（计算数学专业论文）若干反问题模型的数值求解.pdf

摘要 若干反问题模型的数值求解 摘要 反问题在医学成像、无损探伤、气象预报、图像处理、计量经济、生 命科学等领域都有着广泛的应用因此对它的理论分析和数值求解有重 大的研究意义和应用价值，本文的主要工作就是针对若干有实际应用背 景的反问题模型，系统开展相关理论分析与数值求解研究工作 首先，讨论了一维睛形利用带噪声均值数据进行函数重构的问题提 出了一种正则化方法并证明了该方法解的存在唯一性，再由b a n a c h 空 间中的优化定理给出一系列条件来刻画解的性质，从而发现解可由样条 函数表示通过插值算子的引进我们也给出了近似解的误差估计最后 用数值模拟通过图表说明该方法在实际计算时是可行的和有效的，同时 提出了一些选取正则化参数的方法 进一步，将此正则化方法推广到了二维甚至高维情形通过辅助空间 的引入，同样证明了此方法解的存在唯一性，并且说明了此解可由格林 函数表示利用p o i n c a r 6 不等式给出了近似解的l z 模误差估计数值例子 验证了该方法的有效性，其中正则化参数由多种不同的选取策略决定 接着，考虑了腐蚀探测问题给出了薄管区域基于小参数展开方法的 一个误差估计假设管壁的厚度为a ，对于提出的两种方法其误差度量 分别为o ( a ) 和d ( o z ) 同时，我们用优化控制的思想构造了一个非薄板区 域腐蚀探测问题的数值求解方法数值实验证明了该方法的可行及有效 性 最后，本文讨论了二阶线性椭圆型方程的柯西问题给出了一种数 值方法来求解未知边界上的信息，该方法通过最优控制的思想将原来的 柯西问题改写为等价的优化问题，并通过添加正则化项来克服离散后问 i 上海交通大学博士学位论文 题的病态性证明了该数值方法的收敛性，给出了当正则化参数趋于 零时数值解的收敛理论同时提供了一系列的数值实验支持我们的理论 结果并且通过有限元形函数表示技巧将算法进一步重写，从而可以利 用h a n s e n i 具包来选取合适的正则化参数该方法也被推广用于平面弹 性力学柯西问题的数值求解 关键词：反问题，t i k h o n o v e 则化方法，函数重构，迭代最优化，噪声， 有限元，误差估计，柯西问题，格林函数 a b s 础c t t h en u m e r i c a lm e t h o df o rs o m ei n v e r s ep r o b l e m s a b s t r a c t i n v e r s ep r o b l e m sa r eo f t e ne n c o u n t e r e di nm e d i c a li m a g i n g ，n o n - d e s t r u c t i v ed e t e c t i n g ，w e a t h e rf o r e c a s t ，i m a g ep r o c e s s i n g ，p a r a m e t e r i d e n t i f i c a t i o ni ne c o n o m e t r i c s ，l i f es c i e n c ea n dm a n yo t h e rf i e l d s t h e r e f o r e ，i ti so fg r e a ti m p o r t a n c et oi n v e s t i g a t et h e i rt h e o r e t i c a l p r o p e r t i e sa n dn u m e r i c a ls o l u t i o n s t h i st h e s i sw i l l f o c u so nt h e t h e o r e t i c a ls t u d ya n da l g o r i t h md e s i g nf o rs o m ep r a c t i c mi n v e r s e p r o b l e m s f i r s t ，w ep r o p o s ear e g u l a r i z a t i o nm e t h o df o rt h ef u n c t i o n r e c o n s t r u c t i o nf r o ma p p r o x i m a t ea v e r a g ef l u x e si no n ed i m e n s i o n u n i q u e s o l v a b i l i t yo ft h em e t h o di sp r o v e da n dan u m b e ro fc o n d i t i o n sa r e g i v e nt oc h a r a c t e r i z et h es o l u t i o nb yt h eo p t i m i z a t i o nt h e o r yi nb a - n a c hs p