（计算数学专业论文）分形市场下的期权定价及其风险管理研究.pdf

摘要 在经济全球化的背景下，金融在中国经济中的核心地位进一步凸现。金融问题，将 是各国经济社会发展、改革、稳定必须谨慎处理的首要战略性问题，也将是世界大国间 竞争博弈、展现实力的战略性新领域。期权作为金融市场中的衍生证券之一，其理论的 研究，对于金融市场的发展和金融风险的防范有着极其重要的应用，在理论和实践上都 有重要的意义。 首先，文章对期权定价理论、金融风险的主要成果以及目前的研究热点进行了详尽 的介绍，深入阐述了课题的现实意义。接着，介绍了期权的有关概念及相关性质，从有 效市场理论优缺点出发，引出了基于非线性市场结构的分形市场理论，并与有效市场理 论进行比较，介绍了布朗运动与分数布朗运动的定义及相关性质。 其次，文章研究了标的资产服从分数布朗运动的分数随机微分方程解的一般形式及 其基本性质、分数b l a c k s c h o l e s 公式、分数b l a c k s c h o l e s 微分方程以及其对应的推广 形式，重点研究了基于分数布朗运动下的障碍期权定价和权证定价公式。 再次，文章基于风险思想和分形市场的期权定价理论，综述性的介绍了风险价值 ( v a r ) 法和重标极差法( 刚s ) 的基本原理、计算方法以及有关应用。 最后，文章特别地结合当前形势，针对由美国次贷危机引发的尚未见底、仍在蔓延 的国际金融危机。在汲取众多学者的优秀思想的基础上，借用数学的逻辑思维对美国次 贷危机发生的原因和启示进行了深入思考。 关键词：分形市场，分数布朗运动，分数随机微分方程，分数b l a c k s c h o l e s 模型， 金融风险管理，次贷危机 s t u d yo no p t i o np r i c i n g a n dr i s km a n a g e m e n ti nf r a c t a lm a r k e t l ip i n g ( c o m p u t i o n a lm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f w a n gz ir i n g a b s t r a c t a g a i n s tt h eb a c k d r o po fe c o n o m i cg l o b a l i z a t i o n ，f i n a n c eb e i n gt h ec o r eo ft h ec h i n a s e c o n o m yb e c a m em a r k e d f i n a n c i a li s s u e sw i l lb et h ep r i m a r ys t r a t e g i cp r o b l e mo fe c o n o m i c a n ds o c i a l d e v e l o p m e n t ，r e f o r m ，s t a b i l i t y i tm u s tb eh a n d l e dw i t hc a r e f u l o p t i o n sa r e d e r i v a t i v e so ff i n a n c i a lm a r k e t i t st h e o r e t i c a ls t u d ya r ei m p o r t a n ti nt h e o r ya n dp r a c t i c e i th a s a ne x t r e m e l yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o ni nt h ed e v e l o p m e n to ff i n a n c i a lm a r k e t sa n d p r e v e n t i n g f i n a n c i a lr i s k s f i r s t ，t h ep a p e rg i v ead e t a i l e di n t r o d u c t i o nf o rt h em a i nr e s u l t sa n dc u r r e n tr e s e a r c h f o c u so ft h eo p t i o np r i c i n gt h e o r y , a sw e l la sf i n a n c i a lr i s k s a n d e x p o u n dt h ep r a c t i c a l s i g n i f i c a n c eo ft h es u b j e c ti nd e p t h t h e n ，t h ep a p e ri n t r o d u c et h ec o n c e p ta n dn a t u r eo f o p t i o n s f r o mt h ea