（应用数学专业论文）旋量群spin（pq）群的表示.pdf

摘要 本文首先回顾了高维t 矩阵的定义和任意高维旋量群s 埘n ( 1 ，q ) 的一种矩 阵表示，并把此结果推广到s p i n ( p ，q ) 群的情况，即利用归纳法，把表示空间的 维数进一步提升，得到所有更高维嘞n p ，力群的表示黟，q ) ，接着分析了提 升维数时两种不同路径之间的关系 关键词：旋量群，群的表示 a b s t r a c t t h e r e p r e s e n t a t i o n 国0 ，q ) o f s p i ng r o u ps p 0 ，口) i na n yd i m e n s i o n a ls p a c e s 盘r e 西v e b yi n d u c t i o na n dt h er e l a t i o nb e t w e e nt w or e p r e s e n t a t i o n sw h i c hd 2 - e o b t a i n e d i n t w ok i n d s o f i n d u c t i o n s f r o m s p i n ，口) t o 跚竹0 + 1 ，q + 1 ) a r es t u d - l e d k e yw o r d s ：s p i ng r o u p ，g r o u pr e p r e s e n t a t i o n 2 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：弓氐殳 日期：夕矽年乡月岛日 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子 版和纸质版有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文 进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行 检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解 密后适用本规定 学位论文作者签名：永汲 - 厂 日期：加年1 f 月扣日 1 引言 我们知道，在四维时空和低维时空中，旋量群是时空转动群的2 对1 的群 同态，且局部同构，如 s l ( 2 ，r ) 一s o ( 1 ，2 ) ， s l ( 2 ，c ) 一s o ( 1 ，3 ) 告诉我们s l ( 2 ，r ) 与s l ( 2 ，c ) 分别是3 和4 维空问上旋量群s w n o ，2 ) 和 s p i n ( 1 ，3 ) 的矩阵表示在5 维和6 维空间上的s w n 群，也有相应的经典李群表 示，即s p ( 1 ，i ) 和s l ( 2 ，h ) 分别是s p i n ( 1 ，4 ) 和s v i n ( 1 ，5 ) 群的矩阵表示对于 高维情况一般没有经典矩阵李群和s 埘n ( 1 ，口；q 5 ) 相对应，只有通过c l i f f o r d 代数给出旋量群s 川n ( 1 ，q ) 的定义和构造【1 】，而文献1 4 】解决了这一问题近来 由于超弦理论的发展，人f i x 十高维空问的兴趣日益浓厚，因此具体给出高维旋量 群s v i n ( p ，q ) 的矩阵表示是有意义的 本文用归纳法，给出所有s p i n ( p ，q ) 群的一种表示，其中第2 章简单回顾了 文献【4 1 中关于旋量群的表示粤( 1 ，q ) 的构造，第3 章对维数进行归纳，得到任 意s w n 群的表示零( p q ) ，第4 部分讨论从s w n ( p ，q ) 到s v i n ( p + 1 ，q + 1 ) 的 两种不同归纳所得表示之问的关系 2 旋量群的矩阵表示e 9 ( i ，q ) 对于任意的2 2 复矩阵a ，我们定义a 一。= ，j ， 一( 36 ) ( 2 驯 其中r 7 表示r 的转置，五表示a 的复共轭 引入2 2 的p a r d i 矩阵 印；( 62 ) ，叽= ( ? 6 ) ，一。= ( 9 分) 一s = ( 63 ) ( 。