（计算数学专业论文）jacobi矩阵与中心和反中心对称矩阵逆特征值问题.pdf

摘要 5 1 1 3 0 1 在结构设计、振动系统、自动控制、矩阵对策等领域中存在各种各样的矩阵 逆特征值问题及广义逆特征值问题。本文研究了一类j a c o b i 矩阵混合逆特征值问 题及几类矩阵广义逆特征值问题。 遵循从特殊到一般的原则，本文逐步解决了由给定一个顺序主子阵和两个有 序缺损特征对构造j a c o b i 矩阵的问题。首先讨论缺损特征对为最大与最小的情 形，然后依次讨论最大与次大及最大与一般的情形，最后解决了两个都是般的 情形。根据j a c o b i 矩阵的特征值的顺序与其对应的特征向量的变号数的关系，我 们给出了j a c o b i 矩阵存在及唯一存在的充分必要条件，同时相应地给出了构造 j a c o b i 矩阵的算法和数值实例。数值实例表明这些算法是相当可靠与有效的。 在中心对称矩阵和反中心对称矩阵的基本性质基础之上，利用分块降维技术 来简化问题，本文讨论了中心对称矩阵，反中心对称矩阵，混合中心对称矩阵与 反中心对称矩阵，三类广义逆特征值问题，并在此基础上利用投影定理解决了它 们在谱约束下的最佳逼近问题。我们给出了他们的通解的表达式，同时还给出了 在谱约束下的最佳逼近解的表达式及数值计算方法。数值实例表明这些算法是相 当可靠的。 关键词：j a c o b i 矩阵，主子阵，有序缺损对，中心对称矩阵，反中心对称矩 阵，最佳逼近 a b s t r a c t t h e r ea r ea l lk i n d so fi n v e r s e e i g e n v a l u e a n d g e n e r a l i z e d i n v e r s e e i g e n v a l u e p r o b l e m si nt h ef i e l d so fs t r u c t u r a ld e s i g n ，v i b r a t i o ns y s t e m ，a u t o m a t i o nc o n t r o la n d m a t r i xd e c i s i o ne t c ac o m p o u n di n v e r s ee i g e n v a l u e p r o b l e m o f j a c o b im a t r i xa n ds o m e g e n e r a l i z e di n v e r s ee i g e n v a l u ep r o b l e m sh a v e b e e nd i s c u s s e di nt h i sp a p e r f r o ms p e c i a lt on o r m a l ，t h e p r o b l e mo fc o n s t r u c t i n g aj a c o b im a t r i xw i t ha p r e s c r i b e dp r i n c i p l es u b m a t r i xa n dt w oo r d e r e dd e f e c t i v ee i g e n p a i r sh a sb e e ns o l v e d g r a d u a l l yi nt h i sp a p e r f i r s tw ed i s c u s st h e c a s et h a tt h ed e f e c t i v ee i g e n v e c t sa r et h e m a x i m u ma n dt h em i n i m a l ；t h e nt h em a x i m u ma n dt h en e x tm a x i m u m ，t h em a x i m u m a n dt h eg e n e r a l ；a n dt h ec a s et h a ta l la r eg e n e r a li nt h el a s t b a s e do nt h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h e e i g e n v a l u e o r d e ra n dt h en u m b e ro fv a r i a t i o n so ft h e c o r r e s p o n d i n g e i g e n v e c t o r ，s o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es o l v a b i l i t yo ft h ea b o v e p r o b l e m sh a v eb e e nd