（计算数学专业论文）偏微分方程的robin型非重叠区域分解方法.pdf

摘要 摘要 偏微分方程数值方法包括不同的离散方法，如有限元方法、差分方法、有限 体积法、谱方法等。其中有限元方法利用变分形式对原问题进行离散，对于某些 问题存在很好的便捷性。而在不同的偏微分方程数值方法中，区域分解方法受到 了越来越多的关注，它具有以下优点：( 1 ) 并行程度高；( 2 ) 可以求解复杂的问 题；( 3 ) 在不同子区域上具有一定的独立性；( 4 ) 即使是在串行机器上也可以达到 的良好收敛性质。 本文首先简单介绍区域分解方法的分类与发展，特别是以r o b i n 条件为边界 交换条件的非重叠区域分解方法，例如最早的l i o n s 方法，以及其后对此方法的 诸多改进。然后，文章将比较一些基于r o b i n 条件的区域分解方法，尤其是其中 的两种。最后，本文将对抛物型方程运用r o b i n 型区域分解方法，给出一些有关 误差与收敛性质的分析与证明，并作出总结和一些讨论。 为了更好地帮助理解，本文将针对r o b i n 类型的区域分解方法，给出数值算 例。 关键词偏微分方程数值方法有限元方法区域分解方法r o b i n 交换条件惩 罚更新条件 a b s t r a c t n u m e r i c a lm e t h o d sf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( p d e ) i n c l u d ea 1 0 to fd j f f e r e n td l s c r e t i z i n ga p p r o a c h e s ，l i k ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) ，f i n i t e d i f 百e r e n c em e t h o d ( f d m ) ，f i n i t ev o l u m em e t h o d ，s p e c t r a lm e t h o da n de t c a n dt h ef i n i t ce l e l l r i e n tm e t h o d u t l l i z e st h ev a r i a t i o n a lf o r mt od i s c r e t i z et h eo r i g i n a lp r o b l e m ，a n di s c o n v e n i e n tf o r s o m es i t u a t i o ni np d en u m e r i c a lm e t h o d i nd i f f e r e n tp d e n u m e r i c a lm e t h o d s d o m a l nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ( d d m ) h a sb e e np a i dm o r ea n d m o r ea t t e n t i o n i th a s m a n ya d v a n t a g e sl i k e ：( 1 ) p o t e n t i a lf o re f f i c i e n tp a r a l l e l i z a t i o nt h r o u g ht h eu s e o fd a t a 1 0 c a l i t y ，( 2 1a b i l i t yt od e a lw i t hp d e so nc o m p l i c a t e d p r o b l e m s ，( 3 ) i n d e p e n d e n c et 0 ac e r t a l l le x t e n to nd i f f e r e n ts u b d o m a i n s ，( 4 ) s u p e r i o rc o n v e r g e n c e p r o p e r t i e so ft h e i t e r a t i v em e t h o de v e no ns e q u e n t i a lm a c h i n e s i nt h i sp a p e r , w ew i l lf i r s ts i m p l yi n t r o d u c ed d m a n di t sd e v e l o p m e n t ，e s p e c i a l l yt h ed d m sw i t hr o b i n t y p et r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n ，f o re x a m p l e ，t h e c l a s s i cl i o n s m e t h o d ，a n dal o to fv a r i a t i o n so fi t a n dt h e nw ew i l lc o m p a r e s o m ed i f f e r e n tm e t h o d s b a s e do nr o b i n - t y p et r a n s m i s s i o n c o n d i t i o n ，e s p e c i a l l yo nt w o o ft h e m a tl a s c w ew i l l i m p l e m e n td d m sw i t hr o b i nt r a n s m i s s i o nc o n d i t i o no np a r a b o l i cp r o b l e m s ，a n d g i v e t h ea n a l y s i so rp r o o f sf o rt h ee r r o re s t i m a t ea n d c o n v e r g e n c e c o n c l u s i o na n ds o m e c o m m e n t sw i l lb eg i v e n f o rb e t t e rc o m p r e h e n s i o n ，w ew i l ls h o ws o m en u m e r i c a le x a m p l e si n t h ep a p e r f o rt h er o b i n t y p ed d m s k e yw o r d sp d en u m e r i c a lm e t h o d ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ，r o b i n - t y p et r a n s m i s s i o n c o n d i t i o n ，p e n a l t y , u p d a t i n gc o n d i t i o n 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 年月日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 1 “”。”一一“一一“ ；内部5 年( 最跃5 年，可少t - 5 年) 秘密l o 年( 最长1 0 年，可少于1 0 年) 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 。j 一。+ 。，。? ，。，。，。，。，。一。j 。7 。