d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so ft h ee f f i c i e n tm a r k e tt h e o r y ( e m h ) ，t h e f r a c t a lm a r k e th y p o t h e s i s ( f m h ) w h i c hb a s e do nn o n l i n e a rm a r k e ts t r u c t u r eb ei n t r o d u c e da n d b ec o m p a r ew i t ht h ee m h t h e ni n t r o d u c et h ed e f i n i t i o na n dn a t u r eo ft h eb r o w n i a nm o t i o n a n df r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n n e x t ，t h ep a p e rs t u d yt h eg e n e r a lf o r ma n db a s i cp r o p e r t i e so ft h es u b j e c to ff r a c t i o n a l s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，w h o s eu n d e r l y i n ga s s e t s s u b j e c tt of r a c t i o n a lb r o w n i a n m o t i o n a n ds t u d yt h ef r a c t i o n a lb l a c k s c h o l e sf o r m u l a ，f r a c t i o n a lb l a c k s c h o l e sd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n dt h e i rd e d u c t i o n t h ep a p e rf o c u so nt h es t u d yo ft h eb a r r i e ro p t i o na n dw a r r a n t p r i c i n gf o r m u l au n d e rf r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n a g a i n ，t h ep a p e rg i v e sa no v e r v i e wo ft h eb a s i cp r i n c i p l e s ，c a l c u l a t i o nm e t h o d sa n a p p l i c a t i o no fv a ra n dr s ，a c c o r d i n gt ot h ei d e ao ff i n a n c i a lr i s k sa n dt h eo p t i o np r i c i n g t h e o r yo ff r a c t a lm a r k e t a sw ek n o w n ，t h ei n t e r n a t i o n a lf i n a n c i a lc r i s i s ，t h a tc a u s e db yt h eu ss u b p r i m em o r t g a g e i i c r i s i s ，i sn o ty e tb o t t o m e do u ta n ds t i l ls p r e a d i n g f i n a l l y , a c c o r d i n gt ot h ec u r r e n ts i t u a t i o n p a r t i c u l a r l y , t h ep a p e rc o n s i d e rt h ec a u s ea n dr e v e l a t i o no fi n t e r n a t i o n a lf i n a n c i a lc r i s i s i n d e p t hb ym a t h e m a t i c a ll o g i ca n dt h ee x c e l l e n ti d e ao fm a n ys c h o l a r s k e yw o r d s ：f r a c t a lm a r k e ，f r a c t i o n a lb r o w n i a nm o t i o n ，f r a c t i o n a ls t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，f r a c t i o n a lb l a c