（计算数学专业论文）近似隐式化和分片代数簇某些问题的研究.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 开展隐式曲线曲面的研究在计算机辅助几何设计和几何造型中既有深刻的理论价 值又有广泛的应用前景本文主要针对参数曲线曲面的近似隐式化和分片代数簇的某 些问题展开研究主要工作如下： 第二章我们讨论了参数曲线曲面的近似隐式化参数曲线曲面和隐式曲线曲面是 计算机辅助几何设计和几何造型中两种常见的表示形式将参数形式的曲线曲面转化 为代数形式的曲线曲面的过程称为隐式化然而，精确隐式化( 尤其是曲面的精确隐式 化) 在几何造型中没有得到广泛的应用这主要是参数曲线曲面的精确隐式化过程很复 杂而且不一定可以实现，再加上隐式曲线曲面的阶数很高并且具有不希望的奇异点和 多余分支，从而会引起计算的不稳定性和几何造型中拓扑结构的不一致性，这就大大限 制了精确隐式化在实际中的运用 为了解决上述问题，我们提出了如下三种近似隐式化算法：首先，我们利用二阶二 次代数样条曲线对参数曲线进行近似隐式化，所得到的代数样条曲线不会产生多余分 支和自交点，并且具有良好的误差估计和逼近性质其次，我们利用m u l t i q u a d r i c 拟插 值和径向基神经网络，提出了参数曲线近似隐式化的另一种方法该方法具有保形性 好，光滑度高，逼近性能好，样本节点数据少等优点最后，考虑到很难将上述两种方法 直接推广到参数曲面的近似隐式化，我们利用紧支集径向基函数作多元散乱数据插值 的技巧提出了参数曲面近似隐式化的一种算法 第三章我们讨论了分片代数簇的某些问题分片代数簇作为多元样条的公共零点 集合，是经典代数簇的推广，它不仅和许多实际问题如多元样条插值，c a d 和c a g d 等有关，而且还为研究经典代数几何提供理论依据因此，研究分片代数簇是很重要的 首先，讨论了分片代数簇的维数性质，通过引入分片代数簇完全相交的概念讨论了分片 代数簇的维数与其定义方程组个数的关系其次，简要讨论了分片代数曲线的奇点性质 再次，为了有效计算分片代数簇，我们讨论了凸多面体内任意维代数簇的计算问题通 过添加超平面技巧将g r o e b n e r 基方法应用到凸多面体内任意维代数簇的计算上，从而 把凸多面体内的代数簇转化为另外一组多项式方程组的正解，并且得到了该代数簇在 凸多面体内的极小分解最后。基于& 样条系数的d e s c a r t e s 符号准则和b 4 z i e r 曲线的 d ec a s t e l j a n 算法，我们给出了一元样条实根分离算法，也就是计算出一列不相交区间， 使得每个区间恰好只包含此样条函数的一个实根 第四章我们主要构造了类具有紧支集的无穷次可微径向函数众所周知，g a u s s 分布函数是一类广泛应用于多元插值和径向基网络的正定径向函数它具有非常好的 近似隐式化和分片代数簇某些问题的研究 逼近效果和指数衰减性质对g a u s s 分布函数离中心远处截断，可以马上得到紧支集径 向基函数然而，这样得到的紧支集径向基函数用于多元插值和函数逼近显然是不连续 的因此，结合g a u s s 函数的特点对其进行改进，我们构造了一类具有可控自由参数的 紧支集无限次可微函数在对自由参数定的约束条件下，此类函数能够有效地应用到 多元函数逼近和多元散乱数据插值中 关键词：参数曲线曲面；隐式曲线曲面；近似隐式化；分片代数簇；径向基函数 大连理工大学博士学位论文 s o m er e s e a r c h e so na p p r o x i m a t ei m p l i c i t i z a t i o na n d p i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t i e s a b s t r a c t i m p l i c i ts u r f a c e sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nm a n yt h e o r e t i cf i e l d sa n da p p l i e df i e l d s i nc o m p u t e ra i d e dg e o m e t r yd e s i g na n dg e o m e t r ym o d e l i n g i nt h i st h e s i s ，w em a i n l y s t u d ys o m ep r o b l e m so na p p r o x i m a t ei m p l i c i t i z a t i o na n dp i e e e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t i e s o u rp r i m a r yw o r ki so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r2 ，w ed i s c u s st h