（运筹学与控制论专业论文）微生物发酵中几类问题的建模、优化和最优控制.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 1 ，3 一丙二醇是一种重要的化工原料近儿年，微生物发酵法生产l ，3 一丙二醇受 到国内外学者的广泛关注本文以克雷伯氏杆菌歧化甘油生产1 ，3 丙二醇为研究背 景，研究了该发酵过程中几类问题的建模、优化和最优控制该项研究，一方面可以 丰富非线性动力系统、最优控制、双层规划以及优化理论与算法的研究；另一方面可 以为1 ，3 一丙二醇的大规模产业化生产提供理论参考因此，该项研究具有一定的理论 意义与应用价值另外，该项研究得到国家自然科学基金项目、“9 7 3 计划及“8 6 3 计 划”项目的资助本论文研究的内容与取得的主要结果可概括如下： 1 针对间歇发酵中微生物的生长特点，以底物和多产物对微生物生长的综合抑制力 作为控制函数，建立了含有控制和参数的非线性动力系统描述该过程，并证明了 该系统的主要性质以实验数据和计算值之间误差平方和最小为性能指标，以上 述含控制和参数的非线性动力系统为约束条件，建立了系统辨识模型该系统辨 识模型为一个最优控制问题，它的直接求解很困难根据微生物生长特点，我们 采用离散化技术将其转化为一个参数辨识问题，并构造了改进的粒子群算法求得 系统辨识模型的一个较满意的解数值结果表明：该算法具有较好的收敛性，并 且实验观测值和计算值之间的误差比已有文献降低了6 至i j l 6 个百分点 2 根据批式流加实际发酵过程，将甘油和碱的注入看作一个连续过程而不是脉冲形 式，首次提出了一个非线性多阶段动力系统描述该过程此外，为了确定系统中 的参数值，建立了参数辨识模型，证明了参数的可辨识性，并构造改进的单纯形 法求得最优参数数值结果表明实验观测值和计算值之间的误差比已有文献降低 了1 1 6 至i 4 0 9 7 个百分点，因而，辨识后的多阶段动力系统能更好地描述批式流加 发酵过程在批式流加发酵中，甘油和碱的合理注入速度是提高1 ，3 一丙二醇生产 强度的关键因而，将流加速度看成一个随时间变化的控制函数，建立了含控制 的非线性多阶段动力系统，并证明了该系统的一些主要性质以终端时刻1 ，3 一丙 二醇的生产强度最大为性能指标，以上述含控制的多阶段动力系统和连续状态不 等式约束为约束条件，建立了多阶段最优控制模型最后利用不可微优化理论得 到了最优控制问题的最优性条件，并证明了最优性条件和最优性函数零点的等价 一t 一 微生物发酵中几类问题的建模、优化和最优控制 性 3 通量平衡分析是代谢网络分析中一个非常有效的工具，它能够预测细胞内的通量 分布，然而准确的预测依赖于合理的目标函数。基于代谢网络，首次提出了一个 非线性双层规划模型推断厌氧条件下克雷伯氏杆菌歧化甘油生产1 ，3 一丙二醇的代 谢目标函数，利用k k t 最优性条件将上述双层规划模型转化成一个带有互补松 弛条件的非线性规划，证明了该双层规划最优解的存在性，构造了有效的算法来 求解并分析了算法的收敛性由于观测实验数据会存在一定的误差，所以研究上 述所得目标函数关于允许实验误差的鲁棒性是非常必要的因此，提出一组非线 性双层规划模型来判断目标函数的鲁棒性数值结果表明所得目标函数具有较好 的鲁棒性 关键词：非线性动力系统；最优控制；最优性条件；双层规划；优化算法；微生物发酵 大连理工大学博士学位论文 m o d e l i n g ，o p t i m i z a t i o na n do p t i m a lc o n t r o lo fs e v e r a lp r o b l e m si n m i c r o b i a lf e r m e n t a t i o n a b s t r a c t 1 , 3 一p r o p a n e d i o l ( 1 , 3 一p d ) i sa ni m p o r t a n tc h e m i c a lr a wm a t e r i a l i nr e c e n ty e a r s ，t h e p r o d u c t i o no f1 , 3 - p db ym i c r o b i a lf e r m e n t a t i o nh a sb e e nw i d e l yi n v e s t i g a t e d t h ed i s - s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e st h em o d e l i n g ，o p t i m i z a t i o na n do p t i m a lc o n t r o lo fs e v e r a lp r o b l e m s i ng l y c e r o lb i o c o n v e r s i o nt o1 , 3 - p db yk l e b s i e l l ap n e u m o n i a ef k p n e u m o n i a e ) t h et 夸 s e a r c hn o to n l yc a ne n r i c ht h et h e o r ya n dt