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摘要 几类最优控制问题及其解法的研究 运筹学与控制论 吴昌质 赵恰教授张国礼教授 摘要 在这篇论文里，我们研究了几类最优控制问题并且给出了求其最优解的一般算 法。在第一章里，我们给出了本文所要讨论的问题。同时，简要回顾了最优控制问 题研究现状，以及本文所要讨论问题的一些现有结果。 在第二章里，研究了一类脉冲系统的最优控制问题。通过引进提高的控制参数 化映射技巧，在以牺牲状态变量维数为代价，将原来的脉冲微分方程的最优控制问 题转化为一个对应的微分方程的控制问题。对于这个对应的微分方程的控制问题， 我们首先将控制参数化，接着引进约束转换，将其转化为一系列的最优参数选择问 题。对于这些参数选择问题，我们给出了其导数及其费用函数的计算方法。基于 此，这些近似问题就可以利用基于梯度办法的优化方法来求解。从而，根据近似问 题与原问题之间解的收敛性关系，给出了解决这类最优控制问题的一个一般框架。 在本章结束时，我们通过一些数值例子来说明本章所提出的解决这类问题的办法是 有效可行的。 在第三章，给出了求解脉冲系统最优控制问题的一个全局算法。首先，我们还 是利用提高的控制参数化映射技巧将脉冲微分方程转化为一般的方程来处理。接 着，利用约束转换，并且将约束条件追加到费用函数中，这样就得到一系列近似问 题。我们证明了在一定条件下，这些近似问题的最优解是收敛于原问题的最优解 的。然而，由于缺乏凸性，这样所得到的原问题的解只能保证是局部最优的。为了 克服这个缺陷，我们引进了填充函数的方法，修正了原来的算法，以保证我们所获 得的原问题的解是全局最优的。同时，给出了一个例子来说明我们的算法是可行 的。 摘要 在第四章里，研究了一类脉冲积分微分方程的最优控制问题。首先，我们 用c h e b y s h e v 级数来近似积分方程的核，近似后的脉冲积分微分方程等价于一类新的 脉冲微分方程。我们证明了这些近似问题的解是收敛于原问题的解的。从而，就可 以利用第二章中的办法来求解这些近似问题。最后，我们给出了一个例子来说明我 们算法的有效性。 在第五章里，考虑了一类带延迟的切换系统的最优控制问题。我们将切换系统 的切换宽度当作一个参数来考虑，通过解一系列带延迟的微分方程，我们就可以得 到费用函数关于切换宽度的计算公式。从而，原问题就可用现有的数学规划方法来 处理。最后，我们用三个数值算例来说明了我们的算法。 在第六章里，研究了一类不光滑的泛函约束的最优控制问题。首先，以牺牲控 制变量的维数为代价，将原问题转化为一个与之对应的光滑约束的情形。接着，利 用c h e b y s h e v 多项式来近似控制变量的每一个分量，将原问题转化为一个凸半无穷规 划问题。对于这个半无穷规划问题，我们利用近几年发展起来的对偶参数化技巧来 求解。最后，给出了一个数值例子来说明我们算法的有效性。 关键词：最优控制计算，脉冲系统，切换系统，全局优化算法，控制参数化方法， 提高的控制参数化方法，非光滑泛函不等式约束，延迟切换系统，非线性规划 a b s t r a c t a s t u d yo fs o m ec l a s s e so fo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sa n d t h e i rs o l u t i o nm e t h o d s o p e r a t i o nr e s e a r c ha n dc o n t r o lt h e o r y w uc h a n g z h i p r o f z h a oy ia n dp r o f t e ok o k l a y a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，n e wc o m p u t a t i o n a lm e t h o d sa r ed e v e l o p e df o rs e v e r a lc l a s s e so f o p t i m a l c o n t r o lp r o b l e m s t h e s ep r o b l e m sa r ef i r s td i s c u s s e di n c h a p t e r1 ，w h i c hc o n t a i n sa l s oa b r i e fr e v i e wo fe x i s t i n gr e s u l t sr e l e v a n tt ot h es u b j e c tm a t t e r so ft h et h e s i s i nc h a p t e r2 ，ac l a s so f o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s , w h i c hi sg o v e r n e db yi m p u l s i v ed y n a m i c a ls y s t e m si sc o n s i d e r e d w eu s et h ec o n