（计算数学专业论文）微分方程的一些数值迭代解法.pdf

且姐地l 固熊 a b s 仃a c t t h i st h e s i sc o n s i s t so ft h r e 皓c h a p t e r s i nc h a = p t e ro n e , w eg i v es u r v e yo ft h en u m e r i c a l m e t h o d sf o rs o l v i n gt h ed i f f u s i o ne q u a t i o ns u b j e c tt ot h es p e c i f i c a t i o no fm a s s , n u m e r i c a lm e t h o d s c o m b i n i n gt h en u m e r i c a ls o l u t i o n so f t h ee q u i v a l e n ti n t e g r a le q u a t i o n sw i t ht h eb a c k w a r di m p l i c i t f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d , an u m e x i c a ls c h e m e sf o ro b t a i n i n gp a d ea p p r o x i m a n ts o l u t i o n st ot h ei n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o ro n e - d i m e n s i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hn o n - l o c a lb o u n d a r yc o n d i t i o n ， a n de f f i c i e n tp a r a l l e lt e c h n i q u ef o ro n e - d i m e n s i o n a lt i m e - d e p e n d e n td i f f u s i o ne q u a t i o nw i t ht w o n o n - l o c a lc o n s t r a i n t s w ei n c l u d et h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n dab r i e fi n t r o d u c t i o no fd i f f u s i o n e q u a t i o n i nt h es e c t i o n1 4o ft h i sc h a p t e r , h e r ew ep r o p o s eap e n a l t ym e t h o df o rs o l v i n gt h e d i f f u s i o ne q u a t i o ns u b j e c tt ot h es p e c i f j c a t i o no fm a s sa n do b t a i ns o m ee r r o re s t i m a t e s w ea l s o p r e s e n ts o m en u m e r i c a lr e s u l t s i nc h a p t e rt w o ，w ep r o p o s e daf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o da n da ni t e r a t i v em e t h o df o rt h e l - s h a p ed o m a i nb a s e do l lt h ed o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d w eu s et h ec o a r s em e s ho nt h e i n t e r f a c ea n df i n em e s hi nt h et w od o m a i n s w ed e r i v et h ea t t o re s t i m a t e sa n dh a v ep r o v e do u r i t e r a t i v ea l g o r i t h mh a sab o r e rc o n v e r g e n c er a t et h a nt h es t a n d a r dm e t h o d i nc h a p t e rt h r e e ，w ei n t r o d u c e dt h ei t e r a t i v ep e n a l t ym e t h o df o rt h es t o k e se q u a t i o n s w e c o n s t r u c tt h ei t e r a t i v ep e n a l t ya l g o r i t h mt oa l l o wt h eu s eo fn o tv e r ys m a l lp e n a l t yp a r a m e t e r w e p r o v et h ee l t o re s t i m a t i o na n dp r e s e n t e ds o m en u m e r i c a lr e s u l t s t os u p p o r to u ra n a l s i s a c k n o w l e d g e m e m s f i r s ta n dm o s to fa l li 枷g r a t e f u lt om yh o n o r a b l es u p e r v i s o r r o f c h e n gx i a o - l i a n g , w h o s eo v e r w h e l m i n gh e l p ，s u p p o r ta n de n c o u r a g e m e n ts u p p o r t e dm et h r o u g h o u tm yp h d s t u d y h i ss t i m u l a t i n gs u g g e s t i o n sa n de n c o u r a g e m e f f t sh a v eb e e no fg r e a tv a l u ef o rm ea n da l s oh i s v a l u a b l eg u i d a n c em a d em eh a r dw o r k i n ga n dc r e a t e di n t e r e s ti nt h ea r e at h a til o v e h eh a sp r o v i d e d m ew i t hi n v a l u a b l eg u i d a n c ed u r i n gt h ew h o l ep r o c e s so f m yr e s e a r c ha n dim v e r yg r a t e f u lf o ra l lh i se f f o r t sa n d f o r t h e t i m e h e h a s g i v e n t o m e ia u lf e e l i n gm y s e l fl u c k yf o rt h ew o n d e r f u lr e s e a r c he n v i r o n m e n ta n do p p o r t u n i t i e st h a ti e n j o y e du n d e rh i s “n ds u p e r v i s i o n i na d d i t i o nt ot h i sia l s oe n j o y e da n dl e a r nal o tf r o mm y h o n o r a b l es u p e r v i s o rd u r i n gs p e c i a lt o p i cc l a s s e so nm u l t i 鲥d ，i t e r a t i v et e c h n i q u e sf i n i t ee l e m e n t m e t h o d st h e o r ye i 【c i tw a sa l w a y sag r e a tp l e a s u r ef o rm et os i ti nh i sc l a s s e sa n dg e ti n s p i r e df r o m h i sp e r s o n a l i t ya n dr e s e a r c hp a t t e r ni nc o m p l i c a t e dm a t h e m a t i c a lp r o o f s 1w o u l dl i k et ot h a n ka l lo fm yc l a s s m a t e s f r