h ea p p l i c a t i o no fn o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m s ， o p t i m a lc o n t r o l ，b i l e v e lp r o g r a m m i n ga n do p t i m i z a t i o nt h e o r ya n da l g o r i t h m ，b u ta l s oc a n p r o v i d et h e o r e t i c a lg u i d ef o rt h ec o m m e r c i a lp r o d u c t i o no f1 , 3 - p d h e n c e ，t h i sr e s e a r c h i sv e r yi n t e r e s t i n gi nb o t ht h e o r ya n dp r a c t i c e i na d d i t i o n ，t h er e s e a r c hi ss u p p o r t e d b yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o n “9 7 3p r o g r a m a n d “8 6 3p r o g r a m ”t h em a i n c o n t r i b u t i o n sa r es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： 1 a c c o r d i n gt ot h ec h a r a c t e r i s t i co fm i c r o b i a lg r o w t hi nb a t c hc u l t u r e ，w ee s t a b l i s h ac o n t r o l l e dd y n a m i c a ls y s t e mw i t hp a r a m e t e r st of o r m u l a t et h i sp r o c e s sb yt a k i n g t h et o t a li n h i b i t i o n so fs u b s t r a t ea n dm u l t i p l ep r o d u c t st ot h ec e l lg r o w t ha st h e c o n t r o lf u n c t i o n s u b s e q u e n t l y , s o m ep r o p e r t i e so ft h ep r o p o s e ds y s t e ma r ep r o v e d t a k i n gt h em i n i m a le r r o rb e t w e e nt h ee x p e r i m e n t a ld a t aa n dc a l c u l a t e dv a l u e sa s t h ep e r f o r m a n c ei n d e x ，a n dt h ea b o v ec o n t r o l l e dd y n a m i c a l s y s t e ma st h ec o n s t r a i n t ， w ep r e s e n tas y s t e mi d e n t i f i c a t i o nm o d e l ，w h i c hi sa no p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m i t i sd i f f i c u l tt os o l v et h es y s t e mi d e n t i f i c a t i o nm o d e ld i r e c t l y s o ，w et r a n s f o r mi t i n t oap a r a m e t e ri d e n t i f i c a t i o np r o b l e mb yd i s c r e t i z i n gt e c h n i q u ec o m b i n i n gt h e c h a r a c t e r i s t i co fm i c r o b i a lg r o w t h f i n a l l y , a ni m p r o v e dp a r t i c l es w a r ma l g o r i t h m i sc o n s t r u c t e dt oo b t a i nas a t i s f a c t o r ys o l u t i o no ft h es y s t e mi d e n t i f i c a t i o np r o b l e m n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ea b o v ea l g