t r o lp a r a m e t r i z a t i o ne n h a n c i n g t e c h n i q u et o t r a n s f o r mt h ei m p u l s i v ed y n a m i c a ls y s t e mi n t oa ne q u i v a l e n to r d i n a r yd y n a m i c a ls y s t e ma t t h ee x p e n s eo fi n c r e a s i n gt h ed i m e n s i o no ft h es t a t ev a r i a b l e s f o rt h i se q u i v a l e n to p t i m a l c o n t r o lp r o b l e m ，w ea p p l yt h ec o n s t r a i n tt r a n s c r i p t i o nt e c h n i q u et od e a lw i t ht h ef u n c t i o n a l i n e q u a l i t yc o n s t r a i n t s t h r o u g ht h i sc o n s t r a i n tt r a n s c r i p t i o n ，as e q u e n c eo fa p p r o x i m a t e p r o b l e m si sc o n s t r u c t e d f o re a c ho ft h e s ea p p r o x i m a t ep r o b l e m s ，w ed e r i v et h eg r a d i e n t f o r m u l a sf o r t h ec o s ta sw e l la st h ec o n s t r a i n t sf u n c t i o n s o nt h i sb a s i s i tc a nb es o l v e da sa n o p t i m i z a t i o np r o b l e mu s i n gag r a d i e n t b a s e dm e t h o d t h e r ea r es e v e r a lo p t i m a lc o n t r o ls o f t w a r ep a c k a g e s ，w h i c ha r ed e v e l o p e db a s e do nt h i si d e a ，c a nb eu s e d c o n v e r g e n c ea n a l y s i s i se s t a b l i s h e d ，l i n k i n gt h es e q u e n c eo fa p p r o x i m a t e o r d i n a r yo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sa n d t h eo r i g i n a li m p u l s i v eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m f o ri l l u s t r a t i o n ，s o m en u m e r i c a le x a m p l e s a r es o l v e du s i i l gt h i sm e t h o d i nc h a p t e r3 ，ag l o b a lc o m p u t a t i o nm e t h o df o ri m p u l s i v eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mi s p r e s e n t e d f i r s t ，w ea p p l yt h ec o n t r o lp a r a m e t r i z a t i o ne n h a n c i n gt e c h n i q u et ot r a n s f o r mo u t ll“；i a b s t r a c t p r o b l e mi n t oa ne q u i v a l e n to p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mi n v o l v i n go n l yo r d i n a r yd i f f e r e n t i a ls y s 。 