（运筹学与控制论专业论文）模糊测度空间上集值函数的收敛性和choquet积分.pdf

摘要 本文研究了非可加测度的一些结构特性和模糊测度空间上的可测函数( 单值和集值) 的收敛性以及c h o q u e t 积分的一些性质，主要工作如下： ( 1 ) 引入了单调集函数的几种连续性并给出l e b e s g u e 定理在单调测度空间上的四种 推广形式，讨论了单调集函数的上( 下) 连续性和模糊积分，c h o q u e t 积分的单调收敛定理 之间的等价性，证明了单值函数c h o q u e t 积分的控制收敛定理 ( 2 ) 研究了模糊测度空间上闭集值可测函数( 也称随机集) 的收敛性，分别证明了有 限模糊测度空间上和单调测度空间上关于闭集值可测函数的两种形式的e g o r o f f 定理 ( 3 ) 作为实值可测函数的c h o q u e t 积分的推广，在模糊测度空间上给出了可测集值 函数的数值c h o q u e t 积分的定义，讨论了这种积分的性质，并证明了可测集值函数的数值 c h o q u e t 积分的单调收敛定理，f a t o u s 引理以及l e b e s g u e 收敛定理 关键词：集函数，模糊测度，集值函数，l e b e s g u e 定理，e g o r o f f 定理，c h o q u e t 积 分，模糊积分 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，s o m es t r u c t u r a lc h a r a c t e r i s t i c so fn o n a d d i t i v en l e a s u r ea r es t u d i e dt h ec o n v e r g e n c eo ft h em e a s u r a b l ef u n c t i o n s ( s i n g l e v a l u e da x e ds e t - v a l u e d ) a n ds o m ep r o p e r t i so fc h o q u e t i n t e g r a la r ed i s c u s s e d i ti so r g a n i z e da sf o l l o w s ： 【1 ) f o u rk i n d so fc o n t i n u i t yo fm o n o t o n es e tf u n c t i o na x ei n t r o d u c e da n df o u rf o r m so fg e n e r a l i z a t i o no nm o n o t o n em e a s u r es p a c ef o rl e b e s g u et h e o r e ma x ep r e s e n t e d t h e e q u i v a l e n c ea m o n g t h ec o n t i n u i t yf r o mb e l o wa n da b o v eo fm o n o t o n es e tf u n c t i o na n dt h em o n o t o n ec o n v e r g e n c et h e o - r e m so ff u z z ya n do fc h o q u e ti n t e g r a l sa r ed i s c u s s e d ，r e s p e c t i v e l y d o m i n a t e dc o n v e r g e n c et h e o r e m o fc h o q u e ti n t e g r a lo fs i n g l e - v a l u e df u n c t i o ni ss h o w n ( 2 ) t h ec o n v e r g e n c eo ft h em e a s u r a b l ec l o s e d - v a l u e df u n c t i o n ( a l s oc a l l e dr a n d o ms e t ) i ss t u d l e dt w of o r m so fe g o r o f ft h e o r e mo ft h em e a s u r a b l ec l o s e d - v a l u e df u n c t i o no nm o n o t o n en l e a s u r e s p a c ea n do nf i n i t ef u z z ym e a s u r es p a c ea x ep