o r i t h mi so fg o o dc o n v e r g e n c ea n dt h e e r r o r sa r ec u td o w nb y6 一1 6 i i i 微生物发酵中几类问题的建模、优化和最优控制 2 i nv i e wo ft h ea c t u a lf e d b a t c hf e r m e n t a t i o np r o c e s s ，w ef i r s t l yp r o p o s ean o n l i n - e a rm u l t i s t a g ed y n a m i c a ls y s t e m ，t a k i n gt h ef e e d i n go fg l y c e r o la n da l k a l ia sa t i m e - c o n t i n u o u sp r o c e s si n s t e a do fa ni m p u l s i v ef o r m ，t of o r m u l a t et h ep r o c e s s t o d e t e r m i n et h ep a r a m e t e r si nt h em u l t i s t a g es y s t e m ，w ee s t a b l i s hap a r a m e t e ri d e n - t i f i c a t i o nm o d e la n dp r o v et h ei d e n t i f i a b i l i t yo fo p t i m a lp a r a m e t e r s f i n a l l y , a n i m p r o v e ds i m p l e xm e t h o di sc o n s t r u c t e dt os o l v et h ei d e n t i f c a t i o nm o d e l n u m e r - i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h ee r r o ri sc u td o w ng r e a t l ya n dt h ep r o p o s e ds y s t e mc a n f o r m u l a t et h ef e d b a t c hc u l t u r eb e t t e r s i n c eap r o p e rf e e d i n gr a t ei sr e q u i r e dd u r - i n gt h ef e d b a t c hp r o c e s s ，w ep r o p o s eac o n t r o l l e dm u l t i s t a g ed y n a m i c a ls y s t e mb y t a k i n gt h ef e e d i n gr a t ea st h ec o n t r o lf u n c t i o n ，s o m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e so ft h e s y s t e ma r ea l s op r o v e d t om a x i m i z et h ep r o d u c t i v i t yo f1 ，3 - p da tt h et e r m i n a l t i m e ，a no p t i m a lc o n t r o lm o d e ls u b j e c tt oo u rp r o p o s e dc o n t r o l l e dm u l t i s t a g es y s t e m a n dc o n t i n u o u ss t a t ei n e q u a l i t yc o n s t r a i n t si sp r e s e n t e d f i n a l l y , w eo b t a i na no p t i - m a l i t yc o n d i t i o nf o rt h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mb yn o n d i f f e r e n t i a b l eo p t i m i z a t i o n t h e o r y , a n dp r o v et h ee q u i v a l e n c eb e t w e e nt h eo p t i m a l i t yc o n d i t i o na n dz e r o so ft h e o p t i m a l i t yf u n c t i o n 3 f l u xb a l a n c ea n a l y s i s ( f b a ) i sa ne f f e c t i v et o o li nt h ea n a l y s i so fm