（运筹学与控制论专业论文）lpbrunnminkowski理论研究.pdf

摘要 本博士论文主要研究l p - b r u n n m i n k o w s k i 理论中的一些极值问题本文首先 介绍了所属学科的发展历程、研究现状和主要的代表人物以及作者的主要工作接 着研究了关于广义的投影体、相交体、质心体的单调性，然后重点研究了拟l ，相 交体，对偶l 。j o h n 椭球和迷向上。表面积测度等 作者取得的主要研究成果是： ( 1 ) 关于投影体、相交体、质心体的单调性问题是凸体几何中最基本而又相当 重要的问题，其中关于投影体和相交体的单调性问题分别是著名的s h e p h a r d 问题 和b u s e m a n n - p e t t y 问题我们将原有的结果推广到广义的投影体、相交体、质心 体上，其中广义质心体是在本文中首次定义 ( 2 ) 给出了拟l 。一相交体的定义并得到了拟l p - b u s e m a n n 相交不等式，得到了 关于拟l 。一相交体的对偶b r u n n m i n k o w s l c i 不等式，考虑了它的单调性，推广到 混合的拟l p 一相交体后得到了关于混合拟l ，一相交体的a l e k s a n d r o v f e n c h e l 不等 式并利用a l e k s a n d r o v f e n c h e l 不等式给出了一个唯一性定理 ( 3 ) 对于p 1 ，获得了一族对偶p - j o h n 椭球耳，这族椭球包括了两个在凸 体几何与局部理论中都相当重要的椭球：l s w n e r 椭球j k 和l e g e n d r e 椭球r 2 k ， 事实上，有b 。k = t ，岛k = f 2 k 并且证明了对偶l 。一j o h n 椭球与l 。质心体 之问存在着j o h n 包含关系。这个结果与l u t w a k ，y a n g 和z h a n g 的“工p - j o h n 椭球 b 形成了一种完美的对称 ( 4 ) 应用l p - j o h n 椭球及对偶l ，一j o h n 椭球的性质得到了系列关于l ，一投影 体、l ，质心体的体积不等式，如l ，一p e t t y 投影不等式和工p 、质心体不等式的逆 向形式的不完全精确形式，并且得到了l p - j o h n 椭球的另一种形式的包含关系，另 外我们利用j o h n 基给出了l 。一型l o o m i s - w h i t n e y 不等式以及p y t h a g o r e a n 不等 式 ( 5 ) 研究了迷向工，一表面积测度，证明了相同体积凸体的l 。一表面积在仿射变 换下达到最小当且仅当此凸体的l 。表面积测度是迷向的，对于l 。表面积迷向的 凸体将其l ，投影体的极体按其三，一表面积给出了上下界估计，并且得到了l ，一等 周不等式及其逆向形式对于1 = 三p 2 时给出了三。一表面积迷向位置的稳定性 i i 关键词：单调性，拟三，一相交体，对偶l v - j o h n 椭球，迷向l ，一表面积测度，几何 不等式的稳定性 a b s t r a c t i i i t h i sp h d d i s s e r t a t i o ns k e t c h e sf i r s t l yt h eg r o w i n gh i s t o r y , r e s e a r c h i n gs t a - t u s ，m a i nr e p r e s e n tf i g u r e si nt h er e s e a ic h i n gb r a n c ha n dt h ea u t h o r sr e s e a r c hw o r k ； t h ef o l l o w i n g ，i ts t u d i e st h em o n o t o n ep r o p e r t yo ft h eg e n e r a l i z e dp r o j e c t i o nb o d i e s 、i n t e r s e c t i o nb o d i e sa n dc e n t r o i db o d i e s ；t h e n ，i ts t u d i e se m p h a s i s l yt h eq u a s i l p i n t e r s e c t i o nb o d i e s jt h ed u a ll p j o h ne l l i p s o i d s ，t h ei s o t r o p i cl p - s u r f a c ea r e a m e a s u r ea n ds oo n t h em a i nr e s u l t sg i v e nb yt h ea u t h o ra r ea sf o l l o w s ： ( i ) t h em o n o t o n ep r