k s c h o l e sm o d e l ，f i n a n c i a lr i s km a n a g e m e n t ，s u b - p r i m em o r t g a g ec r i s i s i i i 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名： 彩滔 日期：年月日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印 刷版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门( 机 构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被查阅、 借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用影印、 缩印或其他复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签 指导教师签名： 日期： 日期： 年 年 月 月 日 日 中国石油人学( 华东) 硕士学位论文 1 1 选题的背景及意义 第一章绪论 在经济全球化的背景下，金融在中国经济中的核心地位进一步凸现。金融问题，将 是各国经济社会发展、改革、稳定必须谨慎处理的首要战略性问题，也将是世界大国间 竞争博弈、展现实力的战略性新领域。实践证明，金融发展能够显著促进经济增长，金 融安全是关乎国家安全的重大战略问题。特别是，在当前国际金融危机的持续加深更加 有力地证明研究金融的重要性。 期权是金融市场中的衍生证券之一。期权理论的研究，对于对金融市场的发展和金 融风险的防范有着极其重要的应用，在理论和实践上都有重要的意义。其意义主要表现 在以下三个方面【l j ：首先，期权定价模型继承并发展了资本市场的定价理论，抓住了期 权的本质特征，揭示了决定期权价格的主要经济变量，这为金融工具创新提供了强大的 理论支持；其次，期权定价理论的研究为投资者利用金融衍生工具规避投资风险奠定了 理论上和方法上的基础；第三，期权定价理论加速了现代分析型金融学的建立，促进了 金融市场的繁荣。 研究期权定价理论有利于创造符合我国特色社会主义市场经济的金融理论，有利于 我国金融市场与国际金融市场接轨，有利于参与国际金融市场竞争等实践活动。在我国 目前的金融环境和经济体制下，期权理论应用主要体现在以下四个方面【2 】：一是确定日 趋复杂期权的价值，并利用期权解决实际问题；二是在现实中发现和创造期权，从而创 造价值，以满足不断变化的市场投资需要；三是为期权定价并做出决策，防范金融风险； 四是利用金融创新完善和发展金融市场。 市场的有效性是金融市场效率研究中最重要、最核心的问题。近4 0 年来，有效市 场理论( e f f i c i e n tm a r k e th y p o t h e s i s ，e m h ) 在这一研究领域一直占据着主导地位。有效 市场理论是现代金融经济学的理论基石之一，也是金融工程学中的基础的、核心的问题， 其实质是刻画了资本市场有效运作的机制。自e m h 被正式提出后，近4 0 年来围绕e m h 的争论从来就没有停止过。伴随着研究的深入，以及非线性系统动力学的飞速发展，诸 如分形、混沌等理论。人们发现金融市场的波动具有许多复杂和有趣的特性，如价格波 动的分维特性，市场的混沌特性等等，而这些现象又远非传统有效市场理论所能描述的。 为此，建立在非线性动力学基础之上的分形市场理论( f r a c t a lm a r k e th y p o t h e s i s ，f m h ) 第一章绪论 就应运而生了，成为了研究期权定价的更可靠的途径。 金融体系在现代市场经济中的作用越来越大。尽管研究的方法越来越科学，研究的 范围越来越全面。但是，在现实世界中风险无处不在，成了影响一切金融活动的基本要 素。2 0 世纪9 0 年代以来的一系列金融危机，特别是正在发生的国际金融危机引入深思。 金融危机源自金融风险的积累与放大，很可能产生连锁反应，发生多米诺骨牌效应，使 金融体系受到根本性威胁和破坏，危及一个国家乃至世界的金融安全与经济安全【3 1 。能 否调整好金融结构，能否优化金融资源配置，能否防范开放中的金融风险已成为中国经 济能否可持续发展的关键性问题。 我国在发展和创新金融风险管理方面的压力日益增加。一方面我国通过3 0 多年经 济的飞速发展，金融体制改革不断深化，特别是最近两年开始的银行改革，使我国金融 体系和企业等对风险管理的需求日益迫切。另一方面，各国金融市场间相互依赖日趋明 显，金融产品应用同趋复杂，新型金融衍生产品不断涌现，使得金融机构对风险度量的 难度不断加大，急迫需要新的风险管理方法以适应金融创新的需要。此外，随着经济全 球化的发展，我国金融市场作为一个发展中的新兴市场，其风险也必将逐渐加大。因此， 根据我国金融市场实际情况，加强金融风险管理研究，对于我国金融安全稳定和经济社 会发展有着重要的意义。 