j 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 c h a p t e r1i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h e r ea r eo n l yaf e wp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hh a v e a n a l y t i c a ls o l u t i o n i ti st h u sn e c e s s a r yt ou s es o m en u m e r i c a lm e t h o d st og e tt h ea p p r o x i m a t i o nt ot h e t r u es o l u t i o n s o l v i n gap d ew i t hn u m e r i c a lm e t h o d sc o n s i s t so f3m a i ns t e p s ：( 1 ) t r i a n g u l a t et h ed o m a i nw h i c ht a k e sc a r ea b o u tt h em e s h ，( 2 ) d i s c r e t i z et h ee q u a t i o n o v e rt h em e s h ，( 3 ) s o l v et h ed i s c r e t ea l g e b r a i cp r o b l e m t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) ，w h i c hw a sp r o p o s e de a r l y , i sa c o m p u t a t i o n a l t e c h n i q u ef o rd i s c r e t i z i n go r i g i n a lp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n st h a ta r i s ei ns c i e n t i f i c a n de n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s d i f f e r e n tf r o mt h ea p p r o x i m a t i o na p p r o a c h e so fo t h e r d i s c r e t i z a t i o nt e c h n i q u e s ，t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o du t i l i z e st h ev a r i a t i o n a lf o r m a ss o f a r , al a r g ea m o u n to fp a p e r sa n db o o k sa b o u tf e mh a v e b e e np u b l i s h e d i nb o o k sl i k e 1 】，【2 】，al o to fb a s i ct h e o r i e si nf e mh a v eb e e ng i v e n w h e ns o l v i n gt h en u m e r i c a l p r o b l e m s ，w ea l w a y st r a n s f o r mt h ev a r i a t i o n a lp r o b l e mi n t oa ( n o n ) l i n e a rs y s t e m ，a n d h a v et ou s eo t h e rn u m e r i c a la l g e b r a i ct e c h n i q u e s s ow en e e dt ok n o ws o m en u m e r - i c a la l g e b r at h e o r i e sa n dm e t h o d s ，w ec a nf i n ds o m eu s e f u lr e s u l t st h a tw en e e di n n u m e r i c a la l g e b r ab o o k sl i k e 【3 】，【4 1 ，【5 】a n de t c d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o di sas p e c i a lk i n do ft e c h n i q u ei np d en u m e r i c a l m e t h o d ，a l w a y su s i n gi t e r a t i o ns k i l l sf o rs o l v i n gs o l u t i o n so fl i n e a ro rn o n l i n e a rs y s t e r n s r e s e a r c ho nd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d sf o rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s h a sb e e nc a r r i e do u ti nt h ep a s td o z e ny e a r s i t sap a r a l l e l ，p o t e n t i a l l yf a s ta n dr o - b u s ta l g o r i t h m sf o rt h e ( n o n ) l i n e a re q u a t i o n sa n dc a nh e l pu st os o l v ean u m e r i c a lp d e p r o b l e m s ( d i s c r e t i z e db yf e m ，f d m o rs o m eo t h e rn u m e r i c a lp d e m e t h o d s ) m o r ee f - f i c i e n t l y i nb o o k sl i k e 【6 】，【7 】，r i g o r o u st h e o r ys y s t e m sh a v eb e e ns t r u c t u r e da n dw e c a l lf i n ds o m ec l a s s i co rn e wd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d s p r o p o s e d ，a n dt h ec o n v e r g e n c ep r o o f sf o rd i f f e r e n tm e t h o d sh a v ea l s ob e e ng i v e nt h e r e i no t h e rb o o k sl i k e 【8 】 a n d 【9 】，s o m eg o o di d e a sa b o u td d mw e r eg i v e n ，a n dw ec a na l s of i n dal o to fc o n c r e t e e x a m p l e s i np a p e r sl i k eft 0 ，ag o o dw o r kw a sd o n eb yx ua n dz o u ，w h oh a v em a d e ag o o de f f o r ti na no v e r v i e wo fs e v e r a lm a j o rn o n o v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n m e t h o d s d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d sc a nb ec l a s s i f i e di n t ot w