o p e r t yo ft h ep r o j e c t i o nb o d i e s 、i n t e r s e c t i o nb o d i e sa n d c e n t r o i db o d i e si st h ef u n d a m e n t a lp r o p e r t yi nc o n v e xg e o m e t r y i nf a c t ，t h ei n o n o - t o n ep r o p e r t yo ft h ep r o j e c t i o nb o d i e sa n dt h ei n t e r s e c t i o nb o d i e sa r et h ew e l lk n o w n s h e p h a r dp r o b l e ma n dt h eb u s e m a n n p e t t yp r o b l e mr e s p e c t i v e l y w ee s t a b l i s h e d t h em o n o t o n ep r o p e r t yf o rt h eg e n e r a l i z e dp r o j e c t i o nb o d i e s 、i n t e r s e c d t i o nb o d i e s a n dc e n t r o i db o d i e st h eg e n e r a l i z e dc e n t r o i db o d i e sw i ：r sf i r s td e f i n e dh e r e ( i i ) w ed e f i n e dt h eq u a s il p i n t e r s e c t i o nb o d i e sa n de s t a b l i s h e dt h el v b u s e m a n n i n t e r s e c t i o ni n e q u a l i t y w ea l s oo b t a i n e dt h ed u a lb r u n n m i n k o w s k ii n e q u a l i t y f o rt h eq u a s il v 一i n t e r s e c t i o nb o d i e sa f t e rg e n e r a l i z e dt h en o t i o no fq u a s i l p i n t e r s e c t i o nb o d i e st ot h a to fm i x e dq u a s il p - i n t e r s e c t i o nb o d i e s ，w eg i v e nt h e a l e k s a n d r o v - f e n c h e li n e q u a l i t ya n da l lu n i q u et h e o r m ( i i i ) g i v e nac o n v e xb o d yk ，f o rp l ，w ep r o v e dt h a tt h e r ee x i s t saf a m i l y o fe l l i p s o i d sb ks u c ht h a tt h ec l a s s i c a ll 6 w n e re l l i p s o i dj ka n dt h el e g e n d r e e l l i p s o i dr 2 a r et h es p e c i a lc a s e so ft h i sf a m i l y ( p = 0 0a n dp = 2 ) t h i sr e s u l ti s ap e r f e c td u a lf o r mo ft h e “一j o h ne l l i p s o i d s g i v e nb yl u t w a k ，y a n ga n dz h a n g ( i v ) u s i n gt h ep r o p e r t i e so fl p - j o h ne l l i p s o i d sa n dd u a ll p j o h ne l l i p s o i d s ，w e o b t a i n e dal o to fi s o p e r m e t r i ci n e q u a l i t i e sf o rl p p r o j e c t i o nb o d i e s 、l p - i n t e r s e c t i o n b o d i e s ，f o re x a m p l e ，i n c o m p l e t e l ye x a c tf o r m so fl p p e t t yp r o j e c t i o ni n e q u a l i t ya n d t h ei n v e r s ef o r mo ft h el 口一c e n t r o i di n e q u a l i t ym 0 1 e o v e r ：w eg o ta ni n c l u s i o no f t h el p - j o h ne l l i p s o i d sa n du s i n gt h e 。