（计算数学专业论文）计算非线性椭圆型方程边值问题多解的分歧方法.pdf

下a - 乏境要 摘要 本文讨论如下非线性椭圆型方程边值问题 p 札+ i j 一工。i r i u i q - 1 掣。0 ，j q ，( o 1 ) 【训弛= 0 r 0 ，q 是平面上的区域，p u = d i 口( i v u l p v u ) ，硼是q 的边界，j = ( z l ，z 2 ) ，p 是q 的 中心 当p = 2 时，方程( 0 1 ) 被称为h e n o n 方程本文提出了求解此类方程的3 种算法 算法1 通过引进分歧参数将问题嵌入到一个新的非线性分歧问题，然后根据分歧理 沦，从该问题关于零解的线性化问题的特征值出发，会出现与相应特征函数对称性相同 的非平凡解枝，沿着这条非平凡解枝将分歧参数延拓到0 就得到原问题的一个非平凡解 于是我们可以找刽尽可能多的具有不同对称性质的变号解 算法2 对于方程中任意给定的参数7 ，通过l i a p u n o v s c h m i d t 约化求山近似分歧方程表 达式，给出用n e w t o n 方法求解该问题的迭代初值后直接求解从而有效地解决初值选取困 难的问题，极大地减少计算的工作量 算法3 从r = 0 时问题的对称止解m 发，以7 为延拓参数，通过延拓得到问题的对称正 解解枝同时监视相应j a c o b i 矩阵的特征值，在对称解枝上发现对称破缺分歧点，给出扩 张系统具体求m 对称破缺分歧点，再用解枝转接方法找到具有其它对称性质的止解枝， 从而对于某些区问内的r ，可以找到多个具有不同对称性质的正解并给出解的图像，在延 拓时，若遇到折叠点，我们同样给出计算该折叠点的扩张系统，而日弓i 入拟弧长延拓方 法，使解枝顺利通过折叠点，从而完成整条解枝的计算 当p 2 时，此时方程( 0 一1 ) 被称：为p - l a p l a c i a n h e n o n 方程南于p - l a p l a c i a n 算子具有更 强的非线性性，我们用3 种同伦延拓的方法来求解问题( o 1 ) 算法1 p 延拓取p = 2 时问题( o 1 ) 的解作为初值，以p 为参数进行延拓，直至p = 矿， 这里p 是所求问题( m 1 ) 中的p 算i 夫2 同伦延拓引入参数t 把问题( o 1 ) 嵌入到如下问题 拿札十( 1 一”p 让+ l x - - x o r i u j g 一1 t = o ，工q ， ( o 2 ) 【u l 铀= 0 、。 以f 一】时l l e n o n 力稃边值问题的解作为初值，通过同伦延拓直至t = 0 从而得到p i 力p t a d a n i l e n o n h 程边值问题的具有各种对称性质的解 算法3 对给定的p ，从r = 0 时问题( o 一1 ) 的对称止解m 发，通过7 延拓得到问题( 0 一1 ) 的对 称正解枝，监视相应j a c o b i 矩阵的特征值，发现解枝上的对称破缺分歧点，冉用解枝转接 第1 页 方法求出具有其它对称性质的正解枝，从而对于某些区间内的r ，找到具有不同对称性质 的多个正解 关键词：h e n o n t , 程：p - l a p l a c i a nh e n o n 方程；多解：l i a p u n o v s c h m i d t 窒4 j ) 6 ：对称破缺 分歧；扩张系统；解枝转接；拟弧长延拓 第1 i 页 黄，乏墙罨 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ec o n s i d e rt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ( b v p ) o fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f - f e r e n t i a le q u a t i o n k x o i r i t i 叮- 1 t = 0 ，x q ， o w h e r eqi sab o u n d e do p e nd o m a i ni nr 2 ，a p t = d i v ( i v u l 一v u ) ，r 0 ，御i st h eb o u n d a r y o f q ，j = ( z l ，x 2 ) ，pi sa c e n t e r o f q w h e np = 2 ，t h ee q u a t i o no fp r o b l e m ( o - 1 ) i sc a l l e dh e n o ne q u a t i o n t h r e ea l g o r i t h m sb a s e d o nt h eb i f u r c a t i o nm e t h o da r ea p p l i e dt os o l v i n gt h i sp r o b l e m t h ef i r s ta l g o r i t h m ：w ee m b e d ( 0 - 1 ) t ot h en o n l i n e a rb i f u r c a t i o np r o b l e m sw i t hp a r a m e t e r a c c o r d i n gt ot h eb i f u r c a t i o nt h e o r y ，i th a sn o n t r i v i a ls o l u t i o nb r a n c h e s b i f u r c a t e df r o mt h et r i v i a l s o l u t i o nn e a rt h eb i f u r c a t i o np o i n t s a l o n gt h en o n t r i v i a ls o l u t i o nb r a n c h e sw ec a ng e tt h ed i f f e r - e n ts y m m e t r ys o l u t i o n st op r o b l e m ( 0 - 1 ) b yt h ec o n t i n u a t i o nm e t h o dw h e nt h ep a r a m e t e rg o e st o 0 t h es e c o n da l g o r i t h m ：b yt h el i a p u n o v - s c h m i d tr e d u c t i o n ，w ec a ng e tt h ea p p r o x i m a t ec x - p r e s s i o no ft h eb i f u r c a t i o ne q u a t i o no fp r o b l e m ( 0 一1 ) ，f r o mw h i c hw ef i n dt h ei n i t i a lg u e s s f o rt h e n e w t o ni t e r a t i o nd i r e c t l ya n ds o l v ed i r e c t l yp r o b l e m ( 0 1 ) b yt h en e w t o nm e t h o d t h et h i r da l g o r i t h m ：t a k i n g 厂a sap a r a m e t e r , t h es y m m e t r i cp o s i t i v es o l u t i o nt op r o b l e m ( 0 - 1 ) w h e nr - - - 0i su s e da sas t a r t i n gp o i n to nt h es y m m e t r i cp o s i t i v es o l u t i o nb r a n c ht op r o b l e m ( 0 - 1 ) w i t hv a r i e drw h i c hc a nb ec o m p u t e de f f e c t i v e l yb yt h e7 c o n t i n u a t i o na n dt h en e w t o ni t e r a t i o n m e t h o d w h i l eri sc o n t i n u e d ，t h ee i g e n v a l u e so fj a c o b i a no fp r o b l e m ( 0 1 ) a r em o n i t o r e d t h e e i g e n v a l u ew i t hs m a l la b s o l u t ev a l u ea r ef o u n df o rr t h e r ea r et h ep o t e n t i a ls y m m e t r y - b r e a k i n g b i f u r c a t i o np o i n t t h es y m m e t r y - b r e a k i n gb i f u r c a t i o np o i n ti sf o u n dv i at h ee x t e n d e ds y s t e m s t h eo t h e rs y m m e t r i cp o s i t i v es o l u t i o n sa r cc o m p u t e db yt h eb r a n c hs w i t c h i n gm e t h o db a s e do n t h el i a p u n o v s c h m i d tr e d u c t i o n w h e nt h e r ea r es i m p l ef o l d so nt h eb r a n c ho ft h es y m m e t r i c p