（光学专业论文）简并等离子体色散关系的研究.pdf

摘要 摘要 等离子体色散关系是研究等离子体不稳定性、等离子体诊断、等离子体中 电磁波的传播与耗散以及惯性约束核聚变中非线性现象的理论基础。为了使这 个基础更完整更有效，本论文致力于进一步细致地研究等离子体的色散关系， 完善或修正一些分段解析的理论，分析一些参数对等离子体色散性质的影响。 首先，本文从m a x w e l l - v l a s o v 方程组出发，借助现代计算机强大的计算功 能，分析研究了非相对论简并等离子体的色散关系。围绕简并等离子体区别经 典等离子体的部分性质，本文主要作了以下工作： 为了体现离子在色散关系中的效应，本文在色散方程中加入了有 关离子的项，建立了更为完善的物理模型。 推导了零温等离子体、完全简并等离子体、半简并等离子体的色 散方程。 分别用解析近似和数值计算的方法求得了零温等离子体的纵波色 散关系，数值结果不仅与a l e x a n d r o v 的结论相吻合，还填补了 a l e x a n d r o v 理论的空白区域。 数值分析了电子温度、电子一离子温度比、等离子体密度等对非相 对论完全简并与半简并等离子体色散关系的影响。比较了完全简 并与半简并等离子体的区别与联系。 此外，本文还研究了弱磁化相对论性正负电子等离子体中的线性模。文章 从相对论性洛伦兹方程出发，利用微扰理论，推导得到了弱磁化相对论性正负 电子等离子体中的扰动流。将扰动流代入麦克斯韦方程，本文得到了关于弱磁 化正负电子等离子体中横波和纵波的两个一般性色散关系。在非相对论近似情 况下，这两个色散关系退化成了与z a n k 等人相一致的结果。 关键词：色散关系；简并等离子体；费米分布；数值计算； 磁化正负电子等离子体 i i l 2 3 4 a b s t r a c t a b s t r a c t s i n c et h ed i s p e r s i o nr e l a t i o n sa r eu s e f u li n s t u d y i n gi n s t a b i l i t i e s ，p l a s m a d i a g n o s t i c s ，n o n - l i n e a rp h e n o m e n aa n dt h es p r e a da n dd i s s i p a t i o no fw a v e si n p l a s m ao ri c f , t om a k et h e mm o r ec o m p l e t ea n dm o r ee f f e c t i v ei sn e c e s s a r y t h i s p a p e ri sd e v o t e dt or e s e a r c ho nt h ed i s p e r s i o nr e l a t i o n sf u r t h e rd e t a i l e d ，m o d i f ys o m e s u b s e c t i o nd i s p e r s i o nr e l a t i o n s ，a n da n a l y z et h ee f f e c t so fp a r a m e t e r so nd i s p e r s i o n p r o p e r t i e s f i r s t , b a s e do nt h em a x w e l le q u a t i o n s ，t h ed i s p e r s i o nr e l a t i o n sf o r n o n r e l a t i v i s t i cd e g e n e r a t ep l a s m a sa r ea n a l y z e dw i t ht h eh e l po fm o d e r nc o m p u t e r a r o u n dt h ep a r t i a ld i s t i n c t i o n sb e t w e e nd e g e n e r a t ep l a s m a sa n dc l a s s i c a lp l a s m a s ， t h ep a p e rm a k e ss o m ew o r ka sf o l l o w s ： 1 t h em o r ep e r f e c tp h y s i c a lm o d e li se s t a b l i s h e da n dt h ed i s p e r s i o n e q u a t i o n si n c l u d i n gi t e m sr e l a t e di o n sa r ed e r i v e df o rs t r e s s i n gt h e e f f e c t so f i o n si nd i s p e r s i o nr e l a t i o n s 2 t h ed i s