ep r o b l e mo fa p p r o x i m a t ei m p l i c i t i z a t i o no fp a r a m e t r i c c u r v e s s u r f a c s s ，i ti sw e l lk n o w nt h a tp a r a m e t r i cc u r v e s s u r f a c e sa n di m p f i c i tc u r v e s 一 s u r f a c e sa r et w oi m p o r t a n tt o p i c si nc o m p u t e ra i d e dg e o m e t r yd e s i g na n dg e o m e t r i c m o d e h n g t h ep r o c e d u r eo ft r a n s f o r mt h ep a r a m e t r i cf o r mi n t oa l g e b r a i cf o r mi sc a l l e d i m p l i c i t i z a t i o n h o w e v e r ，a c c u r a t ei m p h c i t i z a t i o n ( e s p e c i a l l ys u r f a c ei m p h c i t i z a t i o n ) h a s n o tb e e np o p u l a ri np r a c t i c e t h i si sd u et ot h ef a c t t 1 1 a te x a c ti m p l i c i t i z a t i o no fp a r a - m e t r i cc u r v e s s u r f a c e sa l w a y si n v o l v e sc o m p l i c a t e dc o m p u t a t i o na n di t se x a c ti m p l i c i t f o r mu s u a l l yc a n n o tb ec o m p u t e d m o r e o v e r ，t h ed e g r e eo fi m p l i c i tc u r v e sa n ds u r f a c e s i sh i g h e ra n di m p i j d tc u r v e sa n ds u r f a c e sm a yh a v es i n g u l a rp o i n t sa n du n e x p e c t e d c o m p o n e n t s ，w h i c hl e a dt oc o m p u t a t i o n a li n s t a b i l i t ya n dt o p o l o g i c a li n c o n s i s t e n c yi n g e o m e t r i cm o d e l i n g i no r d e rt os o l v et h i sp r o b l e m ，w ep r o p o s et h e f o l l o w i n gt h r e ea l g o r i t h m st od e a lw i t h a p p r o x i m a t ei m p l i c i t i z a t i o n f i r s t l y , w e1 1 s eq u a d r a t i ca l g e b r a i cs p h n ew i t hs m o o t h n e s s t w ot ot a c k l ea p p r o x i m a t ei m p l i c i t m a t i o no fp a r a m e t r i cc u r v e s t h er e s u l t i n ga p p r o x i - m a t ec u r v e sn o to n l yd o n th a v eu n w a n t e dc o m p o n e n t sa n ds e r f - i n t e r s e c t i o n s ，b u ta l s o h a v eg o o de r r o re s t i m a t ea n da p p r o x i m a t i o nb e h a v i o r s e c o n d l y , w ep r o p o s e8 n e w 印一 p r o a c ht os o l v ea p p r o x i m a t ei m p l i c i t i z a t i o no fp a r a m e t r i cc u r v e sb a s e do i lr a d i a lb a