o s i t i v es o l u t i o n s ，w es u c c e s s f u l l yc o n t i n u et h es o l u t i o nb r a n c h e st h r o u g ht h es i m p l ef o l d sv i a t h e p s e u d o a r c l e n g t ha l g o r i t h m w h e np # 2 ，t h ee q u a t i o no fp r o b l e m ( 0 - 1 ) i sc a l l e dt h ep - l a p l a c i a n h e n o ne q u a t i o n w ep u t f o r w a r dt h r e eh o m o t o p yc o n t i n u a t i o na l g o r i t h m st os o l v et h ep r o b l e m ( 0 - 1 ) t h ef i r s ta l g o r i t h m ：pc o n t i n u a t i o n t a k i n gt h es o l u t i o n st ot h ep r o b l e m ( 0 - 1 ) w h e np = 2a s s t a r t i n gp o i n t ，w ec o n t i n u ep t op = 矿，w h e r e 矿i st h epo ft h ep r o b l e m ( 0 - 1 ) t h es e c o n da l g o r i t h m ：h o m o t o p yc o n t i n u a t i o n w ee m b e d ( 0 - 1 ) t ot h en o n l i n e a rb i f u r c a t i o n 第1 l i 页 十 | | 弛叫 ，(1l p r o b l e m sw i t hp a r a m e t e rto ft h ef o l l o w i n gf o r m ： jt a u + ( 1 一t ) a p u + k - x 0 1 7 i 仳l 口一1 t 上= o ，j q ， 【让l = 0 f a k i n gt h e5 0 i u l o n st oh e n o ne q u a t i o nw h i l et - - - ia st h ei n i t i a lp o i n t , w e c a ng e tt h ed i f f e r e n ts v m m e t r ys o l u t j o n st 0p - l a p l a c i a n h e n o ne q u m i o n b yt h ec o n t i n u a t i o nm e t h o dw h e nt h ep a r a m e 研f g o e st 0 0 t h et h i r d8 1 9 0 r i t h m ：f o ra n y g i v e np ，t h es y m m e t r i cp o s i t i v es o l u t i o nt op r o b l e m ( o 1 ) w h e n r - - - 4 ) 1 8u 5 e da 5a s t a r t i n gp o i n to nt h es y m m e t r i cp o s i t i v es o l u t i o nb r a n c ht op r o b l e m ( 0 1 ) w i t hv 小 1 e drw h i c hc a nb ec o m p u t e de f f e c t i v e l yb yt h e rc o n t i n u a t i o na n dt h en e w t o ni t e r a t i o nm e t h o d w h l i et 1 sc o n n u e d ，t h ee i g e n v a l u e so f j a c o b i a no fp r o b l e m ( 0 一1 ) a r em o n i t o r e d t h e e i g e n v a l u e w i t hs m a l la b s o l u t ev a l u ea l ef o u n df o rr t h e r ea l et h e p o t e n t i a ls y m m e 时b r e a l ( i n g b i f u r c a t i o np o i n c t h es y m m e t r y 。