p e r s i o ne q u a t i o n sf o rz e r o - t e m p e r a t u r ep l a s m a s ，c o m p l e t e l y d e g e n e r a t ep l a s m a s a n d s e m i d e g e n e r a t ep l a s m a s a r ed e r i v e d r e s p e c t i v e l y 3 t h ed i s p e r s i o nr e l a t i o n so fl o n g i t u d i n a lw a v e sf o rz e r o - t e m p e r a t u r e p l a s m a sa l eo b t a i n e db ya n a l y t i c a lm e t h o da n dn u m e r i c a lm e t h o d t h e n u m e r i c a lr e s u l t sa r en o to n l yi ng o o da g r e e m e n t 谢t l lt h ea l e x a n d r o v s r e s u l t s ，b u ta l s of i l l i n gt h eb l a n kz o n eo f a l e x a n d r o vt h e o r y 4 t h ee f f e c t so fe l e c t r o nt e m p e r a t u r e ，o ft e m p e r a t u r e - r a t i o sb e t w e e n e l e c t r o na n di o na n do fp l a s m ad e n s i t i e s0 1 1t h ed i s p e r s i o nc u r v e sf o r c o m p l e t e l yd e g e n e r a t ep l a s m a sa n ds e m i d e g e n e r a t ep l a s m a sa r e n u m e r i c a l l ya n a l y z e d i nd e t a i l t h e c o n n e c t i o n sa n dd i s t i n c t i o n s b e t w e e nt h et w oa r ec o m p a r e d i na d d i t i o n , t h i s p a p e r s t u d i e dt h el i n e a rm o d e si nt h er e l a t i v i s t i c e l e c t r o n - p o s i t r o np l a s m a sw h i c ha r ew e a k l ym a g n e t i z e d b a s e do nr e l a t i v i s t i c l o r e n t ze q u a t i o n , t h ep e r t u r b e dc u r r e n ti n w e a k l ym a g n e t i z e de l e c t r o n - p o s i t r o n 垒! 墅竺! - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ p l a s m a si sd e r i v e dw i t hp e r t u r b a t i o nt h e o r y s u b s t i t u t i n gt h ec u r r e n te x p r e s s i o n i n t o m a x w e l le q u a t i o n s ，t w og e n e r a ld i s p e r s i o nr e l a t i o n s ，w h i c ha r ed e s c r i b i n gt h e t r a n s v e r s ew a v e sa n dl o n g i t u d i n a lw a v e si nw e a k l ym a g n e t i z e de l e c t r o n - p o s i t r o n p l a s m a s ，a r eo b t a i n e d i nn o n - r e l a t i v i s t i cc a s e ，t h et w og e n e r a ld i s p e r s i o nr e l a t i o n s a l ei na c c o r dw i t hz a n k sr e s u l t s k e yw o r d s ：d i s p e r s i