（应用数学专业论文）poisson问题的变域变分有限元分析.pdf

摘要 有限元方法作为求解偏微分方程，特别是线性椭圆型偏微分方程的一种有效数 值方法，已经在许多领域得到广泛地应用尽管在结构力学和固体力学中早已取得 比较完美的结果，但在流体力学中由于物理模型和数学方程相对来说较为复杂，使 得有限元方法在这一领域的发展相对较晚事实证明，有限元方法几乎适用于任何 连续体或场问题 在流体力学中问题的求解区域一般不会象固体力学中那样通常是固定的，更多 的问题是边界待定的，或称区域是可变的由于区域的不确定，无疑增大了有限元 方法求解的难度，有限元方法的基础一变分原理的提法也必然有较大的不同许多 科技工作者在变域变分的发展中做出了很大贡献并获得成功然而在数学理论基础 方面，尚存在一定的欠缺本文在前人工作的基础上对变域变分原理的数学理论基 础进行了初步的探讨 本文主要做了以下几项工作： 1 首先从比较简单的一维问题人手，证明了一维变域变分问题解的存在性，给 出了一维变域变分有限元解的误差估计； 2 在一维问题的基础上，对二维问题进行了讨论，证明了二维变域变分问题解 的存在性，给出t - - 维变域变分有限元解的误差估计； 3 作为理论分析结果的验证，对一维和二维问题的一般情形给出了单元分析 和具体算例及算例的算法分析及结果 关键词：变域变分，有限元方法，解的存在性，误差估计，p o i s s o n 方程 a b s t r a c t a sa ne f f e c t i v en u m e r i c a lm e t h o di ns o l v i n gp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( p d e ) ， p a r t i c u l a r l yi nl i n e a re l l i p t i cp d e ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) w a sa p p l i e di nm a n y f i e l d s a l t h o u g ha c h i e v e di d e a lr e s u l t si ns t r u c t u r a lm e c h a n i c sa n ds o l i dm e c h a n i c s ， f e mh a sg e tm u c hl e s s p r o g r e s si n f l u i dm e c h a n i c sd u et oi t sc o m p l e xp h y s i c a l m o d e l sa n dm a t h e m a t i c a le q u a t i o n s i nf a c t f e mc a nb eu s e di na l lt h ep r o b l e m s o fc o n t i n u o u sa n dt h es a m ef i e l d s i ns o l i dm e c h a n i c s ，t h ed o m a i no ft h ep r o b l e mu s u a l l vf i x e do rk n o w ni na d v a n c e b u ti nf l u i dm e c h a n i c st h eb o u n d a r yo ri n t e r f a c eo f t e ni n d e t e r m i n a b l eo r u n k n o w n p r i o r b e c a u s eo ft h ei n d e t e r m i n a c yo ft h ef i e l d ，m a k ei tm u c hd i f 5 c u l tt o s o l v i n gf e m a s ar e s u l t ，t h ew a yt op r e s e n tv a r i a t i o n a l p r i n c i p l e sa r ed i f f e r e n tt o o m a n y s c i e n t i s t sh a v ed ol o t so fj o b si nt h e s ef i e l d s ，b u tt h em a t h e m a t i c a lt h e o r y f o u n d a t i o n ss t i l lr e m a i nf u r t h e rc o i l s o l i d a t i o n i nt h i sp a p e r ，t h ef o l l o w i n gq u e s t i o n sa r em a i n l yp r e s e n t e d ： 1 t h e1 - dv a r i a b l e d o m a i np o i s s o n p r o b l e m i st r e a t e db yv a r i a t i