s i s f u n c t i o nn e t w o r k sa n dm u l t i q u a d r i eq u a s i i n t e r p o l a t i o n t h i sa p p r o a c hp o s s e s s e st h e a d v a n t a g e so fs h a p ep r e s e r v i n g ，b e t t e rs m o o t h n e s s ，g o o da p p r o x i m a t i o nb e h a v i o ra n d r e l a t i v e l yl e s sd a t ae t c l a s t l y , w ep r o p o s eam e t h o dt os o l v ea p p r o x i m a t ei m p l i c i t i z a t i o n o fp a r a m e t r i cs u r f a c e sb a s e do nm u l t i v a r i a t ei n t e r p o l a t i o nb yu s i n gc o m p a c t l ys u p p o r t e d r a d i a lb a s i sf u n c t i o n s 近似隐式化和分片代数簇某些问题的研究 i nc h a p t e r3 ，w ed i s c u s ss e v e r a lp r o b l e m so np i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t i e s a st h e z e r o so fm u l t i v a r i a t es p l i n e s ，t h ep i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t yi sag e n e r a l i z a t i o no ft h e c l a s s i c a la l g e b r a i cv a r i e t y i ti si m p o r t a n tt os t u d yt h ei n t e r p o l a t i o nb ym u l t i v a r i a t e s p l i n e sa n da l g e b r a i cg e o m e t r ye t c f i r s t l y , w ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e d i m e n s i o no fp i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r j e t l e sa n dt h en u m b e ro ft h e i rd e f t n i n ge q u a t i o n s a s w e l la ss e v e r a ld i m e n s i o np r o p e r t i e sb yi n t r o d u c i n gt h ec o n c e p to fc o m p l e t ei n t e r s e c t i o n o fp i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t i e s s e c o n d l y , s e v e r a ls i n g u l a rp o i n tp r o p e r t i e so fp i e c e w i s e a l g e b r a i cc u r v e sa r ed i s c u s s e d t h i r d l y , t h ei n t e r s e c t i o np r o b l e mo fp i e c e w i s ec u r v e sa n d s u r f a c e sb o i l sd o w nt ot h ec o m p u t a t i o no fp i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t i e s i no r d e rt os o l v e p i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t i e s w ep r o p o s ean e wm e t h o dt oc o m p u t ea l la l g e b r a i cv a r i e t y o n ac o n v e x p o l y h e d r o nb ya d d i n gh y p e r p l a n e sw