i e n d sa n dc o l l e a g u e sw h os h a r l x lw i t l lm et h e i r k n o w l e d g ea n dw c i ea l w a y sr e a d yt oh e l pm ei nt i m eo fn e e d 1w o u l dl i k et om e n t i o nm ys p e c i a l t h a n k st om yc l a s s m a t e sa n df r i e n d sm r x i a o z h eh u ，m r x uc - u a n j u na n d 胁x i a o f e n g l i n g ，w h o g i v e nm et h e i rp r e c i o u st i m ef o rd i s c u s s i o n sa n dh e l p e dm eal o td u r i n gm ym s e n r c hw o r k i 锄a l s o t h a n k f u lt oa l lo f m yf r i e n d sw h om a d em ys t a yi nc h i n ae n j o y a b l ea n dp r o d u c t i v e ia mt h a n k f u lt om yb r o t h e r sa n ds i s t e rw h oa l t h o u g hf a ra w a yf r o mm ew 雠a l w a y sw i t hf i l e a n dp r o v i d e dm e 仇埠a n da ne n o r m o u se n c o u r a g e m e n ta n ds u p p o r tt op u r s u em ys t u d ya b r o a d a tt h ee n di 锄g r a t e f u lt oa l lo ft h ep e r s o n a l i t i e so ft h ed e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c sa n d c e n t e ro f m a t h e m a t i c sa n ds c i e n c ew h oh e l p e dm ed i r e c t l ya n di n d i r e c t l yi nm yr e s e a r c h c h a p t e r 1 t h e b o u n d a r yp e n a l t ym e t h o d f o rt h e 一盹s i o n l u a t i cs u b j e c tt othe011s l o ne q u a t l o ns u de c tem s p e c i f i c a t i o no f m a s s i nt i f f sc h a p t e rw e g i v eab r i e fi n t r o d u c t i o no fd i f f u s i o ne q u a t i o na n dt h eb a c k g r o u n dm a t e r i a l r e l e v a n tt ot h i sr e s e a r c hp r o j e a i np a r t i c u l a r , i ti so v e r v i e wo ft h en u m e r i c a lt e c h n i q u e sf o rt h e d i f f u s i o np r o b l e m s i nt h es e 州o n1 4o ft h i sc h a p t e r , w ep r o p o s eap e n a l t ym e t h o df o rs o l v i n gt h e d i f f u s i o ne q u a t i o ns u b j e c tt ot h es p e c i f i c a t i o no f m a s sa n do b t a i ns o m ee = n t o re s t i m a t e s w eg i v es o m e n l m l e r i c a lr e s u l t s 1 1i n t r o d u c t i o n n u m e r i c a la p p r o x i m a t i o no fp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i s p e r h a p so n eo ft h em o s t d y n a m i c a l l yd e v e l o p i n gb r a n c h e so f n u m e r i c a la n a l y s i s i nt h i sa r e ao f m a t h e m a t i c a lr e s e a r c ht h e r ea r c m a n yd i f f e r e ms c i e n t i f i cd i s e i p l i n e s i ta t t e m p t se i t h e rt os o l v ee x i s t i n gd i f f i c u l tp r o b l e m so rt os e tn e w c h a l l e n g e s c o n t e m p o r a r yn u m e r i c a la n a l y s i s c o m b i n e si nac o h e r e n tw a yk n o w l e d g ef r o m m a t h e m a t i c s ，p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y ，a n dc o m p u t e rs o i o n c ei no r d e rt ot a c k l ep r o b l e m so f p r a c t i c a li n t e r e s t t h et y p i c a lp a t hi ns o l v i n gi n t e r e s t i n gp r o b l e m si nn u m e r i c a la n a l y s i ss t a r t sw i t ht h e f o r m u l a t i o no fab o u n d a r ya n di n i t i a lv a l u ep r o b l e m m o s t l yt h e s ee q u a t i o n sr e p r e s e n tm a t h e m a t i c a l m o d e l so f p h y s i c a lp h e n o m e n a m a t h e m a t i c a lm o d e l i n go fp h y s i c a lp r o c e s s e sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nm o d e r ne n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n s t h eo u t c o m e so ft h ep h y s i c i s t st h e o r i e sr e s u l t si nt h es o l u t i o no fs y s t e m so fp a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc o m p l e m e n t e db ys u i t a b l ei n i t i a la n db o u n d a r yc o n d i t i o n s t h en e x ts t e pi st o i n v e s t i g a t et h eq u a l i t a t i v eb e h a v i o ro f t h em a t h e m a t i c a lm o d e l sa n di t se x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t h es o l u t i o ns m o o t h n e s sa n ds oo n f r e q u e n t l yf o rf u r t h e ru n d e r s t a n d i n go fag i v e nm o d e lq u a n t i t a t i v e i n f o r m a t i o nf o rt h es o l u t i o ni sn e c e s s a r y i no r d e rt oo b t a i nt