o n a lf e m a tf i r s t ， a n dt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o no ft h ep r o b l e mi sp r o v e da n dt h ee r r o re s t i m a t ei s g i v e n ； 2b a s e do nt h ei - dv a r i a b l e - d o m a i np o i s s o n p r o b l e m ，t h e2 - dv a r i a b l e d o m a i n p o i s s o np r o b l e mi sd i s c u s s e d 】t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o no ft h ep r o b l e mi sp r o v e d a n de r r o re s t i m a t ei sa l s og i v e n ； 3 a st h ep r o o fo ft h e t h e o r ya n a l y s i s ，t h ee f f e c t i v e n e s sa n dv a l i d i t yo ft h e s em e t h o d sa r ei l l u s t r a t e db yt w on u m e r i c a le x a m p l e sa n dt h e i ra l g o r i t h ma n dr e s u l t s a r eg i v e na tl a s t k e yw o r d s ：v a r i a b l e d o m a i nv a r i a t i o n a lm e t h o d ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( f e m ) e x i s to fs o l u t i o n ，e r r o re s t i m a t e ，p o i s s o ne q u a t i o n l l 上海大学 本论文经答辩委员会全体委员审查，确认 符合上海大学硕士学位论文质量要求 答辩委员会签名：( 工作单位职称) 主任：5 良n ( 哟据专投) 委员： 导 师：趟仁立 答辩日期：o 仁7 f 扳氘袋 初弓切 一 i 删斑隋 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究 工作。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意。 签名：塾丑靼日期竺兰! ：! 兰 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定， 即；学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和 借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：照塑基导师签名：劣垒苎日期：! 兰：! 竺 第一章引言 1 1 背 景 变分法( 原理) 对泛函求极值的问题称为变分问题，因为大多数情况是研究泛 函的驻值问题，所以有的著者也把求泛函驻值的问题叫做变分问题使泛函取 极值的函数称为变分问题的解，也称为极值函数或极值点专门研究变分问题的学 科称为变分法变分法是由j b e r n o u l l i ( 1 6 9 6 ) ”】，l e u l e r 和l a g t t m g e 创立的而 1 7 4 4 年l e u l e r 在一本解决j b e r n o u l l i 提出的最速降线问题的著作则标志着变分 法作为一个数学分支的诞生 作为有限元方法出发点的变分原理，是表达物理基本定律的一种普遍形式 从极小能量原理出发进行离散化通常称为r i t z 法，从虚功原理出发称为g a l e r k i n 法后者可以看作前者的推广变分法为求解许多实际物理问题提供了切实可行的 方法 物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和发展，而变分学的理论成 果则不断渗透到物理学中数学物理中大量存在着的变分原理从一个侧面反映了客 观世界的统一陛有重要的理论和实际意义，也是构造微分方程数值解法的基础 一般地讲，物理问题可以用偏微分方程，也可以用变分原理描述就物理或力 学而言，其变分问题与微分( 尤拉) 方程是等价的，可以把物理或力学中的变分问题 化为微分方程进行求解；也可把描述物理或力学的微分方程化为泛函的变分问题进 行求解1 1 “但前者只是物理定律的局部表述，对物理场的要求较高，而后者则是 物理定律的整体表述，对物理场的连续性要求低，因此，二者只有对光滑物理场才 互为等价，而对含间断( 涡面，激波等) 的流场，则只能用变分原理来描述变分原 理还具有其它一些优点，例如形式单一紧凑，内涵极为丰富( 