j o h nb a s i s ，w ea l s oo b t a i n e dt h el v - a n a l o g so f l o o m i s w h i t n e ) ，i n e q u a l i t ya n dt h ep y t h a g o r e a ni n e q u a l i t y 1 v ( v ) w es t u d i e dt h ei s o t r o p i cl 口一s u r f a c ea r e am e a s u r ea n dp r o v e dt h a tt h er a i n - i m a l 工p 。s u r f a c ea r e au n d e rt h ev o l u m ep r e s e r v i n gt r a n s f o r m a t i o ni fa n do n l yi fi t s 三p s u r f a c ea r e am e a s u r ei si s o t r o p i c f o ri s o t r o p i cl s u r f a c eb o d y , w e g i v e nad u n e - s i d ee s t i m a t ef o rt h ev o l u m eo ft h el p - p r o j e c t i o nb o d i e s m o r e o v e r ，w ee s t a b l i s h e d h e 厶i s o p e t i m e t r i ci n e q u a l i t ya n di t sr e v e r s ef o r m w ea l s op r o v e dt h es t a b l i t yo f t h e 三p s u r f a c ei s o t r o p i ep o s i t i o nf o r1 p 墨2 k e y w o r d s ：m o n o t o n ep r o p e r t nq u a s il p - i n t e r s e c t i o nb o d i e s ，d u a ll v - j o h n e l l i p s o i d s ，i s o t r o p i c 岛一s u r f a c em e a s u r e ，s t a b i l i t yo fg e o m e t r i ci n e q u a l i t i e s 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写 过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 日期：冽一互凹 第一章绪论 在本章中，首先介绍本博士论文的研究背景，接着阐述了所属学科的发展历程 和研究现状，主要的代表人物以及我国数学家的一些工作在第四节阐明本博士论 文研究的主要问题及作者所取得的研究结果最后说明本博士论文的结构与安排 1 1 研究背景 现代几何分析( m o d e r ng e o m e t r i ca n a l y s i s ) 是上世纪初形成，上世纪末蓬勃发 展起来的一门现代几何学科在上世纪，它通常被称为现代凸几何( m o d e r nc o n v e x g e o m e t r y ) 或现代凸分析( m o d e r nc o n v e xa n a l y s i s ) ，主要应用于数学规划，优化问题 等领域近年来在美国，经过e l u t w a k ，dy a n g 和张高勇( g y z h a n g ) 等人的工作， 使得其中关于b r u n n m i n k o w s k i 的经典理论在信息论中找到应用( 见 3 3 ，3 4 ，3 7 ，6 6 】) ； 在美国微软公司总部设有专门的研究部门，我国青年数学家宗传明教授正在此做相 关的研究工作r j g a r d n e r 和av a s s a l l o 等人的工作，使得它广泛地应用于体视学 ( s t e r e o l o g y ) ，机器人学中的几何探索( g e o m e t r i cp r o b i n g ) ，仿晶学( s r y s l a l l o g r a p h y ) ，数 