r o v e d ，r e s p e c t i v e l y ( 3 ) t h ec o n c e p to fc h o q u e ti n t e g r a lo ft h em e a s u r a b l es e t - v a l u e df u n c t i o n so nf u z z ym e a s u r e s p a c ei si n t r o d u c e d i ti sa sag e n e r a l i z a t i o no ft h ec h o q u e ti n t e g r a lo fm e a s u r a b l es i n g l e - v a l u e d f u n c t i o n st h ep r o p e r t i e so fc h o q u e ti n t e g r a la x ed i s c u s s e d m o n o t o n ec o n v e r g e n c et h e o r e m ，f a t o u l s l e m m aa n dl e b e s g u ec o n v e r g e n c et h e o r e mo fc h o q u e ti n t e g r a la r ep r o v e d ，r e s p e c t i v e l y k e y w o r d s ：s e tf u n c t i o n ，f u z z ym e a s u r e ，s e t - v a l u e df u n c t i o n ，l e b e s g u et h e o r e m ，e g o r o f f t h e o r e m ，c h o q u e ti n t e g r a l ，f u z z yi n t e g r a l 一、学位论文独创性声明 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材 料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了 谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名：耋羔监日期；翟蚪 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复 印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包 括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生院办理 签名：导师签名： 耄霾 日期；丛：三 第一章引言 自从1 9 6 5 年美国控制论专家laz a d e h 发表关于模糊集1 1 1 的开拓性论文“后，模糊 数学的研究获得了迅猛发展，目前已形成了一门具有广泛应用的新学科正像经典测度与积 分理论在经典数学中占有的位置，模糊测度与模糊积分引起了许多学者的关注1 9 7 4 年， 日本学者s u g e n o 在 2 3 中首次提出用比较弱的单调性和连续性来代替可加性的另一类定义 在闭区间 0 ，1 上的集函数，称之为模糊测度，它是指满足以下条件的集函数： ( 1 ) p ( 0 ) = 0 且u ( x ) = 1 ，e c f = = 争p ( e ) p ( f ) ， ( 2 ) 若 r ) 为m 中的单调集列，则l i _ + o 。p ( r ) = p ( 1 i 。o 。r ) 并相应地定义了可测函数关于模糊测度的积分 1 9 8 0 年1 ：瑚e s c u 和a d a m s 2 2 】将s u g e n o 意 义下的模糊测度推广取值于 0 ，+ 。】上 由于模糊测度通常不具有可加性，难以完全建立相当于经典测度论中的理论体系，为 此人们在研究中往往对模糊测度附加一些诸如”次可加性”、 一律等条件，但这些条件 往往是比较强的，所以具有一定的局限性后来王震源在 2 5 ，2 6 中提出了较弱的自连续和 零可加等重要的概念，并与1 9 8 6 年更进一步提出了伪自连续，伪零可加等概念，讨论了模 糊测度空间上可测函数序列各种收敛之间的关系以及积分序列的收敛性，推广了经典测度 论中著名的l e b e s g u e 定理、r i e s z 定理、e g o r o f f 定理以及l e b e s g u e 控制收敛定理等，王震 源的这些工作被系统的总结在他与k l i r 的专著f u z z ym e a s u r et h e o r y 2 7 中 近几年，对模糊测度和模糊积分的研究又有了新进展，如哈明虎和吴丛忻在f 