统零能 控的结论 关键词：隐函数定理；变分方程；逼近能控性；零能控性；局部零能控性 i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获 得东北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意 学位论文作者签名 日 口6 上研 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的 规定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论 文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名 日期； 学位论文作者毕业后去向 工作单位 通讯地址 指导教师签名；：差盔 日期：! ：点：! 电话： 邮编： 彗 l 引言 在控制理论中。能控性和能观性是两个重要的概念。它们是卡尔曼 ( k a r h n a i l l l ) 在1 0 6 0 年提出的。是最优控制和最优估计的设计基础。按 控制在系统中的位置可以将控制分为两类：边界控制和内部控制按等 时区域与目标的关系，人们主要研究三种类型的能控性：精确髓控性， 零能控性，逼近能控性，以及局部零能控性。在有限维线性系统中。原 系统的能控性等价于对偶系统的能观性，系统的精确能控性与逼近能 控性相同对热方程的内部能控性问题，人们通常采用这样的办法，首 先对系统线性化，然后构造泛函，利用对偶方程给出控制函数的具体形 式，再利用不动点原理将线性化的系统回归到非线性系统，从而证明了 系统的逼近能控性等本文考虑如下系统： l 驰掣+ ，( p ) = x u + g 扣，t ) 掣( 置t ) = o ， i 掣( z ，o ) = 乳( z ) ( z ，) 0 r ， ( z ，) e f ，( 1 1 ) z n 的能控陆问题其中0 t = n ( o ，丁) ，t = a n ( o ，t ) ，n 是r 4 中的有 界域u l 2 ( 日t ) 为控制量，蜘上2 ( n ) ，u n ，屉删的特征函 数假设，( o ) = o ，g 1 ( 励，且存在m o 使 ，( 掣1 ) 一，( 目2 ：墨m 叭一驰i ，砘1 ，蛐rf l2 ) 设币c ( 再) ，满足曲 o 于地妒= o 于a n ，i v 币j o 于矾w 设 a ) 一趔锅篓粤，其中c 礴足： 甲 l c 1 旧，明，；( t ) ；z ，( 二 ，t 】，f ( n o ， 0 ，t 卜 记蚶( q r ) = 如( z ，) i e 一( 邓9 上2 ( 口t ) ) ( 其中目，卢取使热方程c 盯b m m 不等式成立的值，详细定义见文献，在本文9 x ( 珊) 系统 ( 1 1 ) 可以看成是热方程的扰动系统， f ) 可以看成是依赖于状态量” 的扰动，g 可蛆看成是系统所受到的一个恒定的扰动在文献 中， 作者在9 一。的情况下得到了系统( 】1 ) 在l 2 ( n ) 中的逼近能控性在文 献 1 l 中：作者在o 瑶( n ) ，ge j 路( 0 t ) 的条件下，得到了系统( 11 ) 零能控的结论本文是在上面两篇文献的基础上得到了系统( 1 1 ) 是逼 零能控的结论本文是在上面两篇文献的基础上得到了系统( 1 1 ) 是逼 近能控的，并利用逼近能控性得到了系统零能控的结论本文的主要结 果如下； 定理l 系统( 1 1 ) 在工2 ( n ) 中对任意的g l 2 ( q t ) 是逼近能控的 定理2 系统( 1 1 ) 是零能控的 2 定义5 【3 l 设x ，y 是b a n a c h 空间，d 是x 中的稠子集，t ：d y 是 线性映射，如果对每一个p ( o ，1 ) ，都存在一个有界线性映射b 。