h i si n f o r m a t i o nt h ec o n t i n u o u sp r o b l e mi s a p p r o x i m a t e dw i t has i m p l e ro n eu s u a l l yad i s c r e t em o d e lt h ep r o p e r t i e so ft h ed i s c r e t em o d e la r e s t u d i e da n dt h ed i s c r e t ep r o b l e mi s s o l v e d u s u a l l yc o m p u t a t i o n s a r ep e r f o r m e do nap a r t i c u l a r c o m p u t e ra n dt h e r e f o r ec o m p u t e ra l g o r i t h m st h a tu t i l i z et h ep o t e n t i a lo ft h i sc o m p u t e r sa r c h i t e c t u r e m u s tb ed e v e l o p e d a ni n t r o d u c t i o nt ot h ed i f f u s i o n ( h e a t ) e q u a t i o n , a n db r i e fd e s e r i p t i o nt h em e t h o d sa p p l i e df o r d i s e r e t s z m t i o ni ns p a c ea n dt i m e a si nt h ed i f f u s i o ne q u a t i o n , i tm o d e l sh o wd i f f u s i o np r o p a g a t e s t h r o u g ham e d i u mo v e rt i m e a sam a t , 船o ff a c t , y o uc a nu s et h ed i f f u s i o ne q u a t i o nt od e s c r i b ea n y u n i tt h a ts p r e a d so u to v e rad e f i n e dr e g i o ni ns p a c ea n dt i m ei nam 赫c rc o n s i s t e n tw i t hd i f f u s i o n d i s p e r s i o n t h ed e v e l o p m e n to f h i g h - q u a l i t yf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d sf o rt h ed i f f u s i o ne q u a t i o ni so n e p a r to f a ne f f o r tt oc r e a t ead i s c r e t ea n a l o go f v e c t o ra n dt e n s o rc a l c u l u st h a tc a l lb eu s e dt oa c c u r a t e l y a p p r o x i m a t ec o n t i n u a lm o d e l sf o raw i d er a n g eo fp h y s i c a lp r o c e s s e s o n eo ft h ep r i m et a r g e t so f m a n ye f f o r t si nn u m e r i c a ls i m u l a t i o ni st h ec o m p u t a t i o no f t h es t e a d ys t a t e so f p h y s i c a lp h e n o m e n o n w h i c ha r eo f b e nm o d e l e db yp a r a b o l i ce q u a t i o n s i no r d e rt od i s e r e t i z eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o r t h ed i f f u s i o ne q u a t i o n s ，s e v e r a la p p r o a c h e sm a yb ea p p l i e d as o l u t i o no f t h ed i f f u s i o np r o b l e mi ss e t t ob e l o n gt ot h ec c l t a h lf u n c t i o n a ls p a c e t h cd i f f u s i o ne q u a t i o ni sm o s tc o m m o n l ye n c o u n t e r e di nd i s c u s s i o n so ft h ef l o wo fh e a ta n do f m o l e c u l e sm o v i n gi nl i q u i d s ，b u td i f f u s i o ne q u a t i o n sa r i s ef r o mm a n yd i f f e r e n ta r e , a so fa p p l i e d m a t h e m a t i c s o n eo f t h em o s tp o p u l a re q u a t i o n si nn u m e r i c a ls i m u l a t i o ni st h ed i f f u s i o ne q u a t i o na n d c o n s i d e r a t i o no f t h es o l u t i o n so f d i f f u s i o ne q u a t i o n s i ti sk n o w nb y 【6 ，暑，2 3 t h a tb e c a u s ec c r t a i nc h e m i c a l sa b s o r bl i g h ta tv a r i o u sf r e q u e n c i e s 1 1 1 e i n t e n s i t yo fs u c hl i g h to nap h o t o e l e c t r i cc e l lg i v e sa ne l e c t r i cs i g n a lw h i c h i sp r o p o r t i o n a lt ot h et o t a l m o u n to f c h e m i c a lp r e s e n ti nt h ev o l u m et h r o u g hw h i c ht h el i g h tp a s s e s s u p p o s eu ( x ，t ) d e n o t e st h e c o n c e n t r a t i o no fs u c hac h e m i c a lw h i c hi sd i f f u s i n gi nas t r a i g h tg l a s st u b ew i t hm e a s u r e dxi nt h e d i r e c t i o no f t h ea x i so f t h et u b e t h e nt h ee l e c t r i cs i g n a lp r o d u c e sb yal i g h tb e a mp a s s i n gt h r o u g ht h e t u b ea t t h er i g h t a n g l e s b e t w e e n 工= 0a n d 善= b i s p r o p o r t i o n a l t ol u ( x , t ) d x n i s i n t e g r a lr e p r e s e n t s ； t h et o t a lm a s so f t h ec h e m i c a li n0s xsba tt i m et 2 c o n s i d e r t h e p r o b l e m o f o b t a i n i n g t h e n u m e r i c a la p p r o x i m a t i o n t o t h ec o n c e n t r a t i o nu = u ( x ，t 1 w h i c hs a t i s f i e st h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( p d e ) 以= ， u ( x ，0 ) = 厂( x ) ， 以“r ) - 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