隐含微分方程及自然 界面条件组) ，并能启示初边值问题的适定提法( 初边值条件的数目，位置，形式和 性质) ；它所特有的变域变分是处理一切未知边界和未知间断面的极其有力的工 具；它是有限元法及各种变分直接解法( f i i t z 法，t r e f f t z 法，k a n t o r o v i c i l 法等) 的理论基础这种变分有限元法同基于加权余量的有限元法( 例如g m e r k i n 法) 相 比，优点是t 拥有一切未知界面及间断面的独特工具一变域变分m 这就是为什么 变分原理会引起科学技术工作者重视的原因科学家为此进行了大量地研究工作， 促进了变分原理的发展，为建立不同类型的离散方法提供了理论基础 变域变分所谓变域变分原理一般是指在古典变分原理，广义变分原理和修正 变分原理的基础上，利用可动边界的变分理论建立解决实际问题的各种类型的原 ! ! ! ! 生圭塑盔堂堕主兰垡堡茎 一三 理当略去区域变动的影响时，变域变分原理就退化为古典变分原理，广义变分原 理和修正变分原理在不同条件下可以形成类型众多的变域变分原理f ；j m 吲， 变域变分问题是待解函数在可动边界上具有各种间断性的条件下，探讨能量泛 函的变分问题变域变分问题具有两个特点，其一是泛函的积分域是变动的( 待定 的) ，在求泛函的变分时要考虑到泛函积分域变动的影响；其二是在元素交界面上待 解函数具有各种间断性变域变分原理就是基于上述两点建立起来的变分原理，许 多实际问题的变分问题都属于变域变分同题范畴 因此，可动边界( 区域) 的能量泛函的变分可分为两部分，其中一部分为待解函 数本身的改变( 积分域固定) 产生的变分；另一部分为积分域的变动而产生的变分 有限元方法有限元方法是在中国与西方跌不同的实践背景，沿着不同的学术 道路，各自独立甲等地发展起来的一种数值计算方法 在中国，6 0 年代初期，冯康，黄鸿慈等结合解决一系列大型水坝建设的应力 分析问题，开展了椭圆型边值问题数值解的系统研究，为克服问题传统提法中的几 何复杂性，把能量法与差分法结合在一起，于1 9 6 4 年建立了求解椭圆型边值问题 一套普遍有效的方法，命名为基于变分原理的差分方法，即通称的有限元方法与 此同时，建立了有限元方法的理论基础在随后的2 0 年中，周天孝，唐立民对混 合元拟协调元的发展，应隆安等对无限元的发展，冯康等对边界有限元的发展，石 钾慈对非协调元的发展，林群对有限元外推理论的发展，都作出了重要贡献 在西方，有限元思想在r 库朗1 9 4 3 年一篇论文中明确地提出过，但没有受到 重视1 9 5 6 年3 、a r n e r ，c l o u g h ，m a r t i n 和t o p p 发表了结构力学中采用有限元方法 的第一篇论文，而“有限元方法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) ”这个名称则是c l o u g h 在 一篇结构分析的有限元方法计算论文中首次明确提出的1 9 6 3 1 9 6 4 年，b e s s e | i n g ， m e l o s h 和j o n e s 等人证明了有限单元法是基于变分原理的里兹( r i t z ) 法的另一种 形式，从而使里兹分析的所有理论基础都适用于有限单元法，确认了有限单元法是 处理连续介质问题的一种普遍方法 有限元法的数学基础是变分原理和分割近似原理，变分原理和剖分插值的有机 结合传统的r i t z g a l e r k i n 方法，采取解析函数作为试探函数，不能满足任意多边 形区域的边界条件，也不适应间断介质的要求，对很多问题无能为力差分方法虽然 能够对付，但由于它对方程及边界条件和处理上不统一。给计算效果及理论分析两 方面都带来不利有限元方法正好对这两者扬长避短，一方面保持了r i t z ，g a l e r k i n 方法从变分原理出发的优点，在提法上有极大的概括性，给离散化带来统一处理的 方便；另一方面又吸收了差分法部分逼近的优点，能灵活适应各种几何形状的间断 介质等复杂情况它在形式上相当统一，便于在计算机上实现标准化，特别适合于 几何上，物理上比较复杂的阿题此外，在变分原理与分割近似相结合的基础上， 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 3 有限元方法能把无限与有限，连续与间断等对立面辩证地统一而建立完整的理论基 础，能对方法的可靠性给出符合实际要求的理论保证，基本上弥合了长期存在的理 论与实践之间的差距 作为一种十分有效的数值计算方法，有限元方法已经在许多领域，特别是在结 构力学，弹性力学等方面的应用已相当成熟，成为这些领域中用以解决实际问题强 有力的数值计算工具虽然最初是用来研究复杂航空结构的应力分布，但迄今为止 有限元法已发展到了各个科学技术领域，如理论物理，地球物理，化学结构计 算，电磁场，微波等方面，在使用有限元法时，各有特性事实上，有限元方法的 特色在于它不限于固体力学，它几乎适用于任何连续体或场问题 流体力学中有限元方法的发展尽管有限元方法在结构力学和固体力学中经受 了检验并得到广泛的发展，但在流体力学中，因为物理模型和数学方程比固体力学要 