（应用数学专业论文）一类三种群食物链系统的模糊自适应控制研究.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 本文主要以一类具有功能反应函数的三种群食物链系统为背景，通 过建立三种群食物链系统的数学模型，将模糊控制理论与生态系统理论 结合起来，研究模糊自适应控制方法在三种群食物链系统中的应用，建 立有效的生物系统的稳定控制方法。 第一章：主要介绍本文的研究背景、现状及本文主要结果。 第二章：介绍模糊理论的的一些相关知识以及直接型自适应模糊控 制器的设计方法。 第三章：针对h a s t i n g s 和p o w d l 提出的三种群食物链系统，考虑到 浮游植物释放的毒素可以间接地影响鱼类的数量这一因素，为了实现生 物控制和维持生态平衡的目的，引入了模糊控制方法，通过l y a p u n o v 综 合分析法构造了自适应反馈控制器，给出了自适应算法，研究三种群食 物链系统的受控问题，仿真结果验证了这一方法的可行性、有效性。 第四章：以一类具有h o l l i n g i v 型功能反应的三种群食物链系统为例， 采用模糊动态模型建模，通过模糊推理设计自适应模糊控制器。为了克服 系统受外界环境影响带来的不确定性，增加了监督控制作为补偿控制器， 以保证自适应模糊控制器的稳定性。利用l y a p u n o v 稳定性理论给出了确 保系统稳定的自适应律，根据自适应律调节控制器中不确定的参数以使 系统的实际输出跟踪给定的理想输出。最后的仿真结果验证了这种方法 的有效性。 关键词：食物链；模糊控制；自适应控制；l y a p u n o v 函数；功能反应； 监督控制 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w es t u d yac l a s so ft h r e e - s p e c i e sf o o dc h a i ns y s t e m s w i t hf u n c t i o n a lr e s p o n s ef u n c t i o n b a s e do nt h em a t h e m a t i c a lm o d e l sw e h a v ee s t a b l i s h e df o rt h ef o o dc h a i ns y s t e m s ，w ec o m b i n et h ef u z z yc o n t r o l t h e o r ya n dt h ee c o s y s t e mt h e o r ya n dt h e ns t u # t h ea p p l i c a t i o no ff u z z y c o n t r o lm e t h o di nf o o dc h a i ns y s t e m s ，w h i c hh e l p su se s t a b l i s ha l l e f f e c t i v es t a b l ec o n t r o lm e t h o df o re c o s y s t e m c h a p t e ro n ei n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n da n da c t u a l i t yo ft h es t u d y a n dt h ep r i m a r yc o n c l u s i o no ft h i sa r t i c l e c h a p t e rt w oi n t r o d u c e ss o m e b a s i cf u z z yc o n t r o lt h e o r i e sa n dh o wt od e s i g nad i r e c ta d a p t i v ef u z z y c o n t r o l l o r i nc h a p t e rt h r e e , b a s e do nat h r e e - s p e c i e sf o o dc h a i ns y s t e m a d v a n c e db yh a s t i n g sa n dp o w e l l ，c o n s i d e r i n gt h a tt h ep h y t o p l a n k t o nc a n r e l e a s et o x i nw h i c hc a l la f f e c tt h en u m b e ro ff i s hi n d i r e c t l y ，s oi no r d e rt o r e a l