b r e a k i n gb i f u r c a t i o np o i n ti s f o u n dv i at h ee x t e n d e ds y s t e m s t h e o t h e s y 哪e t n cp o s i t i v es o l u t i o n sa l ec o m p u t e db yt h eb r a n c hs w i t c h i n gm e t h o db a s e d o nt h e k e yw b r d s ：h e n 。ne q u a t i o n ；p - l a p l a c i a nh e n o ne q u a t i o n ；m u l t i p l e s o l u t i 。n s ；l i a p u n o v s c h m i d t 剃u c t i o n ；s y m m e t r yb r e a k i n gb i f u r c a t i 。n ；e x t e n d e ds y s t e m ；b r a n c hs w i t c h i n g ；p s e u d 伊 a r c l e n g t hc o n t i n u a t i o n 第页 论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任 何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。 签名： 日期：丝牛一 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 使刚学位论文的规定，即：学校有权保留送 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作砉签名：硅兰兰查至 日 期：丝哔 导师签名：塑查望 日期：塑哔 乏：- 毒，a ； i t _ 仑 第一章绪论 1 1研究背景 考虑非线性椭圆型方程的边值问题：， f 锦u 仁) + f ( x ，u ) = o ，z q ， 【u l 鼬= 0 这里工r n ，q 为扎维有界区域，锄是它的正则边界，a 丑乱伍) = 出u ( i v 乱仕) l p 一2 v u 伍) ) 是一 个非线性矿l a p l a c i a n 算子，它们大量出现在物理、工程，生物学、生态学等领域，例如 在流体动力学里，p = 2 ，p 2 分别对应着牛顿流，伪塑性流，扩张流另外，当p = 3 时矿i 且p l a c i a n 算子用于研究多孔介质中流体运动，当p 2 时p l a p l a c i a n 算子用于研究 非线性弹性力学，当p ( 1 ，) 时矿l a p l a c i a n 算子用于研究冰川学 l j 当矽= 2 时问题( 1 1 ) 可 能为l a n e ，e m d e n 方程、h e n o n 方程、c h a n d r a s e k h a r 方程等，当p 2 时问题( 1 1 ) 可能为矿 l a p l a c i a n l a n e e m d e n 方程、p - l a p l a c i a n h e n o n 方程、i o - l a p l a c i a n c h a n d r a s e k h a r 方程等 荚丁问题( j 1 ) 一类= | f 线性椭圆犁方程边值问题解的存在性和多解性研究，2 0 世纪6 0 年 代以来逐步成为偏微分方程的一个重要领域一开始的工具是有序b a n a c h 空间中的，卜f 解 方法1 2 1 1 3 1 ，后来主要是临界点理论【4 1 1 5 方法把临界点理论中的山路引理和极大极小定理应 用剑问题( 1 一j ) 去汪明非线性椭圆型方程边值问题解的存在性和多解性对于( 卜1 ) 中出现的 非线性函数( 工，礼) 的正则性和增长性，典型的假设是： 1 ) f ( x ，) 关于u 在区间( 一o 。，+ o o ) 中连续且分段光滑； 2 )。厂，珏) 是超线性增长的，即存在正常数q 和g ，使得 f ，0 ，乱) i c j + q i u r ，1 g 2 ，当l u i2m 时 有4 i 等式 0 o ) 的不稳定解失败了事实上不稳 定解在实践中很重要( 实际上它可能也是相对稳定的) 目前，仿照山路定理和最大最小定理的思想，国内外先后出现了5 种计算该类问题的 数值方法：单调迭代格式( m i s ) i 6 1 【7 l 、山路算法( m p a ) 1 8 1 1 9 l 、高环绕算法( h l a ) i t 0 1 、极大极 小算法( m n a ) 1 1 2 i l l s 和搜索延拓法( s e m ) 【1 4 1 1 单调迭代格式( m i s ) 又称为上下解方法，是基于有序b a n a c h 空问中的单调迭代方法 2 山路算法( m p a ) ：它由c h o i m c k e n n a 8 】提出一般地说，此算法只能找至t l m o r s e 指标 为0 或l 的两个解，当区域q 关于空间r d 中的某平面对称，且，伍，u ) 关于 2 是奇的( 称为奇 非线性) ，m p a 通过区域的对称性也可找到某些变号解从那时起，m p a 广泛用于解其他 偏微分方程，如半线性弦振动方程u n t i z z + 9 ( u ) = f ( x ，) 的周期解1 9 】；有名的吊桥方 程u 托+ 札。