o nr e l a t i o n ；d e g e n e r a t ep l a s m a ；f e r m id i s t r i b u t i o n ； n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ；m a g n e t i z e de l e c t r o n - p o s i t r o np l a s m a 1 v 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得南昌大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) 嗡一妻签字日期：沙刁年，硐，乒日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌盔堂可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：7 瑶尼导师签名：t 签字日期：上。订年p 月日签字日期：2 却年貉l 第1 章绪论 1 1引言 第1 章绪论 在茫茫无际的宇宙空间里，等离子态普遍存在。宇宙中大部分发光的星球 内部温度和压力都很高，这些星球内部的物质差不多都处于等离子态，只有那 些昏暗的行星和分散的星际物质里才可以找到固态、液态和气态的物质。据科 学家统计，目前观测到的宇宙物质中，包括太阳( 正在燃烧着的氢等离子体球) ， 9 9 9 都处于等离子体状态。在银河系，等离子体从太阳流向其它行星( 太阳风) ， 并充满星际空间的许多区域。 然而在地球上却很少天然等离子体，因为地球及其附近大气的低温度和高 密度阻碍了等离子体的存在。这就意味着人们要研究等离子体的性质，就必须 用实验方法来产生它们。在“人间”产生热等离子体的方法有很多，比如电击 穿、射频放电、微波激发、冲击波、激光、高能粒子流，甚至高温加热的手段。 目前，部分等离子体技术已走出实验室，得到广泛的应用；同时等离子体科学 在空间技术、可再生能源、国防科技、无线电通讯等领域的研究也方兴未艾， 值得期待。 等离子体物理是建立在许多经典物理学基础之上的一门新兴学科，它以等 离子体之整体形态和集体运动规律、等离子体与电磁场及其它形态物质的相互 作用为主要研究对象。在等离子体的研究中，一个重要的领域是研究各种波在 等离子体中的传播和演化过程。由于等离子体中带电粒子之间的长程相互作用 力使得等离子体具有一种固有弹性，因此，等离子体中可以传播各种类型的波， 其波动现象十分丰富。在等离子体中，热压强、静电力和磁力起着准弹性恢复 力的作用，导致声波、各种模式的静电波( 纵波) 、电磁波( 横波) 以及它们 的混杂波。又由于电子与离子的质量相差悬殊，对电磁场的响应不同，再加上 等离子体的分布空间不均匀、速度空间的不均匀以及各向异性等因素，使各等 离子体中波动的模式极其复杂多样。等离子体中许多现象与过程的机制都与其 中的波和不稳定性有关，这使得等离子体波的研究成为等离子体物理中的重要 组成部分。 第l 章绪论 等离子体不是一种普通的介质”。对于等离子体介质，除了时间色散以外， 还必须考虑空间色散。即等离子体的色散不仅依赖于频率，还与波矢密切相关。 基于这种与一般介质的不同，考虑到等离子体中丰富、复杂的波动模式，等离 子体的色散关系作为研究等离子体不稳定性以及其它众多集体运动现象的基 础，一直是等离子体物理学中的研究重点。 1 2 简并等离子体简介 按照一般性的观点1 2 】，自然界和实验室等离子体可以按照系统的宏观量( 密 度”、温度r 等) 分成经典的、简并的和相对论性的( 如图1 1 ) 。 当等离子体的温度很高时，其中粒子的热速度可以达到相对论效应出现的 地步。相对论与非相对论等离子体间的界限大约可划在o 5 m e v 仁1 0 9 k ) 左右。 经典和简并等离子体问的界线由艮：r 来确定，其中廓：鱼笙攀为 z ，吃 系统的费米能。当t e 。时，等离子体原则上应该出现简并效应，相应的等离 子体宏观体系将服从费米一狄拉克统计。但当t e 时，大部分电子将处在费 米面以上的连续能谱带中，等离子体仍然满足玻尔兹曼统计。 理想和非理想等离子体间的边界由r = p 2 h 垆来确定。当等离子体处于经典、 非相对论状态下时，保持温度不变增加等离子体密度就能使等离子体从理想态 变成非理想态：当等离子体处在量子非相对论状态时，代表粒子平均动能的不 是温度而是费米能e ，保持温度不变增加等离子体密度反而会使等离子体从非 理想态变成理想态【3 j 。 简并等离子体与经典等离子体存在巨大的差别。首先，简并等离子体是稠 密等离子体，其密度一般高于1 0 ”c m 3 【2 1 ，而温度相对经典等离子体为低。其 次，简并等离子体中代表粒子平均动能的不再是温度而是费米能艮，粒子服从 费米一狄拉克统计，相应的动力学方程都要得到修正【3 】。其三，在费米简并等离 子体中，许多物理过程，比如碰撞、轫致辐射、逆轫致辐射和康普顿散射的发 生概率都大幅降低【4 5 】。 