2 2 中系统 总结了他们在这些方面的研究成果，得到了一系列有意义的结果李军在 1 3 】中证明了古典 测度中的e g o r o f f 定理在有限模糊测度空间是无条件成立，从而使得e g o r o f f 定理在有限模 糊测度空间上的推广工作得到实质结果，在 1 4 中，在强序连续和性质( s ) 的条件下，得到 了模糊测度空间上的广义e g o r o f f 定理，在 1 2 】中，得到了模糊测度空间上的l e b e s g u e 定理 的充分必要条件是强序连续的以上结果对进一步完善模糊测度理论有非常积极的意义 2 0 世纪初期，集值映射的引进，首先来源于经济系与控制系的需要比如在经济系中， 消费计划、预算和供给、生产计划都是商品空间的集合，为了研究经济系的均衡问题，必须 研究取集值的映射，因为在经济系统中有不可忽视的人的动因产生的不同效用1 9 6 4 年，经 济学家兼数学家a u m a n n 从经济系统理论的研究出发，引进了集值映射由于集值映射在控 制领域和经济领域具有很广的应用，所以集值映射具有很高的研究价值张文修在 3 】3 中， 系统的讨论了测度空间上可测集值函数的性质，刘彦魁在f 1 5 】中又将集值函数的收敛性问 题从测度空间推广到模糊测度空间上，并详细讨论了关于集值函数的l e b e s g u e 定理，r i e s z 定理，e g o r o f f 定理以及他们的各种推广形式，其中在f 1 5 中所用的模糊测度就是r a l e s c u 和a d a m s 2 2 1 意义下的模糊测度 19 6 5 年，a u m a n n 在经济学问题的启发下，以可测集值映射的单值l e b e s g u e 可积选择 】 东南大学硕士论又 定义了兄“空间中集值函数的积分，称为a u m a n n 积分6 1 。m m - a m - 积分出现以后，集值函 数的积分理论大量应用在数学，经济，控制以及其他领域，引起了许多学者的关注。关于数 学方面的工作主要集中在z h a n g 3 】，p u r ia n dr e l e s c u 2 1 等等但是无论是数学领域还是经 济领域以及其他领域他们的工作都是基于经典的l e b e s g u e 积分伴随着模糊测度与模糊积 分理论的产生和发展，一种自然的想法就是建立集值函数的模糊积分，由于最常见的模糊积 分是s u g e n o 模糊积分，从而可以仿照a u m a n n 积分的定义，仍然利用单值可测选择的模糊 积分来定义集值函数的模糊积分基于这种考虑，文献 2 9 ，3 0 ，3 1 的作者定义了集值函数 的模糊积分，将a u m a n n 积分推广到模糊测度空间。近几年，基于非可加集函数的c h o q u e t 积分也引起了许多学者的关注，例如m o r u f u s h ia n ds u g e n o 1 8 ，1 9 ，m e s i a r 1 7 ，w a j l g 2 8 ， p a p 2 0 】等等，他们所有的工作都是关于单值函数的相对于集值函数的模糊积分，集值函 数的c h o q u e t 积分的概念也被人提出来了，这些积分的基本性质也被讨论了( f 8 ，3 1 1 ) 本文将进一步研究非可加测度的一些结构性质和模糊测度空间上可测函数( 包括实值 和集值函数) 的收敛性以及可测集值函数的c h o q u e t 积分的一些性质论文分为四章，第一 章为绪论，第二章为预备知识，主要给出模糊测度与模糊积分理论中的一些基本定义和性 质。 第三章将讨论模糊测度空间上实值可测函数收敛与依测度收敛的关系，进一步推广可 加测度论中的l e b e s g u e 定理由于在非可加测度论中，”几乎处处”与”伪几乎处处”这 两个概念不等价，因此l e b e s g u e 定理的推广就具有不同的形式第一节给出了单调集函数 的四种连续性结构，并讨论了这四种连续性和单调集函数的上、下连续性之间的关系第二 节证明了在单调测度空间上的四种类型的l e b e s g u e 定理在 1 6 和 27 】中，m u r o f u s h i 和 王震源在集函数的上连续性、下连续性的条件下分别证明了c h o q u e t 积分和模糊积分的单 调收敛性定理我们在第三节将分别证明单调集函数的上连续性、下连续性与模糊积分和 c h o q u e t 积分的单调收敛性定理三者之间的等价性最后将利用第一节推广的l e b e s g u e 定 理证明c h o q u e t 积分的控制收敛定理 第四章讨论了模糊测度空间上可测闭集值函数( 也称随机集) 的e g o r o f f 定理在经典 测度论中，e g o r o f f 定理是非常重要的收敛性定理之一 9 】在 2 7 中，王震源利用模糊测 度的零可加性将经典测度论中可测实值函数的e