a c e s t h es o l u t i o nc a nb ee x p r e s s e di nt e r m so fs o m es p l i n e f u n c t i o n s e r r o re s t i m a t e sa r ee s t a b l i s h e da f t e rt h ei n t r o d u c t i o no f s o m ei n t e r p o l a t i o no p e r a t o r s as e r i e so fn u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r o - v i d e dt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s sa n dc o m p u t a t i o n a lp e r f o r m a n c eo f t h em e t h o d s o m ei d e a sf o rt h ec h o i c eo ft h er e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e r a r ea l s os u g g e s t e db a s e do nt h ec o m p u t a t i o n a le x p e r i e n c e t h e n ，w ee x t e n dt h ep r e v i o u sm e t h o df o rt h ef u n c t i o nr e c o n - i i i 上海交通大学博士学位论文 s t r u c t i o nf r o mn o i s yl o c a la v e r a g e st oa n yd i m e n s i o n a f t e rt h e i n t r o d u c t i o no fa na u x i l i a r yd o m a i n ，t h er e c o n s t r u c t i o nf u n c t i o nc a n b ed e s c r i b e di na ne x p l i c i tf o r mb ys o m eg r e e n sf u n c t i o n s e r r o r b o u n d sf o rt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o ni nl 2 - n o r ma r ed e r i v e db yu s i n g an o v e lp o i c a r i n e q u a l i t y s e v e r a ln u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r o v i d e d t os h o wc o m p u t a t i o n a lp e r f o r m a n c eo ft h em e t h o d ，w i t ht h er e g u l a r - i z a t i o np a r a m e t e r ss e l e c t e db yd i f f e r e n ts t r a t e g i e s n e x t ，w es t u d ya ni n v e r s ep r o b l e mi nc o r r o s i o nd e t e c t i o n e r r o r a n a l y s i s i s d e v e l o p e df o rap a r a m e t e re x p a n s i o nm e t h o du s e dt o d e t e r m i n et h ec o r r o s i o nc o e f f i c i e n ti nap i p e i ti ss h o w nt h a tt h e m a g n i t u d eo ft h ee r r o r si so ( a ) a n do ( a 2 ) f o rt h et w op r o p o s e d m e t h o d sr e s p e c t i v e l y , w h e r eas t a n d sf o rt h et h i c k n e s so ft h ep i p e a l s o ，an u m e r i c a lm e t h o db a s e do nt h eo p t i m a lc o n t r o la p p r o a c h i sp r o p o s e df o rs u c hp