i t ht h em e t h o d o fg r o e b n e rb a s e s t h u s t h ea l g e b r a i cv a r i e t yo nt h ec o n v e xp o l y h e d r o ni st r a n s f o r m e dt ot h ep o s i t i v es o l u t i o n s o fa s y s t e mo fp o l y n o m i a l s b e s i d e s ，t h em i n i m a ld e c o m p o s i t i o ni sa l s oo b t a i n e d l a s t l y , w ep r e s e n ta na l g o r i t h mt oi s o l a t er e a lr o o t so fau n i v a r i a t es p l i n e ，i e ，c o m p u t i n ga s e q u e n c eo fd i s j o i n ti n t e r v a l ss u c ht h a te a c ho ft h e me o n t a l 船e x a c t l yo n er e a lr o o to fa g i v e ns p l i n ef u n c t i o n ，w h i c hi sp r i m a r i l yb a s e do nt h eu s eo fd e s c a r t e s r u l eo fs i g n sw i t h i t sb s p l i n ec o e f f i c i e n t sa n dd ec a s t e l i a ua l g o r i t h mo fb z i e rc u r v e i nc h a p t e r4 ，ak i n do fm u l t i v a r i a t ec o m p a c t l ys u p p o r t e di n f i n i t e l yd i i t e r e n t i a b l e f u n c t i o n si sc o n s t r u c t e d i ti sw e l lk n o w nt h a tt h eg a u & qd i s t r i b u t i o nf u n c t i o ni sa w i d e s p r e a du s e dp o s i t i v ed e f i n i t er a d i a lb a s i sf u n c t i o ni nm u l t i v a r i a t es c a t t e r e dd a t a i n t e r p o l a t i o n m o r e o v e r ，i tp o s s e s s e sg o o dg l o b a la p p r o x i m a t i o nb e h a v i o ra n dd e c a y s e x p o n e n t i a l l y i ti sc l e a rt h a tw ec a ng e n e r a t et h er a d i a lf u n c t i o n sw i t hc o m p a c ts u p p o r t b yc u t t i n go f fg a u s sf u n c t i o na tl a r g ed i s t a n c e sf r o mt h ec e n t e r s h o w e v e rt h er e s u l t i n g r a d i a lf u n c t i o ni n t e r p o l a t i o n ( a p p r o x i m a t i o n ) i so b v i o u s l yd i s c o n t i n u o u s t h u s ，w ec o n - s t r u c tak i n do fc o m p a c t l ys u p p o r t e dr a d i a lf u n c t i o n sw h i c hh a v ei n f i n i t ed i f f e r e n t i a b l e p r o p e r t yf o ra n ys p a c ed i m e n s i o nw i t ht w of r e ep a r a m e t e r s u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n so n p a r a m e t e r s ，t h e yc a nb ea p p l i e dt of u n c t i o na p p r o x