i z et h eb i o l o g i c a lc o n t r o la n dm a i n t a i nt h ee c o l o g yb a l a n c ew e i n t r o d u c e df u z z yc o n t r o lm e t h o dt oc o n s t r u c tt h ea d a p t i v ef e e d b a c k i n g c o n t r o l l e rb yl y a p u n o vs y n t h e t i ca n a l y s i sm e t h o d t h ec o n t r o lp r o b l e m o ft h r e e s p e c i e sf o o dc h a i ns y s t e mw a ss t u d i e da f t e rt h e a d a p t i v e a l g o r i t h mw a sp r e s e n t e d a tl a s tt h es i m u l a t i o nr e s u l t sd e m o n s t r a t e dt h e f e a s i b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so ft h i sk i n do fa d a p t i v ec o n t r o l l e r i nc h a p t e r f o u r , t a k i n gat h r e e s p e c i s ef o o dc h a i ns y s t e mw i t hh o l l i n g l vf u n c t i o n a l r e s p o n s ef u n c t i o nf o ra ne x a m p l e ，w ef o u n df u z z yd y n a m i cm o d e la n d c o n s t r u c ta n a d a p t i v ef u z z y c o n t r o l l e r b yf u z z yl o g i c i n o r d e rt o 江苏大学硕士学位论文 o v e r c o m et h ec o m p l e x i t i e sc a m ef r o mt h eo u t e re n v i r o n m e n t ，t h e s u p e r v i s o r yc o n t r o l l e rw a sa d d e da s ac o m p e n s a t o r yc o n t r o l l e rw h i c h m a k e st h ea d a p t i v ef u z z yc o n t r o l l e rs t e a d y a l lt h eu n c e r t a i np a r a m e t e r s c a nb ea d j u s t e du s i n gt h ea d a p t i v el a ww h i c hc a nb eg o tb yl y a p u n o v s t a b i l i t yt h e o r ya n dm a k ep r a c t i c a lo u t p u tt r a c ki d e a lo u t p u t a tl a s tt h e s i m u l a t i o nr e s u l t sd e m o n s t r a t e dt h ee f f e c t i v e n e s so ft h i sm e t h o d k e yw o r d s ：f o o dc h a i n ；f u z z yc o n t r o l ；a d a p t i v ec o n t r o l ；l y a p u n o v f u n c t i o n ；f u n c t i o n a lr e s p o n s e ；s u p e r v i s ec o n t r o l l o r 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许 论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 学位论文作者签名： 姗形年j 7 月7 罗日 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密团。 