完全或部分简并等离子体大量存在于星球体内嘲，金属和半导体内7 1 ，聚变 反应堆和激光打靶中【8 1 ”。由于简并等离子体的独特性质，大部分研究经典等 2 第1 章绪论 离子体的理论都变得不再可靠。可见，研究简并等离子体是对等离子体科学与 技术深入发展的必不可少的补充。 g 譬l o i 皇童( 姗j 图1 1 等离子体按温度和密度的分类。( 来自等离子体和流体) 1 3 等离子体的描述方法 目前，等离子体物理中常用的基本描述方法大概有单粒子轨道理论、等离 子体动力论方法和磁流体动力学方法。 1 3 1 单粒子轨道理论 如果忽略等离子体粒子之日j 的相互作用，把等离子体看成大量独立的带电 粒子的集合，从单个带电粒子在电磁场中的运动方程出发，求得单个带电粒子 在电磁场中的运动轨道来描述等离子体，这就是单粒子轨道理论。 单粒子轨道理论特别适用于稀薄等离子体，这时粒子密度很低，粒子间的 相互作用可以忽略此外，单粒子轨道理论可以给出在各种复杂的、接近真实情 况的电场和磁场中带电粒子的运动轨迹。也就是说，单粒子轨道理论虽然不能 直接给出等离子体行为，但却是进一步讨论粒子日j 相互作用对等离子体行为影 3 第l 章绪论 响时的零级近似，也即在理论上进一步分析和讨论实际问题、复杂行为的出发 点3 1 。其优点是简单直观，物理图像清晰。 1 3 2 磁流体力学方法 磁流体力学是研究导电流体在电磁场中运动规律的一种宏观理论，这种理 论最初是2 0 世纪4 0 年代研究天体物理的过程中发展起来的，5 0 年代以后，由 于受控热核反应的研究而得到进一步的发展。 当等离子体粒子间的相互碰撞非常频繁，以至其平均碰撞自由程远小于所 研究问题的特征尺度，我们可以把等离子体看成流体，同时可以借用流体力学 来描述这种等离子体。 磁流体力学就是把流体力学与电动力学结合起来描述磁场中导电流体运动 的一种理论，在流体力学方程中加上电磁作用项再与麦克斯韦方程组联立，就 构成了磁流体力学方程组。等离子体能够自由地传导电流且具有非线性相互作 用，对等离子体较大范围的运动( 在这个范围内等离子体中各组份粒子团的运动 没有差别) 可用磁流体力学的方法加以研究。朗道指出【1 2 1 ，等离子体中各组份( 电 子和离子) 各自达到平衡的麦克斯韦分布，要比各组份之间的热交换快得多。因 此可假设电子和离予是单独的互相渗透的流体，即双流体力学近似，这样可得 到等离子体的双流体力学方程组。因此磁流体力学描述可分为磁流体模型和双 流体模型两种物理模型。 流体力学描述有求解方便，物理图像清晰等优点，但是它只是一种近似的 描述方法，只在某些精度范围内有效。在热运动重要的情形中，等离子体中的 现象应从更微观的角度出发来进行研究。比如波与粒子相互作用、朗道阻尼、 波的微观不稳定性等就不能以等离子体流体近似来处理。 1 3 3 动力论方法 等离子体是大量运动着并相互作用的粒子的系综，所以严格的处理方法是 统计方法等离子体动力论是等离子体非平衡态的统计理论。它的任务是从微观 粒子运动的观点出发，用统计的方法研究分布函数的演变和宏观的不可逆过程， 在求出粒子分布函数后，对所有粒子的微观量经过统计平均得到宏观量( 密度、 温度等) ，从而把宏观理论中所出现的一些输运系数与物质的微观结构联系起 4 第1 章绪论 来。其基础是微观粒子的分布函数及它的演化方程。 从动力论的观点出发，可以讨论等离子体中的波动现象、朗道阻尼、微观 不稳定性、驰豫过程和输运过程等。h a s e g a w a 曾经指出，v l a s o v 方程和m a x w e l l 方程是描述等离子体集体行为最有效的方法【1 引，可见动力论描述适用性最广的 一种方法。但是动力论也是表述最复杂，求解最困难的方法。 最终，研究过程中究竟采用哪种方法描述，要视具体情况而定。 1 4 等离子体色散关系的动力论描述基础 从理论角度来看，对等离子体的基本描述是物质的动力论。我们定义一个 位置、动量、时间的函数f ( p ，r ，t ) ，使f d r d p 是坐标和动量空间内中心位于点 ( p ，r ) 上的六维体积元d r d p 内找到粒子的几率。这样，可观测到的等离子体的 一些性质就可以通过这个函数f ( p ，r ，f ) ( 即分布函数) 取各种速度矩而得到。 确定分布函数的方程中做动力论方程。动力论方程的最一般表达式为 盟+ v 盟+ f 盟：( 盟) 。 ( 1 1 ) 西卉 a p 、西“ 等式右边的项为碰撞项。当碰撞起主要作用时，磁流体力学方程就成立；单粒 子轨道理论等价于无碰撞动力论方程所作的描述。尽管我们经常可采用较简单 的理论，但在许多场合下，只有动力论描述才是合适的。因为在导出流体方程 时把微观扰动量平均掉了，而在单粒子轨道理论略去了集体效应，故只有动力 论才包含了等离子体动力学的这些重要方面。 由于库伦碰撞截面随粒子相对速度的增大而迅速减小，动力学方程中的碰撞 项可以忽略，简化为伏拉索夫方程，这种情况下流体力学近似就不再适用了。更精 确的研究等离子体振荡需要以动力学方程为基础并与适当的电磁理论相结合 【1 4 】。