e r i v e d ，a n dt h ec o r r e s p o n d i n ga l g o r i t h m sa r ed e v e l o p e da t t h e s a m et i m e n u m e r i c a le x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h e s ea l g o r i t h m sa r eq u i t er e l i a b l ea n d e f f i c i e n t b a s e do nt h ef o u n d a t i o n a l p r o p e r t i e s o f c e n t r o s y m m e t r i c m a t r i xa n d a n t i c e n t r o s y m m e t r i cm a t r i x ，e m p l o y i n g t h e t e c h n o l o g y o f l o w i n gd i m e n s i o n ，t h e g e n e r a l i z e d i n v e r s e e i g e n v a l u ep r o b l e m s w h i c hi n v o l v e c e n t r o s y m m e t r i cm a t r i x ， a n t i c e n t r o s y m m e t r i c m a t r i x ， a n d c o m p o u n dc e n t r o s y m m e t d c m a t r i xa n d a n t i c e n t r o s y m m e t r i cm a t r i x ，h a v e b e e nd i s c u s s e d o nt h eb a s i so fa b o v e ，a n d e m p l o y i n gp r o j e c t i o n t h e o r y , t h eo p t i m a la p p r o x i m a t i o n o ft h e mu n d e r s p e c t r a l c o n s t r a i n t sh a sb e e ns o l v e d t h ef o r m u l a so f g e n e r a ls o l u t i o nh a v eb e e n 舀v e i l ，a sw e l l a st h ef o r m u l a so fo p t i m a la p p r o x i m a t i o ns o l u t i o na n dn u m e r i c a la l g o r i t h m s k e yw o r d s ：j a c o b im a t r i x ，p r i n c i p l es u b m a t r i x ，o r d e r e d d e f e c t i v e e i g e n j p a i r s ， c e n t r o s y m m e t r i cm a t r i x ，a n t i c e n t r o s y m m e t r i cm a t r i x ，o p t i m a la p p r o x i m a t i o n l l 第一章绪言 现代科学与应用中存在着各种各样的逆操作过程，我们把他们抽象出来成为 数学中的反问题。例如在数学物理中，人们根据给定系统的方程式和定解条件求 系统的状态称为正问题：反过来，在给定的方程式下，从方程的解或解的某些部 分或附加一些其它条件求方程的系数、边界条件等就称为反问题，著名的 s t u r m l i o u v i l l 问题的反问题就是利用特征值和特征函数确定s t u r m - l i o u v i l l 方 程的系数及边界条件。 在数值代数中，已知一个矩阵，求其特征值或和特征向量称为代数特征值问 题( 又叫矩阵特征值问题) ；然而在结构设计中，却往往要求设计出具有给定频率 或振型的结构，并推断或识别出结构的其它物理参数，这反映到数学上就是由给 定特征值或特征向量构造出相应的矩阵，我们称之为矩阵特逆征值问题。矩阵逆 特征值问题的研究，不仅充实和丰富了矩阵理论和方法，而且在模式识别、数学 物理、量子化学、分子光谱学、结构动力学、自动控制、结构设计与动态分析等 许多领域中有着重要的应用 卜3 。 矩阵逆特征值问题的理论及主要结果是在几十年里得到的。