删 它们都是厄米矩阵，并且满足： o 】o ；七d k d ：= n 3 0 k + n ，= 2 7 b k ( 1 ，3 ) i t ，j k = 0 ，1 ，2 ，3 t 2 2 其中t b k ( 1 ，3 ) 构成对角矩阵，对角线上第一个元索为l ，其余为一1 类似的。 对于任意大于3 的正整数q ，, j k ( 1 ，q ) 也是对角矩阵，其对角线上第一个元索 为1 ，其余为一1 沿用文献f 4 j 中的记号，我们也约定：i 。表示2 “2 “的单 位矩阵，如式子( 2 2 ，3 ) 中的i i 表示2 2 的单位矩阵 下面我们引入任意维空问上的1 一矩阵，首先四维1 一矩阵为： 仉3 ) = ( 吖。智) ，j = o ，l ，2 ，3 ， ( 22 4 ) 它们是4 4 阶的矩阵，由4 个2 2 的分块矩阵组成，由口一矩阵的性质容易 验证7 j ( 1 ，3 ) 满足： 1 j ( 1 ，3 ) 1 ( t 3 ) 十- i _ ( 1 3 h j ( 1 ，3 ) = 2 , j k ( 1 ，3 ) 1 2 ，j ，女= 0 ，1 ，2 ，3 ( 2 2 5 ) 2 蔓塑堕堇查兰堡主兰堡堡塞：墼量壁i 蔓竺! 翌! 虫壁塑壅堡 五维t 矩阵为： ( 1 ，4 ) = 3 j ( 1 ，3 ) ，j = o ，1 ，2 ，3 ；7 4 ( 1 ，4 ) = ( 分一0 1 ) ， ( 2 2 6 ) 即前四个五维的t 矩阵与四维的相同，最后一个五维的1 一矩阵是对角的分块矩 阵。反对角线上为0 ，主对角线上是i l l ，一i i l ，因为( i 1 1 ) 2 = ( 一i 1 1 ) 2 = 一1 l 。所 以对于任意的j ，k ( j ，= 0 ，1 ，2 ，3 ，4 ) 都有： ，j ( 1 ，4 ) 饥( 1 ，4 ) + 1 ( 1 ，4 ) ( 1 ，4 ) = 2 叩j ( 1 ，4 ) 1 2 ( 2 2 7 ) 类似于四维和五维，利用数学归纳法，我们有高维空问上的1 一矩阵； ( i )当q 为奇数时，取口= 2 n 一1 ，其中n 是大于等于3 的整数。 ( 1 , 2 n - - 1 ) = ( 椰，品叫讯1 2 。n 1 ) ，j 扎”, 2 n - - 2 ； 一- ( 1 ，2 n 1 ) = ( ! i6 ) ( 2 2 8 ) ( i i )当9 为偶数时，取g = 2 n ，其中n 是大于等于3 的整数， ( 1 ，2 n ) = k ( 1 ，2 n 一1 ) ，i = 0 ，1 ，一，2 n 一1 ； 讹。( 1 ，2 n ) = ( 苔墨i ) ( 2 舢) 由以上1 - 矩阵的定义及其性质的讨论，我们可以得到：对于任意大于等于3 的 正整数g ，其对应的t 矩阵是2 1 - q 2 f 字j 阶的矩阵，其中f 警j 表示i + 2 q 的 整数部分，并且利用归纳法，可以证明以上定义的任意维的1 一矩阵都满足： 7 j ( 1 ，q ) 饥( 1 ，q ) + 7 k ( 1 ，g ) 1 j ( 1 ，口) = 2 m ( 1 ，口) i l 半】 j ，= 0 ，1 ，一，g ( 2 2 ，l o ) 引理1 ：如果习( 1 ，q ) 是一个由2 字】2 【。笋l 阶的矩阵组成的连通的李群， f 钆，j0 p p s 口 是李代数q ( 1 ，口) 的组基，且对于任意的t 霉( 1 ，q ) ，有： t w o ，q ) t 一1 = 蟛( 1 ，口) h ( 1 ，g ) ，= 0 ，1 ，口； 3 首都师范大学硕十学位论文：旋量群s 埘n ( 弘口) 群的表示 那么有， l ( 1 ，q ) = ( 蟛( 1 ，q ) ) o ! q s o ( 1 ，q ) ， ( 2 2i i ) 。( 1 ，q ) 1 。( 1 ，q ) - r 。( 1 ，q ) ，( 1 ，g ) h 口( 1 ，口) = ( g 一3 ) h 。