z z z + b u + = w ( z ) + e h ( z ，) 的大振幅解和行波解1 1 5 1 3 高环绕算法( h l a ) ：d - l d i n g ，c o s t a ，c h e n l l o l 所建立，以便得到某些变号解此法在 第l 水平卜使用了代约束的最大化，和第2 水平卜用局部最小化数值实验表明，h l a 最多 得到两个节点解如果不假定厂( 钆) 是奇的和区域的对称性，能计算得剑多于三二个解，对数 学家证明有更多的解是有希望的，这无疑是原创性的工作 4 极大极小算法( m n a ) ：为寻找一般的m o r s e 指标的临界点，“和z h o u i n l 设讣了这种新 算法首先他们提出了个极大极小定理1 1 6 l ，它只要求在第l 水平上的个无约束最大化 和第2 水平上的局部最小化，于是它比传统的极大极小定理在数值算法上更具构造性，并 能计算某些高指标的m o r s e 指标的解 山路定理或极大极小定理在一般框架中给出了多解的存在性证明若按照此定理的思 想，人们不得不在一般的无穷维集合中寻找山路解，这如同大海捞针，而且数值计算上 来说也是比较困难的 由丁高m o r s e 指标的临界点具有多重性和1 i 稳定性，m p a 和h l a 及m n a 在收敛性分析 部遇到了内存的困难 5 ；搜索延拓法( s e m ) ：此方法与山路定理及极大极小算法无关它用若干个特钔f 基的线 性组合搜索所有解的初值，然后利用一种谨慎而有效的延拓法和有限元法迭代完成精密 化计算此法能计算高m o r s e 捐 标的多重解，但是对于方程和区域的选择要求较高 以上介绍的5 种方法都存在对于初值的选取的困难，这在某种程度上限制了其成为更 为有效的算法 第2 页 葛一章绔论 1 2 我们的研究方法 我们主要考虑如下非线性椭圆型方程边值问题 a p u + i x 一工0 i r l 钆卜一1 让= 0 ，z q ， ( 1 2 ) iu i 铀= 0 、。 r o ，q 是平面上的单位正方形或单位圆，御是q 的边界，j = ( z l ，z 2 ) ，q 1 2 ，x 0 是q 的中心 1 2 1 p = 2 当p = 2 时，此时问题( 1 2 ) 即为 盒u + x - - x 0 r i 让| 口一1 t = o ，j q ， ( 1 3 ) l 钍i 铀= 0 一7 它被称茭j h e n o n 方程，是法国天文学家h e n o n 1 7 1 在研究旋转星系结构的稳定性时提出来 的，而h e n o n 方程解的各种性质至今己被许多作者所研究l l s - 2 2 1 我们提出了求解此类方程 的3 种算法 算法l 通过引进参数a 将问题( 1 3 ) 嵌入到如下非线性分歧问题： 令t 正+ a 牡+ 防一工0 i r i 训9 1 让= 0 j r q ， ( 1 4 ) it i 勰= 0 一 根据分歧理论【2 3 一冽，从问题( 1 - 4 ) 关于零解的线性化问题 f 圣+ a 圣：0 工q 1 ：0 (1-5) 的特征值出发，问题( 1 _ 4 ) 出现与相应特征函数对称性相l 司的非平凡解枝，沿着这条非平 凡解枝将a 延拓n 0 就得到问题( 1 3 ) 的一个非平凡解于是我们可以找到尽可能多的具有任 意m o r s e 指标和不同对称性质的变号解 算法2 对于任意给定的r ，通过l i a p u n o v s c h m i d t 约化求出( 1 4 ) 的近似分歧方程表达式 给出用n e w t o n 方法求解问题( 1 3 ) 的迭代初值后直接求解从而有效地解决初值选取困难的 问题，极大地减少计算的工作量 算法3 从r = 0 n 问题( 1 3 ) ( 此时称为l a n e e m d e n 方程) 的对称正解m 发，以7 为延拓参 数，通过延拓得到问题( 1 3 ) 的对称正解解枝同时监视相应j a c o b i 矩阵的特征值，在对称 解枝上发现对称破缺分歧点，给出扩张系统 2 1 1 a o 一3 3 1 具体求出对称破缺分歧点，再用解枝 转接方法 2 a l i a 4 一删找到具有其它对称性质的正解枝，从而对于某些区间内的r ，可以找到 多个具有不同对称性质的正解并给出解的图像，在延拓时，若遇到折叠点，我们同样给 出计算该折叠点的扩张系统1 2 1 1 3 7 3 9 l ，而且引入拟弧长延拓方法，使解枝顺利通过折叠 点，从而完成整条解枝的计算 第3 页 上海师范大学博士论文 1 2 2p 2 当p 2 时，由于p - l a p l a c i a n 算子具有更强的非线性性，我们采用下述3 种同伦延拓 方法完成计算 算法l ：p 延拓 将问题( 1 2 ) 中的p 作为参数，取p = 2 时问题( 1 2 ) 的解作为初值，将p 延拓到所求 问题( 1 2 ) 中的p = 矿，从而可计算出问题( 1 2 ) 多个具有不同对称性质的解 算法2 ：同伦延拓 把问题( 1 2 ) 嵌入到如下非线性问题 f ，t ，7 ) = t a u + ( 1 一) p u + 防一粕i r i 训口一1 也= 。 