t e m sb u tw i t hh i g h e rd i m e n s i o n t h e n ac o n s t r a i n tt r a n s c r i p t i o ni si n t r o d u c e da n dt h e nu s e d t oc o n s t r u c tas e q u e n c eo fa p p r o x i m a t eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m s f o rt h e s ea p p r o x i m a t e p r o b l e m s ，w ea p p e n dt h et r a n s f o r m e dc o n s t r a i n t st ot h ec o s tf u n c t i o nf o r m i n g a na p p e n d e d c o s tf u n c t i o n w ep r o v et h a tt h eo p t i m a ls o l u t i o n so ft h e s ea p p r o x i m a t ep r o b l e m sc o n v e r g e t oa no p t i m a ls o l u t i o no ft h eo r i g i n a lp r o b l e mu n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h eo p t i m a ls o l u t i o n o fe a c ho ft h e s ea p p r o x i m a t ep r o b l e m si sg l o b a l h o w e v e r , t h eo b t a i n e ds o l u t i o nb yt h i s m e t h o dm a yn o tb eg l o b a ld u et ot h en o n c o n v e x i t yo fo u rp r o b l e m t h u s ，af i l l e df u n c t i o n m e t h o di si n t r o d u c e dt oo v e r c o m et h i sd r a w b a c k a f t e ra p p l y i n gt h ef i l l e df u n c t i o nm e t h o d ， w eo b t a i nt h eg l o b a lo p t i m a ls o l u t i o n an u m e r i c a le x a m p l ei si n c l u d e ds oa st oi l l u s t r a t e t h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dm e t h o d i nc h a p t e r4 ，w ec o n s i d e rac l a s so fo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m si n v o l v i n gd y n a m i c a l s y s t e m sd e s c r i b e db yi m p u l s i v ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s f i r s t ，w ea p p r o x i m a t et h e i n t e g r a lk e r n e lo ft h ei n t e g r a le q u a t i o nb yaf i n i t ee x p a n s i o no f t h es h i f t e dc h e b y s h e vp o l y n o m i a l t h r o u g ht h i sp r o c e s s ，t h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mi sa p p r o x i m a t e db yas e q u e n c e o fo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m si n v o l v i n go n l yi m p u l s i v eo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s e a c h o ft h e mc a nb ev i e w e da san o n l i n e a ro p t i m i z a t i o np r o b l e m f o re a c ho ft h e s ea p p r o x i m a t e d p r o b l e m s ，t h eg r a d i e n tf o r m u l ao ft h ec o s tf u n c t i o ni sd e r i v e da n dh e n c e c a nb es o l v e db y m a n ye f f i c i e n to p t i m i z a t