由此可见，本文研究内容“分形市场下的期权定价及其风险管理”，具有重要的理 论意义和现实意义。 1 2 国内外研究现状 1 2 1 期权定价理论的发展及研究现状 期权思想萌芽至少可追溯到公元前1 8 0 0 年的汉穆拉比法典，而期权交易在公元 前1 2 0 0 年的古希腊和古腓尼基国的贸易中也已经出现。但期权的快速发展到2 0 世纪5 0 年代以后才开始，真正标准化的场内期权交易还只有3 0 多年历史。1 9 0 0 年法国的l o u i s b a c h e l i e r 发表的博士论文( ( t h 6 0 d ed el as p e c u l a t i o n ) ) ( 投机理论) ，第一次提出布朗运动 的数学模型，并用它来描述股票的价格。这是第一个系统研究期权定价的理论，宣告了 金融数学的诞生。1 9 7 3 年f i s h e rb l a c k 和m y r o ns s c h o l e s 研究期权定价问题，发表了著 名的b l a c k s c h o l e s 公式，给出了欧式期权的定价。r o b e r tc m e r t o n 也从不同的角度研 究了期权定价的问题，这些具有革命性的成果，引发了第二次“华尔街革命 【4 1 。在 f i s h e r b l a c k 和m y r o n s c h o l e s 的期权定价模型提出之后，期权定价理论有了前所未有的 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 发展，被广泛应用于衍生资产定价问题上。 2 0 世纪7 0 年代前，许多期权定价理论和投资理论都是建立在有效市场理论的基础 上的，其主要研究工具为b l a c k s c h o l e s 公式。该公式假设股票价格遵循随机微分方程 d s ( t ) = t ( t ) s ( t ) d t + t x ( t ) s ( t ) d b ( t ) ，其中 8 ( 0 ，0 f t ) 为布朗运动。但是随着学者们的 研究发现：建立在非线性动力学基础之上的分形市场理论更符合现实的金融市场。股票 价格更为合理的假定是遵循随机微分方程d s ( t ) = t ( t ) s ( t ) d t + c r ( t ) s ( t ) d b ( f ) ，其中 b h ( f ) 为分数布朗运动，日( 0 h 1 ) 是h u r s t 参数。当h = 1 2 时，分数布朗运动即 为标准布朗运动。因为分数布朗运动具有自相似性和长期依赖性，更能切合实际地反映 金融市场变化特性，并且实证研究发现许多金融市场股票价格的h 1 2 ，也就是说， 以前股票价格模型过于理想化，用分数布朗运动驱动的随机微分方程来描述股票价格更 为切合实际。 随着研究的深入，相继出现了研究期权定价理论的方法【5 墙】，如：基于均衡的均衡 推导法、基于无套利方法的无风险投资组合法、鞍方法、倒向随机微分方程、随机最优 控制方法以及二叉树、蒙特卡罗模拟、有限差分法等数值方法。也相继出现了各种不同 的期权定价定价模型 9 - 1 2 】，如：随机利率或随机瞬时波动率下期权定价模型、带跳的期 权定价模型、随机寿命的期权定价模型。同时，丰富和发展了许多现代的数学工具，如： 随机微积分鞅方法，随机最优控制，随机过程，现代计算方法等。这些定价方法、模型 的出现以及数学工具的应用极大地丰富和发展了期权定价理论，为其研究和应用奠定了 基础。期权定价理论发展到今天，已经不仅仅涉及到期权定价本身，还推广到其他金融 问题的研究中，如货币期权定价、期货期权定价、利率期权定价以及风险管理方法的设 计、融资和投资决策中【13 1 。 关于分数布朗运动的随机积分、随机微分方程、i t o 公式、g i r s a n o v 定理，以及分数 布朗运动的模拟等已有部分相应结果 1 4 。1 6 】，如分数i t 0 公式及g i r s a n o v 定理。刘韶跃和 杨向群 1 7 - 1 9 1 研究了分数布朗运动环境下标的资产价格服从几何分数布朗运动的欧式期 权、欧式双向期权定价、欧式未定权益的定价，以及上限型卖权、抵付型买权、后定选 择权等几种奇异期权的定价公式、多个分数次布朗运动影响时的混合期权定价等。尽管 己有不少学者在分形市场下的期权定价，即考虑标的资产价格服从分数布朗运动，做出 了许多成果，但还有许多定价问题有待解决，这也使得分形市场下的期权定价仍然是目 前国际上研究的热点。 气 第一章绪论 1 2 2 金融风险管理的发展及研究现状 金融安全是关系国家安全的重大战略问题，加强金融风险研究有着十分重要的意 义。金融风险是指企业未来收益的不确定性或波动性，它直接与金融市场的波动性相关。 金融风险的基础与核心是金融风险测度。主流的金融风险测度的研究都以有效市场理论 为基础。2 0 世纪5 0 年代以前，人们对金融风险的研究主要还是定性研究【2 0 】。1 9 5 2 年， 哈里马克维兹( h m a r k o w i t z ) 给出可以进行资产风险与收益选择的模型，开创了现代投 资定量分析即数理分析理论的先河，其以均值方差选择为基础的模型被称为马克维兹 模型。