( 1 ，q ) ，( 1 ，q ) 】( 2 2 ，1 2 ) 并且映射丁一l ( 1 ，q ) 是2 对1 的群同态：习( 1 ，q ) 一s o ( i ，q ) ，且局部同构 定理i ：当q 3 ，存在以下形式的黟( 1 ，g ) ，且粤( 1 ，口) 是由2 【二笋】2 i 笋l 阶 的矩阵组成的；q ( q + 1 ) 维的李群，使得对于任意的t 粤( 1 ，q ) ， 其中 其中 丁钆( 1 ，q ) t = 蟛( 1 ，q ) 钆( 1 ，q ) ，卢，p = 0 ，1 ，口； 上( 1 ，q ) = ( 彬( 1 ，口) ) 0 2 的任 意正整数对 ( 1 ) 当q 是奇数时， ( i ) p = 2 ，g = 3 习( 2 3 ) = t i t = 3 u ，u 9 ( 1 ，3 ) ) ( 3 3 1 2 ) 其中 。= 去( ；：。；= o 。一q ) 和 其中 和 其中 和 = 1 + ( i i ) p = 2 q = 2 n 一1 ，n 2 9 ( 2 ，2 n 1 ) = t i t = 3 u ，u 固( 1 ，2 n 1 ) ( 3 3 1 3 ) ，1 i 篙2 + a 2 n - 1 i 护丽i ( j - 0 2 n - 2 一w n 2 ”1 i )。1 2 n l j = ( 1 ，2 n 1 ) ，= 1 + 矿o ； t , j = 0 ( i i i ) 当p = 2 m ，q = 2 n 一1 ，i l l 1 ，竹 2 3 = q 9 ( 2 m ，2 n 一1 ) = t i t = 3 u , u 9 ( 2 m l ，2 n 1 ) ， ( 33 1 4 ) 1 妖 l 2 ，：n - 一1 2 。+ 3n 1 ，+ i a 一2 + 2 1 、 一( v - 2 , , - 1 2 m + 3c l j l j i a - 2 - , + 2 1 ) j 、 1 j = 仉( 2 m 一2 ，2 n 1 ) ，f = 1 十 8 o o 产 。删 0 口 俨 。州 蔓塑堕蕉查兰堡兰丝鲨窒：墼墨登i 望! ! 翌：虫壁塑室叠 ( i v ) 当p = 2 m 十1 ，q = 2 n 一1 ，m 1 ，n 2 9 ( 2 m “2 n 一1 ) = t i t = 3 ( ； 其中 和 其中 和 其中 和 u 2 3 ( 2 m ，2 n 1 ) ( 3 3 1 5 ) 。= 去( h 晓焉k + l 矿，i 兰k 。矿) 口 = 7 j ( 2 m ，2 n 一1 ) ，f = 1 + 一o ； 一2 ( 2 ) 当q 是偶数时， ( i ) 当g = 2 m ，q = 2 n 时，m 1 ，n 2 卿哪n ) = h t ；3 ( 苫8 ) ，u 粤( 2 m l ，2 n ) ) ( 3 矗1 6 ) 3 = 击( h2 东槲2 n 】；：。 = 7 j ( 2 m 一1 ，2 n ) ，= 1 + ( i i ) 当p = 2 m + 1 ，q = 2 n ，m21 ，n 2 3 = 1 妖 9 ( 2 m + 1 ，2 竹) = t i t = 3 u , u 。o ( 2 m ，2 n ) ) ( 33 1 7 ) 1 翟一2 。+ 2 一竹+ i a “十1 1 、 一( 2 m + 2 一一犷“+ 1 i ) 。 i ， 口 = - y _ j ( 2 m 一1 ，2 ) ，f = 1 + 礓j 0 n j 0 一p + 2 9 o 口n 巩 。柙 首都师范大学硕十学位论文：旋量群s r “n ( p ，q ) 群的表示 定理2 ：任意的正整数对( p ，q ) ，p 2 ，q 3 ，如上定义的由2 1 2 笋i 2 【2 产l 阶 矩阵组成的；( p + 口) + q 1 ) 维的李群粤( p ，口) 中任意元素t 满足： 7 1 1 ，( p ，q ) t 一= z 苫( p ，口) 7 ，。( p ，口) p ，p = 一p + l ，q ； q p ，q ) = ( 蟛( 鼽g ) ) ，+ i 知，一! q s o ( p ，q ) ， 并且映射固( p t 口) 一s o ( p ，q ) 是二对一的群同态，局部同构 证明：( 1 ) 当口是奇数时， ( i ) 因为t = 3 u ，u 勿( 1 ，3 ) ，由文献f 4 j 中证明可以得出： u b u = l 乞饥，j = 0 ，1 ，2 ，3 ，( f 匕) s o o ，3 ) ( 3 3 1 8 ) 3 由于 阢扩1 = ( 含导) ( 6o ) ( a 擘- 1 = ( 60 1 ) = 所以 ，j u = 尊饥，j = 一1 ，0 ，1 ，2 ，3 ，( 学) s o ( 2 ，3 ) ( 33 1 9 ) 其中 ( 尊) n ! 