在等离子体的伏拉索夫理论( v l a s o v m a x w e l le q u a t i o n ) 中，等离子体粒子 产生的微观场由粒子在该空间点产生的平均场所代替，且计算的是等离子体粒子 的分布函数，以便与该平均场自洽。以这种模型建立起来的伏拉索夫方程能够在 远小于两体碰撞的时间间隔内正确描述等离子体的行为。等离子体理论的许多 进展都是建立在求解线性化的伏拉索夫方程的基础上的，并以此考察作为平衡态 附近扰动而传播的小振幅等离子体波的性质。 5 第1 章绪论 1 4 1 等离子体中的电磁场方程 等离子体是一种介质，其内部源和外部源都会诱发电磁场；同时电磁场也 会使等离子体产生感应电荷和感应电流，从而改变粒子的运动和分布。这最终 将导致场与带电粒子的“自洽”。 在介质中，通常的麦克斯韦( m a x w e l l ) 方程组为： v e = 4 石( p + p o ) v 肚丢詈 v b = 0 v 。b ：三票+ 塑( j + j o ) c 讲c ( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 式中p o 和j 0 是外场源的电荷密度和电流密度。由电荷守恒定律，我们可以得到 岛和j o 以及感应电荷p 和感应电流j 分别满足连续性方程： a ( p _ + p o ) + v ( j + j 。) = 0 ( 1 6 ) 研 在此，引进电位移矢量d 是方便的，定义为 d ( t ，r ) = e ( ，r ) + 4 7 rf d o ( t ，r ) ( 1 7 ) 利用这个定义和连续性方程( 1 6 ) 式，并考虑到磁矩在快变场情况下没有明确 的物理意义，我们可以消去麦克斯韦方程中的感应电荷和感应电流。于是，以 下一套方程对等离子体而言是合适的： v d = 4 刀 p o ( 1 8 ) v x e = - 三塑 co t v b = 0 v 加；詈+ 等五c 讲c ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) 在等离子体介质中，交变场的变化时标往往小于介质的特征驰豫时标，介 质的状态不仅取决于时刻f 的场，而且也依赖于以前时刻的场；另一方面，由于 场在空间的变化，远点场对给定空间点的介质电磁性质亦有影响。因此，本构 方程表示了场e 和d 的一种非局域的关系。在线性电动力学框架内，这种一般 6 第1 章绪论 的非局域关系为 口( r ，f ) = l d f ，j d r 勺。一t ，r - r ) e j ( r 7 ，t ) ， ( 1 1 2 ) 式中张量毛o t ，卜r ) 为响应函数，描述介质对电磁响应的性质。它对时间和 空间宗量( f f ，卜r ) 的依赖形式，是考虑到介质的时间和空间均匀的结果。研 究任何具体介质模型的中心问题就是要找到这个响应函数的明确表达式。 因此，在等离子体介质中，场方程( 1 8 ，1 9 ，1 1 0 ，1 1 1 ) 、本构方程( 1 1 2 ) 、 电荷连续性方程( 1 6 ) 以及( 1 7 ) ，便是一套适合与我们研究目的的麦氏方程 组口。 1 4 2 等离子体的复电导率张量与介电张量 类似于( 1 1 2 ) 式，我们可以引入感应电流的本构方程 z ( r ，) = 帕d ，p 7 q ( ，一，：r - r i ) 易( r ：，) ， ( 1 1 3 ) 同样，q ，o 一，卜r ) 为另一种形式的响应函数。 假定介质中的电磁场可以写成以下平面单色波的叠加 e ( t ，r ) = e ( m , k ) e x p ( - i w t + 疏r ) ( l 1 4 ) 对( 1 1 2 ) 的电矢量场进行付里叶变换，可得 z ( ，k ) = l d t p q ( r f tr r r ) e x p 一泐。一f ) 一k ( r - r ) 】日( 峨k ) 作代换= t - t 7 ，q = 卜r 7 ，则上式可改写成 z ，k ) = fm 1 阻气( ，毛) x e x p 一f 毗一k l 】弓( 峨k ) ( 1 1 5 ) 于是，我们可以立即得到以下关系 z ( ，k ) = o j ( o j ，k ) e ，( o j ，k ) ( 1 1 6 ) 其中 巴( ，k ) = d t ij d i ( ，r o e 嘶4 ( 1 1 7 ) 称为复电导率张量。 同样，通过类似的方法，从( 1 1 2 ) 式我们可以获得 口( 彩，k ) = 毛( ，k ) e ，( 珊，k ) ( 1 1 8 ) 7 第1 章绪论 其中 6 u ( o j ，k ) = f 戤d r l 毛( ，i ) 旰 称为复介电张量，它对频率的依赖关系表征时间色散， 则表征空间色散。 复介电张量与复电导率张量的满足以下关系式 毛( 国，k ) = 磊+ i 4 7 r i ( ，k ) 1 4 3 非相对论性等离子体的分布函数 ( 1 1 9 ) 对波矢k 的依赖关系 ( 1 2 0 ) 等离子体是由作随机热运动的带电粒子构成的。为了描述这种运动，我们 必须引入表征各组元( 电子、离子、中性粒子) 温度的乃和表征全部粒子平均 温度的t 两个概念。