g o r o f f 定理推广到有限模糊测度空间上李 军在 1 3 中进一步证明了在有限模糊测度空间上，可测实值函数的e g o r o f f 定理是成立的而 无须对模糊测度附加其它条件在本章第二节，我们利用强序连续和性质( s ) ，证明单调测 度空间上可测闭集值函数的e g o r o f f 定理，在下半连续和性质( p s ) 的条件下，证明可测闭 集值函数的伪e g o r o f f 定理第三节我们将证明可测闭集值函数的e g o r o f f 定理和伪形式的 e g o r o f f 定理在有限模糊测度空间上仍然成立以上结果进一步推广和完善了王震源f 27 1 ， 李军f 1 3 1 ，刘彦魁 1 5 】等人的结果。 c h o q t m t 积分是基于非可加测度的一种非可加和非线性积分。在【1 8 ，1 9 ，1 7 ，2 8 ，2 【j 】中， 许多学者分别研究了可测实值函数的c h o q u e t 积分的性质和积分收敛定理。第五章我们将 讨论可测集值函数的c h o q u e t 积分，在第一节我们给出可测集值函数的数值c h o q u e t 积分 的定义并讨论它的基本性质，它可被认为是实值可测函数的c h o q u e t 积分的一种推广，在第 二节讨论了这种积分的收敛性，证明了可测闭集值函数的c h o q u e t 积分的单调收敛定理， f a t o u 引理，最后利用可测闭集值函数的f a t o u 引理证明了c h o q u e t 积分的控制收敛定理。 第二章预备知识 为了后面叙述问题的方便，本章主要介绍一些定义，定理以及引入一些符号 2 1 模糊测度 在本论文中，用符号“”( 或“夕”， “一”) 代表“单调递减收敛”( 或“单调递 增收敛”，“收敛”) j p 代表m 一维欧氏空间，d 代表r ”上的欧氏度量 定义2 1 1 ：设x 是一个非空集合，为x 的一个子集族，若，满足下述性质r ( 1 ) xe ， ( 2 ) 若a ，则x a ， ( 3 ) 若a 。，= 1 ，2 ，) ，贝0 u 甚1 a n ， 那么我们称，为一个一代数。 定义2 1 2 ：设x 是一个非空集合，是由x 的某些子集组成的口代数，并设： ，_ 0 ，+ 。 是一个单调集函数，即“满足以下条件： ( 1 ) p ( 0 ) = 0 ； ( 2 ) v a ，b ，ac b 哥u ( a ) ( b ) 当p 是单调集函数时，( x ，p ) 称为单调测度空间【2 0 】 注解t 文献 1 6 中，单调集函数p 被称为模糊测度 1 9 8 0 年，r a l e s c a 和a d a m s 2 2 将s u g e n o 模糊测度推广到【0 ，。 上 定义2 1 3 2 2 】：模糊测度p ：，- + 0 ，。】是指满足下面的性质： ( f m l ) p ( 日) = o ； ( f m 2 ) a ，b ，a c b ，有p ( a ) p ( b ) ； ( f m 3 ) 若a 1ca 2c ca 。c ，a 。，则有 。 熙p ( ) 2p ( u a n ) ； ( f m 4 ) 若a 1 ) a 2 ) 3a 。d ，a 。，并且存在k ，使得p ( 九) a ) = 。x ：f ( x ) a ) ，( v 口o ) 定义2 2 ，2 1 1 6 ：可测函数，：x - + r + 在a ，上的c h o q u e t 积分定义如下 rf o o ( c ) f d # = p ( r n a ) d a j aj 0 其中上式右端为l e b e s g u e 积分，f 0 = 扣a ：，( u ) ho o ) 容易看出，可测函数，关于模糊测度p 的c h o q u e t 积分总是存在的因此， 若( c ) f d p o ) 定理2 3 7 4 ：设晶1 ) 是闭集列，f 是闭集，下列命题等价： ( 1 ) fc l i n m _ + i 。n f f t l ( 2 ) 撬( f e 晶) 2o ( e o ) 定理2 3 8 1 3 t 设( n ，只p ) 是有限测度空间，( x ，d ) 是可分的度量空间，f r ( n 1 ) ，f 是n 到x 的随机集族，则下面命题等价： ( 1 ) 0 骢晶( u ) 2f ( “) ( 一p ) ( 2 ) 典d ( 。，r ( u ) ) = d 0 ，f ( u ) ) ( o ep ，z r m ) 第三章单调集函数的连续性与可测函数序列的收敛 l e b e s g u e 定理是可加测度理论中最重要的收敛性定理之一，它陈述为在一个有限测度 空间上，实值可测函数序列 a ) 几乎处处收敛于，蕴含着 0 ，均有l i m 。