理经济学等领域现代几何分析的应用分枝几何断层学( g e o m e t r i ct o m o g r a p l y ) 已在医学中的x 射线光机，c t 扫描，核磁共振，以及计算机模式识别中得到了 很好的应用在欧洲，以j b o u r g a i n ( 1 9 9 4 年度菲尔兹奖获得者) 和v d ，m i l m a n 为 首的一批杰出数学家的工作，使得几何分析方法在偏微分方程，概率论等领域得到 广泛的应用 1 2 学科发展历程与研究现状 ”g o di sa l w a y sd o i n gg e o m e t r y ”p l a t o 语几何分析是1 9 世纪下半叶萌芽，2 0 世纪初形成， 2 0 世纪末蓬勃发展起来的一f 1 现代几何学科，它不同于微分几何， 代数几何，几何拓扑等现代几何，有其独特的研究对象和研究方法粗略地讲，它 可分为下列几个方面的理论 ( 1 ) 经典的b r u n l l 。m i n k o w s k i 理论 1 2 1 ：竺! ! ! ：塑! 塑! 些堡堡堑薹 该理论起源于1 8 8 7 年hb r u n n 的论文f 2 1 1 和h m i n k o w s k i 开创性工作的实质 部分【n 7 ，1 9 3 4 年tb o n n e s e n 和w f e n c h e l 的著名论著【1 2 】收集了当时已出版的主 要结果，它作为一个经典的数学分支，通常被称为凸几何( c o n v e xg e o m e t r y ) ，主要是 由j s t e i n e r 【1 4 7 ，1 4 8 ，h b r u n n 2 1 ，2 2 ，h m i n k o w s k i 1 1 7 ，1 1 8 ，a d a l e x s a n d r o v 1 ，2 】， hh a d w i g e r 6 7 ，cm p e t t y 1 2 1 ，1 2 3 ，1 2 4 ，1 2 6 ，1 2 7 和r s c h n e i d e r 【1 3 8 ，1 4 1 等著名 数学家逐渐发展起来的一个学科它的主要内容包括：等周问题 1 2 4 ，1 2 6 ，1 3 5 ，1 3 6 ， 1 4 9 ，混合体积理论【2 1 ，2 2 ，1 1 7 ，1 1 8 1 ，表面积测度 1 ，4 1 ，8 a ，投影体理论和均质积 分f 5 5 ，9 l ，9 4 ，9 6 ，9 7 ，1 2 3 最核心的定理是b r u n n m i n k o w s k i 不等式： 设 和b 是r “中的紧集，则 v ( ( 1 一a ) a + a b ) i ( 1 一a ) v ( a ) ；+ a y ( b ) ；，姒【0 ，1 ， 其中等号成立当且仅当a 和b 是位似的 b r u n n m i n k o w s k i 不等式深刻的几何内涵使得它成为了b r u n n m i n k o w s k i 理论 的基石b r u m l - m i n k o w s k i 理论巧妙地把欧氏空间中的向量加( 常称为m i n k o w s k i 加) 和体积联系起来，使得它渗透到各个数学领域中，成为处理各类涉及体积，表 面积，宽度等度量关系难题的一个优美而有力的工具b r u n n - m i n k o w s k i 理论是围 绕着等周同题而产生的，所以在一个很长的时期内它被认为是属于传统的几何领 域然而上世纪中叶，在l al u s t e r n i k 8 9 1 ，h h a d w i n g e r 和d o h m a n n 6 8 1 以及r h e n s t o e k 和a mm a c b e a t h 7 1 1 等人将b r u n n m i n k o w s k i 不等式推广到l e b e s g u e 可 测集并获得其等号成立的条件后，它就进入了分析的领域，往后的二十年巩固了它 作为分析工具的地位b r u n n m i n k o w s k i 不等式与其它解析不等式之间的关系也开 始逐渐明了其中b r u n n - m i n k o w s k i 不等式的积分形式常被称为p r d k o p a - l e i n d l e r 不 等式【8 1 ，1 2 9 ，1 3 0 1 一一h s l d e r 不等式的逆形式；在h j b r a s c a m p 和ehl i e b 【2 0 的努力下，b r u n n m i n k o w s k i 不等式又可看成卷积范数的y o u n g 不等式的加强形式 的一种特殊情形；而a l e k s a n d r o v f e n c h e l 不等式 2 3 ，1 4 0 】是b r u n n - m i n k o w s k i 不等式 的一种最强的形式，它与代数几何紧密联系，k h o v a n s k i i 和t e i s s i e r 独立地发现了 a l e k s a _ t m r o v 。