i o nt e c h n i q u e s c o n s e q u e n t l y , t h eo p t i m a lc o n t r o ls o f t w a r e ，m i s e r ， i sa p p l i c a b l ef o rt h ep u r p o s e t h e n ，w ep r e s e n ts o m ec o n v e r g e n c er e s u l t ss h o w i n gt h er e - l a t i o n s h i pb e t w e e nt h es e q u e n c eo ft h eo p t i m a lc o n t r o l so f t h ea p p r o x i m a t e dp r o b l e m sa n d t h a to ft h eo r i g i n a lp r o b l e m f o ri l l u s t r a t i o n ，an u m e r i c a le x a m p l ei si n c l u d e d i nc h a p t e r5 ，w ed e v e l o pac o m p u t a t i o n a lm e t h o df o rs o l v i n ga l lo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mg o v e r n e db ys w i t c h e dd y n a m i c a ls y s t e m sw i t ht i m ed e l a y o u ra p p r o a c hi st op a r a m e t e r i z et h es w i t c h i n gi n s t a n t sa sn e wd e c i s i o nv a r i a b l e st ob eo p t i m i z e d t h e n ，w ed e r i v e t h er e q u i r e dg r a d i e n to ft h ec o s tf u n c t i o nw h i c hi so b t a i n e dv i as o l v i n gan u m b e ro fd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sf o r w a r di nt i m e o nt h i sb a s i s ，t h eo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mc a nb e s o l v e da sam a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n gp r o b l e m f i n a l l y , t h ep r o p o s e dm e t h o di si l l u s t r a t e d b ys o m en u m e r i c a ie x a m p l e s i nc h a p t e r 6 ，ac l a s so f o p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m sg o v e r n e db yn o n - s m o o t hf u n c t i o n a li n - 一i v a b s t r a c t e q u a l i t yc o n s t r a i n t si n v o l v i n gc o n v o l u t i o ni sc o n s i d e r e d w ef i r s tt r a n s f o r mi ti n t oa ne q u i v - a l e n to p t i m a lc o n t r o lp r o b l e mw i t hs m o o t hf u n c t i o n a li n e q u a l i t yc o n s t r a i n t sa tt h ee x p e n s e o fd o u b l i n gt h ed i m e n s i o no ft h ec o n t r o lv a r i a b l e s t h e n ，u s i n gt h ec h e b y s h e vp o l y n o m i a l a p p r o x i m a t i o no ft h ec o n t r o lv a r i a b l e s ，w eo b t a i nas e m i i n f i n i t eq u a d r a t i cp r o g r a m m i n g p r o b l e m t h er e c e n t l yd e v e l o p e dd u a lp