：y x 和常数q ( 依赖于p ) ，满足| | ( b p t 耳一吼) 川吼g ，i i 吼训 唯m f ，f r ，则称算子t 是逼近外部可逆的，巩称为算子t 的逼 近外部逆对应的有界函数是，( ，) 注【q 若t 取为g ，( 0 ，) ：l 2 ( n ) xl 2 ( ) + 口( n ) 是紧映射，则 t 是逼近外部可逆的 引理2 【3 】设x ，y 是b a n 赫l 空间，。x ，s 是y 的闭凸锥，算 子g ：x y 在a 点是限制强h a d w d 可导，设6 = g ( ) ，6 s ， h 甜a m a r d 导数t = g ，( 0 ) ：x y 是有界线性算子，且具有逼近外 部逆日。和有界函数= 七o “一7 “ o 充分小，z d ，【洲一d ( t ) ( t + o ) 注下面的g f 理保证了g ：x y 是在知点是限翩强h a d a m 砌 可导 引理3 【设x ，y 是b a n a c h 空间，g ：x 一，y ，设g 有。变分 d g ( z ，柚，如果6 g ( z ，h ) 在( 如，o ) 连续，则g 在z o 点是强h a d a m a r d 可 导的 定理3g ，u ) 在( o ，咖) 点是强h d 8 m a r d 可导的，m = ( 0 ，n o ) 是l 2 ( q ) l 2 ( q t ) 一l 2 ( n ) 的紧映射 证明第l 步，对系统( 2 1 ) 在( 珈，) = ( o ，“o ) 处关于( o ， ) 方阿求 g 一变分 vs 0 ，v ( h o ，工2 ( q ) xl 2 ( 0 7 ) ，令g + e ，+ e ) 是下面系 统 f 一旷+ ，( 旷) = m + u ) + 9 ( z ，t ) 旷= o ， 【旷( q o ) = 伽+ ， 4 ( z ，t ) 国t 和，t ) e t z q ( 2 2 1 注由以上的讨论可知，引理2 的条件都满足 引理4 f 4 1 系统( 2 6 ) 是零能控的 定理4 系统( 1 1 ) ，( 1 2 ) 是局部零能控的 证明当蜘= o ，存在控制t t o ，使得( 2 1 ) 的解满足g ( t l ，o ，“o ) = o 定义g ：l 2 ( n ) l 2 ( 【0 ，t 1 】，l 2 ( n ) ) 一驴( q ) 如下： g ( 9 0 ，u ) ：= f ( 0 1 ，z ，如，“) ( 方程( 2 1 ) 的解在t 1 时刻的值) 由前面的讨论知，g ( o ，“o ) = o ，g 在( o ，u o ) 点关于( o ，”) 的变分系统是 ( 2 6 ) 式 m ( h o ，u ) = g ，( o ，o ) ( o ，u ) ：= z ( z ，t 1 ) ( 方程 3 第一个结果的证明 仿照文献 2 的证明过程，我们仍然采用这样的办法，首先将系统 线性化，然后构造泛函，利用对偶方程的解，来给出控制函数的形式， 只不过这时我们定义的泛函有所变化，里面应该含有与扰动项有关的积 分了其证明过程如下： 将系统( 2 ，3 ) 线性化可以得到如下系统 蠹如。) 怯藏?篡妻 m ，) = 搿上m 州忉忆叩，+ 儿，s 删t 一加r 妇 咐萨j z 7 上加酬龇+ 见，触出一加丁如 邶z 蜥) = ；z 丁上( 卅蝌捌抖刮妇+ 巩n ) + 脱，舶删皿出 j ( 西，十 妒。) 一j ( 灯) = 硎j 西+ h 咖j j 胪( 研一怕训z 。( n ) ) + 譬z t z 妒2 妇出 + h 缸血一n b 洳七h 峙啦 13 t r q l) ) f 姑矗 0 扛 容易得出 1 2 7 p 揪一上删 鬻基蠹嚣嚣凌 莹一誊薹# o 荆鬻p 墓醴罱；i ； 蒡明鲺篓薹鐾鞠禁j 妊s 一萋篓露塑醑 霎，莓搿刿需。鬻攀薹蕤，i 矮辫一蠢4 季季蠢榭羹i s 黼蚺 霎黪测瑟搂薛照嚣 羹! 戳萝蓼雾。臻鹫一莲；篓鬻堕 醍 ! 蛊i e j 蓦；霉第一嚣筠璃m ：萎塔羹霾；墓 篓 懈! ；羞i 一甥i 萎：i j 拳2 馐羹葡萋