f c n c h e l 不等式可由代数几何中的h o d g e 指标定理推出；b o r e l l 容积不 等式【13 】也包含在b r u n n m i n k o w s k i 型不等式之中，它被dj e r i s o n 7 4 1 用来解决容积 的m i n k o w s k i 问题；vdm i h n a n 的逆向b r u n n m i n k o w s k i 不等式1 1 6 1 是b a n a c h 空 间局部理论中的一个重要结果；rjg a r d n e r 和p g r o n c h i 的离散b r u n n m i n k o w s k i 不等式5 1 1 与离散数学、组合理论和涉及离散等周不等式的图论联系紧密另外，以 b r u n n m i n k o w s k i 不等式为核心，联系着一系列与之有关的仿射等周不等式，如cm 2 0 上海大学博士学位论文 3 p e t t y 投影不等式 1 2 4 】和gy z h a n g 的仿射s o b o l e v 不等式 1 6 5 b r u n n m i n k o w s k i 不等式在球面、双曲空间、m i n k o w s k i 空间、g u a s s 空问等均有不同的形式 对偶的b r u n n - m i n k o w s k i 理论也可归为b r u n n m i n k o w s k i 理论，自1 9 7 5 年著名数 学家el u t w a k 引入星体的对偶混合体积 9 0 】的概念以来，便开创了对偶的b r u n n m i n k o w s k i 理论，它与由m i n k o w s k i 、b l a s c h k e 、a l e k s a n d r o v 等开创的经典的凸体 理论有着惊人的相似，其基本想法是“星体”对应“凸体”、“m i n k o w s k i 和”对应 “m i n k o w s k i 径向和”、。混合体积”对应“对偶混合体积”、“支撑函数”对应“径 向函数”、“投影体”对应“截面体”2 0 世纪8 0 年代，该理论空前繁荣，并解决 了一系列长期未能取得进展的重要课题【4 6 ，4 7 ，7 7 ，7 8 ，7 9 ，1 6 1 ，1 6 4 值得一提的是p r g o o d e y 6 0 ，e l g r i n b e r g 6 1 ，h g r o e m e r 6 2 ，p m g r u b e r 6 3 1 等也在该领域作出了重要贡献由于国际上众多数学家的重要贡献，惊人的发展仍 在继续 经典理论的第一位代表人物是h e r m a n nm i n k o w s k i ( 1 8 4 6 1 9 0 9 ) ，出生于立陶宛 ( l i t h u a n i a ) ，后来在哥尼斯堡( k o n i s b e r g ) 接受教育，他的主要贡献是在b r u n n 的基 础上，证明了b r u n n m i n k o w s k i 不等式和被称为m i n k o w s k i 存在定理的凸体构造性 定理1 1 7 ，1 1 8 1 经典理论的第二位代表人物是俄罗斯数学家a l e k s a n d e rd a n i l o v i c ha l e k s a n d r o v ， 他对经典理论的主要贡献是建立了a l e k s a n d r o v - f e n c h e l 不等式和找到了一种研究椭 圆型偏微分方程新的几何方法【2 j 此外还有h b u s e m a n n 【2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 ，2 9 】，w f e n c h e l ，bj e s s e n ，h l w y , 等等 对偶b r u n n m i n k o w s k i 理论的代表人物除创立人el u t w a k 9 8 ，9 9 1 外，还有p r g o o d e y 6 0 ，e lg r i n b e r g 6 1 ，hg r o e m e r 6 2 ，pmg r u b e r 6 3 ，6 4 】和华裔数学家张高 勇1 6 1 ，1 6 2 ，1 6 3 ，1 6 4 ，1 6 5 最经典的参考书是r s c h n e i d e r 的专著“c o n v e xb o d i e s ：t h eb r u n n m i n k o w s k i t h e o r y ) ( c a m b r i d g eu n i v p r e s s ，( 1 9 9 3 ) ) 和ct h o m p s o n ， m i n k o w s k ig e o m e t r y ) ) ( c a m b r i d g eu n i v p r e s s ，( 1 9 9 6 ) ) ( 2 ) 几何断层学( g e o m e t r i ct o m o g r a p h y ) 几何断层学作为经典理论和对偶理论的综合与应用，它主要研究几何体( 主要 是凸体和星体) 的信息重构问题，即如何从未知几何体的x 射线、截面、投影重构 该未知几何体的问题，它是医学上b 超、x 一射线、c a t ( 核磁共振) 技术的数学基 4 l 。