a r a m e t r i z a t i o nt e c h n i q u ei sa d o p t e df o rs o l v i n ge a c h o f t h e s ea p p r o x i m a t ep r o b l e m s c o n v e r g e n c ea n a l y s i si sa l s og i v e n ，s h o w i n gt h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h eo p t i m a ls o l u t i o n so ft h e s ea p p r o x i m a t ep r o b l e m sa n dt h eo p t i m a ls o l u t i o no ft h e o r i g i n a lo p t i m a lc o n t r o lp r o b l e m f i n a l l y , s i m u l a t i o nr e s u l t sa r ep r o v i d e dt oi l l u s t r a t et h e p r o p o s e ds c h e m e t oc o n c l u d et h i st h e s i s ，w em a k ean u m b e ro fc o n c l u d i n gr e m a r k sa n ds u g g e s t i o n sf o r f u r t h e rr e s e a r c hd i r e c t i o n s k e yw o r d s ：o p t i m a lc o n t r o lc o m p u t a t i o n ；i m p u l s i v ed y n a m i c a ls y s t e m ；s w i t c h e dd y n a m i c a ls y s t e m ；g l o b a lo p t i m i z a t i o na l g o r i t h m ；c o n t r o lp a r a m e t r i z a t i o nt e c h n i q u e ；c o n - t r o lp a r a m e t r i z a t i o ne n h a n c i n gt r a n s f o r m ；n o n s m o o t hf u n c t i o n a li n e q u a l i t yc o n s t r a i n t s ； s w i t c h e do p t i m a lc o n t r o lw i t ht i m ed e l a y s ；n o n l i n e a rm a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g 一v 一 ，!l，：l l 第1 章综述 第1 章综述 最优控制理论是研究和解决从一切可能的方案中寻求最优解的一门学科。 它的目标是对于给定的系统，如何寻找出一个控制规律，使得它在满足一 定的约束条件下，目标函数值最优。它的发展的历史可以追溯到三百多年 前【l 】。1 6 3 8 年，g a l i e o 提出了两个典型问题：第一个就是重链悬挂在两点之间， 仅受重力场的作用，问它的形状方程应是什么。即悬链线问题。第二个就是设计 出一条曲线，使得一个钢球沿着重力作应下从较高点滑到较低点沿该曲线所用的 时间最短，即最速降线问题。后来，e u l e r 把这个问题表达成一般的形式：即在区 间f o ，6 1 上，寻找对于给定的端点值z ( a ) ，z ( 6 ) 的曲线z ( t ) ，使得 l ，= 肛州啪出 最小，其中l ( t ，z ( t ) ，圣( t ) ) 是已知函数。并且他给出了最优性的必要条件，即 忑d 也( ，z ( ) ，圣( t ) ) = 厶( t ，z ( t ) ，圣( 吼 在1 7 5 5 年l a g r a n g e 给e u l e r 的信中，他基于最优曲线的扰动或利用未确定的乘子描 述了一个解析逼近，并且能够直接导出e u l e r 条件，这就是我们众所周知的“e u l e r - l a g r a n g e 方程”。后来，这种逼近法就称为变分法。 然而，近代最优控制理论直至l j 2 0 世纪5 0 年代p o n t r y a g i n 最大( 最小) 原 理( 2 】， 3 】) 、b e l l m a n 动态规划( 【4 j ，【5 】) 的建立才开始。他们以及k a l m a n 线性最优调 节器理论( f 6 1 ，【7 1 ) 被认为是现代控制理论发展的三个里程碑。 在过去的几十年里，最优控制理论无论是在广度还是在深度都有了很大地发 展，并且成功地应用到很多领域，例如系统工程、经济管理与决策、石油工程、生 物化工、材料科学、空间科学等等，具体可参看 8 】、【9 】、 1 0 】、 1 l 】，、 1 2 、 1 3 】 、【1 4 】、【1 5 】、【1 6 】、 1 7 】、 1 8 】、 1 9 1 、 2 0 等等。