1 9 5 6 年，d o w i n i n g 和h o u s e h o l d e r 首先提出矩阵逆特征值问题的加法问题和乘法问题 4 ，1 9 6 7 年， h o c h s t a d t 发表了关于j a c o b i 矩阵逆特征值问题的研究论文 5 ，1 9 7 4 年， w i l h e l m i 提出一类含参数的矩阵逆特征值问题 6 ，最近几十年里矩阵逆特征值 问题的加法问题、乘法问题和含参数问题的研究有了很大的进展 6 - 1 0 ，同时人 们越来越关注某种具有特殊结构的矩阵的逆特征值问题，例如：关于标准j a c o b i 矩阵，周期j a c o b i 矩阵，完全对称j a c o b i 矩阵的研究 i l 1 4 ，还有关于谱约 束下矩阵的最佳逼近的研究 1 5 1 7 ，关于由主子阵和特征值构造j a c o b i 矩阵的 研究 1 8 、 1 9 、 2 4 、 2 s 、 2 9 ，关于由主子阵和缺损特征对构造j a c o b i 矩 阵的研究 3 1 ，关于广义特征值反问题的研究 2 1 、 3 1 ，以及双对称矩阵的研 究 2 4 等，目前，各种类型的矩阵逆特征值问题正在逐步得到解决，并取得了 系列可喜的成果。 j a c o b i 矩阵在质点振动系统中有着广泛的应用，若已知一个质点振动系统的 物理参数质量与弹性系数，求这个系统的固有频率与固有振型就是矩阵特征值问 胚。反过来，若已知一个质点振动系统的全部固有频率，又知道这个系统的最后 一段弹簧和最后一个质点去掉后的振动系统的全部固有频率，要求出这个质点振 动系统的物理参数质量与弹性系数，就是j a c o b i 矩阵逆特征值问题。若给定k 阶 j a c o b i 矩阵j t ( 1 ik 月一1 ) ，又给定a ，u r ( 2 ) 和z 2 ，y 2 e r ”，求z l ，h e r 和h 阶 j a c o b i 矩阵，。，使得( ，x ) 和( 肛，y ) 分别是j 。的特t i x ，j t 是j 。的k 阶顺序主子阵，且九与 肛分别是( 1 ) j 。的最大的与最小的特征值，( 2 ) j 。的最大的与次大的特征值( 3 ) j 的最 大的与第i 个特征值，( 4 ) j 。的第i 个与第j 个特征值这里 x = ( 妻：) ；c x ，x z ，1 。，x t ，x t + ，。一，x 。，7 ，y2 ( 芝) c ，y ：，t ，“，一，。，t o 本文 解决了上述由给定的一个顺序主子阵及两个有序缺损特征对构造相应的5 a c o b i 矩阵的问题。 中心对称矩阵与反中心对称矩阵在统计分析、矩阵对策等领域中有着十分重 要的应用，在这些领域内中心对称矩阵与反中心对称矩阵的矩阵反问题是主要的 数学模型，因此，基于这些应用的要求，本文研究了中心对称矩阵、反中心对称 矩阵、双对称矩阵广义逆特征值问题和他们在谱约束下的最佳逼近问题。 2 g g - 童_ 由主子阵和有序缺损特征对构造j a c o bi 矩阵问题 1 1 引言 设郇翕j a c o b i 矩阵为 】。； 口i6 1 b l 口2 乞 o o 乩一， 以1口。 诸口f ，b ；e r ，且6 j o f 1 “2 ，n i j a c o b i 矩阵、逆特征值问题的研究在振动工程，结构设计和系统参数识别等领域有 重要的应用由主子阵和谱数据构造j a c o b i 矩阵， 2 1 首次得到n 为偶数时有解的 充分必要条件，并给出了个数值算法： 2 8 给出了n 为偶数时的个新的有解的充分 必要条件，简化了 2 1 的结果，同时给出了相应的数值算法； 2 9 对一为任意整数时给 出了个新算法，该算法在计算过程中可以自动判别解的存在性； 3 1 研究了由主子阵 和缺损特征对构造j a c o b i 矩阵，但没有考虑特征值的顺序。本文研究如下几类j a c o b i 矩阵特征值反问题。 问题2 1 1 ：给定k 阶j a c o b i 矩阵j t ( 1 ks 1 ) ，又给定 ，肛r ( b p ) 和 x 2 ，y 2e r ”2 ， 求x 1 ，k 尺和n 阶j a c o b i 矩阵j 。，使得( ，x ) 和( 雎y ) 分别是j 。的特 征对，。是，。的t 阶顺序主子阵，且a 与p 是j 。的最大的与最小的特征值，这里 - ( ；：) 一。，z ：，z 。，以+ 。，一，x 。，7 ，l ，一( 1 - c ，。，：，。，。+ 。，。，1 问题2 1 2 ：给定女阶j a c o b i 矩阵， ( 1 月一1 ) ，又给定 ，t 炬r ( a ，) 和 x 2 ，匕r ”2 ，求x l ，k 尺和n 阶j a c o b i 矩阵j ，使得( 九，x ) 和( p ，y ) 分别是j 。的特 征对，j 。是j 。的k 阶顺序主子阵，且 与芦是j 。的最大的与次大的特征值，这里 x - f 妻：) 一c x 。，x ：，- ，x t ，x 。+ 。，一，x 。