+ m p ( 忙x ：i ( z ) 一f ( x ) i 0 ，有恕p ( 如：i ( z ) 一l f a ) ) = p ( x ) 一特别地取口= 时，0 骢肛( z ：i 扛) 一l f t ) ) d t 另一方面， 1 0i ft 1 扣| x a 。 t ) = 【a n i f0 t 略= 【a i f0 t 舳= f o l # ( a ) d t 刊a ) 所以，t z ( a 。) ( ) 这说明p 是下连续的 ( 1 ) 辛( 3 ) ：利用文献 1 6 】中的引理77 ，证明与文献【1 6 】中的定理7 5 相同。 ( 3 ) = 争( 1 ) ：假设 a 。) c ，并且a 。a 我们分两种情况讨论： ( i ) 当卢( a ) = n + 。时，定义可测函数序列如下： fn i fz a 。 ( z ) = a x n 。= 1 0i fz y a n n = 1 ，2 一，并且 ，( 。) = a x a = fa inio l0j fz x a 则在a 上，n 夕f 由已知条件得 ( s ) f f 。d “( s ) f d , u ( n - + o o ) ， 即 ( s ) 。咖( s ) 蝴斯m - + 毗 又根据文献【1 6 中定理7 2 ，可得 ( s ) a x a 。如= na 卢( a n ) = u ( a n ) 且 ， ( s ) a x a d , u = oa p ( a ) = p ( a ) ， 因此p ( 。) 夕p ( a ) ( i i ) 当“) = + 。时，我们证明 。l _ 十i m 。“( 九) = + 。o 如果l i r a ( a 。) = a + o o ，则有( + 1 ) x a 。夕( 0 + 1 ) x a 由条件得 ( n + 1 ) 咖夕( n + 1 ) m 咖， 由模糊积分性质 ( 0 + 1 ) a “( a 。) ( a + 1 ) a p ( a ) 从而p ( a n ) ( 0 + 1 ) 这与。l 。i m 。p ( a n ) = 。矛盾所以。l _ + i m 。p ( 如) 2 + o 。 定理证毕 与定理3 3 1 的证明类似，我们可以得到以下结果： 定理3 3 2 ：设p 是单调集函数以下两条件等价 1 ) “是上连续的 ( 2 ) 对任意 ，n ) f + ，n ，且( g ) f f l d p o 。有 。旦( g ) 咖= ( 口厂胁- 东南大学项士沦文 若“是有限的，则以下条件与上面两条件分别等价 ( 3 ) 肘任蕙 ) cf + ，a ，有 。1 i m ( s ) f n d # = ( s ) f y d # 下面我们利用定理3 2 1 给出c h o q u e t 积分的控制收敛定理 定理3 3 3 ；设p 是单调集函数且在零集连续， ，n ) c f + ，f + ， 兰粤，如果存在 g f + ，使厶g ( 对任意n 1 ) 且( c ) j 目舢 。，则( c ) f 札 o 。，( g ) ，咖 。且 。+ l i r a 。( c ) | 厶一，j d p2 0 证明： 因为( g ) f g d , 0 ，使得 z “p ( 。：2 9 ( z ) t ) ) d t i ，。， kp ( 。：2 9 ( 2 ) 。) ) 4 。 0 ，p ( z ：l 厶( 。) 一，( 。) i 口) p ( z ：2 9 ( x ) t ) ) 于是， 。 -p(z：|，n(。)一m)lt)dtjo ；o 相 胁圳一x f ( x ) l t ) a t n 时 于是当n n 时 证毕。 r 州圳舯) _ ，( 圳纠) 虮1 3 厶川伽：| 川_ ，知) | 刭) ) 出 一 f ， 一 z 厶扣 一 p e 一3e 。汁 + e 一3 0 和r 中的任意紧集k ，存在v ( e ，) ，当n _ v ( e ，) 时，有 e ( = ( ) ) = a ， 则称 r ) 在e 上一致收敛于f ，记作r 马p ( 2 ) 如果存在e 的可测集合序列 四k ) ，满足 l 骢p ( ) 2 0 ， 并且在e 五k 上，咒竺f ，( m = 1 ，2 ) 则称 r ) 在e 上几乎一致收敛到f ，记作 r 马f ( 3 ) 如果存在e 的可测集合序列 点) ，满足 i 粤b p ( 曰e m ) 2p ( e ) ， 并且在e e 。上，f n 与f ( m = 1 ，2 ) ，则称 r ) 在e 上伪几乎一致收敛到f ，记作 晶攀只 ( 4 ) 如果对任意c e n ，在c 上，晶巴骂只那么我们称 晶，在e 中伪几乎一致收 敛到f 其中： e ，( “j )= x 科“；d ( x ，f ( u ) ) 0 ，有： 。 