e t a b o l i cn e t w o r k i tc a np r e d i c tt h ef l u xd i s t r i b u t i o no fe n g i n e e r e dc e l l s ，w h e r e a st h ea c c u r a t e p r e d i c t i o nd e p e n d so nt h er e a s o n a b l eo b j e c t i v ef u n c t i o n b a s i n go nt h em e t a b o l i c n e t w o r k ，w ef i r s t l yp r o p o s ean o n l i n e a rb i l e v e lp r o g r a m m i n gm o d e lt oi n f e rt h e m e t a b o l i co b j e c t i v ef u n c t i o no fa n a e r o b i cg l y c e r o lm e t a b o l i s mb yk p n e u m o n i a e f o r1 , 3 - p dp r o d u c t i o n m a k i n gu s eo ft h ek - k to p t i m a l i t yc o n d i t i o no ft h el o w e r l e v e lp r o b l e m it h eb i l e v e lp r o g r a m m i n gm o d e li s e q u i v a l e n t l yt r a n s c r i b e di n t oa n o n l i n e a rp r o g r a m m i n gw i t hc o m p l e m e n t a r ya n ds l a c k n e s sc o n d i t i o n s w eg i v et h e e x i s t e n c et h e o r e mo ft h eo p t i m a ls o l u t i o nt ot h ea b o v em o d e l a ne f f i c i e n ta l g o r i t h m i sp r o p o s e dt os o l v et h em o d e la n di t sc o n v e r g e n c ei sa l s os i m p l ya n a l y z e d i ti s n e c e s s a r yt oi n v e s t i g a t et h er o b u s t n e s so f t h eo b t a i n e do b j e c t i v ef u n c t i o nb e c a u s e o ft h ee x p e r i m e n t a le r r o r s h e n c e ，as e r i e so fn o n l i n e a rb i l e v e lp r o g r a m m i n gm o d e l s i se s t a b l i s h e dt oa n a l y z et h er o b u s t n e s s n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt h eo b t a i n e d i v 大连理工大学博士学位论文 o b j e c t i v ef u n c t i o ni so fg o o dr o b u s t n e s s k e yw o r d s ：n o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m ；o p t i m a lc o n t r o l ；o p t i m a l i t yc o n d i t i o n ；b i l e v e l p r o g r a m m i n g ；o p t i m i z a t i o na l g o r i t h m ；m i c r o b i a lf e r m e n t a t i o n v 一 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：型终是缝毯罐受章上型互遗兰坌釜篮璧篓蓝鱼聿掣必一 储魏j 塑卜 日期4 年上月卓日 导师签名池黝吼 年上月掣日 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方 外，本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他己 申请学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的 