oa s p e c t si ng e n e r a l ：t h e o v e r l a p p i n gm e t h o d sa n dn o n o v e r l a p p i n gm e t h o d s a n di n t h i sp a p e r , w em a yp a y m o r ea t t e n t i o nt ot h en o n o v e r l a p p i n gm e t h o d s o m ed i f f e r e n tv a r i a t i o n so ft h i sm e t h o d w i l la l s ob ei n t r o d u c e da n dd i s c u s s e d t h ep a p e rw i l lb es t r u c t u r e da sf o l l o w i nc h a p t e r2 ，w ew i l ls i m p l yi n t r o d u c e t h ed e v e l o p m e n to fd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o da n do fc o u r s e ，i n c l u d i n gt h er o b i n 一 时p es i t u a t i o n a n dw e w i l lg i v es o m ee x a m p l e sa n dn u m e r i c a lt e s t sf o rb e t t e rc o m p r e h e n s i o n i nc h a p t e r3 ，w ew i l lc o m p a r ed i f f e r e n td d m sw i t hr o b i n t y p et r a n s m i s s i o n c o n d i t i o ne s p e c i a l l yo nt w oo ft h e m a n dw ew i l li m p l e m e n tt h em e t h o d sw h i c hh a v e a l r e a d yb e e np r o p o s e df o re l l i p t i cp r o b l e m st op a r a b o l i ce q u a t i o n a tl a s t ，w ew i l lg i v e n u m e r i c a lt e s t sa n dm a k et h ec o n c l u s i o n 2 c h a p t e r2 d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d 2 1a ni n t r o d u c t i o nt od o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d s d o m a i nd e c o m p o s i t i o nf o rm en u m e r i c a ls o l u t i o no fp d e h a sb e e np a i dm o r ea n d m o r ea t t e n t i o nr e c e n t l y i np a r t i c u l a r ，i ti so n eo ft h em o s ts i g n i f i c a n tw a y sf o rd e v i s i n g p a r a l l e la l g o r i t h m st h a tc a nb e n e f i ts t r o n g l yf r o mm u l t i p r o c e s s o rc o m p u t e r s p a r a l l e l a p p r o a c h e sa r em a n d a t o r y f o rv e r yl a r g es c a l en u m e r i c a lp r o b l e m sl i k et h o s et h a ta r i s e v e r yo f t e ni nm a n y b r a n c h e so fp h y s i c sa n de n g i n e e r i n g t h et e c h n i q u e sf o ra n a l y z i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d sc o n s i s to ft w o a s _ p e c t s ：a l g e b r a i ct e c h n i q u e sa n da n a l y t i ct e c h n i q u e s t h ea l g e b r a i ct e c h n i q u e su s ea l g e b r a i ct o o l sl i k eo p e r a t o rc o m p u t a t i o nt oc o n s t r u c t c o n n e c t i o n s f o re x a m p l e ，w em a yc o n n e c tt h eo r i g i n a ld o m a i na n dt h es u b d o m a i n t h r o u g ham a p p i n go p e r a t o r o rw ec a n c o n n e c tt w od i f f e r e n ts p a c e s f o r p r e c o n d i t i o n e dc o n j u g a t eg r a d i e n t ( p c g ) m e t h o d s ，w es e tb a st h ep r e c o n d i - t i o n e rf o rt h el i n e a rp r o b l e m a u = ， n a m e l y ，w ec a nb u i l dt h ep r e c o n d i t i o n e ds y s t e ma s ， b a u = b y i fb ai ss y m m e t r i cw i t hr e s p e c tt ot h ei n n e rp r o d u c t s ( b ，) a n d ( a 。，) ，j i ia = ( a ，) 1 2i st h ee n e r g yn o r n la n da ( b a ) i st h e c o n d i t i o nn u m b e ro fb a ，t h e ni ti sw e l l k n o w nt h a t u - - 1 , n l i a 0 ， 悖 一譬0 ， l嵋“= 0 t h e a d d i t i v e f o r m ：s e t 醒= “。