，1 ，y - f 1 一c y 。，y ：，y 。，y “。，y ，1 问题2 1 3 ：给定k 阶j a c o b i 矩阵j t ( 1 k sn 1 ) ，又给定 ，肛尺( bp ) 和 x 2 y 2 矗”，求x i ，h 月和月阶j a c o b i 矩阵j 。，使得( a ，一) 和( 儿y ) 分别是j 。的特 征对，。是j 的女阶顺序主子阵，且 与p 分别是j 。的最大与第i 个特征值，这里 工。( ! ：) 。c r t ，x ：，“，x t ，x “，一，x 。，1 ，y - f 1 一c ，：，。，。+ ，一，。，t 问题21 4 ：给定k 阶j a c o b i 矩阵，t ( 1 s i n 1 ) ，又给定 ，肛r ( b 弘) 和 z 2 ，砭月”， 求z 1 ，k 尺2 和一阶j a c o b i 矩阵，。，使得( ，x ) 和( 肛，y ) 分别是，。的特 征对，j t 是，。的t 阶顺序主子阵，且a 与f 分别是，。的第f 个与第，个特征值，这里 z - 口 口a 0 d ，l i 咿 和称为“的变号数；显然变号数随值为零的项的符号选择不同而不同，用s 。+ 和s ，一分 别表示变号数的最大值与最小值。若s 。+ = s 。，则称向量“的变号数确定，记为s 一 注：向量“的变号数确定的充分必要条件是：( j ) “，“。0 ，( i i ) 若。，：0 则 “，一l ，+ i 0 ，j = 2 , 3 、， 一1 引理22 2 ” “设”阶j a c o b i 矩阵j 。的特征值由大到小排列，9 】, l j j 。的特征向量 “是它的第i 个特征值对应的特征向量的充要条件是s = i 一1 。 由j 。y = 见，i ，。y = l a y ，对1 k 1 1 1 有 l ( 甜女一j i ) 鼻l = 6 z i + l e “ ( 肛k j ) = b k y “i e l ，。一 ( x 2 ，y ；) = ( a z 2 一b k x e 胪，y ，一6 y e 卜) ( 2 2 5 ) 式展开，可得 口h x n + b n 一1 x n l2 触” a y + 6 l y l5 f l y “ b ，x ，+ 口i + 1 x f + l + b + i x t + 2 = i x f + 1 b f y f + 口，+ 1 y ，+ 1 + 6 j + l y + 2 = 1 - 9 一，+ 钆“+ 吼+ 1 扎+ l + 缸+ l x “2 = 矗+ 1 6 女y t + a k + i y i + 1 + 6 女+ l y 女+ 2 = z y + ( 2 2 3 ) ( 2 24 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 定理22 1 问题2 1 1 有解的充分必要条件是 ( i ) “ 一j 正定，一，女负定： ( i i ) s y ，= o ，s ) = h k 一1 ； ( i i i ) s i g n ( d ，x y ，) = 1 ，( i = k + 1 ，) 此时解一定唯一 证明充分性根据引理2 2 1 和条件( i ) ，由( 2 2 3 ) 、( 2 2 4 ) 知x ，可唯一 表示为 弘- “一吣一。c 弦k - 1 舭，疆k - i 帅c 伽7 亿z r ， c 酚k - i 州肋鼽j = 2 帆肋z s ， 由( i i ) 知2 = ( z + l ，x ，) 7 ，k = ( 儿。，y 。) 7 的分量均非零，且z 的分量 符号相同，匕的分量的符号正负交错，所以 。一l x ，i 。+ + l 。 一x 。y ：+ 。一石j + 。y 。一。，k i 0 ，k i 0 ， 一般地 口n 。( h 一b n _ l x n 一1 ) x 对于k 0 和s i g n ( a ) 吼( 九) ) 0 ， s i g n ( 9 。( p ) 吼( p ) ) to ，所以( 2 2 1 8 ) 式的右端为正，于是6 i 存在且可以用下式唯一 的计算出来 坑；( 鼍舞黑掣r ( 2 2 1 9 ) 6 此时由( 2 2 6 ) 式后两式可得 4 “l 一( a r k + l 一6 + l 。女+ 2 一b k x k ) 。 + l 或者 口- ( u y 一b k + l y m 一“y t ) y ，( 2 2 2 0 ) 由递推式( 2 2 1 6 ) 和( 2 2 1 7 ) 容易得出由此两式计算所得结果相等这样我们构 造了j 除j t 外的其他非零元素，且其特征向量为，y ，其中x ，k 可由把( 2 2 1 9 ) 式代入( 2 2 7 ) 和( 2 2 8 ) 式分别得到，根据条件( i ) 因为帆一j 。正定，所以s 。，= 0 ， z 。