然而，由于很多问题太复杂，找 到它的解析解基本上是不可能地，因此，数值方法是不可避免地。至今为止，所出 现的数值方法可归为以下三类： 1 由必要条件得到两点边值问题，对两点边值问题进行求解。 2 把最优控制问题全部离散化，转化为有限维非线性规划问题来求解。 第l 章综述 3 参数化，即把控制轨迹用参数表示，然后把它转化为有限维非线性规划问题求 解。 我们对这几种方法作一个大致地回顾。 1 1 最优控制问题数值解法的回顾 早期的数值方法解决的是没有控制变量及终边约束的问题。这类问题可以通过 应用p o n t r y a g i n 最大值原理，使之转化为对状态方程给定初值，对伴随方程给定终值 的两点边值问题。b r y s o n 8 】以及b r e a k w e l l 2 1 利用“打靶法“解决了这类问题，即估 计伴随变量的初值，通过对状态方程与伴随方程的积分，根据与终值的偏差更新对 初始值的估计，直到满足一定的条件为止。然而，两点边值问题的解关于估计的初 始值非常的敏感，有时甚至不稳定。为了克服这个困难，b u l i r s c h 以及他的合作者 在【2 2 】 2 3 】中提出了“多重打靶法”。他们将区间分成若干个小区间，在每个子区间上 估计初始值，根据偏差重新估计每个子区间的初始值，直到满足边界条件和在每个 子区间终点的连续性为止。与此同时，k e l l y 在 2 4 】提出了梯度法。首先，他在小区 间的固定格子上估计控制变量值，利用这个格子对系统积分。然后，他依据已知值 对伴随方程反向积分，并用得到结果获得关于控制变量的梯度，从而对估计的控制 变量值得到一个校正。m i e l e 等 2 5 】，将多重打靶法与拟线性化方法结合起来来解决这 类问题。 对于最优控制问题离散化最早使用的是有限差分的方法。后来，t s a n g 在 2 6 提出了配置法，v o ns t r y k 等提出了直接配置法( d i r e c tc o l l o c a t i o nm e t h o d ) 2 7 1 。他们 都是通过对状态变量及控制变量的离散化，使得原来带约束的最优控制问题转化 为一个有限维带约束的非线性规划问题。既然转化后的问题是一个非线性规划问 题，因此，就可以利用一些现有的优化方法，例如序y u - - 次规划法( s q p ，s e q u e n t i a l q u a d r a t i cp r o g r a m m i n g ) 来直接求解这些转化后的问题。而对于这些优化方法，都已 经有现成的软件包可用，譬如，n p s o l ， 2 8 ，s n o p t 2 9 】，等等。这种办法的缺点 是在离散化非线性系统方程时会产生大量的非线性方程。然而，众所周知，解决非 线性方程本身就存在很大的困难。 控制参数法可以说是在最优控制问题的数值计算中是最受欢迎的一种方法。这 种方法最基本的思想就是将控制参数化，也就是通过将控制变量用一些参数来表 示，从而将最优控制问题转化为非线性规划问题来求解。 a s c h w a r t z 与e p o l a k 3 0 用b 一样条来参数化控制变量。当变量参数化后，他们 一2 一 第1 章综述 利用固定步长的r u n g e k u t t a 方法来积分系统方程。这种数值积分后就会产生一系列 的原问题的近似问题。他1 t l n 时利用 3 l 】，【3 2 】中的结论证明了这些近似问题的最优 解是一定收敛于原问题的最优解的。这种方法可以适用于较常用的一些最优控制问 题，譬如，带边界条件约束，控制变量及其状态变量约束，积分约束的，等等。他 们同时将这种方法在m a t l a b 环境中得以实现。 另外一种比较常用的方法是k l t e o 等提出的【2 0 】。他们将控制用分段常函数或 分段线性函数来近似，从而将原问题转化为一系列的数学规划i 口- j 题来处理。同时， 他们给出了近似问题的解一定收敛于原问题的解的证明。他们的方法可以广泛适用 于很多的最优控制问题，尤其是对控制或状态的泛函约束，【3 3 1 1 3 4 】。他们将该方 法已经写成了软件包m i s e r 3 5 ，并且已经有了广泛的应用1 3 6 ，【3 7 ， 3 8 1 ， 3 9 ， 4 0 ， 4 l 】。 然而，尽管最优控制的方法在最近几十年的快速发展，还仍然存在很多的问题 不能够用这些方法来直接求解。 这篇论文的目的就是研究几类不能够用这些方法来直接求解的最优控制问题， 并且给出求它们解的一般算法。 1 2 脉冲系统的最优控制 现实生活中广泛存在一种现象，就是连续事件与离散事件相交叉，例如最简单 的房间里温度的变化是连续的，而空调的开和关则是离散的。这类系统在控制里就 是我们所说的混杂系统。由于混杂系统在生活中的广泛应用，因此，近几十年它是 一个非常活跃的领域，具体参看【4 2 】，【4 3 ， 4 4 ，【4 5 ，【4 6 ， 4 7 ， 4 8 ， 4 9 ，【5 0 】，【5 1 。 然而，它们中的很大一部分都可以归结为脉冲系统。