- b r u n n m i n k o w s k i 理沦研究 础 在1 9 6 1 年，p c h a m m e r 6 9 1 教授在美国数学会上提出了这样一个问题：平面 上的一个凸体最少髓被几张x _ 射线图片确定? 大约2 0 年后，r j g a r d n e r 4 4 ，kj f a l c o n e r 3 9 ，4 0 】，pcm c m u l l e n 1 1 0 ，a v o l c i e 1 5 0 ，1 5 1 j 等一大批数学家积极投入到这 个问题的研究，并且获得了确切的答案 1 5 1 】：平面上的一个凸体能被不是某个仿射 正多边形边的方向集的子集的4 个方向上的x 一射线完全确定另外，g i e r i n g 【5 8 】 和g a r d n e r 4 4 l 证明了平面上的一个凸体可以被3 个方向的x - 射线与其它的任何凸 体在同样的x 射线下所辨别 当今世界上对几何断层学的研究可分为两大群体，其一是以r j g a r d n e r 4 4 ，4 5 ， 4 6 ，4 7 ，4 8 】，a v o l c i c 1 5 0 ，1 5 1 等为代表的完全理论研究者，他们获得了一大批杰出的 成果，1 9 9 5 年，rj g a r d n e r 教授综合了这方面的所有成果，撰写了专著( ( g e o m e t r i c t o m o g r a p h y 4 8 ；其二是由于几何断层学有很强的实际应用背景，以m i t 大学计算 机与电子工程系的a l a nw i l l s k y 为代表的应用研究者，自8 0 年代以来，一直致力于 计算机图形与模式识别研究，实现了几何断层学在计算机上的应用 ( 3 ) b a n a c h 空间的局部理论( l o c a lt h e o r yo fb a n a c hs p a c e s ) 它是凸几何与泛函分析结合的最引人注目的产物，通常也称为巴拿赫空间几何 学，这一理论已成为现代国际数学研究的一个主流方向此理论源于2 0 世纪a d o l f h u r w i t z 的工作，h u r w i t z 于1 9 0 1 年发表了关于平面区域等周不等式的f o u r i e r 级数 的证法，并在后继的论文中运用球面调和分析对3 _ 维空问的凸体证明了类似的不 等式，随后，h m i n k o w s k i 用球面调和分析的方法证明了3 一维常宽凸体的有趣特 征，由此开辟了运用球面调和分析研究几何的方法，此方法具有很强的生命力，j b o u r g a i n 1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，1 8 】和v dm i l m a n 【1 1 3 ，1 1 4 ，1 1 5 ，1 1 6 】是该方向的代表人物， 他们开创了凸体渐近理论的研究，在凸体逼近研究中获得了大量深刻的结果，他们 合作的一篇关于凸体的逆b l a s c h k e - s a n t a l o 不等式的著名论文【1 8 是b o u r g a i n 接受 f i e l d s 奖引用的第一论文m i l m a n 的逆向b r u n n m i n k o w s k i 不等式1 1 6 1 是b a n a e h 空间局部理论中的一个重要结果a g i a n n o p o u l o sf 5 3 ，5 4 ，5 5 ，5 6 ，5 7 ，gp i s i e r 1 2 8 ， jl i n d e n s t r a u s sf 8 5 ，8 6 1 等在该领域也作出了创造性的贡献现在，该理论主要研究 两个不同的主题： ( a ) n 维赋范空问的几何量当n 趋于无穷时的情形 ( b ) 无穷维赋范空间与它的有限维子空问的关系 2 0 0 6 上海大学博士学位论文 5 ( 4 ) 积分几何方法在凸体几何与几何概率研究中的应用 积分几何渊源于几何概率，由于w b l a s c h k e 为代表的h a m b u r g 几何学派的系 统的工作，在上世纪2 0 、3 0 年代积分几何正式成为独立的数学分支，当然s t a n t a l 6 也是积分几何领域中无可争辩的杰出数学家积分几何的研究与几何概率问题始终 紧密相关，因此，积分几何的方法在凸体几何与几何概率的研究中具有十分重要的 作用，该领域的研究愈来愈受到国际数学界的重视，欧美等国均右一批高水平的数 学家从事该领域的研究2 0 世纪4 0 年代，陈省身 