的最后一个分量的符号s i g n t 札“吼一t ( ) 尹t ( ) ) = s 劬( 札+ ，) ，再由条件( i i ) ，故 s x5 0 由于, u i k - j k 负定，知s h = k - l , 且s t g n ( y z , ) ：s i g n ( 专是警b k y k * 1 ) 2 u i g n ( y 一) 再由条件( i i ) ，于是s r = n 一1 ；根据引理2 2 2 ，( a ，x ) ，( p ，y ) 分别是，的最大与最小 特征对 必要性若问题2 1 1 有解，则只。6 。，x 。，k 存在，且使( a ，x ) ，( “，y ) 是j 。的最大 与最小特征对，由 a c o b i 矩阵特征值的隔离性质易知，。的所有特征值在区间( 肛， ) 内， 从而村。一j 。的特征值全大于零，。，。的特征值全小于零，于是以一j 。正定且 。一j 。负定，即( i ) 成立；由引理2 2 2 知s 。= o ，s ，；n 一1 ，则必有 s x ，= 0 ，s y = n - k - 1 即条件( i i ) 亦成立；因为b f 0 ( k i 0 ( 七s i n ) ，再由5 x o ，s y n 一1 易推出 条件( i i i ) 最后，若问题2 1 1 有解，则条件( i ) ，( i i ) ，( i i i ) 成立，再由充分生的证明过程， 此时解一定唯一，证毕 根据以上讨论，我们可以得出求解问题2 1 i 的个数值算法如下 算法2 2 1 1 对给定的x 2 ，y 2 ，九，分别判断x 2 ，y 2 的交号数，若s 。，一0 或者 s 。_ n k 一1 ，则退出程序，问题2 1 1 无解 2 对p t + 1 ，n 判断d ，x ，y ，的符号，若其中存在某个d 使得d ，x ，y ，的符号 非正，则退出程序，问题2 1 1 无解 3 由三项递推公式吼( - ( 九一a i ) 纯一。( ”山己妒i - 2 ( ( ) ( f - 卜，k ) 分别计算 吼( ) ，钆【 ) ，与9 。( p ) ，钆( ) ，判别 一j 与，t 一t 是否正定，若其中有某一个 非正定，则退出程序，问题2 1 1 无解 4 对i n - 1 ，k + l ，由( 2 2 1 5 ) ，( 2 2 1 6 ) 式分别计算6 。，4 。 5 由( 2 2 7 ) ，( 2 2 8 ) 式计算x ；，y i ，由( 2 2 1 9 ) 式计算圾，再由( 2 2 2 0 ) 式计算出n ，从而以j t 为前k 酬哽j 芋主子阵可生成n 阶j a c o b i 矩阵j 。 仔02 2 1 给定a - 5 8 2 9 ，肛一一1 4 8 2 ，x 2t ( 4 3 ，2 1 5 ) 7 ，y 2 ，( 一1 2 ，1 4 8 ) 1 年口 j 4 号 2 6 1 51 4 3 7 1 4 3 73 1 5 22 8 4 1 2 8 4 11 2 0 60 5 1 3 2 0 5 1 3 22 1 8 6 求解问题2 i 1 ，利用算法2 1 1 编程在微机e 计算可知，存在唯一解，其解为 x l - ( 1 3 8 8 4 4 ，3 1 0 5 3 8 ，2 2 2 3 8 4 ，2 8 4 1 8 1 ) 1 ， t ( 0 1 3 1 1 0 8 ，0 3 7 3 8 ，一0 5 4 3 3 9 6 ，0 7 7 6 8 5 4 ) 7 j 6 - 2 6 1 5 1 4 3 7 1 4 3 73 1 5 22 8 4 1 2 8 4 11 2 0 60 5 1 3 2 0 5 1 3 22 1 8 62 1 4 2 1 9 2 1 4 2 1 93 1 1 2 7 42 6 0 1 0 3 2 6 0 1 0 30 6 2 6 9 4 2 2 3 问题2 1 2 的可解陆条件、算法及数值实例 下面分别给出问题2 1 2 有唯一解与有解的充分必要条件。 引理2 3 1 3 1 若( 九，x ) ， ，y ) 分别是 ，。的最大与次大特征对，则 d ，d m ，d 1 均非零，_ n _ s i g n ( d ) ；s i g n ( d m ) s i g n ( d 1 ) 引理2 3 2 设x 2 一( 。，z ) 7 ，匕= o ，y 。) 7 ，若s d = o ，s x ：；0 ，则 若s n 一0 ，有s i g n ( d “i x k + i y “i ) 一1 ； 若s n 一1 ，有s i g n ( d + 1 x “1 y 女+ 1 ) = 一1 证明由已知g d 牛- 有s i g n ) = s z g n ( a 。) 一s i g n ( x 。y 。) ts i g n m y 。) ， 若s y ，。0 ，有s i g n ( y 。) 一s i g n ( y 女+ 1 ) ， 若s 。一1 ，名商i s i g n ( y 。) 