鬣两1 习 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中己注明引用的内容以外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意 识到本声明的法律结果由本人承担。 学位敝作者躲茁形、刁 日期：2 a , o 琴年j2 月j 矽日 江苏大学硕士学位论文 1 1 研究背景及意义 第一章绪论 捕食者一食饵作用关系是生物种群之间相互作用的基本关系之一，是生态学、 生物数学的研究热点。功能性反应在捕食者一食饵系统的研究中扮演着重要的角 色，其中很多种类型的捕食者一食饵系统都得到了很好的研究及应用，但关于具 有功能性反应的三种群食物链系统的研究成果甚少。 食物链系统作为生态学和种群动力学中的一个具体的组织形式，本质上是非 线性的和整体的，在同一系统中，不同生物，不同种群之间无法彼此分开，它们 之间存在复杂的非线性关系，并且与环境构成一个整体。生物系统的进化与发展 显现出高度的非线性，它使生物体更容易适应环境的变化，而更强的适应性正是 更高的进化程度的表现，而且，越来越高的复杂性是生物演化的一个标志。因此， 对食物链系统的非线性、同步进化机制和生物进化的衡量尺度进行研究，有助于 进一步认识生物系统的发展。 生物进化是在复杂的环境下进行的，但可以看出，生物始终朝着有利于自身 发展的方向进化，并始终与环境交流，缩小与环境的差异，形成具有自适应、稳 定的生物种群。 1 2 研究现状和研究内容 1 9 2 6 年，v o l t e r r a 最先提出了由捕食者和食饵所构成的的两种群相互作用的 数学模型，这就是著名的l o t k a - - v o l t e r r a 模型： 其中：x 为，时刻的食饵规模，y 为t 时刻捕食者的种群规模，且口，a ，c i ，d l 是均 为具有生态意义的正常数，岛秒表示单位时间内被y 个捕食者所吃掉的食饵的数 l，l ，- 一 砂 矽 觑 历 一 一 x x q q = = 咖一出方一西 江苏大学硕士学位论文 量，从而岛x 表示单位时间内每一个捕食者所吃掉的数量。这种功能性反应被确 定与食饵数量成正比，忽略了消化饱和因素，与实际情况完全不符合。 1 9 6 5 年，h o l l i n g 在试验的基础上对不同的物种，提出t - - 种不同的功能性 反应函数矽( 砷分别是： ( 砷：o 0 为内禀增长率，m 为区域内资源允许的单种群最大密度，砜为区域外 种群密度，0 为比例常数。当u o 1 时，它是h o l l i n g 型功能性反应函数。 3 或 砂 秒 啦 啊 屯 卜 扩 矽 出一出方一西 江苏大学硕士学位论文 对于捕食一被捕食同时进行捕获且具有h o l l i n g i i 型功能性反应的系统 其中：，表示增长率；c 表示转化系数；d o 是捕食者的死亡率；e 为对两种群的 捕捞强度：q l ，仍分别是两种群的捕捞系数。 李建民【3 】将系统简化为： = x ( 面+ 嘎x + 瓦x 2 ) 一x y ( 1 4 ) = y ( x 一1 ) 其中：瓦= 糕，嘎= 石r k 乒- j r 而o t - q l e ，弓= 一r ( a d o + a q 2 e ) ( c p d o q 2 e ) 2 i o t z y - w e ih w a i l g 4 】研究了具有b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 功能性反应系统 对于具有h o l l 吨第类功能性反应的自治生态系统，r u 姐a n dx i a o 【5 】考虑 了h o l l i n g l v _ 型功能性反应函数的捕食者食饵系统简化情形： 鲁圳一一寿 宰d t = 少( 等ax d ) + ( 1 6 ) 通过对该系统全局定性分析与分支情形的分析，得到了系统( 1 6 ) 的含一个 尖点分支的动力学特性。最近h u a n gj i c a i 【6 】讨论了具有h o l l i n g 型功能性的二 维自治捕食系统： 4 凰 矽 g b 叫 鲁羚 砷 一 一 瑞，l，l 似 灭 出一班砂一西 南南奎 砂 办 一 ，一 m 灭 朋 艿 江苏大学硕士学位论文 的鞍结点分支、h o p f 分支、同宿分支以及尖点型余维2 分支等，得到了如下结果： s n = ( 九，儿) ：托= 0 ) b t h eh o p fb i f u r c a t i o nc l l r v e 呻川铲一老器再刊 c t h eh o m o c l i n i cb i f u r c a t i o nc u r v e 皿= b 旧可5 老等再耶0 其中乃，托是关于分支参数的函数。 从这些已有的定性分析来看，非线性动态数学理论的发展已将种群生态学实 验和理论研究带到了一个新的阶段。