3 5 教授和a w e i l 教授将局部紧 群上的不变测度的观念纳入积分几何，从而形成齐性空间理论结构的积分几何，对 这门学科的进一步发展作出了极为卓越的贡献吴大任是我国最早从事积分几何方 面研究的数学家之一，他第一个对椭圆空问的积分几何作系统的研究，获得了运动 基本公式等重要结果，他证明了关于欧氏平面和空问中的凸体弦幂积分的一系列不 等式，并由此导出一些关于几何概率和几何中值不等式任德麟在积分几何、随机 几何和凸体论的研究中取得了丰硕成果f 1 3 3 ，1 3 4 ，积分几何学引论是我国目前 唯一积分几何专著，同时被国际同行广泛引用 ( 5 ) 有限点集和特殊凸体的几何不等式的研究 有限点集和特殊凸体的几何不等式的研究源于距离几何中的构形问题，几何体 的度量性质、嵌入问题以及相关的几何不等式和几何极值问题一直是凸体几何研究 的一个充满活力的方向我国著名数学家吴文俊的研究工作涉及到数学的诸多领 域，在多年的研究中取得了丰硕成果，他曾因在2 0 世纪5 0 年代圆满地解决了复合 形在欧氏几何嵌入这一凸体几何难题而举世瞩目，享誉世界著名数学家杨路教授 及张景中院士做出了系统的、创造性的成就，尤其是2 0 世纪8 0 年代在单形不等式 与极值问题、初等图形的嵌入问题等方面作出了开创性的工作，独创了证明不等式 或涉及不等式的几何定理的非常强有力的方法，至今仍被国际同行广泛引用，影响 深远【1 5 3 ，1 5 4 ，1 5 5 ，1 5 6 ，1 5 7 ，1 5 8 宗传明【1 6 6 】在凸几何和离散几何中的球堆积与密 码方面有着突出贡献，得到了国际学术界的重视和高度评价 ( 6 ) l p - b r u n n m i n k o w s k i 理论的研究 l p - b r u n n m i l l k o w s k i 理论的研究是几何分析最近十儿年兴起的一个崭新的热点 方向上世纪中期，对于p 1 、wjf i r e y 将关于凸体的m i n k o w s k i 组合推广到 l p f i r e y m i n k o w s k i 组合【4 3 1 _ 十多年前，l u t w a k 9 8 】将7r f i r e y m i n k o w s k i 组合与体 6 1 1 ：些! ! ! ：竺! 些竺竺垩堡翌塞 积相结合从而奠定了l ，b r u n n m i n k o w s k i 理论的基础此后十几年，关于l p - b r u n n - m i n k o w s k i 理论的研究受到越来越多的关注( 参见 3 0 ，3 1 ，3 2 ，7 3 ，8 8 ，9 8 ，9 9 ，1 0 0 ，1 0 1 ， 1 0 2 ，1 0 3 ，1 0 4 ，1 0 5 ，1 0 7 ，1 0 8 ，1 1 2 ，1 4 2 ，1 4 5 ，1 4 6 ，l s 2 ) ，其中e w e r n e r 给出了p 仿射表 面积的几何解释【1 5 2 l ，b r u n n m i n k o w s k i 理论中一个首要的中心问题是关于l ， m i n k o w s k i 问题的研究，9 8 1 给出了关于偶l p - m i n k o w s k i 问韪的解，这个问题的解在 最近所建立的严格仿射l ，s o b o l e v 不等式【1 0 4 】中起到了关键的作用p f g u a n 和 c sl i n 6 5 j 以及k s c h o u 和x jw a n g 3 2 ) 主要关注l p - m i n k o w s k i 问胚的存在性与 正则性，他们的工作都利用了偏微分方程的有关理论其次，自从l u t w a k 在99 1 中 引进。曲率的概念后，对于它的相关研究受到了广泛的关注，其中l u t w a k ，y m l g 和 z h a n g 最近的一篇杰出文章【1 0 7 】表明，求一个凸体在保体积仿射变换的最小三。曲 率可以得到一族l , - j o h n 椭球，而经典的j o h n 椭球、p e t t y 椭球以及最近发现的关于 l e g e n d r e 椭球的对偶都是这族l p - j o h n 椭球的特殊情况( 分别为p = o 。，p = 1 ，p = 2 ) 这个结果对凸体几何中的一些基本结果提供了一个统一的观点和新的研究方法另 外，经典b r u n n m i n k o w s k i 理论中的一些重要几何体在l 。一b r u n n m i n k o w s k i 理论中 的推广及相应的性质研究也构成了该理论的一个重要组成部分，如l 口投影体、l 。 