r o b l e m si nn o n s h e e tc a s e s o m en u m e r i c a l e x a m p l e sa r eg i v e nt os h o wt h ee f f i c i e n c yo ft h em e t h o d f i n a l l y , w es t u d yan u m e r i c a lm e t h o df o rs o l v i n gt h ec a u c h y p r o b l e mc o r r e s p o n d i n gt oa ne l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h e n u m e r i c a lm e t h o di sb a s e do nar e f o r m u l a t i o no ft h ec a u c h yp r o b l e m t h r o u g ha no p t i m a lc o n t r o la p p r o a c hc o u p l e dw i t har e g u l a r i z a t i o n t e r mw h i c hi si n c l u d e dt ot r e a tt h es e v e r ei l l c o n d i t i o n i n go ft h e c o r r e s p o n d i n gd i s c r e t i z e df o r m u l a t i o n w ep r o v ec o n v e r g e n c eo ft h e n u m e r i c a lm e t h o da n dp r e s e n tt h e o r e t i c a lr e s u l t sf o rt h el i m i t i n g i v a b s 似c t b e h a v i o r so ft h en u m e r i c a ls o l u t i o na st h er e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e r a p p r o a c h e sz e r o r e s u l t sf r o ms o m en u m e r i c a le x a m p l e sa r er e p o r t e d w ea l s oe x t e n dt h em e t h o dt os o l v eac a u c h yp r o b l e mf o rt h ep l a n e e l a s t i c i t y k e yw o r d s ：i n v e r s ep r o b l e m s ，t i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o n ， f u n c t i o nr e c o n s t r u c t i o n ，i t e r a t i v eo p t i m i z a t i o n ，n o i s yd a t a ，c a u c h y p r o b l e m ，g r e e n sf u n c t i o n ，f i n i t ee l e m e n t ，e r r o rb o u n d v 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印和电子版，允许论 文被查阅和借阅本人授权上海交通大学可以将本学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印、或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文 保密回在年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密f 刁 ( 请在以上方框内打“，) 学位论文作者签名：雕峙 指导教师签名：j 芰；幻曰 日期：口湃名月呵日 日渺缛易月7 日 1 1 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果除论文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或者集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全 意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 日期：谚年多月吁日 第一章绪言 1 1反问题的应用背景及意义 