。= ( 6 ( f o j 唧) s 0 ( 2 ，3 ) 从上面的定义中知道 。= 志( 一n | 吖)护万丽l 刊吖j 。 我们可以很容易的求出它的逆矩阵 = 志( 。岛一q ) 代入计算得到 3 。3 1 =上(一0吖一q)(一014 - ? u f u a )1 智) ( 。0 ；一一1 q )2 l 卅吖。jl 一八咖；。| 一! ，0j 扩c 5 ( 2 7 h , ：l ；) 、 5 再瓦石石l 幽一；( 2 k j 一叩：) o ， + 矗而( 瓮毫一) = 圪j ，1 l = 0 ，1 ，2 ，3 ，p = 一1 ，0 ，l ，2 ，3 萱塑堕堇盔兰堡主兰堡丝奎：塑墨壁i 竺竺鱼：虫壁箜塞墨 和 3 一1 3 1 = 而1 西( 一0 町乍) ( 61 ，) ( 一吧) = r 干毛i 石( 1 - - 一a 。j o g q a k 口；一i + - - 2 一a 嘭j a 。j * 。) = 烂1 ，p = 一1 ，0 ，1 ，2 ，3 其中上两式中分别用到符号圪，烂- 来记对式子做整理后的的系数，所以 3 3 1 = 。，p ，= 一l ，0 ，1 ，2 ，3 ( 3 3 2 0 ) ( 3 3 ，2 0 ) 式两边同时乘以彳p ，并对指标1 1 求和得： 3 茁”1 3 叫= 圪1 ，p = - i ，0 ，1 ，2 ，3 = 一1 ，0 ，1 ，2 ，3 上式左右两边分别甲方得 ( 3 z ，1 “3 1 ) 2 = ：3 ( 卫p 札) 2 3 1 = 7 h 。x ”一。 ( ) 2 = x , u 护理仰一x p x 。赡聊 所以有式子研。z 一护= z ”z 。屹理啦，成立，即是，= 吃理j ，故可知 ( f ：) 一l ! i l ”s 3 s o ( 2 ，3 ) 下面我们证明 h o 们一1 p ，p s3 是李代数9 ( 2 ，3 ) 的基底 首先很容易验证h ，w l ， 一1 卢，”3 构成一个李代数又由于 d t = 3 d u + d 。t = u 一1 3 ，( 3 3 2 1 ) 所以 盯= t d t = 6 1 + u 一1 船以 1 1 一蔓塑堕蔓查兰堡堂堡堡塞! 墼壁登墅兰鱼! 虫登丝塞叠 由归纳法 8 u = j ， o ! j ( t 1 3 其中一( j ) 是李代数9 ( 1 ，3 ) 的左不变i 一形式又因为 。而杀( 。南：乃) d ( 而蠢) ( b8 ) + 而杀( 一0d a j d a j a ；0 。) 十万丽k 一。j = m s 了亍i 丽1 - + 赤( 。j o 。j d a 吖k a ：一吖d a 妇7 a 。) 吼) =一号；i茄z+i硒dajl 2 n t ，“o j l + 志1 。l k a j o , k + 哺j n 。+ 2 吁，k 咿n t 卜1 + 。一 ( 删以瓮h 獬耐。掣，+ 牮，) =。“。，?t】+志3-b2+27bka丽ak 】 2 o 侧+ 再面五百 j 而 一剐= 百a 菰j d a k 蕊咧叫州+ 南n 邶) h 】( 3 凇) 所以司以得到： 6 t = 妒”h j i _ 一l 曼 v 3 其中妒”是左不变1 一形式，因为i 讥，1 。1 ( p p ) 是实李代数的基底由引理 2 ，结论成立 ( j i ) 其证明完全类似于( i ) ，在此省略( i i i ) 任意的t q 3 ( 2 m ，2 n 一1 ) ，有 t = 3 以u 粤( 2 m l ，2 n 一1 ) ， 由归纳法可知 ，7 j p 一1 = ，i 7 ”，l ，= 一2 m + 2 ，+ ，0 ，- ，2 n i ， ( 3 3 2 3 ) 堕塑塑苎查兰堡兰垡堡壅：堕量壁墅竺鱼! 虫登堕壅叠 ( z ；。) 2 r n + 2 2 n l s o ( 2 m 一1 ，2 n 1 ) 并且由归纳法，我们可以得到：固( 2 m l ，2 n 一1 ) 中任怎兀累是对角矩阵， 所以可以设 u = ( 冶巩0 ) ， 故 u 。