在数学模型上脉冲系统主要有 以下三个部分组成： 连续的微分方程，即系统的连续动态事件部分； 差分方程，即系统的离散动态事件部分； 一个决定连续动态事件与离散动态事相交叉的规律。 脉冲系统的最优控n i 右- j 题即它的受控系统为脉冲系统。这类问题在过去的2 0 年 里已经广有研究，如 5 2 】， 5 3 】， 5 4 】，【5 5 】，【5 6 】， 5 7 】， 5 8 1 ， 5 9 】， 6 0 】，【6 1 】。但我们注意 到他们中的很大一部分仅关心于最优解的存在性，以及解为最优时的必要性条件等 一3 一 第1 章综述 的研究。由于脉冲系统轨道的不连续性并且其最优解对脉冲点是敏感的，从而，传 统的最优控制方法是不适用于这类系统的。因此，寻找出一种能够快速找到其最优 解的算法就很有必要。在第二章里，我们将基于 6 2 】，【6 3 】， 6 4 】中提出的提高的控制参 数化技巧( c p e t ，c o n t r o lp a r a m e t r i z a t i o ne n h a n c i n gt e c l l l l i q u e ) 的方法给出一个求这类 系统的最优解的算法。 1 3 脉冲系统最优控制的全局算法 这里有很多的解决最优控制问题的数值方法，但它们最基本的思想都是将原来 的最优控制问题转化为数学规划问题来求解。由于转化后的数学规划问题缺乏凸 性，从而用优化的方法所得的解难以保证是全局最优的。然而，很多的实际问题它 都不只有一个局部最优解，例如，l u u s 与c o r m a c k 在【6 5 】中提出的一个用温度来控制 反应堆的最优控制问题，它就有很多个局部最优解。实际中，如果我们仅仅找出它 的一个局部最优解，这往往对我们的实际应用是毫无意义的，有时甚至是有害的。 因此，寻找全局最优解就显得尤为重要。 目前在优化方法中比较常用的全局算法可以分为两类，一类是确定性的算法， 一类就是随机性的算法。确定性的算法可以参看 6 6 】 6 7 】，随机性的算法可以参 看 6 8 】。很多基于分枝定界的确定性算法是非常耗费时间的，而随机性算法执行起 来也是非常的缓慢，并且所得结果是全局最优也仅仅是在概率意义上成立的。在 这里，我们将引进另外一种近2 0 来年发展起来的确定性的全局算法，即填充函数 法， 6 9 ， 7 0 ， 7 1 】。这个方法首先是从初始点出发，寻找出一个局部最优解。然后 通过计算填充函数的最优值，从而摆脱当前解的局部最优性，找出一个比当前解更 好的点作为初始点，重复以上过程，直到找到全局最优解为止。我们在第三章里将 引进这种办法，来克服我们第二章中所得脉冲最优控制解的局部性。 1 4 脉冲积分微分方程的最优控制 由于积分微分方程在金融、管理、以及社会学等其它问题中的广泛应用，近几 十年它一直是一个很活跃的研究领域。积分微分方程的控制理论近几年来也备受人 们关注。在【7 2 】中，m a k h m e t o v 及r s e j i l o v a 讨论了一个线性脉冲积分微分方程的边 界控制问题。在 7 3 】中，c ea l a s t r u e y 、m d l s e n 及j r g d m e n d i v i l 讨论了两个不 同时滞积分方程的稳定性问题。在 7 4 】中，p s vn a t a r a j 、ed a t a 及a u m r a n 给出了 一个系数未知的非线性积分方程的鲁棒反馈控制。在 7 5 中，h b r u u n n e r ) 及n y a n 讨 论了积分微分方程的最优控制问题。他们的方法是将积分微分方程整个离散化，这 一4 一 第1 章综述 样会大大增加计算的复杂性。在【7 6 】中，m a l u k a s 及k l t e o 给出了一类积分微分 方程的最优控制的算法，并给出了收敛性的证明。然而，迄今为止，脉冲积分微分 方程的最优控制问题却很少有人研究。在第五章里，我们将考虑一类脉冲积分微分 方程的最优控制问题。我们利用c h e b y s h e v 级数来近似积分方程的核，根据【7 7 】中的 结论，近似后的脉冲积分微分方程等价为脉冲的微分方程。从而，原来脉冲积分微 分方程的最优控制问题就转化为脉冲微分方程的控制问题来处理。 1 5 带延迟切换系统的最优控制 切换系统是由几个子系统及一个切换规律所组成，在每一个时刻点，只有一个 子系统起作用，而切换规律控制了在不同的时刻哪个子系统起作用。切换系统是混 杂系统的一种特例，其轨道首先沿着某个动态事件( 或微分方程的轨道) 前进，直 到第一个切换点为止。当系统运行到切换点时，它就会按照事先给定的切换规律， 将轨道切换到另外一条轨道上。它在现实生活中有着广泛地应用，例如，飞行器控 制、柔性生产制造、机器人控制等中的许多现象在数学模型上都可以抽象为切换系 统。 寻找切换系统的切换规律，及研究其最优控制问题在过去的2 0 年里吸引了不少 的研究者。与此同时，无论是关于切换系统最优控制理论方面，还是数值算法方 面都有大量的结果出现，可参看【7 8 】， 7 9 ， 8 0 ，【8 1 ， 8 2 ，【8 3 ，【8 4 ， 8 5 ，等等。研 究这类问题理论方面的结果主要是将经典的最大最小值原理、动态规划延伸到这 类问题 8 l 】， 8 2 】， 8 3 】。