复杂的多，有限元方法发展的相对较晚由于有限元法的发展，人们开始研究流体力 学问题的有关变分原理其中著名者有林家翘和r u b i n o v ( 1 9 4 8 ) 4 0 j ，s k o b e l k i n ( 1 9 5 7 ) 4 1 g 1 l d e r e y ( 1 9 7 2 ) 1 4 “，m o r i c e ( 1 9 7 7 ) ，m a r t w t t i l ( 1 9 8 0 ) 4 ，h a f e z 和l o v e ( 1 9 8 3 ) 1 4 流 体力学的有限元法计算中，由于流体力学方程的非线性特性和动力学的特性，流场 中的变化多端的耔陛，流动的稳定性的特性等，蕴藏着许多和固体力学不同的特点， 因此流体力学中有限元法的发展和固体力学中有限元法的发展是很不一样的 1 9 1 有限元延伸到流体力学领域的第一个尝试是处理非粘性不可压缩流动问题，与 固体力学问题类似，研究的问题一般是边界固定的，或者是不变的，事先已知的内 部流动情形以流道的形状为区域边界，外部流动则取远离物体的某一界线为边界 然而在科学工程研究中，经常会遇到自由( 可变) 边界问题区域边界( 表面) 待定 的问题称为自由( 可变) 边界问题这方面典型的例子有闸门流，堰流，坝下的地下 流，翼剖面的大冲角( a n g l eo f f , t r a c k ) ，激波，渗流等等在这类问题中，区域的边界 ( 表面) 并不是事先给定的，而需要作为问题的一部分进行求解问题即在决定待定 边界的位置及流场其它部分的流线形状一旦流线形状求得，则流量系数及其流体 产生的力即可用通常的方法计算求得自由( 可变) 边界问题大多是非线性问题，这 使得这类问题的求解，无论是解析的还是数值的都带来很大的困难 由于在理论和实际问题中的重要意义，自由( 可变) 边界( 曲面) 问题引起很多 科学家和工程师们的关注，但一般情况下，建立与微分方程初边值问题对应的变分 原理( 变分学反命题) 仍是很困难的课题1 2 1 刘高联于7 0 年代中期开始提出了变域 变分原理的建立与变换的系统性途径，并在流体力学中已取得了相当大的成功 2 卜 ”事实证明，变域变分方法已经，并将继续在科学技术的许多领域中发挥重要作 用 2 ( 1 0 4 年上海大学硕士学位论文 4 1 2 实例 实例1 薄膜接触问题 1 8 】 设有一薄膜，其膜内张力为，其周边固定在一条平面曲线c 上，受横向均匀 载荷q ，在薄膜下离薄膜d 处有一刚性下板，设d 很小 问题是求解： ( 1 ) 当薄膜在q 作用下发生下垂变形u 时，有一部分薄膜接触甲板，变成紧贴 甲板的甲面薄膜，求薄膜下衡的方程，薄膜接触甲板区域的周界c 2 上的条件，和决 定c 2 的条件 ( 2 ) 当c 为半径等于尺的圆时( 即圆形薄膜) ，计算薄膜的形状和c 2 的方程 ( 图1 1 ) 图1 1 ：薄膜在均布载荷q 作用下的变形和甲板上的接触面 岛 ， fs 。、。j 、一 实例2土坝中的渗流 如图1 2 所示，b c 是自由面，a b 是上游水面，一般情况下a b 容易测出 问题是要根据已知条件求出自由面b c 的形状 图12 ：土坝中的渗流 2 0 0 4 年上海大学顽士学位论文 5 实例3 闸门孔口出流1 2 0 j 求解区域5 2 是由a b c d e f a 所围成a b 是闸门内的水面线， c d 是闸门外水流的自由面；b c 是闸门固壁，a f ，d e 是上下游的边界线；e f 是 底面固壁线( 图13 ) 图1 3 ：闸门孔口出流 对于这个问题工程上需要求解； ( 1 ) 闸门内水面线以及孔口出流的自由面形状h = h ( z ) ( 2 ) 过闸流量7 ； ( 3 ) 流场中的速度分布，并由此计算闸门上的压力分布 1 3 变域变分法的应用 1 变域变分方法基本原理 设泛函 n = p ( r ，“，u ，吩) a z a ” f t ，) 其中一如此一筹，铲茜 积分区域f 2 的边界a 分为两部分( 如图1 4 所示) ，一部分q 是已给定的边 界t 这条边界可以用曲线。= z - ( s ) ，y = 扪( s ) 来表示，而且在q 上，u ( x h y l ) 为 i 弼 一h o 颐 兰“ | 妄赫赫 训贼 图奠一 一- f 一 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 6 已给或称 u ( 巩y 1 ) = c 0 1 ( s ) = 。1在r r = ；r i ( s ) ，y = y l ( s ) 上( 1 2 ) 图14 ：积分区域及待定可变边界 另一部分边界c 2 待定可变一般规定边界曲线x = z 。( s ) ，”= 。( s ) 上各点的 u ( z 2 ，抛) 是某一已知曲面：= 。( z ，”) 上的任一曲线： 。【。2 ，y 2j 2 2 ( # 2 ，y 2j ( 在待定边界f 1 2 【n r = x 2 ( s ) ，y = 2 ( s ) 】上) ( 1 3 ) 可以求得1 1 的变分为： 栅2l f i c ：2 d n 2 d s 。+ l 2 瓦o f 一卅筹c o s 圳。