随着对生态系统的广泛研究人们发现混沌现 象存在于自然界且到目前为止的确发现了在害虫种群中存在着混沌的证据。研究 表明：食物链的结构、种群的迁入和迁出、环境噪音都会对种群动态特征产生影 响，导致种群动态呈现混沌。混沌动态可能对产生种群的多样性和适应性有利， 但由于混沌系统可不断的因为微小的原因而产生剧烈的变化以致引起有害种群 的暴发，并且存在不可预测性，所以当混沌产生突然变化轨迹的形式，非持续性 或分岔发生，系统的可持续性被打断，不利于种群规模的预测和生态环境的合理 利用与控制。因此有效的抑制生态系统有害混沌现象的产生显得非常重要。 s h u l e n b u 曜e r 7 】等在1 9 9 9 年的研究表明瞬时混沌引起的种群灭绝可以通过 一个对种群在生态上可行的( 如改变种群数量或对环境的小干扰) 适时小扰动而 有效地防止。文献【8 】利用日。控制实现了再生性资源开发与投资的次优管理策 略，同时还研究了再生性资源的鲁棒控制问题。徐刚、文翰、武坤【9 】等人利用一 种基于l y a p u n o v 指数的状态反馈控制策略实现了对一维l o g i s t i c 人1 2 增长模型， 5 旁 一 ：一+ 、， vcx一七一幻 一 一+凳 掰 贝 江苏大学硕士学位论文 二维l o g i s t i c 模型和三维食物链模型的控制，该控制策略可将系统中各状态快速 收敛于给定的任意值，对种群动态的预测和管理研究具有实际应用和参考价值。 文献【1 0 】针对一改进的时滞l o g i s t i c 方程，通过在方程中加入反馈控制项，改变 了系统的平衡态，同时研究了其稳定性问题。文献u 利用神经网络的日。非线性 控制方法对三种群捕食与被捕食生物方程进行了研究，从理论上研究了该生物系 统的非线，一z ，- - 。，一。一，1 4 。文献 1 2 1 3 】对某些脉冲控制问题作了相关研究，得到了 非线性脉冲控制系统稳定的一些充分条件。文献 1 4 】和文献 1 5 】分别研究了一类食 物链系统的耗散性控制与自适应控制，为三种群食物链系统的控制研究开辟了一 条新的道路。这些都说明很多控制论者已经关心生态群的管理问题，并把一些较 盛行的控制理论方法应用于种群系统的管理中。 1 9 6 5 年美国的z a d e h 教授创建了模糊集理论，它是处理推理系统和控制系 统中不精确和不确定性的一种有效方法，非常适合分析生态系统。e d w a r d 1 6 1 于 2 0 世纪8 0 年代首次将模糊理论引入到生态系统中，为解决生态系统中非实数特 性的困难开辟了一条新途径，之后w a n g u 利用系统模糊分析理论给出生态位和 群落的模糊数学模型，并以此讨论生态位的相关测度和竞争关系，也使生态系统 的量化问题的研究向前迈进一步。2 0 0 4 年，李医民【1 8 】利用模糊理论给出了具有 明确生物意义的生态位，并以此讨论生态系统中群落的水平和垂直格局及物种间 在资源、斑块、时间三维模糊集上的互惠、共处和竞争关系。随后李医民、孙曦 浩 1 9 】利用t y p e 2 模糊集合建立了动态生态位模型和群落模型，为描述生态系统 本身所具有的复杂性提供了一个好的方法。 在z a d e h 教授创建模糊集理论以后，以此为基础的模糊控制迅速发展并得到 了广泛应用，这其中的根本原因在于模糊逻辑本身提供了由专家构造的语言信息 并将其转化为控制策略的一种系统的推理方法，是处理推理系统和控制系统中不 精确和不确定性的一种有效方法然而对于那些时变的、非线性不确定的复杂系 统采用模糊控制时，为了获得良好的控制效果，必须要求模糊控制具有较完备的 控制规则，这些控制规则是人们对被控过程模糊信息的归纳和操作经验的总结。 由于被控过程的非线性、高阶次、时变性以及随机干扰等因素，造成模糊控制规 6 江苏大学硕士学位论文 则或者粗糙或者不够完善，都会不同程度地影响控制效果。为了弥补这个不足， 模糊控制向自适应、自组织、自学习方向发展，使得模糊控制规则在控制过程中 自动的调整、修改和完善，从而使系统的控制性能不断改善，达到最佳的控制效 果。可以说模糊控制的出现以及与自适应方法的结合，为未知的非线性系统的建 模与控制提供了一条有效的途径，研究模糊建模与自适应控制具有重要的理论意 义和实际意义。 7 江苏大学硕士学位论文 第二章模糊理论和模糊系统 2 1 模糊理论的诞生和发展 在现实世界中，任何领域无时无刻不存在着不确定性因素( u n c e r t a i n t y ) 。 为此，人们提出了许多数学理论描述这些不确定因素，这其中就包括了模糊理论。 正如z a d e h 教授在具有开创性的论文【2 0 】中所说的：模糊集合的意义在于为模糊 集合理论框架体系提供了一个基本的起点，该框架体系在许多方面可与普通集合 框架体系并行使用。