，趟= 嗽 陵 i l i n l ， r 1 o n o n l n a n ， i n n 2 ， o nr 2 ， o n 掰b n a n m n l ， 彻r l ， o n a n l n o f ， r 嵋十1 = fi n n 2 ， 舻1 = 嵋 o nr 2 ， it 矿1 = 0o n a 0 2 n a n t h ed i f f e r e n c e b c l w e e n t h e t w o m e t h o d s i s t h a t i n t h e m u l t i p l i c a t i v e m e t h o d , o n l yg i v e t h e i n i t i a lv a l u e i n n 2 ，s o w e h a v e t 0s o l v e t h e t w os u b p r o b l e m s i n t u r nb u t 5 n o ts i m u l t a n e o u s l yi ne v e r yi t e r a t i o ns t e p w h i l ei nt h ea d d i t i v em e t h o d ，w eg i v et h e i n i t i a lv a l u eb o t ho nt h et w os u b d o m a i n s ，s ow ec a nc o m p u t et h et w o s u b p r o b l e m s s i m u l t a n e o u s l y ( i np a r a l l e l ) i ne v e r yi t e r a t i o ns t e p r e m a r k2 1 nf a c t , t h eo v e r l a p p i n gs c h w a r zm e t h o di n c l u d e st w os e r i a ls u b p r o c e d u r e s ( w h i c hc o m p u t et h es u b p r o b l e mf o re a c hs u b d o m a i ni nt u r n ) i ni t , w em a yc o r n p u l eo n l yo n et og e tt h ec o n v e r g e n c er e s u l t 2 1 2 n o n o v e r l a p p i n gd d m s t h en o n o v e r l a p p i n gm e t h o d sa l e t r a d i t i o n a l l yr e f e r r e dt oa si t e r a t i v es u b s t r u c t u r - i n gm e t h o d sw h i c hi sa ne f f i c i e n t ，p a r a l l e ld i r e c tm e t h o df o r t h es o l u t i o no fl i n e a rs y s t e r n sa r i s i n gf r o md i s c r e t i z a t i o n so fp d e sb a s e do ns c h u r c o m p l e m e n t s t h em e t h o dc a na l s ob ea c c o m p l i s h e di ns e v e r a lw a y s ，s o m eo fw h i c ha r ep r e s e n t e db e l o w 1 t h ed i r i c h l e t n e u m a n nm e t h o d ( d nm e t h o d ) g i v e n 入o 。s o l v ef o re a c ht , 0 ： t h e n 障z x u + l = 挲f w i t hu p d a t i n gc o n d i t i o n ： i nq l o na q lf - 1a 继 o nr i nq 2 ， o na q 2na q ， o nr + 1 ：= 口乱茹1 十( 1 一口) w h e r e0i sap o s i t i v ea c c e l e r a t i o np a r a m e t e r , ni st h en o r m a ld i r e c t i o no nt h ei n t e 卜 f a c e t h ev e r s i o na b o v ea p p l yt h er e l a x a t i o no nt h ed i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n a n d t h e r e sa n o t h e rp r o c e d u r ew h i c ha p p l yt h er e l a x a t i o no nt h en e u m a n n b o u n d a r yc o n d i 6 i ，0 | | f f f | + + + 外， 外。 叶。 l t z 屯 吣嵋嵋 一 c h a p t e r2d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d 曛三 一毒 弘n + 1 i nq 2 ， o no f f 2na q 0 nr ， i nq 1 ， o na q lna q ， o nr 口掣+(1一p)旷on r e m a r k2 2 nt h ed i r i c h l e tb o u n d a r yr e l a x a t i o nv e r s i o n , t h ei t e r a t i o nm a yn o tc o n ? v e r g ew h e n0 = 1 2 t h en e u m a n n n e u m a n nm e t h o d ( n nm e t h o d ) f o rn 0 w es o l v e ： a n dt h e n ， f o ri = 1 ，2 ，w i t h 障一等 i nq t ， o na q ina q ， o nr ， i n 继， o na q tna q ， 入n + 1 ：= 入n 一日( 仃l 矽茄1 一o ， 。n j j t - 1 ) o nr w l h e r e 盯1a n di f 2a r et w op o s i t i v ea v e r a g i n gc o e f f i c i e n t s ，w h i l ea oi sag i v e nd a t u m r e m a r k2 3t h i si sj u s to n ev e r s i o no fn nm e t h o d , a n dw a sc o n s i d e r e db yb o u t - g a t ( 19 8 9 ) ，af o r m e rv e r s i o nh a db e e ni n v e s t i g a t e da l r e a d yi na g o s h k o va n dl e b e - d e v ( 1 9 8 5 ) , s e e 1 1 l 7 ， o 入 i l | f f i 1 1 l + + 十 nt n 1 n 1磁嵋嵋 一 ，ii，、-一， c h a p t e r2d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d 2 1 3 c o m p a r i s o nb e t w e e n ( n o n ) o v e r l a p p i n gm e t h o d sa n dt h e i rv a r i a t i o n s f o ro v e r l a p p i n gm e t h o d sl i k es c h w a r zm e t h o d ，am o s to b v i o u s a d v a n t a g ei st h a t w ec a nc o n t r o lt h ec o n v e r g e n c es p e e db yc h a n g i n gt h eo v e r l a p p i n gs i z e ，t h a ti s ，w ec a n s p e e du pt h ec o n v e r g e n c eb ye n l a r g i n gt h eo v e r l a p p i n gs i z e b u tw h e nt h eo v e r l a p p i n g s i z eg e t sl a r g e r , t h ew o r k l o a di ne a c hs u b d o m a i nw i l la l s oi n c r e a s e f o rn o n o v e r l a p p i n gm e t h o d 。