也”岛 + 篆丽瓦) 一吖甜、1 删咖 ( 1 a ) 其中，n 2 为s 圆法线方向o ，( o 舢r i ( j 为g k 不o ：变o , , 时j j ，u 在那里的变分 由c 2 是待定可变的，以及t a w 2 = d w c = ( 意瓮+ 毫差) 溉 s ， ( 或她：煮她) ( 1 6 ) ! ! ! ! ! 圭塑盔皇堕主兰堡丝! l 三 列( 1 4 ) 可写为： a n = z j f 一 差州蚝习+ 筹c 嘶删， ( 差一盎) 比溉一s + 箬一兰( 差) 一昌( 筹) ) 姗嘞 m ， 这里的5 ，j n 2 是独立变分令d n = 0 得到， 1 欧拉方程( 变分原理必须满足) 箬一番( 瓦o f ) 一旦o y ( 盖) = 。 s ， 舢弧舰、弛v 、 2 补充边界条件( 在待定边界上) f 差c 叫z 一蓑酬， ( 差毫) 扎= 。 。， 此外，还有c 1 ，c 2 上的边界条件( 1 2 ) ( 1 3 ) 式 2 变域变分方法求解问题的一般步骤 下面以1 2 中的实例3 以及过坝水流问题为例，说明前人对变域变分问题的 一般求解方法，主要困难和基本思想 实例3 中所要求解的问题可以归结为： 求h = ( z ) ，q 以及妒使满足 冀+ 冀：i j 。p ：净i p 。 纂卜，) 或 孰。= o 妒f f = o 圳 刮 = q 。d = q ( 8 ) 妒= 罟”胆) ( 。) ( 1 1 0 ) ( d ) 此外，由( 1 1 0 ( f ) ) 及b e r n o u l l i 方程还应有 筹= 厢丽万 ( e ) ( ，) 姒) 年上海大学硕士学位论文 8 式中h 是闸门开启前水面总高度，= ，i ( m ) 是自由面高度；h ( z f ) 分析上述边界条件，可以看到问题的求解有两个困难之处： ( 1 ) 作为边界线的自由面y = ( r ) 事先是未知的当采用有限元方法求解时， 求解区域n 是不确定的，单元剖分无法进行 ( 2 ) 边界条件( 1 1 0 ( b 2 ) ) ，( 11 ( j ( e ) ) ，( 1 1 0 ( f ) ) 等式中的q 值事先也是未知的，当 采用有限元方法求解时，边界条件的处理无法进行 为克服上述困难，自七十年代以来，中外学者提出不少方法1 4 1 一这些方法 基本上可分为两大类，一类是固定边界条件的迭代法，基本思想是先假定自由面形 状与流量值，使边界条件完全固定，然后进行常规的有限元方法求解；再采用自由 的校核条件获得收敛解另一类是可变边界条件变分方法，基本思想是在可变区域 或可变流通量的变分原理基础上进行有限元求解下面分别具体介绍其求解步骤 i 迭代法 该问题可分为两种情况，一种是过闸流量为已知的，只需求解闸门孔口出流的 自由面形状，速度场和闸门上的压力分布，这时的求解相对来说要简单一些；另一 种是过闸流量也是待求的现在分两种情况分别加以介绍 1 。已知流量值迭代法的求解步骤 2 8 ( 1 ) 结合问题的实际，在大致范围内给定任一条初始曲线y = ( 。( r ) ，作为自 由面线a b 和c d 的初始值开始迭代时”= 0 ，例如可假定上游为水甲线，下游 孔e l 出流部分为椭圆曲线 i 爿a b 段 “神2i 一6 、丁育+ d g 。段 q 1 2 ) 上式中o ，b ，c ) d 为四个常数，只有两个是独立的常数，另外两个由1 _ 7r l 角点c 的坐 标及闸门边线的倾斜角日决定( 图】5 ) ( 2 ) 根据方程( 1 1 ( 她) ) 式及相应的边界条件( 1 1 0 ( b 1 ) ) ，( 1 1 ( ) ( c ) ) ，( 1 1 0 ( d ) ) ， ( 11 0 ( f ) ) ，按常规有限元方法的求解步骤进行求解，可获得自由面为y = ( 。( z ) 时 的近似解妒( “ ( 3 ) 根据有限元计算方法求得妒值，可计算出自由面y = 驴。( 初始迭代n ：0 ) 上的速度值 疃2 ( 掣) 2 + ( 等) l “叫神 ! ! ! ! 生占塑盔堂堕主堂垡堡壅旦 图1 5 ：闸门7 l 日出流的有限元模型 v=0 ( 4 ) 根据自由面的压力为零的校核条件( 11 1 ) 式，自由面位置的偏离值为 舯k h 一( 删+ 豸) m 卸1 1 2 ，) ( 1 1 4 ) 若a h ( ”小于给定的误差范围，则求解成功不然，要对自由面曲线进行修正 ( + 1 ) = ( ”+ a h ( “( n = 0 ，1 ，2 ，)( 1 1 5 ) ( 5 ) 若妒( ”求解成功，就可计算流场的速度与压力值若需继续进行迭代，则 对( 11 5 ) 式所确定的自由面边界，重复上述第( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 步，直至最后求解成功 图1 5 及图1 , 6 即为m cc o r q u o d a l e 和l i ( 1 9 7 1 ) 采用迭代法计算闸门孔口出 流的有限元网格以及计算获得的闸门上的压力分布图i 2 。