前者比后者更普通，更有广泛的应用前景，特别是在模式识 别和信息处理方面。从本质上说，这种框架提供了一种处理非精确性信息的自然 方法。 模糊理论在它建立之初陷入了激烈的争论中，其中最大的挑战来自统计和概 率论领域的数学家们，他们认为概率论已经足以描述不确定性【2 1 】。现在我们可 以清楚的认识到：模糊性反映了事件的不确定性，但这种不确定性不同于随机性。 随机性反映的是客观上的自然的不确定性，或事件发生的偶然性，而模糊性则反 映人们主观理解上的不确定性，即人们对有关事件定义或概念描述在语言意义理 解上的不确定性。由于模糊理论建立之初没有得到实际方面的应用，因此也使得 它没有立即成为主流。 到了上个世纪7 0 年代，z a d e h 教授发表了另一篇开创性文章f 2 2 1 ，建立了研 究模糊控制的基础理论，在引入语言变量这一概念的基础上，提出了用模糊 - - t h e n 规则来量化人类知识。随之英国伦敦大学教授e h m a r n d a n i 将模糊控制 理论应用于蒸气机及锅炉的控制，取得了优于常规控制器的控制效果，为模糊控 制理论在工程上的成功应用开创了先河 2 3 1 。h o l m b l a d 等人在1 9 7 8 年为整个工 业过程开发了第一个模糊控制器模糊水泥窑控制器 2 4 1 。随后，各国学者相 继将模糊理论运用在温度控制、数字图像稳定器、洗衣机、汽车、地铁等自动控 制系统中【2 5 1 。美国国家航空与航天局( n a s a ) 正在考虑把模糊系统用于太空和航 空系统。国际原子能机构 和国际工业应用系统机构a ) 也准备在大型 8 江苏大学硕士学位论文 系统高速推理上应用模糊系统理论。日本将模糊推理作为硬件的模糊集成块，制 造了“模糊计算机 。 国内在模糊控制应用方面也同样取得了显著成果。都志杰等人用单片机研制 了工业模糊控制器：何钢、刘浪舟、李友善等人相继将模糊控制方法成功应用到 碱熔反应温度、玻璃窑炉和甜菜制糖系统等 2 6 1 。 2 2 模糊系统的基本结构 模糊系统是一种基于知识或基于规则的系统。模糊系统的核心就是所谓的 - - t h e n 规则所组成的知识库，模糊系统的其他部分都是以一种合理而有效的 方式来执行这些规则的。假设模糊规则库是由以下模糊规则组成的： 趟，) ：如果而为群且且而为爿，ny 为曰2 ( 2 1 ) 其中爿和b 。分别是玑cr 和v cr 上的模糊集合，z = “，恐，毛) r u 和 ye v 分别是模糊系统的输入和输出变量。一个具有普遍意义的模糊系统如图2 1 所示。 糊集合糊集合 图2 1 模糊系统结构图 这种具有普遍意义的模糊系统具有如下优点：第一，系统的输入和输出均为 真值变量，适合工程应用；第二，它具有t h e n 规则的一般化模式；第三， 可以选择不同的模糊器，模糊推理机和解模糊器组合，对特定的问题可以得到一 个比较合适的模糊系统。 9 江苏大学硕士学位论文 2 3 设计模糊控制器的主要内容 模糊控制是建立在人的经验和常识的基础上的，操作人员对于被控系统的数 学模型无需了解，而是通过丰富的实践经验和常识进行控制。把实践经验进行总 结和形式化描述，用语言表达成一组定性的条件语句和精确的决策规则，然后利 用模糊集合作为工具使其定量化，设计一个控制器，用形式化的人的经验法则模 仿人的控制策略，再驱动设备对复杂的过程进行控制，形成模糊控制器。 模糊控制的核心是模糊逻辑控制器，实现模糊逻辑控制的般步骤如下：首 先，通过传感器的输入物理量变成电量，再通过模糊转换器把它转换成精确的数 字量，再把精确的数字输入量转化为模糊集合的隶属函数，即精确量的模糊化。 然后根据模糊规则，并进行模糊逻辑推理，得到一个模糊输出集合。最后用不同 方法找一个代表性的精确值作为控制量，即解模糊。 设计模糊控制器主要包括以下内容： 1 确定模糊控制器的输入变量，输出变量和论域； 2 确定模糊化和解模糊化的方法； 3 确定模糊控制器的控制规则及其模糊推理方法； 4 量化因子和比例因子的选择； 5 编制模糊算法的应用程序； 6 系统的仿真实验及参数的确定。 2 4 直接型自适应模糊控制器的设计方法 模糊控制器通常是在被控制对象的参数和结构存在诸多不确定因素或未知 变动时才被采用。一般来讲，自适应控制的目的就是在系统出现这些不确定因素 时，仍保持一致性。因此，高级模糊控制应该具有自适应性。图2 2 给出了一个 自适应模糊控制系统的基本框架，这个参考模型通常用于刻画一个模糊控制系统 应该遵循的理想响应。被控对象中含有若干个未知的部件，模糊控制器则根据带 有可调参数矽的模糊系统来设计，自适应律实时调节这些参数秒，使得被控对象 的输出y ( f ) 能跟踪参考模型的输出( t ) 。 1 0 江苏大学硕士学位论文 于： 图2 2 自适应模糊控制系统的基本框图 由图2 2 可知，自适应模糊控制系统和非自适应模糊控制系统的区别主要在 ( i ) 自适应模糊控制系统中的模糊控制器在实时控制过程中始终是变化的， 而非自适应模糊控制系统中的模糊控制器在实时控制之前是固定的。 ( ii ) 自适应律作为附加的部件，被引入自适应模糊控制系统中，来调节模 糊控制器中的参数。 自适应模糊控制与非自适应模糊控制相比，其优点主要在于： ( i ) 自适应模糊控制器可以随环境变化进行自行调节，因此自适应模糊控 制具有较好的控制性能。 ( ii ) 因为自适应律有助于在实时控制过程中学习被控对象的动态特征，所 以自适应模糊控制对被控对象的信息要求不高。 自适应模糊控制与非自适应模糊控制相比，其缺点主要在于： ( i ) 因为生成的控制系统不仅具有非线性特性，而且还具有时变性，所以 更加难于分析。 ( ii ) 实施代价要更高一些。 2 4 1 问题描述 考虑如下方程所描述的研究对象 ”= ，似毫，x ( n - 1 ) ) + 妇 y = x 1 1 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 江苏大学硕士学位论文 式中，厂为未知函数，b 为未知的正常数。控制的目标是基于模糊系统设计一个 反馈控制器“= “( x i 目) 和一个调整参数向量秒的自适应律，使得系统输出y 尽可 能地跟踪理想输出y m ( t ) 。此方法的前提条件是控制知识是已知的，即采用下面 的模糊i f t h e n 规则来描述控制知识： i f 五i s 写7a n d 恐i s 巧a n d a n d 而i s 彳，t h e nui sq ( 2 4 ) 式中，7 ，q 7 为r 中模糊集合，r r = 1 ，2 ，l 。模糊控制器的设计要求能将规 则( 2 4 ) 自然的包括进来。 2 。4 。2 模糊控制器的设计 将规则( 2 4 ) 包括进模糊控制器的一种自然方法就是选择使用单一模糊系 统作为控制器，即此情况下的模糊控制器为 u = u d 0 ，国是最小逼近误差，所以可以考虑设计嵌入足够多规则的模糊系统 ( x l 乡) ，这样缈将会充分小，并满足l e r 岛6 缈l 云1 e 7 1 跏，从而使得矿 o 。 1 4 江苏大学硕士学位论文 第三章自适应模糊控制在h a s t in g s p o w el i 型 食物链系统中的应用 3 1 引言 种群资源作为一种再生性资源，它的合理开发与利用己得到越来越多学者的 关注，并取得了一定的成果【2 7 3 4 1 。随着生物动力学的迅速发展，目前，在生物 方程中加上控制项以研究其收获、投放、平衡态改变或受控问题是很有应用价值 的方向。h a s t i n g s 和p o w e l l 于1 9 9 1 年提出了一个具有混沌动力学行为的三种群食 物链系统【3 5 j ，随后人们对该模型的动力学性质作了许多研究，通过多种途径消 去该系统的混沌和极限环振荡行为，从而使系统稳定。文l 的j 考虑到种问密度倚 赖i o n o n t r a s p e c t i f i cd e n s i t yd e p e n d e n c e ) 作用和外部随机扰动( e s d ) 因素，在原 h a s t i n g s 和p o w e l l 模型中添加控制项，使系统的混沌得到控制。文p 叫考虑到浮游 植物毒素释放作) 羽t p p ( t o x i np r o d u c i n gp h y t o p l a i l k t o n ) 在h 枷n g s 和p o w e l l 模型中 引入毒素释放率近似函数，对该系统产生的混沌吸引子一t e a c u p 作了控制。 模糊控制向自适应、自组织、自学习方向发展，使得模糊控制规则在控制过 程中自动的调整、修改和完善，从而使系统的控制性能不断改善，达到最佳的控 制效果。可以说模糊控制的出现以及与自适应方法的结合，为未知的非线性系统 的建模与控制提供了一条有效的途径，研究模糊建模与自适应控制具有重要的理 r ，0 1 论意义和实际意义。弱j 。 本章针对h a s t i n g s 和p o w e u 提出的三种群捕食与被捕食模型，根据模糊控制 理论设计自适应模糊控制器，将逼近误差引入到控制器设计中改善了系统的动态 性能，实现了对理想系统的跟踪，最终使跟踪误差收敛到零。在最后的仿真实验 中，我们证明了这类控制器在捕食与被捕食生物系统中运用的有效性，为人们有 效地利用自然资源、发展生产和维持种群持续生存提供了新思路。 江苏大学硕士学位论文 3 2 模型的引入与分析 由h a s t i n g s 和p o w e l l 提出的模型如下： 等= p o x , ( 一分篱 亟：尝一i a 2 x 了z x 3 一q t (31)dt b 1 + x 1b ，+ x ，l 堕：垒刍墨墨一及z d tb 、+ x 、 2二 其中墨，工：分别代表浮游植物和浮游动物的数量，x 3 代表鱼类的数量，r ，k 分 别代表种群x 。