z q ( 1 6 ) q 是平面上的单位正方形【0 ，1 】【0 ，1 】或单位圆，猢是q 的边界将( 1 - 6 ) 中t 作为参数， 取t = 1 时的解为迭代初值，将t 逐步延拓到0 ，可计算出问题( 1 2 ) 多个具有不同对称性 质的解 算法3 ：对给定的弘从，= 0 时问题( 1 2 ) 的对称正解出发，通过r 延拓得到问题 ( 1 2 ) 的对称正解枝，监视相应j a c o b i 矩阵的特征值，发现解枝上的对称破缺分歧点，再 用解枝转接方法求出具有其它对称性质的正解枝，从而对于某些区间内的r ，找到具有不 同对称性质的多个正解 上述算法的关键： ( 1 ) 在离散化问题( 1 2 ) 时，尽可能保持与原问题相同的对称性是成功计算出问题 ( 1 2 ) 多个解的关键 ( 2 ) 如何有效地确定解枝上的奇异点( 折叠点，对称破缺分歧点) 以及进行解枝转接是 延拓能否成功，多解能否顺利算出的另一关键点 本文应用分歧方法计算了h e n o n 方程和p - l a p l a c i a n h e n o n 方程边值问题的多解， 我们在第二章处理正方形区域上的h e n o n 方程的边值问题，在第三章处理单位圆区域 的h e n o n 方程的边值问题，在第四和第五章分别处理了正方形区域和单位圆区域上的 p - l a p l a c i a n h e n o n 方程边值问题，在第六章处理了立方体区域上h e n o n 方程边值问题 第4 页 苇一一孝：二- 鼻，- 4 一? _ f ! ! ；嚣城5f h mn 孝毪：z i ：7 争：鼍t 参签 第二章计算正方形区域上h e n o n 方程边值问题的 多解 本章主要讨论一类在天体物理中有重要应用的h e n o n 方程的边值问题 f ( u ，r ) j u + l j 一工0 1 7 i 札i 。一1 t 正= o ，工q ， 【u i 锄= 0 ( 2 - 1 ) 这坐是l a p l a c e 算子，r o ，j = ( x l ，3 7 2 ) ，q 是平面上的单位正方形【o ，1 】【0 ，1 1 ，a q 是q 的边界，q 1 2 ，z o = ( 1 2 ，1 2 ) 2 1计算h e n o n 方程边值问题多解的分歧方法 2 i 1 l i a p u n o v s c h m i d t g q 化方法和对称破缺分歧 把问题( 2 1 ) 嵌入到如卜非线性分歧问题 f ( 让，入，r ) i 让+ a u _ 卜i 工一j o l 7 i t 正1 9 1 让= 0 ， 工q ， 【训铀= 0 ( 2 2 ) 这里i 2 是平面上的单位正方r e t o ，1 】【0 ，1 1 ，a q 是q 的边界，a r 是分歧参数，r o 南分歧理论【2 4 1 知( 2 2 ) 有非平凡的解枝从分歧点分龠出来，那么沿着这些非平凡解枝 将a 延拓n o 可以求得问题( 2 。1 ) 多个具有不l 司对称性质的数值解，考虑q 上的对称群 4 0 1 4 1 肌： ，r 1 只1 2 ，风：& ：岛，s i ：黑) ，其中 r l v ( 3 7 1 ，3 7 2 ) = 乱( 1 3 7 2 ，3 7 1 ) ，r 2 u ( z l ，3 7 2 ) = u ( 1 一z l ，l 一3 7 2 ) ， r 3 u ( z 1 z 2 ) = u ( z 2 ，1 3 7 1 ) ，i u ( z l ，z 2 ) = u ( z l ，窑2 ) ， 冤u ( z l ，2 7 2 ) = u ( z 1 1 - z 2 ) ，s iz ( z l ，z 2 ) = 牡( 1 一z 1 ，3 7 2 ) ， s 2 u ( 3 7 1 ，x 2 ) = u ( z 2 ，z 1 ) ，$ u ( z l ，3 7 2 ) = u ( 1 3 7 2 ，1 一z 1 ) f d 4 z 2 ，问题( 2 2 ) 是r 等变的，即 f ( t u ，a ) = 7 f ( u ，a ) ，v ，y f 对于v 入r ，缸三。是问题( 2 2 ) r 对称的解d 4 的迷向子群为：d 4 = ，r l ，r 2 ，风，s l ， $ ，g ，$ ) ；r = ，兄1 ，忌：r 3 ) ；，= ，咫) ：l ：- j s 1 ) ；：= ，s ； ；2 = ， s 2 ) ；e ：= j r ，$ ) ；d 一 j r ，r z ? 岛，曼) ； ，二 ，吼，s 。