流量与自由面同步迭代法一双点迭代法的求解步骤酬 在一般情形下，过闸流量q 是未知的，此时需要同时对q 和自由面形状= 7 z ( r ) 进行迭代求解一般也有两种方法，一种是先假定流量是已知的，自由面采用 上面所介绍的迭代方法迭代求解，收敛后再通过端面上速度的积分对流量进行校核 修正，这称为单点法；另一种是同时对流量与自由面进行迭代修正，称为双点法 下面介绍文献 2 8 1 采用的双点迭代法 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 0 图1 6 ：闸门孔1 2 1 出流问题的有限元求解结果 ( 1 ) 假定流量的近似值为0 ( o ) ，自由面形状的初始曲线为y = 一( 。) ( 2 ) 在给定的q ( t 1 ) 值与y = ( “( f ) 前提下，( n = 0 ，1 ，2 ) ，将自由面的边界 条件提为 在a b 上妒= q m ( 1 1 6 ) 在g d 上 挲= 、2 9 ( 爿一 m ) ) (117)on v ( 3 ) 根据边界条件( 11 0 ( b 1 ) ) 或( 1 1 0 ( b 2 ) ) ，( 1 1 0 ( c ) ) ，( o ( d ) ) ，( 1 1 0 ( e ) ) 以及 ( 11 6 ) ，( 1 1 7 ) 式，在区域n 内按常规有限元方法求解l a p l a c e 方程( 1 1 0 ( a ) ) 即可 获得在给定( ： ( ”) 值与y = 水下的近似解妒( ” ( 4 ) 校核自由面条件，在a b 上记 甜u = h 一+ 每) ( 1 1 8 ) 在c d 上记 p ( “) 一妒# 葛( 1 ，1 9 ) 若l a h ( “j ，i ac p ( ”i ( 也可以用相对误差值) 小于给定的误差，则求解成功，不然要对 q ( ”) 值与y = h ( ”( z ) 进行修正 ( 5 ) 如何对q ( ”) 值与y = 一( r ) 进行修正，与收敛速度有密切关系 文献 2 9 中提出，以闸门下端出流点c 计算所获得的流函数值妒妒作为一次 流量调整值 q “1 = 妒( 1 , 2 0 ) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 这是考虑到c 点的几何位置是确定的，而压力为零的条件已由( 1 1 7 ) 式确定这 样调整可保证自由面上两个条件在c 点同时满足文献 2 9 表明，这样的修正方 式是有效的 自由面位置的调整方式，可在已调整的q ( “+ 1 ) 基础上进行，文献【2 9 ， 3 0 采 用的方法的基本思想都是假定自由面上每一个结点i 沿原来自由面的法线方向增加 一个修正值a n 。，使 a n ：= 记结点i 处自由面切线与x 轴夹角为n 量分别为( 见图1 7 ) y i o 了 辈兰氅( 1 2 。) 、2 9 ( 月一 ) 。 调整后，i 点的坐标，玑酌调整增 图1 7 ：自由面位置调整 n y ：h ( n + li x ) y = h ( n k x ) z ，= 一n 。s i n m a y i = a n 。c o s ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) 于是可获得新的自由面位置 = h ( n + u ( r ) ( 1 2 4 ) ( 6 ) 重复迭代第( 2 ) 步至第( 5 ) 步，直至获得收敛解 文献 2 9 采用了这种流量与自由面同步进行的两点迭代方式，计算了垂直平板 闸门孔口出流的情形，经1 0 - - 1 2 次迭代即可达到收敛的要求而流量与自由酉分 开的单点迭代方式，约需7 【1 次 妒一0 一丽 q 一 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 i i 变分方法 1 。可变区域的变分公式 考虑可变动边界s 所包围的区域d 泛函 ，= 以凡删， 删砒 ( 1 2 5 ) 其中丘= 甏，南= 苗，f 是已知的被积函数由于，及区域。进行微小变动而弓 起泛函，的一阶变分为 以( 筹一差魄一南) a ，a z a ” s f ，：0 l ：i r , + f o ，y n k l j d s - t - zf d n ( i s j s ( 1 2 6 ) 式中d ，是表示保持区域d 不变动时，的变分；区域d 的变动引起的泛函变分体 现在第三项，d n 表示可变边界在外法线上的微小增量 2 。具有寓由面边界的位势流动的变分原理 考虑图1 8 所示的过坝水流：a b ，a f 分别是上下游边界，可以假定速度垂直 边界线；c d e f 是坝体和河床固壁由a b c d e f 一4 所围成的区 域d 是可变的求解区域流函数妒满足的方程与边界条件是 耄- f 尝：【) 在d 中 百西万引 仕川甲 挲：0 ：t ：e a f , b c 上 o n 妒= 【l在c d e f 上 妒= q在a b 上 丝：丽丽 在ab上on v 。jl 。“，“。 式中h = ( z ) 是自由面a b 的曲线 引进泛函 ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) ( 1 3 0 ) ( 1 3 1 ) ，= ；形2 + ( g p 、l - 2 9 ( h - h ) 卜t ” 。