一一s i g n ( y 。) ，观察上述三个式子，可知结论成立， 证毕 定理23 1 问题2 1 2 有唯一解的充分必要g 4 牛- 是： ( i ) s j ：+ s y ( 砷一0 ； 8 ( i i ) s 二十s l 【川= 1 s 瞻 【巾。( 五，) ) = 一1 ； ( i i i ) s i g n ( d d ，) = 1 i = k + 1 ， 一1 ： ( i v ) s d = 0 ： 证明充分性由( i ) 知s ( i 】= 0 ，s h = o ，丸+ i x 。0 ，又( 五) ：1 ，故 s f g h ( 妒女( 五) ) = 1 ，由( i i ) 失 1 y + 1 y 。0 ，当s ，：= 1 时，有s f 【，) = 0 ，i 救s i g h ( 妒。( ) ) = 1 ； 当s k = 0 时，有s ，【，) = 1 ，而0 2 ) = 1 ，所以s 忉( 纯( ) ) = 一1 根据引理2 2i 由( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) 可知 即c 黔k - 1 删强k - i p m ， 眨。， 卜怒睁k - i 舢，黔k 、l 帆c ， 7 眨s z ， 与定理2 2 1 充分性证明过程类似由( 2 2 6 ) 和条件( i i i ) 易知6 ，d 。( i 0( 2 3 3 ) a l + l = ( a x h 一6 x m 一6 ，一) x ( 其中令b 。= 0 )( 2 3 4 ) 当i = 时，由递推有 b k d = ( 五一) d “1( 2 3 5 ) 将( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 中的x 。，y 。代入( 2 3 j ) 式的d 。中，整理可得 配：坠型纽鍪掣 ( 2 3 6 ) 5 x k + l y 中( 五，) 、。 由前述讨论知，y 0 ，“+ l 0 ，s i g n ( 妒 ( ) ) = 1 ，又5 i g n ( 2 一p ) ：1 ，再根据条件( i i ) 中的，侣w ( ，) ) = 一l ，有 当s h = 1 时，- y i s i g n ( f p 女( ) ) = 1 ，由条件( i v ) s n sv ，= 0 以及引理2 3 2 知( 2 3 6 ) 式右端大于零； 当s 1 = 0 时，军f f s i g n ( o ( g i n ) 唯一，则d 。_ 0 i n ) ，且 b 。( k i 0 ，i k + 1 ，n - 1 ； ( i i i ) s d ；0 ； ( i v )下列诸条件之一成立 ( a ) 若y m 0 ，n s k + s ”m 一1 ，且s 咖 ( ，p ) ) 一一1 ： ( b ) 若y 一0 ，贝, l j s i g n ( y m ) 一一s i g n ( y 。) 0 ，且是j i 的最大特征 值 证明比较定理2 3 1 与定理2 3 2 的条件可知，只需要证明对条件( i ) ，( i i ) ， ( i i i ) ，及( i v ) 中的( b ) 成立即可 必要性条件( i ) ，( i i ) ，( i i i ) 显然成立，当y 一0 时，由j a c o b i 矩阵特征向量 的性质显然t + l tn ，n 根据弓i n 2 ，2 ，l 有- 1 ，且y = 0 可知，s k - o ，由( 2 2 4 ) 有( 。一j k ) k 一0 ，则口，。) 且对应的特征向量为y l ，由引理2 2 1 得为，。的最 大的特征值，即条件( i v ) 的( b ) 成立 1 1 充分性当y 。= 0 时，由于( 。一l ，。) = 0 根掘引理2 2 1 得 _ = c 0 7 ( c o 0 ) ( 2 3 9 ) 其中口= ( _ 一，r 。) 1 是以的最大特征值卢相应的特征向量，则，7 。；0 ，且s 。= 0 ， 所以s 。= o ，出条件( 1 i ) 和( 2 2 6 ) 式易知b ，a 。( 女 0 ，把c 。代入( 2 3 9 ) 中得 】，；= ( ( 一丑) d “1 6 女叩女工女+ i ) ，7 ( 2 3 1 0 ) 类似于定理2 3 1 充分性的证明，由条件( i ) 可得x ，且知& = 0 ，因此由引理2 2 2 知兄是，的最大的特征值再由条件( i i i ) 可知 s i g n ( d m ) = s i g n ( d ) = s i g n ( x y ) = s i g n ( x i + ! ) s i g n ( y 女+ 2 ) = s i g n ( x + 1 ) s i g n ( y “2 ) ， 而一为。