贡献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：型丝丝么鎏盏扛丛茎盘堑奠蔓叁送堑坠翟珲趟龇 作者魏互q l蹶等年月望日 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 绪论部分首先将对本论文研究的背景进行论述，指出本论文的研究意义，然后介 绍与本论文研究相关的国内外研究现状和发展趋势，最后给出本论文研究的主要内容 和章节安排 1 1 研究背景和意义 自二十世纪八十年代以来，甘油发酵生产1 ，3 一丙二醇成为一个研究热点，这主要 是因为1 ，3 一丙二醇作为一种重要的化工原料，它可广泛应用于合成聚合材料的单体 以及溶剂、抗冻剂，特别是以l ，3 一丙二醇为原料生产p t t 具有较高的工业应用价值 1 ，3 一丙二醇的生产方法主要有化学合成法和微生物发酵法两种与化学合成法相比， 微生物发酵法真有利用可再生资源、选择性高、分离纯化简单、无环境污染、成本低 等优点因此，近年来，国际上微生物法生产1 ，3 一丙二醇受到高度的重视然而与化学 法相比，微生物法的产量较低，因而如何提高l ，3 一丙二醇的产量是研究的热点目前 解决的途径主要有两种： 1 ) 通过对发酵过程进行优化，提高产品收率，降低能耗、物耗，减少环境排放以 降低操作成本 2 ) 通过改进现有的生物反应技术、提高反应效率来提高产品转化率目前主要是 通过基因工程获得高效表达菌种或者通过驯化等手段获得高产菌种改进生物反应技术 微生物发酵过程是一个复杂的生长代谢过程，既有一般化工过程的特点，又有生 命体代谢反应的特点近年来，随着生物技术的深入发展，单凭经验来控制生产已远远 不能满足实际的要求而计算机技术的快速发展在客观上为我们提供了对复杂的发酵过 程进行分析和控制的手段因此，借助数学和计算机系统对发酵过程建模和模拟越来越 受到人们关注建模的目的就是做到对发酵过程定量、动态的表达，对发酵过程建模， 是实现发酵过程最优控制、提高产品质量、获得最大收益的前提 过去，人们用随机诱变及筛选的方法进行菌种改进，己在抗生素、氨基酸、有机 酸等工业生产上去的很大进展代价是随机性大，需要漫长的时间原因是人们对细胞 的生理特性理解不深，不能定向施加必要的遗传变化和环境条件来改进细胞的性能如 果能够通过建立优化模型和进行优化计算分析细胞代谢流的分配和走向，将为利用基 因改造技术或者生物酶技术提高目的产物的产量提供理论上依据和方向上的指导 双层优化是一种具有双层结构的优化问题，它包含一个上层规划问题和一个或多 微生物发酵中几类问题的建模、优化和最优控制 个下层规划问题上层问题和下层问题都有各自的目标函数和约束条件上层问题的目 标函数和约束条件不仅与上层决策变量有关，而且还依赖于下层问题的最优解而下层 问题的最优解则受上层决策变量的影响这类问题最初在1 9 5 2 年由v o n s t a c k e l b e r g 提出 b a r d 等人已证明双层优化为n p 困难的因而关于双层规划的理论和算法的研究也一直 是一个热点 最优控制理论是现代控制理论的一个主要分支，着重于研究使控制系统的性能指 标实现最优化的基本条件和综合方法最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方 案中寻找最优解的一门学科，它是现代控制理论的重要组成部分这方面的先期工作应 该追溯到维纳( n w i e n e r ) 等人奠基的控制论( c y b e r n e t i c s ) 1 9 4 8 年维纳发表了题为控 制论一关于动物和机器中控制与通讯的科学的论文，第一次科学地提出了信息、反 馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础这方面的开创性工作主要 是由贝尔曼( r e b e l l m a n ) 提出的动态规划和庞特里亚金等人提出的最大值原理钱学 森1 9 5 4 年所著的工程控制论( e n g i n e e r i n gc y b e r n e t i c s ) 直接促进了最优控制理论的 发展和形成在最优控制问题中，所要确定的控制函数称为最优控制，与最优控制相对 应的状态变量称为最优轨线因此，求解一个最优控制问题，关键在于确定其最优控制 1 2 国内外研究现状 上节已经说明了本论文研究的背景及理论意义，本节将与本文相关的非线性最优 控制、双层规划和微生物发酵法生产1 ，3 一丙二醇的国内外研究现状做一个重点介绍 1 2 1 非线性最优控制的研究概况 非线性最优控制理论与算法是非线性规划和控制论的重要内容，它处于数学规 划、工程科学、生命科学、计算机科学与经济学等交叉发展的前沿，受到了学者们的 广泛关注 1 2 1 1 最优控制理论概述 维纳在上世纪4 0 年代提出了相对某个性能指标进行最优设计的概念1 9 5 1 年，m e d o - n a l 首次将这个概念用于研究继电器系统在单位阶跃作用下的过渡过程时间最短的最 优控制问题。到了5 0 年代6 0 年代初，在空间技术和数字计算机实用化的推动下，动 态系统的优化理论得到了迅速发展，逐步形成了一个重要分支一最优控制1 9 7 0 年以 来，r o c k a f e l l a r 、c l a r k e 、l o e w e n 等人【卜叫研究了微分包含与广义b o l z a 等问题的最优性 一2 一 大连理工大学博士学位论文 条件。