如果瓦；t ，则等离子体是各向等温的。但是，在更多情 况下，等离子体是部分热平衡的。各种组元有各自的温度，仅满足自己同种成 分粒子的热平衡分布。 如果粒子的温度足够高，则粒子将按麦克斯韦分布( 以动量儿表述) 从儿卜面衰驴e 砸一磅) ( 1 2 1 ) 其中，口用以区别各种组元，表示玻尔兹曼常数，m a ，分别为粒子的质 量和密度。能量使用了两个参数来描述：欺表明单个粒子的热运动能量，表 示口组元的平均能量。 当等离子系统费米能量高于热能 ：岳2 m ：型2 m 竽抛b 2 2 ， ，口口 时m ，费米简并粒子的半自旋变得重要，粒子将不再满足麦克斯韦分布，而必须 以费米狄拉克分布取而代之。 讹，5 南州篆轰r 2 ， 2 南脚c 气争m 1 其中，p p = = n l a v f a = ( 3 i t 2 ) 班壳，是费米球面的动量，j l = 2 兀为普朗克常数。 第1 章绪论 不等式( 1 2 2 ) 要求等离子体是低温高密度的，在这种简并等离子体中，瓦作 为衡量随机热运动粒子能量的概念将变得不那么重要1 1 4 4 伏拉索夫方程及等离子体的色散方程 在( 1 1 ) 式中，取碰撞项为“0 ”，则可得方程 篮+ v 丝+ f 篮：0( 1 2 4 ) 研 打 印 这就是著名的伏拉索夫方程。这个方程只适用于无碰撞的等离子体或所研究问 题的特征尺度远小于碰撞自由程的情况。式中洛伦兹力 ：p ( e + 二b ) ，(125)f 2 5 = ( e + 二b ) ， ( 电磁场与分布函数紧密耦合。 现在，我们来研究等离子体中关于波的频率与波矢k 之间的函数关系式， 即色散方程。如果等离子体是无耗散的，则m 和k 都是实的，介电张量毛( m ，k ) 也是实函数；否则，它们都是复函数。 当不存在外部场源时，假定麦克斯韦方程组( 1 8 ，1 9 ，1 1 0 ，1 1 1 ) 有非 零解，且各个场量e x p ( 一i ( a t + i k r ) ，我们可以把麦氏方程写为 【k b 】，= 一旦( 珊，k ) e ， k b = 0 ， k x e = 竺b ， k , 8 , j ( o ，k ) e ，= o ( 1 2 6 ) 消去磁场b ，容易推得 【_ i 2 磊一毛一罢；毛( 国，k ) 】弓= o ( 1 2 7 ) 这个方程有非零解的条件是 忙旧如号8 , a o , k ) i o 2 这就是等离子体的一般性色散方程。联立分布函数、伏拉索夫方程和一般性色 散方程，可以考虑各种具体情况，求得不同等离子体中的色散关系。 9 第1 章绪论 1 5 等离子体中的波及其色散关系的研究进展 波动是普遍的物理现象，人们正是通过认识介质中的波动现象了解它的各 种性质和状态。等离子体是波动现象最典型的载体。等离子体介质的特点就是 它能与电磁场相互作用，是一种电介质。研究等离子体中的波具有重大的现实 意义，是等离子体研究的基础领域。首先，等离子体中许多现象与过程的机制 都与其中的波和不稳定性有关。其次，等离子体波是一种诊断手段，可以用它 来探测等离子体的各种参数。再次，高强度的波还可用于等离子体的加热、电 流驱动等。此外，电磁波在电离层中传播和反射的知识对保证和改善无线电通 讯的质量至关重要。这些都使得等离予体波的研究成为等离子体物理中的重要 组成部分。 等离子体波动是等离子体粒子的一种运动形式，它的特点由等离子体本身 的性质和它所处的物理条件所决定。在等离子体中，存在着三种不同的力：热 压力、静电力和磁力。它们对于等离子体粒子的扰动都起着准弹性恢复力的作 用。因此，等离子体中的波动现象比普通介质中的波动现象丰富得多。等离子 体波按扰动波场的幅度可大致分为线性波和非线性波。等离子体线性波理论作 为研究等离子体中非线性波及其他理论分支的基础，具有普遍性和简单性的特 点。本文主要研究等离子体线性波的色散关系。 1 9 2 6 年，彭宁( p e n n i n g ) 首先提出了“等离子体振荡”的概念，这种振荡 仅以电子等离子体频率进行，在零温等离子体极限下不传播。1 9 2 8 年，汤克斯 和朗缪尔等人对这种振荡给出了详尽的研究【”l 。1 9 6 4 年，马尔姆贝格和华顿用 实验证实了电子等离子体波的存在，考察了电子等离子体波的色散关系，提供 了这些波的朗道阻尼的存在证据【l6 】。此外，利特尔、八田与佐藤得到了离子声 波色散图的实验结果【m 。有关非磁化等离子的色散关系，f fc h e n 1 8 】和马腾才3 】 等人的专著中都进行了详尽的流体理论描述。 在等离子体波动理论中做出第二个最重要贡献的是阿尔芬。1 9 4 2 年，他发 现如果把磁力线描述成张力作用下的弹性弦，那么应存在类似于弹性波的磁流 体力学波( 阿尔芬波) 。1 9 5 9 年以来，威尔科克斯及其助手们在一系列实验中 观测到了等离子体中的阿尔文波1 1 9 1 。斯迪克斯与帕拉第诺作了第一批实验，发 现了离子回旋波的存在证据1 2 0 l 。可见，有磁场时等离子体是各向异性的，其中 的波动模式要复杂得多。在磁流体中除热压强外，磁场也会产生侧向的压力称 1 0 第1 章绪论 为磁压，在这两种压力作用下形成的波动模式称为磁声波，有快、慢之分。