数学物理反问题是一个新兴的研究领域，有着重大的理论意义和应用价值它 有别于传统学物理方程的定解问题( 通常称为正问题，它由给定的数理方程和相应 的定解条件来求解定解问题的解) ，通常是已知解的部分信息来求解定解问题中的 某些未知量，如微分方程中的系数、定解问题的区域或者是某些定解条件用系统 论的语言来讲，正问题对应于给定系统在已知输入条件下求输出结果的问题，这些 输出结果当然包含了系统的某些信息而反问题则是由输出结果的部分信息来反 求系统的某些结构特征【1 】因此反问题在医学成像、无损探伤、气象预报、图像处 理、计量经济、生命科学等领域都有着广泛的应用它对应于由介质外部可测量的 间接信息来确定介质内部结构的问题反问题的典型应用包括医学诊断的c t 成 像，它根据x 射线的投影来探测人体的内部结构；在地球物理勘探中，通过地震波 的测量来判断地球内部的结构或地下矿藏的位置；在无损探伤中，用红外线扫描来 探测固体材料中的缺陷；通过测量地面上的牛顿引力势来推断地下金属矿藏的位 置、形状、密度工程技术中的定向设计及系统识别等问题也都属于反问题的范畴 一个问题如果其解存在、唯一并且连续依赖于输入数据，就称该问题是适定 的，否则称为不适定的数学物理反问题大都具有不适定的特点，该特点也是反问 题求解的难点所在例如地质勘探部门在重力异常探矿中突出的地下波场的解析 延拓问题，无线电工程上由有限频率区域上的频域信号确定时域信号的问题，雷达 成像中由反射波信号确定散射体几何形状的问题，中长期数值天气预报的问题等， 都是典型的不适定问题恰恰这些不易解决的问题在工程部门有着极为广泛的应 用 2 - 4 当应用经典的方法去求反问题的解时，或者给定的输入数据不一定能保证 解的存在或唯一性；或者是输入数据的微小变化会引起相应解的巨大波动因此如 何恢复问题的适定性尤其是稳定性是值得探索的一个课题 1 上海交通大学博士学位论文 1 2反问题的历史发展与研究现状 与正问题相比，数学物理反问题的发展历史相对较短国外对于反问题理论和 方法的研究起步较早，最早期的工作可以追溯到2 0 世纪2 0 年代h a d a m a r d 对线 性椭圆型偏微分方程柯西问题不适定性的陈述和研究2 0 世纪4 0 年代前苏联著 名数学家t i k h o n o v 率领他的工作小组开始了反问题的理论研究，终于在6 0 年代 推出了至今仍然广泛沿用的t i k h o n o v 变分正则化方法关于反问题理论和方法研 究的另一个方向是迭代正则化方法，该领域的典型代表是l a n d w e b e r 和f r i d m a n 近年来发展起来的方法有梯度型方法和n e w t o n 型方法等等5 1 我国学者在反问题的理论和方法研究发面也进行了大量的探索最早可追溯 到2 0 世纪8 0 年代初由中国科学院院士冯康先生倡导的反问题的研究反问题理 论和方法的基础性研究固然重要，但如何把发展了的反问题的理论和方法应用到 数学物理、地质与地球物理和大气科学等实际问题上，仍然是十分值得关注和研究 的课题近年来，有关这方面的应用研究也呈现蓬勃发展、欣欣向荣之势态下面 我们将着重介绍与本论文有关的一些反问题的历史发展与研究现状 对于函数重构的问题，【6 】中列举了多项比较传统的数值微分方法，其中主要方 法是利用有限差分法并选择合适的步长来进行数值微分的计算在9 0 年代，h a n k e 和s c h e r z e r 在文献【7 】中基于带误差的函数值数据，用t i k h o n o v 方法讨论了规则网 格上的数值微分问题，其中正则化参数由差异性准则决定其后，程晋、y a m a m o t o 和王彦博等人在文献 8 一l l 】中沿用了该方法来求解不规则网格情形的数值微分问 题，并使用了程晋和y a m a m o t o 在文献【1 2 】中提出的一个先验选取正则化参数的 方法，大大减小了计算量取得了一批重要的研究成果其中，一维问题的正则化解 是分片样条函数；二维问题的正则化解则运用了微分方程的格林函数或径向基函 数来描述这些方法也成功用于识别图像边界这个图像处理基本问题而d e l h e z 在文献【1 3 1 中提出了一个样条函数方法来进行基于均值数据的函数重构 对于腐蚀系数的探测问题，i n g l e s e 在文献【1 4 】中讨论了薄板情形中在一定的正 则性条件下解的唯一性问题，并且构造了正则化数值方法来求解它进一步地，程 晋，杨听等人在文献f 1 5 1 中讨论了圆管内壁的腐蚀识别问题，提出了基于小参数展开 的可行数值算法f a s i n o 和i n g l e s e 则在文献 1 6 1 中提出了在矩形域中用g a l e r i k i n 方法计算腐蚀系数并证明了其收敛性 2 第一章：绪言 对于柯西问题，早在1 9 2 3 年h a d a m a r d 就用一个特殊例子说明了椭圆型偏 微分方程柯西问题的病态性质，其中就包括了如何根据部分区域上提供的多余测 量数据来恢复整个区域上数据的问题，有关结果于1 9 5 3 发表在文献( 17 1 