x 础x u 鲫( m 一。) m = 1 因为p ( x e ) = 0 所以p ( x 舀础) p ( x e ) = 0 ，即p ( x e ) = 0 m = l 根据p 具有强序连续性可得 l 骢p ( x 瑚) = 0 所以存在 x 鲋) 的子列 x 删) 满足： p 础) ，( v l 1 ) 所以 l i r a u ( x 0e 鬻) = 由p 具有性质( s ) 可知：存在 x 础 的子序列 x 磷 ) 满足 p ( nu x 硪：) ) = 0 ，( f l f 。 0 和r m 的紧集k 存在正整数f t 。( e ，k ) ，满足e z 。( e ，) 0 p ( u 础) = p ( a ) l 骢p ( 础) = p ( a ) 所以存在忙船；f ，f n , 1 ) 的子列怛虢) 满足： ( 1 ) 若p ( a ) 0 和r ”的紧集k ，存在正整数l i o ( t ，k ) ，满足e f 。 t ，kc 瓦： 由 小f kc 硪： n “j x ； ( 晶e f ) u ( f e 晶) ( u ) n = a ) t 0 所以当n 兰( e ，k ) = m i ；。时， a f k ( a 叠( ) ) = “a 耳； ( f n e f ) u ( f e f n ) ( u ) n k o ) = o 因此r 攀f 4 3模糊测度空间上的e g o r o f f 定理 本节中我们给出在有限模糊测度空间上的e g o r o f f 定理和伪e g o r o f f 定理，设( x ，p ) 是模糊测度空间，并且p 是有限模糊测度， 晶协1 ) ，f ) cp 伍) 定理4 3 1 ：在a ，上， 晶马f 昔r 马f 。 证明：设0 0 ，令 础= n u a ； ( e 。q f ) u ( f e f r ) 】( u ) n g = o ) ， 吣 j | 瓦 nu r f u f r a u 驯。n 一 nn = = r a 东南大学硕士论文 r j f f e c 霹c 且nu 聊= a d f = l m = l 所以可得： o 。o 。 p ( unu 如a ；【( r e f f ) u ( f e ? r ) ( u ) n 西o ) ) = ( d ) = 0 7 = l m = l 所以由肛的连续性可得z 0 粤b “( u u a ； ( r e f f ) u ( f q r ) ( u ) n 巧o ) ) = o n = 仇 令 d 卿= u u ； ( 晶q f ) u ( f q r ) ( u ) n 研o ) ， d ( ) = nj d 卿， t n ；1 d = u d ( “ 令 与文献 1 3 的证明方法一样，我们可得到一个集合列忙哦) ，利用单调性，我们可得 0 0 p ( u d r o 1 1 l p ( u d 裁u d ) o 和r 的紧集k ，存在正整数1 0 ( e ，耳) ，满足1 0 e ，kc 瓦 由 o o e cn u a ； ( 晶e f ) u ( f e r ) ( u ) i - i k ：o ) ， f ，2 = m f “ 2 2 e 阳 d u “ = g 乐南大学顽士论文 所以当n ( e ，k ) = f n 时， e ( 矗( k ) ) = ue 曰； ( 只，e f ) u ( f e f , 。) ) n k 0 ) = o 因此在e 上，r 与f 推论4 , 3 2 ：若p 是零可加的，则在a y 上， d 扛，r ( u ) ) 马d ( x ，f ( u ) ) = = d 扛，r ( u ) ) 兰与d 扛，f ( u ) 定理4 3 3 ：在a ，上， 晶驾f 哥f n 攀p 证明；参见文献 1 5 推论4 3 4 ：若p 是零可加的，则在a ，上 d ( 。，r ( u ) ) 巴! 毒d ( z ，f ( u ) ) = d ( x ，r ( u ) ) 攀d ( z ，f ( u ) 第五章集值函数的c h o q u e t 积分 在本章我们假定( x ，) 是一个可测空间，p 是，上的模糊测度，r + = 0 ，o o ， p ( 月+ ) 表示r + 的所有子集构成的类，( r + ) = p ( 佗+ ) d ) 集值函数f ：x p o ( r + ) 称 为可测的，如果它的图是可测的，即 g r ( f ) = ( z ，r ) x r 十：r f ( z ) ) ，x b m e l ( r + ) 其中b o r e t ( r + ) 表示r + 的b o r e l 集全体 近几年来，集值函数的c h o q u e t 积分受到许多学者的关注，在可测空间( x ，) 上，设 f 是一个集值函数，a ，则f 在a 上的c h o q u e t 积分定义如下： rr ( c ) ，虮= “g ) f d # ：，s ( f ) ) 其中s ( f ) = ，：，是可测的且，( u ) f ( u ) p g e ) 上面定义的集值函数的积分是a u m a n n 积分的推广在本章我们给出集值函数的c h o q u e t 积分的另一种定义，它是可测单值函数的c h o q u e t 积分的推广下面我们先给出它的定义 5 1 基本定义及性质 可测函数，：x - - 4 r + 在a ，上的c h o q u e t 积分定义如下： ( g ) 上，舡= z 。