的最大的特征值，则s ，= o ，从而s h ：0 ， 又 s i g n ( y ) = s i g n ( ( ( z a ) d + 1 b 女，7 女x + 1 ) 叩女) = s i g n ( ( a 一丑) d + l b k x “1 ) = 一s i g n ( d “】) s i g n ( x + 1 ) = 一s i g n ( x ) s i g n ( y 女+ 2 ) s i g n ( x ) = 一s i g n ( y k + 2 ) 从而s ，：l ，由引理2 2 2 知“是j 。的次大的特征值，所以充分性成立，证毕 把问题2 1 2 中要求 ，是最大、次大特征值改为，z 并要求 ，f 是最小、次小特 征值，其他条件与要求不变，得另一问题2 1 2 ，对于该问题类似于问题2 1 2 有如下 结论 定理23 3 问题2 1 2 有唯一解的充分必要j a f 牛- 是 ( i ) s n + s i ( i ) = n 一1 ： ( i i ) d p 0 ，i = k + 1 ， 一1 ； ( i i i ) s j ) + s h = n 一2 ，s i g n ( 吼( 五，) ) 2 1 ： ( i v ) s d 一0 类似地我们可以得出问题2 1 2 有解的充分必要条件 根据以上的讨论，容易得出求解问题2 1 2 的一个算法如下 算法2 3 1 1 判断s 。，一0 ，若不成立则退出程序，问题2 1 2 无解； 2 由三项递推公式蛾( 九) - ( 九一a i ) 妒i - l ( ) 一b h z 妒m f ( a )( f ，卜，t ) 分别计算 钆( a ) ，吼( ) ，判断5 ，( ”。0 ，若不成立则退出程序，问题2 1 2 无解： 3 计算d 。，d k 1 , d ，d m ，判断d l + 1 i d 。 o ，( i ；k + 1 n 一1 ) ，且s d 一0 ， 若有一不成立，则退出程序，问题2 1 2 无解； 4 如果y m 一0 ，由步2 中三项递推公式计算铂( f ) ，吼( f ) ，判断零i ( ，p ) c 0 ， 若不成立则退出程序，问题2 1 2 无解；否则执行以下步骤 4 1 若s b + s ，( 。) 一1 ，技i 亍步4 2 ，否则退出程序，问题2 1 _ 2 无解； 4 2 由( 2 3 6 ) 式计算也，由( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 式计算j 1 ，k ，转步6 ； 5 如果y - 0 ，若p 为j i 的最大的特征值，则任取b ，0 ，由( 2 3 1 ) 式计算x ， 求j 。的特征值p 对应的特征向量r ，由( 2 3 1 0 ) 式计算y 1 ，否则退出程序问题2 1 2 无解， 6 对i - n l ，k + l ，由( 2 3 3 ) ，( 2 3 4 ) 式分别计算b 。，n m ，由( 2 3 7 ) 式计 算出n 。，最后形成矩阵j 例2 3 1 给定x 2 ；( 0 4 5 ，0 6 2 5 ，0 1 0 1 5 ) 7 ，k 一( 0 5 8 ，一1 0 ，- 2 1 8 ) 7 ， a t 3 0 2 ，“；2 8 7 和 小1 1 2 0 3 享3 1 5 1 0 2 0 2o 4 j 3 - 2 i 1 j 求解问题2 1 2 ，利用算法2 3 1 编程在微机上计算可知，存在唯解，其解为 x 1 一( 0 0 7 1 5 0 0 3 ，0 4 3 3 7 6 8 ，0 3 4 8 9 4 9 ) t ，y l 一( o 1 5 5 8 7 8 ，0 8 6 7 7 1 8 ，0 5 6 6 6 6 1 ) 7 j 6 = 1 20 3 0 32 1 51 0 2 10 20 41 6 6 8 8 1 1 6 6 8 8 11 5 0 8 9 40 1 5 6 2 3 0 1 5 6 2 32 9 0 3 2 4 0 0 2 6 3 2 0 0 2 6 3 22 8 5 7 9 3 2 4 问题2 1 3 的可解隆条件、算法及数值实例 由于，y ) = x t y = z x + x j l = 0 ，以下引理提供了种计算这个内积的方法。 引理2 4 1 【3 1 1 假设j 。是一个m mj a c o b i 矩阵，a ，卢r ，a 卢，且 ，一( 厂1 ，厶) 7 ， g = ( g l ，一，g 。) 7 分别是方程 ( c c 。一j ，) ，；c e 一，( 。一j 。) g = 惩的解，当a ，卢甓仃u 。) 时，有 f t g ；石刁c d 赢, v 4 丽( f l , a 石) 而 引理2 4 2 如果向量“- ( “1 ，“2 ，“。) 7 r “且s 。= k ，那么 s i g n ( u 。) 一( 一1 ) s i g n ( u 1 ) 证明根据2 2 节中的注我们容易知道，当一个变号数确定的向量中的零分量用非 零值代替后所得新向量与原向量的变号数相同，因此不妨假设“的所有分量非零；设v 是一个变量助 值为零。