7 _ 2 m + l = ( 5o i ) = 1 一十l t ( 33 2 4 ) 所以有 且 u u 一1 = 圪p ，= 一2 m + 1 ，0 ，2 n 一1 ， ( 3 3 2 5 ) ( ) = ( 6 ( f 乞) ) s o ( 2 m 渤- 1 ) 又由矩阵 3=了彳亏菥1(1一一缸。”+21+一)(3326ia-2m+2l 1 ) 扣丽丽l 一一 。 可以求出它的逆矩阵 所以 。= 了亍辛丽1 ( 一。一m + i 。z + 竹一缸一”彳1 一矿) ( 3 3 2 7 ) 3 m 3 1 =1(一。+j一缸2”+警+一)(一01-+7iiazaj i ai 2 l 一“”一 i 。l 一 ( - i a m 三i 一一一址一“ 1 一一)k一“”一一 i ， = 雨丽1 1a t ( 咖”a 2 1 矿。0 竺a j - r ，, )十叩t ，k n 7 p 1 一 肛= 一2 m + 3 ，t ，0 ，t 一，2 n 一1 冶) 蔓塑盟垫查兰堕兰些堡塞：蕉量登i 蔓! 1 21 虫壁箜塞叠 其中 和 a 1 2 = ( n 一2 m + 2 ) 2 一i a 一2 m + 2 钆1 一i a o 一2 m + 2 勺k 一一n 1 十 p = 1 。+ ( a - 2 m + 2 ) 2 ，。一2 i a 一2 m + 2 n “l n j o ( 2 叩f 。一，) = ( 1 十嘞k n ) 1 0 一2 a 一2 m + 2 n ”i l 一2 a n ”1 j a 2 1 = ( n 一2 m + 2 ) 2 饥+ i a 一2 m + 2 乜饥+ i a 7 a 一2 m + 2 j 一n j 扩1 j 讥+ “ = 【1 + 仍k a 3 a ) 1 。+ 2 a 一“1 + 2 a “j i 一2 a j a 7 j 把a 1 2 ，a 2 1 代入到上式，整理后可以得到 叉可以汁算 其中 和 3 1 3 1 = ，肛= 一2 m + 3 ，一，0 ，一，2 n 一1( 3 32 8 ) 3 1 2 m + 2 3 。 = 雨b (2 再面lj n j i 。，l 卅 (1叫一“+zl-a-ia-2m+2 i )l一0 j 。 = 雨丽1 ( 知b 2 - 2 m 、”一：耘+ z ) b 1 2 = 一( n 一2 m + 2 ) 2 i 一2 a 一2 m + 2 n 7 + i a ：a 7 k + i l = ( 1 一( n 一2 m + 2 ) 2 ) i i 一2 a 一2 m + 2 n y k + * n j o z i ， b 2 1 = ( a - 2 m + 2 ) 2 1 2 a2 ”+ 2 a k jr k i a o 7 i 一2 i = 一( 1 一( n “+ 2 ) 2 ) 2 i 一2 a 一2 ”+ 2 驴1 一仉k n j 扩2 i 蔓蔓堕苎盔兰里主堂焦堡茎! 塞垦登i 丝堡! 翌! 盟壁堕塞垄 把b 1 2 ，b 2 1 代入整理得； 3 7 2 。十2 3 1 = z ：2 。十2 ，( 3 3 2 9 ) 同理可以算出 3 ，y 2 m 十1 3 1 = f ：2 。+ 】， ( 3 33 0 ) 其中( 3 3 2 8 ) ，( 3 3 2 9 ) ， ( 3 3 3 0 ) 式分别用到符号屹，拦+ 2 芝+ l 来记式 子整理后的，的系数综上，我们得到： 3 5 。3 1 = 圪1 。p l ，= - 2 m + 1 ，一，0 ，2 n 一1 ， ( 3 3 3 1 ) ( 3 3 3 1 ) 式两边同时乘以，并对指标求和得： 3 z “m 。3 1z 圪，p ，= 一2 m + 1 ，0 ，2 n 一1 ，( 3 ，3 3 2 ) ( 3 33 2 ) 式左右两边分别乎方得 ( 3 z “7 “3 一) 2 = 3 ( z 9 1 “) 2 3 1 = ，札d 工。， ( 一知) 2 = z 钆扩瑶1 ，= 一。扩暖舶 所以有式子h 。z ”z “= 一z “f v 。h , 枷成立，即是 恤= f ：瑶口， 所以可知 ( ) 一2 m + l ! 2 n 一1 s o ( 2 m ，2 n 1 ) 下面我们证明 f 仉。