此 外还有离子和电子的回旋波，以及哨声波等等。克拉尔【2 1 1 把磁化等离子体中的 波按平行于外磁场的波和垂直于外磁场的波分为两类，作了详尽的分析。 近来，用流体理论来分析等离子体色散关系已经变得不够可靠，用动力论 方法来进行补充和修正成为现实可行的途径。特别是数值计算盛行的今天，动 力论的复杂性得到了最大限度的缓解。1 9 8 4 年，a l e x a n d r o v 等l7 1 以动力论方法详 细推导了非相对论性等离子体的分段解析色散关系。1 9 8 0 年，m i k h a i l o v s k i i 建 立了相对论性玻尔兹曼分布等离子体的色散关系模型【2 2 】，并得到了极端相对论 条件下近似求解的色散关系，但在接近相对论的范围内却无法获得解析的色散 关系。其后陈辉、陈约奇等【2 3 2 4 , 2 5 1 用数值计算的方法，填补了这个空白区域的色 散曲线，并拟合得到了相对论性玻尔兹曼分布和费米分布的色散关系。 s c h l i e k e i s e r l 2 6 1 和m c o r i s t 2 7 1 分别独自数值求解得到了关于纯电子等离子体( o c p ： o n e - c o m p o n e n te l e c t r o np l a s m a ) 的具有回旋线型的色散曲线。这曲线包含了解析 近似结果，也得到了解析方法无法求得的部分，比解析近似的色散曲线更为完 整。 综观近期的各种报导，等离子体中低频波的研究都未得到足够的重视。其实， 在较低频的领域，离子将参与振荡，离子的贡献变得十分重要，离子和电子都 将对低频波产生重要的影响。因此，等离子体不能再被看作是仅有一种成分的 纯电子等离子体( o c p ) 。 a l e x a n d r o v 提出的结果以及流体理论的研究使我们深信：在低于离子等离 子体频率的区域，除离子等离子体波和离子声波外，可能还存在丰富的其它振 荡。但这种振荡的色散关系是无法解析得到的，必须通过数值计算的方法求解 动力学方程来得到。本文试图在等离子体色散关系的完整性以及振荡模式多样 性上做些力所能及的工作。 1 6 论文的主要工作 为了给研究等离子体不稳定性、电离层中电磁波的吸收与传播、等离子体 诊断和惯性约束核聚变中的非线性过程提供理论基础，本论文致力于进一步细 致、完整地研究等离子体的色散关系，修正一些近似的解析理论，分析一些参 数对等离子体色散性质的影响。 1 1 第1 章绪论 温度非常低而密度非常高的一类等离子体一般认为处于简并状态。在动力 论中，这种等离子体常常以费米一狄拉克分布函数来描述。简并等离子体具有许 多区别于经典等离子体的性质，在研究简并等离子体时必须考虑费米能e 。、粒 子间的耦合、各种状态参数的相互关系等问题。这些问题是复杂的，但又是非 常重要的，当然本文也只能顾及到其中的一两个方面。 本文较全面的考虑了简并等离子体中电子和离子在波动过程中所引起的效 应，建立了更为完善的物理模型，推导了包含电子和离子贡献的色散方程。这 个色散方程是复杂的，无法得到有效的解析解，文章借助了现代计算机强大的 计算功能来进行数值计算，最终得到了较完整的色散关系。 论文的基本结构如下： 绪论主要介绍了简并等离子体的概念以及与经典等离子体的异同，同时介 绍了动力论等离子体色散关系的理论基础和一些前人的研究成果及进展。 第二章，考虑了温度趋于零的时候，费米分布函数退化为阶跃函数的情况 下，等离子体的纵振荡色散关系。文中求解出了一些解析近似的结果，并数值 求解得到了较完整的色散曲线，这些不仅能与a l e x a n d r o v 的理论结果相吻合， 还填补了a l e x a n d r o v 理论的空白区域。此外，文章还对数值计算得到的色散曲 线作了拟合，得到了这种情况下色散关系的简单表达式。 第三章，基于离子成分的两种状态分布函数，采用动力学研究方法，分别 推导了非相对论简并和半简并等离子体中纵波与横波的色散方程。数值分析了 电子温度、电子一离子温度比、等离子体密度等对非相对论等离子体色散关系的 影响。比较了完全简并与半简并等离子体的区别与联系。 第四章，从相对论性洛伦兹方程出发，利用微扰理论，推导得到了弱磁化 相对论性正负电子等离子体中的扰动流。将扰动流代入麦克斯韦方程，本文得 到了能描述弱磁化正负电子等离子体中横波和纵波的两个一般性色散关系。分 析这两个色散关系，在非相对论近似情况下，可以得到与非相对论性正负电子 等离子体一致的结果。 论文的最后一章为我们所做的工作做了一个简要的总结，提出了对今后工 作的展望。 第2 章零温等离子体纵振荡色散关系的研究 第2 章零温等离子体纵振荡色散关系的研究 2 1 引言 金属等离子体、半导体中的电子空穴等离子体在低温、高密度时都是简并 的1 7 j ，粒子的平衡分布可以用f e r m i d r a c 函数来描述。但是，因为密度很大( 金 属1 0 2 1 c m 3 ) ，从而使系统的费米能级很高，同时温度又很低( 金属 k 瓦 ( 2 1 2 ) 式中，占= z2 m o 为粒子的动能，m a 、t 。