的自然增长率和荷载能力，c l ，c ：分别代表种群x 。向种群x ：，x ， 的转化率，a ，e ( f = 1 ，2 ) 表示h a s t i n g s 和p o w e u 所构造的反馈饱和函数中的参 数，b ，砬分别表示种群z ：，x ，的死亡率【3 5 1 。 上式中令_ = 丢而= 等如= 臻户肌则系雅1 触为如下无量 纲形式： 鲁州t 刮一卷 堕：盟垒一竺出生一“ ( 3 2 ) d t 1 + 6 l 毛1 + 6 2 工2 1。 一d x 3 ：塑一d 。囊 d t l + 6 x 。 2 得到系统( 3 2 ) 在初值为( 0 7 ，0 2 ，5 ) 时的状态轨迹( 如图3 1 ) 卜：1 一；墓一 图3 i 系统( 3 2 ) 在初值为( 0 7 ，o 2 ，5 ) 时的状态轨迹 1 6 江苏大学硕士学位论文 3 3 自适应模糊控制器的设计 浮游植物可以释放毒素，当浮游植物释放霉素时，将导致浮游动物的死亡翠 上升，从而间接地影响鱼类的数量。考虑到这一因素，为了达到优化生产、维持 生态平衡以及生态的可持续发展的目的，本章将引入人为干扰因素，即通过投放 类似浮游植物毒素的化学物质，来对系统进行控制。我们为上面的生态系统方程 加上反馈控制器，就得到如下的反馈控制系统： 鲁刚训一箫 堕：箸告一箸堕一d l x 2 桃 (33)dt 1 + 反而1 + 既而 1 堕：鬲a ：x 一2 x 3 一d 2 而+ “2 a r t 1 + 反量 。 控制的目标就是设计一个自适应的反馈控制器，使得系统状态变量恐，恐可 以跟踪一个给定的理想轨迹：( f ) ，而，( f ) 。 通过实地考察，查阅相关资料 2 7 】 3 9 】【4 0 】和大量的数值仿真实验，我们取 而，而两物种的密度范围分别是u ：= 【0 ，0 4 】，u 3 = 【0 ，1 0 】o 此处为计算上的方便， 所给值与实际值的比例为1 ：1 0 0 0 0 。 在巩，虬上分别定义三个模糊集合( 图3 2 ) ，记为，髯( j = 1 2 ，3 ) 。相应的 隶属度函数分别为： 吣) _ e x p ( _ ( 簪2 w 班e x p ( - ( 警2 班时( 警) 2 ) 峭) - e x p ( 一( 警) 2 ) 蹦班酬警) 2 ) 峭) - e 卅( 警) 2 ) ab 图3 2 输入变量的隶属度函数( a ) 的隶属度函数( b ) 虬的隶属度函数 1 7 江苏大学硕士学位论文 下面建立模糊规则，为保证模糊规则的完备性，该模糊规则库包含以下9 条 规则，为书写上的方便，将规则重新表示如下： r 7 ：i fx 2i s 砭a n d 为i s g ，t h e n u ai s ) a n d u 2i s y ：u = l2 ，9 ) 其中部分的剧，剧u = l 2 ，9 ) 分别由和刖( j = 1 ，2 ，3 ) 所有可能的排列组 合组成。 采用单值模糊化，乘积推理机，中心平均解模糊器，得到模糊系统的输出为： 9393 叫兀妇( _ )以兀心， ) 强( x 岛) = 号- 产二，材：( x 岛) = 号- 产一 ( 3 4 ) i - i & ， ) 兀纷( 而) 1 = 1t = 2l = li = 2 其中x = 化，屯) ，而爿，y ：( f = 1 ，2 ，9 ) 是可调参数，把它们分别放在集合 岛r 9 , 0 2 r 9 中，这时模糊控制器变为 ! x a , ) 、2 f ( x ) ( 3 5 ) “2 ( x i t ) 2 ) = 绣f ( x ) 其中善岱) 是r 9 中的一个向量，第，个元素为 3 4 自适应律的设计 定义跟踪误差： 兀纷 ) 孝僻) = 号专二 兀心 ) l = 1i = 2 ( 3 6 ) q o ) 2 ( ) 一x 2 ( t ) ( 3 7 ) e 2 ( t ) = x m 3 0 ) 一x 3 ( t ) 由文献【2 1 1 ，选择理想控制器为 彳：一晏鼍垒+ i a 2 x z x _ 3 + 珥而+ 丸2 ( t ) + k a e i 1 1 + 岛而1 + 如而 ( 3 8 ) 磁= 一而a 2 x 2 x 3 + 之而+ 屯。( 哆+ 屯乞 1 8 江苏大学硕士学位论文 岛，k 2 为正常数，则当，专0 0 时，岛( f ) _ 0 ，e 2 ( t ) _ 0 。 定义最优误差矸，劈： x - - u l ( 圳 x ) 一心( x 岛) i ( 3 9 ) 则( x c ) ，材：( x o ；) 分别是( x o , ) ，( x 岛) 的最优逼近器。