z ， 2 0 ( 1 4 年上海大学硕士学位论文 1 3 图1 8 ：过坝水流 a9 = 0 ，鲁护i 一一、，忡 壮。广、 | l f， e j ! 一 、七 根据可变区域变分公式( 1 2 6 ) ，有 a ，= 一f 从d 硎0 2 妒2 十( 雾) 2a 妒d x d y + 点鼢a s + 圳仇磊n 、2 - 2 9 ( h - y ) 卜 ( a ) 若流量q 为已知值，则原问题等价于t 在满足本质边界条件 妒= 0在c f 上 妒= q在a b 上 的前提下，求解变分式t 一脱( 等) 2 + ( 雾) 2 m 咖 ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) + b ? 瑚 + 执& p ) 2 m 2 9 ( h - y ) 卜= o 。， ( b ) 若流量q 为未知待定量，则求解( 1 2 7 ) 至( 1 3 1 ) 式等价于 在满足自然边界条件( 1 3 4 ) 的情况下( 和o ) ，求解变分 以( 嘉) 2 + ( o y 2 6 o d x d y + l 。，歉，s 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 4 + a 口 痢酗s + ；上。 ( 塞) 2 一。c h 一“， 一n a s = c ， c ，s ， 3 。有限元分析 ( a ) 流量q 固定时的有限元解 此时相应于方程( 1 2 7 ) 式，并满足边界条件( 1 2 s ) ，( 1 3 1 ) 式的积分表达式是 ( 1 3 6 ) 式，应用g r e e n g a u s s 公式，并注意到本质边界条件( 1 3 5 ) ，可将( 1 ：j 6 ) 式 改写为 以 筹掣+ 等掣卜 + ；上口t 7 丽力。) 、2 - 2 9 ( h - y ) 一n a s = 。 c t 。s ， 上式中5 n 是自由面h = h ( x ) 上沿外法线的变分假定自由面上对每一个固定的 t ，沿y 方向的变分是j ，则有几何关系( 图1 9 ) d s y i d f 图19 ：自由面变分关系 n n = 6 h c o s ( n 、y 1 ( i s = 一d x c o s ( n ，y ) ( 1 3 9 ) ( 1 4 ( ) ) 耋j 一 h 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 5 由于( 1 3 8 ) 式中的变分的任意性，因此( 1 3 8 ) 式等价于： 脱 警掣+ 丝a y 盟a yj 捌川， p ；一2 9 ( h f ) d n d s = 0 上式中是自由面上的速度值 = ( 制。 ( 1 4 1 ) ( 1 4 2 ) ( 1 4 3 ) 采用缉陛三角形单元，对区域d 进行单元剖分设全区域e 个单元共有_ 个 结点，结点上的流函数值记为( n = l ，2 ，一，) ；自由面上有 _ 个结点，结点上 的自由面坐标h 记为h k ，( = 1 ，2 ，) 显然妒。h k 正是所要求解的量 按照常规方法，进行单元分析及总体合成最终可获得总体有限元方程 在上式中 a m n p 。= ( 1( n = 1 ，2 ，) c k i h , = b k ( k = 1 ，2 ，一，) e a 。= a 妒嚣 2 = 1 e s = 砖襄 e 2 1 e s b k = 威讨船 e = 1 ( 1 4 4 ) ( 14 5 ) 其中 ：是e 单元中的b 。1 e 矩阵 a 妒，毯。是含有未知量的， 硝一1 咖扎罐勺 ( 1 a 。) 总体有限元方程( 14 4 ) ，( 1 4 5 ) 式是( + k ) 个封闭的非线性方程组，一般可 采用线性化迭代方法求解 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 6 ( b ) 流量q 待定时的有限元解 此时积分表达式可由( 1 3 7 ) 式导出 一l o ：ra 一。, 生+ 鬻掣卜， = 佤硒= 可5 妒( 1 s k 一 2 q ( h h ) r i y d x = 0 ( 1 4 7 ) ( 1 4 8 ) 比较( 14 1 ) ，( 1 4 2 ) 式，可以看到流量q 未知待定时，只不过是将原先在a b 上的本 质边界条件妒= q ，改为自然边界条件筹= 虿国二可相应( 1 4 t ) ，( 1 4 8 ) 式 的本质边界条件是( 1 3 4 ) ，( 1 3 5 ) 式 有限元求解( 1 4 7 ) ，( 1 4 8 ) 式的基本步骤和q 为固定值时基本相同，不同之处 主要有三点t ( 1 ) 总体有限元方程 a , l m p m = ，n ( n = 1 ，2 ，一，) 存在右端项，儿，由各个单元右端项总体合成得到 ，f i = 一。等 其中 一。= 瓶而而蹦。) c t s s ( 。j 是自由面上的一维线段单元，且有 + 下a s ( 。9 俩( 。万可+ 万习 以。+ 竽幅( 厅刁+ 。厅刁) a s ( 8 ) 是线段单元长度 ( 2 ) 在进行本质边界条件处理时，只处理( 13 4 ) 式 ( 3 ) 自由面上结点( 设序号为，s ，、) 的流函数值应当相等，即 机1 = 咖_ 2 = = 啦。