分别为口- 粒子( 电子或离子) 的质 量和温度，、矗分别为玻尔兹曼常数和普朗克常量。 在疋一o k 时，分布函数退化为阶跃函数 r 允( p ) ：i - , 2 磊, 3 。，扩占 ( 2 1 3 ) 【0 ，f 占 在此，分布函数仍然要满足归一化条件 i 工。却= ( 2 1 4 ) 于是( 2 9 ) 、( 2 1 0 ) 两式中规则分布函数对能量的偏微分 卺一丽2 一) 晓1 5 ) 将( 2 1 5 ) 式代入( 2 9 ) 式，并利用一般性的纵色散方程【1 4 】：r e 簟= 0 ，我 们得到各向同性简并等离子体中纵振荡的色散方程( 横振荡的色散关系较为简 单，在此不作进步的研究，后文中将会略为提及) 1 5 第2 章零温等离子体纵振荡色散关系的研究 础) _ l + a 筹 f a ( ，一赤m 瓦a 7 + k v r a 瑚 晓 通过解这个方程，就可以得到纵振荡频率与波数k 的关系。 2 3 近似的解析色散关系 方程( 2 1 6 ) 是一个较复杂的超越方程，其精确的色散关系无法解析求得。 以下我们将在某些极限情况下，作一些允许的近似，来求得一系列类似于 a l e x a n d r o v 7 1 的近似解析结果。 首先，在快波情况下，波的相速度远远超过电子和离子的费米速度： 珊 v p 2 i v & ，v f 1 方程( 2 1 6 ) 变为 矿( 础) ：l 一譬( 1 + ；尊) ：o ( 2 1 7 ) t o) 埘 这里，我们略去了离子项，因为只有当7 ： t 砰谚时，离子项的贡献才有意义。 也就是说离子温度要比电子温度高六个数量级以上时，才有必要计入离子项。 因此在快波情况下，等离子体可以看成是纯电子等离子体，离子只起维持等离 子体准电中性的作用。 考虑到* 国，并且用8 k 取代( 2 1 7 ) 式最后一项中的口，可以得到色散 关系式 2 = ( 1 + _ ；1k 2 嗑) ( 2 1 8 ) 其中，磕= 。21 ( 0 ，2 。这个色散关系类似于非简并等离子体中的朗缪尔波忉 并局限于| j 2 伉2 1 的情形。 但是( 2 1 s ) 式表述的简并等离子体电子振荡与朗缪尔波有本质区别。由 于简并等离子体粒子满足费米分布，粒子的热速度不可能超过费米速度，也就 是说粒子无法参与契伦柯夫过程，因此简并等离子体高频电子振荡在无碰撞等 离子体中是无阻尼的【刀。但是，朗缪尔波却受到朗道阻尼，虽然这个阻尼可能 非常小。 1 6 第2 章零温等离子体纵振荡色散关系的研究 其次，当| 2 r l 1 时，( 2 1 6 ) 式可取为 = k v f 。 1 + 2 e x p ( 一_ 。l k 2 伍2 2 ) 】 ( 2 1 9 ) 这就是著名的“零声波”，是简并等离子体电子振荡在短波长领域的延伸。 最后，在慢波情况下，波的相速度介于电子费米速度和离子费米速度之间， v f | v p 2 i v m 此时，方程( 2 1 6 ) 中离子项不可忽略。于是，方程可写为 出础h + 蔫o + r 毒一争。 眨z 在这种情况下，我们得到以下色散方程 矿2 赢2 ( 2 2 1 ) 这时电子在契伦柯夫吸收中起主要作用，因为电子的随机热速度总是大于波的 相速度，而离子速度则相对太小。因此，此时的阻尼率只由电子决定。这种低 频振荡，类似于非简并等离子体中的离子声振荡，可以叫做简并等离子体的离 子声波。离子声波不仅存在于完全简并等离子体中，还会存在于电子简并但离 子不简并的等离子体中，并且( 2 2 1 ) 式依然保持不变。 为了利于与后面的数值计算结果比较，我们采用一致的无量纲参量： q ：旦，k ：k v f e ，m ：堕，z _ 1 ( 2 2 2 ) m t 其中吒= 为电子等离子体频率，z 为原子序数，在此把离子取作质子 来简化运算。 于是( 2 1 8 ) 、( 2 1 9 ) 、( 2 2 1 ) 可以改写成无量纲的色散方程： 如+ ；5 k 2 j q = x 1 + 2 e x p ( 一2 3 r 2 - 2 ) 】，k 2 ；j ) q 2 = m ( i + 3 k 。2 、一1 1 7 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 睁 第2 章零温等离子体纵振荡色散关系的研究 根据这三个方程可以画出类朗缪尔波色散曲线( 图2 1 实线) 、零声波色散曲线 ( 图2 1 短画线) 、离子声波色散曲线( 图2 1 点线) 。显而易见，这三支曲线都 要满足一定的极限条件，相互不能连续，但又有明显的内在联系。图1 1 中低 频波部分看起来似乎是条直线，实质上是条指数增长的曲线。由于离子等离子 体频率比电子等离子体频率小得多，低频波的频率都低于离子等离子体频率， 而朗缪尔波频率却大于电子等离子体频率，因而在同一张图中无法有效的显示 出低频波曲线弯曲程度，从而造成了这种假象，这可以从下面的图1 3 来验证。 a 圈2 1 解析的近似色散关系，包含类朗缪尔波( 实线) 、 零声波( 短画线) 和离子声波( 点线) 。 2 4 零温等离子体纵振荡色散关系的数值计算 以上