i m a t i o na n ds c a t t e r e dd a t ai n t e r p o - l a t i o n k e yw o r d s ：p a r a m e t r i cc u r v e s s u r f a c e s ；i m p l i c i tc u r v e s s u r f a c e s ；a p p r o x - i m a t ei m p l i c i t i z a t i o n ；p i e c e w i s ea l g e b r a i cv a r i e t i e s ；r a d i a lb a s i sf u n c t i o n s 独创性说明 作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：塞衄日期：望蚴目 大连理工大学博士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解”大连理工大学硕士、博士学位论文版权使 用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学 位论文 作者签名：昱金鳃 导师签名毯! 艺 量堕年月垄日 大连理工大学博士学位论文 1 绪论 在第一节中，我们先对多元样条函数，径向基函数和代数簇的计算方法作简单的介 绍，而后在第二节中对本文的工作给出扼要的概括 1 1 预备知识 i i 1 多元样条函数 样条函数( s p i n ef u n c t i o n ) 就是具有一定光滑性的分段或分片定义的多项式函数 1 9 4 6 年，i j s c h o e n b e r d l 】以研究无穷区间上的等距节点数据的平滑问题为背景引入了 样条函数，深刻指出了研究一元样条的四种观点，它们分别是截断多项式差商的观点， t a y l o r 展开的观点，f o u r i e r 变换的观点和概率的观点按前两种观点，s c h o e n b e r g 较为 系统的建立了一元样条函数的理论基础但是，s e h o e n b e r g 的工作刚开始时并未受到重 视从6 0 年代开始，随着电子计算机技术的飞速发展，样条函数也得到了迅速的发展和 广泛的应用鉴于客观事物的多样性和复杂性，开展有关多元样条函数的研究，无论在 理论上还是在应用上都有着十分重要的意义现在。它在函数逼近、计算几何、计算机 辅助几何设计、有限元及小波等领域中均有较为重要的应用一般而言，多元样条的研 究方法主要有：光滑余因子协调法，b 网方法和多元b o x 样条方法下面我们主要对光 滑余因子协调法作简要介绍 2 0 世纪6 0 年代至7 0 年代初，g b i r k h o f f 和c a r ld eb o o r 等研究并建立了一系列 关于c a r t e s i a n 乘积型的多元样条理论c a r t e s i a n 乘积型多元样条虽然有一定的应用价 值，但有很大的局限性，且在本质上可以看作是一元样条函数的简单推广， 由于样条函数严重依赖剖分的几何性质，王仁宏教授在1 9 7 5 年i 从研究相邻胞腔 上两个多项式入手，引入了光滑余因子及整体协调条件，提出了经典的代数几何方法亦 称光滑余因子协调法( s m o o t h i n gc o f a e t o r - e o n f o r m a l i t ym e t h o d ) 在文中，作者深刻的 刻划了多元样条函数光滑连接的内在本质，建立了光滑连接所满足的整体协调条件，从 而将多元样条问题归结为求解整体协调方程的问题，建立了多元样条函数的基本理论 框架 设d 为二维e u c l i d 空间r 2 中的有界区域以巩记二元次实系数多项式集合： 盎k - i 耽：= p = $ 矿1 r ) i ；一j = o l 近似隐式化和分片代数簇某些问题的研究 今用有限条不可约代数曲线对区域d 进行剖分，将剖分记为，于是d 被分为有 限个胞腔d 1 ，d 2 ，d 多元样条函数空间定义为 钟( ) ：= s c 伊( d ) ls i p ，耽，i = 1 ， 事实上，s 彤( ) 为一个在d 上具有p 阶连续偏导数的分片k 次多项式函数 基于代数几何中的b e z o u t 定理王仁宏教授指出了多元样条函数光滑连接的内在 本质 定理1 1 【设z = s ( x ，) 在两相邻胞腔取和d j 上的表达式分别为 。