此后，在此基础上得以改进的资本资产定价模型( c a p m ) 1 2 l 】、资产套利定价理论 ( a p t ) i 拘模型等都以方差作为金融投资风险的衡量标准和基本计量工具。金融实践的发 展给金融风险测度研究不断提出新的问题。如行为金融理论兴起，认为用方差来衡量风 险并不能真正刻度投资人的风险。派勒和藤沃尔斯盖( p y l e ，d h a n ds j t u n r o v s k y ) 及 阿特伍德( a t w o o d ，j ) 发展前人安全第一的观点，给出置信水平可以发生变化的模型【2 2 , 2 3 1 ， 反映不同投资人的风险心理特征。 2 0 世纪9 0 年代，这些观点受到理论界的重视，认同关于如何计量评判风险与收益 的基本思想。欧美等发达国家的主要金融公司如美林投资银行、摩根( j p m o r g a n ) 集团 率先用风险价值( v a l u ea tr i s k 即v a r ) 模型t 2 4 ，2 5 1 计量评判金融资产以及组合的市场交易 风险，给出了估计金融机构潜在损失的基本方法。这一分析工具，1 9 9 3 年在国际清算银 行签署的巴塞尔协议中得到承认。1 9 9 4 年摩根集团开始免费发布风险价值( v a r ) 模 型计算所需要的信息系统( r i s k m e t r i c s ) ，建立了统一的市场测算标准，推动了风险价值 ( v a r ) 模型的飞速发展。1 9 9 6 年1 月，十国集团签署了巴塞尔协议的补充协议，将 v a r 列为确定风险资本充足性的基准性方法，奠定了风险价值( v a r ) i 具在金融行业的 使用地位。目前，v a r 已广泛应用于金融机构的风险测量、绩效评估、风险头寸设定、 资本分配决策、风险监管等诸多方面。 近些年来，对风险价值( v a r ) 模型的深入研究包括以下几方面【3 1 ：( 1 ) 从模型最初的 概率统计基础正态分布出发，向“胖尾 分布、分布拟合方向进行推广研究。( 2 ) 从逻辑角度向一致性条件风险价值( c v a r ) 模型推广。( 3 ) 摆脱模型以纯概率统计为基础 的束缚，结合概率、价格和偏好三要素给出整体金融风险管理( t i 洲) 模型。( 4 ) 在模型 的计算方法上进行新的突破，当然有些突破只是技术细节上的。( 5 ) 拓宽模型的应用领 域，从起初只进行金融市场风险测度，进一步探讨用它测度其它金融风险如信用风险、 流动性风险等。 4 中国石油人学( 华东) 硕士学位论文 分形市场理论下的风险测度方法主要表现为埃德加e 彼得斯( e d g e re p e t e r s ) 提 出的重标极差法( r e s c a l e dr a n g ea n a l y s i s 即r s ) ，该方法从金融市场分形特征的定量分析 入手，进行金融市场风险的测度研究1 2 啦7 1 。虽然，重标极差法( r s ) 不能计算出所谓风险 价值的具体数值，但是它能弥补基于有效市场理论的金融市场风险测度方法的不足。特 别是将两种方法结合于金融风险的测度与控制，可以有助于寻求新的金融监管和金融安 全维护思路与策略。值得一提的是，国内一些学者已经开始运用分形理论展开经济、金 融方面的理论研究和市场管理、企业管理方面的应用研究1 2 8 3 0 1 。 1 3 本文的结构及研究的内容 分形市场下的期权定价及其金融风险管理的研究潜力很大，本文就是在前人研究的 基础上，不断地改进、推广和深入。全文分五章，按章节编排的研究内容如下： 第一章：介绍本文的选题背景及研究意义，着重对期权定价理论以及金融风险的主 要成果以及目前的研究热点进行了详尽的介绍。 第二章：作为全文的铺垫和基础，本章介绍了相关理论。如期权的有关概念及相关 性质，有效市场理论( e f f i c i e n tm a r k e th y p o t h e s i s ，e m h ) 与分形市场理论( f r a c t a lm a r k e t h y p o t h e s i s ，f m h ) 的相关概念及其优缺点比较，布朗运动与分数布朗运动的定义及相 关性质。 第三章：本章是全文的重点所在。研究了分数随机微分方程、分数b l a c k s c h o l e s 公式、分数b l a c k s c h o l e s 微分方程、分形市场下的障碍期权定价以及分形市场下的权证 定价。 第四章：基于风险思想和分形市场的期权定价理论，综述性的介绍了风险价值( v _ a r ) 法和重标极差法( 刚s ) 的基本原理、计算方法以及有关应用。 第五章：本章在汲取众多学者的优秀思想的基础上，对当前仍在蔓延的国际金融危 机的原因和启示进行了深入思考。 5 第二章分形市场理论 第二章分形市场理论 2 1 期权的有关概念 2 1 1 期权的概念 金融衍生证券( f i n a n c i a ld e r i v a t i v e s ) 是一种风险管理工具，它的价值依赖于其他更基 本的标的资产( u n d e r l i n ga s s e t s ) 的价格变化。