现在依汐逑历“l ，一，u 。， 在遍历过程中，如果当前访问分 量的符号与前次访问分量的符号不同，则v 的值增l ，否则v 的值保持不变，显然符号 函数在当前访问分量上的值为( 一1 ) ”s i g n ( u ，) 。当被访问完毕后，根据s 。tk 可得 v = k ，所以s i g , , ( u ) 一( 一1 ) 。s i g , , ( u i ) 一( 一1 ) s i g , , ( u 1 ) 。 引理2 4 3 假设j 。( 1 s ms 月一1 ) 是，。的顺序主子阵， zt f ；：) ，z ，c z 。，。，z 。，1 尺“，z ：= c z ，+ t ，z 。，7 r ， a r 。直n 果 驴。 ) 0 且j 。z 一以，那么 s k 汩) + s z 2 鼍s z 证明从，。z o z 我们可以得到( 甜。一，。) z 。一6 ，z 。+ ，e 。，加之 ) 一0 ， 根据引理2 2 1 ，有 z 。；赫b ( 彤m - ! 概 ) 黔，嘣蝴1 - ( 2 4 1 ) 根据j a c o b i 矩阵特征向量的性质易知z ，乙一0 同时z 的变号数确定，所以有( 2 4 1 ) 可知z ：的变号数确定。 下面我们考察 ) 的变号数。 l 。如果妒。 ) = 0 ，那么由( 2 4 1 ) 知z = 0 ，根据2 2 1 中的注可以得到 s i g n ( z 。) 一s i g n ( z 。) ，所以向量乏t ( z 1 ，乙一，) 1 的变号数确定，从而 s i g n ( c p 一 ) ) 一s i g n ( c p 。 ) ) ，且匕一： ) 的变号数且等于乏。因此 s k ( 口) 量_ s k ：扣) + 1 ，_ s z ；_ s 五+ 1 + s z ：= s k 忙) + s z ： 2 。如果 s 喀n ( 一i ) ) ；一s g n ( ) ) ，由( 2 4 1 ) 式知z 。0 且 s i g n ( z 。) = 一s t 卯0 。+ 。) ，所以z 。的变号数确定，从而l 一。 ) 的变号数确定且 s k 一( 。) 一s 丑，因此n ) 的变号数确定，同时有s k ( 。) 一s ：( 。) + 1 ，于是 s ：鼍s z 。+ 5 z ：+ i = s ( 。) + 5 z ：。 3 。如果s i g n ( q o 。一1 ) ) ；s i g n ( q ，。 ) ) ，那么由( 2 4 1 ) 可知z 。0 且 s i g n ( z 。) 一s i g n ( z 一) ，于是s o s k 。( 。) ；s z 。，从而 ) 的变号数确定且 s 匕( a ) i s k ，( 。) ，所以s ：皇s z + s z ：= s 似) + s z ：a 证毕。 定理2 4 1 问题2 1 3 有唯一解的充分必要条件是 ( i ) s f ：+ ( 舢一0 ， ( i i ) s 匕+ s u ( p ) 一i 一1 ， ( i i i ) s i g n ( d + l d 1 ) = 1 ，i = 七+ 1 ，一，n - 1 ， ( i v ) s i g n ( a “1 x k + l y i + 1 中t ( a ，) ) 皇( 一1 ) 9 ，这里p s n ( p ) 证明首先证明充分陛。从条件( i ) 可以得n x 。z 。一o ，吼( a ) 0 ；同样地从条 件( i i ) 可以得n y y 。，0 且吼( u ) 0 。根据( 2 2 1 ) 、( 2 2 2 ) 和引理2 2 1 有 即怒( 疆6 j ，删酚k - i 州砌7 ( 2 4 2 ) h 、， 女- ik l 耻嵩珥啪。d 渺，吼。似) ) t 心4 3 由引理2 4 1 和x l y = x j x + x j k = 0 以及x j y 2 = d m 有 ；i 兰! ；糕+ d 。：o ( 2 4 4 ) ( 肛一九) 妒。( a ) 妒t ( “) 由于s u ( 。) = p ，根据引理2 4 2 s i g n ( q 2 。( 口) ) = ( 一1 ) 9 ，再利用条件( i v ) 可以知 道b 。存在唯一且可以表示如下 ”( 盟x k + 筹i y 糕学) 2 眨龟功 一im 中女( 九，肛)j 由( 2 4 2 ) ，( 2 4 3 ) 和( 2 4 4 ) ，可以计算出x 。，y 。和6 t 满足关系式 阢轨。( 九一p ) “ ( 2 4 6 ) 根据( 2 2 6 ) 式和d ，0 ，知口。，b i 是以下方程的唯解 m x i a i + x i + l b i y i ；毫：“6 。三潞1 b y i - i b i y 。口：+= 缈f j l 恤”o ， ( 1 4 8 ) 一一( 1 4 7 ) y i 6 。d 。( p z ) x , y 。+ b i _ l d h