= a ，们和z = 易扛，) ， 其中鼽( z ，) ，巧扛，y ) 巩为使s ( z ，y ) c ( d i u d j ) ，弛须且只须存在多项式 q i j ( z ，) 巩一w + 1 ) d ，使得 a ( z ，y ) 一巧( z ，y ) ：= 【幻( z ，) 】“+ 1 q t j ( x ，f ) ， 其中嚣与瓦的公共网线为 r 巧：z 旬( z ，口) = 0 ， 且不可约代数多项式( z ，y ) 现， 上面定理所定义的多项式因子q u ( x ，y ) 称为内网线r 0 ：b ( ，y ) = 0 上的( 从d i 到 易的) 光滑余因子( s m o o t h i n gc o f a c t o r ) 设a 为一内网点，定义a 点处的“协调条件”( c o 出o r m a l i t yc o n d i t i o n ) 陟如，) j 肿1 - 奶0 ，y ) ；0 ， 其中4 表示对一切以内网点a 为一端的内网线求和，而( z ，y ) 为上的光滑余因 子 设的所有内网点为a 1 ，a f ，则“整体协调条件”( g l o b a lc o n f o r m a l i t yc o n d i - t i o n ) 为 幻( 刚) p 的( z ，y ) 三0 ，口= 1 ，m 山 王仁宏教授给出了下述定理，建立了多元样条的基本理论框架 定理1 2 【2 3 l 对给定剖分，多元样条函数s ( 七，9 ) 碟( ) 存在必须且只须s ( z ，y ) 在每条内网线上均有一光滑余因子存在并且满足整体协调条件 由此可以建立多元祥条函数的一般表达形式对给定剖分，任意选定一个脆腔 例如d 1 作为“源胞腔”，从d 1 出发，画一流向图0 ，使之满足： 2 大连理工大学博士学位论文 1 ，口流遍所有的胞腔d 1 ，d n 各一次； 2 穿过每条内网线的次数不多于一次； 3 0 不允许穿过网点 显然，流线移的选择不是唯一的流线百所经过的内网线称为相应于口的本性内 网线，其它的内网线则为相应于0 的可去内网线 设r 村：b ( 。，口) = 0 为否的任意一条本性内网线将从源胞腔出发，沿口前进聪， 只有越过后才能进入的所有闭胞腔的并集记作u i ( r 去) ，将从源胞腔出发沿d 前进 时，在越过r 村之前所经过的各闭胞腔的并集记为u i r 丢) 称u ( r 去) 矿( r 孑) 为网线 的“前方”，记作，r ( ) ， 定义1 1 l z ，4 】设r u ：幻( ，v ) = 0 为相应于流向西的本性内网线多元广义截断多 项式定义为 溜= 舻如”黧：尝飘蹦 由此，有如下的样条函数表现定理： 定理1 3 i s ，4 1 任一8 ( x ，y ) 跳( ) 均可唯一地表示为 s ( z ，) = p ，g ) + p ，! ，) 】1 奶沁v ) ，( 。，咖d ， 0 其中p ( 茹，) 巩为s ( z ，暑f ) 在源胞腔上的表达式，香表示对所有本性内网线求和，而 且沿百越过r 可的光滑余因子为( ，) 耽一p 一1 于是，可以得到样条函数的基本结构定理。 定理1 4 i s ，4 】对于给定的剖分与确定的流向图0 ，s ( 。，y ) 蹬( ) 必须且只须 s ，) = p o ，耋，) + 【如( q ) 摇“的( 而y ) ，伽，v ) d ， 口 ( 删) p 奶( 霉，) 三0 ， ” 其中 表示对一切以内网点a 为一端的内网线求和，a ，取遍所有内网点 1 1 2 径向基函数 数学的根本任务就是用函数及其性质来描述事物这样的函数空间起码要具备简 单性和有效性比如人们熟悉的多项式函数空间和三角函数空间，人们使用这两个函数 3 近似隐式化和分片代数簇某些问题的研究 空间，不仅因为它们的函数形式十分简单，而且具有本质上由一个函数来生成函数空间 的特点，更为重要的是它们可以逼近几乎所有的函数当函数空间取定以后，如何选取 此函数空间的基底也是一个非常重要的问题比如多项式函数空间一般有单项式基底， b e r n s t e i n 基底和正交多项式基底等等但是古典的函数空间有缺点，比如一元多项式 的r u n g e 现象特别的，对于任何给定的函数基在多元情形下不满足h a r t 条件，也就是 说多元l a g r a n g e 插值是不适定的【5 ，目 样条函数，也就是分片多项式，它既有多项式表示简单可以逼近几乎所有函数的优 点，又克服了多项式刚性太强的缺点可惜的是，样条函数在处理多元( 高于3 元) 散乱 数据插值问题时很困难，构造满足一定连续性条件的多元样条基函数是相对困难的，更 何况高维的三角剖分实现起来也很困难 为了计算有效方便，我们自然希望可以有一个比较简单的一元函数烈) 经过比较 简单的运算就能够得到多元函数空间的基底为此，径向函数就是一个很好的选择 径向函数( r a d i a lf u n c t i o n ) 就是满足：如果：j j z l0 = 0 现虬那么( 茹1 ) = 庐( 2 ) 的函 数即仅依赖于r = 忙的函数( 本文中的范数皆为e u c l i d e a n 范数) 径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n ) 空间就是这样的函数空间1 7 ，8 】：给定个一元函 数毋：政+ 一r ，在定义域o 耐上，所有形如v ( z c ) = ( 忙一c i | ) 及其线性组合张 成的函数空间称为由函数导出的径向基函数空间在一定的条件下，只要取 ) 两 两不同，归 一) 就是线性无关的并且形成径向基函数空间中某子空间的一组基底 当 ) 几乎充满r 时， 圣 一) ) 及其线性组合可以逼近几乎任何函数 