期权是最典型也是最常用的金融衍生证券。 作为基础知识，下面给出几个关于期权的一些基本概念及性质，相关内容来自文献 【4 ，3 u 。 期权( o p t i o n ) 也称选择权，是以对一定标的物或其合约的选择性买卖权利为核心， 赋予买方在将来一定时间内以事先商定好的价格选择是否买入( 或卖出) 一定数量和规格 的某种标的物或其合约的权力，而卖方有义务按规定满足买方未来买卖的要求。期权合 约是期权交易双方确定贸易关系的正式法律文件，是经标准化了的契约。期权合约的唯 一变量是期权价格，又称权利金。期权买方在支付权利金后，即拥有一种未来买卖某期 货合约的权利，而不承担任何义务和责任。卖方通过卖出期权合约赚取权利金，并在买 方要求行使权利时负有履约义务。履约价格就是履约时买卖相关期权合约的价格。需要 注意的是，期权合同的买方和卖方获利和损失的机会不是均等的。对于期权合同的买方 来说，其拥有可根据自己的意愿决定是否行使买入( 或卖出) 标的资产的权利，而不是必 须买入( 或卖出) 标的资产的责任或义务，即有权利而无义务；与之相反，期权合同的卖 方只有义务而无权利，这正是期权之所以独特的地方。 根据划分的依据的不同，期权也有不同的分类： 根据标的资产的内在特性及其赖以交易的市场的不同，可分为金融期权( f i n a n c i a l o p t i o n ) 和实物期权( r e a lo p t i o n ) 两大类。 根据期权合同赋予持有者履约时买入或卖出标的资产行为的不同，可分为看涨期权 ( c a l lo p t i o n ) 和看跌期权( p u to p t i o n ) 。看涨期权指其持有者有权在某一确定的时间以某 一确定的价格购买标的资产。看跌期权指其持有者有权在某一确定时间以某一确定的价 格出售标的资产。 根据期权持有者在有效期内履约的灵活性，可分为美式期权( a m e r i c a no p t i o n ) s 1 欧 式期权( e u r o p e a no p t i o n ) 之分。美式期权可以在期权的有效期内任何时间执行合约， 欧式期权只能在期权的到期日执行合约，既不能提前，也不能推迟。正是由于欧式期权 6 中国石油大学( 华东) 硕十学位论文 的执行只能在到期日进行，其特征容易分析，因此，期权的研究大都以欧式期权为起点。 本文主要研究的就是欧式期权定价。 根据交易方式的不同，可分为标准化期权和非标准化期权。标准化期权是在交易所 上市交易的期权，非标准化期权又称为变异期权，它们大都是在场外市场上进行交易。 根据照标的资产类型的不同，可分为股票期权、利率期权、货币期权、黄金期权、 商品期权、期货期权等。 2 1 2 期权的定价 期权作为一种衍生证券，它的定价决定于标的资产价格的变化。考虑期权定价问题， 必须先理解市场无套利的定义。而要理解无套利( n o a r b t i t r a g e ) 概念就得掌握套利 ( a r b i t r a g e ) 的概念。菲利普h 戴布维格和斯蒂芬a 罗斯给出了关于套利的学术性 的权威定义：套利是指保证在某些偶然情况下获得正报酬而没有负报酬的可能性，也无 需净资产。通俗地说，假如在一个市场中，人们可以身无分文入市，通过资产的买卖( 允 许卖空和借贷) ，使得能够最终保证不欠债，且有正概率的机会获得赢利。此时，我们 称该市场存在套利机会。假如市场中不存在套利机会，则称市场无套利。 由于标的资产是一种风险资产( 如股票) ，因此期权的定价变化是随机的，由此产生 的期权的价格变化亦必是随机的。但是一旦原生资产价格确定下来，那么作为它的衍生 证券的价格将随之确定。这就是说，若在r 时刻原生资产价格为s ( t ) ，期权价格为f ( t ) ， 则存在确定的二元函数f ( s ，r ) ，使得，= ( s ( f ) ，) 。在期权的到期日，期权的价值f ( t ) 是确定的，即为期权购买者的收益： ，一j ( 品一矽+ ， ( 看涨期权) n 一1 隘一品j + ( 看跌期权) 期权定价( o p t i o np r i c i n g ) 的问题就是求f = f ( s ，f ) ，满足上式，并且在f = 0 ，墨= s 。 时，它的期权金尸= f ( s 。，0 ) 的值。因此期权定价是一个倒向问题，许多学者就是由此把 倒向随机微分方程引入进来的。国内以山东大学彭实戈教授为代表的学者对倒向随机微 分方程作了深入的研究。 2 1 3 期权的基本性质 我们给出一些符号规定：s 为，时刻标的资产的市场价格；x 为期权的执行价格：d 7 第二章分形市场理论 为支付红利值；t 为期权的到期日；a 。，a ，e c ，e p 分别代表美式看涨、看跌期权以 及欧式看涨、看跌期权在t 时刻的价值。下面给出欧式看涨、看跌期权与美式看涨、看 跌期权价格之间的基本关系，也是期权的基本性质。 性质2 1 期权价格的上限 a 。