将 就，( x o , ) ，豁：( x 砬) 分别代入式( 3 - 3 ) ，整理得误差方程为 皂三甍鼍- u , ( x ( 硼o , ) ) ( 3 1 0 ) 岛= 一屯吃+ 掰；一群2 ( x 幺) 定义最小逼近误差 = 坼( x 研) - u ； w z = 甜：( x g ) 一“； 由此误差可以将式( 3 1 0 ) 改写为 ( 3 1 1 ) 岛= 一毛q + ( x ，o ；) 、- ( x o , ) - w 1( 3 1 2 ) 岛= 一屯乞+ 甜2 ( x o ；) - - u 2 ( x 岛) 一 将式( 3 5 ) 代入式( 3 1 2 ) 可得如下闭环动态方程 其中 岛= 毛q + ( 钟一岛) 2 乡( x ) 一m ( 3 1 3 ) 岛= 吒乞+ ( 劈- 0 2 ) 2 孝僻) 一 为了计算上的方便，将式( 3 1 3 ) 改写成向量形式，如下： 献e + 0 孝( x ) 一w ( 3 1 4 ) 吨糊，叫卜o = ( ( 矸吲f 鸠吲r 厂，w 一( m 厂，a - h 考虑l y a p u n o v 函数 矿=三prn+壹专印一只)r(彰一032 智2 形“ ( 3 1 5 ) 其中乃，兄是任意的正常数，p 是一个2 2 正定矩阵且满足l y a p u n o v 方程： 1 9 ” 叩抒 叩秆 s x s x 。l。l 蓦翻 n 甜 研 魄 g g a a i | = 研 嗟 江苏大学硕士学位论文 a 7 1 p + p a f f i q ( 3 1 6 ) q 是一个任意的2 2 正定矩阵，a 同式( 3 1 4 ) 中定义。则y 关于时间f 的 导数为： 矿= 1 2 e r p e + 1 2 e r 尸计丢( 矸一最厂馥+ 去( g 一岛) r 晓 三e 7 q 洲蹦( 耻e r 脚+ 去( 研吲协丢( 醴吲r 幺 ：一：i ，e r q e _ e r p w + ( 耳一儡) r ae l 手( x ) + ( 劈一幺) ，见e 2 ( x ) + 1 ( 研一岛) r 馥+ 土( g 一岛) r 幺 ( 3 1 7 一三一咖一e + 去( 研吲脯( m 钔 + 去( g 一岛) 7 【托a 岛善( x ) + 晓】 其中p l ，仍分别是矩阵尸的第一列和第二列。 为了使跟踪误差e 和参数误差0 最小，等价于使y 最小，为此选择自适应律 使矿取负值，由于一芝1e r q e 是负的，且可以选择使最小逼近误差w 非常小的模糊 系统，满足l e r p w 云1e r q e ，所以一个很好的策略就是选择自适应律，使式( 3 1 7 ) 中的最后两项为零，即选择自适应律 0 一兀岛p l 善) ( 3 1 8 ) 岛= 一儿岛p 2 善f ) 。 3 5 自适应模糊控制算法 相对于一般的模糊控制器，我们令理想输出信号与实际输出信号的误差作为 学习信号，修改模糊控制器的参数，从而使实际输出值能够更有效的跟踪理想信 号，并且具有适应对象结构、参数变化和环境扰动的能力。 定义如下的误差能量函数： 11 互一l = 寺吐，= 寺( 誓一，) 2 ( f = 2 ，3 ) ( 3 1 9 ) 二二 为书写上的方便，对方程( 3 4 ) 作如下简化，即： 江苏大学硕士学位论文 哆= f a ，乃= 9 ( 矿彩) ， u j 。瓦一j 2 名炉3 ( = 1 ，2 ) ( 七十1 ) = ( 后) 一口鲁o y i。，j 器鬻丽o u - ，( k ) 丽o a j ( k ) o u o a 俨l 刁。加 彰陋+ 。( 七)， ) ) 彰( 露) u 铲7 由于被控对象模型未知，可以认为_ “= 毋+ - j ) ( j = 1 ，2 ) ，定义挈k 为： 掣= 器等= 揣 2 1 ， 因此 岷- x m ( + i ) 卜描 赤面州圳t ( 川，2 ) 杉 + 9 = 矿 ，一? 乃“。一靠c 川， 小之毒鬻。3 2 2 ， 丽1 珥3 ( 圳t 0 = 1 , 2 ) 其中： 密饩，( 薯) f 七= e x p ( - ( 訾) 2 ) e x p ( - ( 紫) 2 ) 朋为定步长； 同誓”唰+ l ( 忡静 哆i 一晖( 后) 钙+ ，( j i ) o u ( 后) 彰i ( 尼) 彰+ - m 钙+ ( 七) 锄，( 七) 彰( 砷彰+ 。( 七) 一嵋( 后) 钙+ ( 七) ，o u j ( 尼) 叫( 后) 。抛) 叫( p 、瑟：( 后) + t ) o u ，( 七) 、叫( 后) 彰( 后) 叫( 七) 瑟：( 七) 7 锄：+ l ( 后) = 繁高等c 器一器啡，警 = 二j 二一i 二一一= 一、7 f 、：二二二二：二二二二 “， ) 一“， 一1 )、够( 后) 6 ：( 尼) 一小”7仃七) ( | = 1 ，2 ) 2 1 、，t- i 、 弓 ，兀m = ，鲥 | | 屯 江苏大学硕士学位论文 山驴南叫鞘 0 ，1 i mp ( 力= m o ，利用式( 4 1