竹1 ，一2 m + 1 p ，p 2 n 一1 ( 3 3 3 3 ) ( 3 , 3 3 4 ) 是李代数g ( 2 r a ，2 n 一1 ) 的基底 首先很容易验证h 】一2 m + 1 l ，p 2 n l 构成一个李代数又由 于 d t = 3 d u + d 3 以t = u 。3 。 ( 3 3 3 5 ) 蔓叠堕蔓盔兰堡主堂垡丝塞：壁量鲎i 型璺鱼：! ! 壁堕壅墨 所以 由归纳法 6 了1 = t 一1 d t = 6 u + u 一1 6 3 6 u = u “”l b ，1 ，】 一2 m + 2 “ y ( 2 t i 一1 其中u 一”( p ) 是李代数9 ( 一2 m + 1 ，2 n 一1 ) 的左不变1 一形式 柏 = 3 1 d 3 = d t s 了丐= ；丽1 - + 丁j 丽1 ( 一缸一。m 三一+ 。，一一2 ”1 一矿) (一z。+z0一，。dn一2”+21+dajida i d a j , t0 竹)io 2 一，。7 = 一i 专；：筹t + 南( 岛；糍) 其中 和 i d a 一“+ 2 i + d a j , 1 ， 0 = d a 一2 “+ 2 h 一2 。+ l ( 2 m ，2 n 1 ) j 7 - 2 m + 2 ( 2 r n ，2 n 一1 ) j + d a h 一2 m + l ( 2 m ，2 n 1 ) ，7 j ( 2 m ，2 n 一1 ) 1 ， j = 一2 m + 3 c l l =a - 2 r n 4 2 d a 一2 m + 2 i + 抽一2 m + 2 d 一1 ，一i a j d a = a - 2 m + 2 d a 一2 ”+ 2 l + i a 一2 ”+ 2 d c l 一i a j d a 2 n 一1 1 + a 3 d a ( 似+ ；【7 j 饥】) j ，k = 一2 m + 3 。 = k a7 d a + i a 一2 ”+ 2 d 一1 j 一2 a7 d a 一2 ”+ 2 竹 如、，0 q + 智 一 o 池 k， | j k， nd 7 。 n卜 t 。b 2 2 + + m m 2 2 董塑堕堇奎堂塑主兰堡堡塞! 蕉量鲎i | 塑! 翌! 虫登堕塞垂 以及 所以 。船= 叶j k a j d a 一i a 2 m + 2 d 一+ 2 a i d a 一2 m + 2 f ， ( c 6 ，芝) = a i d 一+ ( n 一加”d a j n j d n 一2 m + 2 ) ，h 2 m + 2 1 j 】+ j 1 j d 矿饥】 把c l l ，c 1 2 ，c 2 l ，c 2 2 全部代入并进行整理后得到 6 t = 矿”h ( 2 m ，2 n 1 ) ，( 2 m ，2 n 一1 ) l 一2 t ，i + 1 蔓p p 茎2 一l 其中妒”是9 ( 2 m ，2 n 1 ) 的压小，爻l 一彤式，由引理2 ，结论成立 ( i v ) 对于彩( 2 m + 1 ，2 n 一1 ) ，任意的t 霉( 2 m + l ，2 n 一1 ) 有 t = 3 ( f8 ) ，u q 9 ( 2 m ，2 n 1 ) 由归纳法 ，7 p ( 2 m ，2 n 1 ) u 。= f 扎1 。，( f 讫) s o ( 2 m ，2 n 1 ) ( 3 3 3 6 ) 所以 ( go ) h ( 。m “2 n - 1 ) ( f “ = ( g8 ) ( ( 。与n 一，) 心”皆”一”) ( u 。- 1 萨) = ( u 0 一u 喈一) = ( a2 铲) = f o ( 曾) = t l ( 2 m + 1 ，2 n 1 ) ， 和 ( g8 ) 知。( 2 m + 1 z n 叫( 苫8 ) - - l = ( ； ( 墨，嚣) ( 1 毋- ) = ( u 0 一- 曙。) = ( 卫， f ) = 一2 ，l ( 2 m + 1 ，2 n 一1 ) 首都师范大学硕十学位论文；旋量群s p i n ( p ，q ) 群的表示 所以 且 叉由于矩阵 1 p ( 2 m ，2 n 一1 ) u 一= f ：1 ，( 3 3 3 7 ) ( 蟛) = ( 6f o i ) s o ( 2 m + l ，2 n 一1 ) ( 3 3 3 8 ) 。= 了亍军祷1 ( 1 + 。i a j 仉。一。