质心体【3 0 ，3 1 ，1 0 1 ，l p 径向平均体f 5 2 ，l p - 截面体( 5 0 】，工，- 带体【1 0 6 等等 正如g a r d n e r 在其杰出的综述f 4 9 1 中所写的那样：当越来越多的内在联系被发 现后，一个深层而宽广的理论开始渐渐地露出了它的表面，对于这一理论而言，经 典的b r u n n m i n k o w s k i 理论就象是暗礁上一块特别引人注目的珊瑚一样，l u t w a k 及 其它数学家所发展的l p - b r u n n m i n k o w s l d 理论强烈地预示了这一观点 1 _ 3研究的主要问题与取得的研究成果 本博士论文主要研究l p - b r u n n - m i n k o w s k i 理论中的极值问题，并将b a n a c h 空间 的局部理论有机地结合在里面，作了一些比较有创新意义的研究本文首先研究了 关于广义的投影体、相交体、质心体的单调性，然后重点研究了k 空间中凸体几何 的一些极值问题：拟三，相交体的定义及拟l p - b u s e m a n n 相交不等式；对偶l ，一j o h n 椭球；迷向l 。一表面积测度等 作者取得的主要研究成果是： ( 1 ) 得到了广义投影体、相交体和质心体的单调性 关于投影体、相交体和质心体的单调性是凸体几何里的一个重要的基本性质 2 0 0 6 上海大学博士学位论文 7 投影体与相交体的单调性实质上分别为著名的s h e p h a r d 问题f 1 4 4 】和b u s e m a k p e t t y 2 9 】问题这三个单调性结果可以表述如下： 设k j l c “，l ”，且i i kci l l ，则 v ( k ) v ( l ) 等号成立当且仅当与l 互为平移 设k i “，l 舻，且i kci l ，则 v ( k ) v ( l ) 等号成立当且仅当= 工 设k ，l ：，且f kcf l ，则 v ( k ) 茎y ( l ) ， 等号成立当且仅当k = l 我们将上述单调性推广到了广义的投影体、相交体和质心体 设k 舻，l i i “若0si n 一1 ，且i kcr i 。l ，则 眦( ) 胍( 工) ， ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 33 ) 所得结果如下 ( 1 34 ) 等号成立当且仅当k 与l 互为平移 设k i “，l c “若0s i n 一1 ，且i 。kci i l 贝1 j 毗( ) m ( 工) ，( 1 35 ) 等号成立当且仅当k = l 设k c “，l i p 若0 曼i _ j 2 发表4 3 ( 2 0 0 6 ) ) ( 2 ) 研究了拟工，一相交体的重要陛质 近年来，l p 一质心体与l ，投影体受到了广泛的关注，l u t w a k ，y a n g 和z h a n g 1 0 1 】建立了l p - p e t t y 投影不等式： 8l p - b r u n n m i n k o w s k i 理论研究 设是r “中的凸体，对1 p 0 。， v ( ：k ) 矿( ) 即一p ) ，p u 竺加， ( 13 7 ) 等号成立当且仅当k 是一个椭球 基于l 。p e t t y 投影不等式，l u t w a k ，y a n g 和z h a n g 还得到了仿射工p s o b o l e v 不 等式 1 0 4 】 同样他们也建立了l 。b u s e m a n n p e t t y 质心体不等式： 设耳是r “中的星体，对1 p o o ， v ( r p k ) 矿( 耳) ， ( 1 3 8 ) 等号成立当且仅当k 是一个中心对称椭球 然而到目前为止还未有工。一相交体的适当的定义，我们给出了一个拟岛一相交 体的定义并研究了它的一些重要性质，我们得到了l ，一b u s e m a z l n 相交不等式： 设k 是琏”中的凸体，对1 n 或者蔫 p n ，则上述不等 式反向 ( 详见第三章已投( ( a c t am a t h e m a t i c as i n i e a ( 数学学报英文版) ( 修改稿) ) ( 3 ) 获得了对偶l v - j o h n 椭球 l u t w a k ，h a n g 和z h a “g 1 0 7 1 得到了经典的j o h n 椭球j k ，p e t t y 椭球和一个最近 发现的l e g e n d r e 椭球的对偶椭球r 一2 a 1 0 0 】都是一族l v - j o h n 椭球耳 的特殊情 况( p = ：p = 1 和p = 2 ) 且有以下形式的j o h n 包含关系： 设是州1 中的中心对称凸体，则 马k2f _ p k 三礼2 一r 岛k 01ps2 ， ( 1 3 1 i ) 2 0 0 6 上海大学博士学位论文9 耳f _ p k n 一i 1 e p k2 p 冬o 。 ( 1 3 1 2 ) 我们证明了对于每一个包含原点在其内部的凸体k ，都有一族对偶l p - j o h n 椭 球豆。，其中对偶j o h n 椭球j k ( 也就是l s w n e r 椭球) 和l e g e n d r e 椭球f 2 k 是这 族对偶l p - j o h n 椭球的特殊| 情况扣= 。，和p = 2 ) 同样有以