h a r t l 、z e i d e n 等人h 训研究了约束最优控制的极大值原理、满足r i c c a t i 方程的充 要条件。p o l a k 嘲、d o n t c h e v p l 、s c h w a r t z p l 等人在g t e a u x 可微或f r & h e t 可微条件下， 研究了非线性最优控制的最优性条件、稳定性、乘子法与r u n g e k u t t a 法迭代的逼近 我国学者也对最优控制理论进行了一系列研究，并取得了不少引人注目的成 绩我国科学家钱学森、宋键、张嗣赢、黄捷等人较早开始了最优控制的研究汪更 生归圳、楼红卫p 、高夯1 1 2 等人对多种类型的抛物型方程( 如非适定半线性的、n a v i e r - s t o k e s 型、带有非单调算子的半线性的) 和退化拟线性、半线性椭圆方程等动力系统的 最优控制问题，论述了最大值原理，对应的倒向线性伴随系统的k a r l m a n 不等式、松弛 控制及应用李训经与雍炯敏等人p 南1 4 研究了无限维空间中的控制理论，得到了抛物型 系统的最优控制问题的最大值原理李健全等人u 刨对各种非线性种群系统的控制论述了 其最优性条件王康宁u 卅对最优控制理论的数学基础作了详细的论述喻文焕牡l 埔1 就参数 带有逐点约束的识别问题做了详细的讨论冯恩民、李晓红、王慧嫒等对微生物发酵过 程中的非线性最优控制的最优性条件进行了证明n 蝴冯恩民、李安等人忙m 剐证明了侧 钻水平井最优控制问题的可控性、最优性条件并构造了优化算法 1 2 1 2 最优控制问题的主要方法 为了解决最优控制问题，必须建立描述受控运动过程的动力系统，给出控制函数 的允许取值范围，指定运动过程的初始状态和目标状态，并且规定一个评价运动过程 品质优劣的性能指标通常，系统的运动状态受到动力系统的约束，而控制函数只能在 允许的范围内选取从数学上看，求解最优控制问题可以表述为：在动力系统和允许 控制的约束下，对以控制函数和运动状态为变量的性能指标函数求极值( 极大值或极小 值) 求解决最优控制问题的方法主要有古典变分法、极大值原理和动态规划： 1 ) 古典变分法( c a l c u l u so fv a r i a t i o n s ) 变分法是研究对泛函求极值的一种数学方法，是处理函数的函数的数学领域，和 处理数的函数的普通微积分相对变分法的关键定理是欧拉一拉格朗日方程，它对应于 泛函的临界点在寻找泛函的极大和极小值时，通过对一个解进行微小扰动给出一阶变 分古典变分法只能用在控制函数的取值范围不受限制的情况，然而在许多实际控制问 题中，控制函数的取值常常受到边界限制，如电动机的力矩只能在正负的最大范围内 产生、方向舵只能在两个极限值范围内转动等因此，古典变分法对于解决许多实际最 优控制问题是无能为力的 一3 一 微生物发酵中几类问题的建模j 优化和最优控制 2 ) 极大值原t 里( m a x i m u mp r i n c i p l e ) 极大值原理是分析力学中哈密顿方法的推广，用以确定使受控系统或运动过程的 给定性能指标取极大或极小值的最优控制的主要方法极大值原理开创了在状态和控制 都存在约束的情况下，利用不连续控制函数系统地研究最优轨道的方法极大值原理 的突出优点是可用于控制函数受限制的情况，能给出问题中最优控制所必须满足的条 件，即最优性条件极大值原理是古典变分法的推广，它揭示了与变分法的深刻联系， 并刺激了更为抽象的优化问题的理论研究在工程领域中很大一类最优控制问题都可采 用极大值原理所提供的方法来给出最优控制的规律但该算法每步迭代中包含解极大值 原理中的状态方程与协态方程，还须用直接微分法求泛函的梯度等，因此使数值计算 难以实现，且要求动力系统是光滑的 3 ) 动态规划( d y n a m i cp r o g r a m m i n g ) 动态规划是数学规划的一种，同样可用于控制函数受限制的情况，是一种很适合 于在计算机上进行计算的比较有效的方法它的依据是由r e b e l l m a n 给出的最优化原 理，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题逐个求解。对于无约束最优控制问题，在 每个瞬间应用这个原理可得h a m i l t o n - j a c o b i b e l l m a n ( h j b ) 方程基于h j b 方程导出的 一个特殊方法是微分动态规j e l j ( d i f f e r e n t i a ld y n a m i cp r o g r a m m i n g ，简记为d d p ) ，它是 应用性能指标关于控制与状态轨道的t a y l o r 、二阶展开式逐次逼近其解对于线性动 力系统二次性能指标的最优控制问题，可证明d d p 法一阶收敛另外d d p 法也可应用 于非线性动力系统的最优控制问题 综上所述，具有动力系统约束的泛函极值问题的优化方法中，应用极大值原理或 动态规划原理的方法，特别是d d p 法等都要求动力系统是充分光滑的其次，当变量 