在 7 8 】中，s c b e n g e a 与r a d e c a r l o 给出了两个切换系统时 最优解的充分必要条件。他们首先证明了这类系统是蕴涵于一类更大的系统中， 然后给出了这类系统与所蕴涵的系统之间的关系，并且通过应用最大值原理获得 了蕴涵系统解的最优性条件，从而得出两个切换系统情形下解最优的充要条件。 在 8 4 】与 8 2 中，i c d o l c e t m 、l c e v a n s 与y o n g 通过应用动态规划，从而证明了切 换系统最优解的存在性以及唯一性。数值计算方面的主要结果有，x ex u 等在 7 9 】， 8 0 】提出了一个两阶段的方法。在第一个阶段里，通过固定切换系统的切换顺序以及 活动的系统，使得原问题的费用函数仅仅依赖于切换的时刻点。他们基于t e o 等提出 的c p e t 的方法给出了一种计算这类问题的方法。在第二阶段里，将切换顺序及活动 系统也看作变量来处理，重新利用第一步获得新的结果。实质上，他们只做了第一 步，第二步没有涉及。其它的数值方法可以参看【8 6 】，【4 3 ， 8 7 。 然而，尽管对切换系统的最优控制算法的研究比较成熟，但对带延迟的切换系 统最优控制数值方法的研究几乎还是空白。在第五章里，我们将研究带一个延迟的 一5 一 第1 章综述 切换系统的最优控制问题。在这里，我们假设切换的顺序及活动的系统都是事先固 定的。我们将相邻两个切换时刻点的差，即切换宽度视作参数来考虑，导出了费用 函数关于这些参数的梯度，从而就可以利用梯度方法来计算这类问题。 1 6 一类非光滑泛函约束的最优控制问题 对于最优控制问题，其约束条件有很多种，譬如，控制变量的边界约束、状 态变量及控制变量的泛函等式或不等式约束、端值的等式或不等式约束，等等。 在 2 0 】中，t e o 等引进了一个约束转换，使得这些约束条件都可以化为那里所定义的 标准型，而这些标准型很容易用一些最优控制的软件包，例如m i s e r 3 5 来解决。 在 8 8 里，v o 等研究了一类输入不确定的包络约束滤波器的最优设计问题， 在那里约束条件是非光滑的卷积的形式。这类问题后来被很多人研究， 8 8 ，【8 9 ， 9 0 】，等等。基于此，我们考虑一类费用函数为二重积分，约束条件为卷积形式的 最优控制问题，这类问题可以看作包络约束滤波器最优设计问题的一个推广。由于 我们考虑的最优控制问题的约束条件是非光滑的连续卷积形式，因此，经典的算法 都不能够适用于此问题。在第六章里，我们首先将非光滑的约束条件转化为对应的 光滑的情形，然后，我们利用c h e b y s h e v 级数来近似控制的每一个分量，从而使原 问题转化为一个半无穷维非线性规划问题。对于这类问题，我们可以很方便地利 用 9 1 】或 9 2 】中的方法来求解。 一6 一 第2 章脉冲系统的最优控制 第2 章脉冲系统的最优控制 对于一个最优控制问题，一般都是由动力系统，费用函数，以及对状态变量或 者是控制变量的约束方程所构成。现实生活中的很多最优控制问题都非常的复杂， 有时想直接找出他们的解析解基本上是不可能的。因此，发展出一些数值方法来解 这类最优控制问题对于我们来说就至关重要。到目前为止，已经涌现出了很多很优 秀的数值方法，具体参看【9 3 】，【9 4 ，【2 0 。尤其值得一提的是，k l t e o 等在 2 0 】中提 出的控制参数化方法( t h ec o n t r o lp a r a m e t r i z a t i o nt r a n s f o r m ) ，也就是用分段常函数来 参数化控制变量，使得原问题化为一个数学规划问题来求解。在参数化控制变量的 过程中，分段常函数的切换点及其高度都可以视为变量来考虑。然而，费用函数关 于切换点的导数是不连续的。因此，如果直接将这些切换点视作变量来考虑，得 到的数值结果就非常的差。为了克服这个困难，h w j l e e 等在 9 5 1 q b 提出了一种 所谓提高的控制参数化方法( t h ec o n t r o lp a r a m e t r i z a t i o ne n h a n c i n gt r a n s f o r m a t i o n 或 者c p e t ) 。实质上，该方法就是对时间标量的一个变换。变换的目的就是使得原来 逼近控制函数的分段函数的切换点在新的时轴上是固定的。 在物理、生物、金融、管理以及各种工程领域中，有许多实际过程或现象在某 一爪- 时刻点可能会有一个突变。这些现象在数学中可以用脉冲微分方程来描述。因 此，研究有关脉冲微分方程的一系列控制问题很有必要。在这一章，我们将研究一 类脉冲微分方程的最优控制问题。在这里，我们将把这些突变点以及它相应的变化 幅度视为变量来考虑。我们首先通过引进提高的控制参数化方法( c p e t ) ，将脉冲微 分方程的脉冲点转化为固定的情形。然后，用另一个变换将这些固定脉冲点的脉冲 微分方程化为一组新的微分方程，且脉冲条件转化为新方程的初始条件。这样，原 来脉冲微分方程的最优控制问题就转化为一般微分方程的最优控制问题。 2 1 问题的提出 考虑一个定义在由如下的脉冲微分方程来描述的实际过程： 初始条件为 圣( t ) = f ( t ，u ( t ) ，z ( 亡)