s ：a p x e c s ：e p x e 一7 ( r 一) 性质2 2 美式期权价格的下限 a 。m a x ( s 一觑- r ( t - t ) , 0 ) ；a 口x s ( 不付红利) a 。e 。m a x ( s - d - x e r 一，o ) ：a 口m a x ( d + x - s ，o ) ( 付红利d ) 性质2 3 欧式期权价格下限 e 。m a x ( s - x e 一r 一，o ) ；e p m a x ( x e 一7 7 一一s ，0 ) ( 不付红币0 ) e 。m a x ( s d - x e - r ( r - t ) , o ) ；e 口m a x ( d + x e 一7 r 叫- s ，o ) ( 付红利d ) 性质2 4 美式看涨期权与看跌期权的平价关系 s x a 。一a 。 s 一般一7 阳( 不付红利) s d x a 。一a 口 s - d x e ”卜( 付红利d ) 性质2 5 欧式看涨期权与看跌期权的平价关系 e 。+ 毖一7 = e 。+ s ( 不付红利) e + d + x e 吖卜= e 口+ s ( 付红利d ) 2 2 从有效市场理论到分形市场理论 2 2 1 有效市场理论的形成与发展 有效市场理论( e f f i c i e n tm a r k e th y p o t h e s i s ，e m h ) 是现代金融经济学的理论基石 之一，也是金融工程学中的基础的、核心的问题。然而，自e m h 被正式提出后，其争 论从来就没有停止过。人们一直在探索：什么样的市场是有效率的? 市场应该是怎么样 的? 在不断地激烈争论中，建立在非线性动力学基础上的分形市场理论( f r a c t a lm a r k e t h y p o t h e s i s ，f m h ) 就应运而生了。 8 - 中国石油大学( 华东) 硕七学位论文 有效市场理论的提出有其深刻的背景，它是来自物理学和牛顿线性力学中的布朗运 动的影响。有效市场理论的形成可追溯到g i b s o n 于1 8 8 9 年所著伦敦巴黎和纽约的股 票市场一书，尽管当时还没有“有效市场这一提法，但该书对市场有效性的思想进 行了描述并在当时产生了一定影响。真正研究市场有效性问题是从研究价格的随机游走 行为开始的。最早描述和检验随机游走模型的是法国经济学家b a c h e l i e r 。他在1 9 0 0 年 撰写的博士论文投机理论中认为：价格行为的基本原则应是“公平游戏”，投机者 的期望利润应为零。b a c h e l i e r 之后关于证券价格行为的研究并没有得到很大的发展，直 到后来计算机的出现。1 9 5 3 年英国统计学家k e n d a l l 在经济时间序列分析，第一篇： 价格提出了股票价格遵循随机游走( r a n d o mw a l k ) 模型【3 2 1 。f a m a 是e m h 理论的集大 成者，他为该理论的形成和完善做出了卓越的贡献。1 9 6 5 年，f a m a 撰文股票市场价 格行为，提出了著名的有效市场理论。f a m a 在1 9 7 0 年撰文有效资本市场：理论和 实证研究回顾，不仅对过去有关e m h 的研究作了系统总结，更重要的是还提出了研究 e m h 的一套完整的理论框架【3 3 】。 2 2 2 有效市场理论的特点 精致的e m h 体现了经济学家们一直梦寐以求的理想，那就是竞争均衡。e m h 实际 上是新古典经济学的理性人假定和理性预期假定在金融市场的延伸。e m h 主要特点可 以归纳为删： ( 1 ) 假设投资者以线性方式对信息作出反应。也就是说投资者接到信息时作出反 应，他们不以累计的方式对一个信息作出反应。线性范式暗示收益应该有近似正态的分 布，应该是独立的( 及随机游走) 。国内外大量的实证研究表明股票运动并非随机游走， 而是不同时期存在长期相关性。市场收益率不服从正态分布，而是明显偏离正态分布， 具有尖峰厚尾的特征。根据稳态理论，证券收益的厚尾特性可能导致方差不确定或无穷 大，此时不能用方差度量资本市场的风险程度。价格收益率相互独立的假设也受到有力 的挑战。非线性系统给为一般的存在，而社会经济系统从本质上讲也是非线性的，其中 当然也包括金融市场。 ( 2 ) 假设投资者是理性的。即假设具有相同的、理性的预期，并且市场上有如此 之多的投资者，他们都能免费的，及时地获取信息，并对信息作出迅速的、一直的反应， 使得所有信息都立即反映到价格中去，任何人都无法获取超额利润。但是在现实市场中： 首先，人们不一定在任何时候都回避风险；其次，人们在价格对信息的反应设定主观概 9 第二章分形市场理论 率往往不是无系统性偏差的，并且经常对自己的预测能力过于自信；第三，人们对在接 受信息时可能不作出反应，相反，如果他证实最近趋势中的一个变化，他们可能对接受 到的信息作出反应。这是一种非线性的反应，而不是理性投资者概念预言的线性反应。 ( 3 ) e m h 对投资策略的含义是：在有效市场上，将不存在任何套利机会，通过技 术分析预测价格的变动是没有意义的。 