0 一) 我们可以求出它的逆矩阵 代入计算可得 = = 其中 以及 3 _ l = 丽1 ( 卜t 埘0 ) ( 3 3 3 9 ) 3 1 。( 2 m + 1 ，2 n 一1 ) 3 1 雨品( 1 + 抄，) ( “0 穗。) ( 卜。+ 墨，b ) r f 杀i 面( 。+ 一0 一协。一矿+ 2 m 吖+ 一彳一n 圪， f = 一2 m + 1 ，一，0 ，r ，2 n 一1 ，= 2 m 3 1 - 2 m ( 2 m + 1 ，2 n 一1 ) 3 1 两1 1 丽( 1 + 缸0 。，。一。i a ：，s ) ( + 。2 i 一 焉品( 叫。一0 ，2 n = f = 2 。1 。，= 一2 m ，0 ，- ，2 n 一1 i a j l j 0 0 l 七i a 3 1 ，j 其中上面式子中的符号圪f ：2 。分别表示原式子整理过后的钆的系数综上讨 论，可得： 3 p 3 1 = _ r ： ，= 2 m ，- ，0 ，2 n 一1( 3 34 0 ) 1 8 i 、j in o 驴 1 0 q q 挑o 首都师范大学硕士学位论文；旋量群s 川n ( p ，口) 群的表示 ( 3 , 34 0 ) 式左右两边同时乘以，并对指标t t 求和得： 3 z ”p 3 1 = z ”f ：， 芦p = - 2 m ，0 ，一，2 n 一1( 3 3 4 1 ) ( 3 3 ，4 1 ) 式左右两边分别甲方得 ( 3 扩m ，3 1 ) 2 = 3 ( h ) 2 3 - = 叶j l l 。扩 ( 工”f ：m ) 2 = l f ：7 ，。”f ：1 p = z z “l f l 。r h , f j 所以有式子。一扩= z ，。z 1 圪暖伽成立，即是 。= ? ：喀q 叩 所以可知： ( 圪) 一蛳。2 n ，1 s o ( 2 m + 1 下面我们证明 n o ，1 ，l 一2 msp ，p s2 n l ( 3 3 4 2 ) 是李代数9 ( 2 m 十1 ，2 n 一1 ) 的基底 首先很容易验证 ，1 “1 2 m p ，p 2 n 一1 构成一个李代数。又由于 可以得到 由归纳法， d t = 3 ( 够易) + d 3 ( f ”丁。= 3 盯= 丁“d t = ( 学易) + ( 1萨，) ( f j = “，“”【1 ，( 2 m ，2 n 一1 ) ，1 。( 2 m ，2 n 一1 ) 】 2 埘+ 】s a v s 2 n 一】 ( 3 3 4 3 ) 其中u 一”( p p ) 是李代数9 ( 一2 m 十1 ，2 n 一1 ) 的左不变1 一形式所以 ( 学昆) = 2 m + 1 【妄p v 4 ) 时，习( p q ) 一t ( p + 1 ，q 十1 ) 的 两种归纳分别为： 则 ( o ) 粤( p ，q ) ，固( p q 十1 ) _ 黟1 ( p + 1 ，q + 1 ) ( b )9 ( n q ) _ 粤( p + 1 ，q ) 一固2 ( p 十1 ，q + 1 ) ( 1 ) 固l ( p + 1 ，q + 1 ) 中的元素的表达式为 兀f p + 1 ，q + 1 ) 一l 中i + h ( n 一+ 口) 一厨 a b 1 f 中 a+b ) ( 丁g 川( p 0 ，q ) ( ) “a ) o c一 协 。b + = 4 首都师范大学硬士学位论文，旋量群s p i n ( p ，q ) 群的表示 其中 其中 h ( n p + q ) = = 1 一。n ”a “0 ，a = 1 + m p h l 口+ 1 7 b k b j b 。o j ，k = 一p + i q a = b q + t l i 字厂b j a 7 ，f ( p ，g ) j m ( 舢) j p 4 l qq b = b a p ，口) + b q “a m * 。( m ) j = 一p +* p + 1 ( 2 ) 粤2 p + 1 ，q + 1 ) 中的元素表达式为 t 2 ( p + 1 ，q + 1 ) 。去( 1 f 宁】；冀铀o 溉，) ( 丁台鲫丁c 蚺 月( 勺+ 9 ) = 。