肛( r n a ) 如 上式右端为l e b e s g u e 积分，f 0 = u a ：，( u ) 口) 按照单值可测函数c h o q u e t 积分的定义，我们得到下面可测集值函数的c h o q u e t 积分 定义5 11 ：可测集值函数f ：x - - - - 4p 0 ( r + ) 在a f 上的c h o q u e t 积分定义如下： ( g ) f 札= p ( r n a ) d c y j j 0 上式右端为l e b e s g u e 积分，r = 扣a ：f ( u ) n h o c 】0 ) 注解：定义5 1 1 显然是单值可测函数的c h o q u e t 积分定义形式的推广 注解：为了书写简单，我们下面在讨论x 上的积分时，用f d # 代替f d # jj 爿 4 乐甬穴学项士论文 由定义511 可以直接得到下面的性质。 性质j 1 2 ：设f 是可测的集值函数，若p ( a ) = 0 ，则有( c ) f d , u = 0 ja 定义513 ：设f 和g 是可测的集值函数，若对u x 有 f ( u ) = g ( u ) p a e 则称f 与g 几乎处处相等，记作f = gu n e 定理5 1 4 ：设f 和g 是可测的集值函数，若f = g i z a e ， 则( g ) - 厂f 咖= ( c ) f g d p 当且仅当p 是零可加的 证明：“车= ”由f = gp n e 知， p ( u ：f ( u ) g ( u ) ) ) = 0 而 u ：f ( u ) n 【a ，o o 】毋) u u ：f ( u ) g ( u ) ) = u ：g ( u ) n f n ，o g 0 ) u “：f ( u ) g ( u ) ) 由p 的零可加性知p ( r ) = p ( g 。) 因此 婚、l 脚= f 油= l ，o ou 旧抽i l e 、lg 如 “号”任意d ，e ，且p ( e ) = 0 若p ( d ) = 0 0 ，由p 的单调性可知： p ( d u e ) = p ( d ) = 。 若肛( d ) p ( d ) 成立，令 若u d u e 其它 若u d 其它 则 p ( f ( u ) g ( u ) ) ) = p ( d 曰) p ( e ) = 0 所以 f ( w ) = g ( u ) p “_ 切 聊 u u d d p p i i d d 吣。 阻o ，、【，、 = = ) ) u u f g 东南大学硕：_ 论文 ( g ) 产舡= ( g ) g d # 而 ( g ) f d “= z 。p ( r ) d a = z “。8 p ( r ) d n = p ( d u e ) “( du e ) ( g ) g 批= z 。p ( g 。) 妇= 上“。8 p ( g 。) d 。= p ( d u e ) p ( 。) 所以( g ) f f d # ( g ) f g d l 【与假设矛盾，故假设不成立，因此p 是零可加的 定爻5 1 5 ：可滴集值函数f 称为c h 。q u e t 可积的，如果( g ) f 如 _ ( c ) f d , uv ( c ) g d , u ，其中( f vg ) ( u ) = 。v k n f ( u ) 1 6 g ( u ) ) ( 2 ) ( g ) f f a 咖s ( g ) f 咖 ( g ) g 础，其中( f g ) ( u ) = a a b , aef ( 毗6 g ( “) ) ( 3 ) ( a ) f d p ( g ) f 咖v ( c ) f 如 j u 口 ja j 且 ( 4 ) 旧) a o b f d g , ( g ) 。脚邶) 。脚 5 2c h o q u e t 积分的收敛定理 下面我们给出单调可测闭集值函数的c h o q u e t 积分的收敛定理，可测闭集值函数的f a t o u 引理以及控制收敛定理其中在本节中集列的收敛性都是按照定义2 3 3 的意义下定义的。 定义5 2 1 3 1 ；设e 晶( n = 1 ，2 ，) 是将x 映到p o ( r + ) 的可测的闭集值函数，对任 意的u x ，我们分别定义： ( 1 ) ( 1 i ms u p f 仃) ( u ) = l i m s u p r ( u ) ， n _ + n 呻 ( 1 i m