2 2 3 分形市场理论的涵义 分形市场这一概念首次由e d g a r p e t e r 提出，他指出分数布朗运动可以更加准确地刻 画金融市场的波动。但是，当时对分维时间序列以及分形市场的经济理论缺乏深入分析。 与有效市场所不同的是，分形市场是一个开放的市场，它具有正反馈机制和非线性特性， 其收益序列的表现形式为具有一定维数( h u r s t 指数h 1 2 ) 的分维时间序列【3 5 1 。分形 市场理论恰恰弥补了我们前面提到的有效市场理论的缺陷，它强调流动性和投资者的投 资期望水平，其主要内容包含以下几个方面3 2 , 3 6 ： ( 1 ) 市场由众多的投资者组成，这些投资者具有不同投资时间尺度，如长线的和 短线的，这使得他们有着不同的投资行为。信息对于不同投资时间尺度的投资者所产生 的影响是不同的。短线投资者的主要投资行为是频繁的交易，因此他们格外关注技术分 析信息，基础分析的信息对他们没有多大的价值。而对于长线投资者通常认为市场在技 术分析层面上所表现出来的趋势并不能用于长期投资决策，只有对证券进行价值评估才 可获得长期的投资收益。 ( 2 ) 价格是短线技术分析和长线基础分析共同作用的产物。一般来说，短期价格 变化比长期价格变化更具易变性。市场发展的内在趋势反映了投资者期望收益的变化， 并受整个经济环境的影响。短期交易行为更多是从众行为的结果。因此，市场的短期倾 向与经济长期发展趋势并无内在一致性。市场的稳定在于市场流动性的保持，而这需要 同时存在大量具有不同投资时间尺度的投资者。 ( 3 ) 如果证券与经济循环无关，那么就不会有长期趋势。交易、流动性和短期信 息将在市场中起决定作用。 2 3 分形市场理论与有效市场理论的比较 研究表明：分形市场理论具有许多有效市场理论所没有的优势和特点。本节在国内 外众多研究成果的基础上【3 5 。3 9 1 ，从理论和现实两个视角分析了分形市场理论较有效市场 1 0 中国石油大学( 华东) 硕上学位论文 理论的所具有的优势。 2 3 1 理论视角上的比较 从理论上看，e m h 的框架是线性的市场假设，对于资本市场效率及特征的研究主 要集中于价格的波动是否无序、不可预测、市场是否均衡。在实证分析上，主要通过运 用布朗运动来衡量市场是否有效，而对于异于随机游走的市场波动状态，则被排斥于有 效市场研究之外。对其产生原因和形成机理缺乏深入分析。以非线性为范式的f m h 的 提出，为资本市场波动特性与结构的研究提出了新方法，它对市场运行机制和市场结构， 投资者的行为和投资者对于信息的反应，以及市场预测方法都提出了新的观点和视角。 分形市场假说强调流动性和投资者的投资期望水平，具体而言，f m h 与e m h 的分别有 如下几点： 首先，e m h 认为市场是稳定的原因在于参与市场交易投资者数量足够的多，影响 市场的因素也众多，所以市场是符合正态分布，这一认识己经受到了众多经验证据的挑 战。一方面，价格的波动被认为是由外部因素引起的，这一解释是明显缺乏整体性的观 点。而f m h 认为市场的稳定性是因为存在大量的具有不同投资期望水平的投资者这样 能保证市场的流动性，即市场的稳定在于市场流动性的保持。另一方面，投资者处于不 同的投资水平，投资者的投资水平对其行为会产生重大的影响，从而市场价格的披动， 可以解释为是投资者的投资期望和投资水平的差异所致。对于e m h 不能解释的市场不 稳定性，f m h 认为那是因为所有的投资期望都归于同一水平的原因。 其次，在对待信息的作用和反应上，e m h 认为价格反映了所有公开的信息，价格 的变化只能来自没有预期到的新信息。投资者被认为是理性的，所以新的信息一旦到来， 众多投资者会立即对其作出反应，价格经短暂波动又重新回到均衡状态。所以过去的信 息被认为是不会影响市场行为。而f m h 认为投资者并非以完全理性的行为在市场中行 事，他们对于信息是以累计的方式作出反应的，而不是以线性的方式对信息作出反应， 这样价格的变动就可能不仅仅是来自于信息的变化，并认为信息集对于市场情绪和技术 因素的影响，短线比长线大。投资期望水平越高，长线基本面的因素起越大的作用，所 以信息对价格的影响根据投资期望水平的不同而不同。 第三，在实证分析中，e m h 采取的主要是线性的回归工具，忽视了变量的记忆效 应和变量的联系，并只承认白噪声的存在。f m h 则利用h u r s t 指数，分形维数和李雅普 诺夫指数来度量市场的复杂结构与市场的非线性关系，并提出白噪声在市场的存在。 第二章分形市场理论 2 3 2 现实视角上的比较 首先，f m h 改变了我们对基本分析和技术分析的看法。在e m h 看来因为价格的波 动的随机性，注定了没有谁能在股市中长期获得超额收益，所以基本分析和技术分析是 没有任何意义的。而在f m h 中，认为信息对于处于不同投资水平上的投资者所产生的 影响是不相同的。因此，他们会格外关注技术分析信息。另一方面，市场中大多数的基 础分析者处于长期投资水平上。他们通常认为市场在技术分析层面上所表现出来的趋势 并不能用于长期投资决策。只有对证券进行价值评估可获取长期真实的投资收益。所以 说