g ) 它们的不动点子空问及基 底可以表示为： 第5 页 不动点空间基 x d s i n ( 2 k 1 ) 7 r x ls i n ( 2 k 1 ) 7 r x 2 o r s i n ( 2 k l 1 ) 7 r z ls i n ( 2 k 2 1 ) t r x 2 上s i n ( 2 k l 1 ) x x 2s i n ( 2 k 2 1 ) 丌x l x ds i n2 k t r x ls i n2 k t r x 2o r s i n2 k lr x ls i n2 k 2 r x 2 + s i n2 k l t r x 2s i n2 k 2 7 r x l x ls i n2 k l t r x ls i n ( 2 k 2 1 ) z r x 2 x ：s i n2 k l t r x 2s i n ( 2 k 2 1 ) r r x ： x ，s i n2 k l t r x ls i n2 k 2 r r x 2 x m s i n ( 2 k l 1 ) t r x xs i n ( 2 k 2 1 ) u x 2 x 2o rx ： s i n2 k l t r x ls i n ( 2 k 2 1 ) u x 2 士s i n2 k l t r x 2s i n ( 2 k 2 1 ) u x l 农2 1 d 4 迷向子群的不动点子空问及基底 其中七，k 2 z + ，k l k 2 在计算过程中考虑对称性，不必离散整个区域，而是根据对 称性把区域分割，再加上相应的边界条件来求解，最后根据对称性扩充到整个区域，得 到全域上的解下面是各种情况： 对称性子区域 边界条件 d 4 【0 ，1 】x 【0 ，1 】缸l 。l ：0 = u i ? l ：1 = 训。2 ：0 = u i 王2 ：1 = 0 r 7 【o ，互1 1 【0 ，1 1训。：o = u i z ：o = 札i z ：- = 0 ，嘉i 产 = 0厶l l 【0 ，1 】【0 ，乏1 】训。：o = u l z ，：l = 札l 茁2 ：o = 0 ，砺o ui z ： = 0 f 【0 ，；】x 【0 ，1 】 训z l ：0 = t l i 。2 ：0 = u l z 2 - - - - l = 0 ，r 2z ：r m1 0 ，；】1 0 ，互1 】 u 1 2 。：o = 让l z 2 ：o = 乱l z l ： = u i 七： = 0 r 【0 ，互1 】【0 ，；】 u i z l ；0 = u l x 2 = 0 = 0 ，r i ，r 2 ，r a 2【0 ，1 】【0 ，1 且z 2 x lu i 舻- = u i o = 0 ，舞i 胪z 。= 差i 舻善。 ： 【0 ，1 】xf 0 ，1 且x 2 1 一x lt l i l = u l 栌l = 0 ，鲁i 卅栌= 一差i z 。慨：1 1【0 ，1 】x 【0 ，乏1 】u i 驴o = 0 ，器l z ，砘= 老i 驴纠 且z 25x l 且z 2 1 一z l 否i 卅正l + 王2 = l 十否云i z l + 2 = l 一 表2 2区域对称剖分及边界条件 边值问题( 2 2 ) 关于平凡解u 三0 的线性化问题是： 令+ a = o ： 工q ， ( 2 3 ) 【i 锄= 0 、 a n m = ( n 2 + ? 7 2 2 ) 7 r 2 是( 2 3 ) 的特征值，相应的特征函数为：如m = s i n n t r x ls i n m t r x 2 由对 称破缺分歧理论可知a n 仇= ( n 2 + m 2 ) 丌2 是( 2 - 3 ) 的分歧点，在这些分歧点处，可以分歧出 具有各种不i 刊对称性质的非平凡解枝，下面是些具体的例子： 第6 页 笮一旁： - 骘正方影銎臻j t e n o n ：号露：圭箩嬲爱锋多解 表2 3 分歧点及非甲凡解枝 2 1 2 差分格式的等变性 用五点差分格式离散问题( 2 2 ) ，可得： f 兰盟互竺生世上兰基d 竺立址丝吐+ a j + ( ( o 5 一z ) 2 + ( o 5 - j h ) 2 ) 2 r c u ，a ，r ，= 咖j ：j ：苫些：? i _ = 1 ，n 一1 歹= 1 n 一1 c 2 - 4 ， l 啦，o = u i ，n = 0 ，i = 0 ，n ， 这里 h 2 云，地j 刮( 沈，j h ) 容易验证上述问题是r = d 4 z 2 等变的，即满足 f h ( 7 牡，a ) = 7 f h ( t ，a ) ，v 7 r 这里d 4 = ，兄- ，疡，岛，& ，岛，s i ，足) ，其中 r l = u n 一加r 2 u t j = u n i ，n j ，岛u i j = u j ，n 一 ，= ， s l u i j = t i 一一弘墨= 一i , j ， 岛= u j , i ，最u i j = 一j p t 2 1 3 数值方法 算法主要分为三步 第一步：离散化 第二步：求在分歧点附近的非平凡解枝 第三步：沿着非平凡解枝将a 延拓到o 关键是第二步，用l i a p u n o v s c h m i d t 约化方法米解( 2 4 ) 的非平凡解枝 情况l ：正方形区域q 第一步：将q 均匀剖分成n 2 个小正方形，建立离散化方程( 2 4 ) 第7 页 上海师范大学博十论文 第二步：令u = e 矽+ w ，7 7 = a k ，。