h ( 1 4 9 ) ( 15 0 ) ( 1 5 1 ) ( 1 5 2 ) ( 1 5 3 ) ( 1 5 4 ) 2 0 0 4 年上海大学硕士学位论文 1 7 根据上式结总体有限元方程进行修正，做法是设法保留咖m 而将曲( j = 2 ，3 ，) 都消去，方法是在系数矩阵 a 。 中，将相应于扣目( j = 2 ，3 ，k ) 的第r 列 全部元素a t ，。加到第s l 列的元素a ”，中，用累加式表示为 a l = a t + a i ，。 “= 1 ，2 ，一，n ，i s j ；j = 2 ，3 ，一，n ) 同时将第s f 行与第s f 列的元素全部从矩阵中消去这样，总体有限元方程将消去 ( k 一1 ) 行和列，成为( ，v 一 j + 1 ) 阶的线性方程组，可求解获得自由面以外的 ( a r 一 ) 个结点上的流函数值( 包括c f 上的结点值) 以及自由面上s t 结点处流函 数值机，其余结点上流函数值根据( 1 5 4 ) 式均与机。相等 文献 3 1 ， 3 2 应用变分方法提出一种迭代计算模式，分别计算了流量已知情 形的溢流坝面流动以及流量待定情形的弧门闸下出流问题文献f 3 4 1 给出了另一种 求解非线性方程组的线性化迭代方法 1 4 本文的工作 本文在前人工作的基础上，以最典型的椭圆方程一p o i s , s o n 方程为例，对变域 变分问题进行了初步地探讨第二章首先从比较简单的一维问题出发，给出了一维 变域变分问题解的存在性和有限元解的误差估计第三章做为相应结果的验证，给 出了一维情形的变域p o i x s o n 问题的有限元单元分析，并尽量使其具有一般性随 后给出一个具体算例第四章在一维问题的基础上，我们对二维变域变分问题进行 了探讨，与一维问题类似，先给出了二维变域变分问题解的存在性和有限元解的误 差估计同样做为理论结果的验证，在第五章中给出了二维情形的变域p o i s s o n 问 题的有限元单元分析，也尽量使其具有一般性随后也给出一个具体算例和结果本 文所采用的研究方法及得到的结果在许多情形下都可以推广到一般的椭圆型方程 第二章一维变域变分有限元分析 本章首先从比较简单的一维问题入手对变域变分问题进行1 分析，以螨圃型方 程中的代表性方程一p o i s s o n 方程为例讨论了一维变域变分问题解的存在性和有 限元解的误差估计 2 1 一维变域变分有限元问题解的存在性 我们不妨考虑齐次边界条件的一维变域p o i s s o n 问题： 一雯：触) ，。i $ 1 , x 2 j 一面2 j 婶j 2 ) u l 。：。= 0 ， t k ：。：= o ， _ d u l ：0 d z f 2 ：f i ( 2 ，1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 其中，端点z - 为固定端点，端点z 2 为可变端点由p i s s o n 问题的物理意义，这里 我们不妨假设可变端点z z 的变化范围是f n ，6 ，n x l ，并记= 陋1 ，6 】 由f 1 8 可知，在可变端点3 ：2 处，边界条件( 2 3 ) ，( 2 4 ) 满足交接条件 一；( 掣) 2 叫z ) - u ( 妒o ， 1 2 5 ) 则变域p o i s s o n 问题( 2 1 ) - ( 2 4 ) 等价于变分问题t 在满足边界条件( 2 2 ) 一( 2 4 ) 的一切函数( z ) 中，可选取一个函数使下面的泛 函 j ( u ( z ) ，z ，) = z i 。1 ( d u 一、1 2 一f “ d 。 ( 2 6 ) 达到极值 定理2 1 若f h 。( e ) ，且在b ，q 上有界，即k = s u pi ，( 沁则上述变分 # 【b ，明 问题的解存在 证明对b ，b 】中任意固定的z 2 面亩，由( 1 3 l ，【1 4 1 ， 1 s ! 知，在区域q = i r ，z 。1c 上，由于，h - 1 ( n ) 且有界，则泛函( 2 6 ) 存在唯一的解u ( 。) ( 当然，该解依赖 于z ：) ，且满足： ( z ) n g 1 川一1 ，n q i 川- l ，( 2 7 ) 从而，有唯一的值j ( “( z ) ，。2 ) 与功对应，这样实际上就在 a ，b 上定义了一 个关于z 2 的函数，我们将该函数记为f ( z ：) ，其定义为 1 8 2 0 0 4 年上海大学硬士学位论文 1 9 f ( x 2 ) 一j ( u ( z ) ，z 2 ) ，( 2 8 ) 现在，我们证明由( 2 8 ) 定义的函数f ( z 2 ) 是x 2 的连续函数对【a , b 】中任意 的2 2 和蟊，它们对应的变分问题解分别为面( z ) 和看( z ) ，注意，该解的定义域分别 为n l = x l ，牙2 】和n 2 = 陋1 ，磊】不妨假设i 2 易，则 j f ( i ：) 一f ( 磊) l= | j ) ，i 。) 一l ，( 看( z ) ，黾) r = f 2 一，刁a z 一2 ；( 瑟) 2