中在区 域是正方形的假设条件下，他还得到了基于l a p l a c e 算子的一个问题的计算结果， 发现其解并不连续依赖于所给定的边值数据此后，p a y n e 在文献 1 8 - 2 0 1 中讨论了 椭圆型柯西问题解的有界性，给出了若干条件稳定性的结果e l d d n 和b e r n t s s o n 则在文献 2 1 】中给出了一个特定椭圆微分方程柯西问题例子的条件稳定估计在 h a d a m a r d 的研究基础上，b e l g a c e m 等人在文献 2 2 ，2 3 】中将区域的限制去除，推广 到了一般区域的问题，并证明了柯西问题可以借助d i r i c h l e t - - - , n e u m a n n 映射( 又称 s t e k l o v - p o i n c a r d 算子) 等价表示为个双线性变分问题由椭圆型方程正则性理论 可以证明该算子的紧性，最后通过线性算子理论和凸优化理论给出了柯西问题解 存在与否两种情形下的收敛性分析最近，b e l g a c e m 在文献【2 4 】中进一步完整系统 地说明了为什么柯西问题是严重病态的，不管给定区域是光滑的还是非光滑至 此，柯西问题的理论框架已经趋向完善，我们可以在文献【2 ，2 5 - 3 0 中获得更多关于 柯西问题解的相关理论分析但是如何有效的计算柯西问题仍是一个吸引众多研 究者不断探索发展的课题k o b a y s a s h i 在文献【3 1 】中则讨论了两种平面弹性问题的 基于优化控制思想的数值求解方法c i m e t i 邑r e 在文献【3 2 1 中研究了迭代正则化方 法h o n 等人则在文献 3 3 1 中讨论了b a c k u s - g i l b e r t 算法程晋等人在文献 3 4 1 q b 通过将柯西问题改写成为矩量问题，提出了相应的算法e n g l 等人在文献 3 5 1 贝j j 给 出了m a n n 迭代法的一个先验停机准则最近，b o u r g e o i s 在文献【3 6 】中研究了拟可 逆方法c h a k i b 和n a c h a o u i 在文献f 3 7 1 中将差异性准则和优化控制技巧相结合 并给出了其在有限元逼近情形下的一个收敛性分析a n d r i e u x 等人在文献【3 8 】中 讨论了将柯西问题转化成优化问题，其泛函形式的给出类似于误差的个能量估 计更多的数值逼近收敛性分析和算法设计参见 3 9 - 4 7 此外，我们可以在王彦飞的著作5 1 和刘继军的著作【1 1 中详细了解数学物理反 问题的发展历史，以及其数值计算方法和在相关各个学科中的应用 3 上海交通大学博士学位论文 1 3本文的主要研究内容 本文重点研究了若干反问题数值算法的提出及实现 首先讨论了在一维情形利用带噪声均值数据( 与 1 3 1 不同的是这里给定的数据 是带噪声的) 进行函数重构的问题利用t i k h o n o v 正则化方法，针对解的光滑性 要求构造不同的正则化项，建立适当的求解泛函模型通过b a n a c h 空间中的最优 化定理，我们证明问题的解是存在唯一的，并且由一阶优化必要条件计算得到解可 由样条函数表示通过样条函数的性质以及插值算子的构造，我们给出了此问题 在三2 模意义下的误差估计为了能够利用h a n s e n 开发正则化方法一m a t l a b i 具 包 4 8 1 ，我们将问题改造成h a n s e n 模型，从而能够方便地选取多种策略来决定正 则化参数数值实验表明了理论结果的正确性以及计算的可行性和有效性 接着我们考虑了更一般的情形，在二维甚至高维空间中如何由带噪声均值数 据进行函数重构的问题和一维情形相同，仍借助于t i k h o n o v 正则化方法的思想 来处理数据噪声影响关键的不同是，这里目标泛函的构造必须进行一些带有技巧 性的修改，引入了一个辅助函数空间这样，便可以获得此变分问题精确解的显示 表达式，它是基于格林函数的利用文献【7 ，8 】中类似的技巧，以及p o i n c a r 6 不等式 的一个应用，可以得到问题在驴模意义下近似解的误差估计同样地，我们使用 h a n s e n 工具包来实现该算法，选用了多种策略来决定正则化参数数值实验表明 了理论结果的正确性以及计算的可行性和有效性 上述问题我们都获得了可知区域上的全部信息来求解其未知量但是更为一 般的，有很多问题只能获取部分边界上的信息，如何由这部分的信息来反求系统 的其它特征则更引起了人们的兴趣它的一个应用比如说无损伤探测，因此求解 此类问题显得极为重要于是我们接着讨论了腐蚀探测问题首先给出了薄管腐 蚀系数探测问题的一个误差估计它建立在小参数展开方法之上，该方法已由程 晋、杨昕等人在文献【1 5 1 中通过数值实验验证了其可行性及有效性在此基础上结 合文献【1 4 】中提供的一些技巧，我们给出了薄管腐蚀系数的一个误差估计对于文 献【1 4 】中提供的薄板腐蚀系数基于小参数展开的一个误差估计，我们所做工作的最 