这里妒按照对称性质分别取加。m ，。n 或者“，m + m ，n ，伽是需要求解的，它具有与妒同样对称性质的函数，且( 矽，叫) = 0 ，e 是小参数，然后 求解 i a w + ( 7 7 + k ，m ) 伽+ 7 7 妒+ k p i r i 妒+ 叫r 一1 ( e 妒+ 伽) = 0 ，工q ， t u i 鼬= 0 ， ( 2 - 5 ) i ( 妒，w ) = 0 的离散化方程： 塑山生纽丛生净皇坠卫竺丝+ ( 7 7 + k ，m ) 毗，j + 7 7 讥j + ( ( o 5 一t ) 2 + ( 0 5 一j h ) 2 ) 2 i e 讥j + w i , j q 一1 ( 讥j + w i , i ) = 0 ， i = 1 ，礼一1 ，j = 1 ，n 一1 ， 咖j = w n ，j = 0 ，歹= 0 ，n ， ( 2 6 ) w i ，0 = 砒，n = 0 ，i = 0 ，n ， t l 一1n 一1 ( 讥j 妣j ) = 0 这里 = 击，t l j j = ( i 九，j h ) ，戗j = 妒( 九，j ) ，计算从e = o 1 开始，用n e 叭o n 迭代法求出 非线性方程组( 2 6 ) 的解w t ，以及7 7 将延拓到足够大，例如= 1 ，可以得到远离平凡解 的u 和a 第i 步：将上述方法得到的u 和a 作为初始出发点，直接以a 为参数，将离散化后的方 程( 2 4 ) 的解枝延拓到a = 0 ，就得到t ( 2 1 ) 的具有各种对称性质的数值解 情况2 ：正方形q 挖去任意一个小矩形以后的区域q 1 ，它的边界是a q l ，此时问题( 2 - 2 ) 关 于平凡解的线性化问题是如下特征值问题： 妒+ a = o ， 工q 1 ( 2 7 ) i 纠锄i = 0 用五点差分算子l i l 离散l a p l a c e 算子，得上述方程的离散化方程为 善生垫量工垒-吐三i鱼丝正等+a如，j。o，(ih，jh)h2 j q 1 ，i ， ( 2 8 ) j o “y l ，j 一” 、- 。l ，i ，一 o 、 【也j = 0 ，( i h ，j h ) 0 q 1 n 这里破，j = ( i ，j ) ，q 1 _ l l 为内部节点，锄1 i i 为边界节点求m 卜述特征值问题的特征值和 特征向量k ，机，其它的过程和正方形区域一样在具体求解时，可以利用对称性缩小求 解区域，从而大大减少问题的维数 2 1 4 数值结果 图2 1 图2 7 表示的是7 = 1 ，4 ，7 ，区域是正方形q 时问题( 2 1 ) 的各种不同对称性的解 图2 1 是问题( 2 1 ) 的仇对称的正解，它们是从( 2 3 ) 的第一个分歧点a l ，1 = 2 7 r 2 出发由本文 第8 页 善，嚣汁霉互万移釜斌ih 曲j 1 1 _ j ，性迪僮问窟台i ：；多籀 。霹 冷， | | 一： 蝻 图2 1d 4 对称正解入1 1 = 2 丌2 ，q = 3 盼别为l ，4 ，7 ，i 。 幽2 - 2 1 对称解a i 。2 = 5 7 r 2 。q = 3 ，分别为l ，4 ，7 i 一 图2 - 3 2 对称解a 2 1 = - 5 丌2 ，q = 3 r 分j j j j ji ，4 ，7 彳一； ；： | | 一 图2 - 4 d 对称解a 2 ，2 = 断2 q - 3 ，r 分别为1 ，4 ，7 的算法延拓得到幽2 2 是问题( 2 1 ) 的l 对称解，它们由第二个分歧点a 1 2 = 5 丌2 分歧而 来图2 3 是问题( 2 - 1 ) 的2 对称解，它们由第二个分歧点a 2 。l = 5 7 r 2 分歧而来i 型2 - 4 是问 题( 2 1 ) 的d 对称解，它们m 第三个分歧点a 2 2 = 8 7 r 2 分歧而来图2 5 是问题( 2 一1 ) 的m 对 第9 页 上海师范大学博士论文 i | 一 图2 - 5 m 对称解a 1 3 = 1 0 7 r 2 ，q = 3 ，分别为1 ，4 ，7 图2 - 6 d 4 肘称解a ：| 1 = 0 7 r 2 ，q = 3 ，r 分别为i ，4 ，7 咿 图2 7 d 对称解k 2 = 2 0 丌2 q = 3 ，扮别为l ，4 7 图2 - 8难解a = 3 5 0 3 8 8 6 7 , q = 3 。，分别为1 ，4 ，7 称解，它们由第四个分歧点入l ，3 = 1 0 7 r 2 分歧而来图2 6 是问题( 2 1 ) 的d 4 对称解，它 们由第四个分歧点a 3 。1 = 1 0 丌2 分歧而来图2 - 7 是问题( 2 一1 ) 的d 对称解，它们由第八 个分歧点a 4 2 = 2 0 7 r 2 分歧而来图2 - 8 表示的是r = 1 ，4 ，7 ，在正方形q 中挖去一个