人们欣赏径向基函数不仅因为它有强烈的应用背景，而且因为它的重要优点：其 表示和计算都非常简单( 由一个给定的一元函数表示) 径向基函数可以逼近几乎所有 的一不单单是从各向同性的问题中产生的函数 定义1 2 9 1 径向函数圣( z ) = ( 忙0 ) 是正定的( p o s i t i v ed e f i n i t e ) ，如果对所有两两 不同的点集妇l ，) 皿d ，矩阵a = ( 魏一q ) ) i s j 如是正定的， 定义1 3 【9 1 如果诱导函数圣( 。) = ( 1 ) ，z 则是正定的，则连续函数：r o r 称为驶4 上的正定函数，记为p d d 通过如下b o c h n e r 定理可以判定一个径向函数是否正定 定理1 5 【1 q 函数圣 ) = 咖( i ) 是正定函数的充要条件是其f o u r i e r 变换毒几乎处 处大于零 对于一般的径向基函数插值，m i c c h e l l i 给出如下定义： 4 大连理工大学博士学位论文 定义1 4 1 1 1 ，1 q 定义于【0 ，o ( 9 ) 上的连续函数妒( t ) 称为碾f 上k 阶条件( 严格) 正定函 数：如果对于任何不同的茁1 ，x n r 4 及使得对所有的p 殴一l 僻。) 满足 卵( 墨) = 0 西 的标量。1 ，c ，i ，二次型 q 白l j i ( j j 墨一巧| j 2 ) i = ij ；1 是非负( 正) 的，其中耽一l ( r 4 ) 表示次数不超过一1 的d 元多项式集合 径向基函数插值就是：对于给定的数据 ， ) ，戤r a ，五r ，i = 1 ，凡，其 中o l ，是f 中两两互异点寻找如下形式的函数 s ( 。) = 九妒( | i z 一甄j | ) + p ( 。) i = i 满足条件 ls ( 而) = ， i = 1 ，硝 r n l 乏：a f g ( o i ) = 0 ，v q 巩( r 4 ) 、i = 1 上述的插值问题已经证明对于任何数据上述问题存在唯一解的充分条件是庐为k 阶条件正定函数 b y a n k e 1 3 曾做过大量各种散乱数据插值方法的实例比较，得到结论：径向基函数插 值的结果最令人满意 常用的径向基函数主要有8 ，9 a 4 j ： k r i g i n g 方法的g a u s s 分布函数：( r ) = e o r 2 ，其中口是正实数 h a r d y 的m u l t i q u a d r i c 函数妒( r ) = ( c 24 - r 2 ) 9 和逆m u l t i q u a d f i c 函数多( r ) = ( c 2 + r 2 ) ，其中p 是正实数 d u c h o n 的溥板样条： 卅，= 产k - i o 弘：羹冀 这些核函数在插值条件下使得泛雪 ( 产( z ) ) 2 如 达到最小，其中d 为空间维数，( 。0 ) 表示多重指标的多元偏导数 5 近似隐式化和分片代数簇某些问题的研究 紧支集正定径向基函数 ( 1 ) 截断幂函数：锄( r ) = ( 1 一r ) j - 当f2 d 2 】+ 1 时，妒d r ) p d a ，其中【 表示取整函数 ( 2 ) 吴函数欢k 对于给定的连续性条件和给定的空间维数，可以找到一个截断函数多项式，使其产 生的径向函数在给定的维数空间正定并且满足给定的连续性条件 这类函数可以表示为：幽，k = d ，f ) ，0 k z ，其中五( r ) = ( 1 一r ) 0 ，而算子d 定义为： 一1 膏 d ( 州r ) 3 手云，( r ) ， 此时i p d 2 + inc 啊一舳 ( 3 ) w e n d l a n d 函数讹m w e n d l a n d 在吴函数基础上找到了最低次数的紧支集正定径向基函数 k 锄矿尻”砒栅一。( r ) n = 0 1 1 3 代数簇的计算方法 下面我们将简要回顾一下代数簇( 多项式方程组公共解) 的计算方法 非线性方程组( 代数簇) 的计算是个经典的代数闯题，这方面有大量的研究工作，可 以参考著作 1 5 - 2 0 1 及其书后文献求解方法大体可分为局部方法和全局方法两大类局 部方法以n e w t o n 型方法为代表，n e w t o n 方法的收敛依赖于初值的选取而全局方法 主要分三类：代数方法：包括结式方法( s y l v e s t e r 结式，b e z o u t 结式，m a c a u l a y 结式和 t 一结式，以及稀疏结式等) ，吴文俊特征列方法和o r o e b n e r 基方法，它们在理论上很完美 并且适合于符号计算同伦方法，它克服了n e w t o n 方法初始值选取的困难，为了扩大收 敛域，构造了一种同伦映射，于是它的求解转化为常微分方程初值问题的求解细分方 法，数值迭代方法直观简单，计算稳定，能够有效计算出所有根的数值解但是它不如一 般代数方法有效，因为它仅能找到孤立的零维解，特别当有重根时，它不能提供根的重 数信息 本节首先重点介绍g r o e b n e r 基方法的基本理论，主要内容引白【1 9 ，2 0 】 定义1 5 设 ，二是耳胁，】中多项式，则称集合 1 ，( ，l ，厶) = 0 1 ，a n ) 驴i 五( o l ，a n ) = 0 ，t = 1 ，一，凡) 6 大连理工大学博士学位论文 是由 ，丘决定的代数簇，其中k x l ，】表示系数在x 中关于变元$ - ，靠 的多项式环 也就是说，代数簇就是一系列多项式方程组f l l ( x l ，靠) = 0 ，厶( 。