大改进是不再需要运用傅立叶级数技巧于是可以降低一些对有关函数正则性所 提的假设同时也给出了在测量数据带误差情形下的一个误差估计接着我们讨论 了非薄板情形下的腐蚀系数计算问题，基于优化控制的思想提出了一种数值算法， 4 第一章：绪言 并给出数值实验证明了计算的可行性 最后由二阶线性椭圆偏微分方程的柯西问题模型着手讨论了柯西问题的数值 求解先运用优化控制的方法将问题改写，给出了一种d i r i c h l e t - n e u m a n n 迭代数 值方法来求解未知边界上的信息由于椭圆型柯西问题是病态的，所以同样运用了 正则化的思想证明了在一定的条件假设下，带正则化项的优化问题的解是存在唯 一的，并给出了解的稳定性分析然后，当柯西问题的解假设存在时，我们给出了相 对应优化控制问题( 不带正则化项) 解的存在唯一性定理以及它们之间等价性定理 的证明同时给出了当正则化参数趋于零时解的收敛理论接着讨论了有限元离散 后问题的收敛性分析数值实验表明了理论结果的正确性以及计算的可行性进一 步地，通过有限元形函数表示技巧将算法重写，使得可以运用h a n s e n 工具包来选 择合适的正则化参数。数值实验证明此方法的可行性及有效性最后该方法也被 推广用于平面弹性力学柯西问题的数值求解 1 4一些基本概念及基本理论 1 4 1 s o b o l e v 空间的基本概念及记号 设区域qc 础是l e b e s g u e 非空可测集，是q 上实值l e b e s g u e 可测函数， 记 上m ) 如 为l e b e s g u e 积分定义函数f 的驴( q ) 范数为 忖帅刚| i o 积q = ( 加刮p ) m ，p o o 定理1 4 1 对于l p o 。，妒( q ) 是b a n a c h 空间心耻 定理1 4 2 对于1 p o 。，曙( q ) 在口中稠密心彰 下面给出广义导数的概念为此引入几个记号【5 0 ，5 1 】让是定义在q 上的函 数；珏的支集记作 s u p pu = z q ：u ( x ) o ) 若紧集s u p pucq 为开集，也记为s u p p uc cq ，则称t 在q 中有紧支集 圭鲞奎望奎堂堡主堂垡迨奎 - - _ _ - _ _ _ 一 定义1 4 3 令区域qc 础，d ( q ) 或钾( q ) 表示在q 中具有紧支集的无穷次可 d ( q ) = t c ( q ) ：s u p pt c cq ) 三k ( o ) = ，：，l 1 ( d ) ， v 紧集dcq ) 定义1 4 4 称，l l ( 哟具有广义导数战，声甜，如果存在g l k ( q ) ，使得 j f qg ( z ) 妒( z ) 如= ( 一1 ) 川f n ( z ) 俨妒( z ) 如，咖口( q ) ， 定义1 4 5 今m 0 为一整数，s o b o l e v 空间定义如下： w m 巾( q ) = 【口l k ( n ) ：0 l l m 一，n ) m 旷 l a l m | | d 刮暖p ，q ) m ，1 p 0 ，使得当 时，有 z z * l l x ，z s j ( z t ) j ( z ) 定义1 4 9 j ：z scx r 是凸的，如果对任意的z l ，z 2 s 和a ( 0 ，1 ) ， 都有 j ( a z l + ( 1 一a ) z 2 ) a j ( z 1 ) + ( 1 一a ) j ( z 2 ) 若上述不等式对z 1 z 2 严格成立，则称泛函j 是严格凸的 定义1 4 1 0 算子k ：x _ y 关于z x 是f r 爸c h e t 可微的充分且必要条件是存 在名点的f r 爸c h e t 导数k 7z ) l ( x ，y ) 使得 式 k ( z + h ) = k ( z ) + k ( z ) + o ( 1 l h l l x ) ， 当怯_ o 时， 高阶f r 色c h e t 导数可以递归定义如二阶导数k z ) l ( x ，l ( x ，y ) ) 可按公 k 7 ( z + ) = k 7z ) + k ( z ) + o ( 1 l l l x ) 定义映射( ，) _ ( k ) 为由x x 到y 的有界双线性形式该映射是对称 的，即 ( k ( z ) 0 ，则p q ( a ) 易由公式 q 兰矿：一q ( k + k + q j ) _ 1 矿 a 算得注意到在有限维情形总有砌( o ) = 0 ，因此在实际计算时应当将初始 值o t o 取的稍大些 1 1 第二章一维情形基于带噪声均值数据的函数重构 2 1问题的描述 设是区间a ，6 】的一个剖分，其网格记为 网格大小定义如下： a = x o x l x n2 b h 。