w ec a ns o l v et h ep r o b l e mm o r e e f f i c i e n t l yi np a r a l l e l b e c a u s eo ft h ei n d e p e n d e n c eb e t w e e ne a c hs u b d o m a i n m o r ea c c u r a t e l y , s u b d o m a i n s h a v ec o u p l e d p r o p e r t i e so n l ya tt h ei n t e r f a c eo ft w os u b d o m a i n s w es h o u l dn o t et h a tn o ta l lp r o c e d u r e s ( 1 i k et h et r a n s m i s s i o nc o n d i t i o na n dt h eu p d a t i n gm e t h o d ) c a nb ea p p l i e do nb o t hd d m s f o ri n s t a n c e ，w ec a nn o ta p p l yd i r i c h l e t c o n d i t i o no ne v e r yc o m m o ni n t e r f a c ei ng e n e r a ln o n o v e r l a p p i n gm e t h o d s a l w a y s ，t h ed i f f e r e n c eb e t w e e n t h eo v e r l a p p i n ga n d n o n o v e r l a p p i n gm e t h o d sd o e s n o to n l yh a p p e ni nt h ep r a c t i c a li m p l e m e n t a t i o nb u ta l s oi nt h ea n a l y s i so ft h ea l g o r i t h m s w em a yf i n dt h a ts o m e t i m e st h ec o n v e r g e n c ep r o p e r t i e sm a yb em u c hm o r e e a s i e rd e d v e di no n em e t h o dt h a na n o t h e r i nt h en e x ts u b s e c t i o n ，w ew i l lg i v ean u m e r i c a le x a m p l e ，w h i c hc o u l dh e l pu s c o m p r e h e n dt h er e l a t i o nb e t w e e nt h et w om e t h o d sb e t t e r 2 1 4an u m e r i c a le x a m p l e i n 【12 ，t h ea u t h o rp r o p o s e daf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o df o rt h es e c o n d o r d e re l l i p t i ce q u a t i o ni nt h el - s h a p ed o m a i n t h es c h e m ei sb a s e do nt h en o n o v e r l a p p i n g d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d i tu s e st h ec o a r s em e s ht oc o m p u t et h en o d ev a l u ea t t h ei n t e r f a c ea n df i n em e s ht oc o m p u t et h en o d ev a l u ea tt h ei n t e r i o rm e s hp o i n t s w ec o n s i d e rt h eb o u n d a r yp r o b l e mo ft h es e c o n de l l i p t i ce q u a t i o n ： r 叫嚣+ 弛钔) w h e r eqi sl - s h a p ed o m a i n f o rs i m p l i c i t y , w ea s s u m eq ： ( z ，可) q ， o na q q = ( z ，可) l 一1 z 0 ，0 y 2a n d0 z 1 ，0 1 ) 8 c h a p t e r2d o m a i n d e c o m p o s i t i o n m e t h o d f i g2 3n e l s h a p e d o m a i n i 一 ；! l ；i 9 c h a p t e r2d o m m nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d d e n o t e f i g2 5l - s h a p ed o m a i nw i t ht h r e es u b d o m a i n s y j i 2 i l i i i i i 1 ol q l = ( z ，) l 一1 z 0 ，0 y 2 ) ， q 2 = ( z ，u ) 1 0 z 1 ，0 y 1 ) ， f = ( o ，v ) 1 0 y 0 t h e nw eg e tt h ef o l l o w i n gl i o n si t e r a t i v ed o m a i nd e c o m p o s i t i o n m e t h o do f ( 2 1 ) ： a n dt h e n ， 一钆n 1 + 1 = f 婶+ 1 型+ax2ur-on l 一乱“= ， 札r 1 = 0 警 鸠“= 等 。钆n + l i nq l ， o ra q lnq ， o nr i nq 2 ， o na q 2nq ， o nr o fc o u r s e ，w ec a nr e p l a c e 钆? + 1b y 钆? i nt h er i g h th a n ds i d eo ft h et h i r de q u a t i o ni nt h e s e c o n ds u b d o m a i nf o ral i t t l em o r ep a r a l l e l i z a t i o n t h i sm e t h o dc a nb ep r o v e dt oc o n v e r g ei nt h e o r y , s e es e c t i o n4 5i n 【7 】o r 【16 a f t e rt h er o b i n t y p em e t h o dh a db e e np r o p o s e db yl i o n sa n do t h e rp e o p l e ，s o m e i m p r o v e m e n t so nt h et r a n s