z ，) = 0 的公共解 定义1 6 设，是理想则v ( z 1 定义为 v ( z ) = ( 8 1 ，) k “ f ( a l ，a n ) = 0 ，v ，n 命题1 1 设j 是理想，则y 是代数簇特别的，如果i = ，则 v ( z ) = y ( ，1 ，厶) 定义1 7设y c n 是代数簇，则称集合 z ( y ) = ，k z l ，x n 】：，( 口1 ，a n ) = o ，va l ，) y ) 是由代数簇生成的理想， 我们引入如下记号： 定义1 8 设非零多项式 g r 叫并且给定单项式序 ( 1 ) l c ( f ) ，l m ( f ) ，z t f f ) 分别表示，的领系数，领单项式和领项 ( 2 ) f 和9 的s 一多项式定义为： s ( ，g ) 2 南，一南9 ， 其中= l c m ( l m ( f ) ，l m ) ( 3 ) 7 表示，被f = ( 9 1 ，如) 所除得到的余项 定理1 6 ( h i l b e r tb a s i st h e o r e m ) 每个理想i k x l ，】都是有限生成的 也就是说，| 9 1 ，9 s 使得j = 定理1 7给定单项式序，如果 = ， 则集合g = g l ，西) 称为理想i 的g r o e b n e r 基，其中l t ( g ) 和工丁( j ) 分别表示g 的领项和理想，中所有元素的领项生成的理想 众所周知，b u c h b e r g e r 给出了判断理想的基是否为g r o e b n e r 基的s - p a i r 标准 命题i 2 g = 危1 ，几) 是理想i 的g r o e b n e r 基当且仅当页耐： 0 ，v i j 7 近似隐式化和分片代数簇某些问题的研究 下面主要介绍g r o e b n e r 基方法的消去和扩张定理首先给出消元理想的概念 定义1 9 若j - 是暂陋1 ，】的一个理想，则第z 个消元理想指 五= i n k x t + 1 ，】 直观的说，五中的元素是从方程组 = 0 ，工= 0 中消去。1 ，幻得到的我 们有下面的基本定理 定理1 8( 消去定理) 若g 是，关于字典序x l x 2 z 。的g r o e b n e r 基， 则 g = g n k 陋j + 1 ，$ 。】 是第f 个消元理想五的g r o e b n e r 基， 如果( a 1 ，a ，a n ) 是v ( i ) 的解，则这个点( m + 1 ，a n ) v ) c 舻一 称为部分解任何解，a n ) v ( i ) cj p 都可以截成部分解但反之不一定成立， 即不是所有的部分解都可以扩张成解 注意到五一l 的每一个元素，都可以写成下面的形式： ，= ( 窖l + l ，z n ) 。p + 卸的低次项， 其中c r m 是，的首项系数多项式 定理1 9 ( 扩张定理) 若耳是代数闭域，如果五一1 的字典序g r o e b n e r 基中所有元 素的首项系数多项式在( 8 l + 1 ，a - a ) 点处不全为零，则y 伍) 申的一个解( a l + l ，) 可以扩张到v ( 五一1 ) 中的解( a l ，a l + 1 ，) 、 消去定理显示关于字典序的g r o e b n e r 基可以连续的消去越来越多的变元，这就 给出了计算代数簇所有解的方法，即由g 中最少变元的多项式开始求解，对每个变元利 用扩张定理，扩张这些部分解就可以得到代数簇的解 定理1 1 0 ( 弱零点定理) 设k 代数闭域，如果jck x l ，1 并且v ( j ) = 0 则j = k 睁l ，z 1 下面简要介绍吴文俊特征列方法豹基本理论，主要内容引自 1 5 - 1 7 】 给定两个多项式f ( 。) ，g ( z ) k 吲，记f ( z ) 的主变元为缸，初式为j ( z 1 ，毛一1 ) 则g ( 。) 对f ( 。) 的伪除法定义： ，5 g 扛) = a 扛) f p ) + 矗( z ) ，d e g 。, ( r ) 犯一l 时有q ( 。，) 三0 ，则称此时代数样条曲线是蜕化的 设给定一组型值点 只= ( 孔，认) ，i = 0 ，1 ，+ 1 ) ，过这些点是否存在具有一定 光滑度的封闭代数样条曲线，我们有结论： 命题2 1 1 4 5 1 设给定一组型值点 只) 嚣1 ，s ( z ，y ) = 0 嘏+ ( ) 是封闭代数样条曲 线的充要条件是存在非零多项式g ( z ，) r 一女“使得 ( 谁，管) ) k + l 吼( z ，y ) 兰0 ， ( 2 2 ) 其中k ( z ，v ) 和m 0 ，的定义