c m c n 0 q c = 一d - p i i 皆】+ d j c ( p ，q ) 7 - t ( p ，9 ) ， j m - _ p + l q q d = i d a p ，9 ) + i d 一9 ，g ) j = 一p + l p + l 并且，当n “= i c ，m = 一p + 1 ，一p + 2 ，q 一1 ，q ，b j = i d j ，j = 一p + 1 ，一p + 2 ，q 一1 ，q b q “= 一d - p 时，得结果n ( p + 1 ，口+ 1 ) = 马( p + 1 ，q + 1 ) 证明：( i ) 首先，我们计算兀( p + 1 ，q + 1 ) ， gp1 扩 。州 口 pn 。一 。一 m + = 一 o i d i 协 p 。一 一 = 一f 首都师范大学硬十学位论文：旋量群s p i n ( p ，q ) 群的表示 我们将 可以得到 并且 其中 t ( p 口+ 1 ) = 才1 。喜。州舢h 慨a 川， 7 q + l ( p ，q + 1 ) 9 t ( t ( p 口) ，t ( p ，口) ) ( 4 4 1 6 ) 正( p + 1 ，g + 1 ) = 丽11 一p ( p + 1 ，q + 1 ) 【- p ( p + 1 ，q 十1 ) 口+ l + 6 m 7 m ( p + 1 ，q + 1 ) 】丁( p ，叮+ 1 ) ， ( 4 4 1 7 ) 丑( p “q + 1 ) = 去e 州7 1 ( p l q ) ，? ( p q ) ) ， ( 4 4 1 8 ) e q + 1 = 1 一p ( p + l ，q + 1 ) h ，p ( p + 1 ，q + 1 ) +扩( p + 1 ，g + 1 ) j * p + 1 口 l a j t j ( p ，q + 1 ) 一+ l ( p ，q + 1 ) 】+ l ( m + 1 ) j = 一p + 1 r1 【宁】+ h ( a p + q ) ia 日 a + b 、 一( n ，+ 。) ，j 口 h ( a p + 。) = 。” m ( p ，9 ) 一p + 1 b q + 1 i 掣l 一c a 1 j ( m ) 。( m ) + ，p + l 7 ( 弘q ) + b q + 1 f 44 1 9 ) 口p， n 。一 。一 蔓蔓堕苎查堂堡兰堡望茎! 堕量登i 坚! 塑! 盟鲎笪室叠 所以，我们得到了丑( p ，q ) 的如下形式 五( p + 1 ，q + 1 ) 去(嘲+?陋m。嘲絮。)(丁扫川)p0,q)0a b h(ap+0t ( pq 4 z 。) 砑 一 1 【申】一口) ， 4 。w ( i i )接下来，我们计算b ( p + 1 ，q + 1 ) ， 首先把 得到 并且 t ( p + 1 ，q ) 去 - p ( p “州h ( p “口) + 壹一( p “口) v 、 i ：= ；+ 1 孵( t ( 鼽q ) ，v ( p ，q ) )( 4 4 2 1 ) 乃( p + 1 ，q + 1 ) 一q = 了1 卜- a m l t m ( p + l ，q + 1 ) 一州( p + 1 ，口+ 1 ) 】 、f 一一p 。7 q + l ( p + 1 ，q + 1 ) v ( p + 1 ，g ) ， ( 4 4 2 2 ) t 2 ( p + l ，q + 1 ) = 1 1 三f f f l ( t ( p , q ) ，r ( p ，口) ) ， ( 4 4 2 3 ) 、f a f q = 卜d m ( p + 1 ，q + 1 ) 一+ l ( p + 1 ，q + 1 ) 】1 q 十l ( p + 1 ，q 十1 ) m - - p q 7 - p ( p + l ，q ) h 呻( p + 1 ，口) + c j ( p + 1 ，口) 】 ，= p + l r1 【学】+ i ( c p + q ) c+d 、 一k c d 1 【t 串】一i h ( c p + 口) ( 4 4 2 4 ) 蔓叠堕蕉奎兰堡堂垡堡塞! 壁堇壁望! ! 里! 型登箜室叠 其中 h ( c p + 。) = c ，”1 。( 川) r g t = 一p + l c = - d 1 【皆l + j 。一p + lm _ - p + 所以，我们得到了乃( p + 1 ，q + 1 ) 为如下形式 2 ( p + 1 ，q + 1 )