较多时，巨大的计算量也是很难解决的因此在实际应用中，人们往往针对不同的最 优控制问题，在这三种理论基础上提出相应的解法例如，对于没有控制变量或终端 约束的问题，常常被转化为对状态方程给定初值，对伴随方程给定终值的两点边值问 题b r y s o n 1 和b r e a k w e l l 口利用打靶法技术解决了这类两点边值间题但是两点边值问 题的解关于估计的初始值非常灵敏甚至不稳定而m i e l e 弘叫等人提出了“多重打靶法” 解决这类问题，该方法是通过把时间区间分成若干个子区间，在每个子区间上估计初 始值，根据偏差重新估计每个子区间初始值，直到满足边界条件和在每个子区间终点 的连续性为止除此以外，一些学者还通过将最优控制问题离散化来求最优控制规律 对于离散化的最优控制问题最早使用的是有限差分方法，后来t s a n g 等人引入了配置 法瞄引，t a n a r t k i t 不 b i e g l e r 等人在此方法的基础上引入误差量作为约束来确定增加的 一4 一 大连理工大学博士学位论文 结点和位置，从而使该方法得到了进一步发展像这样的例子还有很多，正是这些新方 法不断丰富着最优控制理论和算法的研究 1 2 1 3 最优控制问题的最优化方法 最优控制，又称为动态( 过程) 最优化，它所研究的中心问题是：如何根据受控系统 的动态特性，在满足一定约束条件下，寻求最优控制规律，使其在规定的性能指标下 具有最优值，即寻找一个容许的控制规律使动态系统从初始状态转移到某种要求的终 端状态，保证所规定的性能指标达到最小( 大) 值对于比较复杂的问题，最优控制解的 存在性和唯一性的证明是比较复杂的，有时甚至是不可能的，一般的研究都是假定最 优控制问题有唯一解 最优控制的实现离不开最优化方法，最优化方法是研究和解决如何将最优化问题 表示为数学模型以及如何根据数学模型尽快求出其最优解这两大问题一般而言，用 最优化方法解决实际工程问题可分为三步进行：一、根据所提出的优化问题建立数学 模型，确定变量，列出约束条件和目标函数；二、对所建立的数学模型进行具体分析 和研究，选择合适的最优化方法；三、根据最优化方法编写程序，用计算机求出最优 解，并对算法的收敛性、通用性、简便性、计算效率及误差等作出评价 一般说来，解决具有动力系统约束的泛函极值问题，即求解最优控制问题的优化 方法有三种：一、基于变分原理推导出的最优性条件，即基于极大值原理的算法，该 算法每步迭代中包含解最大值原理中的状态方程与协态方程还需有直接微分法求泛函 的梯度等，因此使数值计算难以实现，且要求动力系统是光滑的二、动态规划法，如 前面所述三、解约束或无约束最优控制问题的非线性规划法( n o n l i n e a rp r o g r a m m i n g ， 简记为n l p ) 该方法的第一步是对控制函数的参数化，即利用内插技术，把内插函数 的系数作为优化变量n l p 法中存在的主要问题是如何保证内插函数张成的集合就是所 要求的允许控制集，因允许控制集一般为无限空间中的子集，其次还需利用直接微分 法求性能指标泛函关于优化参数的梯度，因此需十分巨大的计算量将n l p 法用于非线 性分段光滑动力系统为约束的泛函优化问题时，以内插型函数生成的集合不能逼近允 许控制集，所以用n l p 法求解此类问题只能得到较好的可行解，无法保证获得最优解 其次，当变量较多时，巨大的计算量也是难以解决的 综上所述，对以非线性分段光滑动力系统为约束的泛函极值问题，即一类特殊的 最优控制问题的研究，当前仅限于不可微动力系统解的存在性、正则性、可控性、稳 定性、鲁棒性等定性理论研究对如何求此类问题的数值优化理论与算法研究的极少 而这些工作是工程科学、生命科学、经济学等许多交叉学科迫切需要的 一5 一 微生物发酵中几类问题的建模、优化和最优控制 1 2 1 4 最优控制问题的类别 目前研究最优控制最活跃的理论有：鲁棒控制、预测控制和混沌优化控制 鲁棒控制是针对不确定性系统的控制系统的设计方法，其理论主要研究的问题是不 确定性系统的描述方法、鲁棒控制系统的分析和设计方法以及鲁棒控制理论的应用领 域鲁棒控制理论发展的最突出的标志之一是h o 。控制h o 。控制从本质上可以说是频域内 的最优控制理论。鲁棒控制与最优控制结合解决许多如线性二次型控制、电机调速、 跟踪控制、采样控制、离散系统的镇定、扰动抑制等实际问题 预测控制又称为基于模型的控制，是一类新型计算机优化控制算法，其本质特征 是预测模型，滚动优化和反馈校正滚动优化反复在线进行，不同时刻优化性能指标的 时间区域及绝对形式均不同这种滚动优化能对系统因多种因素而引起的不确定性进行 及时弥补，始终把新的优化建立在实际的基础之上，使控制系统保持实际上的最优 混沌是一种普遍的非线性现象，是指在确定性非线性系统中不需附加任何随机因 素亦可出现类似随机的行为，但存在精致的内在规律性混沌运动具有随机性、遍历 性、规律性等特点混沌运动的基本特征是运动轨道的不稳定性，表现为对初值的敏感 依赖性或对小扰动的极端敏感性混沌运动在一定的范围内按其自身的规律不重复地遍 历所有状态，这种遍历性可被用来进行优化搜索且能避免陷入局部极小因此，混沌优 化技术已成为一种新兴的搜索优化技术 1 2 2 双层规划的研究概况 1 9 7 7 年c a n d l e