1 m 西( 夕) ， 这与，是圣( ，) 在v 中的最小值矛盾命题得证 口 接下来，我们将给出此问题在l 2 模意义下的误差估计为此我们首先引进一 个插值算子q ，它将空间l 2 ( o ，b ) 映射到与剖分相一致的阶梯函数空间对函 数f l 2 ( o ，6 ) ，q h f 定义如下： q h f ( x ) = 磊( ，) ，v z ( z t 一1 ，z ) ( 2 2 9 ) 利用 6 3 ，6 4 】，我们可以得到以下的引理 1 5 上海交通大学博士学位论文 引理2 2 3 任取，h 1 ( o ，6 ) ， i i ，一q h f l l 。( 毛一。，毛) h , l l f i l l 。( 以一。，毛) ，1 i ； i i ，一q h f l i l 。( d 6 ) h i l l 7 i l l ：( d ，6 ) 类似于文献 6 5 ，p 5 5 8 1 中g 的构造，接着我们引进一个新的插值算子7 r h ，它 将l 2 ( 凸，b ) 映射到岛( ) ，对任意的f l 2 ( o ，6 ) ，“，岛( ) 定义如下： 尬( 巩，) = 舰( ，) ，1 i ；( 7 r l l ，) 7x o ) = ( 7 r h f ) x n ) = 0 ( 2 2 1 0 ) 引理2 2 4 如上定义的7 1 h 是适定的。并且成立以下等式 l l o r h f ) ，1 1 2 。( 。，+ l l ( f 一7 r h f ) ，| | 2 ：( 。，6 ) = 1 2 ：( d ，砷，v f h 1a ，6 ) ( 2 2 1 1 ) 证明为了说明算子7 r ，i 是适定的，我们首先来证明由约束条件 坛( ，) = 0 ，1 i ；，7 ( z o ) = ，7 ( x n ) = 0 ，。 ( 2 2 1 2 ) 可知对任意函数f ( ) ，一致为零事实上，注意到，”( z ) 在区间( 戤一1 ，x i ) 上 是常数，通过分部积分，利用条件( 2 2 1 2 ) ，我们知 r 6 ( 门2 如：妻厂取( 门2 如 j o i = 1j x l - - 1 = 一f z ( x ) f ( x ) d x + ，k ) m ) 巴) = 一，( 华) 鬼m i ( f ) + ( ，k - o ) 一，钕t + o ) ) m i ) = 0 ， 因此在区间【o ，6 】上，7 三0 ，也就是说f 是常数再加上条件m i ( f ) = 0 可以推 得，必须一致为零所以此插值算子是适定的 接下来我们证明等式( 2 2 1 1 ) 由稠密性定理【4 9 】知，我们只需证明对任意函 数，c a ，6 1 成立此结果通过直接计算得 ，= i i ( f 一他慨d ，6 ) + i i ( r r h f ) ，i i 至。( d ，6 ) + 2 ( ，一，r h f ) ( x ) ( t r h f ) k ) 如 ( 2 2 1 3 ) 1 6 第二章：一维情形基于带噪声均值数据的函数重构 此外，通过分部积分，由条件( 2 2 1 0 ) 知 r 6f - - 7 r h ，) ，( z ) ( 丌h ，) k ) 如：妻 z i f - - 7 r h ，) ，( z ) ( 孤( z ) 如 j 8 i = l z t - - 1 = 一( 孤( 毕) 鬼必( ，一，r h f ) i = 1 。 + ( ，一州z ) ( n ( z ) 巴 i = 1 n = 一( 巩( 学) 见尬( ，一矾，) + ( f 一7 r h f ) ( x n ) ( 7 r h f ) x n ) 一( ，一7 r h f ) ( x o ) ( t r h f ) 7 ( x o ) = 0 结合( 2 2 1 3 ) 就得到了所要的结果 口 引理2 2 5 对于俚2 i o ) 中的插值算子7 r h 成立 i i ，一7 r h f l l n ：( 。，2 h i l l i l l ：( 口，6 ) ，v f 日1a ，6 ) 证明我们由丌 的定义( 2 2 1 0 ) 知q h f = q h ( 7 r h ) 因此，由引理2 2 3 和引 理2 2 4 知对任意的f 日1 ( 口，b ) 有 0 ，7 r h f l l l z ( 口，”= i l ( f q h f ) + ( q h ( 1 r a f ) 一7 v h f ) l l 。( 凸，6 ) l i f q a f l i l z ( 。，b ) + 1 1 7 r ，一q a ( 7 r h f ) l l l 。( d ，6 ) h l l f i l l 。( 口，6 ) + i l ( 7 r h ，) 7 i l l z ( n ，6 ) ) 2 h l l f i l l 。( 。，6 ) 口 现在我们将给出方法( 2 2 2 ) 的误差估计 定理2 2 6 设y 是日1a ，b ) 中的函数，记，是方法俾2 矽的解假设俾2 矽中 的数据阢满足条件偿j 纠那么我们就有估计 i | y 一 i i l 2 ( 。，6 ) ( 2 1 1 y 7 i i l 。( 口，6 ) + 、石= 刁 石) + 2 函v 而+ ( 2 + v 伍) l l y 7 i l l z ( 口 ) ( 2 2 1 4 )