r 和n o r t o n 在他们的研究报告p u 中首次提出了二层规划和多层规划的 概念，其实早在1 9 7 3 年b r a c k e n 和m c g i up 引就给出了二层规划的模型，然而直到上世纪 年7 0 代，受s t a c k e l b e r g 3 3 在对市场经济研究的专著中建立的博弈模型的影响，二层规划 问题的研究才得到了应有的重视，许多学者才开始广泛地研究二层规划并且对数学规 划的这个分支的发展作出了巨大贡献，不仅在二层规划的理论研究上取得了重大的成 果，而且还提出了许多求解二层规划的算法推动二层规划快速发展的主要动力来在自 实际问题的应用，而二层规划理论的发展也促进了它在实际问题中的应用 1 2 2 1 双层规划问题概述 双层规划问题是一类具有主从递阶关系结构的数学模型，与一般的单层优化不 同，双层规划的某些约束是由一个或多个优化问题确定的双层规划的一般形式为： m i n i ( x ，y ) 6 一 大连理工大学博士学位论文 s t z q 1 ( 1 1 ) y a r g m i n g ( x ，y ) w q 2 ( z ) ) 其中，o 是上层决策变量，是下层决策变量显然，上层的决策将直接影响下层的决 策，而下层将在上层给定的条件下做出最优反应并把结果反馈到上层 双层规划模型的应用越来越广泛，许多问题最终都可以利用双层规划模型进行 描述但是，双层规划模型的求解异常困难，原因之一就是由于双层规划问题是一 个n p 一困难问题，也即不存在多项式求解算法双层规划的非凸性是造成双层规划问 题求解异常复杂的另一重要原因双层规划可分为线性和非线性双层规划问题线性双 层规是双层规划问题中最简单的一种，其全局最优解在约束域的极点上达到尽管如 此，线性双层规问题依然是强n p 一困难问题 在研究双层系统最优化问题时，一般假设下层规划问题对上层任何给定的决策有 唯一解，否则上层规划问题是不确定的但更常见的情况是下层规划最优解不唯一， 而是存在一个解集，此时要求能从给定的解集中确定一个唯一解作为下层的响应在假 设构成函数连续可微等一些较强的条件下， 响应反馈到上层当构成函数为不可微时， 甲m 1 综述了下层解不唯一时的研究状况 1 2 2 2 双层规划问题的主要研究成果 文献m - 3 6 1 用下层规划的极值函数作为下层 情况要复杂的多王广民、万仲平和王先 自上世纪7 0 年代以来，许多国内外学者对双层规划进行了较为深入的研究，在解 的存在性、最优性条件、算法和应用方面取得了一系列可喜的成果 双层规划问题是一个n p 一困难问题，j e r o s l o w p 驯第一个证明了线性双层规划 是n p 一困难问题；b a r d p 剐用另一种方法也证明了这个结论；最严格的证明是h a n s e n 等 人卜叫提出的，他们证明了线性双层规划是一个强n p 一困难问题；后来v i c e n t e 等人证 明了寻找双层规划的局部最优解，也是一个n p 一困难问题b e n a y e d 呻1 分析了二层线 性规划问题的计算复杂性；b l a i r h 驯研究了多层线性规划的计算复杂性王先甲和冯尚友 在他们的专著m 1 中研究了各类下层以最优值反应到上层的二层规划问题的性质和最优 性条件。 最优性条件是数学规划中最优解满足的条件，是寻找求解数学规划问题算法 的理论基础b a r d 卜州最早进行了线性二层规划问题最优性条件的研究，他应用一 个与原问题等价的带有无限维参数化约束集的单层规划得到了一些最优性条件 在此基础上，b a r d 等h 6 4 7 1 给出了求解二层线性规划的算法c l a r k e ；r ：i w e s t e r b e r g 1 以 及h a u r i e ，s a v a r d 和w h i t e 惮驯举出了这些条件的反例，因此，基于这些条件的算法是 7 一 微生物发酵中几类问题的建模、优化和最优控制 不收敛的这些对非线性二层规划的最优性条件的研究大都是在凸连续可微和其 它较强假定条件下进行的o u t r a t a 郾1 ，f 1 0 r i a n 和c h e n 扣叫利用非光滑分析得到了二 层规划的一些充分必要条件而y e 等人【w 利用精确罚函数和非光滑分析得到了广义 二层规划的k u h n t u c k e r 最优性必要条件y e 等归训在给定某一约束品格的条件下又给 出了二层规划问题的k u h n - t u c k e r 最优性必要条件y e 归钏为了研究二层动态问题的 最优性条件将其转化为单层规划，并且在二层规划上层决策变量摄动的情况下对 下层进行了灵敏度分析，进而得到了二层动态问题在c a l m n e s s 约束品格下的一阶 最优性充分条件刘国山和韩继业p 驯则讨论了非凸二层规划间题的最优性条件近 来b a b a h a d d a 和g a d h i 应用c o n v e x i f i c a t o r 的概念给出了二层优化问题的最优性必要条 件，从而介绍了一个适当的正则条件来认识l a g r a n g e k u h n t u c k e r 乘子睛倒y e 瞵7 1 扩充 了一些常见的非线性二层规划的约束规格并在需要假设下层规划问题满足m a n g a